ON THI TOAN VAO LOP 10 FULL

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (953.83 KB, 95 trang )

(1)Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.. ïì x ³ 0 x = a Û ïí 2 ïïî x = a 2. Căn bậc hai số học : Với a ³ 0 , ta có : Lưu ý : Với a ³ 0 thì. ( ) a. 2. =a. .. 3. A có nghĩa Û A ³ 0 4. Các phép toán biến đổi căn bậc hai. +) Hằng đẳng thức căn bậc hai :. ìï A khi A ³ 0 A 2 = A = ïí ïïî - A khi A < 0 ; A.B  A. B. +) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai : +) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai :. A A  B B. 2. +) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai : +) Đưa một thừa số vào dấu căn bậc hai :. A B  A 2 B.  A  0, B 0  ;. +) Khử mẫu của biểu thức lấy căn : +) Trục căn thức ở mẫu : A A B   B  0 B B ;. . C A B C  A B A B. . C A B C  A B A B. A B A B.  . A 1  B B.  A 0,B  0 . ..  B 0  .;. A B  A 2B. AB.  A 0,B 0  ..  A 0, B 0  ;.  AB 0, B 0  ;.  A 0, B 0, A B   A 0, B 0, A B . .. .. B. VÍ DỤ. Ví dụ 1. Thực hiện phép tính. a.. 11 - 2 10 ;. b.. 9 - 2 14 ;. c.. 13 - 2 42 ;. d.. 46 + 6 5 ;. e. 12 - 3 15 ; f. 21 - 8 5 . Ví dụ 2. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau đây :. a. d.. - 3x + 2 2( x + 3). b. ;. e.. 4 2x + 3 2. 9x - 6x +1. c.. 2 x2 f.. 2x - 1 2- x ..

(2) x- 3 5- x ;. g. Đáp án gợi ý :. x - 1. x + 5. h.. - 3x + 2 ³ 0 Û - 3x ³ - 2 Û x £. a.. b. c. d.. - 3x + 2 có nghĩa Û 4 - 3 2x + 3 > 0 Û x > 2x + 3 có nghĩa Û 2 .. 2 3.. 2 x 2 có nghĩa Û x 2 > 0 Û x ¹ 0. 2( x + 3) 2( x + 3) ³ 0 . Vì 2 > 0, nên 2( x + 3) ³ 0 Û x + 3 ³ Û x ³ - 3 . có nghĩa Û 2. e. Ta có :. 2. 9x 2 - 6x +1 = ( 3x ) + 2.( 3x ) .1 + ( 1) = ( 3x +1). 2. 9x 2 - 6x +1 có nghĩa với mọi x Î ¡ . éìï 2x - 1 ³ 0 êïí êï 2 - x > 0 2x - 1 1 ïî ³ 0Û ê Û £ x <2 ê 2- x êìïï 2x - 1 £ 0 2 2x - 1 êíï ê 2 - x có nghĩa Û ëïî 2 - x < 0 Suy ra. f. C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC VÔ TỶ. a 2a - a a - 1 a- a. P= Bài 1. Cho biểu thức : Cho biểu thức: a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P. b. Tính giá trị của P với a = 3 c. Tìm a để P < 0.. 8 (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2000 – 2001).. Đáp án gợi ý :. ìï a ³ 0 ïï Û ïí a - 1 ¹ 0 Û ïï ïï a - a ¹ 0 î a. ĐKXĐ : P có nghĩa b. Biến đổi :. a =3Þ. Thay. 8 =3- 2 2 = a = 3-. 8=. (. ïíìï a > 0 ïïî a ¹ 1. ( 2). 2. ). . ĐS : P = a - 1. - 2 2 +1 =. c. P < 0 Û. a - 1<0 Û. ). 2- 1. 2. 2 - 1 = 2 - 1 = 2 - 1Î. 2 - 1 vào (1) ta được : P = = a - 1 = Vậy P = 2 - 2 khi a = 3 - 8 . a =. (. (1) 2. (. ) –1=. 2- 1. ĐKXĐ. 2- 2. a <1 Û 0 £ a <1 . Kết hợp với ĐKXĐ, P < 0 khi 0 < a < 1..

(3) 2 x- 1 x ( x - 1). x x- 1. A=. Bài 2. Cho biểu thức: a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A. b. Tính giá trị của A với x =36. c. Tìm x để. A >A. . (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2001 – 2002).. Đáp án gợi ý :. a. ĐKXĐ : P có nghĩa. ìï x ³ 0 ïï ï Û ïí x - 1 ¹ 0 Û ïï ïï x x - 1 ¹ 0 ïî. (. ). ïíìï x > 0 ïïî x ¹ 1 . ĐS : A =. x- 1 x. 2. x = 36 = ( ±6) = ±6 = 6 . x- 1 6- 1 5 = x x 6 6. Thay = 6 vào biểu thức A = , ta được A = 5 Vậy A = 6 khi x = 36. b. Biến đổi x = 36 Î ĐKXĐ Þ. x- 1 A > A Û A <0 Û x <0 c. Ta có x- 1 x < 0 thì Với x Î ĐKXĐ thì x > 0 . Để Kết hợp với ĐKXĐ,. A >A. x - 1 < 0 Û 0 £ x <1 .. khi 0 < x < 1.. æ 1 M =ç ç ç è x 3 Bài 3. Cho biểu thức:. ö 1 ÷ 3 : ÷ ø x- 3 x + 3÷. a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M. 1 b. Tìm x để M > . 3 c. Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2002 – 2003). Đáp án gợi ý :. ìï ïï ïï x ³ 0 ìï x ³ 0 ï ï x 3 ¹ 0 Û í í ïï ïïî x ¹ 9 ïï 3 2 ¹ 0 M= ïï x +3 . a. ĐKXĐ : M có nghĩa Û ïî x - 3 . ĐS : 2 1 3- x 1 > Û >0 3 x + 3 x + 3 Û 3 b. Ta có M > . Với x Î ĐKXĐ thì. 3- x >0 x + 3 > 0. Để x + 3 cần 3 -. x >0 Û 0 £ x <9 ..

(4) Kết hợp ĐKXĐ, M >. 1 3. khi 0 £ x < 9 .. 2 2 £ c. Ta có M = x + 3 3 với x Î ĐKXĐ. Đẳng thức xảy ra Û x = 0 Û x = 0 (x Î ĐKXĐ). 2 Vậy maxM = 3 khi x = 0.. æ 1 öæ 1 ÷ ö 1 ÷ ç A =ç + 1 + ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç è ø è ø x 1 x + 1 x÷ Bài 4. Cho biểu thức: a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A. b. Tính giá trị của A khi x = c. Tìm giá trị của x để:. 1 . 4. A =A. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2003 – 2004).. Đáp án gợi ý :. ìï x ³ 0 ïï ïí x - 1 ¹ 0 Û ïï ï x¹ 0 a. ĐKXĐ : A có nghĩa Û ïî 1 b. Với x = 4 Î ĐKXĐ. Ta có : Thay. 2. 2 2 =- 4 x - 1 , ta được A = 0,5 - 1 .. 1 Vậy A = - 4 khi x = 4 .. éA = 0 A =A Û ê ê ëA = 1 . Suy ra. Kết hợp ĐKXĐ,. é ê ê 2 2 = Û ê x- 1 x- 1 ê ê ê ë. 2 =0 x- 1 Û x =9 2 =1 x- 1 .. A = A khi x = 9.. æ 1 P =ç 1+ ç ç è x-. Bài 5. Cho biểu thức: a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P. b. Tính giá trị của A với x = 25. c. Tìm x để:. . ĐS : A =. 2 x - 1.. æ 1÷ ö 1 1 1 x= = ç ± ÷ = ± = = 0,5 ç ç è 2÷ ø 4 2 2 .. x = 0,5 vào biểu thức A =. c. Ta có :. ïíìï x > 0 ïïî x ¹ 1. ö 1 ÷ . ÷ ÷x - x 1ø. .. P. 5 + 2 6 .( x - 1) 2 = x - 2005 + 2 + 3 (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2004 – 2005).. Đáp án gợi ý :.

(5) ìï x ³ 0 ïï Û ïí x - 1 ¹ 0 Û ïï ïï x - x ¹ 0 î a. ĐKXĐ : P có nghĩa. = . ĐS: P. 1. (. ). x- 1. 2. .. 2. x = 25 = ( ±5) = ±5 = 5.. b. Với x = 25 Î ĐKXĐ. Ta có :. = Thay. ïíïì x > 0 ïïî x ¹ 1. x = 5 vào biểu thức P 1 Vậy P = 16 khi x = 25.. 1. (. ). x- 1. 1. 2. , ta được P =. ( 5 - 1). 2. =. 1 1 = 2 4 16. = 2 c. Với P. 5 + 2 6 .( x - 1) = x - 2005 + 2 + 3 , P. .. 1. (. ). x- 1. 2. 1. ( Ta có phương trình :. ) .(. x- 1. 2. 2+ 3. )(. ). x- 1. = x – 2005 + Û x – 2005 = 0 Û x = 2005 Î ĐKXĐ.. (. 2+ 3. ). P. 5 + 2 6 .( x - 1) 2 = x - 2005 + 2 + 3 khi x = 2005. 1 − √ x ¿2 ¿ Bài 6. Cho biểu thức 1 1 √ x +1 P= + : ¿ √ x − x 1− √ x a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b. Tìm x để P > 0. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2006 – 2007) Đáp án gợi ý : Vậy. (. ). ìï x ³ 0 ïï Û ïí 1 - x ¹ 0 Û ïï ïï x - x ¹ 0 î a. ĐKXĐ : P có nghĩa. ïíïì x > 0 ïïî x ¹ 1 . ĐS: P =. 11x Với x Î ĐKXĐ, suy ra x > 0 . Để Kết hợp ĐKXĐ, suy ra P > 0 khi 0 < x < 1. Bài 7. Cho biểu thức A =. x x. x x. b. Ta có x > 0 và x ¹ 1 , P > 0 trở thành. 1-. > 0.. x > 0 thì 1-. x >0 Û. x < 1 Û 0 £ x <1 .. ( √ x√−1x − x −1√ x ): √ x1−1. a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0. c. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A √ x=m− √ x có nghiệm. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2007 – 2008) Đáp án gợi ý :. x  0 x- 1  x 1 . ĐS : A = x . a) Điều kiện xác định: .

