CON LAC LO XO DE LUYỆN THI THPT QG

Chủ đề 1. CHU KÌ CON LẮC LỊ XO
Con lắc lò xo: gồm vật nhỏ khối lượng m gắn vào đầu một lị xo nhẹ có độ cứng k,
thường thì lò xo được treo thẳng đứng hoặc đặt nằm ngang.
k
(rad/s), k: độ cứng của lò xo (N/m), m: khối lượng vật nặng (kg)
m

* Tần số góc: ω =
* Chu kì: T =

2π

ω

m
(s)
k

= 2π

1 k
ω
=
(Hz)
2π 2π m
* Lưu ý: Đối với con lắc lị xo treo thẳng đứng thì tại vị trí cân

* Tần số: f =

bằng ta có: P = Fđh ⇔ mg = k∆l0 ⇒

k
g
=
do đó ta cịn có cơng
m ∆l0

thức tính tần số góc, chu kì, tần số là:
ω=

k
g
m
∆l0
1
=
; T = 2π
= 2π
; f =
m
∆l0
k
g
2π

k
1
=
m 2π

1. Ghép lò xo

* Ghép nối tiếp
Gọi k là độ cứng của hệ thì:

k
k1k 2
=
m
m(k1 + k 2 )

Tần số góc của hệ: ω =

m
m(k1 + k 2 )
= 2π
k
k1k 2

Chu kì của hệ: T = 2π
Nếu

có

n

lị

1 1 1
= +
k k1 k 2

xo

ghép

nối

tiếp

thì:

1 1 1
1
= + + ... +
k k1 k 2
kn

Nếu có N lị xo giống nhau ghép nối tiếp thì: k =
* Ghép song song
Gọi k là độ cứng của hệ thì: k = k1 + k2
Tần số góc của hệ: ω =
Chu kì của hệ: T = 2π

k
k +k
= 1 2
m
m
m
m
= 2π

k
k1 + k 2

Nếu có n lị xo ghép song song thì:
k = k1 + k 2 + ... + k n

k1
N

g
∆l0


Nếu có N lị xo giống nhau ghép song song thì: k = Nk1
* Ghép đối xứng
Gọi k là độ cứng của hệ thì: k = k1 + k2
Tần số góc của hệ: ω =
Chu kì của hệ: T = 2π

k
k +k
= 1 2
m
m
m
m
= 2π
k
k1 + k 2

Nếu có n lị xo ghép đối xứng thì: k = k1 + k 2 + ... + k n
Nếu có N lị xo giống nhau ghép đối xứng thì: k = Nk1
2. Cắt lị xo
Cắt lị xo có chiều dài tự nhiên l0 , độ cứng k0 thành n lị xo có chiều dài lần lượt là
l1 ; l2 ;...; ln và có độ cứng lần lượt là k1; k 2 ;...; k n . Ta có: k0l0 = k1l1 = k2l2 = ... = knln

3. Một số dạng bài tập
* Dạng 1: Một lị xo có độ cứng k, khi gắn vào lị xo một vật có khối lượng m1 thì
chu kì dao động là T1, khi gắn vào lị xo một vật có khối lượng m2 thì chu kì dao động là T2.
Tính chu kì con lắc khi gắn cả hai vật vào lị xo?
Giải: Ta có

m1
m
⇒ T12 = 4π 2 1
T1 = 2π
k
k


T = 2π m2 ⇒ T 2 = 4π 2 m2
2
 2
k
k

(1)

Khi gắn cả hai vật:
T = 2π

m1 + m2
 m + m2 
2 m
2 m2
⇒ T 2 = 4π 2  1
 = 4π 1 + 4π
k
k
k
 k 

( 2)

Từ (1) và (2) ta thấy: T 2 = T12 + T22
Tương tự nếu đề cho n vật cùng gắn vào lị xo thì: T 2 = T12 + T22 + ... + Tn2
* Dạng 2: Hai lị xo có độ cứng lần lượt là k1, k2. Treo vật nặng m vào từng lị xo thì
chu kì dao động lần lượt là T1, T2. Tính chu kì dao động khi treo vật m vào hai lò xo trên
ghép nối tiếp, ghép song song?
Giải: Tương tự như trên ta có:

m
m
⇒ T12 = 4π 2
T1 = 2π
k1
k1


T = 2π m ⇒ T 2 = 4π 2 m

2
 2
k2
k1


(1)

- Hai lò xo ghép nối tiếp:
T = 2π

m(k1 + k 2 )
m(k1 + k 2 )
m
m
⇒ T 2 = 4π 2
= 4π 2 + 4π 2
(2)
k1k 2
k1k 2
k2
k1

Từ (1) và (2) ta thấy: T 2 = T12 + T22


Nếu có n lị xo ghép nối tiếp thì: T 2 = T12 + T22 + ... + Tn2
- Ghép song song:
T = 2π

m
m
⇒ T 2 = 4π 2
Ta thấy không thể tách ra thành 2 phân số được giờ
k1 + k 2
k1 + k 2

ta nghịch đảo lại thì T 2 = 4π 2
Từ (1) và (3) suy ra:

m
1 k +k
k
k
⇒ 2 = 1 2 2 = 12 + 22 (3)
k1 + k 2
T
4π m 4π m 4π m

1
1
1
= 2+ 2
2
T
T1 T2
1
1
1
1

= 2 + 2 + ... + 2
2
T
T1 T2
Tn

Nếu có n lị xo ghép song song thì:

* Dạng 3: Một con lắc lị xo có chiều dài ban đầu l0 , độ cứng k0 vật nặng có khối
lượng m0 thì dao động với chu kì T0 . Nếu cắt lị xo trên thành hai lị xo có chiều dài lần lượt
1
3

2
3

là l1 = l0 ; l2 = l0 và vẫn treo vật nặng khối lượng m0 như trên vào từng lị xo thì chu kì dao
động của chúng bằng bao nhiêu?
Giải:
k0l0 = k1l1 = k 2l2
k1 = 3k 0


Ta có  1
2 ⇒
3 (1)
l1 = 3 l0 ; l2 = 3 l0
k 2 = 2 k0

T0 = 2π

m0
;
k0

T1 = 2π

m0
;
k1

T2 = 2π

m0
k2

Lập tỉ số và lưu ý đến (1) ta được kết quả.
T1
k
k0
1
T
= 0 =
=
⇒ T1 = 0
T0
k1
3k0
3
3

T2
k
= 0 =
T0
k2

2k 0
2
2
=
⇒ T2 = T0
3k0
3
3

* Dạng 4: Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m, lò xo có độ cứng k dao
động với chu kì T, nếu ta gắn thêm vào vật nặng m một vật có khối lượng M thì chu kì dao
động của hệ là bao nhiêu?
Giải: Ta có: T = 2π

m
;
k

T ' = 2π

m+M
lập tỉ số
k

T'
m+M
m+M
=
⇒ T'= T
T
m
m

* Dạng 5: Gắn một vật có khối lượng m1 vào lị xo thì hệ dao động với chu kì T1,
gắn vật khối lượng m2 vào lị xo trên thì hệ dao động với chu kì T2. Nếu gắn cả hai vật vào
lị xo đó thì chu kì dao động của hệ là bao nhiêu?
Giải:



m1
m
⇒ T12 = 4π 2 1
T1 = 2π
k
k


m2
m
⇒ T22 = 4π 2 2
⇒ T 2 = T12 + T22
T2 = 2π
k

k


m1 + m2
m + m2
⇒ T 2 = 4π 2 1
T = 2π
k
k


BÀI TẬP
1. Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m, lị xo có độ cứng k. Hệ dao động với chu
kì T. Độ cứng của lị xo tính theo m và T là:
2π 2 m
4π 2 m
π 2m
4πm
A. k = 2
B. k = 2
C. k = 2
D. k = 2
T

T

4T

T

2. Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m, lị xo có độ cứng k. Kích thích cho vật dao
động với biên độ 4 cm thì chu kì dao động của vật là 4 s. Nếu kích thích cho vật dao động
với biên độ 8 cm thì chu kì dao động của vật là bao nhiêu?
A. 2 s
B. 4 s
C. 8 s
D. 16 s
3. Một vật có khối lượng m gắn vào đầu dưới của một lị xo có độ cứng k treo thẳng đứng
thì chu kì dao động của vật là T và độ dãn của lị xo tại vị trí cân bằng là ∆l0 . Nếu tăng khối
lượng của vật nặng lên gấp đơi và giảm bớt độ cứng của lị xo đi một nửa thì
A. chu kì tăng 2 lần, độ dãn của lị xo tại vị trí cân bằng tăng gấp đơi.
B. chu kì tăng lên gấp 4 lần, độ dãn của lị xo tại vị trí cân bằng tăng 2 lần.
C. chu kì khơng đổi, độ dãn của lị xo tại vị trí cân bằng tăng 2 lần.
D. chu kì tăng lên gấp 2 lần, độ dãn của lị xo tại vị trí cân bằng tăng 4 lần.
4. Gắn một vật khối lượng m vào đầu một lò xo treo thẳng đứng, làm lò xo dãn ra một đoạn
6,4 cm khi vật ở vị trí cân bằng, cho g = π 2 = 10m / s 2 . Chu kì dao động của vật là:
A. 0,5 s
B. 0,16 s
C. 5 s
D. 0,2 s
5. Tại mặt đất con lắc lị xo dao động với chu kì 2 s, khi đưa con lắc này lên mặt trăng thì
A. con lắc không dao động.
B. con lắc dao động với tần số vô cùng lớn.
C. con lắc vẫn dao động với chu kì 2 s.
D. chu kì con lắc sẽ phụ thuộc vào cách kích thích và cường độ kích thích ban đầu.
6. Con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m, lị xo có độ cứng 1 N/cm. Con lắc thực hiện
100 dao động toàn phần trong thời gian 31,41 s. Vậy khối lượng của vật nặng là:
A. m = 0,2 kg
B. m = 62,5 g
C. m = 250 kg

D. m = 250 g
7. Một vật có khối lượng 200 g được treo vào đầu dưới của một lò xo có độ cứng 80 N/m
đặt thẳng đứng. Vật được kéo theo phương thẳng đứng đến vị trí lị xo bị dãn 12,5 cm rồi
thả nhẹ cho dao động. Hỏi tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng và gia tốc của vật ở vị trí
biên là bao nhiêu? Cho g = 10 m/s2.
A. vvtcb = 2 m / s; avtb = 40 cm / s 2

