Tài liệu Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác docx

Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

Chương 1

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

:

CÁC BƯ C ð U CƠ S
ð b t ñ u m t cu c hành trình, ta khơng th khơng chu n b hành trang đ lên đư ng.
Tốn h c cũng v y. Mu n khám phá ñư c cái hay và cái ñ p c a b t ñ ng th c lư ng
giác, ta c n có nh ng “v t d ng” ch c ch n và h u d ng, đó chính là chương 1: “Các
bư c ñ u cơ s ”.
Chương này t ng quát nh ng ki n th c cơ b n c n có đ ch ng minh b t đ ng th c
lư ng giác. Theo kinh nghi m cá nhân c a mình, tác gi cho r ng nh ng ki n th c này là
ñ y ñ cho m t cu c “hành trình”.
Trư c h t là các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev
…) Ti p theo là các ñ ng th c, b t ñ ng th c liên quan cơ b n trong tam giác. Cu i cùng
là m t s ñ nh lý khác là cơng c đ c l c trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c (ñ nh lý
Largare, ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai, ñ nh lý v hàm tuy n tính …)
M cl c:
1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n…………………………………………… 4
1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM…...……………............................................ 4
1.1.2. B t ñ ng th c BCS…………………………………………………….. 8
1.1.3. B t ñ ng th c Jensen……………………………………………….... 13
1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev…………………………………………..... 16
1.2. Các ñ ng th c, b t ñ ng th c trong tam giác…………………………….. 19
1.2.1. ð ng th c……………………………………………………………... 19
1.2.2. B t ñ ng th c………………………………………………………..... 21
1.3. M t s ñ nh lý khác………………………………………………………. 22

1.3.1. ð nh lý Largare ………………………..……………………………. 22
1.3.2. ð nh lý v d u c a tam th c b c hai………………………………….. 25
1.3.3. ð nh lý v hàm tuy n tính…………………………………………….. 28
1.4. Bài t p…………………………………………………………………….. 29

The Inequalities Trigonometry

3


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n :
1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM :
V i m i s th c không âm a1 , a 2 ,..., a n ta ln có
a1 + a 2 + ... + a n n
≥ a1 a 2 ...a n
n
B t ñ ng th c AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là m t b t đ ng th c
quen thu c và có ng d ng r t r ng rãi. ðây là b t ñ ng th c mà b n ñ c c n ghi nh rõ
ràng nh t, nó s là cơng c hồn h o cho vi c ch ng minh các b t ñ ng th c. Sau ñây là
hai cách ch ng minh b t ñ ng th c này mà theo ý ki n ch quan c a mình, tác gi cho
r ng là ng n g n và hay nh t.

Ch ng minh :
Cách 1 : Quy n p ki u Cauchy
V i n = 1 b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng. Khi n = 2 b t ñ ng th c tr thành

2
a1 + a 2
≥ a1 a 2 ⇔ a1 − a 2 ≥ 0
(ñúng!)
2
Gi s b t ñ ng th c ñúng ñ n n = k t c là :
a1 + a 2 + ... + a k k
≥ a1a 2 ...a k
k
Ta s ch ng minh nó đúng v i n = 2k . Th t v y ta có :
(a1 + a 2 + ... + ak ) + (a k +1 + ak +2 + ... + a 2k ) (a1 + a 2 + ... + ak )(ak +1 + ak +2 + ... + a2k )
≥
2k
k

(

)

≥

(k

k

)(

a1 a 2 ...a k k k a k +1 a k + 2 ...a 2 k

)

k
= 2 k a1 a 2 ...a k a k +1 ...a 2 k
Ti p theo ta s ch ng minh v i n = k − 1 . Khi đó :
a1 + a 2 + ... + a k −1 + k −1 a1a 2 ...a k =1 ≥ k k a1 a 2 ...a k −1 k −1 a1a 2 ...a k −1
= k k −1 a1 a 2 ...a k −1
⇒ a1 + a 2 + ... + a k −1 ≥ (k − 1)k −1 a1 a 2 ...a k −1
Như v y b t ñ ng th c đư c ch ng minh hồn tồn.
ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a 2 = ... = a n

Cách 2 : ( l i gi i c a Polya )

The Inequalities Trigonometry

4


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

G i A =

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

a 1 + a 2 + ... + a n

n
Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i
a1 a 2 ...a n ≤ A n
(*)

Rõ ràng n u a1 = a 2 = ... = a n = A thì (*) có d u đ ng th c. Gi s chúng khơng b ng
nhau. Như v y ph i có ít nh t m t s , gi s là a1 < A và m t s khác, gi s là a 2 > A
t c là a1 < A < a 2 .
Trong tích P = a1 a 2 ...a n ta hãy thay a1 b i a'1 = A và thay a 2 b i a' 2 = a1 + a 2 − A .
Như v y a'1 + a' 2 = a1 + a 2 mà a'1 a' 2 −a 2 a 2 = A(a1 + a 2 − A) − a1a 2 = (a1 − A)(a 2 − A) > 0
⇒ a'1 a' 2 > a1 a 2
⇒ a1 a 2 a3 ...a n < a'1 a' 2 a3 ...a n
Trong tích P ' = a '1 a' 2 a3 ...a n có thêm th a s b ng A . N u trong P ' còn th a s khác
A thì ta ti p t c bi n đ i đ có thêm m t th a s n a b ng A . Ti p t c như v y t i ña
n − 1 l n bi n ñ i ta ñã thay m i th a s P b ng A và ñư c tích A n . Vì trong q trình
bi n đ i tích các th a s tăng d n. ⇒ P < A n . ⇒ đpcm.