(6) x 1.  0 b. Với x > 0, x  1, A < 0 trở thành x . x 1  0 Vì x  0 . Nên x  x - 1 < 0  x < 1. Kết hợp với điều kiện ta có kết quả 0 < x < 1. c. Với x > 0, x  1 thì A x = m - x trở thành. x 1 x.  x m . x.  x. x  m  1  0 (1). Đặt x = t, vì x > 0, x  1 nên t > 0, t  1. Phương trình (1) qui về t2 + t - m - 1 = 0 (2). Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm dương khác 1. b   1  0 Nhận thấy a .Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác 1  m  1  0 m   1    1  1  m  1  0  m  1 Kết luận: m > -1 và m  1.. æ3 1 ö 1 ÷ P =ç + : ÷ ç ÷ x +1 ç èx - 1 x +1ø. Bài 8. Cho biểu thức: a. Nêu ĐKXĐ và rút gọn P.. P=. b. Tìm các giá trị của x để. 5 4.. M= c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. x +12 1 . x- 1 P. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2008– 2009) Đáp án gợi ý :. ïì x ³ 0 Û ïí Û ïîï x - 1 ¹ 0 a. ĐKXĐ : P có nghĩa. ïìï x ³ 0 í ïîï x ¹ 1. = . ĐS : P. x +2 x- 1 .. 5 P= 4 trở thành : b. Với x ³ 0 và x ¹ 1,. x +2 5 = Û 4 x- 1 4. (. ). x +2 =5. (. ). x- 1 Û. x = 13 Û x = 169. Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả x = 169. c. Với x ³ 0 và x ¹ 11,. M=. M=. x +12 1 . x - 1 P , trở thành :. ( x- 1 x +12 = =2+. x +12 . x - 1 x +2. x +2. Đẳng thức xảy ra khi x - 2 = 0 Û x = 4 . Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả minP = 2 khi x = 4.. x x 1 x  1  x  1 x 1 . Bài 9. Cho biểu thức A = a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.. ). x- 2. x +2. 2. ³ 2 ..

(7) 9 b. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 . c. Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1. (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2009– 2010) Đáp án gợi ý :. ìï x ³ 0 Û ïí Û ïîï x - 1 ¹ 0 a. ĐKXĐ : A có nghĩa 9 b. x = 4 Î ĐKXĐ,. ìïï x ³ 0 í ïîï x ¹ 1. x x - 1.. . ĐS : A =. 2. æ 3ö 9 3 3 x= = ç ± ÷ =± = ÷ ç ÷ ç è 2ø 4 2 2. 3 3 2 = 3 :æ ç ç x ç 3 è2 2 - 1 x - 1 . Ta được A = 2. 3 2 vào biểu thức A = Thay c. Với x ³ 0 và x ¹ 1, A < 1 trở thành : x=. x 1 - 1< 0 Û <0 Û x- 1 x- 1 Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả 0 £ x <1 . x x- 1 <1. ö 1÷ =3 ÷ ÷ ø .. x - 1 < 0 Û 0 £ x <1. x 2 2   x 1 x  1 . Bài 10. Cho biểu thức A = x  1 a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. c. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x – 1). (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2010– 2011) Đáp án gợi ý :. ïìï x ³ 0 ï Û ïí x - 1 ¹ 0 Û ïï ïï x - 1 ¹ 0 î a. ĐKXĐ : A có nghĩa b. x = 9 Î ĐKXĐ. Suy ra. ìïï x ³ 0 í ïîï x ¹ 1. x x 1. . ĐS : A =. x = 9 =3 . x. 3 3  x  1 , ta có kết quả : A = 3  1 4 .. Thay x = 3 vào biểu thức A = c. Với x 0 và x 1 , ta có: x ¿ √ (x −1) B = A. (x − 1) √ x +1 2. ¿ √ x ( √ x −1). 1 æö 1 ÷ 1 √ x − 1 ¿2 + − 1 = ( x ) - 2. x. +ç ÷ ç 2 4 ÷- 4 è2 ø 2 ç ¿¿. ( ). 2. ¿ x − √x. ³. -. 1 4. x=. 1 . 4. 1 2 1 1 x − ¿ =0 ⇔ √ x − =0 ⇔ x = √ Dấu bằng xảy ra khi 2 2 4 ¿ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là. (− 14 ). đạt được khi.

(8) Bài tập đề nghị. Bài 1. Cho biểu thức: M =. √ a+3 − 3 − √ a 2 √ a −6 2 √ a+6. (với a. 0; a. 9.). a. Rút gọn biểu thức M. b. Tìm giá trị của a để M = 4. c. Tìm giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên lớn hơn 10. Tìm giá trị nguyên của M. 1 1 − −1 Bài 2. Cho biểu thức: A= √a − 1 √ a+1 a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên tố a để giá trị biểu thức A là một số nguyên. 3 3 x x+x + + √ Bài 3. Cho biểu thức A = √ x − 3 − √ x √ x −3+ √ x √ x +1 61 a) Rút gọn A nếu x 3; b) Tính giá trị của A khi x = 9+2 √ 5.  1  Bài 4. Cho biểu thức C = . x  1  4x  4    1  2x 2 x1    : 1   5  4x 5  4x 2 x  1  1   . b. Tìm các giá trị của x để C < C2.   2a  1   1 a3 a   .   a 3 3    a  a 1  1  a  Bài 5. Cho biểu thức P =  a  1 a. Rút gọn C.. a. Rút gọn P.. æ a +1 ç ç ç ç è a- 1. b. Xét dấu của biểu thức P. 1  a .. ö a- 1 a a÷ ÷ ÷ a +1 a - 1÷ ø. æa - a- 3 ç ç ç ç è a- 1. Bài 6. Cho biểu thức : B = : a. Rút gọn gọn B. b. So sánh B với 1.  1 1   a  1 a  2     :   a1 a  a 2 a  1  Bài 7. Cho biểu thức A = . 1 a-. A> a. Rút gọn A.. b. Tìm giá trị của a để. 2a  4 a 2   Bài 8. Cho biểu thức : P= a a  1 a  a  1 a. Rút gọn P.. ö ÷ ÷ ÷ 1÷ ø. 1 6.. 2 a1. b. Tính giá trị của P khi a = 3 - 2 2 .   1 1 2 x 2 2   :     x  1 x x  x  x  1   x  1 x  1 .    Bài 9. Cho biểu thức A =  a. Rút gọn A b. Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó.. 2a + 4 a +2 + a a 1 a + a + 1 Bài 10. Cho biểu thức : P = a. Rút gọn P.. 2 a- 1. b. Tính P khi a = 3 - 2 3 . 1   x4   :  1    x  1  x  x 1.  2x 1    3 x  1  Bài 11. Cho biểu thức P= a. Rút gọn P. b. Tìm GT nguyên của x để P nhận GT nguyên dương.  x 1   1 2     x  1  x  x  :  x  1  x  1     Bài 12. Cho biểu thức P = .

(9) a. Rút gọn P. b. Tìm các GT của x để P > 0. c. Tìm các số m để có các GT của x thoả mãn P. x m  x .  x 4 3   x 2 x        x x  2  x  2 : x x  2     Bài 13. Cho biểu thức : P = . a) Rút gọn P b) Tính GT của P biết x=6 - 2 5. . . c) Tìm các GT của n để có x thoả mãn P.( x  1)  x  n .  x2   x x  4   x   :    1  x x  1 x  1    Bài 14. Cho biểu thức : P =  a) Rút gọn P. b) Tìm các GT của x để P < 0. c) Tìm GTNN của P. 4 x 8x x1 2 (  ):(  ) 4  x 2  x x  2 x x Bài 15. Cho biểu thức P = a/ Rút gọn P. b/ Tìm giá trị của x để P = -1. c/ Tì m m để với mọi giá trị của x >9 ta có: m( x - 3)P > x+1  1   x  1 1 x    x   :   x   x x  x   Bài 16. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. 2 b) Tính GT của P khi x = 2  3 . c) Tìm các GT của x thoả mãn P. x 6 x  3  x  4 .  a 3 a 2 a a  1 1       :  a  1   a 1 a 2 a  1 a  1  Bài 17. Cho biểu thức P= 1 a 1  1 8 a. Rút gọn P. b.Tìm a để : P .. . . .  1 x  x  :   x x  1  x  x Bài 18. Cho biểu thức P =  . a. Rút gọn P. b. Tính GT của P khi x = 4; x 3 6 x 4   x 1 x 1 Bài 19. Cho biểu thức : P= x  1 a. Rút gọn P ;. 13 c. Tìm x để P = 3 .. 1 b. Tìm các GT của x để P < 2 ..  1 x  x  :   x  x 1 x  x Bài 20. Cho biểu thức : P =  a. Rút gọn P Bài 21.. Cho P =. b. Tính GT của P khi x= 4 x 2 x 3x  9   , x 0 & x 9 x 3 x  3 x 9 .. 13 c. Tìm GT của x để P = 3.

