ON TAP TOAN 9 THI VAO 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (395.31 KB, 30 trang )

(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT §¹i sè CHủ đề 1: C¨n thøc – rót gän biÓu thøc I. c¨n thøc:  KiÕn thøc c¬ b¶n: 1. §iÒu kiÖn tån t¹i : √ A Cã nghÜa ⇔ A ≥0 2. Hằng đẳng thức: √ A 2=|A| 3. Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B ≥ 0) √ A . B= √ A . √ B A √A 4. Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B>0) = B √B 5. §a thõa sè ra ngoµi c¨n: ( B≥ 0) √ A 2 . B=| A| √ B . 2 6. §a thõa sè vµo trong c¨n: ( A ≥ 0; B ≥ 0) A √ B=√ A . B 2 ( A<0 ; B ≥0) A √ B=− √ A . B A √A.B 7. Khö c¨n thøc ë mÉu: = ( B>0) B √B C( √ A ∓ √ B) C 8. Trôc c¨n thøc ë mÉu: = A−B √ A ± √B  Bµi tËp:  Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định: 2 −5 4 1) √ −2 x+3 2) 3) 4) 2 x +3 x x 2 +6 3 −3 5) √ 3 x + 4 6) √ 1+ x 2 7) 8) 1 −2 x 3 x +5  Rút gọn biểu thức Bµi1 1) √ 12+5 √ 3 − √ 48 2) 5 √ 5+ √ 20 −3 √ 45 3) 2 √32+ 4 √ 8 −5 √18 4) 3 √ 12 − 4 √ 27+5 √ 48 5) √ 12+ √ 75 − √ 27 6) 2 √ 18 −7 √ 2+ √ 162 1 1 − 7) 3 √ 20 − 2 √ 45+ 4 √ 5 8) ( √ 2+ 2) √ 2− 2 √ 2 9) √ 5 −1 √5+1 1 1 2 2 10) + 11) − 12) 2+ √ 2 4 −3 √ 2 4+3 √ 2 1+ √ 2 √5 −2 √5+2 7 2 13) √ 28− 2 √14+ √¿ 14) √ 14 −3 √ 2¿ + 6 √28 ¿ ¿ ¿ 2 2 15) √ 6 − √ 5 ¿ − √ 120 16) 2 √ 3 −3 √ 2 ¿ +2 √ 6+ 3 √ 24 ¿ ¿ 2 1− √ 2¿ √ 3− 2¿ 2 ¿ ¿ 2 2 17) √ 2+3 ¿ 18) √ 3− 1¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √¿ √¿ √ 5− 3 ¿2 ¿ 2 19) √ 5− 2 ¿ 20) ( √ 19− 3)( √19+ 3) ¿ ¿ √¿. √. √. √. THCS HOÀNG VĂN THỤ. √. √. √. 1.

(2) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT 2. 21). 23). x −12 ¿ ¿ ¿ 4 x+ √ ¿ x 2 − 4 xy+ 4 y 2 ¿2 ¿ ¿ x +2 y − √ ¿. Bµi2: 1) ( 3+ √ 2 )2+ ( 3 − √ 2 ) 2 √ 8+2 √15 - √ 8 −2 √15. √. √. √ 7+ √ 5 + √7 − √5 √7 − √ 5 √ 7+ √ 5. 22). 2). 2. √ ( 2− √3 ) − √( 2+ √3 ). 2. 3). 2. √ ( 5− 3 ) +√ ( √5+ 3 ). 5) √ ( 5+2 √ 6 ) + √ 8 −2 √15 6) √ 4+ 2 √ 3+ √ 4 −2 √3 − 5 − 5 √ 3 −2 √ 2 √3+ √ 8  Giải phương trình: 1) √ 2 x −1= √5 2) √ x −5=3 3) √ 9(x − 1)=21 4) 2 2 x − 3¿ 2 x −1 ¿ 2 2 ¿ ¿ 5) √ 3 x − √ 12=0 6) 7) √ 4 x +4 x +1=6 8) ¿ ¿ √¿ √¿ 2 1− x ¿ ¿ 9) √ 4 x 2=6 10) 4¿ √¿ II. c¸c bµi to¸n rót gän: A.c¸c bíc thùc hiªn:  Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc) T×m §KX§ cña biÓu thøc: lµ t×m TX§ cña tõng ph©n thøc råi kÕt luËn l¹i. Quy đồng, gồm các bớc: + Chän mÉu chung : lµ tÝch c¸c nh©n tö chung vµ riªng, mçi nh©n tö lÊy sè mò lín nhÊt. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng. + Nh©n nh©n tö phô víi tö – Gi÷ nguyªn mÉu chung. Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. Ph©n tÝch tö thµnh nh©n tö ( mÉu gi÷ nguyªn). Rót gän. B.Bµi tËp luyÖn tËp: x 2x  x  Bài 1 Cho biểu thức : A = x  1 x  x với ( x >0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức A tại x 3  2 2 a4 a 4 a 2 Bài 2. Cho biểu thức : P = 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.. . 2. 4). √ 2 x − √ 50=0. 4 a 2. a ( Với a  0 ; a  4 ). x 1  2 x x  x  x  1 x 1 Bài 3: Cho biểu thức A = 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(3) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị nào của x thì A< -1 (1  Bµi 4: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - 1. x x x x )(1  ) x 1 x1. ( Với x 0; x 1 ). 1 1 x − + √ 2 √ x − 2 2 √ x +2 1 − x a; T×m TX§ råi rót gän biÓu thøc B b; TÝnh gi¸ trÞ cña B víi x =3 Bµi 6: Cho biÓu thøc : P = √ x+1 + 2 √ x + 2+5 √ x √ x − 2 √ x+ 2 4 − x a; T×m TX§ b; Rót gän P c; Tìm x để P = 2 1 1 a+1 √ a+2 Bµi 7: Cho biÓu thøc: Q=( − ¿ :( √ − ) √ a − 1 √ a √ a − 2 √ a −1 a; T×m TX§ råi rót gän Q b; Tìm a để Q dơng c; TÝnh gi¸ trÞ cña BiÓu thøc biÕt a = 9- 4 √ 5 a − √ a a+ √ a Bµi 8: Cho biÓu thøc: M = √ a − 1 − 2 2 √ a √ a+1 √ a −1 a/ T×m §KX§ cña M. b/ Rót gän M Bµi 9 : Cho biÓu thøc : K = 15 √ x −11 + 3 √ x − 2 √ x+3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a. Tìm x để K có nghĩa b. Rót gän K 1 c. T×m x khi K= 2 2 Bµi 10 : Cho biÓu thøc: G= √ x −2 − √ x+2 . x − 2 x +1 x −1 x +2 √ x +1 2 1. Xác định x để G tồn tại 2. Rót gän biÓu thøc G 3. TÝnh sè trÞ cña G khi x = 0,16 x +2 x 1 x −1 Bµi 11 : Cho biÓu thøc: P= + √ + :√ 2 x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x a. Rót gän biÓu thøc trªn b. Chøng minh r»ng P > 0 víi mäi x≥ 0 vµ x ≠ 1 1 1 a2+ 1 1 Bµi 12 : cho biÓu thøc Q= + − . 1+ 2 a 2+ 2 √ a 2− 2 √ a 1− a a. T×m a dÓ Q tån t¹i b. Chøng minh r»ng : Q kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña a Bµi 5: Cho biÓu thøc : B =. (. )(. (. ). ). (. ). (. )( ). Víi x ≥ 0 ; x ≠ 1. ---------------------------------CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất I. hµm sè: Kh¸i niÖm hµm sè * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số. * Hµm sè cã thÓ cho bëi c«ng thøc hoÆc cho bëi b¶ng. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 3.

(4) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT II. hµm sè bËc nhÊt:  KiÕn thøc c¬ b¶n:  §Þnh nghÜa: Hàm số bậc nhất có dạng: y=ax +b Trong đó a; b là các hệ số a ≠ 0 Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b là hàm số bậc nhất là: a ≠ 0 VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - 2 (1) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất. Gi¶i: Hµm sè (1) lµ bËc nhÊt ⇔ 3 −m≠ 0 ⇔ 0 ⇔m≠ 3  TÝnh chÊt: + TX§: ∀ x ∈ R + §ång biÕn khi a> 0 . NghÞch biÕn khi a< 0 VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - 2 (2) Tìm các giá trị của m để hàm số (2): + §ång biÕn trªn R + NghÞch biÕn trªn R Gi¶i: + Hµm sè (1) §ång biÕn ⇔ 3 −m>0 ⇔ 0 ⇔ m< 3 + Hµm sè (1) NghÞch biÕn ⇔ 3 −m<0 ⇔ 0 ⇔ m> 3  §å thÞ: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ b»ng b. b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng − . a + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b: Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1 Gi¶i: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1  Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a≠ a , . */. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện b=b' . */. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : a . a' =−1 . + Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a=a , ; b ≠ b' . + Trïng nhau: (d1) (d2) ⇔ a=a , ; b=b' . VÝ dô: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + 2 (d1) Và y = 2 x – m (d2) a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau. b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Gi¶i: ¿ 3 −m=2 2 ≠ −m ⇔ a/ (d1)//(d2) ⇔ ¿ m=1 m ≠− 2 ⇔ {m=1 ¿{ ¿ b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ 3 −m≠ 2 ⇔m ≠1 c/ (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung ⇔ −m=2 ⇔ m=−2  C¸c d¹ng bµi tËp thêng gÆp: THCS HOÀNG VĂN THỤ. 4.