Ví d 1.1.1.1.
Cho A,B,C là ba góc c a m t tam giác nh n. CMR :
tan A + tan B + tan C ≥ 3 3

L i gi i :
tan A + tan B
= − tan C
1 − tan A tan B
⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
Tam giác ABC nh n nên tanA,tanB,tanC dương.
Theo AM – GM ta có :
tan A + tan B + tan C ≥ 33 tan A tan B tan C = 33 tan A + tan B + tan C

Vì tan ( A + B ) = − tan C ⇔

⇒ (tan A + tan B + tan C ) ≥ 27(tan A + tan B + tan C )
2

⇒ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3
ð ng th c x y ra ⇔ A = B = C ⇔ ∆ABC đ u.

Ví d 1.1.1.2.
Cho ∆ABC nh n. CMR :
cot A + cot B + cot C ≥ 3

The Inequalities Trigonometry

5


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

L i gi i :
Ta ln có : cot ( A + B ) = − cot C
cot A cot B − 1
⇔
= − cot C
cot A + cot B
⇔ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
Khi đó :
(cot A − cot B )2 + (cot B − cot C )2 + (cot C − cot A)2 ≥ 0
⇔ (cot A + cot B + cot C ) ≥ 3(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = 3
2

⇒ cot A + cot B + cot C ≥ 3

D u b ng x y ra khi và ch khi ∆ABC đ u.

Ví d 1.1.1.3.
CMR v i m i ∆ABC nh n và n ∈ N * ta luôn có :
n −1
tan n A + tan n B + tan n C
≥3 2
tan A + tan B + tan C

L i gi i :
Theo AM – GM ta có :

tan n A + tan n B + tan n C ≥ 33 (tan A tan B tan C ) = 33 (tan A + tan B + tan C )
n

tan n A + tan n B + tan n C
n −3
≥ 33 (tan A + tan B + tan C ) ≥ 33 3 3
⇒
tan A + tan B + tan C
⇒ đpcm.

( )

n −3

=3

n

n −1
2

Ví d 1.1.1.4.
Cho a,b là hai s th c th a :
cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0
CMR : cos a + cos b ≥ 0

L i gi i :
Ta có :
cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0
⇔ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ 1
Theo AM – GM thì :

The Inequalities Trigonometry

6


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

(1 + cos a ) + (1 + cos b ) ≥ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ 1

2
⇒ cos a + cos b ≥ 0

Ví d 1.1.1.5.

Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có :
2 
3
cos C cos A
cos B cos C
A
B
B
C
C
A
cos A cos B
+
+
≤
 sin sin + sin sin + sin sin  +
A
B
B
C
C
A
2
2
2
2
2
2 2
3
cos cos

cos cos
cos cos
2
2
2
2
2
2

L i gi i :
Ta có

cos A
A
A
= sin cot
A
2
2
2 cos
2
3
cos A cos B
A
B  3


4
=  sin sin  cot A cot B 
A

B 
2
2  4

4 cos cos
2
2
Theo AM – GM thì :
2
A
B 3
3


cos A cos B  sin sin + cot A cot B 
4
2
2 4

≤
A
B 
2

4 cos cos


2
2 


cos A cos B
A
B 3
2 

≤
 sin sin + cot A cot B 
A
B
2
2 4
3

cos cos
2
2
Tương t ta có :
cos B cos C
B
C 3
2 

≤
 sin sin + cot B cot C 
B
C
2
2 4
3


cos cos
2
2
⇒

cos C cos A
A
2  C
≤
 sin sin +
C
A
2
2
3
cos cos
2
2
C ng v theo v các b t ñ ng th c trên ta ñư

The Inequalities Trigonometry

3

cot C cot A 
4

c:

7


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

cos A cos B
cos B cos C
cos C cos A
+
+
A
B
B
C
C
A
cos cos
cos cos
cos cos
2
2
2
2
2
2
≤

A
B
B
C
C
A
3
2 
(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A)
 sin sin + sin sin + sin sin  +
2
2
2
2
2
2 2
3

=

A
B
B
C
C
A
3
2 
⇒ ñpcm.
 sin sin + sin sin + sin sin  +

2
2
2
2
2
2 2
3

Bư c ñ u ta m i ch có b t đ ng th c AM – GM cùng các ñ ng th c lư ng giác nên
s c nh hư ng ñ n các b t đ ng th c cịn h n ch . Khi ta k t h p AM – GM cùng BCS,
Jensen hay Chebyshev thì nó th c s là m t vũ khí đáng g m cho các b t ñ ng th c
lư ng giác.

1.1.2. B t ñ ng th c BCS :

(a1 , a2 ,..., an ) và (b1 , b2 ,..., bn ) ta ln có :
(a1b1 + a2 b2 + ... + a n bn )2 ≤ (a1 2 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 )

V i hai b s

N u như AM – GM là “cánh chim ñ u ñàn” trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c thì
BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) l i là “cánh tay ph i” h t s c ñ c l c. V i
AM – GM ta luôn ph i chú ý ñi u ki n các bi n là khơng âm, nhưng đ i v i BCS các
bi n khơng b ràng bu c b i đi u ki n đó, ch c n là s th c cũng ñúng. Ch ng minh b t
ñ ng th c này cũng r t ñơn gi n.

