Cong thuc logarithphan 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (143.39 KB, 6 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. 02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng 3) Các công thức về logarith (tiếp theo) Công thức 5: log a bm = m.log a b , (5) Chứng minh:. (. Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b. ). m. = a m.loga b. Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm. log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6. Ví dụ 1: [ĐVH].. 1. log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 =. 1 5 log 2 32 = 4 4. Ví dụ 2: [ĐVH]. −4 1 62.45 1 Ta có 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1 = log 1 81 = log 1 = −4. 2 3 3 3 3 3 3 3 20 3 3 3 1 50 3 Ví dụ 3: [ĐVH]. log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 = log 5 25 = 2. 2 2 3 1 3 Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho biết log a b = ;log a c = Tính giá trị của log a x với 2 4 a 3b 2 c a) x = ............................................................................................................................................................... 4 2 a bc 3 ........................................................................................................................................................................................ b) x =. ab3 a 3bc ..................................................................................................................................................... bc3. ......................................................................................................................................................................................... Công thức 6: log a n b = Chứng minh:. ( ). Đặt log a n b = y ⇒ a n. y. 1 log a b , (6) n. = b ⇔ a ny = b. Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y = hay log a n b =. 1 log a b n. 1 log a b ⇒ dpcm n. 1 log 2 16 = 2.4 = 8. 1 22 2 Ví dụ 1: [ĐVH]. 1 log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30. 1 25 5 m Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m = log a b n 3 1 9 Ví dụ 2: [ĐVH]. log 3 5 4 125 = log 1 ( 53 ) 4 = 4 log 5 5 = ; log 2 1 4 53 3 log 2 16 = log 1 16 =. ( 32 2 ) = log( ) ( 2 ). 11. 2. 2. 3. =. 11 log 3. 2. 2=. 11 . 3. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị biểu thức A =. log 3 3 27 = log 3. 3. (3 3 ). 27 log 1 5 = log − 1 3 2 3 9 . log. 3. 33 52 3. Facebook: LyHung95. 27 log 3 3 27 + log 1 5 9 3 1 1 log 3 + log 1 81 3 3 . 4. .. Hướng dẫn giải: 2. =2. 1 13 13 26 = log 3 3 5 = −2. = − . 1 5 5 − 2. 1 = log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8 →A= 81 32. 27 log 3 3 27 + log 1 5 3 9 . 1 1 log 3 + log 1 81 3 3 log c b Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b = , (7) log c a Chứng minh:. (. 4. 26 5 = 4. = −8 + 4 5 2−. ). Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b =. log c b ⇒ dpcm log c a. Nhận xét : + Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau log a b = log a c.log c b log b b 1 + Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b = = . log b a log b a Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: a) Cho log 2 14 = a → A = log 2 49 = ? b) Cho log15 3 = a → B = log 25 15 = ? Hướng dẫn giải: a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1. Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .. 1 1− a log 3 5 = − 1 = 1 1 a a b) Ta có log15 3 = a ⇔ a = = → a log 3 15 1 + log 3 5 log 3 = 5 1− a . 1 1 log 3 15 1 1 B = log 25 15 = = a = a = →B = . log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a ) 2 (1 − a ) a. Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho log a b = 3. Tính a) A = log. b a. b . a. b) B = log. ab. b . a. Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a =. a) A = log. b a. b = log a. b a. b − log. b a. 1. a=. 3. .. 1 1 − = b b log log b log a a a . b. 1 b − log. a b. −. log. a. 1 b − log. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!. a. a. =.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG =. Facebook: LyHung95. 1 1 1 1 3 −1 3 −1 − = − = →A= . 1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2 3 −2 3−2 3 −2 3. b 2 log a b log a b − 1 b 3 −1 a Cách khác: Ta có được A = log b = log = = 2 = log b = b b a log log a b − 2 a 3−2 a a2 a a 2 a a b 1 1 1 1 b) B = log ab − = − . = log ab b − log ab a = a log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log b. a. b. 1 1 1 1 2 3 −1 2 3 −1 − = − = →B = . 