(10) 1 b. Tìm giá trị của x để P = 3 . c. Tìm GTLN của P.. a. Rút gọn P.. 2x 2 + 4 1 1 2 1+ x 1- x. Bài 22. Cho T = 1 - x a. Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T.. A  Bài 23. Cho. x. 2. + x x - x x + x. b. Tìm giá trị lớn nhất của T.. x A =. a, Hãy rút gọn biểu thức A. b. Tìm x thoả mãn 2  x -1 1   4 1 - x4   4 x +  x - x2 + 1 x2 + 1   1 + x2   Bài 24. Cho biểu thức: M = . a. Rút gọn M. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M..  P   Bài 25. Cho biểu thức: a. Rút gọn P. x1 x 2  3x     : x  2 x  x  2  . b. Tìm x để P > 0.  x 2 x P   x  1 x  Bài 26. Cho biểu thức: a. Rút gọn P. x - 2. + 1. ..  x 1   x  1 x  3 x  2 . 2 c. Tìm x để P  2 x  2 x  1 . x  3  x x 2    :   x  2  x x  2 x  2 . b. Chứng minh rằng : P <1 . c. Tìm giá trị lớn nhất của P. .....................Hết....................... Chuyên đề 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP. A. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 1. Kiến thức cần nhớ : * Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng : ax + b = 0 ( a 0 ) ; a, b   , x là ẩn..  Phương trình có duy nhất một nghiệm x =. b a.. ax  by c  a 'x  b' y c' * Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :  Trong đó : a, b, c, a', b', c'   ; a, b không đồng thời bằng 0, a' và b' không đồng thời bằng 0 và x, y là ẩn. Các phương pháp giải hệ phương trình : a) Phương pháp thế : +) Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia, thế vào phương trình thứ hai ta được phương trình bậc nhất một ẩn +) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. b) Phương pháp cộng. +) Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó của hệ số có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). +) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. c) Phương pháp đặt ẩn phụ. Trong quá trình giải toán, tùy vào từng trường hợp cụ thể để có phương pháp hợp lý. B. VÍ DỤ..

(11) Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:. 2x 3  1 2 3 b) x  x  1 .. x x  2 a) x  1 x  2. Phương pháp. Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu để giải bài toán này người ta thường làm như sau : Biến đổi phương trình về dạng : ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + x = 0 bằng cách : + Tìm ĐKXĐ. + Quy đồng và khử mẫu. + Giải phương trình vừa tìm được. + Kết hợp với ĐKXĐ để trả lời. Giải. a) ĐKXĐ : x 1, x  - 2.   x  4 0  x  4 , thỏa mãn. b) ĐKXĐ : x  x  1  0 3.  2x  3 0  x . (*). 3 2 . 3.  31   3  3 3 3 1  0 x x    2 8 2 thay vào (*) ta có  2  2 là nghiệm. Với . Vậy Ví dụ 2. Tìm m nguyên để phương trình sau đây có nghiệm nguyên :.  m  2  x  2m. 2.  m  2 0. (1). Giải. Với m nguyên thì 2m  3 0 vậy phương trình 1 có nghiệm :. x.   2m 2  m  2  2m  3.   m  2  . 4 2m  3. Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2m - 3 phải là ước của 4 hay 2m - 3 Giải ra ta được m = 2 và m = 1..   1, 2, 4 .. 2x  3y a  5x  3y 2 Ví dụ 3. Cho hệ phương trình :  1) Giải hệ phương trình với a = 1. 2) Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0. Giải.. 3  x  2x  3y 1  2x  3y 1  7    5x  3y 2 7x 3 y  1  21 1) Với a = 1, ta có hệ phương trình : 2) Lấy phương trình đầu cộng với phương trình thứ hai ta có :. 7x a  2  x . a 2 a 2 5a  4  2.  3y a  y  7 7 21. Hệ có nghiệm. a  2 0  x  0  7    5a  4 y  0  0  21. a   2 4   4   2a  5 a 5 .

(12) 4 5 hệ phương trình có nghiệm x > 0, y < 0. Vậy với  x   m  3 y 0   m  2  x  4y m  1 Ví dụ 4. Cho hệ phương trình :   2a . 1) Giải hệ khi m = -1. 2) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m. Giải..  x  2y 0  x 2    3x  4y  2  y 1 1) Với m = -1 hệ phương trình đã cho có dạng :  (1)  x   m  3 y 0  (2)  m  2  x  4y m  1 2) Xét hệ phương trình :  x  m  3 y thay vào (2) ta có :  m  2   m  3 y  4y m  1 Từ (1) ta có :   m 2  m  2  y m  1   m  1  m  2  y m  1 (3)  *) Nếu m = 1 ta có : (3) 0 = 0 hay phương trình có nghiệm với mọi y  hệ có vô số nghiệm. *) Nếu m = - 2 từ (3)  0 = - 3 hay hệ phương đã cho trình vô nghiệm. 1 m 3 y  x m2 m2 *) Nếu m 1,m  2 từ (3)  m 3  x   m2  y  1  m2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất :  Ví dụ 5. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lẫn chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị. Và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới có hai chữ số bé hơn số cũ 36 đơn vị. Phương pháp. Bước 1 : Lập hệ phương trình. - Tìm mối liên hệ để dự kiến phương trình. - Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn. - Biểu thị các yếu tố qua ẩn. Bước 2. Giải hệ phương trình vừa lập. Bước 3. Đối chiếu giá trị vừa tìm được với ĐK để trả lời. Giải. Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện của ẩn là x và y là số nguyên , 0  x 9 và 0  y 9. Khi đó, số cần tìm là xy 10x  y . Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số yx 10y  x . Theo bài ra ta có hệ phương trình :. 2y  x 1  x  2y 1    10x  y    10y  x  36  x  y 4 Giải hệ phương trình ta có nghiệm : x = 9, y = 5 thỏa mãn ĐK bài toán Vậy chữ số cần tìm là : 95. Ví dụ 6. Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một quảng đường AB sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau một giờ ô tô cách xe đạp 28 km. Biết quảng đường AB dài 156km, tính vận tốc xe đạp và ôtô. Giải. Gọi x là vận tốc xe ô tô là x (km/h, x >0), vận tốc xe đạp là y (km/h, y >0)..

(13) 3x  3y 156   x  y  28 Ta có : .  y 40   x 12. x = 40, y = 12 thỏa mãn ĐK bài toán. Vậy vận tốc xe đạp là 12 km/h, vận tốc xe ô tô là 40 km/h. Ví dụ 7. Một chiếc xe tải đi từ A đến B, quảng đường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ B đến A và gặp xe tải sau 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.. 9 Giải . Đổi : 1 giờ 48 phút = 5 giờ. Gọi vận tốc xe khách là x (km/h) và vân tốc của xe tải là y (km/h). Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương. Theo bài ra ta có hệ phương trình.  x  y 13 14x  14y 182  x 49    9 14 9x  14y 945  y 36  5 x  5 y 189 x = 49, y = 36 thỏa mãn ĐK bài toán. Vậy vận tốc xe khách là 49 km/h, vận tốc xe tải là 36 km/h. Ví dụ 8. Để trở một số hàng có thể dùng một ô tô lớn trở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ trở 15 chuyến. Ô tô lớn trở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ trở tiếp cho xong, hai xe trở tổng cộng 14 chuyến xong công việc. Hỏi mỗi ô tô trở mấy chuyến. Giải. Gọi x là sô chuyến ô tô lớn chở, y là sô chuyến ô tô nhỏ chở (x, y nguyên dương).  x  y 14   x y   1  Theo bài ra ta có hệ phương trình : 12 15.  x 4   y 10. x = 4, y = 10 thỏa mãn ĐK bài toán. Vậy ô tô lớn chở 4 chuyến, ô tô nhỏ chở 10 chuyến. Ví dụ 9. Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc. 2 đội A làm được bằng 3 đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ? Giải. Gọi thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là x (ngày) và thời gian đội B làm một mình xong đoạn đường là y (ngày). Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương. Ta có :. 1 Công việc đội A làm trong một ngày x (công việc). 1 Công việc đội B làm trong một ngày y (công việc). Theo bài ra ta có hệ phương trình : 1 2 1 1 1  x  3 y  x  60  x 60      y 40 1  1  1 1  1  x y 24  y 40 x = 60, y = 40 thỏa mãn ĐK bài toán. Vậy thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là : 60 ngày, thời gian đội B làm một mình xong đoạn đường là 40 ngày..

(14) Ví dụ 10. Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 7 giờ12 phút xong. Nếu một mình người. 1 thứ nhất làm trong hai giờ sau đó một mình người thứ hai làm trong ba giờ làm được 3 công việc . Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu lâu sẽ xong công việc ? Giải. Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong công việc (giờ, x, y > 7,2) Trong một giờ :. 1 Người thứ nhất làm được x công việc ; 1 Người thứ hai làm được y công việc ; 1 1 5 1 1  x  y 36  x 12  x 12      y 18  2  3 1 1  1   y 18 Theo bài ra ta có hệ phương trình :  x y 3 . x = 12, y = 18 thỏa mãn ĐK bài toán. Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 12 giờ, một mình người thứ hai làm xong công việc trong 18 giờ. Ví dụ 11. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thi chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? Giải. Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong công việc (giờ, x, y > 16) Trong một giờ :. 1 Người thứ nhất làm được x công việc ; 1 Người thứ hai làm được y công việc ; 1 1 1 1 1   x  y 16  x 24   x 24     y 48  3  6 1 1  1   y 48 Theo bài ra ta có hệ phương trình :  x y 4 . x = 24, y = 48 thỏa mãn ĐK bài toán. Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 24 giờ, một mình người thứ hai làm xong công việc trong 48 giờ. Ví dụ 12. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 30 phút. Nếu hai vòi chảy nhưng vòi thứ nhất chảy 15 phút, vòi thứ hai trong 20 phút thì chỉ. 1 được 5 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bề là bao nhiêu ? Giải. Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (giờ). Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương. Ta có :. 1 1 giờ vòi thứ nhất chảy được x (bể nước). 1 1 giờ vòi thứ hai chảy được y (bể nước)..