(5) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT -D¹ng 2: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường §iÓm thuéc thẳng đồ thị; điểm kh«ng thuéc song song; cắt nhau; trùng nhau. đồ thị: Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính đợc y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị. -Dạng 3: Viết phơng trình đờng thẳng: Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1). Phơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b. + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.  Bµi tËp: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau . 2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính. Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0 ¿ và y = (2 - m)x + 4 ; (m≠ 2) . Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên: a) Song song. b) Cắt nhau . Bài 5: Víi giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với −1 x và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10. (d’): y = 2 Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3). 1 x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = 2 và (d2): y =  x  2 a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (d1) // (d2) b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ? Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2 CHủ đề 3: hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn I. c¸c kh¸I niÖm: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: +Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết( a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ¿ + Mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ cÆp sè x0; y0 tháa m·n : ax0 + by0 = c THCS HOÀNG VĂN THỤ. 5.

(6) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT + Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiÖm. + Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c. Nếu a ≠ 0 ; b ≠ 0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị của a c hµm sè bËc nhÊt: y=− x+ . b b  HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ¿ ax+ by=c .(1) + D¹ng: a, x +b , y=c, .(2) ¿{ ¿ + NghiÖm cña hÖ lµ nghiÖm chung cña hai ph¬ng tr×nh + NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiÖm chung th× ta nãi hÖ v« nghiÖm + Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d) -Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d') *NÕu (d) c¾t (d') hÖ cã nghiÖm duy nhÊt *NÕu (d) song song víi (d') th× hÖ v« nghiÖm *NÕu (d) trïng (d') th× hÖ v« sè nghiÖm. Hệ phơng trình tơng đơng: Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm Ii.ph¬ng ph¸p gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ: a) Quy t¾c thÕ: + Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phơng trình thứ hai để đợc một phơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn). + Bớc 2: Dùng phơng trình mới này để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ (phơng trình thứ nhất cũng thờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đợc ở bớc 1). VÝ dô: xÐt hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x −2 y=1 .(1) 3 x+2 y=3 .(2) ¿{ ¿ + Bíc 1: Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta biÓu diÔn x theo y ( gäi lµ rót x) ta cã: x=1+2 y .(∗) Thay x=1+2 y .(∗) vào phơng trình (2) ta đợc: 3(1+2 y)+2 y=3 .(**) + Bíc 2: ThÕ ph¬ng tr×nh (**) vµo ph¬ng tr×nh hai cña hÖ ta cã: ¿ x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3 ¿{ ¿ b) Gi¶i hÖ :. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 6.

(7) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT. x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3 ⇔ ¿ x=1+2 y 3+6 y +2 y=3 ⇔ ¿ x=1+2 y ¿ y=0 ⇔ x=1 ¿ y=0 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿¿ VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm (x = 1; y = 0).  Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để đợc một phơng trình mới. + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét trong hai ph¬ng tr×nh cña hÖ (vµ gi÷ nguyªn ph¬ng tr×nh kia) Lu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ. Khi c¸c hÖ sè cña cïng mét Èn b»ng nhau th× ta trõ vÕ theo vÕ cña hÖ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số) bµi tËp: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ. ¿ ¿ ¿ 4 x + y=2 x − y=m 3 x+2 y=6 x − y=2  8 x+3 y =5  2 x + y =4  ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 x  3 y  5 3 x  y 7   2 x −3 y =1    − 4 x+ 6 y=2  5 x  4 y 1   x  2 y 0 ¿{ ¿  x  4 y 2  x  y  2    3x  2 y 4   2 x  3 y 9 Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số ¿ ¿ 2 x −11 y =−7 3 x + y=3  10 x+11 y =31  2 x − y =7 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ 3 x +2 y=−2 −5 x +2 y=4  3 x −2 y=− 3  6 x − 3 y =−7 ¿{ ¿{ ¿ ¿. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2x  3y 2    4x  6y 2 ¿ 2 x+ 5 y=8  2 x −3 y=0 ¿{ ¿ ¿ 2 x −3 y=11  − 4 x+ 6 y=5 ¿{ ¿. 7.

(8) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT ¿ ¿ ¿ 3 x+2 y=1 2 x +5 y=2 3 x − 2 y =4  2 x − y=3  6 x − 15 y =6  6 x − 4 y =3 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ §Æt Èn phô råi gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau ¿ ¿ 1 1 4 1 1 ¿ + = + =2 2(x + y)+3 (x − y )=4 x y 5 x−2 y−1 2 3  (x+ y)+2( x − y )=5  1 1 1  − = − =1 ¿{ x y 5 x −2 y −1 ¿ ¿{ ¿{ ¿ ¿. C¸c bµi tËp tù luyÖn. Bµi 1 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : ¿ 2 x − y =−2 a) 2 x − y=4 ¿{ ¿ ¿ x+ y =3 c) 2 x −3 y=− 4 ¿{ ¿ ¿ 3 x +4 y =−2 e) 6 x+ 8 y+ 3=0 ¿{ ¿. ¿ 2 x +5 y=1 b) −10 x − 5 y=20 ¿{ ¿ ¿ 2 x +3 y=− 4 d) 5 x+7 y=−9 ¿{ ¿ ¿ x y − =1 2 3 f) x 2 y + =8 4 3 ¿{ ¿. Bµi 2 : Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : ¿ ¿ ¿ 1 1 5 1 2 4 1 + = − =2 − =1 x y 8 x y −2 x +2 y x − 2 y a) 1 1 3 b) 3 c) 20 1 3 − = + − 1=0 + =1 x y 8 x y −2 x+ 2 y x −2 y ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ( m− 3 ) x + y =5 Bµi 3 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh x − y=7 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh nhËn cÆp sè ( x= 1 ; y =- 6) lµm nghiÖm c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó. ¿ ax − y=2 Bµi 4 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh x+ ay=3 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = 1 b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó THCS HOÀNG VĂN THỤ. 8.

(9) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm ¿ ax − 2 y =a Bµi 5 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh −2 x+ y=a+1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = -2 b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1 d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên. ¿ 2 x +(m− 4) y=16 Bµi 6 :a) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh: (4 −m) x − 50 y=80 (I) ¿{ ¿ b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1 Bµi 7* : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : a) √ 8+ √ x+ √5 − √ x=5 b) √ 2− x2 + √ x 2+ 8=4 CHủ đề 4:. hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn. C¸c d¹ng to¸n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai bµi mÉu: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®iÒn tiÕp vµo chç (.........) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x2 -27x = 0  3x(x-……) = 0  3x= 0 (1) hoÆc .........................(2) Gi¶i(1) x=………… Gi¶i(2) x=………… Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………………….. 2) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 5x2 - 45 = 0  x2-…… = 0  x2 = 9  x1,2=……………… Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………………….. 3)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 -2007x +2005= 0 (a=…..;b=…..;c=……) Ta cã:a+b+c=………………………= 0 Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm …………… ; …………….. ??:Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh h¬n,tr×nh bµy ng¾n gän chÝnh x¸c. 4) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 +7x -5= 0 (a=…..;b=…..;c=……) Ta cã: ∆=………………….=………..>0 Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………. ; ………………….. 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 7x2 +10 = 0(*) §Æt x2 = y (y≥0) Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = 0 (1) Gi¶i(1) ta cã: ∆=…………………….=………..>0 =>Ph¬ng tr×nh(1) cã hai nghiÖm y1=……………= …………; y2=……………=………….. Víi y1=………; y2=…………tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n Mµ x2 = y Nªn y1=………=> x2 =………..<=>…………… y2=………=> x2 =………..<=>…………… VËy Ph¬ng tr×nh (*)cã ………nghiÖm………….;…………….;…………….;………….. 6) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ 5 √ x − 6=0 (*) §Æt √ x = y (y≥0) Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = 0 (1) Gi¶i(1) ta cã: ∆=…………………….=………..>0 =>Ph¬ng tr×nh(1) cã hai nghiÖm y1=……………= …………; y2=……………=………….. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 9.

