CongthucToan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. CÔNG THỨC TOÁN HỌC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. CHƯƠNG TRÌNH THPT 10. 11 12. ĐẠI SỐ --- GIẢI TÍCH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ PHẠM ĐỨC QUANG TRƯỜNG THPT_NGUYỄN TRUNG TRỰC –RẠCH GIÁ –KIÊN GIANG. TEL : 0988.700.444 HỌ VÀ TÊN HỌC SINH :. ………………………………………………………………………………………….……….……... . LỚP : ……………………….. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. PHẦN I _ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH TAM THỨC BẬC HAI - BẤT ĐẲNG THỨC 1) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU CĂN - DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. ñk : A  0 A A2  A    A ñk : A  0 A  B A B ñk : B  0  A  B. B  0 A B 2 A  B B  0  A  0 A B A  B. A  B A  B   A  B 3. A  B  A  B3. 2) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU CĂN - DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. B  0  A  B  A  0  A  B2  A  0 A B A  B. 3.  B  0 .  th1 :   0 A  A  B   B  0  th 2 :  2  A  B. B  0  A  B  A  B  A  B . A  B  A  B3. A  B A B  A  B. 3) TAM THỨC BẬC HAI. Cho tam thức :. f ( x )  a .x 2  b .x  c ,. a  0. a  0   0 a  0 b) Điều kiện để : f (x)  0 , x  R     0 a) Điều kiện để : f (x)  0, x  R  . c) Điều kiện để :. f ( x)  0. d) Điều kiện để :. f ( x)  0. có hai nghiệm trái dấu là : có hai nghiệm cùng dấu là :. a .c  0   0   a .c  0.   0  e) Điều kiện để : f ( x )  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương : 0  x 1  x 2   S  0 P  0  f) Điều kiện để :. f ( x)  0.   0  có hai nghiệm phân biệt cùng âm : x 1  x 2  0   S  0 P  0 . b   Với : S  x1  x2   , a  g) Điều kiện để :. f ( x)  0. P  x1.x2 . có hai nghiệm phân biệt thỏa :. c  a. x1  i  x2. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. là :. a. f i   0. . 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 4) BẤT ĐẲNG THỨC: CÔSI (Cauchy) a) Cho hai số không âm : b) Cho ba số không âm :. a b  a.b ; Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi : a=b. 2 a bc 3  a.b.c a  0, b  0, c  0 , ta có bđt : 3. a  0, b  0 , ta có bđt :. Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi : a=b=c.. PHẦN II - CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐẲNG THỨC CƠ BẢN. CÔNG THỨC CỘNG. CÔNG THỨC HẠ BẬC 2 BẬC 3. 2. sin a  cos a  1. cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b. sin 2 a  1  cos2 a  2 2 cos a  1  sin a sin a tan a  ,cos a  0 cos a cos a cot a  ,sin a  0 sin a tan a.cot a  1 1  1  tan2 a 2 cos a 1  1  cot2 a 2 sin a 1 tan a  cot a 1 cot a  tan a. cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b. 2. sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b CÔNG THỨC NHÂN 2 NHÂN 3. sin2a  2sin a.cos a 1 sin a.cos a  sin 2a 2 sin3a  3sin a  4sin3 a cos2 a  sin2 a  cos2a  2cos2 a  1 1  2sin2 a  cos3a  4cos3 a  3cos a 2tan a tan 2a  1  tan2 a. 1 1  cos2a  2 1 cos2 a  1  cos2a  2 1  cos2a tan2 a  1  cos2a 1 sin3 a   3sin a  sin3a  4 1 cos3 a   3cos a  cos3a  4. sin2 a . 1  cos2a  2.cos2 a 1  cos2a  2.sin2 a 1 *sin 4 a  cos4 a  1  sin2 2a 2 3 *sin6 a  cos6 a  1  sin2 2a 4. BIẾN TỔNG THÀNH TÍCH. BIẾN TÍCH THÀNH TỔNG. ab ab cos 2 2 ab ab cos a  cos b  2sin sin 2 2 ab ab sin a  sin b  2sin cos 2 2 ab ab sin a  sin b  2cos sin 2 2. 1 cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   2.     2 cos  a  4     sin a  cos a       2.sin  a   4  .  3    2 cos  a  4     sin a  cos a       2.sin  a   4  . cos a  cos b  2cos. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN   sin   a   cos a 2 .   sin   a   cos a 2 .   cos   a   sin a 2    tan   a   cot a 2 .   cos   a    sin a 2    tan   a    cot a 2 . cos  a  k2   cos a. sin   a   sin a. tan  a  k2   tan a. cos   a    cos a. cot  a  k 2   cot a. tan   a    tan a.   cot   a   tan a 2  tan a  tan b tan  a  b   1  tan a.tan b tan a  tan b tan  a  b   1  tan a.tan b   1  tan a tan   a   4  1  tan a.   cot   a    tan a 2 . BỎ SỐ CHẴN LẦN. sin  a  b  cos a.cos b sin  a  b  tan a  tan b  cos a.cos b. tan a  tan b . sin  a  k2   sin a. . cot    a    cot a. sin  a    sin a. sin   a    sin a. cos  a   cos a. cos   a    cos a. tan  a    tan a. tan    a   tan a. cot  a    cot a. cot   a   cot a.   1  tan a an   a   4  1  tan a. BỎ SỐ LẺ LẦN. . BẢNG GIÁ TRỊ GÓC ĐẶC BIỆT. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN --VÀ ĐẶC BIỆT. u  v  k2  sin u  sin v   u    v  k2 u  v  k2  cos u  cos v   u  v  k2. sin u  1  u   / 2  k2   sin u  1  u   / 2  k2 sin u  0  u  k .  tan u  1  u   / 4  k    tan u  1  u   / 4  k  tan u  0  u  k .  tan u  tan v  u  v  k  cot u  cot v  u  v  k. cos u  1  u  k 2   cos u  1  u    k 2 cos u  0  u   / 2  k . cotu  1  u   / 4  k   cotu  1  u   / 4  k cotu  0  u   / 2  k . Đk : k  Z; k  ...  2, 1,0,1,2,.... PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN GIẢI PTLG KHI GẶP GIÁ TRỊ KHÔNG ĐẶC BIỆT.  x  arcsin  a   k2 1) sin x  a    x    arcsin  a   k2 3) tan x  a  x  arctan  a   k.  x  arccos  a   k2 2) cos x  a    x   arccos  a   k2 4) cot x  a  x  arc cot  a   k. PHẦN III - HÌNH HỌC PHẲNG 1_PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1)Phương trình tổng quát.  Daïng : A. x  B. y  C  0 ;  PVT : n  A, B Caùch vieát : Ñt ( D) ñi qua M0  x0 , y0   vaø coù PVT : n  A, B   VTPT : n  ( D )  VTCP : u // ( D ) ,   VTPT n  VTCP u ,. Daïng : A.( x  x0 )  B.