B. vvtcb = 1,4 m / s; avtb = 0 m / s 2

C. vvtcb = 1 m / s; avtb = 4 m / s 2

D. vvtcb = 2 m / s; avtb = 40 m / s 2


8. Một vật có khối lượng m khi mắc vào lị xo có độ cứng k1 thì vật dao động với chu kì 0,4
s, nếu mắc vào lị xo có độ cứng k2 thì nó dao động với chu kì 0,3 s. Ghép nối tiếp hai lò xo
trên lại với nhau rồi mắc vật trên vào thì chu kì dao động của hệ là:
A. 0,5 s
B. 0,7 s
C. 0,24 s
D. 0,1 s
9. Một vật có khối lượng m khi mắc vào lị xo có độ cứng k1 thì vật dao động với chu kì 0,4
s, nếu mắc vào lị xo có độ cứng k2 thì nó dao động với chu kì 0,3 s. Ghép song song hai lị
xo trên lại với nhau rồi mắc vật trên vào thì chu kì dao động của hệ là:
A. 0,5 s
B. 0,7 s
C. 0,24 s
D. 0,1 s
10. Lần lượt gắn hai quả cầu có khối lượng m1 và m2 vào cùng một lò xo, khi gắn vật m1 thì
hệ dao động với chu kì 0,6 s, khi gắn vật m2 thì hệ dao động với chu kì 0,8 s. Tính chu kì

dao động của hệ nếu gắn cả hai vật vào lò xo?
A. 0,2 s
B. 1 s
C. 1,4 s
D. 0,7 s
11. Một con lắc lò xo gồm vật nặng gắn vào một lò xo có chiều dài tự nhiên l0 thì chu kì
dao động là T, cắt lị xo bớt một nửa thì chu kì dao động là T'. So sánh T và T'?
A. T ' =

T
2

B. T ' = 2T

C. T ' = T 2

D. T ' =

T
2

12. Gắn lần lượt hai quả cầu có khối lượng m1 và m2 vào một lị xo và cho chúng dao động.
Trong cùng một khoảng thời gian, quả cầu m1 thực hiện được 10 dao động còn quả cầu m2
thực hiện được 5 dao động. So sánh m1 và m2?
A. m2 = 2m1
B. m2 = m1 2
C. m2 = 4m1
D. m2 = m1.2 2
13. Để đo khối lượng các phi hành gia ngồi khơng gian vũ trụ nơi khơng có trọng lượng
người ta làm như sau: Cho phi hành gia ngồi cố định vào một chiếc ghế có khối lượng m

được gắn vào lị xo có độ cứng k thì thấy hệ dao động với chu kì T (có thể đo bằng đồng hồ
đếm giây). Tìm biểu thức xác định khối lượng M của phi hành gia?
A. M =

kT 2
+m
4π 2

B. M =

kT 2
−m
4π 2

C. M =

kT 2
−m
2π 2

D. M =

kT 2
−m
4π

14. Cho các lò xo giống nhau, khi treo vật m vào một lò xo thì hệ dao động với tần số là f.
Nếu ghép 5 lò xo nối tiếp với nhau rồi vẫn treo vật nặng trên vào thì hệ dao động với tần số
bằng
A. f 5

B.

f
5

C. 5f

Chủ đề 2. CHIỀU DÀI LÒ XO, LỰC ĐÀN
HỒI, LỰC HỒI PHỤC
1. Trường hợp con lắc lò xo treo thẳng đứng
* Chiều dài lị xo
Tại vị trí có li độ x bất kì thì l = l0 + ∆l0 + x

D.

f
5


lmax = l0 + ∆l0 + A
l = l + ∆l − A

0
Do đó ta có:  min 0
lVTCB = l0 + ∆l0 = (lmax + lmin ) / 2
 A = (lmax − lmin ) / 2
l0 : Chiều dài tự nhiên của lò xo (chưa treo vật)
∆l0 =

mg
g T 2g
= 2 =
: độ dãn ban đầu của lò xo
k
ω
4π 2

* Lực đàn hồi của lị xo
r
Cơng thức: Fđh = − k .∆l trong đó ∆l là độ biến dạng của lò xo (độ dãn hoặc độ nén
của lò xo). Từ công thức trên ta thấy lực đàn hồi (trái dấu) ngược chiều với độ biến dạng
của lò xo.
Độ lớn lực đàn hồi tại vị trí có li độ x bất kì: Fđh = k ∆l = k ∆l0 + x lưu ý là nếu x<0 (ví
dụ x = - 3 cm) thì vẫn thay vào cơng thức trên là số âm (- 3 cm)
Trong quá trình dao động của vật thì:
Độ lớn lực đàn hồi cực đại: Fđh max = k (∆l0 + A) đây là lực kéo lớn nhất của lò xo.