(10) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Víi y1=………;………. tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n => y1=………(lo¹i) y2=…………tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n Mµ x2 = y Nªn y2=………=> √ x =………..<=>…………… VËy Ph¬ng tr×nh (*)cã ………nghiÖm………….;…………….;…………….;………….. Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 2x2 - 50 = 0 c)54x2 = 27x e)y+ √ y -6=0 2 b) 3 x +5 =x 2 − 2 d) y+ √ y =0 f)y-5 √ y +4=0 4 Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 3x2 -17x - 20 = 0 d) x2 - 4x + 4= 0 b) 2x2 - 2007x + 2005 = 0 e) x2 + 3x - 1 = 0 2 c) x + x + 1 = 0 f) x2 - x + √ 2− 2 = 0 Bµi 3 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng ph¬ng ph¸p Èn phô 1) x4 - 5x2 - 6 = 0 6) ( x 2+ 2 x )2 −2 ( x2 +2 x ) − 3=0 2) x4 + 7x2 - 8 = 0 7) ( y 2 +5 y )2 − 8 y ( y +5 ) − 84=0 3) x4 + 9x2 + 2 = 0 2x 1 8) ( y 2 − 5 ) −5 √ y 2 −5=6 =2+ 4) 2 x +1 x −1 9) x 2+ 4 √ x 2 −2+2=0 x x +1 5) + =−2 x +1 x bài mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x2 + mx - m2 -12 = 0 (1) cã mét nghiÖm b»ng 2.T×m nghiÖm cßn l¹i Gi¶i: §Ó ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2 th×: 5.22 +m.2 -m2-12=0  8+m.2 -m2=0  m2-2m - 8 = 0(*) Gi¶i (*)Ta cã: ∆'=……………..=……..> 0 => √ Δ' =…… => ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm m1=…………=…….. ; m2=…………=…….. +)Víi m1=………… ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2. m lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =. 5 4 Mµ x1=2 ; m1=…… Nªn 2 + x2 = x2=……….=……….. 5 +)Víi m2=………… ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2. m lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =. 5 Mµ x1=2 ; m2=…… Nªn 2 + x2 =……..  x2=……….=……….. VËy……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Bµi 4 : Víi gi¸ trÞ cña b th× c¸c ph¬ng tr×nh a) 2x2 + bx - 10 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 5. T×m nghiÖm cßn l¹i b) b2x2 - 15x - 7 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 7 . T×m nghiÖm cßn l¹i c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 3. T×m nghiÖm cßn l¹i Bài 5 : Cho các phơng trình ẩn x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép: a) x2 + 5x + k = 0 c) x2 - (2k+3) + 4k + 2 = 0 2 b) x + kx + 2 = 0 d) (k-1) x2 + kx + 1 = 0 Bài 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm. Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt bµi mÉu: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + m x +1= 0 cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m Gi¶i: ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + m x +1= 0(*) ( a=…….; b=………; c=………) THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(11) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT +) Xét a= 0 hay m - 3 = 0  m =………..lúc đó phơng trình(*) trở thành: 3x+1=0  x=………… => m = ……..th× ph¬ng tr×nh(*) cã mét nghiÖm x=…….(1) +) XÐt a ≠ 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠…… Ta cã: ∆=………………………=………………………………= m2 - 4m + 12 = m2 - 2(….).m +(…..)2-…….. +12 = (… - ….)2 +………. NhËn thÊy: ( m - ….)2≥0 Víi mäi m ≠ 3 ( m - ….)2 + 8 ≥…….>0 Víi mäi m ≠ 3 Hay ∆>0 Víi mäi m≠ 3 => ph¬ng tr×nh(*) cã hai nghiÖm Víi mäi m ≠ 3 (2) Tõ (1) ;(2) => ph¬ng tr×nh(*) cã nghiÖm Víi mäi m Chó ý:Víi nh÷ng ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè ë hÖ sè a ta cÇn xÐt hai trêng hîp a=0 vµ a ≠ 0 Bµi 8 : Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. a)x2+(m+1)x+m=0 b) x2 -mx + m - 4 = 0 2 2 c) -3x + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x + 4x - m2 + 4m - 9 = 0 e) (m+1)x2 + x - m = 0 bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu. Gi¶i: ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1) §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu th× a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0  30-5m < 0 ……………….<=> m > 6 VËy m………………………………………………………………………………. Chó ý:Trong d¹ng to¸n nµy Víi nh÷ng ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè ë hÖ sè a ta kh«ng ph¶i xÐt hai trêng hîp a=0 vµ a ≠ 0 Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu. a) x2 + 2x + m - 1 = 0 b) x2 + mx + 7 = 0 2 c)-3x + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 5 = 0 e) (m2 + 2 4 m +4)x + mx - 1 = 0 Bµi 10 : Cho ph¬ng tr×nh : (m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 5 b) Chøng minh r»ng : x = m lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép bµi mÉu: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + 2(m-2) x +m = 0 (Èn x , tham sè m) Gi¶i: ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + 2(m-2)x +m = 0(*) ( a=…….; b=………; c=………) +) Xét a= 0 hay m - 3 = 0  m =………..lúc đó phơng trình(*) trở thành: ….x+1=0  x=………… => m = ……..th× ph¬ng tr×nh(*) cã mét nghiÖm x=……. +) XÐt a ≠ 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠…… Ta cã: ∆'=………………………=…………………………………..= -m +4 m <4 -Khi ∆'>0 hay -m+4 >0 …………………  m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc m≠3 −( m−2)+ 4 − m √ lúc đó phơng trình(*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1= ;………………………. m− 3 -Khi ∆'=0 hay -m+4 =0 …………………  m= 4 −( m−2) lúc đó phơng trình(*) cã nghiÖm kÐp x1=….= =2 (do m= 4) m −3 -Khi ∆'>0 hay -m+4 <0 …………………  ……. kết hợp vơí điều kiện ta đợc………. lúc đó phơng trình(*) v« nghiÖm VËy m = ……..th× ph¬ng tr×nh(*) cã mét nghiÖm x=……. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Bµi 11 : Cho ph¬ng tr×nh Èn x: mx2 - 2(m-2) x + m - 3 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 3 b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(12) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT c) Gi¶i vµ biÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Bµi 12 : LËp ph¬ng tr×nh Èn x cã hai nghiÖm lµ a) 3 vµ 5 b) 3- √ 5 vµ 3 + √ 5 1 1 c) 3- √ 2 vµ 3 + √ 2 d) vµ 3 − 2√ 2 3+ 2 √ 2 1 1 e) vµ víi a   b a+b a− b bµi mÉu: LËp ph¬ng tr×nh Èn x cã hai nghiÖm lµ: 1- √ 5 vµ 1 + √ 5 Gi¶i: §Æt x1=3- √ 5 vµ x2= 3 + √ 5 Ta cã: x1+x2=………+………= 6 x1.x2=(………….).(……………..)=………….= 4 áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 là nghiệm của phơng trình: …………………….= 0 VËy ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ:……………………………….. Bµi 13 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 5x - b = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2 LËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 vµ y2 tho¶ m·n : y1 = x12 + 1 vµ y2 = x22 + 1 Bµi 14:Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2010 2005x +1 = 0 Cã 2 nghiÖm x1vµ x2 .LËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 vµ y2 tho¶ m·n : y2 = x12 + 1 vµ y1 = x22 + 1 Bµi 15: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ ¿ ¿ x + y=5 x − y=11 x 2+ y 2 =25 a) x . y=− 35 b) x . y=60 c) x . y=12 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ bài mẫu: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phơng trình a) 5x2 - 7x - 1 = 0 Gi¶i: cã : a.c = ………….=-5 < 0 => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu b) 5x2 - 7x + 2 = 0 Gi¶i: ph¬ng tr×nh: 5x2 - 7x+2 = 0 (a=…..; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= 9 > 0 ¿ .. . .. .. . .. .. .. .=. . .. .. . .. .. . ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã: .. . .. .. . .. .. .. . .=. .. .. . .. .. . ¿{ ¿ => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu d¬ng c) x2 + 11x + 5 = 0 Gi¶i: ph¬ng tr×nh: x2 +11x+5 = 0 (a=…..; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= …. > 0 ¿ .. . .. .. . .. .. .. .=. . .. .. . .. .. . ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã: .. . .. .. . .. .. .. . .=. .. .. . .. .. . ¿{ ¿ => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu ©m d) 5x2 + x + 2 = 0 Gi¶i: ph¬ng tr×nh: 5x2 + x +2 = 0 (a=…..; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= …..< 0 THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(13) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bài 16 : Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1) 3x2 + 5x - 1 = 0 3) 5x2 - 14x + 1 = 0 2 2) 7x -3x + 1= 0 4) 2x2 - 4x - 3 = 0 2 5) 4x - 3x +2 = 0 6) x2 +5x +1 = 0 bài mẫu: Cho phơng trình : x2 - 2x + m-3 = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình có hai nghiÖm cïng dÊu d¬ng ? Gi¶i: ph¬ng tr×nh : x2 - 2x + m-3 = 0 (*) (a=…..; b=…….; c=…….) ¿ Δ '>0 x 1+ x 2 >0 §Ó ph¬ng tr×nh(*)cã hai nghiÖm cïng dÊu d¬ng th×: x1 . x 2 >0 hay . . ¿{{ ¿ ¿ .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(1) .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(2) .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(3) . ¿{{ ¿ Gi¶i(1):  4-m > 0 …………….<=>……………… Giải(2):  2 > 0 luôn đúng Gi¶i(3): ……. > 0 …………….<=>……………… Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:…………………………………… VËy m…………………………………………………………………………………………… Bài 17 : Cho phơng trình : x2 - 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình 1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu 4) Cã 2 nghiÖm cïng dÊu d¬ng 2) cã 2 nghiÖm cïng dÊu 5) Cã 2 nghiÖm cïng ©m 3) Cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm d¬ng Bài 18 : Tìm giá trị của m để phơng trình: a) x2 - 2mx + (m-1)2 = 0 Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng d¬ng b) 2x2 - 2(m+1) x + m = 0 Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng ©m c) x2 - 2x + 2m -30 = 0 Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. Bµi 19 : Cho ph¬ng tr×nh : 5x2 - 6x - 8 = 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau(x1; x2lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) 1) S = x1 + x2 ; P = x1. x2 x1 x2 1 1 + 2) A = x12 + x22 ; B= ; C= ; D = x13 + x23 + x1 x2 x2 x1 E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ; F = x13 - x23 2 Bµi 20 : Cho ph¬ng tr×nh : x - 8x + n = 0 (1) n lµ tham sè a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi n = 1 b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1) x1 - x2 = 2 ; 3) 2x1 + 3x2 = 36 2) x1 = 3x2 ; 4) x12 + x22 = 50 Bµi 21 : Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 - 4x + m = 0 Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) NghiÖm nµy gÊp 3 lÇn nghiÖm kia b) HiÖu hai nghiÖm b»ng 1 Bµi 22 : Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m-2)x - 6m = 0 (Èn x) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -3 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm còn lại c) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(14) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT d) Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. H·y tÝnh A = x12 + x12 theo m từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A. bµi mÉu: d¹ng to¸n vÒ t×m gi¸ trÞ lín, nhÊt nhá nhÊt cña mét biÓu thøc nghiÖm VÝ dô 1: Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (Èn x) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Hãy m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó Gi¶i: a) ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (Èn x) (a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………………………… = m2-8m+24 = m2-2m(…..)+(….)2 -………+24 =(…..-……)2 +……… NhËn thÊy: (…..-……)2 ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña m => (…..-……)2 +………≥……..> 0 víi mäi gi¸ trÞ cña m Hay ∆'> 0 víi mäi gi¸ trÞ cña m => ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Theo a) ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m ¿ .. . .. .. . .. .. .. .=. . .. .. . .. .. . ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã: .. . .. .. . .. .. .. . .=. .. .. . .. .. (I) . ¿{ ¿ L¹i cã: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (……+……) Thay (I)vào A ta đợc : A= -2(m-3)(…..-……) =………………………………………………. = - 4m2+ 42m - 90 -A = 4m2- 42m - 90 = (2m)2-2.2m(…..)+(….)2 -………- 90 =(……-……)2 -……… NhËn thÊy: (…..-……)2 ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña m <=> (…..-……)2 -………≥…….. víi mäi gi¸ trÞ cña m Hay -4A ………… víi mäi gi¸ trÞ cña m  A…………….. víi mäi gi¸ trÞ cña m DÊu "=" x¶y ra khi ……………=0  m=……… VËy gi¸ trÞ ……………………………………………………………………………………… VÝ dô 2: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (Èn x) Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x1 , x2 là nghiệm của phơng tr×nh (1) ) Gi¶i: ph¬ng tr×nh x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (Èn x) (a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………………………… = 6m+18 §Ó hp¬ng tr×nh (1)cã nghiÖm th× ∆'≥ 0 hay………………………  m ≥ …… Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x1 + x2 =………………….. mµ m …….=> 6m……….  6m+.............. Hay A………. DÊu "=" x¶y ra khi m =............. VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ .........khi m=......... B¹n h·y tù ph©n chia c¸c bíc cña bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ,nhá nhÊt mét biÓu thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 23 : Cho ph¬ng tr×nh x2 + (m+1)x + m = 0 (Èn x) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m b) H·y tÝnh x21x2 + x22x1 theo m c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :E = x21x2 + x22x1 d) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia. Bµi 24 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 + mx + m - 2 = 0 (1) (Èn x) a) Chøng minh r»ng Ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2(x21 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1) Bµi 25 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k+1)x + k = 0 (1) Èn x tham sè k THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(15) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi k b) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) TÝnh biÓu thøc A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A Bµi 26 Cho ph¬ng tr×nh: : x2 + 2mx + m2 + 4m + 8 = 0 (1) (Èn x) a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghiệm b)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :A=x1+x2 c)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :B=x1+x2+x1.x2+2007 Bµi 27 *: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (m+1)x + m2 -2m + 2 = 0 (Èn x) a) Tìm giá trị của m để phơng trình vô nghiệm b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giá trị lớn nhất e) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x1 + x2 Bµi 28 : Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (Èn x) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A =  x1x2 - 2x1 - 2x2 Bµi 29 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k-3)x + 2k + 1 = 0 (1) (Èn x) a) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm b) Víi ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm h·y tÝnh P = x1 + x2 ; S = x1. x2 c) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với k Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với m của mỗi phơng trình sau a) x2 - (2m+5)x + m + 3 = 0 b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = 0 c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = 0 d) (m-1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 2 2 Bµi 31 : Cho ph¬ng tr×nh: x - (2m-1)x+ m - m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè) a) Tính  để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó b) TÝnh A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m c) Tìm m để A  3 Bµi 32 : Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 - 7x + 6 = 0 x2 + (m+1)x + 24 = 0 Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung Bµi 33 : Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 + x + m = 0 vµ x2 + mx + 1 = 0 a)Với giá trị nào của m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó. b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng. Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung 2x2 - (3m+2) x + 12 = 0 4x2 - (9m-2)x + 36 = 0 Bài 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng x2 +(3m+2n)x - 4 = 0 x2 + (2m-3n)x + 2n = 0 2 Bµi 36 : Cho hai ph¬ng tr×nh x + p1x + q1 = 0 vµ x2 + p2x + q2 = 0 BiÕt r»ng: p1p2 = 2(q1 + q2) . CMR: Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Bµi 37 : Chøng minh r»ng hai ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (1) vµ a1x2 + b1x + c1 = 0 (2) Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung th× (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c) Mét sè bµi to¸n tæng hîp vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 38: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m+1) x +m-4 = 0 (1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=1 b)CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. c)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m. d)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M= x12 +x22 Bµi 39: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k+1) x +k = 0 (1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh khi k = 2004 b)CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm c)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .TÝnh B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B. d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x12 + x22 =5 e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép .Tìm nghiệm đó Bµi 40:Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (a-1) x - a2 +a - 2 = 0 (1) 1) CMR ph¬ng tr×nh (1)lu«n lu«n cã nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi a. 2)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .TÝnh S= x12 + x22 theo a. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S. 3)lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 độc lập với a. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(16) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT 1 1 4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mãn + nhËn gi¸ trÞ d¬ng x1 x2 Bµi 41:Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m+1)x2 + 5 x +m2 - 1= 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =-1 b)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4. Bµi 42:Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi a=1 2. CMR ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi a kh¸c -1. 3. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. 4. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia. 5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và nghiÖm kia nhá h¬n 1. Bµi 43:Cho ph¬ng tr×nh Èn x : x2 + p x +q = 0(1) a)Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh theo p,q biÓu thøc 2 2 x 1 +3 ¿ ¿ 2 x 2 +3 ¿2 A= theo p ,q 2¿ 2¿ 1 ¿ b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm là 1 và 2 x 1+1 x 2+1 c)lËp 1 ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ vµ x 1 −1 x 2 −1 d)Gi¶ sö p+q = 1 .CMR ph¬ng tr×nh (1)vµ ph¬ng tr×nh ë c©u (c) cã nghiÖm chung . e)CMR nÕu ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh: x2 + n x +m = 0 cã nghiÖm chung th× (n+p)2 +(m- p)(mq-np) = 0. Bµi 44: Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2 + 2m x +2m-1 = 0 (1) 1)CMR ph¬ng tr×nh (1)lu«n cã nghiÖm víi mäi m 2)Gi¶ sö x1,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 là độc lập với m. b. Tìm m để x1- x2 =6. c. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A= x12 x2 + x22 x1 3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3. 4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1. CHủ đề 5: gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh dạng toán chuyển động. Bài 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không đổi nhng ngời đi chậm xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc ở mỗi ngời. Bài 3 : Quãng đờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài 4 : một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km. Vì có việc gấp phải đến B tr ớc dự định là 45 phút nên ngời ấy phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km. Hãy tính vận tốc dự định của ngời đó. Bài 5 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Lúc từ B về A, ngời đó có công việc bận cần đi theo con đờng khác dễ đi nhng dài hơn lúc đi là 5 km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h. Lên thời gian về ít hơn thời gian đi là 40 phút. Tính quãng đờng lúc đi. Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30’ một ngời đi xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(17) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bµi 7 : Hai ngêi cïng khëi hµnh lóc 7 giê tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 44 km vµ ®i ngîc chiÒu nhau hä gÆp nhau lóc 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi. biÕt r»ng vËn tèc ngêi ®i tõ A h¬n vËn tèc ngêi ®i tõ B lµ 3 km/h. Bài 8 : Từ hai địa điểm cách nhau 126 km. Có một ngời đi bộ và một ngời đi ô tô cùng khởi hành lúc 6 giờ 30 phót. NÕu ®i ngîc chiÒu nhau hä sÏ gÆp nhau lóc 10 giê, nÕu ®i cïng chiÒu(« t« ®i vÒ phÝa ngêi ®i bé) th× « t« ®uæi kÞp ngêi ®i bé lóc 11 giê. TÝnh vËn tèc ngêi ®i bé vµ cña « t«. Bµi 9 : Hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 150 km. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i ngîc chiÒu nhau, gÆp nhau ë C cách A 90 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Bài 10 : Một ô tô dự định đi 120 km trong một thời gian dự định trên nửa quãng đờng đầu. Ô tô đi với vận tốc dự định. Xong do xe bị hỏng lên phải nghỉ 3 phút để sửa. Để đến nơi đúng giờ. xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa quãng đờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên quãng đờng. Bài 11 : Một ô tô đi dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian dự định sau khi đ ợc 1 giờ. Ô tô bị chặn bởi một xe lửa 10 phút, do đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận tốc 6 km/ giờ. Tính vận tốc ô tô lúc ®Çu. Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm 1 đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một ngời đi từ A đến B hết 40 phút, còn đi từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về. vận tốc xuống dốc ®i b»ng vËn tèc xuèng dèc vÒ). TÝnh vËn tèc xuèng dèc vµ vËn tèc lªn dèc. Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4 giờ 20’, thời gian về BA là 4 giờ. Tính quãng đờng AC, CB. Biết vận tốc xuống dốc là 15 km/h, vận tốc lên dèc lµ 10 km/h (VËn tèc lªn dèc lóc ®i b»ng vËn tèc lªn dèc lóc vÒ, vËn tèc xuèng dèc lóc ®i b»ng vËn tèc xuèng dèc lóc vÒ). Bµi 14 : Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A sau 5 giê 20 phót mét ca n« ch¹y tõ bÕn A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch bÕn A 20 km. Hái vËn tèc cña thuyÒn. BiÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn lµ 12 km mét giê. Bµi 15 : Mét ca n« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km, råi ngîc vÒ 36 km. BiÕt thêi gian xu«i nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ 2 giê, vËn tèc khi xu«i dßng h¬n vËn tèc ngîc dßng lµ 6 km/h. Hái vËn tèc cña ca n« lóc xu«i dßng vµ lóc ngîc dßng. Bài 16 : Một ca nô đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến sớm 2 giờ, nếu ca nô giảm vận tốc 3 km/h thì đến chậm 3 giờ. Tính thời gian dự định và vận tốc dự định. Bài 17 : Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca n«. BiÕt tæng thêi gian ca n« xu«i vµ ngîc hÕt 8 giê 20 phót vµ vËn tèc cña dßng níc lµ 4 km/h. Bµi 18 : Mét ca n« ch¹y trªn mét khóc s«ng trong 7 giê, xu«i dßng 180 km, ngîc dßng 63 km. Mét lÇn kh¸c ca n« còng ch¹y trong 7 giê, xu«i dßng 81 km, ngîc dßng 84 km. TÝnh vËn tèc riªng cña ca n« vµ vËn tèc cña dßng níc. Bµi 19 : Trªn mét khóc s«ng mét ca n« xu«i dßng hÕt 4 giê vµ ch¹y ngîc dßng hÕt 5 giê. BiÕt vËn tèc cña dßng níc lµ 2 km/h. TÝnh chiÒu dµi khóc s«ng vµ vËn tèc ca n« lóc níc yªn lÆng. Bài 20 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca n« II ch¹y víi vận tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp. Tính chiều dài khúc sông, biết hai cô nô đến nơi cùng một lúc. Bµi 21 : Hai ca n« khëi hµnh tõ hai bÕn A vµ B c¸ch nhau 85 km vµ ®i ngîc chiÒu nhau. Sau 1 giê 40 phót 2 ca n« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n«. BiÕt vËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ngîc dßng lµ 9 km/h. Vµ vËn tèc dßng níc lµ 3 km/h Bµi 22 : Hai bÕn s«ng A, B c¸ch nhau 40 km, cïng mét lóc víi ca n« xu«i tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn A với vận tốc 3 km/h sau khi đến B ca nô trở bến A ngay và gặp bè trôi đợc 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc riêng của ca nô không đổi. Bµi 23. Mét «t« ®i tõ A vµ cÇn tíi B lóc 10 giê khi cßn c¸ch B 40 km. Ngời lái xe thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì đến B lúc 10 giờ 10 phút. Ngời đó đã tăng vận tốc thêm 10 kkm/h do đó đến B lúc 10 giờ kém 10 phút . Tính vận tốc lúc đầu của ô tô. Bài 24. Một ôtô đi từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc về vận tốc tăng 10km/h . Do đó thời gian về Ýt h¬n th«õi gian ®i lµ 30 phót. TÝnh vËn tèc lóc ®i. Bµi 25. Mét ca n« ®i xu«i dßng 44 km råi ngîc dßng trë l¹i 27 kmhÕt 3 giê 30 phót . BiÕt vËn tèc thùc cña ca n« lµ 20 km/h. TÝnh vËn tèc dßng níc. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(18) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài 26. Hai ngời cùng đi quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc . Vận tốc ngời thứ nhất ít hơn vận tốc của ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngời thứ hai là 4 giờ . Tính vận tốc và thời gian đi quang đờng AB của mỗi ngời. Bài 27 . Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời ấy đi vòng con đờng khác dài hơn con đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h . Tính vận tốc lóc ®i .BiÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ 30 phót. Bài 28.Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một từ A đến B . Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút . tính vận tốc mỗi ngời , biết rằng quãng đờng AB dài 30 km. Sử dụng tính chất. Bài 29 . Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B , cùng một lúc đó có một ngời đi bộ từ bến A dọc theo bờ sông hớng đến B. Sau khi đi dợc 24km ca nô quay lại và gặp ngời đó tại một địa điểm cách bến A 8km . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của ngời đi bộ và vận tốc dòng nớc đều bằng 4km/h. II. D¹ng to¸n chung - riªng Bài 1 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, họ cùng làm với nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi lên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao ngày xong c«ng viÖc trªn (víi n¨ng suÊt b×nh thêng). Bµi 2 : An vµ B×nh cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 7 giê 20 phót th× xong. NÕu An lµm trong 5 giê vµ 3 Bình làm trong 6 giờ thì cả hai ngời làm đợc công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình làm công việc đó thì 4 trong mÊy giê xong. Bµi 3 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 1 giê 20 th× bÓ ®Çy. NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y trong 10 phót vµ 2 vßi thø 2 ch¶y trong 12 phót th× ®Çy bÓ. Hái mçi vßi ch¶y mét m×nh th× bao nhiªu l©u míi ®Çy bÓ. 15 Bµi 4 : Hai vßi níc nÕu cïng ch¶y th× sau 6 giê ®Çy bÓ. NÕu vßi thø nhÊt ch¶y trong 10 giê th× ®Çy bÓ. Hái nÕu vßi thø hai ch¶y mét m×nh th× trong bao l©u ®Çy bÓ. Bµi 5 : Hai líp 9A vµ 9B cïng tu söa khu vêng thùc nghiÖm cña nhµ trêng trong 4 ngµy xong. NÕu mçi líp tu söa mét m×nh muèn hµnh thµnh c«ng viÖc Êy th× líp 9A cÇn Ýt thêi gian h¬n líp 9B lµ 6 ngµy. Hái mçi líp lµm mét m×nh th× trong bao l©u hoµn thµnh c«ng viÖc. 2 c«ng viÖc . 3 Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong công việc trớc tổ 2 là 5 giờ. Hỏi mỗi tổ làm một mình thì trong bao l©u xong c«ng viÖc. Bài 7 : Hai tổ cùng đợc giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ 1 làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi tổ cần làm trong bao l©u míi hoµn thµnh c«ng viÖc. Bài 8: Hai ngời làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50’. Sau khi làm đợc 5 giờ. Ngời thứ nhất phải ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c, nªn ngêi kia lµm tiÕp 2 giê n÷a míi xong c«ng viÖc. Hái nÕu lµm mét m×nh mçi ngêi lµm trong bao l©u th× xong. Bµi 9 : Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc, nÕu lµm riªng mçi ngêi nöa c«ng viÖc th× tæng céng sè giê lµm viÖc lµ 12h30’. NÕu hai ngêi lµm chung th× hai ngêi chØ lµm trong 6 giê th× xong c«ng viÖc. Hái mçi ngêi lµm riªng th× mÊt bao l©u xong viÖc. Bµi 6 : Hai tæ s¶n xuÊt nhËn chung mét c«ng viÖc.NÕu lµm chung trong 4 giê th× hoµn thµnh. Bµi 10 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo 1 bÓ th× sau. 4. 4 5. giê ®Èy bÓ, m«Ü giê lîng níc cña vßi 1 ch¶y b»ng. 1 lîng níc ë vßi 2. Hái mçi vßi ch¶y riªng th× trong bao l©u ®Çy bÓ. 2 Bài 11 : Hai ngời thợ dự định cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12’ thì xong nhng trong thực tế ngời 3 1 làm trong 5 giờ và ngời 2 tăng năng xuất lên gấp đôi và làm trong 3 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc c«ng 4 việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong bao lâu xong công việc. Bµi 12 : Hai ngêi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê, ngêi thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm công việc đó một mình thì trong bao lâu xong c«ng viÖc. 1. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(19) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT II. n¨ng xuÊt : Bµi 1 : Mét tæ c«ng nh©n ph¶i lµm 144 dông cô do 3 c«ng nh©n chuyÓn ®i lµm viÖc kh¸c nªn mçi ng êi cßn l¹i ph¶i lµm thªm 4 dông cô. TÝnh sè c«ng nh©n cña tæ lóc ®Çu (n¨ng suÊt mçi ngêi nh nhau). Bài 2 : Hai đội thuỷ lợi gồm 5 ngời đào đắp một con mơng. Đội 1 đào đợc 45 m3 đất, đội hai đào đợc 40 m3 . Biết mỗi công nhân đội 2 đào đợc nhiều hơn ccông nhân đội 1 là 1m3 . Tính số đất mỗi công nhân đội 1 đào đợc. Bài 3 : Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày đợc 52 ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định. Bài 4 : Một tổ dệt khăn mặt, mỗi ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế mỗi ngày đã dệt thêm đợc 60 chiếc, cho nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trớc 3 ngày mà còn dệt thêm đợc 1200 khăn mặt so v¬Ý kÕ ho¹ch . T×m sè kh¨n mÆt ph¶i dÖt theo kÕ ho¹ch lóc ®Çu. Bài 5 : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong 1 thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm 10 1 m3 . Sau khi bơm đợc dung tÝch cña bÓ chøa, ngêi c«ng nh©n vËn hµnh cho m¸y b¬m víi c«ng suÊt lín 3 hơn, mỗi giờ bơm đợc 15 m3 do đó bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định. Tính dung tích bể chøa. Bµi 6 : Mét tæ s¶n xuÊt cã kÕ ho¹ch s¶n xuÊt 720 s¶n phÈm theo n¨ng suÊt dù kiÕn. Thêi gian lµm theo n¨ng suÊt t¨ng 10 s¶n phÈm mçi ngµy kÐm 4 ngµy so víi thêi gian lµm theo n¨ng suÊt gi¶m ®i 20 s¶n phÈm mçi ngµy ( t¨ng, gi¶m so víi n¨ng suÊt dù kiÕn). TÝnh n¨ng suÊt dù kÕn theo kÕ ho¹ch. Bài 7 : trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ một vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết m¸y. Bài 8 : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất vợt mức 15%, tổ 2 sản xuất vợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ? Bài9 . Một tàu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày đánh bắt đợc 30 tấn cá . Nhng thực tế mỗi ngày đánh bắt thêm đợc 8 tấn nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm đợc 2 ngày mà còn đánh bắt vợt mức 20 tấn . Hỏi số tấn cá dự định đánh bắt theo kế hoạch là bao nhiêu? Bài 10. Trong một buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam và nữ đã trồng đợc tất cả 180 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc bằng số cây các bạn nữ trồng và mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ là 5 cây.Tính sè häc sinh nam vµ n÷. IV. To¸n h×nh häc : Bµi 1 : C¹nh huyÒn cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 10 m. Hai c¹nh gãc vu«ng h¬n kÐm nhau2m. T×m c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c. Bài 2 : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m, ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất của vờn) rộng 2m. Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2. TÝnh c¸c kÝch thíc cña vên. Bµi 3 : TØ sè gi÷a c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ 13/12 c¹nh cßn l¹i b»ng 15m. TÝnh c¹nh huyÒn. Bµi 4 : T×m hai c¹nh cña tam gi¸c vu«ng biÕt c¹nh huyÒn b»ng 13 cm, hiÖu hai c¹nh gãc vu«ng lµ 7 cm. Bài 5 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m và chiều dài tăng thêm 3 m thì diện tích sẽ tăng thêm 195 m2. Tính các kích thớc của miếng đất. Bµi 6 : T×m c¸c kÝch thíc cña mét h×nh ch÷ nhËt biÕt chu vi b»ng 120m, diÖn tÝc b»ng 875m2 Bài 7 : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2. Tính cạnh đáy của hình tam giác biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi. Bài 8 : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10 m . Thì diện tích h×nh ch÷ nhËt t¨ng thªm 200m2. TÝnh chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lóc ®Çu. Bµi 9 : Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi 30 m, c¹nh huyÒn 13 m. TÝnh mçi c¹nh gãc vu«ng. Bµi 10 : tÝnh c¸c c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng biÕt hiÖu cña chóng b»ng 4 m vµ diÖn tÝch tam gi¸c b»ng 48 m2 . Bài 11. Tính độ dài các cạnh của một tam giác vuông , biết rằng chúng là 3 số tự nhiên liên tiếp. Bài12 . Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 34m , đờng cao 13 m. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 1.

