Tài liệu Giải tích mạch điện P2 docx

GII TÊCH MẢNG
Trang 12
CHỈÅNG 2

GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ

2.1. GIÅÏI THIÃÛU.
Nhiãưu hãû thäúng váût l phỉïc tảp âỉåüc biãøu diãùn båíi phỉång trçnh vi phán nọ
khäng cọ thãø gii chênh xạc bàòng gii têch. Trong k thût, ngỉåìi ta thỉåìng sỉí dủng cạc
giạ trë thu âỉåüc bàòng viãûc gii gáưn âụng ca cạc hãû phỉång trçnh vi phán båíi phỉång
phạp säú họa. Theo cạch âọ, låìi gii ca phỉång trçnh vi phán âụng l mäüt giai âoản
quan trng trong gii têch säú.
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, thỉï tỉû ca viãûc lm têch phán säú l quạ trçnh tỉìng
bỉåïc chênh xạc chøi giạ trë cho mäùi biãún phủ thüc tỉång ỉïng våïi mäüt giạ trë ca biãún
âäüc láûp. Thỉåìng th tủc l chn giạ trë ca biãún âäüc láûp trong mäüt khong cäú
âënh. Âäü
chênh xạc cho låìi gii båíi têch phán säú phủ thüc c hai phỉång phạp chn v kêch thỉåïc
ca khong giạ trë. Mäüt säú phỉång phạp thỉåìng xun dng âỉåüc trçnh by trong cạc
mủc sau âáy.
2.2. GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ.
2.2.1 Phỉång phạp Euler:
Cho phỉång trçnh vi phán báûc nháút.
),( yxf
dx
dy
=
(2.1)

Khi x l biãún âäüc láûp v y l biãún phủ thüc, nghiãûm phỉång trçnh (2.1) s cọ dảng:
y = g(x,c) (2.2)
Våïi c l hàòng säú â âỉåüc xạc âënh tỉì l thuút trong âiãưu kiãûn ban âáưu. Âỉåìng
cong miãu t phỉång trçnh (2.2) âỉåüc trçnh by trong hçnh (2.1). Tỉì chäù tiãúp xục våïi
âỉåìng cong, âoản ngàõn cọ thãø gi sỉí l mäüt âoản thàóng. Theo cạch âọ, tải mäùi âiãøm
riãng biãût (x
0
,y
0
) trãn âỉåìng cong, ta cọ:
x
dx
dy
y ∆≈∆
0

y
x
∆y
∆x
y = g(x,c)
y
0
x
0

Hçnh 2.1: Âäư thë ca hm säú tỉì
bi gii phỉång trçnh vi phán
0
GII TÊCH MẢNG
Trang 13
Våïi
0
dx
dy
l âäü däúc ca âỉåìng cong tải âiãøm (x
0
,y
0
). Vç thãú, ỉïng våïi giạ trë ban
âáưu x
0
v y
0
, giạ trë måïi ca y cọ thãø thu âỉåüc tỉì l thuút l ∆x:
yyy ∆+=
01
hay
h
dx
dy
yy
0
01
+=
(âàût h = ∆x)

Khi ∆y l säú gia ca y tỉång ỉïng våïi mäüt säú gia ca x. Tỉång tỉû, giạ trë thỉï hai ca y cọ
thãø xạc âënh nhỉ sau.
h
dx
dy
yy
1
12
+=














Khi
),(
11
1
yxf
dx
dy

=

Quạ trçnh cọ thãø tênh tiãúp tủc, ta âỉåüc:
h
dx
dy
yy
2
23
+=

h
dx
dy
yy
3
34
+=

...........................
Bng giạ trë x v y cung cáúp cho ton bäü bi gii phỉång trçnh (2.1). Minh ha phỉång
phạp nhỉ hçnh 2.2.
2.2.2. Phỉång phạp biãún âäøi Euler.
Trong khi ỉïng dủng phỉång phạp Euler, giạ trë dy/dx ca khong gi thiãút tênh toạn bàõt
âáưu vỉåüt ra ngoi khong cho phẹp. Sỉû thay thãú âọ cọ thãø thu âỉåüc bàòng cạch tênh toạn
giạ trë måïi ca y cho x
1
nhỉ trỉåïc.
x
1