= k (∆l0 − A) khi ∆l0 > A
F
Độ lớn lực đàn hồi cực tiểu:  đh min
F
 đh min = 0 khi ∆l0 ≤ A

+ Trong trường hợp ∆l0 ≥ A thì lị xo ln bị dãn trong suốt quá trình dao động.
+ Trong trường hợp ∆l0 < A thì lị xo có thời gian bị nén và bị dãn (như hình vẽ),
lực nén (cũng là lực đàn hồi) lớn nhất của lò xo sẽ là: Fnén max = k ( A − ∆l0 )
Trong một chu kì dao động T thì thời gian lị xo bị nén, bị dãn là:
2∆ϕ
2∆ϕ

∆l
∆tnén =
; ∆tdãn = T −
; cos ∆ϕ = 0
ω
ω
A
Đề bài thường hỏi lực mà lò xo tác dụng lên giá treo hay lực mà lị xo tác dụng lên
vật thì đó chính là lực đàn hồi.
* Chú ý: Nếu chiều dương không hướng xuống như hình vẽ mà hướng lên thì ta có:
Fđh = k ∆l0 − x ; l = l0 + ∆l0 − x nhưng các giá trị min, max vẫn không thay đổi.

2. Trường hợp con lắc lò xo đặt nằm ngang
Ta vẫn áp dụng các công thức trên nhưng lưu ý
rằng ∆l0 = 0
* Chiều dài lị xo
Tại vị trí có li độ x bất kì: l = l0 + x
lmax = l0 + A
l = l − A

Do đó ta có:  min 0
lVTCB = l0 = (lmax + lmin ) / 2
 A = (lmax − lmin ) / 2
l0 : Chiều dài tự nhiên của lò xo (chưa gắn vật)

-A

nén

A

dãn


* Lực đàn hồi của lị xo
r
Cơng thức: Fđh = − k .∆l trong đó ∆l là độ biến dạng của lò xo (độ dãn hoặc độ nén
của lò xo). Từ công thức trên ta thấy lực đàn hồi (trái dấu) ngược chiều với độ biến dạng
của lò xo.
Độ lớn lực đàn hồi tại vị trí có li độ x bất kì: Fđh = k ∆l = k x
Trong quá trình dao động của vật thì:
Độ lớn lực đàn hồi cực đại: Fđh max = kA (khi vật ở biên) đây là lực kéo lớn nhất và
cũng là lực nén lớn nhất của lò xo.
Độ lớn lực đàn hồi cực tiểu: Fđh min = 0 (khi vật ở vị trí cân bằng)
Trong một chu kì dao động T thì thời gian lò xo bị nén, bị dãn là:
∆tnén = ∆tdãn =

T
2

3. Trường hợp lò xo đặt thẳng đứng vật nặng ở phía trên
* Chiều dài lị xo
Chiều dài lị xo tại vị trí có li độ x bất kì:
l = l0 − ∆l0 + x

lmax = l0 − ∆l0 + A
l = l − ∆l − A

0
Do đó:  min 0
lVTCB = l0 − ∆l0 = (lmax + lmin ) / 2

 A = (lmax − lmin ) / 2
∆l0 =

A

dãn

O nén
-A

mg
g T 2g
= 2 =
độ nén của lò xo tại VTCB
k
ω
4π 2

* Lực đàn hồi
r
Công thức: Fđh = − k .∆l trong đó ∆l là độ biến dạng của lò xo (độ dãn hoặc độ nén
của lò xo). Từ công thức trên ta thấy lực đàn hồi (trái dấu) ngược chiều với độ biến dạng
của lò xo.
Độ lớn lực đàn hồi tại vị trí có li độ x bất kì: Fđh = k ∆l = k ∆l0 − x lưu ý là nếu x<0 (ví
dụ x = - 3 cm) thì vẫn thay vào cơng thức trên là số âm (- 3 cm)
Trong quá trình dao động của vật thì:
Độ lớn lực đàn hồi cực đại: Fđh max = k (∆l0 + A) tại vị trí biên âm, đây là lực nén lớn
nhất của lò xo.

= k (∆l0 − A) khi ∆l0 > A

F
Độ lớn lực đàn hồi cực tiểu:  đh min
F
 đh min = 0 khi ∆l0 ≤ A

+ Trong trường hợp ∆l0 ≥ A thì lị xo ln bị nén trong suốt q trình dao động.
+ Trong trường hợp ∆l0 < A thì lị xo có thời gian bị nén và bị dãn (như hình vẽ),
lực kéo (cũng là lực đàn hồi) lớn nhất của lò xo sẽ là: Fkéo max = k ( A − ∆l0 )
Trong một chu kì dao động T thì thời gian lò xo bị nén, bị dãn là:


∆tdãn =

2∆ϕ

; ∆tnén = T −

2∆ϕ

; cos ∆ϕ =

∆l0
A

ω
ω
* Chú ý: Nếu chiều dương khơng hướng lên như hình vẽ mà hướng xuống thì ta có:
Fđh = k ∆l0 + x ; l = l0 − ∆l0 − x nhưng các giá trị min, max vẫn không thay đổi.