(20) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài13. Một tam giác vuông có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó. Bµi14. TÝnh c¸c c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ngcã c¹nh huyÒn b»ng 10. Vµ mét trong c¸c c¹nh gãc vu«ng b»ng trung b×nh céng cña c¹nh kia vµ c¹nh huyÒn. Bài15. Một sân tam giác có diện tích 180 m2 .Tính cạnh đáy của tam giác biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.S phÇn thø hai : h×nh häc I_chøng minh tø gi¸c néi tiÕp Bài 1 : Chứng minh rằng các tứ giác trong các hình vẽ dới đây nội tiếp đợc một đờng tròn. A. A D. B. B. N. M. C. A. C. A. D. K. E. F. O. O x. G H. P. Q. Bài 2 : Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở bên ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn (O). M là một điểm tuỳ ý trên dây BC (M≠B ; M≠ C) đờng thẳng vuông góc với OM tại M cắt AB, AC lần lợt ở D vµ E. CMR a. Tứ giác ODBM và tứ giác ABOC nội tiếp một đờng tròn. b. M lµ trung ®iÓm cña DE. Bài 3 : Cho đờng tròn (O) một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó . Trên dây AB lấy hai điểm E và H. Các đờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt tại C và D. CMR tứ giác EHCD nội tiếp một đờng tròn. Bài 4 : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O). Gọi S là điểm chính giữa của cung nhỏ CD.đờng thẳng AD cắt BS ở E. đờng thẳng BC cắt AS ở F CMR a. Tứ giác AFEB nội tiếp một đờng tròn. b. ED.EA= ES.EB c. DC song song víi EF. ❑ ❑ Bài 5 : Cho ∆ ABC nhọn các đờng phân giác trong của góc B và góc C gặp nhau ở S . các đờng phân giác ❑ ❑ ngoµi B vµ C gÆp nhau ë E a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn. b> Gọi M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE. CMR tứ giác ABMC nội tiếp Bài 6: cho đờng tròn (0) và một điểm A ở ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (0) ở B và C gọi M là một điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M≠B ; M≠C ).Tõ M kÎ MH vu«ng gãc víi BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vu«ng gãc víi AB a> chøng minh tø gi¸c ABOC néi tiÕp b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK c> chøng minh MI.MK= MH2 Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB .M là một điểm trên đờng tròn(M≠A; M≠ B). C là một điểm trên cạnh AB (C≠A; C≠0;C≠B) đờng vuông góc MC tại M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B với đờng tròn (0) tại E va F chứng minh a> Tứ giác BCMF nội tiếp một đớng tròn b> Tam gi¸c ECF vu«ng t¹i C Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB’ và CC’ cắt nhau tại H a)chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp . Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCB’C’. b)Tia AO cắt đờng tròn (O) ở D, cắt B’C’ ở I. CMR tứ giác B’IDC nội tiếp, từ đó suy ra AO  B’C’ c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M của BC Bài 9 : cho (O; R) hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. AE cắt OC ë F, DE c¾t AB ë N. a. Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng tròn đó b. Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(21) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài 10 : cho hai đờng tròn (O1) ; (O2) cắt nhau tại E và F ; O1O2 cắt (O1) tại A, C ; cắt (O2) tại B, D (sắp xếp theo thứ tự A, B, C, D) và cắt EF tại H. P là một điểm trên tia đối của tia EH. CP cắt (O1) tại M ; BP cắt (O2) tại N ; AM c¾t DN t¹i I chøng minh r»ng : a. Tø gi¸c MPNI néi tiÕp b. HA. HC = HB. HD c. Tø gi¸c BNMC néi tiÕp d. H ; I ; P th¼ng hµng vµ tø gi¸c ANMD néi tiÕp. II-Chứng minh đại lợng a.b=c.d (a,b,c,d là độ dài các đoạn thẳng) Bài 1 : cho điểm A ở ngoài đờng tròn (O) từ A kẻ tiếp tuyến AT tới đờng tròn và các cát tuyến AEF ; APQ. CMR : AT2 = AE . AF = AP. AQ. Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O.Gọi I là giao điểm hai đờng chéo AC và BD.CMR :IA.ID = IB .IC . Bµi 3 : Cho ∆ BAC vuông ở A,đờng cao AH, gọi P,Q theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC. a. Chứng minh rằng : tứ giác BPQC nội tiếp một đờng tròn b. Chøng minh r»ng : AP. AB = AQ. AC c. Gäi O vµ O’ thø tù lµ trung ®iÓm cña BH vµ HC. Gäi I lµ giao ®iÎm cña PQ vµ AH. d. CMR : OI2 = OH. OO’ Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau.Trên cung nhỏ BC lấy điểm M.Gọi dao ®iÓm cña AM vµ CD lµ K. CMR :AM.AK =AD2 = BD2 = 2R2 AB Bµi 5 : Cho ®o¹n th¼ng AB , kÎ Bx  AB . Trªn Bx lÊy mét ®iÓm O sao cho BO = . Tia AO cắt đờng tròn 2 (O ; OB) ở D và E ( D nằm giữa A và O). đờng tròn (A ; AD) cắt AB ở C a. Tìm vị trí tơng đối của (A ; AC) với đờng tròn ( O ; OE) b. Chøng minh r»ng : DE2 = AD. AE c. AC2 = BC. AB. Bài 6 : cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Gọi K là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC . AK cắt BC ở I’ và cắt đờng tròn (O) ở P. Kẻ đờng kính PQ. Gọi E và F thứ tự là giao điểm của BK và CK với đờng thẳng AQ. Chøng minh r»ng a. PC2 = PI. PA b. 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn. Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) (AC>AB) gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, P là giao điểm của AB và CD, tiếp tuyến của đờng tròn tại C cắt tiếp tuyến tại D và cắt AD thứ tự tại E và Q. a. Chøng minh r»ng : DE // BC b. Chøng minh : DP. DC = DA. DQ c. Chøng minh : DE // PQ 1 1 1 d. Gäi F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. Chøng minh = + CE CQ CF III. Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn Bài 1 : Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và hai tia tiếp tuyến Ax, By của nó. Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn (O) tại C (c ≠ A, B) cắt Ax, By lần lợt tại E, F a. Chøng minh OE vu«ng gãc víi OF b. Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB. c. Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OEF. Từ đó chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c OEF. Bài 2 : Cho đờng tròn (O), đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn tại A vẽ đờng tròn (I) đờng kính OA. a. Chứng minh hai đờng tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau. b. Qua A vẽ một cát tuyến cắt đờng tròn (I) và đờng tròn (O) lần lợt ở M và C. CMR : MA= MC c. §êng th¼ng OM c¾t d t¹i B. Chøng minh r»ng : BC lµ tiÕp tuyÕn cña (O). Bài 4 : cho nửa đờng tròn đờng kính AB và C ; D là hai điểm trên đó (C nằm giữa A và D). AC và AD cắt tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn lần lợt tại E và F. a. Chøng minh ABD = AEF ; ABC = AEB b. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp một đờng tròn c. Gọi I là trung điểm của FB.Chứng minh rằngDI là tiếp tuyến của nửa đờng tròn. d. Gi¶ sö CD c¾t Bx ë G, ph©n gi¸c cña CGE c¾t AE vµ AF thø tù t¹i M vµ N. Chøng minh tam ti¸c AMN c©n. Bài 5 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O) và E là điểm chính giữa cung AB. Hai dây EC, ED cắt AB thø tù t¹i P vµ Q c¸c d©y AD vµ EC kÐo dµi c¾t nhau ë I. C¸c d©y BC vµ ED kÐo dµi c¾t nhau ë K. Chøng minh r»ng a. Tø gi¸c CDIK néi tiÕp THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(22) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT b. Tø gi¸c CDPQ néi tiÕp c. IK song song víi AB d. §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AQP tiÕp xóc víi EA t¹i A Bài 6 : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I là trung điểm của AB, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, cắt CI tại H a. Chøng minh r»ng : H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. b. Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua AC. Chứng minh rằng B’ cũng thuộc đờng tròn (O). c. Chứng minh ngợc lại rằng : nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHC tiÕp xóc víi AB. Bài 7 : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và một dây cung thay đổi MN=R √ 2 (M nằm ở giữa cung AN) AM c¾t BN ë C ; AN c¾t BM ë D. a. Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp một đờng tròn tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN. b. Chøng minh r»ng CD vu«ng gãc víi AB. c. Chứng minh rằng OM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN d. Chứng minh rằng CD =AB và CD song song với một đờng thẳng cố định. Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự là A, B, C. Vẽ hai nửa đờng tròn đờng kính AB và BC ( vẽ cùng một phía của AC). trên đờng thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho góc ADC = 900 .gọi giao điểm của DA và DC với 2 nửa đờng trònl à E và F .Chứng minh rằng a. EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn b. Tứ giác AEFC nội tiếp một đờng tròn c. Xác định vị trí của điểm B trên đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF là hình vuông. Bài 9 : Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC nội tiếp trong đờng tròn (O,R) H là giao điểm của các đờng cao AM ; BN ; CP còn Q là điểm đối xứng của H qua trung điểm E của cạnh BC. Chøng minh c¸c gãc PNB = BNM = CBQ 1. Chứng minh rằng : Q thuộc đờng tròn tâm (O) 2. Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng này cắt đờng thẳng BC ở K. Chứng minh rằng xy là tiếp tuyến của đờng tròn (O) và AK2 = KB. BC 3. Gọi I là điểm đối xứng của O qua BC, tính HI theo R. IV.Chứng minh hai đờng thẳng song song hoặc vuông góc Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AH cắt đờng tròn (O) ở D, kẻ đờng kính AOE a. Chøng minh r»ng : DE song song víi BC. b. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung DE, OM c¾t BC t¹i I. Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña BC. c. Tính bán kính của đờng tròn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm Bµi 2 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, gọi S là trung điểm của AO, vẽ đờng tròn tâm S đi qua A. a. Chứng minh rằng các đờng tròn (O) và (S) tiếp xúc với nhau tại A b. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đờng tròn (S) tại M và đờng tròn (O) tại P Chøng minh r»ng : 1. SM // OP 2. M lµ trung ®iÓm cña AP vµ OM //BP Bài 3 : Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B, vẽ một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O) ở C cắt đờng tròn (O’) ở D (A nằm giữa C và D), vẽ một đờng thẳng qua B cắt đờng tròn (O) ở E, cắt đờng tròn (O’) với F (B nằm giữa E, F). hai đờng thẳng CD và EF không cắt nhau ở bên trong hai đờng tròn. Chứng minh r»ng CE // DE. Bài 4 : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn này kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh r»ng a. MN // AC b. CD. MN= CM. BD Bài 5 :Tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) các đờng phân giác trong của các góc B, C lần lợt cắt đờng trßn t¹i E, F. D©y cung EF c¾t AC, AB lÇn lît t¹i H, I. a) Chøng minh c¸c tam gi¸c FKB vµ EAK c©n b) Chứng minh tứ giác FIKN nội tiếp. Từ đó suy ra IK // AC c) Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c AIKH ? Bài 6 : cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O;R) hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T. a. Chøng minh r»ng OT// AB b. Chøng minh r»ng : ba ®iÓm O,C,T th¼ng hµng c. tÝnh chu vi vµ diÖn tÝch tam gi¸c TBD theo R Bài 7: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh rằng : a) Khoảng cách từ O tới AB bằng nửa độ dài CD. b) §êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iÓm cña BC vu«ng gãc víi AD. Bµi 8: THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(23) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Cho đờng tròn đờng kính BC. Một điểm P ở ngoài đờng tròn có hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngoài đờng tròn. Giao của PB, với PC với đờng tròn lần lợt là M, N, giao của AN với đờng tròn là E. Chứng minh rằng : a) Bốn điểm A, B, N, P nằm trên một đờng tròn b) EM vu«ng gãc víi BC. Bài 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong một đờng tròn (O), ngoài ra ACB = 450. Các đờng cao AH, BH của tam giác cắt đờng tròn lần lợt tại P, Q. Hai đờng thẳng AQ và BP giao nhau tại S. a) Chứng minh PQ là đờng kính của đờng tròn (O). b) Chøng minh c¸c tam gi¸c ASH vµ APQ lµ h×nh b×nh hµnh c) Chøng minh c¸c tam gi¸c ASH vµ APQ lµ b»ng nhau Bài 10: Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng phân giác trong của các góc B,và C lần lợt cắt đờng tròn t¹i E& F.D©y cung Ì c¾t AC,AB lÇn lît t¹i H; I .CMR: a) MN//AC. b) CD.MN = CM.BD Bài 11:Trong đờng tròn (O) cho 12 dây cung AC và BD vuông góc với nhau tại I .CMR a)Khoảng cách từ O tơí AB bằng nửa độ dài CD b)§êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iÓm cña BC vuong gãc víi AD. Bài 12: Cho đờng tròn đờng kính BC.Một điểm P nằm ngoài đờng tròn có hình chiếu trên BC là một điểm trên A ở ngoài đờng tròn .Giao điểm của PB và PC với đờng tròn lần lợt là M&N .Gọi giao điểm của AN với đờng trßn lµ E .CMR: a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm trên đờng tròn. b)EN vu«ng gãc víi BC. Bài 13:Tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O),ngoài ra góc ACB =450. Các đờng cao AH,BH của tam giác cắt đờn tròn lần lợt tại P,Q .Hai đờng thẳng AQ ,BP giao nhau tại S. CMR: a)PQ là đờng kính của đờng tròn(O). b) ACBS lµ h×nh b×nh hµnh c)C¸c Δ ASH vµ APQ lµ b»ng nhau: II. chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng Bài 1cho hai đờng tròn tâm O và O’cắt nhau tại Avà B. từ B kẻ các đờng kính BOC và BO’D a. chøng minh r»ng: ba ®iÓm C,A,D th¼ng hµng. suy ra CD = 2OO’ b. gäi M lµ trung ®iÓm cña d©y cung chung AB. CMR ba ®iªmt O,M,O’ th¼ng hµng c. biÕt OO’= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm . tÝnh AB,AC vµ diÖn tÝch OBO’ Bµi 3: Cho hai điểm A, B cố định trên đờng tròn (O). Các điểm C, D di động trên đờng tròn sao cho AD//BC và C, D ở về cùng một phía với dây AB ; M là giao điểm của AC, BD các tiếp tuyến với đờng tròn tại A và D cắt nhau tại I. Chøng minh a. Ba ®iÓm I, O, M th¼ng hµng b. Chứng minh bốn điểm A, B, M, P cùng thuộc một đờng tròn c. Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC là hình số. Bài 4: Cho M là một điểm di động trên nửa đờng tròn đờng kính AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) tại K. C¸c tia AH, BM c¾t nhau t¹i S. a. Chứng minh tam giác ABS cân.Từ đó chứng minh S nằm trên một đờng tròn cố định. b. Chứng minh KS là tiếp tuyến của đờng tròn (B, BA) c. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đờng tròn (B, BA) tại N. Chứng minh rằng M, N, A thẳng hàng. Bµi 5 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đờng tròn ở E. Kẻ đờng kính AOF. a. Chøng minh tam gi¸c BCEF lµ h×nh thang c©n b. Chøng minh BAE = CAF c. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. chøng minh H, I, F th¼ng hµng. VI. phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy Bài 1: Hai đờng tròn (O) ; (O’) cắt nhau tại A và B. Đờng thẳng vuông góc với AB tại B cắt các đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại C, D. Các đờng thẳng CA, DA cắt (O’), (O) theo thứ tự tại E, F. Chứng minh a) Tø gi¸c CFED néi tiÕp b) AB lµ ph©n gi¸c gãc FBE c) Các đờng thẳng CF, DE, AB nội tiếp. Bài 2:Từ một điểm C ở ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA. Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB. Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M và N. a) Chứng minh rằng IN, IM và AB đồng quy tại một điểm D. b) Chøng minh r»ng c¸c tiÕp tuyÕn t¹i M vµ N ®i qua trung ®iÓm E cña CD Bài 3: Cho hai đờng tròn (O, R) và (O’ , R’) tiếp xúc ngoài tại A(R>R’). Đờng nối tâm OO’ cắt đờng tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại B và C(B và C khác A). EF là dây cung của đờng tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, BC cắt đờng tròn (O’) tại D. VII. to¸n tæng hîp vµ to¸n kh¸c THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(24) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài 1: cho hình vuông ABCD có cạnh 4 cm. điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3 cm . vẽ đờng tròn tâm O có đờng kính BM đờng tròn nay cắt AC ở E ( khác A ) 1. tính bán kính đờng tròn (O) 2. CMR: DC là tiềp tuyến của đờng tròn (O) 3. CMR: tam gi¸c BEM lµ tam gi¸c vu«ng c©n 4. tiếp tuyến Bx của đờng tròn (O) cắt DC ở K . CMR: M,E,K là ba điểm thẳng hàng Bài 2: cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và(O’) cắt nhau tại hia điểm Avà B . đờng thẳng vuông góc với AB kẻ qua B cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại các điểm thứ hai C và D Lấy điểm M trên xung nhỏ CB với đờng tròn tâm (O) . Gọi giao điểm thứ hai của 2 đờng thẳng CMvới đờng tròn tâm (O’) là N và giao điểm của hai đờng th¼ng CM vµ DN lµ P a. tam giµc AMN lµ tam gi¸c g× ? t¹i sao? b. CMR: tứ giác ACPD nội tiếp . từ dó suy ra P luôn thuộc đờng tròn c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O’) là Q tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao ? d. Gọi giao điểm của AP và CD là E CMR: khi M di động trên cung nhỏ BC thì tâm đờng tròn ngoại tiềp tam giác CED luôn thuộc 1 đờng thẳng cố định Bài 3: cho nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. M là điểm bất kì trên cung AK. Trªn tia BM lÊy ®iÓm N sao cho BN =AM a. chøng minh r»ng: tam gi¸c AMK = tam gi¸c BNK b. tam giac MNK vu«ng c©n vµ MK lµ tia ph©n gi¸c gãc AMN c. khi M chuyển động trên cung AK thì đờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố định Bài 4: cho đờng tròn (O) đờng kính AB. I và K thuộc AB sao cho OI= OK M thuộc (O). MO,MI ,MK cắt (O) lần lợt tại E,C,D . đờng thẳng CD cắ AB tại F . EI cắt DE tại N. MI cắt EF tại H a. CMR: FA.FB = FC.FD b. M? th× MI =IH c. CM: tø gi¸c ENCH néi tiÕp d. CMR: EF lµ tiÕp tuyÕn cña t©m (O) Bài 5.Cho đờng tròn tâm O ,dây AB , C nằm ngoài (O) , C thuộc tia AB . P là điểm nằm chính giữa cung lớn AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB tại D ,tia CP cắt đờng ròn tại I , AB cắt QI tại K. 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c PDKI néi tiÕp . 2. Chøng minh QB2 = QK.QI 3. Chøng minh CI.CP = CK.CD 4. Chứng minh IC là phân giác góc ngoài đỉnh I của tam giác AIB. 5. chøng minh CK.CD = CA.CB. Bài 6. Cho (O;R) tiếp xúc ngoài (O'; r) (R > r) tại C. AC,BC là hai đờng kính của (O) và (O'). DE là dây của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB; đờng thẳng DC cắt (O') tại F .Chứng minh rằng: 1. Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? 2 . 3 ®iÓm B,E,F th¼ng hµng . 3. Tø gi¸c MDBF néi tiÕp . 4. DB cắt (O') tại G . Chứng minh DF,EG,AD đồng quy. 5.DE = 2 MF. vµ MF lµ tiÕp tuyÕn (O'). Bµi 7. Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O) ,P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB kh«ng chøa C vµ D . Hai d©y PC ,PD c¾t d©y AB t¹i E,F ; c¸c d©y AD, PC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I. C¸c d©y BC, PD kÐo dµi nc¾t nhau t¹i K. 1. So s¸nh hai gãc CID vµ CKD . 2. Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp . 3. Chøng minh IK song song víi AB. 4. Chứng minh AP là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm A,F,D. mét sè bµi to¸n h×nh häc líp 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chøng minh r»ng: 1. C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiÕp tam gi¸c AHE. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 1 3. Chøng minh ED = BC. 2 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(25) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. 2. Chøng minh COD = 900. 2 3. Chøng minh AC. BD = AB . 4 4. Chøng minh OC // BM 5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. 6. Chøng minh MN  AB. 7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung ®iÓm cña IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d. Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là là đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn. 2. Chøng minh BM // OP. 3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đơng vuông góc từ S đến AB. 1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn . 2. Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n. 3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đờng tròn . Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại các điểm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(26) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT. BD BM = CB CF Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đờng tròn ë P. Chøng minh : 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào. Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn . Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K). 1. Chøng minh EC = MN. 2. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K). 3. TÝnh MN. 4. Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn . Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC. đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E. Các đờng tròn CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G. Chøng minh : 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. Các đờng thẳng AC, DE, FG đồng quy. Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH PQ. Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng tròn (O) tại C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chứng minh các đờng tròn AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp . Bài 19. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đờng tròn đờng kính BC tại I. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC. Bài 20. Cho đờng tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . 2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 4. B, E, F th¼ng hµng 4.. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(27) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT 5. DF, AG, AB đồng quy. 6. MF = 1/2 DE. 7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bài 21. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I đi qua A, trên (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chứng minh rằng các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc ngoài nhau tại A. 2. Chøng minh IP // OQ. 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. 4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất. Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào? Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, Chứng minh FBC là tam giác vuông cân. 3. Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trên một đờng tròn. 4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA vµ BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. 2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I cña BH. 3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Bài 25. Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. 1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 2. C¸c tø gi¸c BIMH, CIMH néi tiÕp . 4. Chøng minh PQ  MI. Bài 26. Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD  AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh : KC AC 1. = 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD. KB AB 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp 4. Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn tại M. Bài 27 Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở ngoài đờng tròn . các tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH  BC, MK  CA, MI  AB. 1. tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 3. Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK. 4. Chøng minh MI.MK = MH2. 2. Chøng minh BAO =  BCO. Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. 2. E, F nằm trên đờng tròn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Bài 29 BC là một dây cung của đờng tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. 1. Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. 3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. 4. Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhát. Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đờng cao AH và bán kÝnh OA. 1. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. 2. Gi¶ sö B > C. Chøng minh OAH = B - C. 3. Cho BAC = 600 vµ OAH = 200. TÝnh: a) B vµ C cña tam gi¸c ABC. b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(28) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600. 1. Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R. 2. Vẽ đờng kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đờng cao của tam giác ABC Chứng minh BD // AH vµ AD // BH. 3. TÝnh AH theo R. Bài 32 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB. 1. Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đờng tròn cố định. 2. Tõ A kÎ Ax  MN, tia Bi c¾t Ax t¹i C. Chøng minh tø gi¸c CMBN lµ h×nh b×nh hµnh. 3. Chøng minh C lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Khi MN quay quanh H thì C di động trên đờng nào. Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đờng tròn tại M. 1. Chøng minh OM2  BC. 2. Chøng minh MC = MI.MA. 3. Kẻ đờng kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đờng thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đờng tròn . Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiều cao AH = 4 Cm, nội tiếp đờng tròn (O) đờng kÝnh AA’. 1. Tính bán kính của đờng tròn (O). 2. Kẻ đờng kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao? 3. KÎ AK  CC’ tø gi¸c AKHC lµ h×nh g×? T¹i sao? 4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c ABC. Bài 35 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi Ac c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chøng minh AM2 = AE.AC. 4. Chøng minh AE. AC – AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhÊt. Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đờng cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lÇn lît lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh : 1. C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp . 3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng. 4. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng. Bài 37 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B  (O), C  (O’) . tiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë I. 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp . 2. Chøng minh  BAC = 900 . 3. TÝnh sè ®o gãc OIO’. 4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm.. THCS HOÀNG VĂN THỤ. 2.

