Tài liệu Thuật toán vẽ Ellip ppt

x
i
P
)
- ∞
y
’
0
0x
A
-1
x
i
x
i
+1
M
y
i
-1
y
i
PS Q
|
y
i
-1
y
i
S
Q

M
_
x
i
+1
Thuật toán vẽ Ellip + = 1 (A > B)
B1: Thu hẹp vùng vẽ
Vẽ cung ở góc phần tư thứ I rồi lấy đối xứng qua trục
tung, trục hoành, gốc toạ độ được các phần còn lại
B2: Phân vùng vẽ.
Xét cung ở góc phần tư thứ I có phương trình
y =
0 ≤ x ≤ A
y’ = – y’ = – 1→ –= – 1
↔ x =
Suy ra có 2 vùng vẽ:
Vùng vẽ 1: 0 ≤ x ≤ ; ứng với –1≤ y’≤ 0
Vùng vẽ 2: ≤ x ≤ A ; y’≤ 1
B 3.1 Vẽ vùng 1
Đặt F(x,y) = Bx
2
+ A
2
y
2
– A
2
B
2

Biết M
i
(x
i
,y
i
)
Xác định M
i+1
(x
i+1
,y
i+1
)
x
i+1
= x
i
+ 1
y
i+1
Є {y
i
, y
i
– 1}
Nhật xét : x tăng đều
y giảm chậm
Gọi M là trung điểm của SP
M

i
(x
i
+ 1, y
i
– 1/2 )
Đặt P
i
= 4 F(x,y)
P
i
= 4 [B
2
(x
i
+ 1)
2
+A
2
(y
i
– 1/2)
2
– A
2
B
2
] (1)
P
i+1

= 4 [B
2
(x
i+1
+ 1)
2
+A
2
(y
i+1
– 1/2)
2
– A
2
B
2
]
Xét hiệu
P
i+1
- P
i
= 4 [B
2
(x
i+1
+ 1)
2
+A
2

(y
i+1
– 1/2)
2
– A
2
B
2
]
– 4 [B
2
(x
i
+ 1)
2
+A
2
(y
i
– 1/2)
2
– A
2
B
2
]
= 4 [B
2
(x
i

+ 2)
2
+A
2
(y
i+1
– 1/2)
2
– A
2
B
2
]
– 4 [B
2
(x
i
+ 1)
2
+A
2
(y
i
– 1/2)
2
– A
2
B
2
]

= 4 [B
2
(2x
i
+ 3) + A
2
((y
i+1
)
2
– (y
i
)
2
– y
i+1
+ y
i
)] (2)
Biện luận theo dấu của P
i
*Nếu P
i
< 0 → F(x,y) < 0 → M nằm trong (E) → điểm
Q gần điểm P
Chọn điểm P để vẽ: Khi đó y
i +1
= y
i

Thay vào (2) ta được
P
i+1
- P
i
= 4 [B
2
(2x
i
+ 3)]
P
i+1
= P
i
+ 8 B
2
x
i
+ 12 B
2
(3)
*Nếu P
i
≥ 0 → F(x,y) ≥ 0 → M nằm ngoài (E) → điểm
Q gần điểm S
Chọn điểm S để vẽ: Khi đó y
i +1
= y
i
– 1

Thay vào (2) ta được
P
i+1
- P
i
= 4 [B
2
(2x
i
+ 3) + A
2
((y
i
– 1)
2
– (y
i
)
2
– (y
i
– 1) + y
i
)]
= + 4 [B
2
(2x
i
+ 3) – 2A
2

y
i
+ 2A
2
]
P
i+1
= P
i
+ 4 [B
2
(2x
i
+ 3) – 2A
2
y
i
+ 2A
2
]

= P
i
+ 8B
2
x
i
– 8A
2
y

i
+ 8A
2
+12B
2
(4)
Tính P
0
ứng với điểm ban đầu M
0
(0,B)
P
0
= 4 [B
2
(0 + 1)
2
+ A
2
(B – 1/2)
2
– A
2
B
2
]
= 4B
2
– 4A
2

B + A
2

B3.2 Vẽ vùng 2
Biết M
i
(x
i
,y
i
)
Xác định M
i+1
(x
i+1
,y
i+1
)
x
i+1
Є { x
i
, x
i
+ 1}
y
i+1
= y
i
– 1

Nhật xét : x tăng chậm
y giảm đều
Gọi M là trung điểm của SP
M
i
(x
i
+ 1/2, y
i
– 1 )
Đặt P
i
= 4 F(x,y)
P
i
= 4 [B
2
(x
i
+ 1/2)
2
+ A
2
(y
i
– 1)
2
– A
2
B

2
] (1)
P
i+1
= 4 [B
2
(x
i+1
+ 1/2)
2
+ A
2
(y
i+1
– 1)
2
– A
2
B
2
]
Xét hiệu
P
i+1
- P
i
= 4 [B
2
(x
i+1

+ 1/2)
2
+A
2
(y
i+1
– 1)
2
– A
2
B
2
]
– 4 [B
2
(x
i
+ 1/2)
2
+ A
2
(y
i
– 1)
2
– A
2
B
2
]

= 4 [B
2
(x
i+1
+ 1/2)
2
+A
2
(y
i
– 2)
2
– B
2
(x
i
+ 1/2)
2

– A
2
(y
i
– 1)
2
]
= 4 [B
2
((x
i+1

)
2
– (x
i
)
2
+ x
i+1
– x
i
)

– 2A
2
y
i
+ 3A
2
] (2)
Biện luận theo dấu của P
i
*Nếu P
i
< 0 → M nằm trong (E) → điểm Q gần điểm P
Chọn điểm P để vẽ: Khi đó x
i +1
= x
i
+ 1
Thay vào (2) ta được

P
i+1
- P
i
= 4 [B
2
((x
i
+ 1)
2
– (x
i
)
2
+ x
i
+ 1

– x
i
)

– 2A
2
y
i
+ 3A
2
]
= 4 [B

2
(2x
i
+ 2)
2


– 2A
2
y
i
+3A
2
]
P
i+1
= P
i
+ 8B
2
x
i
– 8A
2
y
i
+ 8B
2
+ 12A
2

(3)
*Nếu P
i
≥ 0 → M nằm ngoài (E) → điểm Q gần điểm S
Chọn điểm S để vẽ: Khi đó x
i +1
= x
i

Thay vào (2) ta được
P
i+1
- P
i
= 4 [B
2
((x
i
)
2
– (x
i
)
2
+ x
i


– x
i

)

– 2A
2
y
i
+ 3A
2
]
= 4 [– 2A
2
y
i
+3A
2
]
P
i+1
= P
i
– 8A
2
y
i
+ 12A
2
(4)
P
0
của vùng 2 là điểm P cuối của vùng 1

1