Tài liệu Giáo trình lý thuyết mạch Phần 7 ppt

________________________________________________________Chương 7
Tần số
phức
-
1
Ñ

CHƯƠNG 7

TẦN SỐ PHỨC


Ñ TÍN HIỆU HÌNH SIN CÓ BIÊN ĐỘ THAY ĐỔI THEO HÀM MŨ
Ñ TẦN SỐ PHỨC
Ñ TỔNG TRỞ VÀ TỔNG DẪN
Ñ HÀM SỐ MẠCH

Cực và Zero của hàm số mạch

Xác định đáp ứng tự nhiên nhờ hàm số mạch

Hàm số ngã vào và hàm số truyền

___________________________________________________________________________

Chương này xét đến đáp ứng ép của mạch với kích thích là tín hiệu hình sin có biên độ
thay đổi theo hàm mũ. Các tín hiệu đã đề cập đến trước đây (DC, sin, mũ . . .) thật ra là các
trường hợp đặc biệt của tín hiệu này, vì vậy, đây là bài toán tổng quát nhất và kết quả có thể
được áp dụng để giải các bài toán với các tín hiệu vào khác nhau.
Chúng ta cũng sẽ nghiên cứu kỹ hơn về hàm số mạch, nhờ
khái niệm cực và zero, để

thấy vai trò quan trọng của nó trong việc xác định đáp ứng của mạch.

7.1 TÍN HIỆU HÌNH SIN CÓ BIÊN ĐỘ THAY ĐỔI
THEO HÀM MŨ
Tín hiệu xác định bởi
v(t)= Ve
σt
cos(ωt+φ) (7.1)
Đây là tích của hàm sin Vcos(ωt+φ) và hàm mũ e
σt
. σ là số thực, có thể dương hoặc
âm. Tùy theo giá trị của ω và σ, ta có các trường hợp sau:
*
σ=0, ω=0 v(t) = Vcosφ =V
O
là tín hiệu DC
*
σ=0, ω≠0 v(t) = Vcos(ωt+φ) là tín hiệu hình sin có biên độ không đổi
*
σ<0, ω≠0 v(t) = Ve
σt
cos(ωt+φ) là tín hiệu hình sin có biên độ giảm dần
*
σ>0, ω≠0 v(t) = Ve
σt
cos(ωt+φ) là tín hiệu hình sin có biên độ tăng dần
*
σ<0, ω=0 v(t) = V
O
e

σt
là tín hiệu mũ có biên độ giảm dần
*
σ>0, ω=0 v(t) = V
O
e
σt
là tín hiệu mũ có biên độ tăng dần



___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập

LÝ THUYẾT
MẠCH


________________________________________________________Chương 7
Tần số
phức
-
2



(H 7.1)

Nhắc lại đơn vị của ω là rad/s, φ là radian hay độ. σ có đơn vị là 1/s(s
-1

).
σ có quan hệ với tần số tự nhiên , σt có đơn vị là Neper (Np) và ta gọi σ là tần số Neper với
đơn vị Np/s.

Thí dụ 7.1
Tìm đáp ứng ép i(t) của mạch (H 7.2). Cho v(t)=25e
-t
cos2t

Phương trình mạch điện



cos2t25e5
dt
d
2
t−
=+ i
i
(1)
Đáp ứng ép i(t) có dạng
i(t)= e
-t
(Acos2t+Bsin2t) (2)
Lấy đạo hàm (2) thay vào (1)
(3A+4B)e
-t
cos2t+(-4A+3B) e
-t

sin2t=25e
-t
cos2t
⇒ 3A+4B=25 (3)
-4A+3B=0 (4)
Giải (3) và (4) được A=3 và B=4
Vậy i(t)= e
-t
(3cos2t+4sin2t)
Hay i(t)= 5e
-t
(cos2t-53,1
o
)
Như vậy đáp ứng ép đối với tín hiệu hình sin có biên độ giảm dần cũng là tín hiệu hình
sin có biên độ giảm dần.

7.2 TẦN SỐ PHỨC
(Complex frequency)
Nhắc lại, trong chương 6, một nguồn hình sin
v(t)= Vcos(ωt+φ) (7.2)
Có thể đặc trưng bởi vectơ pha
V=Ve
jφ
=V∠φ (7.3)
Thực chất v(t) chính là phần thực của Ve
jωt
v(t) = Vcos(ωt+φ)
= Re[Ve
jφ

e
jωt
] (7.4)
Bây giờ xét đến nguồn kích thích
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập

LÝ THUYẾT
MẠCH


________________________________________________________Chương 7
Tần số
phức
-
3
v(t)= Ve
σt
cos(ωt+φ) (7.5)
Do tính chất và các phép tính trên hàm sin có biên độ thay đổi theo hàm mũ không
khác gì với hàm sin nên ta có thể mở rộng khái niệm vectơ pha cho trường hợp này.
Viết lại (7.5)
v(t) = Ve
σt
cos(ωt+φ)
= Re[Ve
σt
e
j(ωt+φ)
]

=

Re[Ve
jφ
e
(σ+jω)t
]
Nếu chúng ta định nghĩa
s=σ +jω (7.6)

Ta được
v(t)= Re[Ve
jφ
e
st
]=Re[V e
st
] (7.7)
So sánh (7.7) và (7.4) ta thấy hệ thức (7.7) chính là (7.4) trong đó jω đã được thay thế
bởi s=σ +jω. Điều này có thể dẫn đến kết luận: Những gì đã thực hiện được với hàm sin cũng
thực hiện được với hàm sin có biên độ thay đổi theo hàm mũ.
Để phân biệt hai trường hợp ta có thể dùng ký hiệu V(s) và V(jω)
Thí dụ, vectơ pha đặc trưng cho
v(t)=25e
-t
cos2t là V (s)=25∠0
o
với s=σ +jω=-1+j2
Do s là một số phức có thứ nguyên là tần số nên được gọi là tần số phức.