(15) Theo bài ra ta có hệ phương trình : 1 1 2  x  y 3    1 1 1     4x 3y 5. 1 4   x 15 1 2     y 5. 15  x   4  5 y   2. 15 5 x = 4 , y = 2 40 thỏa mãn ĐK bài toán. 15 5 Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể : 4 giờ ; vòi thứ hai chảy một mình đầy bể : 2 giờ. Bài tập tự luyện. 3x  2y 6  Bài 1. Cho hệ phương trình : ax  y  3 1) Giải hệ phương trình với a = 4.. (x, y là ẩn ; a là tham số). 3 x 2) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y = 4 . ax  y 3  Bài 2. Cho hệ phương trình :  x  ay  1 1) Giải hệ phương trình với a = 3 2) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.  a  1 x  ay 3a  1  2x  y a  5 Bài 3. Cho hệ phương trình : . 1) Giải hệ phương trình với a = 3 2) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho : S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. mx – y  2  Bài 4. Cho hệ phương trình: 3x  my  5 1) Giải hệ phương trình khi m = 2. 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:(x, y) sao cho: x + y = 0. Bài 5. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 4. 1 giờ rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong 7 giờ thì họ làm được 3 công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người mất bao lâu để hoàn thnàh công việc ? Bài 6. Để chở một đoàn khách 320 người đi tham quan chiến trường Điện Biên Phủ, công ty xe khách đã bố trí 2 loại xe, loại thứ nhất mỗi xe có 40 chỗ, loại thứ hai mỗi xe có 12 chỗ. Em hãy tính số xe mỗi loại biết loại thứ nhất ít hơn số xe loại thứ hai là 5 chiếc và số người ngồi vừa đủ số ghế trên xe. Bài 7. Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì sau bao lâu xong việc ? Bài 8. Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi). Bài 9. Để chuẩn bị cho kỉ niệm ngày sinh nhật Bác, các đoàn viên hai lớp 9A và 8A của trường trung học cơ sở Kim Liên, tổ chức trồng 110 cây quanh trường. Mỗi đoàn viên lớp 9A trồng 3 cây, mỗi đoàn viên lớp 8A trồng hai cây. Biết rằng số đoàn viên lớp 9A nhiều hơn số đoàn viên lớp 8A là 5 người. Hãy tính số đoàn viên của các lớp 9A và 8A..

(16) (1) mx  y 3  2x  my 9 (2). Bài 10. Cho hệ phương trình : 1) Giải hệ phương trình khi m=1 b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho biểu thức A = 3x - y nhận giá trị nguyên . 2x  y 5m  1  Bài 11. Cho hệ phương trình:  x  2y 2 (m là tham số) 1) Giải hệ phương trình với m = 1 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1.  mx  y 2 (1)  Bài 12. Cho hệ phương trình :  x  my 1 (2) 1) Giải hệ phương trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. (a  1)x  y a  Bài 13. Cho hệ phương trình: x  (a  1)y 2 có nghiệm duy nhất là (x; y). 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5. 2x  5y 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức x  y nhận giá trị nguyên.  a  1 x  y 4  ax  y 2a Bài 14. Cho hệ phương trình  (a là tham số). 1) Giải hệ khi a = 1. 2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y  2. 2 x  y m  2  Bài 15. Cho hệ phương trình:  x  2 y 3m  4 1) Giải hệ phương trình với m = 1 2) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 + y2 =10  x  2y 3  m  2x  y 3(m  2) Bài 16. Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình khi thay m = - 1. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl. x  ay 1 (1)  ax  y  2  Bài 17. Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. Chuyên đề 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Giải phương trình bậc hai dạng : ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) a) Nhẩm nghiệm:  x1 1   x2  c a. a + b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm: .

(17)  x1  1   x2  c a. a – b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm:  b) Giải với  ' : b Nếu b = 2b’  b’ = 2   ' = (b’)2 – ac.  b' '  b' ' x1  x2  a a +) Nếu  ' > 0  phương trình có 2 nghiệm phân biệt : ;  b' x1 x2  a . +) Nếu  ' = 0  phương trình có nghiệm kép: +) Nếu  ' < 0  phương trình vô nghiệm. c) Giải với  : Tính  :  = b2 – 4ac.  b   b  x1  x2  2a ; 2a +) Nếu  > 0  phương trình có 2 nghiệm phân biệt: b x1  x2  2a . +) Nếu  = 0  phương trình có nghiệm kép:  +) Nếu  < 0 phương trình vô nghiệm. * Điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1) - (1) có 2 nghiệm   0 ; có 2 nghiệm phân biệt    0 .  0   P  0 . - (1) có 2 nghiệm cùng dấu. - (1) có 2 nghiệm dương.  0  P  0   S  0.  0  P  0   S  0 - (1) có 2 nghiệm âm - (1) có 2 nghiệm trái dấu  ac < 0 (hoặc P < 0) 2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng: b   S x1  x2  a   P  x x c 1 2 a a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì ta có:  . b) Định lý đảo: u  v S  Nếu u.v P  u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P  0). * Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 2 2 + Tổng bình phương các nghiệm: x1  x2 ( x1  x2 )  2 x1 x2 = S2 – 2P. 1 1 x x S   1 2  x1 x2 P. + Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2 x12  x22 S2  2P 1 1    2 2 2 x x ( x x ) P2 . 1 2 1 2 + Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:.

(18) 2 2 + Bình phương của hiệu các nghiệm: ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  4 x1 x2 = S2 – 4P. 3 3 3 + Tổng lập phương các nghiệm: x1  x2  ( x1  x2 )  3x1 x2 ( x1  x2 ) = S3 – 3PS. B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. 1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát. 2) Xác định tham số đẩ phương trình có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hai nghiệm dương ; có hai nghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu ... 3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số. 4) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số. C. MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH. Bài 1. Cho phương trình bậc hai x2 + 2x – m = 0 (1) 1) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 4 2) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x14 + x24 Bài 2. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1). 2) Giải phương trình (1) khi m = – 2. 3) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 3) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 3. Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = 3. 2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 4. Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Bài 5. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 5. 2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 3.Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 độc lập với m. 4. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. Bài 6. Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –2. 2. Chứng minh rằng : m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m. Bài 7. Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 1) Giải phương trình (1) khi m = – 2. 2) Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 3) Gọi x , x là hai nghiệm của (1). Tính A = x1  x2 theo m. 1. 2. 4) Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 8. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –1. 2. Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. 4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m. 2 2 5. Tìm m để x1  x 2 = 10. Bài 9. Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1). 1) Giải phương trình (1) khi m = –1. 2) Tìm m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt..

(19) b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11. Bài 10. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1). a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó. b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m. Bài 12. Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0 1) Giải phương trình khi m = 2. 2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Bài 13. Cho phương trình bậc hai, với tham số m : 2x2 – (m + 3)x + m = 0 (1) 1) Giải phương trình (1) khi m = 2.. 5 x1x 2 2 2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = . x1  x 2 3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = Bài 14. Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0 1) Giải phương trình khi m = 2. 2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.. .. 2. Bài 15. Cho phương trình: x  2(m  1)x  2m  4 0 ( m là tham số) 1) Giải phương trình khi m = -2. 2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. 3) Tìm 1 hệ thức không phụ thuộc tham số m giữa các nghiệm. Bài 16. Cho phương trình: (m+1)x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0. (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 0. 2. Định m để phương trình (1) có nghiệm. 3. Định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18. Bài 17. Cho phương trình: 3x2 - 4x + m + 5 = 0 (m là tham số) (1) 1. Giải phương trình với m = - 4. 1 1 4   x x2 7 2. Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho 1 2. 2. Bài 18. Cho phương trình: x  mx  m  m  3 0 (với m là tham số). 1. Giải phương trình khi m = 2. 2. Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x2 là dộ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền BC = 2. Bài 19. Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m2 – 9 = 0. (1) 1. Giải phương trình (1) với m = 1. 2. Tìm m để (1) có 2 nnghiệm phân biệt. 3. Gọi 2 nghiệm phân biệt của (1) là x1 và x2. Hãy xác định các giá trị của m để:. x1  x2  x1  x 2. . Bài 20. Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1). Bài 21. Một canô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi quay trở lại A ngay mất 4 giờ. Biết quãng sông AB dài 30km và vận tốc dòng nước là 4km/h. Tính vận tốc thực của canô ? Bài 22. Hai ôtô khởi hành cũng một lúc từ A đến B cách nhau 150km. Biết vận tốc ôtô thứ nhất hơn vận tốc ô tô thứ hai 10km/h và ôtô thứ nhất đến B trước ôtô thứ hai 45 phút. Tính vận tốc mỗi xe ? Bài 23. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Xe máy thứ nhất có vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc trung bình của mỗi xe máy, biết rằng quãng đường AB dài 120km..

(20) Bài 24. Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ. Bài 25. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy . Nếu từng vòi chảy riêng thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể sẽ ít hơn vòi thứ 2 chảy đầy bể là 10 giờ . Hỏi nếu chảy riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể ? Bài 15. Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược 1h20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược là bằng nhau. Bài 26. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 12 0km với vận tốc dự định trước. Sau khi đi. 1 được 3 quảng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. Bài 27. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 96km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ 18 phút. Do đó để đến B đúng hẹn người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường. Bài 28. Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được 2 giờ với năng xuất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng năng xuất được 2 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30 phút. Hãy tính năng xuất dự kiến ban đầu. Bài 29. Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B cách nhau 80km,sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ca nô ngược dòng 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô,biết vận tốc của dòng nước là 4km/h. Bài 30. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B. Bài 31. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Bài 32. Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe ô tô, biết quãng đường AB dài là 300km. Bài 34. Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau. Bài 35. Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Bài 36. Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 (m là tham số). 1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Bài 37. Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8. Bài 38. Cho phương trình : x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Giải phương trình với m = 0. 2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4. Bài 39. Cho phương trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:.

