De LTDH so 1 nam hoc 2014 2015

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề luyện thi số 1 – năm học 2014 - 2015. ĐỀ LUYỆN THI SỐ 1. Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y =. 2x − 1 (1) x −1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) đã cho. b. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AB = 82.OB .. Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác: cos x (2 sin2 x + 2 s inx + 1) = 2 cos 3 x + sinx + 1. Câu 3: (1.0 điểm) Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm mang số chia hết cho 10. Câu 4: (1,0 điểm) Tìm số n nguyên dương thỏa mãn: C n0 + 2C n1 + 4C n2 + .. + 2nC nn = 243 ..
= 300 , hình chiếu vuông Câu 5: (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ACB. góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối đa diện BCC’B’A’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C’ và A’C. Câu 6: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD biết. B(3; 3),C (5; −3) . Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng ∆ : 2x + y − 3 = 0 . Xác định tọa. độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD để CI = 2BI , tam giác ACB có diện tích bằng 12, điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm. Câu 7: (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau trên tập số thực:. 1. 1. 2 ≥ x +1 3 −1 − x. +. x +2. x + 6 xy − y = 6  Câu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau  6 x 3 + y3 x + − 2 x 2 + y2 = 2 2 2  x + xy + y . (. ). (. Câu 9: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c =. P=. 1. +. 1. 3. 3 a + 3b b + 3c =============================================. 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4. 1. + 3. ). .. c + 3a. Đáp số:. 1 9. 25 1 13 và y = − x + ; 9 9 9 π ±π −π Câu 2: x = + k π; x = + k 2π; x = π + k 2π; x = + k 2π ; 4 3 2 99 Câu 3: P (A) = ; Câu 4: n = 5; 667. Câu 1.b: y = − x +. Câu 5: V =. 2 3 2a 51 a ;d = ; 3 17. Câu 7: (−2; − 1) ;. Câu 6: A(−1; 3) , D(−3; −3) ;. ( ). Câu 8: 1;1 ; ~1~. Câu 9: MinP = 3 ⇔ a = b = c =. 1 4.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đề luyện thi số 1 – năm học 2014 - 2015. Hướng dẫn Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y =. 2x − 1 (1) x −1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) đã cho. b. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AB = 82.OB . OA2 + OB 2 = AB 2  Ta có  ⇒ OA = 9OB AB 2 = 82.OB 2 . ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến được tính bởi k = ±. OB 1 =± OA 9 Gọi M (x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến (d ) và (C). ⇒ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: f / (x 0 ) = k hay:.  −1 1   = (VN) x = 4 ⇒ y = 7  (x − 1)2 0 9  0 3  0 ⇔ (x 0 − 1)2 = 9 ⇔   −1 1 5   =−  x 0 = −2 ⇒ y 0 =  (x − 1)2 9 3   0  7 1 1 7 1 25 . Với k = − và tiếp điểm 4;  , ta có pt tiếp tuyến : y = − (x − 4) + hay y = − x +  3  9 9 3 9 9 Với k = −. 1 và tiếp điểm 9.  −2; . 1 5 1 13 5   , ta có pt tiếp tuyến: y = − (x + 2) + hay y = − x +  9 3 9 9 3. Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác: cos x (2 sin2 x + 2 s inx + 1) = 2 cos 3 x + sinx + 1 PT ⇔ 2 cos x (sin2 x − cos2 x ) − sin 2x + cos x = s inx + 1 ⇔ 2 cos x (sin x − cos x )(sin x + cos x ) − (sin x − cos x )2 + cos x − s inx=0 ⇔ (s inx − cos x ).(2 cos2 x + 2 sin x . cos x − s inx+ cos x − 1) = 0  s inx − cos x = 0(1) ⇔  2 2 cos x + 2 sin x . cos x − s inx+ cos x − 1 = 0(2) π π (1) ⇔ 2 sin(x − ) = 0 ⇔ x = + k π, k ∈ Z 4 4.   x = ±π + k 2π (2) ⇔ 2 cos2 x + cos x − 1 + s inx(2 cos x − 1) = 0 cos x = 1  3   2 ⇔ x = π + k 2π ⇔ (2 cos x − 1)(cos x + 1) + s inx(2 cos x − 1) = 0 ⇔  sin(x + π ) = −1  2 cos x − 1 = 0   −π 4  + k 2π  2 x =  ⇔  2  cos x + s inx=-1  Câu 3: (1,0 điểm) Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm mang số chia hết cho 10. Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. 10 Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có: C 30 cách chọn Ta phải chọn : 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ ~2~.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đề luyện thi số 1 – năm học 2014 - 2015. 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy. Theo quy tắc nhân, số cách chọn thuận lợi để xảy ra biến cố A là:C 155 C 124 C 31 Xác suất cần tìm là P (A) =. C 155 C 124 C 31 C. 10 30. =. 99 667. Câu 4: (1,0 điểm) Tìm số n nguyên dương thỏa mãn: C n0 + 2C n1 + 4C n2 + .. + 2nC nn = 243 . n=5.