= x
0
+ h
h
dx
dy
yy
0
0
)0(
1
+=

x
x
0
x
1
x
2
x
3
y
0
y
1
y
2
y
3

h

h

h

y= g(x,c)

Hçnh 2.2 : Âäư thë ca låìi gii xáúp xè
cho phỉång trçnh vi phán bàòng
phỉång phạp Euler
0

y

GII TÊCH MẢNG
Trang 14
Dng giạ trë måïi x
1
v y
1
(0)
thay vo phỉång trçnh (2.1) âãø tênh toạn gáưn âụng giạ trë ca
1
dx
dy
tải cúi khong.

),(
)0(

11
)0(
1
yxf
dx
dy
=

Sau âọ táûn dủng giạ trë y
1
(1)
cọ thãø tçm tháúy båíi dng trung bçnh ca
0
dx
dy
v
)0(
1
dx
dy
nhỉ
sau:

h
dx
dy
dx
dy
yy
⎟

⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
2
)0(
10
0
)1(
1

Dng x
1
v y
1
(1)
, giạ trë xáúp xè thỉï ba y
1
(2)

cọ thãø thu âỉåüc båíi quạ trçnh tỉång tỉû nhỉ sau:

h
dx
dy
dx
dy
yy
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
2
)1(
10
0
)2(
1

Ta âỉåüc:

h
dx
dy
dx
dy
yy
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
2
)2(
10
0
)3(

1

Quạ trçnh cọ thãø tênh tiãúp tủc cho âãún khi hai säú liãưn nhau ỉåïc lỉåüng cho y l ngang
bàòng nàòm trong phảm vi mong mún. Quạ trçnh hon ton làûp lải thu âỉåüc giạ trë y
2
.
Kãút qu thu âỉåüc cọ sỉû chênh xạc cao hån tỉì sỉû biãún âäøi ca phỉång phạp Euler âỉåüc
minh ha trong hçnh 2.3.











Phỉång phạp Euler cọ thãø ỉïng dủng âãø gii hãû phỉång trçnh vi phán cng lục. Cho hai
phỉång trçnh:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
2
)0(
10
dx
dy
dx
dy
y = g(x,c)
y
x
x
0
x
1
h
y
0
0
dx
dy
Hçnh 2.3 : Âäư thë ca låìi
gii xáúp xè cho phỉång
trçnh vi phán bàòng
phỉång phạp biãún âäøi

Euler.
0
y
1
y
2
dy
(0)

dx
1
GII TÊCH MẢNG
Trang 15

)zy,,(
)zy,,(
2
1
xf
dx
dz
xf
dx
dy
=
=

Våïi giạ trë ban âáưu x
0
, y

0
v z
0
giạ trë måïi y
1
s l:

h
dx
dz
yy
0
01
+=

Våïi:
)z,y,(
0001
0
xf
dx
dy
=

Tỉång tỉû.

h
dx
dz
zz

0
01
+=

Våïi:
),,(
0002
0
zyxf
dx
dz
=

Cho säú gia tiãúp theo, giạ trë x
1
= x
0
+ h, y
1
v z
1
dng âãø xạc âënh y
2
v z
2
. Trong phỉång
phạp biãún âäøi Euler y
1
v z
1

dng âãø xạc âënh giạ trë âảo hm tải x
1
cho âạnh giạ gáưn
âụng cáúp hai y
1
(1)
v z
1
(1)
.
2.2.3. Phỉång phạp Picard våïi sỉû xáúp xè liãn tủc.
Cå såí ca phỉång phạp Picard l gii chênh xạc, båíi sỉû thay thãú giạ trë y nhỉ hm ca x
trong phảm vi giạ trë x â cho.
y ⎟ g(x)
Âáy l biãøu thỉïc ỉåïc lỉåüng båíi sỉû thay thãú trỉûc tiãúp giạ trë ca x âãø thu âỉåüc giạ trë
tỉång ỉïng ca y. Cho phỉång trçnh vi phán (2.1).
dy = f(x,y)dx
V têch phán giỉỵa khong giåïi hản cho x v y.