Ch ng minh :
Cách 1 :
Xét tam th c :
2

2
2
f ( x) = (a1 x − b1 ) + (a 2 x − b2 ) + ... + (a n x − bn )
Sau khi khai tri n ta có :
2
2
2
2
2
2
f ( x) = a1 + a 2 + ... + a n x 2 − 2(a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn )x + b1 + b2 + ... + bn
M t khác vì f ( x) ≥ 0∀x ∈ R nên :

(

)

(

(

)(

∆ f ≤ 0 ⇔ (a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) ≤ a1 + a 2 + ... + a n b1 + b2 + ... + bn
2

ð ng th c x y ra ⇔

2

2

2

2

2

2

)

)

⇒ ñpcm.

a
a1 a 2
=
= ... = n (quy ư c n u bi = 0 thì ai = 0 )
b1 b2
bn

Cách 2 :
The Inequalities Trigonometry

8


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

S d ng b t ñ ng th c AM – GM ta có :
2
2
ai
bi
+ 2
≥
2
2
2
2
2
a1 + a 2 + ... + a n
b1 + b2 + ... + bn

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

2 ai bi

(a

2

2

2

)(

2

2

+ a 2 + ... + a n b1 + b2 + ... + bn
Cho i ch y t 1 ñ n n r i c ng v c n b t ñ ng th c l i ta có ñpcm.
ðây cũng là cách ch ng minh h t s c ng n g n mà b n ñ c nên ghi nh !
1

2

)

Bây gi v i s ti p s c c a BCS, AM – GM như ñư c ti p thêm ngu n s c m nh, như
h m c thêm cánh, như r ng m c thêm vây, phát huy hi u qu t m nh hư ng c a mình.
Hai b t đ ng th c này bù ñ p b sung h tr cho nhau trong vi c ch ng minh b t ñ ng
th c. Chúng ñã “lư ng long nh t th ”, “song ki m h p bích” cơng phá thành cơng nhi u
bài tốn khó.
“Trăm nghe khơng b ng m t th y”, ta hãy xét các ví d đ th y rõ đi u này.

Ví d 1.1.2.1.
CMR v i m i a,b, α ta có :

(sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 +  a + b 


 2 

2

L i gi i :
Ta có :
(sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) = sin 2 α + (a + b )sin α cos α + ab cos 2 α

1 + cos 2α
1 − cos 2α (a + b )
sin 2α + ab
+
2
2
2
1
= (1 + ab + (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α )
2
=

(1)

Theo BCS ta có :

(2)

A2 + B 2

A sin x + B cos x ≤
Áp d ng (2) ta có :

(a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ≤ (a + b )2 + (ab − 1)2
Thay (3) vào (1) ta ñư c :

(sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 (1 + ab +

(a

2

(

(a

2

))

a+b
+1 b2 +1 ≤ 1 + 

 2 

)(

The Inequalities Trigonometry

)(

(a

2

)(

) (3)

+1 b2 +1

)) (4)

+1 b2 +1

2
Ta s ch ng minh b t ñ ng th c sau ñây v i m i a, b :

1
1 + ab +
2

=

2

(5)

9


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

Th t v y :

(5)

⇔

1 ab 1
+
+
2 2 2

(a

2

)(

)

+1 b2 +1 ≤ 1+

a 2 + b 2 ab
+
4
2

a2 + b2 + 2
2
2
a +1 + b2 +1

2
2
(6)
⇔ a +1 b +1 ≤
2
Theo AM – GM thì (6) hi n nhiên đúng ⇒ (5) đúng.
T (1) và (5) suy ra v i m i a,b, α ta có :

(

)(

)

(

⇔

)(

) (

a 2 +1 b2 +1 ≤

) (

)

2

(sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 +  a + b 


 2 
ð ng th c x y ra khi x y ra ñ ng th i d u b ng (1) và (6)
a = b
a = b
a 2 = b 2



⇔  a+b
ab − 1 ⇔ 
π
a+b
a+b ⇔ 
1
=
+k

tgα =
α = arctg
 sin 2α cos 2α
ab − 1
ab − 1
2
2



(k ∈ Z )

Ví d 1.1.2.2.
Cho a, b, c > 0 và a sin x + b cos y = c . CMR :
cos 2 x sin 2 y 1 1
c2
+
≤ + − 3
a
b
a b a + b3

L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
1 − sin 2 x 1 − cos 2 y 1 1
c2
+
≤ + − 3
a
b
a b a + b3
c2
sin 2 x cos 2 y
⇔
+
≥ 3
(*)
a
b
a + b3

Theo BCS thì :
(a1b1 + a 2 b2 )2 ≤ a12 + a 2 2 b1 2 + b2 2

(

v i

)(

)

sin x
cos y

; a2 =
a1 =
b
a

b = a a ; b = b b
 1
2

 sin 2 x cos 2 y  3
2
3
⇒

 a + b  a + b ≥ (a sin x + b cos y )



3
3
do a + b > 0 và a sin x + b cos y = c ⇒ (*) ñúng ⇒ ñpcm.

(

The Inequalities Trigonometry

)

10


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

ð ng th c x y ra ⇔

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

a1 a 2
sin x cos y
=
⇔ 2 = 2
b1 b2
a
b

 sin x cos y

= 2

⇔  a2
b
a sin x + b cos y = c


a 2c
sin x = 3


a + b3
⇔
2
cos y = b c

a3 + b3


Ví d 1.1.2.3.
CMR v i m i ∆ABC ta có :
a2 + b2 + c2
2R
v i x, y, z là kho ng cách t ñi m M b t kỳ n m bên trong ∆ABC ñ n ba c nh
BC , CA, AB .
x+ y+ z≤

A

L i gi i :

Ta có :
S ABC = S MAB + S MBC + S MCA

⇔

P
Q

S MAB S MBC S MCA
+
+
=1
S ABC S ABC S ABC

y

z

ha

M
x

B

z
y
x
⇔
+ +

=1
hc hb ha

C

N

 x
y
z 
⇒ ha + hb + hc = (ha + hb + hc ) + + 
h

 a hb hc 
Theo BCS thì :
x + y + z = ha

x
ha

+ hb

y
hb

+ hc

z
hc

≤

 x
y
z 
+ +  = ha + hb + hc

 ha hb hc 

(ha + hb + hc )