5. Lực hồi phục: còn gọi là lực kéo về là hợp lực (tổng các lực) tác dụng lên vật, lực này

gây ra dao động điều hịa cho vật.
r
r
r
r
Cơng thức: Fhp = − kx = ma = − mω 2 x = − kA cos(ωt + ϕ ) như vậy lực hồi phục cũng biến
thiên điều hòa cùng tần số với li độ x nhưng trái dấu (ngược pha) với li độ x, lực hồi phục
ln hướng về vị trí cân bằng (giống như gia tốc a).
Độ lớn lực hồi phục: Fhp = k x

 Fhp max = kA (VTBiên)
Do đó độ lớn lực hồi phục cực đại, cực tiểu: 
 Fhp min = 0 (VTCB )

* Lưu ý: Trong các công thức trên chỗ nào có li độ x thì thay giá trị đại số của x vào (tức
là nếu x<0 thì vẫn thay vào như vậy, các em thường sai là cứ thay vào tồn là số dương)
Đơi khi đề bài không hỏi độ lớn lực hồi phục cực đại, cực tiểu mà chỉ hỏi lực hồi
phục cực đại, cực tiểu tức là hỏi cả về chiều và độ lớn thì khi đó:
r
r
Fhp max = kA; Fhp min = − kA

Khi nâng hay kéo vật đến vị trí cách vị trí cân bằng một đoạn X nào đó thì lực nâng
hay kéo đó là F = kX và nếu lúc đó thả nhẹ vật ra cho dao động thì biên độ A=X.
r
r
Một vật chịu tác dụng của hợp lực có biểu thức F = −kx thì vật đó ln dao động
điều hòa.
BÀI TẬP
1. Con lắc lò xo dao động điều hịa thì

A. lực đàn hồi của lị xo ln khác 0.
B. lực hồi phục cũng là lực đàn hồi của lò xo.
C. lực đàn hồi của lò xo bằng 0 khi vật ở vị trí cân bằng.
D. lực hồi phục bằng 0 khi vật ở vị trí cân bằng.
2. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với biên độ A, độ biến dạng của lò
xo khi vật ở vị trí cân bằng là ∆l0 (biết ∆l0 > A ). Gọi Fmax ; Fmin ; F0 lần lượt là lực đàn hồi cực
đại, lực đàn hồi cực tiểu và lực hồi phục cực đại trong quá trình vật dao động. Hệ thức nào
sau đây là đúng?
A. F0 = Fmax − Fmin
B. F0 = 0,5(Fmax + Fmin )
C. F0 = 0,5(Fmax − Fmin )

D. F0 = Fmax + Fmin

3. Một con lắc lị xo có độ cứng k treo thẳng đứng, đầu trên cố định đầu dưới gắn vật có
khối lượng m, độ dãn của lị xo tại vị trí cân bằng là ∆l0 . Từ vị trí cân bằng nâng vật lên đến
vị trí cách vị trí cân bằng một đoạn A rồi thả nhẹ. Tính lực F nâng vật trước khi dao động?


A. F = k∆l0

B. F = k (∆l0 + A)

C. F = kA

D. F = k A − ∆l0

4. Xét con lắc lị xo treo thẳng đứng thì đồ thị biểu diễn lực đàn hồi của lò xo tác dụng lên
vật theo li độ có dạng:
A. là đoạn thẳng khơng đi qua gốc tọa độ.

B. là đường thẳng qua gốc tọa độ.
C. là đường elip.
D. là đồ thị hàm sin.
5. Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng 100 g treo vào đầu dưới của một lò xo có độ
cứng 20 N/m. Vật dao động theo phương thẳng đứng trên quỹ đạo dài 10 cm, chọn chiều
dương hướng xuống gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng. Lực căng cực tiểu của lò xo là? (g = 10
m/s2)
A. Fmin = 0 N tại vị trí x = +5cm

B. Fmin = 2 N tại vị trí x = +5cm

D. Fmin = 1 N tại vị trí x = −5cm
C. Fmin = 0 N tại vị trí x = −5cm
6. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng khối lượng 100 g, lị xo có độ cứng 100
N/m. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x = + 2 cm và truyền cho vật vận tốc
v = +20π 3 cm / s theo phương của lò xo. Cho g = π 2 = 10 m / s 2 . Lực đàn hồi cực đại và

cực tiểu của lò xo là
A. Fmax = 5 N ; Fmin = 4 N

B. Fmax = 5 N ; Fmin = 0 N

C. Fmax = 500 N ; Fmin = 400 N

D. Fmax = 500 N ; Fmin = 0 N

7. Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng 200 g treo vào đầu dưới của một lị xo có độ
cứng 40 N/m đặt thẳng đứng, đầu trên cố định. Vật dao động theo phương thẳng đứng trên
quỹ đạo dài 10 cm. Cho biết chiều dài tự nhiên của lò xo là 40 cm. Khi vật dao động thì
chiều dài lị xo biến thiên trong khoảng nào? Cho g=10 m/s2.

A. Từ 40 cm đến 50 cm
B. Từ 35 cm đến 45 cm
C. Từ 45 cm đến 55 cm
D. Từ 30 cm đến 50 cm
8. Một lò xo có độ cứng 100 N/m treo thẳng đứng, treo vào lị xo một vật có khối lượng 200
g. Từ vị trí cân bằng nâng vật lên một đoạn 5 cm rồi thả nhẹ, g=10 m/s2. Giá trị cực đại của
lực hồi phục và lực đàn hồi trong quá trình vật dao động là:
A. Fhp max = 5 N ; Fđh max = 7 N