Các thành phần của s là
σ = Re[s] Np/s
ω =Im[s] rad/s

Thí dụ 7.2
Tìm đáp ứng ép v
O
(t) của mạch (H 7.3). Cho i(t)=e
-t
cost
Viết KCL cho mạch

(H 7.3)


(t)3
dt
d
O
O
iv
v
=+

Thay các vectơ pha tương ứng
sV
O
(s)+3V
O
(s) = I (s)

3s+
=
)s(
)s(
O
I
V

Với s=-1+j, I(s)=1∠0
o

°∠
°
∠
=
+
°
∠
=
5,26
)s(
O
5
01
j2
01
V

°−∠= 26,5

5
1
)s(
O
V và )26,5cos(te
5
1
(t)
t
O
°−=
−
v


7.3 TỔNG TRỞ VÀ TỔNG DẪN PHỨC

Với các kết quả có được khi mở rộng khái niệm vectơ pha trong đó jω đã được thay
thế bởi s=σ +jω, ta có thể mở rộng khái niệm tổng trở và tổng dẫn phức.
Trong lãnh vực tần số phức (gọi tắt là lãnh vực s) Các đại lượng được ký hiệu với
chữ s để phân biệt với trường hợp khác

(s)
(s)
(s)
I
V
Z =

___________________________________________________________________________

Nguyễn Trung Lập

LÝ THUYẾT
MẠCH


________________________________________________________Chương 7
Tần số
phức
-
4
Được gọi là tổng trở phức. (hay vắn tắt là tổng trở nếu mạch đã được chuyển sang lãnh
vực tần số).
Một cách tổng quát, tổng trở phức của một phần tử có được từ Z(jω) của phần tử này
và thay jω bởi s.
]
Điện trở Z
R
=R ⇒ Z
R
(s)=R
]
Cuộn dây Z
L
= jωL=ωL∠90
o
, ⇒ Z
L
(s)= sL
]

Tụ

điện Z
C
= -j/ωC=1/ωC∠-90
o
⇒ Z
C
(s)= 1/sC
Tổng dẫn phức:
(s)
(s)
(s)
(s)
V
I
Z
Y ==
1

]
Điện trở Y
R
(s)=1/R
]
Cuộn dây Y
L
(s)= 1/sL
]
Tụ

điện Y
C
(s)= sC
Đến đây chắc chúng ta thấy ngay một điều hiển nhiên là tất cả các định luật và định lý
mạch điện cũng như các phương trình vòng, nút . . . đều áp dụng được trong lãnh vực tần số.

Thí dụ 7.3
Giải lại Thí dụ 7. 1 bằng cách dùng tổng trở phức.

Mạch được vẽ lại trong lãnh vực s (H 7.4)

(H 7.4)

Ta có Z(s)= 5+ 2s
V(s)= 25∠0
o

2s5
025
(s)
(s)
(s)
+
°
∠
==
Z
V
I

Với s=-1+j2

°−∠=
°∠
°∠
=
+
°
∠
=
++
°
∠
= 53,15
53,15
025
j43
025
j2)2(-15
025
(s)I


suy ra i(t)= 5e
-t
(cos2t-53,1
o
)

Thí dụ 7.4
Tìm đáp ứng ép v
O
(t) của mạch (H 7.5). Cho v
g
(t)=e
-2t
cos4t (V)


(H 7.5)

Vẽ lại mạch trong lãnh vực s
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập

LÝ THUYẾT
MẠCH


________________________________________________________Chương 7
Tần số
phức
-
5

(H 7.6)

Viết phương trình nút V
1
và V
2
0
4
s
2
1
)
4
s
1
2
1
(
O2g1
=−−−++ VVVV
(1)
0)
4
s
(1
12
=+ V -V
(2)
Giải hệ phương trình
Để ý
2
O

2
V
V =
(3)
(s)
82ss
16
g
2
O
VV
+
+
=
)s(
(4)
Với v
g
(t)=e
-2t
cos4t ⇒ V
g
(s)=1∠0
o
; s=-2+j4
Thay các giá trị này vào (4), sau khi rút gọn:
°−∠= 1352)s(
O
V
⇒ v

O
(t)=
2
e
-2t
(cos4t-135
o
)

Thí dụ 7.5
Xác định
(s)
(s)
(s)
i
O
V
V
H =
của mạch (H 7.7a)
Tìm đáp ứng ép v
O
(t)ứng với
*
v
i
(t)= 5e
-3t
(cost-10
o

) (V)
*
v
i
(t)= 10(cos10t-20
o
) (V)
*
v
i
(t)= 10e
-t
(V)
*
v
i
(t)= 10 (V)
Vẽ lại mạch trong lãnh vực s (H 7.7b)


(a) (H 7.7) (b)


Vẽ lại mạch trong lãnh vực s (H 7.7b)
Phương trình nút ở V
0
s/5110/s1s/10
i
=
+

+
+
+
− VVVV


___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập

LÝ THUYẾT
MẠCH