1
1
aha = ab sin C ⇒ ha = b sin C , hb = c sin A , hc = a sin B
2
2
ab bc ca
⇒ ha + hb + hc = (a sin B + b sin C + c sin A) =
+
+
2R 2R 2R
T ñó suy ra :

mà S =

x+ y+ z≤

ab + bc + ca
≤

2R

The Inequalities Trigonometry

a2 + b2 + c2
⇒ ñpcm.
2R
11


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

a = b = c
ð ng th c x y ra khi và ch khi 
⇔ ∆ABC ñ u và M là tâm n i ti p ∆ABC .
x = y = z

Ví d 1.1.2.4.
Ch ng minh r ng :
 π
cos x + sin x ≤ 4 8 ∀x ∈  0 ; 
 2

L i gi i :
Áp d ng b t ñ ng th c BCS liên ti p 2 l n ta có :

(

cos x + sin x

) ≤ ((1
4

)
≤ (1 + 1 ) (1
2

)

+ 12 (cos x + sin x )
2 2

2

2

2

)(

)

+ 12 cos 2 x + sin 2 x = 8

⇒ cos x + sin x ≤ 8
4

ð ng th c x y ra khi và ch khi x =

π
4

.

Ví d 1.1.2.5.
Ch ng minh r ng v i m i s th c a và x ta có
1 − x 2 sin a + 2 x cos a
≤1
1+ x2

(

)

L i gi i :
Theo BCS ta có :

((1 − x )sin a + 2 x cos a )

2

2

((

≤ 1− x2
2

) + (2 x ) )(sin
2

2

4

2

2

a + cos 2 a
2

= 1 − 2x + x + 4x = 1 + 2x + x

)

4

(( )
) ≤ (1 + x )
(1 − a )sin a + 2 x cos a ≤ 1
⇔

⇒ 1 − x 2 sin a + 2 x cos a

2

2 2

2

1+ x2

⇒ ñpcm.

The Inequalities Trigonometry

12


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

1.1.3. B t ñ ng th c Jensen :
Hàm s y = f (x) liên t c trên ño n [a, b] và n ñi m x1 , x 2 ,..., x n tùy ý trên đo n
[a, b] ta có :
i) f ' ' ( x) > 0 trong kho ng (a, b ) thì :
 x + x 2 + ... + x n 
f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf  1

n


ii) f ' ' ( x) < 0 trong kho ng (a, b ) thì :
 x + x 2 + ... + x n 

f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf  1

n


B t ñ ng th c AM – GM và b t ñ ng th c BCS th t s là các ñ i gia trong vi c ch ng
minh b t đ ng th c nói chung. Nhưng riêng ñ i v i chuyên m c b t ñ ng th c lư ng giác
thì đó l i tr thành sân chơi riêng cho b t ñ ng th c Jensen. Dù có v hơi khó tin nhưng
đó là s th t, ñ n 75% b t ñ ng th c lư ng giác ta ch c n nói “theo b t ñ ng th c
Jensen hi n nhiên ta có đpcm”.
Trong phát bi u c a mình, b t đ ng th c Jensen có đ c p ñ n ñ o hàm b c hai,
nhưng ñó là ki n th c c a l p 12 THPT. Vì v y nó s khơng thích h p cho m t s ñ i
tư ng b n ñ c. Cho nên ta s phát bi u b t ñ ng th c Jensen dư i m t d ng khác :

x+ y
+
Cho f : R + → R th a mãn f ( x) + f ( y ) ≥ 2 f 
 ∀x, y ∈ R Khi đó v i m i
 2 
+
x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ta có b t đ ng th c :
 x + x 2 + ... + x n 
f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf  1

n



S th t là tác gi chưa t ng ti p xúc v i m t ch ng minh chính th c c a b t đ ng th c
Jensen trong phát bi u có f ' ' ( x) . Còn vi c ch ng minh phát bi u khơng s d ng đ o

hàm thì r t đơn gi n. Nó s d ng phương pháp quy n p Cauchy tương t như khi ch ng
minh b t ñ ng th c AM – GM. Do đó tác gi s khơng trình bày ch ng minh đây.

Ngồi ra, m t s tài li u có th b n ñ c g p khái ni m l i lõm khi nh c t i b t ñ ng
th c Jensen. Nhưng hi n nay trong c ng đ ng tốn h c v n chưa quy ư c rõ ràng ñâu là
l i, ñâu là lõm. Cho nên b n đ c khơng nh t thi t quan tâm đ n đi u đó. Khi ch ng minh
ta ch c n xét f ' ' ( x) là ñ ñ s d ng b t ñ ng th c Jensen. Ok! M c dù b t ñ ng th c
Jensen không ph i là m t b t ñ ng th c ch t, nhưng khi có d u hi u manh nha c a nó
thì b n ñ c c tùy nghi s d ng .

The Inequalities Trigonometry

13


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c đ u cơ s

Ví d 1.1.3.1.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
sin A + sin B + sin C ≤

3 3
2

L i gi i :
Xét f ( x) = sin x v i x ∈ (0 ; π )
Ta có f ' ' ( x) = − sin x < 0 ∀x ∈ (0 ; π ) . T đó theo Jensen thì :

π 3 3
 A+ B+C 
⇒ đpcm.
f ( A) + f (B ) + f (C ) ≤ 3 f 
 = 3 sin =
3
3
2


ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.

Ví d 1.1.3.2.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC đ u ta có :
A
B
C
tan + tan + tan ≥ 3
2
2
2

L i gi i :
 π
Xét f ( x ) = tan x v i x ∈  0 ; 
 2
2 sin x
 π
Ta có f ' ' ( x ) =

> 0 ∀x ∈  0 ;  . T đó theo Jensen thì :
3
cos x
 2
A B C
 + + 
π
A
B
C



f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3 sin = 3 ⇒ ñpcm.
3
6


2
2
2




ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC đ u.

