SKKN Giai bai toan bang cach lap PT he PT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề:. RÌn kü n¨ng gi¶i bµi tËp to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh - hÖ ph¬ng tr×nh I/ Đặt vấn đề: Nh chúng ta đã biết, ngay từ những ngày mới cắp sách đến trờng, học sinh đã đợc giải phơng trình. Đó là những phơng trình rất đơn giản dới dạng ®iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng. §èi víi häc sinh líp cao th× tÝnh phøc t¹p cña phơng trình cũng dần đợc nâng lên. + Đối với lớp 1, lớp 2 thì phơng trình rất đơn giản, thờng là dới dạng ®iÒn vµo « trèng: +3=7 + §èi víi häc sinh líp 3 th× ph¬ng tr×nh phøc t¹p h¬n: x + 2 + 3 = 6. + §èi víi häc sinh líp 4, 5, 6 ph¬ng tr×nh cã d¹ng: x:4=8:2 x x 5 + 8 = 33 (x – 12) x 8 = 16 Tất cả các loại Toán trên, mối quan hệ giữa các đại lợng trong đề toán đợc gắn kết với nhau bằng các mối quan hệ toán học. Các đại lợng chỉ là những con số tự nhiên bất kỳ. Đặc biệt là các phơng trình đợc viết sẵn học sinh chØ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh lµ hoµn thµnh nhiÖm vô. Đối với học sinh lớp 8, lớp 9 trở lên các đề toán về giải phơng trình không còn đơn giản nh vậy nữa mà nó là các dạng toán có lời, căn cứ vào có để lập ra phơng trình kết quả, đáp số đúng không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng gi¶i ph¬ng tr×nh mµ cßn phô thuéc vµo viÖc lËp ph¬ng tr×nh. Việc giải các bài toán bằng cách lập phơng trình đối với học sinh THCS lµ mét viÖc lµm míi mÎ. §Ò bµi cho kh«ng ph¶i lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lợng, học sinh phải chuyển đổi đợc mối quan hệ giữa các đại lợng đợc mô tả bằng lời văn sang mèi quan hÖ to¸n häc. H¬n n÷a, néi dung cña c¸c bµi to¸n nµy, hÇu hÕt đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con ngời, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong quá trình giải học sinh thờng quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lí. VD: ẩn số là con ngời, đồ vật, … phải nguyên dơng nếu tìm ra đáp số âm hoặc không nguyên là vô lí. ChÝnh v× vËy, ngêi thÇy kh«ng chØ truyÒn thô cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc nh trong SGK mµ cßn d¹y cho häc sinh c¸ch gi¶i bµi tËp. Ngêi thÇy khi híng dÉn cho häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy ph¶i dùa trªn c¸c quy t¾c chung lµ: yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n, quy t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp phơng trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng. Đây là bớc đặc biệt quan trọng và khã kh¨n víi häc sinh. II. Giải quyết vấn đề. Mét trong nh÷ng ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n trªn lµ dùa vµo quy t¾c chung. Néi dung cña quy t¾c gåm c¸c bíc: - Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh) + Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn. + Dùng ẩn số và các số liệu đã biết để biểu thị các số liệu có liªn quan, dÉn gi¶i c¸c bé phËn thµnh ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh). - Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh)..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> - Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại, trả lời. Mặc dù có quy tắc trên song trong qu¸ tr×nh híng dÉn gi¶i bµi to¸n nµy cÇn cho häc sinh vËn dông theo nh÷ng biÖn ph¸p sau: * BiÖn ph¸p 1: Lêi gi¶i kh«ng ph¹m sai lÇm vµ kh«ng cã sai sãt nhá: §Ó häc sinh kh«ng m¾c sai lÇm nµy ngêi gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, kỹ năng tính. Giáo viên phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không? VÝ dô 1: MÉu cña mét ph©n sè gÊp 4 lÇn tö sè cña nã. NÕu t¨ng c¶ tö và mẫu lên 2 đơn vị thì đợc Phân số 1 . Tính phân số đã cho. 2. (SGK §¹i sè 8) Gi¶i Gọi tử số của phân số đã cho là x (x>0;x N) Th× mÉu sè cña ph©n sè lµ 4x. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: x+ 2 1 = . 4 x +2 2 x = 1. VËy tö sè lµ 1, mÉu sè lµ 4. Vậy phân số đó là 1 . 4. * BiÖn ph¸p 2: Lêi gi¶i to¸n ph¶i cã c¨n cø chÝnh x¸c. Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật đợc ý phải tìm. Nhờ mối quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập phơng trình (hệ phơng trình), từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy, ngời giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn? Đâu là điều kiện? Có thoả mãn điều kiện hay không? Từ đó có thể xây dựng đợc cách gi¶i? VÝ dô 2: Hai c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt h¬n kÐm nhau 4m. TÝnh chu vi của khu đất đó nếu biết S = 1200m2. (SGK §¹i sè 9) Bµi to¸n hái chu vi h×nh ch÷ nhËt. Häc sinh thêng lµ bµi to¸n hái g× th× gäi lµ Èn. NÕu ë bµi to¸n nµy gäi chu vi h×nh ch÷ nhËt lµ Èn th× bµi to¸n khã cã lêi gi¶i. Gi¸o viªn cÇn híng dÉn cho häc sinh ph¸t triÓn s©u trong kh¶ n¨ng suy diÔn: Muèn tÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ta cÇn biÕt c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt. Gi¶i Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (m,x > 0) Th× chiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt lµ x + 4. V× diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt lµ 1200m2. Ta cã ph¬ng tr×nh sau: x(x + 4) = 1200 x2 + 4x – 1200 = 0 x1 = 30; x2 = -34 < 0 (lo¹i). VËy chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt lµ 30m. ChiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt lµ 34m. VËy chu vi lµ 128m. * Biện pháp 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Giáo viên phải hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả năng, chi tiết nào, rèn luyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ cha..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao bằng 3 cạnh đáy. Nếu chiều 4 cao tăng thêm 3dm, cạnh đáy giảm đi 2dm, thì diện tích tăng thêm 12dm 2. Tính chiều cao và cạnh đáy. Gi¸o viªn lu ý cho häc sinh c«ng thøc: S= 1 cạnh đáy x chiều cao. 2 Gi¶i Gọi độ dài cạnh đáy là x (dm) (x > 0) Th× chiÒu cao lµ 3 x (dm) 4. Nªn diÖn tÝch lóc ®Çu lµ : 1 .x. 3 x (dm) 2 1 (x-2)( 2. 4 3 x+3) 4. DiÖn tÝch lóc sau lµ: Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 1 (x - 2)( 3 x + 3) - 1 x. 3 x = 12 2 4 2 4 x = 20 (TM§K) Vậy cạnh đáy có độ dài là 20dm. Chiều cao có độ dài là 3 .20 = 15dm. 4 * Biện pháp 4: Lời giải bài toán phải đơn giản. VÝ dô 4: Võa gµ võa chã Bã l¹i cho trßn Ba m¬i s¸u con Mét tr¨m ch©n ch½n Hái cã mÊy gµ, mÊy chã? (Bµi to¸n cæ ViÖt Nam) Gi¶i Gäi sè gµ lµ x (con) (x nguyªn d¬ng) Sè chã lµ 36 - x (con) Sè ch©n gµ lµ 2x (ch©n) Sè ch©n chã lµ 4(36 - x) (ch©n) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 2x + 4(36 - x) = 100 x = 22 VËy sè gµ lµ 22 con, sè chã lµ 14 con. Với cách giải trên, bài toán ngắn gọn, dễ hiểu, phù hợp với trình độ cña häc sinh. * BiÖn ph¸p 5: Lêi gi¶i ph¶i tr×nh bµy khoa häc. VÝ dô 5: ChiÒu cao cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 9,6m vµ chia c¹nh huyền thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam gi¸c. (§¹i sè 9) Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức của học sinh để củng cố công thøc: AH2 = BH.CH Gi¶i Gọi độ cạnh BH là x (x > 0) §é dµi c¹nh CH lµ: x 5,6 (m) Ta cã pt: x(x + 5,6) = 9,62..