(21) x12  x 22  x1x 2  x1  x 2  1) x12 + x22 ;. 2). x1 x1  x 2 x 2. ;. 3). . . . x12 x12  1  x 22 x 22  1. ..

(22) Chuyên đề 4.. Hàm số y = ax + b và hàm số y = ax2. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số y = ax + b : a. Tính chất :  Xác định với mọi giá trị của x thuộc  .  Đồng biến trên  khi a > 0.  Nghịch biến trên  khi a < 0. b. Đồ thị :  Đồ thị là đường thẳng với hệ số góc a.  Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. c. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b. Bước 1 : Xác định hai điểm phân biệt. Bước 2 : Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó. d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng y = ax + b (d1) và y = a'x + b' (d2)  (d1) cắt (d2)  a  a' . Chú ý : Giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b (d1) và y = a'x + b' (d2) là nghiệm của hệ. ax  b a 'x  b'  :  y ax  b a a '  b b'  (d1) song song (d2)  (d1) vuông góc (d2)  a . a' = -1. e. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) ; B(xB;yB) có dạng :. x  xA y  yA  x A  x B yA  yB 2. Hàm số y = ax2(a 0): a. Hàm số y = ax2 (a 0) có những tính chất sau:  Xác định với mọi giá trị của x thuộc  .  Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.  Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. b. Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0): + Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng. + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị. + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị. c. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0): + Lập bảng các giá trị tương ứng của (P). + Dựa và bảng giá trị  vẽ (P). 3. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (d): y = kx + b:  Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau  đưa về pt bậc hai dạng ax2 - kx - c = 0.  Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu  > 0  pt có 2 nghiệm phân biệt  (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. + Nếu  = 0  pt có nghiệm kép  (D) và (P) tiếp xúc nhau. + Nếu  < 0  pt vô nghiệm  (D) và (P) không giao nhau. B. VÍ DỤ. y k 3 xk 2.   Ví dụ 1. Cho hàm số . Xác định các giá trị của của k để : a. Hàm số là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến..

(23) b. Vẽ đồ thị hàm số khi k = 1 ; k = 3 ; k = 4. c. Đồ thị hàm số đi qua M(1 ; -2). d. Đồ thị cắt hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích bằng 2 Đáp án gợi ý. a. Hàm số là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến  k  3  0  k  3 b. Hướng dẫn HS vẽ đồ thị. c. Đồ thị hàm số đi qua M(1 ; -2) nên ta có.  2  k  3 .1  k  2  k . 1 2 ..  2k  ;0   3  k   , cắt trục tung tại B  0;2  k  . d. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A Diện tích tam giác vuông AOB (O là gốc tọa độ) bằng :. 1 2k 2 . 2  k 2   2  k   3  k 2 3 k . 2 +) Với 3  k 0  k 3 thì phương trình có dạng : k  8k  8 0 , phương trình có hai nghiệm k1  4  2 6 , k 2  4  2 6 (thỏa mãn) 2. +) Với 3  k  0  k  3 thì phương trình có dạng : k  16 0 , phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2. Cho hai điểm A (1 ; 3), B(2 ; 5). a. Lập phương trình đường thẳng  đi qua A và B. b. Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng  . c. Lập phương trình đường thẳng đi qua C(-4 ; 1) và song song với  ; vuông góc với  . Đáp án gợi ý.. x  xA y  yA  a. Đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng : x A  x B y A  y B nên : x 1 y 3    2  x  1   y  3 1 2 3  5 hay y = 2x + 1 Vậy đường thẳng  có dạng : y = 2x + 1. 1 b. Đường thẳng  cắt Ox tại D( 2 ; 0), cắt trục tung Oy tai E(0 ; 1). Gọi H là chiếu của O trên  , ta có : 1 1 1 1 1 1    2  2 4  1 5  OH  2 2 2 OH OD OE  1  1 5    2 c. Đường thẳng (d) đi qua C có dạng : y = ax + b.. Do (d) //  nên hệ số góc a = 2  y 2x  b (b 1). Vì (d) đi qua C(-4 ; 1) nên : 1 = 2(-4) + b  b = 9. Vậy đường thẳng (d) là y = 2x + 9.. 1 1  y xb 2 2 +) Do (d)   nên a . 2 = -1 . Vì (d) đi qua C(-4 ; 1) nên : 1 1  y x 1 2 1 = 2 (-4) + b  b = -1. Vậy đường thẳng (d) là .  a . II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho đường thẳng (d) có phương trình : 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2..

(24) a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) : y = x2 tại hai điểm phân biệt A,B. b) Tìm tọa độ trung điểm của AB theo m. Bài 2. Cho hàm số y = (m - 2)x + 3 + m. a) Xác định m để hàm số là hàm số bậc nhất đồng biến. b) Xác định m để đồ thị hàm số là đường thẳng đi đi qua M(1 ; 3) ; c) Xác định m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ thành một tam giác có diện tích bằng 1.. 1 y  x2 4 có đồ thị là parabol (P). Bài 3. Cho hàm số : a) Viết phương trình đường thảng qua hai điểm A và B thuộc (P) nếu : xA = -2, xB = 4. b) Xác định tọa độ điểm M  (P) biết đường thẳng tiếp xúc với (P) tại M song song với đường thẳng AB. Bài 4. Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 1. a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. b) Tìm giá trị của m để tam giác OAB có diện tích bằng 3. Bài 5. Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 (m là tham số). 1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình).. Bài 6. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Bài 7. Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. 4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt). Bài 8. Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P). 1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( 2 ; -4) có thuộc (P) không ? 2) Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P). 1  x2 Bài 9. Cho hàm số y = 2 . 1) Vẽ đồ thị của hàm số. 2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt là 1 và -2. Viết phương trình đường thẳng AB. 3) Đường thẳng y = x + m – 2 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là hoành độ hai giao điểm ấy. Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22. Bài 10. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2  1 . 1  x2 Bài 11. Cho hàm số y = f(x) = 2 . 1 1) Với giá trị nào của x hàm số trên nhận các giá trị : 0 ; -8 ; - 9 ; 2..

(25) 2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là -2 và 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B. 3 2 x Bài 12. Cho hàm số y = f(x) = 2 . 2 3 ), f( 3 ).. 1) Hãy tính f(2), f(-3), f( 1 3  3 ;    1; 2  2; 3  2;  6   4  có thuộc đồ thị hàm số không ? 2    2) Các điểm A ,B ,C ,D Bài 13. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*). 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua: a) A(-1; 3) ; b) B( 2 ; -5 2 ) ; c) C(2 ; -1). 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (*) cắt đồ thị của hàm số y = 2x – 1 tại điểm nằm trong góc vuông phần tư thứ IV. Bài 14. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*). 1   ; 5 2;  1 1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: a) A(-1 ; 3) ; b) B ; c) C  2  . 2) Thay m = 0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị của hàm số y = x – 1. Bài 15. Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003). 2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0. 1 2 x 3) Tiếp xúc với parabol y = - 4 . Bài 16. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Biết rằng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đường thẳng y = -2x + 2003. 1) Tìm a và b. 1  x2 2) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của (d) và Parabol y = 2 . Bài 17. Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2(a – 1)x + 5 – 2a (a là tham số). 1) Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P). 2) Chứng minh rằng với mọi a (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 2 2 3) Giả sử x1 và x 2 là hoành độ các giao điểm của (D) và (P). Tìm a để x1  x 2 6 .. . . . . 1 Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m  2 . Hãy xác định m. Bài 18. trong mỗi trường hơp sau : a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 ) b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác OAB cân..

(26) Chủ đề 5. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago ABC vuông tại A  AB2  AC 2 BC2 2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 1 1 1  2 2 AB AC 2 4) AH Kết quả: a 3 h ; 2 -Với tam giác đều cạnh là a, ta có: 3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn   Đặt ACB  ; ABC  khi đó:. a2 3 S 4. AB AH AC HC AB AH AC HC  ; cos   ; tg   ; cot g   BC AC BC AC AC HC AB AH b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC Kết quả suy ra: 1) sin  cos; cos sin; tg cotg; cot g tg sin  cos 2) 0  sin   1; 0  cos <1; tg  ; cot g  cos sin 1 1 3) sin 2   cos 2 1; tg.cot g 1; 1  cot g; 1  tg 2 sin  cos 2 4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó: 1 a 2 b 2  c2  2bc.cosA; SABC  bcsin A 2 B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Cho tam giác ABC có AB > AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: BC2 2 2 2 a) AB  AC 2AM  2 b) AB2  AC 2 2BC.MH VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm. a) Chứng minh AC vuông góc với BD. b) Tính diện tích hình thang.  VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC =700. sin  .

(27) C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI. 2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F. 1 1 1   2 2 2 AF a Chứng minh: AE 0 3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a;  BAC = 2  ;   45 . Kẻ các đường cao AE, BF. a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc  . b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc  và 2 , các cạnh của tam giác ABF, BFC. c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau: 2tg 1) sin 2 2sin cos; 2) cos2=cos 2  sin 2 ; 3) tg2  1  tg 2 ------------------------------------------------------------------. Chủ đề 6. §6. CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác bằng nhau  A  '; B  B';  C  C'  A ABC A 'B'C'   AB A 'B'; BC B'C'; AC A 'C' a) Khái niệm: b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g. c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn. d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau. 2.Chứng minh hai góc bằng nhau -Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, … -Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh. -Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh. -Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, …) 3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -Dùng đoạn thẳng trung gian. -Dùng hai tam giác bằng nhau. -Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, … -Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một đường tròn, … -Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, ….

(28) 4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song -Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, … -Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba. -Áp dụng định lý đảo của định lý Talet. -Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác. -Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn. 5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc -Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác. -Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. -Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. -Đường kính đi qua trung điểm của dây. -Phân giác của hai góc kề bù nhau. 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng -Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng. -Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, … -Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A, B, C thẳng hàng. -Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên. -Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B. 7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy -Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác. -Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó. -Dùng định lý đảo của định lý Talet ***********************************************. Chủ đề 7. §8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác đồng dạng  A  '; B  B';  C  C'  A  ABC A 'B'C' khi  AB AC BC     A'B' A 'C' B'C' -Khái niệm: -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g. -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông… *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, … Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD.

