De thi chon HS gioi TX

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD & ĐT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ. ĐỀ THI HS GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011 - 2012. Khoá ngày 02 tháng 11 năm 2011 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề).. ĐỀ CHÍNH THỨC. (Chú ý: Đề này gồm có 01 trang. Học sinh làm bài trên tờ giấy thi do HĐCT phát). Bài 1: (4,5 điểm) 1 1   x 1    : x   x  3  x1. x 3   x  1 . . Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm x để Bài 2: (4,5 điểm). P . P . với x  0, x 1& x 9. 1 2. a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2 2x  5.  b) Cho x, y là các số thoả mãn:. x2  9  x. . . y 2  9  y 9. 2011 2011 Hãy tính giá trị của biểu thức: A x  y  1. Bài 3: (4,0 điểm) 1 11 1      a) Với a, b > 0 chứng minh: a  b 4  a b  . Dấu “=” xảy ra khi nào? 1 1 1   8 x y z b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn: M Tìm giá trị lớn nhất của. 1 1 1   2x  y  z x  2y  z x  y  2z. Bài 4: (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD (HAD); kẻ CK vuông góc với AB (KAB). a) Chứng minh KBC đồng dạng HDC . b) Chứng minh HCK đồng dạng ABC , suy ra HK = AC.sinBAD c) Chứng minh AB.AK + AD.AH = AC2 Bài 5: (2,0 điểm) Cho ABC vuông tại A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng: AC AB  4 MH MK. Lưu ý :. -------------------------Hết------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GD – ĐT TX QUẢNG TRỊ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 Năm học : 2011 – 2012 Môn : TOÁN. Khoá ngày: 02/11/2011 (Chú ý: Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang).. Bài 1: (4,5 điểm) a) Với x  0, x 1& x 9 , ta có: 1   x 1 x 3  1 P   :     x   x  3 x  1   x1 . x  x 1 : x. x  1. . . Vậy. . x 1 .. . 1  : x. x  1 . .    1 : x.  x  1 P.    x  3 . .  x  1. x1 . x 3 .. x3.  (0,75 điểm). x  1 x  9 x 3 . x1.  x  3 . .  x  1. (0,75 điểm). 8. (0,75 điểm). x 3 8 x. (0,50 điểm). b) Với x  0, x 1& x 9 , ta có: 1 x 3 1 P     2 2 2 8 x. . . x  3  8 x. (0,50 điểm). x  3  4 x  5 x 3 3 9  x   x 5 25 (TMĐK) 9 1 x P  25 thì 2 Vậy với. (0,50 điểm). . (0,50 điểm) (0,25 điểm). Bài 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2 2x  5 5 2x  5 0  x  2 Điều kiện 2 Ta có: x2 + 6x + 10 = 2 2x  5  (x  4x  4)  (2x  5)  2 2x  5 1 0  (x  2) 2 . . . 2. 2x  5  1 0. (1,25 điểm).  x  2 0   x  2  2x  5  1 0. b) Cho x, y là các số thoả mãn:. . 2. x 9  x. Từ. . x2  9  x. . x2  9  x. 2011. (0,75 điểm). . 2. y  9  y 9. 2011. y. . y 2  9  y 9. Hãy tính giá trị của biểu thức: A x (*) . . (0,25 điểm). (*). 1.  . x2  9  x. .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 9. .  . . y2  9  y 9. x2  9  x. . y 2  9  y  x 2  9  x (1). (0,75 điểm). 2 2 Tương tự ta có: x  9  x  y  9  y (2) Lấy (1) cộng với (2) ta có : y =  x 2011 2011 2011 2011 Suy ra A x  y  1 x  x  1 1. (0,75 điểm). Vậy A = 1. (0,75 điểm). Bài 3: (4,0 điểm) 1 11 1      a) Với a, b > 0 chứng minh: a  b 4  a b  . Dấu “=” xảy ra khi nào? Với a, b > 0 ta có: (a – b)2 0  a2 + b2 2ab  ( a + b )2  4ab (0,75 điểm) 4ab 1 a b ab     ab a  b 4ab (0,75 điểm) 1 11 1      a  b 4  a b  . Dấu “ = ” xảy ra  a = b. (0,50 điểm) 1 1 1   8 b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn: x y z 1 1 1 M   2x  y  z x  2y  z x  y  2z Tìm giá trị lớn nhất của Vì x, y, z là các số dương, áp dụng bất đẳng thức ở câu a) ta có : 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 2 1 1               2x  y  z x  y  x  z 4  x  y x  z  16  x y x z  16  x y z  (1). (0,50 điểm) 1 1 1 1 1  1  1 1 1 1 1 1 2 1               x  2y  z x  y  y  z 4  x  y y  z  16  x y y z  16  x y z  (2). (0,50 điểm) 1 1 1 1 1  1  1 1 1 1 1  1 1 2               x  y  2z x  z  y  z 4  x  z y  z  16  x z y z  16  x y z  (3). (0,50 điểm) 1 1 1 11 1 1 1 M         .8 2 2x  y  z x  2y  z x  y  2z 4  x y z  4 Từ(1); (2); (3) suy ra 1 1 1 3   8 ( vì x y z ) Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 8 Vậy. M max 2  x y z . Bài 4: (5,0 điểm). 3 8. (0,50 điểm) Vẽ hình đúng: (0,25 điểm).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> K. B. A N M. C. D. H. a) Chứng minh được ∆KBC ~∆HDC (g.g) b) Chứng minh được ∆HCK ~∆ABC (c.g.c) Từ ∆HCK ~ ∆ABC  =  KH = AC. = AC.sinKBC. Mà KBC = BAD (2 góc đồng vị)  KH = AC.sinBAD. c) Kẻ BM  AC tại M (hoặc DN  AC tại N ) như hình vẽ. Ta có: ∆ABM ~∆ACK (g.g) và ∆CMB ~∆AHC (g.g)  AB.AK = AM.AC và BC.AH = AC.MC = AD.AH (Vì AD = BC)  AB.AK + AD.AH = AC(AM + MC)  AB.AK + AD.AH = AC.AC = AC. (1,25 điểm) (1,25 điểm) (0,50 điểm) (0,50 điểm). Bài 5: (2,0 điểm) Ta có AB.MH + AC.MK = 2SABC . 2.SABC AC AB    MH MK MH.MK .. (0,75 điểm) (0,50 điểm). (0,50 điểm). Đặt S = SABC ; S1 = SAMB ; S2 = SAMC Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có: S S1  S2 2 S1S2  4S1S2 S2. (0,50 điểm). Do đó: 2.SABC AC AB 2.S 4.S2 4.S2      4 MH MK 2S1 . 2S2 4S1S2 4S1S2 S2 AB AC 2S (Vì AB.AC = 2S) AC AB  4 Vậy: MH MK. (0,75 điểm). B. Vẽ hình đúng. H. A. (0,25 điểm). M. K. C. */ Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đáp án, nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> - Điểm toàn bài không làm tròn..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>