De thi HS nang khieu lop 678

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ). ( Đề thi có 01 trang ) Câu 1 (4,0 điểm). 4 3 2 a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A n  n  6n  7n  21 là số nguyên tố.. n b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì B 4  15n  10 9 .. Câu 2 (4,0 điểm). 1 1 1   1  x y z a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác nhau sao cho b) Tính giá trị của biểu thức. C. a b 2014c   ab  a  2014 bc  b  1 ac  2014c  2014 .. Biết abc = 2014. Câu 3 (4,0 điểm).. x a) Giải phương trình. 2.  3x  2   2x  3   2x  5  30. .. 3 3 4 4 b) Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x  y x  y 1 .. Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và AC. a) Chứng minh rằng OMN đồng dạng với HAB ; b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng HAG đồng dạng với OMG ; c) Chứng minh rằng ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO. Câu 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. 1+ a 1+ b 1+ c + + 3 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a Chứng minh rằng: . –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ và tên thí sinh ........................................................................ SBD..................... Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2013 - 2014. Môn Toán - Lớp 8 Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./. Câu 1 ( 4,0 điểm). 4 3 2 a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A n  n  6n  7n  21 là số nguyên tố.. n b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì B 4  15n  10 9 .. Đáp án A  n  3   n  2n  7  3. Điểm 0,50. 2. a) Phân tích n 3  2n 2  7    n  3  n 3  n 2  (n 2  n  10)  0  Nhận xét: với mọi số tự nhiên n. Để A là số nguyên tố thì n - 3 = 1, hay n = 4. Thử lại: n = 4 thì P = 103 là số nguyên tố. Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 4. b) Với n = 0 thì B  9 9  n 0 thỏa mãn.. 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50. k Giả sử bài toán đúng với n = k ( k  N ). Tức là: B k 4  15k  10 9 Ta chứng minh bài toán đúng với n = k +1. Thật vậy: B k 1 4 k 1  15(k  1)  10 4.  4 k  15k  10   45k  45 4.B k  45k  45 9. 0,50. n Vậy: B 4  15n  10 9 với mọi số tự nhiên n.. 0,50. Câu 2 (4,0 điểm). 1 1 1   1  x y z a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác nhau sao cho b) Tính giá trị của biểu thức: Biết abc =2014.. C. a ab  a  2014. . b. . 2014c. bc  b  1 ac  2014c  2014. Đáp án Do vai trò của x, y, z bình đẳng nên không mất tính tổng quát, giả sử 1 1 1 1 1 1 3 0  x  y  z     1      0  x  3  x   1,2 x y z x y z x + Với. . Điểm 0,50. x 1 . 1 1  0 (Vô lí) y z. 0,50. x 2 . 1 1 1 1 1 1 2        2  y  4  y 3  z 6 y z 2 2 y z y. 0,50. + Với Vậy: (x, y, z) = (2, 3, 6) và các hoán vị .. 0,50 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b). a. C. . b. abc2. . 1,00. 2. ab  a  abc bc  b  1 ac  abc  abc 1 b bc bc  b  1     1 bc  b  1 bc  b  1 1  bc  b bc  b  1. 1,00. Câu 3 (4,0 điểm).. x a) Giải phương trình. 2. .  3x  2  2x  3   2x  5  30. 3 3 4 4 b) Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x  y x  y 1. Đáp án  x2  3x  2   2x  3  2x  5  30   x  1  x  2   2x  3  2x  5  30. a)   2x 2  7x  5   2x 2  7x  6  30 y 2x 2  7x  Đặt. 11  2. Điểm 0,25 0,25. 1  1 121 11  2  y  2   y  2  30  y  4  y  2   .  x 0 11 11 11 2 2 y   2x  7x    2x  7x 0  x  2x  7  0    x  7 2 2 2  2 + Với 2  11 11  11 7  39  2 2 y  2x  7x    2x  7x  11 0  2.  x    0 2 2 2 4  16  + Với. 0,25 0,50. 0,50. ( PT vô nghiệm)   7 S 0;   2 Tóm lại: Phương trình có tập nghiệm 4 x 1 x  y 1   4  y  1  b) Vì Tóm lại: 0 x 1;0 y 1 4. Lại có:. 4.  1 x 1    1  y  1 . 0,25. 3 x 1 x3  y 3 1   3 y 1 . Mà. x3  y 3 x 4  y 4  x3  x  1  y 3  y  1 0. . Mà  x 0 3 x  x  1 0  y 1 3 3 x  x  1  y  y  1 0   3   y  y  1 0  x 1  y 0 nên. y 0  x 0. 1,00. x3  x  1 0; y 3  y  1 0. 1,00. Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và AC. a) Chứng minh rằng OMN đồng dạng với HAB ; b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng HAG đồng dạng với OMG ; 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> c) Chứng minh rằng ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO. Đáp án * Vẽ hình:. Điểm 0,50. A. N O G. H. B. C. M.   HBA  BAC 900   ONM  MNC 900.       HBA ONM    BAC MNC (doMN // AB )   a) Ta có: .   BAH NMO ABH MNO. Chứng minh tương tự:. . Suy ra:. 1,50 (g-g). AH AB AG  2    GMO OM MN MG , mà HAG b) Vì ( so le trong,  HAG   OMG OM//AD). Suy ra: (c-g-c)     HAG OMG  AGH MGO  MGO MGH ABH MNO . c) Vì. bù. =>H, G, O thẳng hàng.. Câu 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. 1+ a 1+ b 1+ c + + 3 2 2 2 Chứng minh rằng: 1+ b 1+ c 1+ a Đáp án 2  Vì 1 + b 2b > 0 nên 2 2 1  a  b2 1  a  b2   1 a  b 1 a 1 a 1 b  1 a b   1  a   1  a   1  a  1  b2 1  b2 1  b2 2b 2  1  b  c 1  c 1  c   1  c  a 1 b 1  b  2 2 2 2 Tương tự 1  c , 1 a 1 1 3 1 3   a  b  c    ab  bc  ca  3    ab  bc  ca  2 2 2 2 Do đó VT  (1). Mặt khác nên. . . . Điểm 0,75 0,25 0,25. 2. 3  ab  bc  ca  3 a 2  b2  c 2  a  b  c  9. . 1,25 1,25. GH GA  2  GH 2GO Lại có: GO GM. . 1,50. 0,75. 1 3  ab  bc  ca   2 2 (2). Suy ra: đpcm. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> -------------------HẾT---------------. 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>