∫∫
=
1
0
1
0
),(
y
y
x
x

dxyxfdy

Thç
∫
=−
1
0
),(
01
x
x
dxyxfyy

Hay
∫
+=
1
0
),(
01
x
x
dxyxfyy
(2.3)
Säú hảng têch phán trçnh by sỉû thay âäøi trong kãút qu ca y våïi sỉû thay âäøi ca x
tỉì x
0
âãún x
1
. Låìi gii cọ thãø thu âỉåüc båíi sỉû âạnh giạ têch phán bàòng phỉång phạp xáúp xè

liãn tủc.
Ta cọ thãø xem giạ trë ca y nhỉ hm ca x cọ thãø â thu âỉåüc båíi sỉû thay thãú y dỉåïi
dảng têch phán våïi y
0
, cho giạ trë ban âáưu nhỉ sau:

∫
+=
1
0
),(
00
)1(
1
x
x
dxyxfyy

Thỉûc hiãûn biãøu thỉïc têch phán våïi giạ trë måïi ca y báy giåì âỉåüc thay thãú vo phỉång
trçnh (2.3) thu âỉåüc láưn xáúp xè thỉï hai cho y nhỉ sau:

∫
+=
1
0
),(
)1(
10
)2(
1

x
x
dxyxfyy

GII TÊCH MẢNG
Trang 16
Quạ trçnh ny cọ thãø làûp lải trong thåìi gian cáưn thiãút âãø thu âỉåüc âäü chênh xạc mong
mún..
Tháût váûy, ỉåïc lỉåüng têch phán ln ln phỉïc tảp thãú nhỉng phi gi thiãút cho
biãún cäú âënh. Khọ khàn v cáưn thỉûc hiãûn nhiãưu láưn têch phán, nãn âáy l màût hản chãú sỉû
ạp dủng ca phỉång phạp ny.
Phỉång phạp Picard cọ thãø ạp dủng âãø gii âäưng thåìi nhiãưu phỉång trçnh nhỉ sau:

),,(
1
zyxf
dx
dy
=


),,(
2
zyxf
dx
d
z
=

Theo cäng thỉïc, ta cọ:

∫
+=
1
0
),,(
00101
x
x
dxzyxfyy


∫
+=
1
0
),,(
00201
x
x
dxzyxfzz

2.2.4. Phỉång phạp Runge- Kutta.
Trong phỉång phạp Runge- Kutta sỉû thay âäøi giạ trë ca biãún phủ thüc l tênh toạn tỉì
cạc cäng thỉïc â cho, biãøu diãùn trong âiãưu kiãûn ỉåïc lỉåüng âảo hm tải nhỉỵng âiãøm âënh
trỉåïc. Tỉì mäùi giạ trë duy nháút chênh xạc ca y cho båíi cäng thỉïc, phỉång phạp ny
khäng âi hi thay thãú làûp lải nhỉ phỉång phạp biãún âäøi Euler hay têch phán liãn tiãúp
nhỉ phỉång phạp ca Picard.
Cäng thỉïc rụt gn gáưn âụng xút phạt båíi sỉû thay thãú khai triãøn chøi Taylor. Runge-
Kutta xáúp xè báûc hai cọ thãø viãút trong cäng thỉïc.

y
1
= y
0
+ a
1
k
1
+ a
2
k
2
(2.4)
Våïi k
1
= f(x
0,
y
0
)h
k
2
= f(x
0
+ b
1
h, y
0
+ b
2

k
1
)h
Cạc hãû säú a
1
, a
2
, b
1
v b
2
l chênh xạc. Âáưu tiãn khai triãøn f(x
0
+ b
1
h, y
0
+ b
2
k
1
) trong
chøi Taylor tải (x
0
,y
0
), ta âỉåüc:

h
y

f
kbh
x
f
byxfk
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
∂
∂
+
∂
∂
+= .....),(
0
12
0
1002

Thay thãú hai âiãưu kiãûn k
1
v k
2
vo trong phỉång trçnh (2.4), thu âỉåüc:

2

0
0022
2
0
12002101
),(),()( h
y
f
yxfbah
x
f
bahyxfaayy
∂
∂
+
∂
∂
+++=
(2.5)
Khai triãøn chøi Taylor ca y tải giạ trë (x
0
,y
0
) l:

....
2
2
0
2

2
0
01
+++=
h
dx
yd
h
dx
dy
yy
(2.6)
Tỉì
),(
00
0
yxf
dx
dy
=
v
),(
00
0
0
0
2
2
yxf
y

f
x
f
dx
yd
∂
∂
+
∂
∂
=

Phỉång trçnh (2.6) tråí thnh.
GIAI TấCH MANG
Trang 17

......
2
),(
2
),(
2
00
0
2
0
0001
h
yxf
y

f
h
x
f
hyxfyy


+


++=
(2.7)
Cỏn bũng caùc hóỷ sọỳ cuớa phổồng trỗnh (2.5) vaỡ (2.7), ta õổồỹc:
a
1
+ a
2
=1; a
2
b
1
= 1/2; a
2
b
2
= 1/2.
Choỹn giaù trở tuỡy yù cho a
1

a

1
= 1/2
Thỗ a
2
= 1/2; b
1
= 1; b
2
= 1.
Thay thóỳ giaù trở naỡy vaỡo trong phổồng trỗnh (2.4), cọng thổùc gỏửn õuùng bỏỷc hai
Runge-Kutta laỡ:

2101
2
1
2
1
kkyy
++=

Vồùi k
1
= f(x
0
,y
0
)h
k
2
= f(x

0
+ h, y
0
+ k
1
)h
Vỗ thóỳ.
)(
2
1
21
kky
+=

Aẽp duỷng cuớa phổồng phaùp Runge-Kutta cho vióỷc xỏỳp xố bỏỷc hai õoỡi hoới sổỷ tờnh toaùn cuớa
k
1
vaỡ k
2
. Sai sọỳ trong lỏửn xỏỳp xố laỡ bỏỷc h
3
bồới vỗ chuọứi õaợ cừt sau õióửu kióỷn bỏỷc hai.
Tọớng quaùt cọng thổùc xỏỳp xố bỏỷc bọỳn Runge-Kutta laỡ:

4433221101
kakakakayy
++++=
(2.8)
Vồùi k
1

= f(x
0
,y
0
)h
k
2
= f(x
0
+ b
1
h, y
0
+ b
2
k
1
)h
k
3
= f(x
0
+ b
3
h, y
0
+ b
4
k
2

)h
k
4
= f(x
0
+ b
5
h, y
0
+ b
6
k
3
)h
Tióỳp theo thuớ tuỷc giọỳng nhổ duỡng cho lỏửn xỏỳp xố bỏỷc hai, hóỷ sọỳ trong phổồng trỗnh (2.8)
thu õổồỹc laỡ:
a
1
= 1/6; a
2
= 2/6; a
3
= 2/6; a
4
= 1/6.
Vaỡ b
1
= 1/2; b
2
= 1/2; b

3
= 1/2; b
4
= 1/2; b
5
= 1; b
6
= 1.
Thay thóỳ caùc giaù trở vaỡo trong phổồng trỗnh (2.8), phổồng trỗnh xỏỳp xố bỏỷc bọỳn
Runge-Kutta trồớ thaỡnh.

)22(
6
1
432101
kkkkyy
++++=

Vồùi k
1
= f(x
0
,y
0
)h

h
k
y
h

xfk )
2
,
2
(
1
002
++=


h
k
y
h
xfk )
2
,
2
(
2
003
++=


hkyhxfk
),(
3004
++=

Nhổ vỏỷy, sổỷ tờnh toaùn cuớa y theo cọng thổùc õoỡi hoới sổỷ tờnh toaùn caùc giaù trở cuớa

k
1
, k
2
, k
3
vaỡ k
4
:
y = 1/6(k
1
+2k
2
+2k
3
+k
4
)
Sai sọỳ trong sổỷ xỏỳp xố laỡ bỏỷc h
5
.