(29) -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB. -Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba. Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba. Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm với đường tròn. *************************************************** Chủ đề 8 §10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh - Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. - Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau. - Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau. - Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau. - Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó M AB  CD; N AD  BC ) - Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó P AC  BD ) - Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; … Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”.

(30) Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N ,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải. A. N. 1 P. E 1 2. F. O. H B. D. 1 ( 2 (. -. M. C. 1. Xét tứ giác CEHD ta có:.  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)  0 CDH. = 90 ( Vì AD là đường cao).   => CEH  CDH = 1800 . . Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp. 2. Theo giả thiết:.  BE là đường cao => BE  AC => BEC = 900. . CF là đường cao => CF  AB => BFC = 900. Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 3) Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:.   AEH  ADC = 900 ; Â là góc chung. AE AH  AD AC => AE.AC = AH.AD. =>  AEH  ADC =>    * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC  ADC = 900 ; C là góc chung BE BC  =>  BEC  ADC => AD AC => AD.BC = BE.AC.  1 A  1  C ABC 4. Ta có. ( vì cùng phụ với góc. ).  2 A  1 C ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) C1  C  2 => => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB  HM =>  CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. . . . => C1  E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF ) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp. 1 E  2   C ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD ).

(31) 1 E  2   E => EB là tia phân giác của góc FED .. . Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chứng minh AC + BD = CD..  2. Chứng minh COD = 900.. AB2 3. Chứng minh AC. BD = 4 . 4. Chứng minh OC // BM 5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 6. Chứng minh MN  AB. 7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: 1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:. CA  CM  DB  DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD. 2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM ; OD là tia phân giác của góc.    BOM . Mà AOM và BOM là hai góc kề bù =>  0 COD = 90 .. . 3. Theo trên COD = 900 nên  COD vuông tại O có OM  CD ( OM là tiếp tuyến ). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có : OM2 = CM. DM, AB 2 Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = 4 .. . 4. Theo trên COD = 900 nên OC  OD (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM  OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD). 5. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp  COD đường kính CD có IO là bán kính. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB  IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD.. CN CM CN AC   BN DM BN BD 6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra => MN // BD mà BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất.

(32) khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 1 3. Chứng minh ED = 2 BC.. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có:.  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)  0 CDH. = 90 ( Vì AD là đường cao).   => CEH  CDH = 1800   Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp..  2. Theo giả thiết : BE là đường cao => BE  AC => BEA = 900. . AD là đường cao => AD  BC => BDA = 900. Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung.  tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 900 . 1 Vậy  BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 BC.. 4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp  AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE =>. 1 A  1  AOE cân tại O => E. (1).. 1   Theo trên DE = 2 BC =>  DBE cân tại D => E 3  B1 (2).     Mà B1  A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E1  E 3 0 0 1  E  2 E  2  E 3        E . Mà E1  E 2 BEA 90  E 2  E 3 90  OED. => DE  OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho  OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2.Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm..

(33) Lời giải: 1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B..  Do đó BI  BK hay IBK = 900 . . Tương tự ta cũng có ICK = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.   2. Ta có C1 C 2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH).  2 C I1 . I1 = 900  ICO.  (2) ( vì IHC = 900 ). (3) ( vì  OIC cân tại O). . . Từ (1), (2) , (3)  C1  ICO = 900 hay AC  OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. 2 2 AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20  12 = 16 ( cm) CH 2 12 2  CH2 = AH.OH => OH = AH 16 = 9 (cm) 2 2 2 2 OC = OH  HC  9  12  225 = 15 (cm). Bài 5. Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d d. P. A. K. D N. O. H. I. M. C B. Lời giải: 1. (HS tự làm). 2. Vì K là trung điểm NP nên OK  NP ( quan hệ đường kính. . . . và dây cung) => OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900. Như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực của AB => OM  AB tại I .. . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên  OAM vuông tại A có AI là đường cao. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2. 4. Ta có OB  MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi..

(34) 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH  AB; cũng theo trên OM  AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài 6 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 3) Chứng minh BAF là tam giác cân. 4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Lời giải:.  1. Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )  => KMF = 900 (vì là hai góc kề bù).  AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )  => KEF = 900 (vì là hai góc kề bù).     => KMF  KEF = 1800 . Mà KMF và KEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp. 2. Ta có IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông tại A có AM  IB ( theo trên). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí do ……) => ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE  AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2). Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B . 4. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3) Từ BE  AF => AF  HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường). 5. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân. AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7) Tam giác ABI vuông tại A có ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Bài 7. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A. Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E. Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F..

(35) 1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật. 2. BEFC là tứ giác nội tiếp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. A E 2. B. )1. I. 1. 2. O1. 1(. F. 1. H. O2. C. Lời giải:. 0. 1. Ta có : BEH = 90 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => AEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => AFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông tại A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông). 2. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) . Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và (O2) => B1 = H1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE + EFC = 1800 (vì là hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC và EFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp. 3. Xét hai tam giác AEF và ACB ta có A = 900 là góc chung; AFE = ABC ( theo Chứng minh trên) AE AF  => AEF ACB => AC AB => AE. AB = AF. AC.. * HD cách 2: Tam giác AHB vuông tại H có HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông tại H có HF  AC => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) và (**) => AE. AB = AF. AC 4. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân tại I => E1 = H1 . O1EH cân tại O1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => E2 = H2. => E1 + E2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF . Chứng minh tương tự ta cũng có O2F  EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn . Bài 8 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K). 1.Chứng minh EC = MN. 2.Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K). 3.Tính MN. 4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn.

(36) Lời giải: E N 3. H M. 2. 1. 1 1 2. A. I. C. 1. O. K. B. 1. Ta có: BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đường. tròn tâm K) => ENC = 900 (vì là hai góc kề bù). (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật ) 2. Theo giả thiết EC AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN). Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân tại K => B1 = N1 (5) Từ (4) và (5) => N1 = N3 mà N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN  KN tại N => MN là tiếp tuyến của (K) tại N. Chứng minh tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M, Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K). 3. Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => AEB vuông tại A có EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) =  .OA2 =  252 = 625  ; S(I) =  . IA2 =  .52 = 25  ; S(k) =  .KB2 =  . 202 = 400  . 1 Ta có diện tích phần hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn là S = 2 ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 1 S = 2 ( 625  - 25  - 400  ) = 2 .200  = 100  314 (cm2). Bài 9 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. 1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp . 2.Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE..

(37) Lời giải:. 1. Ta có CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => CDB = 900 như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. ABCD là tứ giác nội tiếp => D1= C3( nội tiếp cùng chắn cung AB).   D = C => SM EM => C = C (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng 1. 3. 2. 3. nhau) => CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Xét CMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy.   4. Theo trên Ta có SM EM => D = D => DM là tia phân giác của góc ADE.(1) 1. 2. 5. Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB = 900. Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => A2 = B2 . Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A1= B2( nội tiếp cùng chắn cung CD) => A1= A2 => AM là tia phân giác của góc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu 2 : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS     => CE CS  SM EM => SCM = ECM => CA là tia phân giác của góc SCB. Bài 10. Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh : 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. B. O E F. 1 1. D. G 1. S. A. C. 2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp . 3. AC // FG. 4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy. Lời giải: 1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

(38) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC là góc chung => DEB   CAB . 2. Theo trên DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 ( vì ABC vuông tại A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp . * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC = 900 như vậy F và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp. 3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC // FG. 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S. D. I 1 2. A. /. / O. M. 1. 2. B. 3. O'. 1. C. 1. Bài 11. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . 2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 3. Chứng minh BI // AD. 4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’). Lời giải: 1. BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BID = 900 (vì là hai góc kề bù); DE  AB tại M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp. 2. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE  AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đường kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường . 3. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD  DC; theo trên BI  DC => BI // AD. (1) 4. Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2). Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đường thẳng song song với AD mà thôi.) 5. I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của DE) =>MI = ME => MIE cân tại M => I1 = E1 ; O’IC cân tại O’ ( vì O’C và O’I cùng là bán kính ) => I3 = C1 mà C1 = E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mà I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI  O’I tại I => MI là tiếp tuyến của (O’). E. D 1. A. M. G. C. O. O' 1 2. 1. E. 1. B. 3. F. Bài 12. Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’)..

(39) DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác MDGC nội tiếp . 2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn 3. Tứ giác ADBE là hình thoi. 4. B, E, F thẳng hàng 5. DF, EG, AB đồng quy. 6. MF = 1/2 DE. 7. MF là tiếp tuyến của (O’). Lời giải: 1. BGC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => CGD = 900 (vì là hai góc kề bù) Theo giả thiết DE  AB tại M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp 2. BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE  AB tại M) như vậy F và M cùng nhìn BD dưới một góc bằng 900 nên F và M cùng nằm trên đường tròn đường kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn . 3. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE  AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đường kính và dây cung)  Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường . 4. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD  DF ; theo trên tứ giác ADBE là hình thoi => BE // AD mà AD  DF nên suy ra BE  DF . Theo trên BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BF  DF mà qua B chỉ có một đường thẳng vuông góc với DF do đo B, E, F thẳng hàng. 5. Theo trên DF  BE; BM  DE mà DF và BM cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác BDE => EC cũng là đường cao => ECBD; theo trên CGBD => E,C,G thẳng hàng. Vậy DF, EG, AB đồng quy 6. Theo trên DF  BE => DEF vuông tại F có FM là trung tuyến (vì M là trung điểm của DE). 1 Suy ra MF = 2 DE ( vì trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). 7. (HD) theo trên MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cân tại M => D1 = F1 O’BF cân tại O’ ( vì O’B và O’F cùng là bán kính ) => F3 = B1 mà B1 = D1 (Cùng phụ với DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 . Mà F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF  O’F tại F => MF là tiếp tuyến của (O’).. PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1. Định nghĩa. Các hệ thức dạng a > b (hoặc a < b, a  b, a b ) là một bất đẳng thức. 2. Tính chất : 2.1. Cộng hai vế của bất đẳng thức vời cùng một số a b   a c bc c tùy ý  2.2. Nhân hai vế của bất đẳng thức vời cùng một số. a b  a b    a.c  b.c   a.c  b.c c  0 c  0.