= 300 , hình chiếu Câu 5: (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ACB vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối đa diện BCC’B’A’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C’ và A’C. A'. C'. B'. ' Từ AG ⊥ (ABC ) ⇒ AG là hình chiếu của AA' lên (ABC ) Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có: 2 2a
BC = 2a, AG = AI = ; A ' AG = 600 3 3. N. ⇒ A ' G = AG . t an600 =. A. H. C. G I B. Đặt AC = x > 0 . Ta có. 2a 3 3. M. AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2AC .BC .cos 300 ⇒ a 2 = x 2 + 4a 2 − 2.x .2a.. K. ⇒ AC = x = a 3 . Nên AB 2 + AC 2 = a 2 + 3a 2 = 4a 2 = BC 2 ⇒ ∆ABC vuông tại A ' ' ' ' ' Vì AG là chiều cao của khối lăng trụ ABC .AB C và khối chóp A' .ABC ⊥ (ABC ) nên AG Thể tích của khối đa diện BCC’B’A’ được tính bởi:  2 1 1 2a 3 2 1 VBCC /B /A/ = VABC .A/B /C / −VA/ .ABC = 1 −  S ABC .A 'G = . AB.AC .A 'G = a.a 3. = a 3 (đvtt).   3 2 3 3 3 3. Kẻ AK ⊥ BC tại K và GI ⊥ BC tại I ⇒ GI // AK. GI MG 1 1 1 AB.AC 1 a.a 3 a 3 = = ⇒ GI = AK = . = = AK MA 3 3 3 BC 3 2a 6 Kẻ GH ⊥ A’I tại H (1)  BC ⊥ GI   ⇒ BC ⊥ GH (2) . Từ (1) và (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC)⇒ d[G, (A ' BC )] = GH Do   BC ⊥ A 'G   ' ' ' ' Vì B 'C ' / /BC , BC ⊂ (ABC ) nên B 'C ' / /(ABC ) và AC ⊂ (ABC ) ⇒. ' ' ' ' ⇒ d(BC , AC ) = d[B 'C ',(ABC )] = d[B ', (A ' BC )]. Mặt khác ta thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’. Do đó: d[B ', (A ' BC )] = d[A, (A ' BC )] = 3d[G, (A ' BC )] = 3GH. =. 3.A ' G .GI A 'G 2 + GI 2. 2a 3 a 3 . 3 6 = 6a = 2a 51 . 17 51 12a 2 3a 2 + 9 36. 3. =. ~3~. 3 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đề luyện thi số 1 – năm học 2014 - 2015. 2a 51 . 17 Câu 6: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD biết B(3; 3),C (5; −3) . Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng ∆ : 2x + y − 3 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD để CI = 2BI , tam giác ACB có diện tích bằng 12, điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm. Vì I ∈ ∆ ⇒ I ( t; 3 − 2t ), t > 0 t = 1  2 CI = 2BI ⇔ 15t + 10t − 25 = 0 ⇔  ⇒ t = 1 ⇒ I (1;1) t = − 5 (ktm )  3 Phương trình đường thẳng IC : x + y − 2 = 0 ' ' ' Vậy d(BC , AC )=. Mà SABC =. 1 AC .d(B, AC ) = 12 ⇒ AC = 6 2 2. a = 11 2 Vì A ∈ IC ⇒ A(a;2 − a ), a < 0 nên ta có (a − 5) = 36 ⇔  ⇒ a = −1 ⇒ A(−1; 3) a = −1 Phương trình đường thẳng CD : y + 3 = 0 , IB : x − y = 0 x − y = 0 x = −3 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ  ⇔  ⇒ D(−3; −3) y + 3 = 0 y = −3   Vậy A(−1; 3) , D(−3; −3) Câu 7: (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau trên tập số thực:. 1 x +2. Điều kiện: −2 < x < −1 (*) BPT ⇔ 3(. 1 x +2. +. 1 −x − 1. +. 1. ≥. −1 − x. 2 x +1 3. ) ≥ ( x + 2)2 − ( −x − 1)2 ⇔ 3 ≥ x + 2. −x − 1( x + 2 − −x − 1 ). Đặt a = x + 2 − −x − 1 ⇒ x + 2. −x − 1 =. 1 − a2 , ta được BPT: 2. a −a3 ≤ 3 ⇔ a 3 − a + 6 ≥ 0 ⇔ (a + 2)(a 2 − 2a + 3) ≥ 0 ⇔ a ≥ −2 2 x + 2 − −x − 1 ≥ −2 ⇔ x + 2 + 2 ≥ −x − 1 ⇔ x + 6 + 4 x + 2 ≥ −x − 1 ⇔ 4 x + 2 ≥ −(2x + 7)(1). BPT (1) nghiệm đúng với mọi x t/m ( *) KL: BPT có tập nghiệm S = (−2; − 1). x + 6 xy − y = 6  Câu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau  6 x 3 + y3 x + − 2 x 2 + y2 = 2 2 2  x + xy + y . (. ~4~. ). (. ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Đề luyện thi số 1 – năm học 2014 - 2015. Câu 9: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c =. P=. 1 3. 1. + 3. a + 3b. 1. +. b + 3c. 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4. 3. .. c + 3a. Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có  1 1 1 3 1 1 1 9 (x + y + z )  + +  ≥ 3 3 xyz =9⇒ + + ≥ (*) 3  x y z  x y z x +y +z xyz Áp dụng (*) ta có P =. 1 3. 1. + 3. 1. +. 9. ≥. 3. a + 3b b + 3c c + 3a Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có :. ~5~. 3. 3. a + 3b + b + 3c + 3 c + 3a.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đề luyện thi số 1 – năm học 2014 - 2015. a + 3b + 1 + 1 1 = (a + 3b + 2) 3 3 b + 3 c + 1 + 1 1 3 b + 3c 1.1 ≤ = (b + 3c + 2) ( ) 3 3 c + 3 a + 1 + 1 1 3 c + 3a 1.1 ≤ = (c + 3a + 2) ( ) 3 3  1 1 3 3 Suy ra: a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤  4 (a + b + c ) + 6 ≤  4. + 6 = 3   3 4 3    3 a +b +c = 1 Do đó P ≥ 3 . Dấu = xảy ra ⇔  ⇔a =b =c = 4 a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1 4  1 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi a = b = c = . 4 3. (a + 3b )1.1 ≤. ~6~.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>