B. Fhp max = 200 N ; Fđh max = 300 N

C. Fhp max = 5 N ; Fđh max = 3 N

D. Fhp max = 500 N ; Fđh max = 700 N

9. Một vật nhỏ treo vào đầu dưới một lò xo đặt thẳng đứng, đầu trên cố định. Khi vật cân
bằng lò xo dãn 5 cm. Cho vật dao động điều hòa với biên độ A thì lị xo ln dãn và độ lớn
lực đàn hồi cực đại của lò xo gấp 3 lần lực đàn hồi cực tiểu. Tính giá trị biên độ A?
A. 5 cm
B. 7,5 cm
C. 1,25 cm
D. 2,5 cm
10. Con lắc lị xo có độ cứng 100 N/m treo thẳng đứng dao động điều hịa, ở vị trí cân bằng
lò xo dãn 4 cm. Độ dãn cực đại của lò xo khi dao động là 9 cm. Lực đàn hồi tác dụng vào
vật khi lị xo có chiều dài ngắn nhất là:
A. 0 N
B. 1 N
C. 100 N
D. 4 N

11. Một con lắc lị xo treo thẳng đứng có chiều dài tự nhiên là 50 cm, khi treo vật m vào lị
xo dãn 10 cm. Kích thích cho vật dao động đều hòa với biên độ 2 cm. Khi tỉ số giữa lực đàn
hồi cực đại và độ lớn lực kéo về bằng 12 thì lị xo có chiều dài là:
A. 60 cm hoặc 62 cm
B. 58 cm hoặc 62 cm
C. 59 cm hoặc 61 cm
D. 55 cm hoặc 60 cm
12. Một vật treo vào một lò xo thẳng đứng làm nó dãn ra 4 cm, kích thích cho vật dao động
điều hòa. Biết lực đàn hồi cực đại của lò xo là 10 N, độ cứng của lò xo là 100 N/m. Tìm lực
nén cực đại của lị xo?
A. 2 N
B. 20 N
C. 10 N
D. 5 N
13. Một lị xo có độ cứng 10 N/m treo thẳng đứng, treo vào đầu dưới của lị xo một vật có
khối lượng 250 g. Từ vị trí cân bằng nâng vật lên một đoạn 50 cm rồi thả nhẹ. Tìm thời gian
lị xo bị nén trong một chu kì? Cho g = π 2 = 10 m / s 2 .
A. 0,5 s
B. 1 s
C. 1/3 s

D. 3/4 s

Chủ đề 3. NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CỦA CON LẮC LÒ XO
Xét con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m, lị xo có độ cứng k. Phương trình dao
động của vật là: x = A cos(ωt + ϕ ) . Khi đó năng lượng dao động của hệ gồm thế năng đàn hồi
và động năng của vật. Chọn mốc thế năng tại VTCB
1

2

1
2
1
1
Thế năng lớn nhất: Wt max = kA2 = mω 2 A2 khi vật ở vị trí biên ( x = ± A )
2
2
Thế năng nhỏ nhất: Wt max = 0 khi vật ở VTCB ( x = 0 )

1. Thế năng đàn hồi Wt = kx 2 = kA2 cos 2 (ωt + ϕ )

Ta thấy:

Wt =

1 2
1
1
kA cos 2 (ωt + ϕ ) = kA2 [1 + cos(2ωt + 2ϕ )] = kA2 [1 + cos(ω ' t + ϕ ')]
2
4
4

nếu gọi

ω ' ; ϕ ' ; T ' ; f ' lần lượt là tần số góc, pha ban đầu, chu kì và tần số của thế năng thì:

ω ' = 2ω ; ϕ ' = 2ϕ ; T ' = T 2 ; f ' = 2 f

1
2

1
2

1
2

2. Động năng Wđ = mv 2 = mω 2 A2 sin 2 (ωt + ϕ ) = kA2 sin 2 (ωt + ϕ )
1
1
1
2
2
2
= 0 khi vật ở vị trí biên ( x = ± A )

2
Động năng lớn nhất: Wđ max = mvmax
= mω 2 A 2 = kA2 khi vật qua VTCB ( x = 0 )

Động năng nhỏ nhất: Wđ max

1 2 2
1
kA sin (ωt + ϕ ) = kA2 [1 − cos(2ωt + 2ϕ )] =
2
4
Ta có:

1
1
= kA2 [1 + cos(2ωt + 2ϕ ± π )] = kA2 [1 + cos(ω ' t + ϕ ' ')]
4
4
Nếu gọi ω ' ; ϕ ' ' ; T ' ; f ' lần lượt là tần số góc, pha ban đầu, chu kì và tần số của động năng thì:
Wđ =

ω ' = 2ω ; ϕ ' ' = 2ϕ ± π ; T ' = T 2 ; f ' = 2 f như vậy so sánh với thế năng đàn hồi thì động năng


ngược pha với thế năng, động năng và thế năng biến thiên điều hịa cùng tần số góc với
nhau và gấp đơi tần số góc của li độ.
1
2

1
2

3. Cơ năng W = Wđ + Wt = kA2 = mω 2 A2 vậy cơ năng là hằng số, tỉ lệ với bình phương
biên độ.
* Ta có một số nhận xét sau
+ Trong q trình dao động của vật ln có sự biến đổi qua lại giữa động năng và thế năng
nhưng tổng của chúng là cơ năng được bào toàn, cơ năng tỉ lệ với bình phương biên độ.
+ Đơn vị của năng lượng trong hệ SI là Jun (J)
+ Cơ năng phụ thuộc vào k và A không phụ thuộc vào khối lượng m của vật.
+ Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn ngược pha nhau với chu kì bằng nửa chu kì
dao động của vật và tần số góc gấp đơi tần số góc dao động của vật.
+ Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn quanh giá trị trung bình
trị dương (biến thiên từ 0 đến giá trị