(40) a b   a c b  c  2.3. Tính chất bắc cầu. . 2.4. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với các bất đẳng thức đã cho. a b   a c bd c  d Chú ý : Không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều. 2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. a b   a  cb d c  d 2.6. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm. a  b 0    a.c  b.d c  d 0  2.7. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức : a  b  0  a n  bn ; a  b  a n  b n với n lẻ ; a  b  a n  b n với n chẵn. 3. Các hằng bất đẳng thức. 2 2 Ngoài các hằng bất đẳng thức a 0 ;  a 0 với mọi a, cần nhớ thêm các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối. a 0 . Xảy ra đẳng thức khi a = 0. a a . Xảy ra đẳng thức khi a  0. a  b  a  b . Xảy ra đẳng thức khi a.b 0 . a  b  a  b . Xảy ra đẳng thức khi a.b  0 và a  b . Cũng cần nhớ thêm một số hằng đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như một bổ đề, chẳng hạn. + Bất đẳng thức chauchy : a 2  b 2 2ab . Xảy ra đẳng thức khi a = b ; a  b 2 ab (với a 0 , b 0 ). Xảy ra đẳng thức khi a = b ; 2.  a b 2   ab a  b  4ab   2  hay ; 1 1 4   a b a  b (với a  0 , b  0 ) ; a b  2 b a (với a  0 , b  0 ) ; + Bất đẳng thức bunhiacopxki :  a 2  b2   x 2  y2   ax  by  2 PHẦN II.

(41) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 2 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M  0 với M Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : 2 2 2 a) x + y + z  xy+ yz + zx 2 2 2 b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz 2 2 2 c) x + y + z +3  2 (x + y + z) Giải: 1 2 2 2 a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = 2 .2 .( x + y + z - xy – yz – zx) 1 2 2 2 = 2 ( x  y )  ( x  z )  ( y  z ) 0 đúng với mọi x;y;z R Vì (x - y)2  0 với x ; y Dấu bằng xảy ra khi x = y (x - z)2  0 với x ; z Dấu bằng xảy ra khi x = z (y - z)2  0 với  z; y Dấu bằng xảy ra khi z = y 2 2 2 Vậy x + y + z  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z 2. 2. 2. . . 2. 2. 2. 2. 2. 2. b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz 2 = ( x – y + z) 0 đúng với mọi x ; y ; z R 2 2 2 Vậy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R Dấu bằng xảy ra khi x + y = z 2 2 2 2 2 2 c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x + y + z ) = x - 2x + 1 + y - 2y +1 + z - 2z +1 2 2 2 = (x - 1) + (y - 1) +(z - 1)  0. Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = 1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : 2. a2  b2  a  b    2  2  ; a). a2  b2  c2  a  b  c    3 3  . 2. b) c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a) Ta xét hiệu :. a2  b2  a  b    2  2 . . . 2. 2 a2  b2 a 2  2ab  b 2 1 1  a  b  2 0  2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab 4 4 = =4 =4. . . 2. a2  b2  a  b    2  2  . Dấu bằng xảy ra khi a = b Vậy. b)Ta xét hiệu 2. a2  b2  c2  a  b  c  1    a  b  2   b  c  2   c  a  2 0 3 3   =9 .. . a2  b2  c2  a  b  c    3 3   Vậy. . 2.

(42) Dấu bằng xảy ra khi a = b =c 2. a12  a 22  ....  a n2  a1  a 2  ....  a n    n n   c) Tổng quát Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa. Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B 2 2 2 Bước 2:Biến đổi H=(C+D) hoặc H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A  B 2 2 2 2 Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m + n + p + q +1  m(n + p + q + 1) Giải:  m2   m2   m2   m2     mn  n 2     mp  p 2     mq  q 2     m  1 0  4   4   4   4  2. 2. 2. 2. m  m  m  m     n     p     q     1 0 2  2  2  2  (luôn đúng) m  2  n 0 m  m n  2   p 0  2 m p  m  2   q 0  m 2 q   m 2 m 2  1  0    2 m  2    n  p q 1 Dấu bằng xảy ra khi. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a 4 +b4 + c 4 ≥abc (a+ b+c ) Giải: Ta có : a 4 +b4 + c 4 ≥abc (a+ b+c ) , ∀ a , b , c> 0 4. 4. 4. 2. 2. 2. ⇔ a + b + c − a bc − b ac − c ab ≥ 0 4 4 4 2 2 2 ⇔ 2 a +2 b +2 c − 2 a bc − 2b ac − 2 c ab ≥ 0 2 2 2 ⇔ ( a2 −b 2 ) + 2a 2 b 2+ ( b2 − c 2 ) +2 b2 c2 + ( c2 −a 2 ) + 2a 2 c 2 2 2 2 −2 a bc −2 b ac −2 c ab ≥ 0 2 2 2 ⇔ ( a2 − b2 ) + ( b 2 − c 2) + ( c 2 − a2 ) +(a2 b 2+ b2 c 2 −2 b2 ac)+(b2 c 2+ c 2 a2 −2 c 2 ab) +( a2 b 2+ c 2 a 2 −2 a 2 ab) ≥0 2 2 2 ⇔ ( a2 − b2 ) + ( b 2 − c 2) + ( c 2 − a2 ) + ( ab − bc )2 + ( bc −ac )2 + ( ab −ac )2 ≥ 0. Đúng với mọi a, b, c. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Nếu A < B ⇔ C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B . Chú ý các hằng đẳng thức sau:.  A  B  2  A 2  2 AB  B 2  A  B  C  2  A 2  B 2  C 2  2 AB  2 AC  2 BC  A  B  3  A3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3 Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng b2 a  ab 4 a) 2 2 b) a  b  1 ab  a  b 2.

(43) 2 2 2 2 2 c) a  b  c  d  e a b  c  d  e . Giải: b2 a  ab 2  4a 2  b 2 4ab  4a 2  4a  b 2 0   2a  b  0 4 a) b2 a2  ab 4 (BĐT này luôn đúng). Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) 2. 2 2 a 2  b 2  1 ab  a  b  2(a  b  1   2(ab  a  b). b).  a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1 0  (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2 0 Bất đẳng thức cuối đúng. 2 2 Vậy a  b  1 ab  a  b . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c) a  b  c  d  e a b  c  d  e   4 a  b  c  d  e  4a b  c  d  e . .  .  .  . . 2 2 2 2 2 2 2 2  a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ac  4c 0 2 2 2 2   a  2b    a  2c    a  2d    a  2c  0. Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh 10 10 2 2 8 8 4 4 Ví dụ 2: Chứng minh rằng:  a  b  a  b   a  b  a  b  Giải:. a. 10. .  . .  b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4. .  a12  a10 b 2  a 2 b10  b12 a12  a 8 b 4  a 4 b 8  b12 8 2 2 2 2 8 2 2  a b a  b  a b b  a 0  a2b2(a2-b2)(a6-b6)  0  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0. . . . . Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x  y. x2  y2 Chứng minh x  y  2 2. x2  y2 Giải: x  y  2 2 vì :x  y nên x- y  0  x2+y2  2 2 ( x-y)  x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y 0  x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2 0  x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2  (x-y- 2 )2  0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 2 2 2 a/ P(x,y)= 9 x y  y  6 xy  2 y  1 0 x, y  R b/. a2  b2  c2  a  b  c. (gợi ý :bình phương 2 vế) x. y.z 1  1 1 1    xyz  x y z. c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: Chứng minh rằng : có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1 Giải: Xét (x - 1)(y - 1)(z -1 ) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   )  0     = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( x y z )= x + y + z - ( x y z (vì x y z <. x+y+z theo gt)  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương..

(44) Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 a b c Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 1< a+b + b+c + a+ c <2 Giải:. 1 1 a a Ta có : a+b <a+b +c ⇒ a+b > a+b+ c ⇒ a+b > a+b+ c (1) b. b. c. c. Tương tự ta có : b+c > a+ b+c (2) , a+c > a+ b+c (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : a b c + + >1 (*) a+b b+c a+ c a a+c Ta có : a< a+b ⇒ a+b < a+ b+c (4) b a+b Tương tự : b+c < a+ b+c (5) ,. c c +b < (6) c+ a a+ b+c. Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : a b c + + <2 a+b b+c a+c. (**). a b c Từ (*) và (**) , ta được : 1< a+b + b+c + a+ c <2 (đpcm) Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: 2 2 a) x  y 2 xy. b). x 2  y 2  xy. dấu( = ) khi x = y = 0. 2. c)  x  y  4 xy a b  2 d) b a. Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)  8abc 2 Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:  x  y  4 xy.  a  b  2 4ab ;  b  c  2 4bc ;  c  a  2 4ac  a  b  2  b  c  2  c  a  2  64a 2 b 2 c 2 8abc  2  (a+b)(b+c)(c+a) 8abc. Tacó . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a , b ≥ 0 , ta có: a+b ≥ 2 √ ab . Dấu “=” xảy ra khi a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1+a2 +. ..+a n ≥ n √n a1 a2 . . an a1+ a2 +.. .+a n n ⇔ a1 a 2 . . an ≤ n Dấu “=” xảy ra khi a1=a2=. ..=an. (. ). Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm. Ví dụ 1 : Giải phương trình :. 2x 4x 2x 3 + + = x x x x 4 + 1 2 +1 2 + 4 2.