( y  y0 )  0  u  ( D)   n  A ,B   u (  B ,A ). 2) Phương trình tham số chính tắc  Ñt ( D) ñi qua M0  x0 , y0  coù VTCP : u  a, b   x  x0  a. t ; T.s :   y  y0  b. t. C.t :. x  x0 y  y0  a b. 4) Khoảng cách Khoảng cách từ một điểm M0  x0 , y0  đến. 3) Đặc biệt Cho ñt ( D) daïng toång quaùt : A. x  B. y  C  0. đường thẳng ( D) : A. x  B. y  C  0. a.( D1 ) //( D)  ( D1 )coù pt : A. x  B. y  m  0 ; m  C. laø :. d  M0 ,( D)  . A. x0  B. y0  C 2. A B. 5)Vị trí tương đối.  Cho ñt ( D) : A. x  B. y  C  0  PVT : n A, B  ( D') : A'. x  B'. y  C'  0  PVT : n' A', B' A B   ( D)caét( D') A' B' A B C    ( D) //( D') b. Neáu : A' B' C' A B C    ( D)  ( D') c. Neáu : A' B' C' a. Neáu :. b.( D2 )  ( D)  ( D2 )coù pt :  B. x  A. y  n  0. 2. 6) Góc.   PVT : n  A, B  ( D ') : A'. x  B'. y  C '  0  PVT : n' A ', B '. Cho ñt ( D) : A. x  B. y  C  0 kí hieäu :    D, D '.     / n.n'/ cos  / cos n, n ' /     n . n'. . . / A. A' B. B '/ 2. A  B2 . A'2  B '2. Chú ý : Có thể lấy góc của hai đường thẳng thông qua VTCP.. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 2_PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 2. 2. Daïng 1 :  x  a    y  b   R 2 coù taâm : I  a, b  , baùn kính : R Daïng 2 : x 2  y 2  2 a. x  2 a. y  c  0.  tìm taâm ?... laáy heä soá x , y chia cho:  2   coù taâm : I   a,  b  , b. k : R  a 2  b 2  c. Tiếp tuyến Đường thẳng ( D) : A. x  B. y  C  0 là tiếp tuyến của đường tròn khi :. d  I ,  D   R. 3_PHƯƠNG TRÌNH ELÍP. Elíp : 2. 2. x y  1 a 2 b2.  b2  a 2  c2  ñk :  a, b, c döông  a  b. Các yếu tố trong (E). .Tiêu cự :. F1 F2  2 c. .Tieâu ñieåm :. F1   c, 0  , F2  c, 0 . .Trục lớn :. A1 A2  2. a. .Truïc nhoû :. B1 B2  2. b.  baùn kính qua tieâu: MF1  a  ex, MF2  a  ex 4_PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOL .Tiêu cự : Hypebol : .Tieâu ñieåm : b2  c2  a2 2 2 x y    1 đk : a, b, c dương .Trục thực : a2 b2 a  c .Truïc aûo :  Tiếp tuyến PTTT taïi ñieåm M0  x0 , y0    H  coù daïng : x.. x0 y  y. 02  1 2 a b. .Ñænh : A1  a, 0 ; A2  a, 0 ; B1  0, b ; B2  0, b .Taâm sai :. e. c a. .Đường chuẩn : x  . a2 c. Tiếp tuyến PTTT taïi ñieåm M0  x0 , y0    E . coù daïng :. x.. x0 y  y. 02  1 2 a b. F1 F2  2 c F1   c, 0  ; F2  c, 0  A1 A2  2 . a B1 B2  2 . b. . Ñænh : A1   a , 0  ; A2  a , 0  c . T a âm sa i : e  a a2 . Ñ ö ô ø n g c h u a ån : x   c b . T ie äm c a ä n : y   .x a. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 5_PHƯƠNG TRÌNH PARABOL Parabol. y2  2. p.x. p  .Tieâu ñieåm F , 0 2 . , p0. .đường chuẩn:x  . Tiếp tuyến PTTT taïi ñieåm M0  x0 , y0    P . p 2. .Baùn kính qua tieâu: MF  x . coù daïng : y. y0  p.  x  x0 . p 2. Chú ý : Điều kiện để đường thẳng : ( D) : A. x  B. y  C  0 là tiếp tuyến của Côníc khi. laø tt cuûa ( E) khi : A2 a2  B2 b2  C 2. laø tt cuûa ( H) khi : A2 a2  B2 b2  C2. laø tt cuûa (P) khi : p.B2  2. A.C. PHẦN IV - GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.Hoán vị:. Một sắp thứ tự gồm n phần tử  n  1 của tập hợp A gọi là một hoán vị.. Số hoán vị là :. Pn  n!  n  n  1 n  2  ...3.2.1. ñk: 1  n  N. 2.Chỉnh hợp: Cho tập họp A gồm n phần tử , mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử ( 0  k  n ) trong n phần tử được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.  k,n  N n!  Số chỉnh hợp là : A k  ñk:  k  0 k=n  A kn =Pn =n! n  n  k ! n  k  Cho tập họp A gồm n phần tử , một tập con gồm 3.Tổ hợp : phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.  k ,n  N n ! Ak  k Số tổ hợp là: C n  ñk:  k  0 C nk  n k !  n  k ! k! n  k  4.Các tính chất cơ bản. 0 ! = 1 ; C 0n = 1 ; C nn = 1 ; C 1n = n 5.Nhị thức Newton:. a.  b. . C nk  C nn  k n. n. . . C. k n. k. ;. phần tử ( 0  k  n ) trong. n. C nk  C nk  1  C nk 11. .a nk .b k. k0.  a  b. n.  Cn0 an b0  Cn1 an1b1  Cn2 an2 b2  ...  Cnk .ank .bk  ...  Cnn1a1bn1  Cnn a0 bn. , (1).  .Trong công thức có (n +1) số hạng.  .Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức .  . Hệ số của nhị thức cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau vì: C nk  C nn  k  . Số hạng tổng quát trong khai triển là :. Tk1  Cnk . an k .bk. . Nó đứng ở vị trí thứ ( k +1 ). trong khai triển .. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 6.Sự đặc biệt trong công thức (1). (1)  Cn0  C1n  Cn2  Cn3  ...  Cnn1  Cnn. a  b  1:. 2n. . k. n. a  1 , b  1: (1)  Cn0  C1n  Cn2  Cn3  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn  0 a  1 , b  x : (1)  1 x a  1 , b  x : (1)  1 x. n. n.  Cn0  C1n x1  Cn2 x2  Cn3 x3  ...  Cnk xk  ...  Cnn xn k. (2) n.  Cn0  Cn1 x1  Cn2 x2  Cn3 x3  ...   1 Cnk xk  ...   1 Cnn xn 6.  1 Sử dụng tìm hệ số trong khai triển nhị thức : 2x 2  ???  x. 8.Tam giác Pascal:. n=0. 1. n=1. 1. n=2. 1 + 2. 1. n=3. 1. 3. 3. 1. n=4 n=5 n=6. 1 1 1. 4 5 6. 6 10 15. 4 10 20. 1 . 1 5 15. 1 6. 1. PHẦN V - XÁC SUẤT BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ Số phần tử của tập hợp A : hoặc Nếu. A A và. nA. A  B   thì : A  B  A  B. Nếu A , B. A B  A : A : A :. A đối nhau , A xảy ra khi A không xảy ra:. A   \ A ; hai biến cố đối nhau thì luôn xung khắc A  B là giao của A của hai biến cố A và B , xảy ra khi. tùy ý thì :. A  B  A B. A và B đồng thời xảy ra., Kí hiệu : A.B. A là biến cố A là biến cố không A là biến cố chắc chắn. A  B là hợp của A của hai biến cố A và B, xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra.. 1. Xác suất của biến cố A : Trong đó :. A  B   khi đó A, B xung khắc , không cùng xảy ra. P  A . n  A  A  n   . n(A)  A số phần tử của A, hay kết quả thuận lợi cho A ;. n      , là số kết quả của không gian mẫu . 