1 2
kA và ln có giá
4

1 2
kA )
2

+ Thời gian liên tiếp giữa hai lần động năng bằng thế năng trong một chu kì là

T
(T là chu
4

kì dao động của vật)
+ Thời điểm đầu tiên để động năng bằng thế năng khi vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí
biên là t =

T
8

+ Thời gian liên tiếp giữa hai lần động năng (hoặc thế năng) đạt cực đại là

T
2

+ Khi giải các bài tập tìm li độ, vận tốc của vật mà có liên quan đến năng lượng ta thường
dùng công thức sau:
W = Wđ + Wt = Wđ max = Wt max

⇔

1 2 1 2 1 2 1 2
1
kA = mv + kx = mvmax = kA2
2
2
2
2
2

4. Một số dạng bài tập
* Dạng 1: Tìm li độ, vận tốc của vật khi Wđ = n.Wt
Wđ = nWt
1 2
1 2
1 2 1 2

Ta có: 
1 2 ⇒ nWt + Wt = kA ⇔ (n + 1)Wt = kA ⇔ (n + 1). kx = kA
2
2
2
2
Wđ + Wt = 2 kA
A
Vậy suy ra: x = ±
làm tương tự ta rút ra được các công thức sau:
n +1
Wđ = n.Wt ⇒ x = ±

Fhp max
A
v
a
; v = ± max ; a = ± max ; Fhp = ±
n +1
n +1
n +1
n +1
n

BÀI TẬP


1. Xét một con lắc lò xo đang dao động điều hòa. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Cơ năng của hệ biến thiên điều hòa.
B. Động năng của vật phụ thuộc vào vận tốc.
C. Thế năng đàn hồi phụ thuộc vào vị trí của vật.
D. Cơ năng của hệ bằng tổng động năng và thế năng tại một thời điểm.
2. Nhận xét nào dưới đây là sai về sự biến đổi năng lượng trong dao động điều hòa?
A. Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn ngược pha nhau.
B. Động năng và thế năng ln chuyển hóa qua lại nhưng tổng của chúng thì khơng
thay đổi.
C. Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn cùng tần số với li độ.
D. Trong một chu kì dao động có 4 lần động năng và thế năng có cùng giá trị.
3. Kết luận nào dưới đây là đúng về năng lượng của vật dao động điều hòa?
A. Năng lượng của vật dao động điều hòa là hằng số tỉ lệ với khối lượng của vật.
B. Năng lượng của vật dao động điều hịa chỉ phụ thuộc vào đặc tính cấu tạo riêng
của hệ (k, m)

C. Năng lượng của vật dao động điều hịa biến thiên tuần hồn theo thời gian.
D. Năng lượng của vật dao động điều hòa là hằng số tỉ lệ với bình phương biên độ
dao động của vật.
4. Một vật có khối lượng 200 g treo vào một lị xo làm nó dãn ra 2 cm. Trong q trình vật
dao động thì chiều dài lị xo biến thiên từ 25 cm đến 35 cm. Lấy g=10 m/s2. Cơ năng của vật
là:
A. 1250 J
B. 0,125 J
C. 12,5 J
D. 125 J
5. Con lắc lò xo dao động với biên độ 6 cm. Xác định li độ của vật khi cơ năng bằng 2 lần
động năng?
A. ± 3 2 cm
B. ± 3 cm
C. ± 2 2 cm
D. ± 2 cm
6. Một vật đang dao động điều hòa. Tại vị trí động năng bằng 2 lần thế năng thì gia tốc của
vật có độ lớn nhỏ hơn gia tốc cực đại là
A. 2 lần
B. 2 lần
C. 3 lần
D. 3 lần
π

7. Một vật dao động điều hịa có phương trình x = 10 sin  4πt +  cm, t tính bằng giây. Động


2

năng của vật biến thiên với chu kì bằng:

A. 0,25 s
B. 0,5 s
C. 1 s
D. 1,5 s
8. Một vật dao động điều hòa. Tại li độ x = ±4 cm thì động năng của vật bằng 3 lần thế
năng, vậy tại li độ x = ±5 cm thì động năng bằng
A. 2 lần thế năng
B. 1,56 lần thế năng
C. 2,56 lần thế năng
D. 1,25 lần thế năng
9. Một chất điểm dao động điều hòa. Khi vừa qua khỏi vị trí cân bằng một đoạn S động
năng của chất điểm là 1,8 J, đi tiếp một đoạn S nữa thì động năng chỉ cịn 1,5 J và nếu đi
thêm đoạn S nữa theo chiều như trước thì động năng bây giờ là bao nhiêu?
A. 0,9 J
B. 1 J
C. 0,8 J
D. 1,2 J


10. Một vật có khối lượng 800 g được treo vào lị xo có độ cứng k làm nó dãn ra 4 cm. Vật
được kéo xuống theo phương thẳng đứng sao cho lò xo bị dãn 10 cm rồi thả nhẹ cho dao
động. Tính năng lượng dao động của vật? (g=10 m/s2)
A. 1 J
B. 0,36 J
C. 3,6 J
D. 10 J

Chủ đề 4. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
CỦA CON LẮC LỊ XO
* Phương trình x = A cos(ωt + ϕ )