1 1 1 + log a b 1 1 1+ 3 3 + 1 3 + 1 log b a + + 2 2 2 3 2 b2 2 log a 2 b b b a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 . Cách khác: Ta có B = log ab = log = log ab = 2 ( ab ) a a log a ab 1 + log a b a 1+ 3 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau : 1 log 2 3 + 3 log 5 5 14 − 12 log9 4 log125 8 log 7 2 1+ log 4 5 2 + 25 a) 81 b) 16 +4 .49 1 log 7 9 − log 7 6 − log 4 c) 72 49 2 d) 36log 6 5 + 101− lg 2 − 3log9 36 +5 3 Hướng dẫn giải: 1 1 1 1 1 2 .3log5 2 − log9 4 4 − log 4 2log 23 3 log 4 a) 814 2 + 25log125 8 .49log7 2 = ( 3) 4 2 9 + 5 53 72log7 2 = 31− log3 4 + 5 3 7 7 = + 4 4 = 19 4 =. 1. log2 3+3log5 5. b) 161+log4 5 + 4 2 = 42(1+log4 5) + 2log2 3+6log5 5 = 16.25 + 3.26 = 592 1 log7 9− log7 6 1 − log 4 9 c) 72 49 2 + 5 5 = 72 7 log7 9− 2 log7 6 + 5−2 log5 4 = 72 + = 18 + 4,5=22,5 36 16 log6 5 log9 36 log6 25 1−lg2 log5 d) 36 +10 −3 = 6 +10 = 25+ 5 = 30 Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau : 1 a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 2 3 3 3. (. 1 c) C = log 36 2 − log 1 3 2 6. ). d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) 4. Hướng dẫn giải: 15.18 1 3 a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log 9 = log 9 33 = log 3 33 = 10 2 2 1 36.45 2 4 b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 = log 1 9 = − log 3 3 = −4 2 20 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 c) C = log 36 2 − log 1 3 = log 6 2 + log 6 3 = log 6 2.3 = 2 2 2 2 2 6 1 1 d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) = − log 4 ( log 2 3.log 3 4 ) = − log 4 ( log 2 4 ) = − log 2 2 = − 2 2 4. Ví dụ 5: [ĐVH]. Hãy tính : 1 1 1 1 a) A = + + + .......... + log 2 x log 3 x log 4 x log 2011 x b) Chứng minh : log a b + log a x + log ax ( bx ) = 1 + log a x. ( x = 2011!). Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!. =.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG +. Facebook: LyHung95. k ( k + 1) 1 1 1 + + ......... + = log a x log a2 x log ak x 2 log a x. Hướng dẫn giải: a) A =. 1 1 1 1 + + + .......... + = log x 2 + log x 3 + ... + log x 2011 = log x 1.2.3...2011 = log x 2011! log 2 x log 3 x log 4 x log 2011 x. Nếu x = 2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = 1. log a b + log a x 1 + log a x log a bx log a b + log a x Ta có log ax bx = = ⇒ đpcm. log a ax 1 + log a x b) Chứng minh : log ax ( bx ) =. Chứng minh :. k ( k + 1) 1 1 1 + + ......... + = log a x log a2 x log ak x 2 log a x. VT = log x a + log x a 2 + ...log x a k = (1 + 2 + 3 + ... + k ) log x a =. k (1 + k ) 2log a x. = VP. Ví dụ 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng : a) Nếu : a 2 + b 2 = c 2 ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ 1 , thì log c + b a + log c −b a = 2 log c + b a.log c −b a b) Nếu 0<N ≠ 1 thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là : log a N log a N − log b N = ( a, b, c ≠ 1) log c N log b N − log c N 2log a x.log c z c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì log b y = log a x + log c z a + b ln a + ln b d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : a 2 + b 2 = 7ab . Chứng minh : ln = 3 2 Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết a 2 = c 2 − b 2 = ( c − b )( c + b ) ⇒ 2 = log a ( c − b ) + log a ( c + b ) ⇔2=. 1 1 + ⇔ 2log c −b a.log c + b a = log c + b a + log c −b a log c − b a log c + b a. b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b 2 = ac 1 1 1 1 Lấy logarith cơ số N hai vế ta được 2log N b = log N a + log N c ⇔ − = − log b N log a N log c N log b N log a N − log b N log b N − log c N log a N log a N − log b N . ( đpcm ) ⇔ = ⇔ = log a N .log b N log c N .log b N log c N log b N − log c N c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng thì log x a + log z c = 2log y b ⇔. 2log a x.log c z 1 1 2 + = ⇔ log b y = log a x log c z log b y log a x + log c z. d) Nếu : a + b = 7 ab ⇒ ( a + b ) 2. 2. a + b ln a + ln b a+b = 9ab ⇔ = . = ab ⇒ ln 3 2 3 2. 2. Ví dụ 7: [ĐVH]. Tính a. A = log 6 16 . Biết : log12 27 = x b. B = log125 30 . Biết : lg 3 = a;lg 2 = b c. C = log 3 135 . Biết: log 2 5 = a;log 2 3 = b d. D = log 6 35 . Biết : log 27 5 = a;log 8 7 = b;log 2 3 = c e. Tính : log 49 32 . Biết : log 2 14 = a Hướng dẫn giải: log 3 27 3 3 3− x 3− x a) A = log 6 16 . Từ : log12 27 = x ⇔ (*) = = x ⇒ log 3 4 = − 1 = ⇔ log 3 2 = log 3 12 1 + log 3 4 x x 2x. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Do đó : A = log 6 16 =. Facebook: LyHung95. 2 ( 3 − x ) .2 x 12 − 4 x log 3 24 4log 3 2 = . Thay từ (*) vào ta có : A= = log 3 6 1 + log 3 2 x ( x + 3) x+3. log 2 5 a a + 3b +3= +3= log 2 3 b b 1 1 d) Ta có : a = log 27 5 = log 3 5 ⇒ log 3 5 = 3a; b = log 8 7 = log 2 7 → log 2 7 = 3b (*) 3 3 log 2 5.7 log 2 5 + log 2 7 log 2 3.log 3 5 + log 2 7 b.3a + 3b 3b ( a + 1) Suy ra : D = log 6 35 = = = = = log 2 2.3 1 + log 2 3 1 + log 2 3 1+ b b +1 e) Ta có : log 2 14 = a ⇔ 1 + log 2 7 = a ⇒ log 2 7 = a − 1. c) Từ : C = log 3 135 = log 3 5.33 = log 3 5 + 3 =. Vậy : log 49 32 =. log 2 25 5 5 = = 2 log 2 7 2log 2 7 2 ( a − 1). Ví dụ 8: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức a) A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1 1 b) B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log x ( log2 x +1) + log 22 x 4 2 c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p. Hướng dẫn giải: 2. log a b + 1 a) A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1 = (1 − log ab a ) − 1 = log a b 2. 2. 2. log a b + 1 log a b + 1 log a b + 1 log a b log a a 1 1 − −1 = 1 − −1 = −1 log a b log a ab log a b 1 + log a b log a b 1 + log a b log a b + 1 1 = −1 = = log b a log a b log a b 1 1 2 b) B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log x ( log 2 x +1) + log 22 x 4 = 1 + 2log 2 x + ( log 2 x )( log 2 x + 1) + ( 4log 2 x ) = 2 2 2 2 2 = 1 + 3log 2 x + ( log 2 x ) + 8 ( log 2 x ) = 9 ( log 2 x ) + 3log 2 x + 1. c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p = =. ( log a p + 1) log a p. log a2 p log a p = 1 + log a p . (. log a p. ). ( log a p + 1) 2 a. log p. 2. log a p log a p − log a p = 1 + log a p . 3. Ví dụ 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng 1 a) log ( a − 3b ) − log 2 = ( log a + log b ) với : a > 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab 2 b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có : b c +) log 2a = log a2 c b +) log a b.log b c.log c a = 1 c a b +) Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1 b c a b c a Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b 2 = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab 2. 2. 2. Ta lấy log 2 vế : 2log ( a − 3b ) = 2log 2 + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log 2 = b) Chứng minh : log 2a. 2. 1 ( log a + log b ) 2. b c = log a2 . c b. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG −1. b c b c = log a = − log a ⇒ log a2 = − log a c b b c * log a b.log b c.log c a = 1 ⇔ log a b.log b a = log a a = 1. * Thật vậy : log a. Facebook: LyHung95 2. c 2 c = log a b b 2. c a b b c a * Từ 2 kết quả trên ta có log log 2b log 2c = log a .log b log c = 1 b c c a a c a a b bc Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1 2 a b. Ví dụ 10: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau: a) log 6 3.log 3 36 = ...................................................................... b) log 3 8.log 4 81 = ...................................................................... 1 .log 25 3 2 = ................................................................. 5 Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho log a b = 7. Tính a a) A = log a b . b3. c) log 2. b) B = log b 3 ab 2 . a. Ví dụ 12: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: 49 a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b → P = log 3 5 =? 8 b b) Cho log ab a = 2 → Q = log ab =? a Công thức 8: a logb c = c logb a , (8) Chứng minh:. (. Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c. Ví dụ 1: [ĐVH]. 49log7 2 = 2log7 49 = 22 = 4;. ( 2). log 2 27. = 27 log 2. ). logb a. = c logb a ⇒ dpcm. 1. 2. = 27 2 = 3 3.... Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 36log6 5 + 3. log3 4. − 3log9 36 = ........................................................................................................... 32 − log3 2.4 2 = ............................................................................................................................. 27 log3 4 c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = ......................................................................................................... log. 3. b) B =. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.
<span class='text_page_counter'>(7)</span>