(29) Bài 38 Cho hai đờng tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B(O), C (O’). TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M. Gäi E lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña O’M vµ AC. Chøng minh : 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp . 2. Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt. 3. ME.MO = MF.MO’. 4. OO’ là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC. 5. BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO’. Bài 39 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 1. Hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K). 2. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao?. 3. Chøng minh AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K). 5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất. Bài 40 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M råi kÎ tiÕp tuyÕn MP c¾t By t¹i N. 1. Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB. 2. Chøng minh AM. BN = R2. S MON R 3. TÝnh tØ sè khi AM = . 2 S APB 4. TÝnh thÓ tÝch cña h×nh do nöa h×nh trßn APB quay quanh c¹nh AB sinh ra. Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lợt lấy các điểm D, E sao cho  DOE = 600 . 1. Chứng minh tích BD. CE không đổi. 2. Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE 3. Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đờng tròn này luôn tiếp xúc với DE. Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đờng tròn (O). Tiếp tuyÕn t¹i B vµ C lÇn lît c¾t AB, AC ë D vµ E. Chøng minh : 1. BD2 = AD.CD. 2. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp . 3. BC song song víi DE. Bài 43 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN c¾t (O) t¹i C. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM. 1. Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp . 2. Chøng minh NE  AB. 3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O). 4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đờng tròn (B; BA). Bài 44 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đờng tròn (O) tiếp xúc với đờng tròn (O’) tại A. Dây AD của đờng tròn (O’) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng: 1. AB  KB. 2. Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đờng tròn Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F. 1. Chøng minh BC // AE. 2. Chøng minh ABCE lµ h×nh b×nh hµnh. 3. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CF vµ G lµ giao ®iÓm cña BC vµ OI. So s¸nh BAC vµ BGO. Bài 46 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB , trên đờng tròn ta lấy hai điểm C và D sao cho cung AC = cung AD . Tiếp tuyến với đờng tròn (O) vẽ từ B cắt AC tại F 1. Chøng minh hÖ thøc : AB2 = AC. AF. 2. Chứng minh BD tiếp xúc với đờng tròn đờng kính AF. 3. Khi C chạy trên nửa đờng tròn đờng kính AB (không chứa điểm D ). Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn à chạy trên một tia cố định , xác định tia cố định đó Bài 47 Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đờng tròn (O) bất kỳ đi qua B và C ( BC không là đờng kính của (O). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung ®iÓm cña BC; K lµ trung ®iÓm cña EF, giao ®iÓm cña FI víi (O) lµ D. Chøng minh: 1. AE2 = AB.AC. ----------------------------------------------------------------------------------------------. 2.