2π
k
g
a
= 2πf =
=
= max
T
m
∆l0 vmax

- Tìm ω : ω =

- Tìm A:
+ Kéo vật khỏi VTCB một đoạn rồi thả nhẹ thì A bằng đoạn đó.
+ Kéo vật khỏi VTCB một đoạn x rồi truyền cho vật vận tốc v thì A = x 2 +
+ Nâng vật đến vị trí lị xo khơng bị biến dạng rồi thả nhẹ thì A = ∆l0 =

v2

ω2

mg
k

+ Nâng vật đến vị trí lị xo khơng bị biến dạng rồi truyền cho vật vận tốc v thì
A = x2 +

v2

với x = ± ∆l0 = ±

mg
tùy việc chọn chiều dương.
k

ω
+ Một số cơng thức khác tính A:
A=

A=

2

vmax

ω

=

2
Fhp max
vmax
L l −l
= = max min =
(L chiều dài quỹ đạo)
amax 2
2
k

2 A kA2
2E
=
=
k
kA Fhp max

- Tìm ϕ : Phụ thuộc vào việc chọn gốc thời gian
+ t = 0 lúc vật qua VTCB theo chiều dương thì ϕ = −
+ t = 0 lúc vật qua VTCB theo chiều âm thì ϕ =

π
2

π

2
+ t = 0 lúc vật ở vị trí biên dương x = A thì ϕ = 0

+ t = 0 lúc vật ở vị trí biên âm x = − A thì ϕ = π
 x0 = A cos ϕ
⇒ϕ =?
v = − Aω sin ϕ

r

* t = 0 lúc vật có li độ x0 và vận tốc v thì ta giải hệ 
BÀI TẬP

π


1. Phương trình dao động của một vật dao động điều hịa có dạng x = A cos ωt + cm . Gốc


thời gian được chọn lúc nào?

2


A. Lúc chất điểm có li độ x = − A
B. Lúc chất điểm qua VTCB theo chiều âm.
C. Lúc chất điểm có li độ x = + A
D. Lúc chất điểm qua VTCB theo chiều dương.
2. Một vật dao động điều hịa có phương trình dao động x = A cos(ωt + ϕ ) phương trình vận
tốc có dạng x = Aω sin ωt . Kết luận nào đúng?
A. Gốc thời gian là lúc vật có li độ x = + A
B. Gốc thời gian là lúc vật có li độ x = − A
C. Gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương.
D. Gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều âm.
π

3. Một vật dao động điều hịa có vận tốc v = 50 cos 5t −  cm / s . Tìm phương trình dao


4

động của vật.
π

A. x = 50 cos 5t +  cm



4

π

C. x = 10 cos 5t −  cm


2

3π 
 cm
4 
3π 

D. x = 50 cos 5t −  cm
4 




B. x = 10 cos 5t −

4. Một vật dao động điều hịa có phương trình x = A cos(ωt + ϕ ) ở thời điểm t = 0 vật có li độ
A
và đang chuyển động theo chiều âm. Pha ban đầu ϕ bằng
2
π
π

5π
π
A.
rad
B.
rad
C.
rad
D.
rad
6
3
6
2
5. Một vật dao động điều hịa có phương trình x = A cos(ωt + ϕ ) trên quỹ đạo thẳng dài 10
x=

cm. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ x = −2,5 cm và đi theo chiều dương thì
pha ban đầu của dao động sẽ là
π
π
π
2π
A.
rad
B.
rad
C. −
rad
D. −

rad
6

3

3

3

6. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng 100 g, lị xo có độ cứng
100 N/m. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng đến vị trí có li độ x = +2 cm rồi truyền cho vật vận
tốc v = +62,8 3 cm / s theo phương của trục lò xo, cho g = π 2 = 10 m / s 2 . Chọn gốc thời
gian lúc vật bắt đầu chuyển động thì phương trình dao động của con lắc là
π
π


A. x = 6 cos10πt +  cm
B. x = 4 cos10πt −  cm


3

π

C. x = 4 cos10πt +  cm


3



3

π

D. x = 8 cos10πt −  cm


6

7. Một vật thực hiện dao động điều hòa với biên độ 12 cm chu kì 1 s. Chọn gốc thời gian là
lúc vật qua VTCB theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là
A. x = −12 sin 2πt cm

B. x = 12 sin 2πt cm

C. x = 12 sin (2πt + π ) cm

D. x = 12 cos 2πt cm


8. Một vật dao động điều hịa, khi vật có li độ 3 cm thì vận tốc của vật bằng 8π cm/s và khi
vật có li độ bằng 4 cm thì vận tốc của vật là 6π cm/s. Chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB
theo chiều dương, phương trình dao động của vật có dạng
π

A. x = 5 cos 2πt −  cm
B. x = 5 cos(2πt + π ) cm
2



π

C. x = 10 cos πt −  cm


2

π

D. x = 5 cos πt +  cm


2

9. Cho một vật dao động điều hịa có đồ thị như hình vẽ. Phương trình dao động của vật sẽ
là
x (cm)
π

A. x = 10 cos 50πt +  cm


3

π

B. x = 10 cos100πt +  cm

3

π

C. x = 10 cos 20πt +  cm


3

π

D. x = 10 cos100πt −  cm


3

t (102