Ví d 1.1.3.3.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :

A

 tan 
2


2 2

B

+  tan 
2


2 2

C

+  tan 
2


2 2

≥ 31−

2

L i gi i :

The Inequalities Trigonometry

14


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

Xét f ( x ) = (tan x )

2 2

 π
v i x ∈  0; 
 2

(

)

Ta có f ' ( x ) = 2 2 1 + tan 2 x (tan x )

((

)(

)

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

(

= 2 2 (tan x )

2 2 −1

(

2 2 −1

+ (tan x )

)(

)

2 2 +1

)

)

f ' ' ( x ) = 2 2 2 2 − 1 1 + tan 2 x (tan x )
+ 2 2 + 1 1 + tan 2 x (tan x )
>0
Theo Jensen ta có :
A B C
2 2
 + + 
 π

C
B
 A
f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3 tg 
= 31− 2 ⇒ ñpcm.
3
  6

2
2
2




ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
2 2 −2

2 2

Ví d 1.1.3.4.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
A
B
C
A
B
C 3
sin + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 3
2

2
2
2
2
2 2

L i gi i :
 π
Xét f ( x ) = sin x + tan x v i x ∈  0 ; 
 2
4
sin x 1 − cos x
 π
f ' ' (x ) =
Ta có
> 0 ∀x ∈  0 ; 
4
cos x
 2
Khi đó theo Jensen thì :
A B C
 + + 
π 3
 π
C 
B
 A
f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3 sin + tan  = + 3 ⇒ ñpcm.
3
6

6 2
 

2
2
2




ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC đ u.

(

)

Ví d 1.1.3.5.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có :

(sin A) (sin B ) (sin C )
sin A

sin B

sin C

2
≥ 
3

3 3
2

L i gi i :
Ta có

The Inequalities Trigonometry

15


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C


sin A + sin B + sin C ≥ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C

3 3
và sin A + sin B + sin C ≤
2
3 3
⇒ 2 < sin A + sin B + sin C ≤
2
Xét f ( x ) = x ln x v i x ∈ (0 ;1]
Ta có f ' ( x ) = ln x + 1
1

f ' ' ( x ) = > 0 ∀x ∈ (0 ;1]
x
Bây gi v i Jensen ta ñư c :
sin A + sin B + sin C  sin a + sin B + sin C  sin A(ln sin A) + sin B(ln sin B ) + sin C (ln sin C )
ln
≤
3
3
3



 sin A + sin B + sin C 
⇔ ln

3



sin A+ sin B + sin C

≤ ln(sin A)

sin A

+ ln(sin B )

sin B

+ ln(sin C )

sin C

 sin A + sin B + sin C  sin A+sin B +sin C 
sin A
sin B
sin C
⇔ ln 

 ≤ ln (sin A) (sin B ) (sin C )
3






[

]

(sin A + sin B + sin C )sin A+sin B +sin C ≤ (sin A)sin A (sin B )sin B (sin C )sin C
⇔
sin A+ sin B + sin C
3

⇒ (sin A)

sin A

(sin B ) (sin C )
sin B

sin C

2 sin A+sin B +sin C  2 
≥ sin A+sin B +sin C =  
3
3

sin A + sin B + sin C

2
≥ 
3

3 3
2

⇒ ñpcm.

1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev :
V i hai dãy s th c ñơn ñi u cùng chi u a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn thì ta có :
1
a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ≥ (a1 + a 2 + ... + a n )(b1 + b2 + ... + bn )
n
Theo kh năng c a mình thì tác gi r t ít khi s d ng b t đ ng th c này. Vì trư c h t
ta c n ñ ý t i chi u c a các bi n, thư ng ph i s p l i th t các bi n. Do đó bài tốn
c n có u c u đ i x ng hoàn toàn gi a các bi n, vi c s p x p th t s không làm m t
tính t ng qt c a bài tốn. Nhưng khơng vì th mà l i ph nh n t m nh hư ng c a b t

ñ ng th c Chebyshev trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác, m c dù nó có m t
ch ng minh h t s c ñơn gi n và ng n g n.

The Inequalities Trigonometry

16


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

Ch ng minh :
B ng phân tích tr c ti p, ta có ñ ng th c :
n

∑ (a − a )(b − b ) ≥ 0
u nên (a − a )(b − b ) ≥ 0

n(a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) − (a1 + a 2 + ... + a n )(b1 + b2 + ... + bn ) =

i

j

i

j

i , j =1

Vì hai dãy a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn ñơn ñi u cùng chi

i

j

i

j

N u 2 dãy a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn ñơn ñi u ngư c chi u thì b t đ ng th c đ i
chi u.

Ví d 1.1.4.1.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
aA + bB + cC π
≥
a+b+c
3

L i gi i :
Khơng m t tính t ng qt gi s :
a≤b≤c⇔ A≤ B≤C
Theo Chebyshev thì :
 a + b + c  A + B + C  aA + bB + cC


≤

3
3
3



aA + bB + cC A + B + C π
≥
=
⇒
a+b+c
3
3
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC đ u.

Ví d 1.1.4.2.
Cho ∆ABC khơng có góc tù và A, B, C đo b ng radian. CMR :
 sin A sin B sin C 
+
+
3(sin A + sin B + sin C ) ≤ ( A + B + C )

B
C 
 A

L i gi i :
sin x
 π
v i x ∈  0; 

x
 2
cos x( x − tan x )
 π
Ta có f ' ( x ) =
≤ 0 ∀x ∈  0 ; 
2
x
 2

Xét f ( x ) =

The Inequalities Trigonometry

17


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

V y f ( x ) ngh ch bi n trên  0 ; π 


2



Không m t t ng quát gi s :

sin A sin B sin C
A≥ B≥C⇒
≤
≤
A
B
C
Áp d ng b t đ ng th c Chebyshev ta có :
( A + B + C ) sin A + sin B + sin C  ≥ 3(sin A + sin B + sin C ) ⇒ ñpcm.