(30) 2. Tø gi¸c AEOF 3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn. 4. ED song song víi Ac. 5. Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đờng thẳng cố định. Bài 48 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn (O) đờng kính BC cắt AB; AC tại E và D. BD c¾t CE t¹i H; AH c¾t BC t¹i I. VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AM vµ AN cña (O). Chøng minh: 1. Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp đợc. 2. CD.CA + BE. BA = BC2. 3. M; H; N th¼ng hµng. 4. Tính chu vi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE nếu tam giác ABCD là tam giác đều có cạnh b»ng 2a Bài 49: Cho đờng tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC . Qua B kẻ đờng thẳng song song với Mx, đờng thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I. Vẽ đờng kính BB’. Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BB’ đờng này c¾t ; BC lÇn lît t¹i K vµ E . Chøng minh: 1. Tø gi¸c MOIC néi tiÕp. 2. OI vu«ng gãc víi Mx. 3. ME có độ dài không phụ thuộc vị trí của điểm M. 4. Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đờng nào? Tại sao? Bµi 50: Cho (O; R) vµ ®iÓm A  (O). Mét gãc vu«ng xAy quay quanh A vµ lu«n tho¶ m·n Ax; Ay c¾t (O). giọ các giao điểm thứ hai của Ax; Ay với (O) lần lợt là B; C. Đờng tròn đờng kính AO cắt AB; AC t¹i c¸c ®iÓm thø hai t¬ng øng lµ M; N. Tia OM c¾t (O) t¹i P. Gäi H lµ trùc t©m tam gi¸c AOP. Chøng minh: 1. Tø gi¸c AMON lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. MN // BC. 3. Tø gi¸c PHOP néi tiÕp. 4. Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất. *******************. ----------------------------------------------------------------------------------------------. 3.

(31)

ON TAP TOAN 9 THI VAO 10

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về