2. Ta có : P     0, P     1, 0  P     1 . 3.. Nếu A ; A đối nhau thì :.  . P A  1  P  A .. 4. Công thức cộng xác suất : nếu A, B xung khắc thì xác suất của biến cố : C  A  B là :. P C   P  A  B   P  A  P  B  5. Công thức cộng xác suất : nếu A, B cùng liên quan một phép thử : P  A  B   P  A   P  B   P  A  B  .. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 6. Xác suất của biến cố giao_ công thức nhân_ nếu A, B độc lập : P  A.B  . nA  B  P  A  .P  B  . n  . 7. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc : Biến ngẫu nhiên : X   x1, x 2 ,x 3 ,..., x n  có xác suất : P  x k   pk với k  1, 2, 3,...,n. x1 p1. X P KÌ VỌNG :. x3 p3. x2 p2. E  X   x 1p 1  x 2 p 2  x 3 p 3  ...  x np n . xn pn. … … n.  xp i. i. i 1. PHƯƠNG SAI : V  X    x1  E .p1   x 2  E .p2   x 3  E .p3  ...   xn  E .pn  2. 2. 2. 2. n. x  E .p 2. i. i. i1. n. V  X    x 12 .p1  x 22 .p 2  x 23 .p 3  ...  x n2 .p n   E 2   x i2 .p i  E 2 i1. ĐỘ LỆCH CHUẨN : s X  . V  X. PHẦN V - CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1. PHÉP TỊNH TIẾN :.  x'  x  a Tu  M   M ' , u  a, b  : M  x, y   M '  x ', y '   y '  y  b. 2. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, TRỤC OX :. x '  x Ñ0 X  M   M ' : M  x, y   M '  x ', y '    y '  y. 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC , TRỤC OY :. x'  x Ñ0 Y  M   M ' : M  x, y   M '  x ', y '    y '  y. 4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM O(0,0) :. x '  x ÑO  M   M ' : M  x, y   M '  x ', y '    y '  y. x ' x  a  2  b  y ' y  2. 5. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM I( a, b ) :. ÑI  M   M ' : M  x, y   M '  x ', y ' . 6. PHÉP VỊ TỰ TÂM O(0,0) :.  x '  k.x VO,k   M   M ' : M  x,y   M'  x',y'     y '  k.y. 7. PHÉP VỊ TỰ TÂM I( a, b ) :.  x ' a  k. x  a   x '  a 1  k   kx V I ,k   M   M ' : M  x,y   M'  x',y'     y ' b  k. y  b   y '  b  1  k   ky Trong đó : I , O. là tâm vị tự , và. k là tỉ số vị tự.. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. PHẦN VII — GIẢI TÍCH 1)ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM Cho hàm số y= f(x) có TXĐ D , x0. f  x 0 + Δx  - f  x 0  =L Δx→0 Δx.  D thì ĐẠO HÀM là kết quả của giới hạn: y'  x 0  = f'  x 0  = lim. 2) CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM. 1 . c ' = 0. c  c '=   x  x2 c  v' '= c. 2  v  v u '. v  v '. u  u  1 5 . '=  v 2  v  a .d  c .b  a .x + b  1 6 . '=  2  c .x + d  c . x + d   1 3 .   1 4 . . 2 .  x ' = 1.   4 .  x ' = 3 x 5 .  x  ' = n .x 3. x 2 ' = 2x 3. 2. n. 6.. . . x '=. n 1. 1. 1 7 . s in x. ' = c o s x 1 8 . s in u ' = u '. c o s u 1 9 . c o s x ' =  s in x 2 0 . c o s u ' =  u '. s in u. 2. x 7 . u + v  ' = u ' + v ' 8 . u - v  ' = u '  v ' 9 .  c .u  ' = c .u ' 1 0 .  u .v  ' = u '.v  v '.u.  . 1 1 . u n ' = n .u n  1.u ' 12..  u  ' = 2 .1 u .u '. 3) VI PHÂN :. 1 s in 2 x u' 2 2 . c o t u ' =  s in 2 u 1 2 3 . t a n x ' = cos 2x u' 2 4 . t a n u ' = c o s 2u 2 1 . c o t x. ' =. Vi phân của hàm số y = f(x). . kí hiệu : dy và :.  2 6 . e 2 7 . a 2 8 . a.   ' = u '.e  ' = a . ln a  ' = u '.a .ln a. 25. e x ' = e x u x u. u. x. u. 1 x u' 3 0 .  ln u  ' = u u' 3 1 . ln u ' = u 2 9 .  ln x  ' =. . . 1 x .ln a u' 3 3 .  lo g a u  ' = u .ln a u' 3 4 . lo g a u ' = u .ln a. 3 2 .  lo g a x  ' =. . . dy = df(x) = f ‘(x) .dx. CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN Cho hàm số : y =f(x) có đạo hàm với mọi x trên tập xác định D.. a. Nếu :f '(x)  0 x  D  y=f (x) đồng biến trên D b. Neáu :f '(x)  0 x  D  y=f (x) nghòch bieán treân D   . Dấu “ = “ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm . Hàm số đồng biến và nghịch biến được gọi là hàm số đơn điệu . Vậy muốn xét tính đồng biến , nghịch biến ta phải xét dấu : f '( x )  0 hoặc f '( x )  0 ?. 2. CỰC TRỊ . ( DẤU HIỆU 1 ) : Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số thì : f '( x0 )  0 và y’ đổi dấu khi qua x0 .. . Hàm số : y = f(x) có n điểm cực trị khi f '( x )  0 có n nghiệm. phân biệt.. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . ax 2  bx  c , coù CÑ-CT khi pt: y'= 0 coù 2 nghieäm phaân bieät dx  e a  0 Khi đó : y '  0....  mx 2  nx  p  0 có 2 nghiệm phân biệt     0 Caùc haøm soá: y  ax 3  b.x 2  cx  d ; y . . Hàm số y  ax 4  b.x 2  c có 3 cực trị khi y'= 0 có 3 nghiệm phân biệt: y '  0  4.ax 3  2b.x  0 x  0 x  0  b 2   2x.2.ax  b  0   Vậy có 3 cực trị khi :   0  (b).(2a)  0. 2.ax2  b  0  x2   b 2a   2a. . ( DẤU HIỆU 2 ) : Cho hàm y=f(x) có đạo hàm tới cấp 2 tại x 0  D. và :. . Bài toán :.  f '( x0 )  0 *Neáu:   thì hàm số đạt CĐ tại x 0 .  f ''( x0 )  0  f '( x0 )  0  thì hàm số đạt CT tại x 0 . *Neáu:   f x ''( ) 0 0 . Cho hàm số : y= f(x, m) .. Tìm m để hàm số đạt cực CĐ hoặc C.tiểu tại * Tính: f '(x)  ?  f '(x0 )  0  m  ? *m  ?. x0 ?. (ñk tham soá). thay vaøo : y '  f '( x)  Laäp baûng bieán thieân vaø kieåm tra theo caâu hoûi ?. 3. GTLN_GTNN.  x  D : a. Soá M goïi laø GTLN cuûa h.s neáu :    x0  D : Kí hieäu : M = max f ( x ).. f ( x)  M f (x0 )  M. D.  x  D : f ( x)  m b. Soá m goïi laø GTNN cuûa h.s neáu :    x 0  D : f ( x0 )  m Kí hieäu : m= m in f ( x ). D. . BÀI TOÁN 1 : Tìm GTLN_GTNN của hàm số trên đoạn.  a, b . ?. * Tìm nghieäm y'=0 treân [a, b]: Tính y '  ?  