B
C 
 A
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.

Ví d 1.1.4.3.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
sin A + sin B + sin C
tan A tan B tan C
≤
cos A + cos B + cos C
3

L i gi i :
Không m t t ng quát gi s A ≥ B ≥ C
tan A ≥ tan B ≥ tan C
⇒
cos A ≤ cos B ≤ cos C
Áp d ng Chebyshev ta có :

 tan A + tan B + tan C  cos A + cos B + cos C  tan A cos A + tan B cos B + tan C cos C


≥
3
3
3



sin A + sin B + sin C
tan A + tan B + tan C
⇔
≤
cos A + cos B + cos C
3
Mà ta l i có tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC đ u.

Ví d 1.1.4.4.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
3 sin 2 A + sin 2 B + sin 2C
2(sin A + sin B + sin C ) ≥
2 cos A + cos B + cos C

L i gi i :
Không m t t ng quát gi s

a≤b≤c

The Inequalities Trigonometry

18


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

sin A ≤ sin B ≤ sin C
⇒
cos A ≥ cos B ≥ cos C
Khi đó theo Chebyshev thì :
 sin A + sin B + sin C  cos A + cos B + cos C  sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C


≥
3
3
3



3 sin 2 A + sin 2 B + sin 2C
⇔ 2(sin A + sin B + sin C ) ≥
2 cos A + cos B + cos C
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.

1.2. Các ñ ng th c b t ñ ng th c trong tam giác :
Sau ñây là h u h t nh ng ñ ng th c, b t ñ ng th c quen thu c trong tam giác và trong
lư ng giác ñư c dùng trong chuyên ñ này ho c r t c n thi t cho q trình h c tốn c a
b n đ c. Các b n có th dùng ph n này như m t t ñi n nh ñ tra c u khi c n thi t.Hay
b n đ c cũng có th ch ng minh t t c các k t qu như là bài t p rèn luy n. Ngoài ra tơi
cũng xin nh c v i b n đ c r ng nh ng ki n th c trong ph n này khi áp d ng vào bài t p
ñ u c n thi t ñư c ch ng minh l i.

1.2.1. ð ng th c :
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B

a = b cos C + c cos B
b = c cos A + a cos C

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

c = a cos B + b cos A

1
1

1
a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
= bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
abc
=
= 2 R 2 sin A sin B sin C = pr
4R
= ( p − a )ra = ( p − b )rb = ( p − c )rc
S=

=

p( p − a )( p − b )( p − c )

The Inequalities Trigonometry

19


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

2bc cos
ma

2

mb

2

mc

2

la =

2b 2 + 2c 2 − a 2
=
4
2
2c + 2a 2 − b 2
=
4
2
2a + 2b 2 − c 2
=
4

A
=
2

( p − b )( p − c )

sin

B
=
2

( p − c )( p − a )

sin

C
=
2

( p − a )( p − b)

bc
ca
ab

A
2

B
2
C
= ( p − c ) tan

2
A
B
C
= 4 R sin sin sin
2
2
2

B
2

= ( p − b ) tan

C
2

a+b

 A− B
tan

a−b
 2 
=
a+b
 A+ B
tan

 2 

 B−C 
tan

b−c
 2 
=
b+c
B+C
tan

 2 
C − A
tan

c−a
 2 
=
c+a
C + A
tan

 2 

sin

r = ( p − a ) tan

c+a
2ab cos

lc =

A
2

b+c
2ca cos

lb =

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

b2 + c2 − a2
4S
2
c + a2 − b2
cot B =
4S
2
a + b2 − c2
cot C =
4S
cot A =

a2 + b2 + c2
cot A + cot B + cot C =
4S

cos

A
=
2

p( p − a )
bc

tan

A
=
2

cos

B
=
2

p( p − b )
ca

tan

B
=
2

cos

C
=
2

p( p − c )
ab

tan

C
=
2

( p − b)( p − c )
p( p − a )
( p − c )( p − a )
p( p − b )
( p − a )( p − b )
p( p − c )

A
B
C p
cos cos =
2
2
2 R
sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
sin A + sin B + sin C = 4 cos

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1 + cos A cos B cos C )
A
B
C
r
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin = 1 +
R
2
2
2
2
2
2
cos A + cos B + cos C = 1 − 2 cos A cos B cos C

The Inequalities Trigonometry

20


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
A
B
C

A
B
C
+ cot + cot = cot cot cot
2
2
2
2
2
2
A
B
B
C
C
A
tan tan + tan tan + tan tan = 1
2
2
2
2
2
2
cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1

cot

sin (2k + 1) A + sin (2k + 1)B + sin (2k + 1)C = (− 1) 4 cos(2k + 1)
k

sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = (− 1)

k +1

A
B
C
cos(2k + 1) cos(2k + 1)
2
2
2

4 sin kA sin kB sin kC

A
B
C
k
cos(2k + 1) A + cos(2k + 1)B + cos(2k + 1)C = 1 + (− 1) 4 sin (2k + 1) sin (2k + 1) sin (2k + 1)
2
2
2
k
cos 2kA + cos 2kB + cos 2kC = −1 + (− 1) 4 cos kA cos kB cos kC
tan kA + tan kB + tan kC = tan kA tan kB tan kC
cot kA cot kB + cot kB cot kC + cot kC cot kA = 1
A
B
B
C

