PPCM PHAN SO TOI GIAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phương pháp chứng minh phaân soá toái giaûn. Equation Chapter 1 Section 1. Trong chơng trình toán 6 các em đã đợc học về phân số tối giản, nhng đó chỉ là những kiến thức ban đầu, còn sơ sài và đơn giản. Lên lớp 8 các em một lần nữa, đợc gặp lại bài toán này nhng ở một mức độ cao hơn(đợc giới thiệu trên một số sách tham kh¶o). VËy b¶n chÊt cña bµi to¸n nµy lµ g×? Ph¬ng ph¸p chøng minh nh thÕ nµo? Bµi viết này với mong muốn giúp các em trả lời đợc các câu hỏi này. A. LÝ thuyÕt. 1) KiÕn thøc cÇn nhí. a) §Þnh nghÜa. - Phân số tối giản (hay phân số không thể rút gọn đợc nữa) là phân số mà “tử” và “mÈu” chØ cã ¦íc chung lµ 1 vµ - 1. - Hay nãi c¸ch kh¸c ph©n sè tèi gi¶n  (a ; b) = 1 b) TÝnh chÊt liªn quan. - NÕu a  d vµ b  d th× a b  d - NÕu 1  d th× d = 1 2) Ph¬ng ph¸p chøng minh mét ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n a) Nguyªn t¾c §Ó chøng minh ph©n sè tèi gi¶n ta cÇn ph¶i chøng minh ¦íc chung cña a vµ b b»ng 1 hoÆc b»ng – 1. b) C¸ch lµm: Bíc 1. §Æt d = (a ; b) Bíc 2. T×m 2 sè tù nhiªn n vµ m sao cho: n.a m.b = 1 Bớc 3. Lập luận để có: n.a m.b  d hay 1  d rồi từ đó suy ra d = 1. B. BµI tËp ¸p dông. Bµi 1. Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n  Z. n 3 2  3n a) n  2 b) 3n  1 Gi¶i a) Gäi d lµ ¦íc chung cña (n + 3) vµ (n + 2). Ta cã: (n + 3)  d vµ (n + 2)  d  (n + 3) – (n + 2)  d hay 1  d  d = 1. n 3  “tö” vµ “mÈu” cña ph©n sè n  2 chØ cã ¦íc chung lµ 1 vµ - 1  ph©n sè n 3 n  2 lµ ph©n sè tèi gi¶n. b) Gäi d lµ ¦íc chung cña (2 – 3n) vµ (3n - 1). Ta cã: (2 – 3n)  d vµ (3n - 1)  d  (2 – 3n) + (3n - 1)  d hay 1  d  d =  1..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2  3n  “tö” vµ “mÈu” cña ph©n sè 3n  1 chØ cã ¦íc chung lµ 1 vµ - 1  ph©n sè 2  3n 3n  1 lµ ph©n sè tèi gi¶n. Bµi 2. Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n. 3n  1 12n  1 a) 5n  2 b) 30n  2 (S¸ch N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 8) Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: Rá rµng bµi To¸n nµy kh«ng cßn dÓ dµng nh bµi To¸n 1 nöa. V× ë ®©y (3n +1) + (5n +2) và (3n +1) - (5n +2) đều không bằng 1 hoặc bằng - 1. Vậy làm thế nào để có đợc lêi gi¶i cña bµi To¸n nµy? C¸c em thö suy nghØ réng ra mét chót nhÐ!!! §Ó cã tæng hoÆc hiÖu cña “tö” vµ “mÈu” b»ng 1 hoÆc – 1 th× ta ph¶i lµm mÊt n ®i. Muèn vËy, ta chỉ cần nhân “tử” với 5 và nhân “mẩu” với 3, từ đó sẻ có ngay lời giải cho bài Toán. Gi¶i: a) Gäi d lµ ¦íc chung cña (3n +1) vµ (5n +2). Ta cã: (3n +1)  d vµ (5n + 2)  d  5(3n +1)  d vµ 3(5n + 2)  d  5(3n +1) – 3(5n +2)  d  - 1  d  d = 1.. 3n  1  5n  2 lµ ph©n sè tèi gi¶n. b) T¬ng tù: Gäi d lµ ¦íc chung cña (12n +1) vµ (30n +2). Ta cã: (12n +1)  d vµ (30n + 2)  d  5(12n +1)  d vµ 2(30n + 2)  d  5(12n +1) – 2(30n +2)  d  1  d  d = 1. 12n  1  30n  2 lµ ph©n sè tèi gi¶n. Bµi 3. Chøng minh r»ng ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n  Z.. Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: §Õn bµi To¸n nµy l¹i kh«ng cßn dÓ dµng nh bµi To¸n 2 nöa. V× ë ®©y ta kh«ng thÓ làm mất “n” bằng cách nhân “tử” và “mẩu” với một số nào đó! Vậy làm thế nào đây? Ta l¹i thÊy r»ng : “tö” cña ph©n sè cã n3, cßn “mÈu” cña ph©n sè cã n4 (tö vµ mÈu cã bậc khác nhau). Từ đó, ta thử làm mất n4 đi. Muốn vậy, ta chỉ cần nhân “tử” với n là xong. Gi¶i: Gäi d lµ ¦íc chung cña (n3 + 2n) vµ (n4 + 3n2 + 1) Ta cã: (n3 + 2n)  d  n.(n3 + 2n)  d hay n4 + 2n2  d (1) 3 4 2   MÆt kh¸c ta l¹i cã: n.(n + 2n) d vµ (n + 3n + 1) d  n(n3 + 2n) - (n4 + 3n2 +1)  d  n2 + 1  d  (n2 + 1)2  d hay n4 + 2n2 + 1  d (2) 4 2 4 2 Tõ (1) vµ (2)  (n + 2n + 1) - (n + 2n )  d  1  d  d = 1.. C. BµI tËp vÒ nhµ.. lµ ph©n sè tèi gi¶n..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bµi 4. Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n, m  Z. 21m  25 11n  4 a) 3n  1 b) 14m  17 Bµi 5. Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n  Z. 2n  1 21n  4 a) 14n  3 b) 2n(n  1) Bµi 6. Chøng minh r»ng tæng vµ hiÖu cña mét sè nguyªn vµ mét ph©n sè tèi gi¶n lµ mét ph©n sè tèi gi¶n. Bài 7. Tổng của một số hửu tỉ và một số vô tỉ có thể là một số hửu tỉ đợc không? Tổng của hai số vô tỉ có thể là một số hửu tỉ đợc không? Bµi 8. Chøng minh r»ng ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n  Z..

<span class='text_page_counter'>(4)</span>