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x = 7,2 (TM§K) Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m). * Biện pháp 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại. Gi¸o viªn cÇn rÌn cho häc sinh cã thãi quen sau khi gi¶i xong cÇn thö lại kết quả và tìm hiểu hết các nghiệm của bài toán, nhất là đối với phơng tr×nh bËc hai, hÖ ph¬ng tr×nh. VÝ dô 6: Mét tµu thuû ch¹y trªn khóc s«ng dµi 80km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc tµu thuû khi níc yªn lÆng. BiÕt vËn tèc dßng níc lµ 4km/h. Gi¶i Gäi vËn tèc tµu thuû khi níc yªn lÆng lµ x (km/h) (x>0) VËn tèc tµu thuû khi xu«i dßng lµ x + 4 (km/h) VËn tèc cña tµu thuû khi ngîc dßng lµ x - 4 (km/h) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 80 80 25 + = x+4 x − 4 3.  5x2 – 96x – 80 = 0 x1= − 8 (kh«ng tho¶ m·n) 10 x2 = 20 (nhËn) VËy vËn tèc tµu thuû khi níc yªn lÆng lµ 20 km/h * Ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh. 1/ Loại bài toán về chuyển động. 2/ Loại bài toán có liên quan đến số học. 3/ Loại bài toán về năng suất lao động. 4/ Lo¹i bµi to¸n vÒ tØ lÖ chia phÇn. 5/ Loại bài toán có liên quan đến hình học. 6/ Lo¹i to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng. 7/ Lo¹i bµi to¸n cã néi dung LÝ, Ho¸. 8/ Lo¹i to¸n cã chøa tham sè. 9/ Lo¹i to¸n thèng kª, m« t¶. Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh gi¶i mét sè bµi to¸n. 1. Dạng toán chuyển động: - Bài toán 1: Quãng đờng AB dài 270km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc mỗi xe. (§¹i sè 9) Trong bài toán này cần hớng dẫn học sinh xác định đợc vận tốc của mỗi xe, từ đó xác định thời gian đi hết quãng đờng của mỗi xe. Gi¶i Gäi vËn tèc xe thø nhÊt lµ x (km/h) (x > 12) VËn tèc xe thø hai lµ x - 12 (km/h) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 270 270 − =0,7 x −12 x. x1 = -62,3 < 0 (lo¹i) x2 = 74, 3 (nhËn) VËy vËn tèc xe thø nhÊt lµ 74,3 km/h vËn tèc xe thø nhÊt lµ 62,3 km/h Trong bµi to¸n nµy, häc sinh cÇn ghi nhí c«ng thøc: S = v.t 2. Dạng bài toán liên quan đến số học: - Bµi to¸n 2: T×m sè cã 2 ch÷ sè. BiÕt r»ng nÕu thªm ch÷ sè 0 vµo giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì đợc số mới lớn hơn số ban đầu 10. Và tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gi¶i Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x (x N*, 0 < x 7) Thì chữ số hàng đơn vị là 7 - x Số đã cho có dạng: x(7 - x) = 10x + 7 - x = 9x + 7 Sè míi cã d¹ng: x0(7 - x) = 100x + 7 - x = 99x + 7 Ta cã ph¬ng tr×nh: (99x + 7) - (9x + 7) = 180 x = 2 (TM§K) Vậy số đã cho là 25. Giáo viên lu ý: Với dạng này học sinh phải hiểu đợc mối liên hệ giữa các đại lợng, đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,… ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c 3. Dạng toán về năng suất lao động. - Bài toán 3: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết. Trong tháng sau, tổ 1 vợt mức 10%, tổ 2 vợt mức 15%, nên cả hai tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu tiên mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiªu chi tiÕt m¸y. Gi¶i C¸ch 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu (0<x<400) Tổ 2 sản xuất đợc 400 - x (chi tiết) Tháng sau tổ 1 sản xuất đợc 110 x (chi tiết) Tổ 2 sản xuất đợc:. 100 115(400 − x) (chi tiÕt) 100. Ta cã ph¬ng tr×nh: 110 x + 115( 400 − x) 100. 