y '  0  x1, x2, x3... * Tính giaù trò :f (a); f (b); f (x1 ) f (x2 )... * So saùnh caùc giaù trò treân  max ; min ? . BÀI TOÁN 2 : Tìm GTLN_GTNN của hs trên khoảng:.  a, b .  a, b  ;  a,   ;  , b  ; a,   ;  , b  ? * Ta lập bảng biến thiên ;... nếu có duy nhất 1 cực trị: * Nếu là CĐ thì đó là :GTLN-max. * Nếu là CT thì đó là :GTNN-min. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 4. ĐIỂM UỐN. . Tìm điểm uốn :  y '  y ''  0  x0 ?  y 0 ?  U  x0 , y 0  .. .  f ''(x0 )  0 Điểm : M ( x0 , y0 ) gọi là điểm uốn của đồ thị khi:   f ( x0 )  y 0. 5. TIỆM CẬN a. Tiệm cận đứng. Neáu : lim y    lim y   x  x0. x  x0. Neáu : lim y    lim y   x  x0. * Với hàm số : y . thì ñ.thaúng: x  x0 laø TCÑ.. x  x0. a.x  b d , muốn tìm TCĐ ta cho mẫu: c.x  d  0  x   c.x  d c. là TCĐ.. b. Tiệm cận ngang. Neáu lim y  lim y  k thì ñ.thaúng: y  k laø TCN. x. * Với hàm số: y . x . ax  b ax  b a ax  b a . Ta vieát: lim = ; lim  x cx  d x cx  d cx  d c c. thì TCN laø : y . a c. c. Tiệm cận xiên. Với hàm số: y . ax 2  bx  c r Ta chia đa thức  y  m .x  n  dx  e px  q. Trong đó : ( mx+n ) là phần nguyên của phép chia , và. Ta vieát : lim [y  (mx  n )]  lim x  . x  . lim [y  (mx  n )]  lim. x . x  . r là phần dư. px  q. r 0 px  q r  0  TCX: y  m .x  n px  q. 6. BÀI TOÁN SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ.  C  : y  f  x ,. Cho hai đồ thị có phương trình :.  C ' : y  g  x, m . .. Tìm điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc với nhau?.  f  x   g  x  có nghiệm.  f '  x   g '  x . Giải : Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình : . …..ta phải tìm cách giải hệ: Giải một phương trình sau đó thế vào phương trình kia (hoặc bằng cách rút ,thế ….) rồi suy ra điều kiện cần tìm .? 7. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN BÀI TOÁN 1 : Viết PTTT của đồ thị (C) y=f(x). Giải :. tại điểm M0  x0 , y0  thuộc đồ thị (C). Tìm hệ số góc cuả tiếp tuyến là : k  y '  x0   f '  x0   ...? . Khi đó PTTT có dạng :. y  f '( x0 ).  x  x0   y0. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BÀI TOÁN 2 : Viết PTTT của đồ thị (C) y=f(x) khi biết hệ số góc của tiếp tuyến là. :k. Ta tìm tiếp điểm M0  x0, y0  từ phương trình : y '  k  x 0 ?  y 0 ?  M 0 ( x0 , y 0 ). Giải :. Khi đó PTTT có dạng :. y  k .  x  x0   y0. CHÚ Ý : Cho hai đường thẳng :  D  : y  a.x  b. có hệ số góc : a.  D ' : y  a '.x  b ' 1). có hệ số góc :. a’. D // D '  a  a '. 2) D  D '  a .a '   1 BÀI TOÁN 3 : Viết PTTT của đồ thị (C) y=f(x). biết tiếp tuyến đó đi qua. điểm M 0  x 0 , y0 . Giải : ( Phải tìm hệ số góc của tiếp tuyến là k = ? ) * Gọi hệ số góc của đường thẳng (D) đi qua M0 là : k * Khi đó phương trình (D) có dạng : y  k .  x  x0   y0.  f ( x)  k .  x  x0   y0  f '( x)  k. * Để (D) là tiếp tuyến của (C ) thì hệ :  * Giải hệ : thế (2) vào (1)  x ?  k ?. (1) (2). : Khi đó PTTT có dạng :. phải có nghiệm.. y  k .  x  x0   y0. 8. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO Bài toán 2. Bài toán 1. x x. Bài toán 1 Cho hàm số : y  f  x  , có đồ thị ( C) . a. Khảo sát vẽ đồ thị (C ). b.. Dựa vào đồ thị ( C),hãy biện luận theo m số nghiệm của pt : 1 : f  x, m   0. Giải :  Điều quan trọng nhất là ta biến đổi phương trình (1) sao cho nó xuất hiện đồ thị ( C) và những gì còn dư ta đẩy sang bên kia….  f  x   g  m  . (2)  . Nhìn vào đồ thị vừa vẽ ta cho đường thẳng g(m) dao động song song với trục hoành và cắt đồ thị. Đường thẳng g(m) cắt đồ thị tại bao nhiêu điểm thì phương trình có bấy nhiêu nghiệm.. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Cho hàm số : y  f  x  , có đồ thị ( C) và đường thẳng (Dm) : y  g  x, m  ( có thể là đường cong).. Bài toán 2. Tìm m để đường thẳng (Dm) cắt đồ thị ( C) tại 1 điểm , 2 điểm , 3 điểm phân biệt ….. Gải : . Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của pt:  f ( x )  g( x , m ) (1). . Sắp xếp , biến đổi phương trình (1) theo dạng bậc 2 , bậc 3…. . Nếu là pt bậc 2 : Phaûi bieän luaän soá nghieäm cuûa pt (1) : (D  ?; D  0; D  0; D  0?) *Neáu pt(1) khoâng coù nghieäm  (C) khoâng caét (Dm ) . *Neáu pt(1) coù 1 nghieäm  (C) caét (Dm ) taïi 1 ñieåm.. . . *Neáu pt(1) coù 2 nghieäm  (C1 ) caét ( Dm ) taïi 2 ñieåm. Nếu là pt bậc 3 ta phải tìm 1 nghiệm nguyên rồi chia đa thức …Sau đó tùy yêu cầu của bài toán mà ta biện luận số nghiệm của phương trình ….. 9. S….. PHẦN VIII-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC  a m .a n  a m  n. a n  a .a.a...a  n _ soá. a. am  n  a mn a. a 0 = 1 1 a = -n a n -n  a   b     =    b   a  n.  a m. . a    b. n. n. . n. n.  a m .n. n   a  bn.   a .b   a n .b n n.  a. a. m. m. a . m n. n an.k  ak. n .m. a.  . n.  n a .b . n. a .n b.  a  / a/.  n .k a k . n. a.  e0 1. n. a  b. n n. n.  elna  a. a b. 1.Hàm số mũ –Lôgarít  x  0  y  log a x  ay  x; ñk :   y loge x lnx , e2,714...   0  a  1.  ln 1  0. y  0   y  ax  x  loga y; ñk :    0  a  1.  ln e a  a. log a a  1 a. loga m. loga 1  0. Đọc:. y  log10 x  lg x  log x Đọc:. e. m. loga x1.x2   loga x1 loga x2. Lôga.Nêpe của x. ln m. Lốc x. =m. 10. lg m. m.  x1  log a    log a x1  log a x2  x .  ln e  1  lg 1  0  lg 1 0  1. log a  xa   a .log a x. 2. log ab x  . . 1. b. . loga x. loga b . 