C
A
tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) = 1
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
cot (2k + 1) + cot (2k + 1) + cot (2k + 1) = cot (2k + 1) cot (2k + 1) cot (2k + 1)
2
2
2
2
2
2
k
2
2
2
cos kA + cos kB + cos kC = 1 + (− 1) 2 cos kA cos kB cos kC
tan (2k + 1)

sin 2 kA + sin 2 kB + sin 2 kC = 2 + (− 1)

k +1

2 cos kA cos kB cos kC

1.2.2. B t ñ ng th c :
a−b < c < a+b
b−c < a
a≤b⇔ A≤ B
b≤c⇔ B≤C

c−a
c≤a⇔C≤ A

3
cos A + cos B + cos C ≤
2
3 3
sin A + sin B + sin C ≤
2
tan A + tan B + tan C ≥ 3 3
cot A + cot B + cot C ≥ 3

The Inequalities Trigonometry

A
B
C 3 3

+ cos + cos ≤
2
2
2
2
A
B
C 3
sin + sin + sin ≤
2
2
2 2
A
B
C
tan + tan + tan ≥ 3
2
2
2
A
B
C
cot + cot + cot ≥ 3 3
2
2
2
cos

21

Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

3
4
9
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤
4
2
2
2
tan A + tan B + tan C ≥ 9
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥

cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C ≥ 1

1
8
3 3
sin A sin B sin C ≤
8
tan A tan B tan C ≥ 3 3
cos A cos B cos C ≤

cot A cot B cot C ≤

1
3 3

B t ñ ng th c lư ng giác

Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

A
B
C
+ cos 2 + cos 2
2
2
2
A
B
C
sin 2 + sin 2 + sin 2
2
2
2
A
B
C
tan 2 + tan 2 + tan 2 ≥ 1
2
2
2
A
B
C
cot 2 + cot 2 + cot 2
2
2
2

cos 2

A
B
C 3 3
cos cos ≤
2
2
2
8
A
B
C 1
sin sin sin ≤
2
2
2 8
1
A
A
A
tan tan tan ≤
2
2
2 3 3
A
A
A
cot cot cot ≥ 3 3
2

2
2
cos

1.3. M t s ñ nh lý khác :
1.3.1. ð nh lý Lagrange :
N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên đo n [a ; b] và có ñ o hàm trên kho ng (a ; b )
thì t n t i 1 ñi m c ∈ (a ; b ) sao cho :
f (b ) − f (a ) = f ' (c )(b − a )

Nói chung v i ki n th c THPT, ta ch có cơng nh n đ nh lý này mà khơng ch ng minh.
Ví ch ng minh c a nó c n ñ n m t s ki n th c c a toán cao c p. Ta ch c n hi u cách
dùng nó cùng nh ng đi u ki n ñi kèm trong các trư ng h p ch ng minh.

Ví d 1.3.1.1.
Ch ng minh r ng ∀a, b ∈ R, a < b thì ta có :

sin b − sin a ≤ b − a

L i gi i :

The Inequalities Trigonometry

22


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
Xét f ( x ) = sin x ⇒ f ' ( x ) = cos x
Khi đó theo ñ nh lý Lagrange ta có
∃c ∈ (a ; b ): f (b ) − f (a ) = (b − a ) cos c

⇒ sin b − sin a ≤ b − a cos c ≤ b − a

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c đ u cơ s

:

⇒ đpcm.

Ví d 1.3.1.2.
V i 0 < a < b . CMR :
b−a
b b−a
< ln <
b
a
a

L i gi i :
Xét f ( x ) = ln x , khi đó f ( x ) liên t c trên [a ; b] kh vi trên (a ; b ) nên :
ln b − ln a
1
1 1 1
∃c ∈ (a ; b ):
vì a < c < b nên
= f ' (c ) =
< <
b−a
c

b c a
b−a
b b−a
1 ln b − ln a 1
T đó
<
< ⇒
< ln <
⇒ đpcm.
b
b−a
a
b
a
a

Ví d 1.3.1.3.
Cho 0 < β < α <

π

. CMR :

2
α −β
α −β
< tan α − tan β <
2
cos β
cos 2 α

L i gi i :
Xét f ( x ) = tan x liên t c trên [β ; α ] kh vi trên (β ; α ) nên theo ñ nh lý Lagrange
tan α − tan β
1
f (α ) − f (β )
∃c ∈ (β ; α ):
= f ' (c ) ⇒
=
(1)
α −β
α −β
cos 2 c
1
1
1
Vì β < c < α nên
<
<
(2)
2
2
cos β cos c cos 2 α
T (1)(2) ⇒ đpcm.

Ví d 1.3.1.4.

The Inequalities Trigonometry

23

Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
1 

CMR n u x > 0 thì 1 +

x + 1


x +1

 1
> 1 + 
x


B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

x

L i gi i :
 1
Xét f ( x ) = x ln1 +  = x(ln( x + 1) − ln x ) ∀x > 0
x

1
Ta có f ' ( x ) = ln( x + 1) − ln x −
x +1

Xét g (t ) = ln t liên t c trên [x ; x + 1] kh vi trên ( x ; x + 1) nên theo Lagrange thì :
1
ln( x + 1) − ln x
∃c ∈ ( x ; x + 1):
= g ' (c ) >
(x + 1) − x
x +1
1
⇒ f ' ( x ) = ln( x + 1) − ln x −
>0
x +1
v i x > 0 ⇒ f ( x ) tăng trên (0 ; + ∞ )

1 

⇒ f ( x + 1) > f ( x ) ⇒ ln1 +

x + 1

1 

⇒ 1 +

x + 1

⇒ ñpcm.

x +1

 1

> 1 + 
x


x +1

 1
> ln1 + 
x


x

x

Ví d 1.3.1.5.
Ch ng minh r ng ∀n ∈ Z + ta có :
1
1
1


≤ arctan 2
≤ 2
2
n + 2n + 2
 n + n +1 n +1

L i gi i :
Xét f ( x ) = arctan x liên t c trên [n ; n + 1]

