KS HSG Lan II

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề ) ----------------------------------------------. Bài 1: (2 điểm): a. Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 x+ 2. x +1. b. Cho phương trình: x −m = x −1 Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm. Bài 2: (1 điểm): Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1   2  2  2 2 2 Nếu a b c và a + b + c = abc thì ta có a b c. Bài 3: (2 điểm): .a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - 5 *. 3. b. Chứng minh n  N thì n  n  2 là hợp số. c. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Bài 4: (2 điểm): a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18 b. Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác .. ab bc ca   a  b  c Chứng minh: a  b  c b  c  a c  a  b. .Bài 5: (3 điểm): Câu 1(1điểm): Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF. Chứng minh rằng PBC là tam giác đều. Câu 2(2điểm): : Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm. a. Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC. b. Gọi CD là đường phân giác của tam giác ACH. Chứng minh BCD cân. c. Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 ----------------------------------------------------------------------------. (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI. Câu. Nội dung bài giải 2. Điểm. 2. a/ ( x 2 − 4 x ) +2 . ( x −2 )2=43 ⇔ ( x 2 − 4 x ) +2 ( x 2 − 4 x+4 )=43 ; Đặt x2-4x = t. Đk: t -4 Khi đó ta có được phương trình: t2 + 2t - 35=0 ⇔ (t + 7)(t – 5) = 0 ⇔ t = -7 ( loại) hoặc t = 5 Với t = 5. Khi đó: x2 - 4x - 5=0 ⇔ (x +1)(x – 5) = 0 ⇔ x=5 hoặc x=-1 Vậy S = { 5; -1} x+2 x+1  b/ ĐK của PT x - m x - 1. Câu 1 (2 đ). 0,25 0,25 0,25. (*). x – m 0  x  m x – 1 0  x  1 Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) => mx = 2 – m (**) - Với m = 0 thì PT (**) có dạng : 0x = 2. Trường hợp này PT (**) vô nghiệm (1) 2-m - Với m  0 thì PT (*) có nghiệm: x = m 2-m Nghiệm x = m là nghiệm của PT (*) khi nó phải thỏa mãn điều kiện: x  m và x  1 2-m 1  2-m m  m 1 Tức là : m 2-m  m  m 2 + m - 2 0   m - 1  m + 2  0 m  m  1 , m  -2. Như vậy PT (*) vô nghiệm với các giá trị của m 1 1 1   2 Theo gt: a b c nên a. 0,25. 0. ,b. 0, c. {-2 ; 0 ; 1}. 0. 0,25 0,25. 0,25. 0,25 0,25. 2. Ta có: Câu 2 (1đ). . 1 1 1 1 1   1 1 1  1 1 1 1    4   2     4  2  2  2  2  a b c  ab bc ca   a b c a b c. 1 1 1  a b c   2  2  2  4 2 a b c  abc . a b c 1 Vì a + b + c = abc (gt) nên abc. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . Bài 3: (2đ). 1 1 1 1 1 1  2  2  2 4  2  2  2 2 2 a b c a b c ( đpcm). 0,25. a)= (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9 = (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1) b) Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1). 0,75. =(n+1)( n2 - n + 2) * Do n  N nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2. 0,5. 0.25. 0,25. Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1 = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1. 0,25. = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 = ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn  a2 + a + 1 là số lẻ Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1 A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1  1 Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3 b) vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0. ta có: x + y + z = a + b + c; Bài 4: ( 2đ). a. 0,25 0, 5 0,5 0,25. yz xz x y ;b  ;c  2 2 2. ab bc ac ( y  z)( x  z ) ( x  z)( x  y) ( x  y)( y  z )      a b  c  a bc a  b c 4z 4x 4y. 0,25. 1 xy yz xz 1 1 xy yz xz  (    3 x  3 y  3 z )   3( x  y  z )  (2  2  2 )  4 z x y 4 2 z x y  1 y x z x y z z x y    3( x  y  z )  (  )  (  )  (  )  4 2 z x 2 z y 2 y x  1   3( x  y  z )  x  y  z   x  y  z 4. Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh Câu 1:. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> A E 2. 1. 1. 3. 2. F. P. B C. Ta có: AEPF là hình bình hành nên A ^E P= A ^F P Bài 4: (3 đ). Xét  EPB và  FPC, ta có: EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) và P E^ B = P F^ C ( vì 600 - A ^E P =600 - A ^F P ) ⇒.  EPB =  FPC ( c.g. c ). Suy ra: PB = PC (1) Ta có: E ^A F + A ^E P=180 0 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do đó Â3 = Ê2. ⇒^ A3 + ^ E1 =60. 0. 0.25. Xét  EPB và  ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF) và Â3 = Ê2 ⇒. 0.25. 0,25.  EPB =  ABC ( cgc ). Suy ra: PB = BC (2) Từ (1) và (2) ⇒ PB = PC = BC. 0,25. Vậy  PBC đều Câu 2: C. B. D. H. A. a. Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được:  ABC vuông tại C 1. 1. Ta có: SABC = 2 AC.BC = 2 AB.CH ⇒ cm b. Dể dàng tính được; HA = 16 cm ; BH = 9 cm CD là tia phân giác của  ACH nên suy ra AD = 10 cm ; HD = 6 cm.. CH=. AC . BC 20 .15 = = 12 AB 25. 0,25 0,5 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Do đó BC = BD ( = 15 cm ) Vậy  BDC cân tại B.. 0,25. c. Xét các  vuông : CBH, CAH Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) Từ đó suy ra BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>