1 log b a. log a b . PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. log m b log m a 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 2.PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. a  1. 0  a  1.  a x1  a x 2  x 1  x 2.  a x1  a x2  x1  x2.  a x1  a x2  x1  x2.  a x  b  x  log a b.  a x  b  x  log a b.  a x  b  x  log a b. a x  0. ; x  R. 3.PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT A_PHƯƠNG TRÌNH.  f  x  g x  loga f  x  loga g x       f  x  0 V g  x  0. loga x  b  x  ab B_BẤT PHƯƠNG TRÌNH :. a1. Chú ý : cơ số. a>1 ?. 0<a<1 ?.  f  x  a b    log a f  x  b       f  x  0. 0  a 1.  f  x  g  x   log a f  x  log a g  x     g  x  0.  f  x  ab    log a f  x  b    f  x  0 .  f  x  g  x  log a f  x  log a g  x     f  x  0. Chú ý. Phương trình mũ dạng bậc hai … Dạng 1. m.a 2. f ( x)  n.a f ( x)  p  0 (1) Cách giải : Đặt :. t  a f (x) ; t  0. (1)  m.t  n.t  p  0  t  x? 2. Phương trình Lôgarít dạng bậc hai… Dạng 1. m.log2a f  x  n.loga f  x  p  0 ,(1) Cách giải :. Đặt :. Đk : f  x   0. t  log a x. , tR. (1)  m.t 2  n.t  p  0  t  x?. Phương trình mũ : Dạng 2. m .a 2. f ( x )  n. a.b  Cách giải : Chia hai vế phương trình cho :. f ( x).  p.b. 2 f  x.  0 (2). b 2 f (x). PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. a 2. f ( x ) a f ( x ) .b f  x  2   m . 2 f x  n. 2 f x  p  0 b b a  m .  b  Đặt :. 2. f x . a  n.  b . a   b . t . f x.  p  0,  * . f (x). ; t 0. Vậy ta có phương trình :. (*)  m.t 2  n.t  p  0  t  x ?. PHẦN VIII - NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 1 mxn .e c m n 1 x 1 1 mxn 2,  x n dx   c ; n  1 a 11,  amxn .dx  . c n 1 m ln a dx dx 1 3,   ln x  c 12,   .ln ax  b  c x a. x  b a 4,  e x . dx  ex  c 1 13,  sin  ax dx   cos  ax  c a 1 .a x  c 5,  a x . dx  1 ln a 14,  cos  ax  dx  sin  ax   c a 6,  sin xdx   cos x  c dx 1  tan( ax)  c 15,  7 ,  cos xdx  sin x  c 2 a cos  ax  1 dx 1 8,  dx   cot x  c 16,  sin2  ax   a cot(ax)  c sin 2 x 1 9,  dx  tan x  c 1 1 n n1 17,   ax  b dx  . cos 2 x  ax  b  c a n 1 (n  1). 1,  1. dx.  xc. 10,  e mxn .dx. . 18,  a. f (x)dx  a f (x)dx 19,   f (x)  g x  dx  f (x)dx   g(x)dx b. a. 20,  f (x)dx  f (x)dx a. b. a. 21,  f (x)dx  0 a. b. c. b. 22,  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx;c a; b a. a. c. b. 23, f (x)  0/  a; b   f (x)dx  0/  a; b a. CT : Newton - leibniz b. b.  f  xdx  F x a  F b  F a a. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN A.Tích phân từng phần b. Công thức :.  u.dv  u.v -  v.du.  u .d v.  u .v. b a. b. -. a.  v .d u a. Chú ý : Tích phân từng phần dùng để tính các tích phân có dạng :. Dạng 1. I   p(x).e xdx,. x.  p(x).a dx,  p(x).sin xdx,  p(x).cos xdx.... PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.   2x  1.sin xdx,  x .cos2xdx,   2x 2. Ví duï :. 2.  3 e3xdx,. x.  (x).5 dx;... .... Loại t.p này phải đặt :.  u  p x   2 x  1 du  2 x  1'.dx  2.dx   …  dv  sin x  v   sin x.dx   cos x. Dạng 2. J=.  p ( x).ln x.dx.  3x. :. 2.  1  .ln xdx,. 3.  x .log. 2. xdx.... Loại t.p này phải đặt :.  1  u  p  x   ln x  du  ln x '.dx  .dx x    …  dv  3 x 2  1   v  3 x 2  1.dx  x 3  x     B.Phương pháp đổi biến : Đặt t = u(x) Loại tích phân có chứa hai hàm số : u(x) và u’(x) đi cùng nhau phải đặt : t = u(x). K   sin 3 x.cos xdx,. ñaët : t  sin x;. H . 1 2  cos 2 x  3 tan x  2 tan x  dx,. L. . N .  5 x. 3 x 2  1.xdx , 2.  3. 2009. M =  5 x.. 1 3x2  1. dx,. ñaët :t= 3 x 2  1. ñaët :t=  5 x 2  3 . .xdx,. 1 3 ln x  1. d x , x sin x.cos x Q dx, sin 2 x  10 P. ñaët : t  tan x. ñaët :t=. . 3 ln x  1. ñaët :t= sin 2 x  10  /2. Ví dụ. : Tính. A. . 3 sin x  1.cos x.dx. 0. Đặt :. t . 2. Đổi cận. 3 s in x  1 2.  t  3 s in x  1. x. 0.  2 t .d t  3 c o s x .d x 2td t   c o s x .d x 3. t. 1. A . 1.  2 2.  t.. 2t .d t 3. 2. 2  .  t 2 .d t 3 1 . 2 t3 2 .  ... 3 3 1. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN C.Phương pháp đổi biến : Đặt x = u(t) 2. 2. I   2  x dx,. J. x2 22  x 2. dx...ñaët : x  2.sin t. D.Tích phân hàm hữu tỷ mẫu vô nghiệm. x2 1 K 2 dx, H=  2 dx..., ñaët : x  2.tan t x  22 ( x  22 ) 2 E.Tích phân hàm hữu tỷ mẫu có nghiệm Chú ý : Mẫu số có nghiệm : ax2  bx  c và được phân tích thành :  px  q  dx  e  .. I. m.x  n m. x  n dx   dx  2  bx  c  px  q  dx  e .  ax.  A ?. B ? .   px  q  dx  e  dx. Vấn đề ở chỗ ta phải tìm A=? , B = ? . Bằng cách đồng nhất đa thức ….?. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A_DIỆN TÍCH 1) a. Cho hình phẳng ( D) giới hạn bởi hai đồ thị y=f(x) ; y= g(x) và hai đường thẳng : x = a ; x = b : b.  y  f ( x ) , y  g  x   SD  (D)   x  a , x  b. . f ( x )  g ( x ) dx. a. b. Cho hp ( D) giới hạn bởi hai đồ thị y=f(x) ; y=0 (trục hoành) và hai đường thẳng : x = a ; x = b :.  y  f (x) , y  0 (D)   SD   x  a, x  b. b. . f ( x)  0 dx. a. Chú ý Ta phải sử lý dấu . bằng cách giải p. trình : f(x) – g(x) =0 tìm nghiệm : x =  ;  ...  [ a ; b ] Khi đó tích phân ban đầu được tách thành nhiều tích phân , và trên một khoảng nó chỉ mang một dấu do đó ta đưa dấu . ra ngoài tích phân và tính tích phân một cách bình thường . b. . b. . b.  SD   f ( x)  g( x) dx   f ( x)  g( x) dx   f ( x)  g( x) dx   ( f ( x)  g( x))dx   ( f ( x)  g( x))dx  ... a. a. a. . . c. Diện tích khi chiếu xuống trục oy : (D) gồm các đồ thị : x=g(y) , trục tung : x=0, và hai đường thẳng : y=a, y=b.  x  g (y) , x  0 (D )   SD   y  a, y  b. b. . g ( y )  0 .dy. a. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. B_THỂ TÍCH 1.Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục 0x : b  y  f ( x) , y  0 2 (D )   Vox     f ( x)  .dx  x  a, x  b a. 2.Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục. 0y :. b  x  g ( y) , x  0 2 (D )   Voy     g ( y ) .dy  y  a, y  b a. PHẦN IX - TRƯỜNG SỐ PHỨC : 1. ĐỊNH NGHĨA.  Số phức là biểu thức có dạng : z = a + b .i  Trong đó a là phần thực , b là phần ảo .  Biểu diễn hình học là điểm M (a; b ) trên Oxy. thì z là số thực .  z=a  z = b.i thì z là số ảo .. . 3.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình :. Az 2 + Bz + C = 0. ;. D = B - 4AC 2.  D=0. nghiệm kép :. B 2A -B ± D z1,2 = 2A. z1 = z2 = -.  D > 0 hai nghiệm thực :  D < 0 hai nghiệm phức :. 2. CÁC TÍNH CHẤT. z = a + bi ; z' = a'+ b'.i z = z' Û a = a';b = b'. z1,2 =. Cho hai số phức :.   z + z' = (a + a') + (b + b') i.  z - z' = (a - a') + (b - b') i  z.z' = (a + bi) .(a'+ b'i) ; như nhân hai đa thức .. -B ± -D . i 2A. 4.DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. z = a + b.i. . = r (c o s j + i.sin j ). trong đó :.      . z = a + bi = a - bi. . z = z.z = a2 + b 2. . z.z' = z . z'. . z + z' £ z + z'. ìï r = z = a 2 + b 2 ; m odun ïï í ïï j __acgum en ; sin j = b ; cos j = a ïïî r r. z = a + bi = a + bi = z z + z' = z + z' z.z' = z.z' z.z = a2 + b 2.  z.z' = r.r' éë cos (j + j ') + i. sin (j + j ')ùû. z = a2 + b 2. . 1 z.  z-1 = =. 1 z. 2.  .z. æ z' ö z' z' z'  ççç ÷÷÷ = ; = è ø z. z'. . z. z. z r = éë cos (j-j ') + i.sin (j-j ')ùû z' r'. z n = r n (cos n j + i. sin n j ). z là một căn bậc hai của số phức w = a + bi Û z 2 = w ; thì hai căn bậc hai của w là hai số phức có dạng : z = x + y.i và z = -x - y.i , với : x , y thỏa hệ phương trình :. ìïï x 2 - y 2 = a Þ x ; y =? í ï 2xy = b ïî. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. PHẦN X - HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1). Tọa độ của vectơ và các tính chất.      .u  x.i  y. j  z.k  u  x, y, z      .OA  x.i  y. j  z.k  A  x, y, z .   . Góc hai vectơ : Cho :u  x, y, z  , v  x ', y ', z ' .    u.v x.x' y.y ' z.z ' .cos(u, v)     u.v x2  y2  z2 . x'2  y '2  z '2. CHÚ Ý.   Cho :u  x, y, z  , v  x ', y ', z '    .u  v   x  x ', y  y ', z  z '   .c.u  c. x, y, z    cx, cy, cz   . u  x2  y 2  z 2  2 2 . u  u  x2  y 2  z 2  .u.v  x.x ' y.y ' z.z '    .u  v  u.v  0 x  x'    .u  v   y  y ' z  z ' . :.   00  u, v  1800.  . TÍCH CÓ HƯỚNG Cho hai vectơ có tọa độ.  a x ,y, z  y z z x x y   a,b   ; ;   y ' z ' z ' x ' x ' y ' b x ', y ', z '      C aùc tính ch aát:       a , b cuøn g phöông   a , b   0  0, 0, 0         a , b, c đồn g p hẳn g   a , b  .c =0         a , b   a ,  a , b   b          a , b   a . b sin  ,  = a , b. . . 2) . Ứng dụng của tích có hướng.  Dieän tích tam giaùc ABC: 1    AB, AC  dt  ABC    2   Đườn g cao AH trong tam giác : AH=. 2.dt  ABC  BC. T heå tích khoái hoäp :ABCD.A'B'C'D'    VH   AB, AD  .AA ' T hể tích khối tứ diện ABCD 1     AB, AC  .AD VABCD   6   Đườn g cao AH của tứ diện ABCD: AH . 3.VABCD dt  BC D  PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 3). Tọa độ của điểm và các tính chất. Cho A  xA, yA, zA  , B xB, yB, zB . CHÚ Ý. Neáu I laø trung ñieåm cuûa AB. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. xA  xB   xI  2  yA  yB   yI  2  z A  zB   zI  2  M chia AB theo tyû soá k ,  k  1. .AB  (xB  xA )2  (yB  yA )2  (zB  zA )2.   AB  CD  AB  CD    AB  CD  0. G laø troïn g taâm cuûa tam giaùc ABC. G là trọng tâm của tứ diện ABCD.  .AB   xB  xA, yB  yA, zB  zA . x A  x B  xC   xG  3  y y   A B  yC  yG  3  z A  z B  zC   zG  3 . xA  xB  xC  xD  xG  4  yA  yB  yC  zD  yG  4  z z zC  zD    A B zG  4 . xA  k.xB  xM  1  k  yA  k.yB  yM  1 k  zA  k.zB  zM  1  k . PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1) A. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có có dạng:. A.x  B.y  C.z  D  0.  n  A, B, C . Trong đó VTPT :. B. CÁCH VIẾT i) Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua điểm M  x0 , y0 , z0   A x  x0  B y  y0  C và có VTPT : n  A, B,C  có dạng:. . . . .  z  z0   0. ii) Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua điểm M  x0 , y0 , z0   a ...     VTPT : c  a, b   ... m, n, p  có dạng: và có cặp VTCP :   b .... m.  x  x0   n.  y  y0   p.  z  z0   0. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN iii) Phương trình của mặt phẳng chắn trên ba trục tọa độ tại :. A(a,0,0) , B(0, b,0) , C(0,0, c) : coù daïng:. x y z   1 a b c. 2) . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI – GÓC – KHOẢNG CÁCH CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng có pt.  (P) : Ax  By  Cz  D  0  PVT : n A, B,C  (Q) : A' x  B' y  C' z  D'  0  PVT : n  A', B',C'. KHOẢNG CÁCH. Khoảng cách từ điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) đến (P) :Ax  By  Cz  D  0 laø:. A B C      thì hai mp caét nhau A ' B'  C'  theo giao tuyến là một đường thẳng có pt :. d  M0 ,(P)  . A.x0  B.y0  C.z0  D A2  B2  C 2. • Neáu :.  Ax  By  Cz  D  0 (D)  (P)  (Q):   A' x  B' y  C' z  D '  0 • A B C D Neáu :     (P)//(Q) A' B' C' D' • Neáu :. A B C D     (P)  (Q) A ' B' C ' D '. GÓC Goùc cuûa hai maët phaún g  (P1 ) : coùVTPT n 1  A1 , B1, C1   (P2 ) : co ùVTPT n 2  A2 , B2 , C2 . goïi  (P1 ),(P2 )  j, 0 0  j  90 0   n 1.n 2 A1.A2  B1 .B2  C1.C2 cos j     A12  B12  C12 A22  B22  C 22 n1 n 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1 ) PHƯƠNG TRÌNH. Phương trình của đườn g thẳn g Ñt (D) ñi qua ñieåm M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )  co ù VTCP u  a, b, c   x  x 0  at  •TS :  y  y 0  bt  z  z  ct  0. CT :. x - x0 y - y 0 z - z 0   a b c Đk: (a  0, b  0, c  0).  