1
⇒ f ' (x ) =
trên (n ; n + 1) ∀n ∈ Z +
1+ x2
Theo đ nh lý Lagrange ta có :
f (n + 1) − f (n )
∃c ∈ (n ; n + 1): f ' (c ) =
(n + 1) − n

⇒

 n +1− n 
1
= arctan(n + 1) − arctan n = arctan
 1 + (n + 1)n 
2

1+ c



⇒

1
1


= arctan 2

2

1+ c
 n + n + 1

The Inequalities Trigonometry

24


Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

ð ý c ∈ (n ; n + 1) ⇒ 1 ≤ n < c < n + 1
⇒ n 2 < c 2 < (n + 1)

2

⇔ n 2 + 1 < c 2 + 1 < n 2 + 2n + 2
1
1
1
< 2
< 2
n + 2n + 2 c + 1 n + 1
1
1
1



⇔ 2
< arctan 2
< 2
n + 2n + 2
 n + n + 1 n + 1
⇒ ñpcm.
⇔

2

1.3.2. ð nh lý v d u c a tam th c b c hai :
Cho tam th c f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) và ∆ = b 2 − 4ac
- N u ∆ < 0 thì f ( x ) cùng d u v i h s a, v i m i s th c x.
b
- N u ∆ = 0 thì f ( x ) cùng d u v i a v i m i x ≠ −
.
2a
- N u ∆ > 0 thì f ( x ) có hai nghi m x1 , x 2 và gi s x1 < x 2 .Th thì f ( x ) cùng d u
v i a v i m i x ngoài ño n [x1 ; x 2 ] (t c là x < x1 hay x > x 2 ) và f ( x ) trái d u v i a
khi x trong kho ng hai nghi m (t c là x1 < x < x 2 ).
Trong m t s trư ng h p, ñ nh lý này là m t công c h t s c hi u qu . Ta s coi bi u
th c c n ch ng minh là m t tam th c b c hai theo m t bi n r i xét ∆ . V i đ nh lý trên thì
các b t ñ ng th c thư ng rơi vào trư ng h p ∆ ≤ 0 mà ít khi ta xét ∆ > 0 .

Ví d 1.3.2.1.
CMR ∀x, y, z ∈ R + và ∆ABC b t kỳ ta có :

cos A cos B cos C x 2 + y 2 + z 2
+
+

≤
x
y
z
2 xyz

L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
x 2 − 2 x( y cos C + z cos B ) + y 2 + z 2 − 2 yz cos A ≥ 0
Coi ñây như là tam th c b c hai theo bi n x.
2
∆' = ( y cos C + z cos B ) − y 2 + z 2 − 2 yz cos A

(

(

)

)

= −( y sin C − z sin B ) ≤ 0
V y b t ñ ng th c trên ñúng.
2

The Inequalities Trigonometry

25

Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

ð ng th c x y ra khi và ch khi :
 y sin C = z sin B
⇔ x : y : z = sin A : sin B : sin C = a : b : c

 x = y cos C + z cos B
t c x, y, z là ba c nh c a tam giác tương ñương v i ∆ABC .

Ví d 1.3.2.2.
CMR ∀x ∈ R và ∆ABC b t kỳ ta có :
1
1 + x 2 ≥ cos A + x(cos B + cos C )
2

L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
x 2 − 2 x(cos B + cos C ) + 2 − 2 cos A ≥ 0
∆' = (cos B + cos C ) − 2(1 − cos A)
2

2

B+C
B−C 

2 A

cos
=  2 cos
 − 4 sin
2
2 
2

A
B −C 
= 4 sin 2  cos 2
− 1
2
2

A
B−C
= −4 sin 2 sin 2
≤0
2
2
V y b t ñ ng th c trên ñúng.
ð ng th c x y ra khi và ch khi :
∆ = 0
B = C
⇔

 x = cos B + cos C
 x = 2 cos B = 2 cos C

Ví d 1.3.2.4.

CMR trong m i ∆ABC ta đ u có :
a+b+c
ab sin A + bc sin B + ca sin C ≤ 

2


2

2

2

2

L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
a 2 + 2a(b cos 2 A + c cos 2C ) + b 2 + c 2 + 2bc cos 2 B ≥ 0

(

∆' = (b cos 2 A + c cos 2C ) − b 2 + c 2 + 2bc cos 2 B
2

The Inequalities Trigonometry

)
26

Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ

B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s

= −(b sin 2 A + c sin 2C ) ≤ 0
V y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh xong.
2

Ví d 1.3.2.4.
Cho ∆ABC b t kỳ. CMR :
cos A + cos B + cos C ≤

3
2

L i gi i :
B+C
B−C
cos
− cos( A + B )
2
2
A+ B
A− B
A+ B
⇔ 2 cos 2
− 2 cos
cos
+ k −1 = 0

2
2
2
A+ B
là nghi m c a phương trình :
Do đó cos
2
A−B
2 x 2 − 2 cos
x + k −1 = 0
2
A+ B
Xét ∆' = cos 2
− 2(k − 1) . ð t n t i nghi m thì :
2
3
A− B
∆' ≥ 0 ⇔ 2(k − 1) ≤ cos 2
≤1⇒ k ≤
2
2
3
⇒ cos A + cos B + cos C ≤
2
⇒ ñpcm.

ð t k = cos A + cos B + cos C = 2 cos

Ví d 1.3.2.5.
CMR ∀x, y ∈ R ta có :

sin x + sin y + cos( x + y ) ≤

3
2

L i gi i :
ð t k = sin x + sin y + cos( x + y ) = 2 sin
Khi đó sin

x+ y
x− y
x+ y
cos
+ 1 − 2 sin 2
2
2
2

x+ y
là nghi m c a phương trình :
2
x− y
2 x 2 − 2 cos
x + k −1 = 0
2

The Inequalities Trigonometry

27