100. = 448. x = 240 (TM§K) Trả lời: Tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất đợc 160 chi tiết máy. C¸ch 2: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu (0<x<400) Số chi tiết tổ 2 làm đợc trong tháng đầu là y chi tiết (0<y<400) Ta cã ph¬ng tr×nh: x + y = 400 (1) Số chi tiết máy làm tăng đợc ở tổ 1 là: 10 x chi tiết. 100 15 y chi tiÕt. 100. Số chi tiết máy làm tăng đợc ở tổ 2 là: Số chi tiết máy làm tăng đợc của 2 tổ là: 448 - 400 = 48 chi tiết. Ta cã ph¬ng tr×nh: 10 x + 15 y = 48 (2) 100 100 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x+ y=400 10 x 15 y + =48 100 100 ¿{ ¿. Gi¶i hÖ ta cã: x = 240; y= 160. Trả lời: Tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất đợc 160 chi tiết máy. Với loại toán liên quan đến tỉ lệ %, giáo viên cần gợi mở để học sinh hiểu rõ bản chất và nội dung của bài toán để lập đợc phơng trình. 4. D¹ng to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng. - Bµi to¸n 1 (SGK §¹i sè 8).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Hớng dẫn: Coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc. Gi¶i Gọi số ngày đội 1 làm riêng sửa xong con mơng là x ngày (x>0) Gọi số ngày đội 2 làm riêng sửa xong con mơng là y ngày (y>0) Trong 1 ngày: Đội 1 làm đợc 1 (cv) x. Đội 2 làm đợc 1. y. (cv). 1 (cv) 24 Ta cã ph¬ng tr×nh: 1 + 1 x y. Hai đội làm đợc:. =. 1 24. (1). Do năng suất đội 1 làm bằng 3 đội 2, nên ta có phơng trình: 2. 1 = 3 . 1 x 2 y. (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ 1 1 1 + = x y 24 1 3 = x 2y ⇒ ¿ x =40 y=60 ¿{ ¿. 5. D¹ng to¸n cã néi dung LÝ, Ho¸. - Bµi to¸n: Cho mét lîng dung dÞch chøa 10% muèi. NÕu pha thªm 200g nớc thì thu đợc dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu g dung dịch đã cho. (SGK 8). Gi¶i: Gọi khối lợng dung dịch đã cho là x(g), (x>0). Lîng muèi trong dung dÞch lµ: 10 x = x (g) . 100 10 Lîng dung dÞch muèi lµ : x+200(g). x TØ sè gi÷a muèi vµ lîng dung dÞch míi lµ: Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:. 10( x +200) x 6 = 10(x +200) 100. X=300(TM§K). Vậy khối lợng dung dịch đã cho là: 300g. Với dạng này học sinh phải nắm đợc các công thức của Vật lý, Hoá học, từ đó lập phơng trình, hệ phơng trình. 6. D¹ng to¸n cã chøa tham sè. Mét h×nh trßn cã diÖn tÝch S = 3,14 R2.(R lµ b¸n kÝnh) a. Khi R t¨ng 2 lÇn th× S t¨ng mÊy lÇn. Khi R gi¶m 3 lÇn th× S gi¶m mÊy lÇn. b.Khi S t¨ng 4 lÇn th× R t¨ng mÊy lÇn. Khi S gi¶m 16 lÇn th× R gi¶m mÊy lÇn. Gi¶i Khi R1 = a th× S1 = 3,14 a2. a. NÕu R t¨ng 2 lÇn: R2 = 2R1 = 2a. S2 = 3,14 (2a)2 = 4.3,14a2 S2 = 4S1. VËy S t¨ng lªn 4 lÇn..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b. NÕu S t¨ng lªn 4 lÇn tøc lµ S4 = 4S1.  3,14R42 = 4.3,14R1.  R4 = R1.  R t¨ng 2 lÇn. III. KÕt luËn: Trªn ®©y lµ nh÷ng d¹ng to¸n thêng gÆp ë ch¬ng tr×nh THCS 8, 9. Mçi dạng toán có những đặc điểm khác nhau, việc chia dạng trên chủ yếu dựa vào lời văn nhng chúng đều chung nhau các bớc giải cơ bản, đó là các loại phơng trình, hệ phơng trình các em đã đợc học ở THCS. Những ví dụ trên kh«ng cã ý lµ híng dÉn c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh mµ chñ yÕu gợi ý giúp các em xây dựng đợc phơng trình cơ bản để khi gặp đợc các dạng đó các em biết cách làm. Trªn ®©y lµ mét sè ý kiÕn cña t«i vÒ rÌn luyÖn kü n¨ng b»ng gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh mµ c¸c em thêng gÆp. Tuy nhiên còn rất nhiều thiếu sót và hạn chế, mong nhận đợc góp ý của các đồng nghiệp để tôi có một phơng pháp dạy tốt hơn nữa, giúp học sinh tiếp thu bài tèt h¬n. T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n! Giao Hµ, ngµy 30 th¸ng 9 n¨m 2005 Ngêi viÕt.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>