x - x0 y - y0  a  b Daïng CT  Toång quaùt :   x - x0  z - z0  a c (a  0, b  0, c  0). PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.  D ạn g TQ của đườn g thẳn g là giao của hai m p co ù pt  Ax  By  Cz  D  0 (D ) :  A'x  B'y  C'z  D '  0. (P ) (Q ). 2 ) GÓC. Góc của hai đường thẳn g  (D1 ) : co ùVTCP u 1 a1, b1 , c1   (D 2 ) : co ùVTCP u 2 a2 , b2 , c2 . Goùc cuûa ñt vaø mp :  (D) : coùVTCP u a, b, c  (P) : coùVTPT n  A, B, C. goïi  ( D1 ),(D2 )  j,0 0  j  90 0. goïi  (D);(P)  j ;00  j  900.   u 1 .u 2 cos j     u1 u 2.  u.n a.A  b.B  c.C sin j     a 2  b 2  c2 A 2  B2  C 2 u n. a1.a2  b1 .b2  c1 .c2 a12  b12  c12 a22  b22  c22. 3 ) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI – KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG KHOẢNG CÁCH Vị trí tương đối của hai đương thẳng. qua M1 (x1, y1, z1 ) qua M2 (x2, y2, z2 )   (D) :  ;(D') :  VTCP u1  a,b, c VTCP u2  a ', b', c '  Xeùt M1M2 =  m, n, p a b c a  b c    ;   ;    (D)//(D'). a ' b ' c' m  n p  a b c  a'  b'  c' b.Neáu :   (D)  (D') a  b  c  m n p a.Neáu :. * Neáu khoâng xaûy ra hai khaû naêng treân thì    ta phaûi tính : u1, u2  .M1M2  ???    a) Neáu : u1,u2 .M1M2  0 thì hai ñt caét nhau.    b)Neáu : u1,u2 .M1M2  0 thì hai ñt cheùo nhau.. c)Neáu caâu hoûi : Cmr hai ñt cheùo nhau ta    chỉ chứng minh: u1, u2  .M1M2  0. Khoảng cách từ điểm A(x0, y0, z0 ) đến đt(D): x - x1 y - y1 z - z1 ñi qua:M1 (x1, y1, z1 )  ;   a b c coùVTCP : u  a,b, c   u, AM1    laø : d  A,(D)   u. (D) :. KHOẢNG CÁCH Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau:. qua M1 (x1, y1, z1 ) qua M2 (x2, y2, z2 )   (D1 ) :  (D2 ):  VTCP u1  a1,b1,c1   VTCP u2  a2,b2, c2     u1,u2 .M1M2   laø : d  (D1 ),(D2 )    u1,u2   . PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 4) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.  Mp :(P) :Ax  By  Cz  D  0  PVT : n  A, B,C   Ñt (D) ñi qua ñieåm M0 (x0, y0 , z0 ) coùVTCP u  a, b, c .  a)Neáu : n.u  0  ñt (D) caét mp (P) taïi 1 ñieåm..    n .u  0  ( D ) //(P ) b)   M 0  ( P )    n . u  0 c)   (D )  (P )  M 0  ( P ). MẶT CẦU 1). Phương trình mặt cầu dạng 1:. Có tâm I a , b , c  , bán kính : R 2 2 2 S  : x  a    y  b   z  c   R 2. 2). Phương trình mặt cầu dạng 2 :. S : x2  y 2  z2  2a.x  2b.y  2cz  d  0. Có tâm I  a ,  b ,  c  , bán kính. R  a2  b2  c2  d. 3) . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG. Cho mf( P ) A.x  B.y  C.z  D  0 và mặt cầu tâm I a , b , c  , bán kính : R .. a) Neáu : d I,P   R thì :(P)  (S)   b) Neáu : d I,P   R thì :(P) laø tieáp dieän cuûa mc (S) c) Nếu : d I,P   R thì :(P) cắt mc (S) theo giao tuyến là một đường tròn ( ) cóphương trình : Ax  By  Cz  D  0 Đường tròn giao tuyến : () :  x  a 2  y  b2  z  c2  R 2   Chuù yù : Tìm taâm H, b.kính : r = ? cuûa ñ.troøn : (  ) (hình veõ) Tính : d I,P   ?  r 2  R 2  d 2I,P  Vieát p.t.ñ.thaúng (D) qua I vaø (D)  (P).  Tìm taâm : H = (D)  (P). PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 4). TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU : Điều kiện để mặt phẳng : A.x  B.y  C.z  D  0. tiếp xúc với mặt cầu tâm. I a , b , c  , bán kính R là : ĐIỀU KIỆN d I,P  R . A.a  B.b  C.c  D A 2  B2  C2. R. Mặt phẳng lúc này gọi là tiếp diện của mặt cầu .. 5) . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng : (D) :. x  x0 y  y 0 z  z 0   ,mặt cầu tâm I a , b , c  , b.kính R. m n p. a) Neáu : d I,D   R thì :(D)  (S) =  b) Neáu : d I,D   R thì :(D) laø tieáp tuyeán cuûa mc (S) c) Neáu : d I, D   R thì :(D) caét mc (S) taïi 2 ñieåm phaân bieät . 6). TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU : Điều kiện để đường thẳng : (D). x  x0 y  y 0 z  z 0   m n p. tiếp xúc ( là tiếp tuyến ) với mặt cầu tâm I a , b , c  , bán kính R là :    IM,u  D    R , M  D   ĐK: d I,D  R  uD. (dạng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng). PHẦN X - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A—THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN Tỷ số thể tích trong khối chóp tam giác. VS.A 'B 'C ' SA '.SB '.SC ' = VS .A B C SA .SB .SC Trong đó : A’ , B’, C’ tùy ý trên SA, SB,SC khác với S. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Thể tích khối chóp. V =. Thể tích khối lăng trụ. 1 B .h 3. B_diện tích đáy h_độ dài đ.cao. V = B.h. Thể tích khối hộp chữ nhật. Thể tích khối lập phương. V = a.b.c. V = a3. B_diện tích đáy a,b,c là kích thước 3 cạnh. h_độ dài đcao.. a _là kích thước cạnh. B—DIỆN TÍCH CÁC ĐA GIÁC Diện tích tam giác 1 1 1 1 1 1 S  a.h a  b.h b  c.h c S  a.b.sin C  b.c sin A  a.c.sin B 2 2 2 2 2 2 abc , S  p.r 4R  R; r  b.kính đường tròn ngoại ,nội tiếp  S. Trong tam giác vuông trung tuyến bằng. Talét. abc 2. ½. 1 BC S  . A B .A C cạnh huyền . AM  2 2. ĐỊNH LÝ. S  p p  a p  b p  c , p . ma2 . Trung tuyến :. b 2  c2 a 2  2 4. ( Thalès). Định lí cosin. :. Định lí sin. :. b2  c 2  a 2 2bc a b c    2R sin A sin B sin C cos A . Đường cao kẻ từ đỉnh vuông của tam giác vuông.. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Diện tích tứ giác Hình vuông cạnh a. Hình bình hành cạnh a và đường cao h. S  a2. S  a.h. Hình chữ nhật cạnh a, b. Hình thoi hai đường chéo a , b.. S . Hình thang có hai đáy a, b và đường cao h.. 1 a .b 2. S .  a  b  .h 2. S  ab .. C—THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRÒN XOAY Diện tích mặt nón. Diện tích hình nón. Thể tích khối nón. Sxq   .r.l. ST.p = Sxq + .r2. 1 VN = . r 2 .h 3. r, bán kính l, đường sinh h , đường cao. Diện tích mặt trụ. Sxq  2.r.l. Diện tích hình trụ. Thể tích khối trụ. ST . p  Sxq  2. .r 2. VKT   .r2.h   .r2.l. r,bán kính l,đường sinh h,đường cao. Diện tích mặt cầu. SC  4 .r 2. Thể tích khối cầu. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. V . 4  .r 3 3. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. D—QUAN HỆ VUÔNG GÓC CHỨNG MINH GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG. Chú ý. c  a  c  P   c  b   a   P , b   P , a  b  I . Khi xác định góc của hai đường thẳng chưa cắt nhau ta phải quy về các đt cắt nhau bằng cách tìm các đt song song tương ứng với hai đường thẳng đã cho.. CHỨNG MINH. GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC. Vì.  c   Q     c P   .   D '  la ø h ìn h c hieáu c uûa. Q    P . 1).  . b.  c .  D  tr e ân  P .   D ,  P    D , D '  . CHÚ Ý: 1) Chứng minh đt v.góc mp  Q   P   Q   P   c   Q  ,. : A H  P  ???. GÓC CỦA HAI MẶT PHẲNG. P . c  b. 2) Chứng minh đthẳng v.góc với đthẳng.  a   P   a b   b   P .  P   Q   c   a  c b  c .   P ,  Q     a , b   .  a   P , b   Q ,. a  b  I, I  c . PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Từ A kẻ AH vuông góc với đt(D) suy ra k/c cần tìm.. AH   D  d  A, D   AH Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Lấy một điểm A tùy ý trên (a) tính k/c đến đt (b).. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Từ A xác định AH vuông góc với mp(P) suy ra k/c cần tìm. AH  a  AH   P  d  A, P   AH  AH b   Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. (quy về k/c từ một điểm đến một đường). Lấy một điểm A tùy ý trên mp(P) tính k/c đến mp(Q), (quy về k/c từ. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG. Lấy một điểm A tùy ý trên đt(D) tính k/c đến mp(P), (quy về k/c. từ một điểm đến một mặt). một điểm đến một mặt).  a   P    Q   a  R   P  R , Q  R         . PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. CÁCH 1 : K/c chính là độ dài đoạn vuông góc chung.  AB  a, AB  a  A   d  a, b   AB  AB  b, AB  b  B ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU. Đoạn thẳng AB vừa vuông góc , vừa cắt cả hai đt a , b thì gọi là đoạn vuông góc chung.. CÁCH 2. CÁCH 3. Tìm một mp(P) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia khi đó quy về k/c giữa đt // mp. Tìm hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng khi đó quy về k/c hai mp song song. b   P  d a,b  d  a, P   d  A, P   AH  a //  P , A a (quy về k/c từ một điểm đến một mặt). K/c giữa hai mp song song chứa hai đường quy về k/c từ một điểm đến một mặt. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. E—QUAN HỆ SONG SONG CHỨNG MINH. CHỨNG MINH. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHĂNG. ĐỊNH LÝ : Talét ( Thalès).  a // a '  a //  P   a '  P   . AM AN MN    k  MN // BC AB AC BC CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.  a   Q , a / /  P    b  Q , b / /  P   a  b  I .   P  //  Q   a //  Q   a  P   . Q  / / P . TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHĂNG. TÌM GIAO TUYẾN  Tìm 1 điểm chung  Tìm 2 đường song song nằm trong 2 mặt.. ... .  M   P , M   Q    a // b a  P , b  Q        P    Q   Mx, Mx // a, Mx // b. …HẾT… PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. MỤC LỤC NỘI DUNG CẦN TÌM. Trang. Phương trình - bất phương trình chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối. 2. Phương trình bậc hai có nghiệm trái dấu , cùng dấu , âm , dương…. 2. Công thức lượng giác , bảng giá trị , phương trình lượng giác…. 3,4. Hình học phẳng (Oxy-lớp 10) : Phương trình đường thẳng , góc , khoảng cách …. 5. Phương trình đường tròn , Elips , Hypebol, Parabol…. 6. Đại số tổ hợp: Hoán vị , Chỉnh hợp, Tổ hợp, Nhị thức Newton…. 7,8. Xác suất. 8. Phép biến hình Lớp 11. 9. Đạo hàm. 10. Hàm số đồng biến , nghịch biến , cực trị …. 10, 11. GTLN-GTNN ( max-min) , tiệm cận…. 11,12. Tiếp tuyến , tương giao, giao điểm , tiếp xúc …. 12,13,14. Mũ ,lũy thừa , hàm số mũ , logarít …. 14. Phương trình , bất phương trình Mũ –Loogarit. 15. Nguyên hàm , tích phân…. 16. Các phương pháp tích phân Diện tích , thể tích. 16,17,18 18,19. Số phức. 19. Hình học giải tích (Oxyz) lớp 12 : Tọa độ điểm , vecto,tích vô hướng, có hướng. 20. Diện tích tam giác , thể tích tứ diện, đồng phẳng …. 20. Phương trình mặt phẳng. 21. Vị trí tương đối hai mặt phẳng , góc , khảng cách …. 22. Phương trình đường thẳng (Oxyz), góc , khảng cách , vị trí tương đối …. 22,23. Mặt cầu , tiếp diện , tiếp tuyến của mặt cầu …. 24, 25. Tỷ số thể tích , thể tích khối đa diện…. 25 , 26. Diện tích tam giác ,tính chất tam giác vuông , cân, đều …. 26. Định lí : sin , cosin , trung tuyến, …. 26. Thể tích , diện tích : Khối cầu , nón , trụ , diện tích tứ giác…. 27. Hình học không gian 11 : Chứng minh song song, vuông góc , góc , khoảng cách …. PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444. 28,29,30…. 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span>