(45) ¿ a=2 x x Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt b=4 , a , b>0 ¿{ ¿ a b 1 3 Khi đó phương trình có dạng : b+1 + a+1 + a+b = 2. Vế trái của phương trình:  a   b   1   a  b 1   a  b  1   a  b 1    1    1    1  3       3  b 1   a 1   a  b   b 1   a 1   a  b  1 1  1 1   1  1  a  b  c         3   b  1   a  1   a  b     3  b 1 a 1 a  b   b 1 a 1 a  b  1 3 3 3 3 √ ( a+1 )( b +1 )( a+b ) . 3 − 3= 2 2 √ ( a+1 ) ( b+1 ) ( a+ b ). Vậy phương trình tương đương với :. x x a+1=b+1=a+b ⇔ a=b=1 ⇔2 =4 =1⇔ x =0 .. x. y. z. Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = x +1 + y +1 + z +1 1. 1. 1. Giải : P = 3- ( x +1 + y +1 + z +1 ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì 1 1 1   3 3 a b c 1 1 1 9 Suy ra Q = x +1 + y +1 + z +1 4 3 Vậy max P = 4 .khi x = y = z =. 1 1 1 1 9  1 1 1   a  b  c      9     abc a b c a b c a b c 9 9 3 ⇒ -Q − 4 nên P = 3 – Q 3- 4 = 4 1 . 3 1 1 1 a+ b+c + 2 + 2 ≤ Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: 2 a + bc b + ac c +ab 2 abc. a  b  c 3 3 abc . Ví dụ 3:. Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 2 1 1 1 1 ≤ ≤ + a ++ bc a √ bc 2 ab ac 2 1 1 1 1  2 1 1 1 1       2      2 b  ac b ac 2  bc ab  c  ab c ab 2  ac bc  2 2 2 a b c  2  2  2  a  bc b  ac c  ab 2abc. a2 ++ bc ≥ 2 a √ bc ⇒. Tương tự :. (. 2. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.. ). a. b. c. Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : b+c − a + c+ a −b + a+b − c ≥ 3 Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc + + ≥3 3 (1) b+c − a c+ a −b a+b − c (b+ c − a)(c +a − b)(a+b − c). Cũng theo bất đẳng thức Côsi :. √. 1. √(b+ c − a)(c +a −b) ≤ 2 (b+ c − a+c +a − b)=c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được. (*).

(46) (b+ c − a)(c+ a −b)(a+b −c )≤ abc abc → ≥1(3) ( b+c −a)(c + a− b)(a+ b− c ). Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều . ¿ 0< a≤ b ≤ c 2 x y z ( a+ c ) ( x+ y + z )2 Ví dụ 5: Cho 0< x , y , z . Chứng minh rằng: ( + by+cz ) + + ≤ a b c 4 ac ¿{ ¿ Giải: Đặt f (x)=x 2 −( a+c ) x +ac=0 có 2 nghiệm a,c Mà: a ≤ b ≤ c ⇒ f (b)≤0 ⇔ b2 −( a+c )b+ ac ≤ 0 ac y ⇔ b+ ≤ a+ c ⇔ yb+ac ≤ ( a+ c ) y b b x y z ⇒ xa +ac +(yb+ac )+(zc+ ac )≤ ( a+ c ) x + ( a+ c ) y +( a+c )z a b c x y z ⇒ xa+ yb+ zc+ac + + ≤ ( a+ c )( x + y + z ) a b c. (. (. ). ). (. ). Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x y z + + ≤ ( a+c ) ( x + y + z ) ( a b c) √ x y z ⇔ 4 ( xa +yb+ zc ) ac ( + + ) ≤ ( a+c ) ( x + y + z ) a b c x y z ( a+c ) ( x + y + z ) (đpcm) ⇔ ( xa+ yb+ zc ) ac ( + + )≤ a b c 4 ac ⇒ 2 ( xa + yb+zc ) ac. 2. 2. 2. 2. Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức : Cho 2n số thực ( n ≥2 ): a1 , a2 ,. . . an ,b 1 , b2 , .. . , bn . Ta luôn có: 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. a1 b1 +a 2 b2 +. ..+ an bn ¿ ≤(a1 +a2 +. ..+ an )(b1 +b2 +. ..+ bn ) ¿ a1 a2 an Dấu “=” xảy ra khi ⇔ b = b =. .. .= b 1 2 n b1 b 2 bn Hay a = a =.. ..= a (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) 1 2 n. Chứng minh: Đặt. a= √ a 21+ a22 +.. .+a 2n. {. b= √ b 21+ b22 +.. .+b2n.  Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.  Nếu a,b > 0: a a. b b. Đặt: α i= i , β i= i ( i=1,2, .. . n ) , Thế thì: α 21+α 22 +. ..+ α2n=β 21 + β 22+.. .+ β 2n 1. 2. 2. Mặt khác: |α i β i|≤ 2 ( αi + β i ) 1. 1. |α 1 β 1|+|α 2 β 2|+. ..+|α n β n|≤ 2 (α 12+ α 22 +.. . .+ α 2n)+ 2 (β 21 + β 22+ .. .+ β 2n) ≤1 Suy ra: ⇒ |a1 b1|+|a2 b2|+. ..+|an bn|≤ a. b Lại có: |a1 b1 +a 2 b 2+. . .+ an bn|≤|a1 b1|+|a2 b2|+. ..+|an bn| 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra: a1 b1 +a 2 b2 +. ..+ an bn ¿ ≤(a1 +a2 +. ..+ an )(b1 +b2 +. ..+ bn ). ¿ a1 a2 an α i=β i ( ∀ i=1,2,. . . ,n ) Dấu”=” xảy ra ⇔ α β . .. . α β cùng dáu ⇔ b = b =. .. .= b 1 2 n 1 1 n n. {.

(47) Ví dụ 1 :. 1 8 8 Chứng minh rằng: ∀ x ∈ R , ta có: sin x+ cos x ≥ 8. Giải: Ta có: sin2 x+cos 2 x =1, ∀ x ∈ R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: 1  sin 2 x.1  cos 2 x.1  sin 4 x  cos 4 x 12  12. .  . . 1 1 sin 4 x  cos 4 x   sin 4 x  cos 4 x 2 4. . . . . 2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa: 2 1 1 1  sin 4 x.1  cos 4 x.1   sin 8 x  cos8 x 12 12  sin 4 x  cos 4 x  4 4 8. . . . . .  . . Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của: P=√ 1+ tan A . tan B+ √ 1+ tan B . tan C + √ 1+ tan C . tan A Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (ai , bi , .. . ,c i )(i=1,2,. . .. , m) Thế thì: a1 a2 .. . am +b 1 b2 .. . bm +. ..+ c1 c 2 . .. c m ¿2 ≤(am1 + bm1 +. ..+c m1 )(a m2 + bm2 +. ..+ cm2 )(amm +bmm +. . .+ c mm) ¿ ⇔ ∃ Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì ∃ t i sao cho: a=t i ai , b=t i bi , .. . ,c =t i c i , Hay a1 :b1 :.. .: c1 =a2 :b2 : .. .: c2 =an :bn :.. . c n a1 a 2 an a21 +a22 +. ..+ a2n=3 + +. .. .+ < √2 Ví dụ 1: Cho . Chứng minh rằng: 2 3 n+ 1 n∈ Z , n ≥2. |. {. Giải: ∀ k∈N. ❑. |. 1 1 1 < = 2 1 1 1 k k2 − k− k+ 4 2 2. ta có:. ( )( ). 1 1 1   2 1 1 k k k 2 2. .    1 1 1 1  1 1   1 1  1  1 1 2  2  2  ...  2      ...        5  5 7  1 1 3 1 3 2 3 n 3  n n  2  2 2 2 n  2 2 2 2 . Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:. |. a1 a 2 a 1 1 1 2 + +. .. .+ n ≤ √ a21 +a22 +. ..+ a2n 2 + 2 +. ..+ 2 < √ 3 < √ 2 (đpcm) 2 3 n+ 1 3 2 3 n. |. √. Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:. √. (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2 2 2 2 2 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd  a  b . c  d.  a  c  2   b  d  2 a 2  b 2  2 ac  bd   c 2  d 2. mà. . .  a2  b2  2 a2  b2 . c2  d 2  c2  d 2 . (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2 2. 2. 2. Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a  b  c ab  bc  ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski 2 2 2 2 2 2 2 Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 1  1  1 (a  b  c ) 1.a  1.b  1.c .

(48) . . 2 2 2 2 2 2  3 a  b  c a  b  c  2 ab  bc  ac   a 2  b 2  c 2 ab  bc  ac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Phương pháp 6: Kiến thức: ¿ a1 ≤ a2 ≤ . .. .. ≤ an a) Nếu b1 ≤ b2 ≤ .. . .. ≤ bn ¿{ ¿. Bất đẳng thức Trê- bư-sép. thì. a1 +a2 +. ..+ an b 1+ b2+ .. ..+ bn a1 b 1+ a2 b2 +.. ..+ an bn . ≤ . n n n. a1=a2=. .. .=an ¿ b1=b2=. .. .=bn Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a1 ≤ a2 ≤ . .. .. ≤ an b)Nếu b1 ≥ b2 ≥ . .. .. ≥ bn thì ¿{ ¿ a1 +a2 +. ..+ an b 1+ b2+ .. ..+ bn a1 b 1+ a2 b2 +.. . .+ an bn . ≥ n n n a1=a2=. .. .=an ¿ b1=b2=. .. .=bn Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi ¿ ¿ ¿ ¿ Ví dụ 1: Cho Δ ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và sin A .sin 2 a+sin B .sin 2 B +sin C . sin2 C 2 S = . sin A +sin B+sin C 3 S là diện tích tan giác. chứng minh rằng Δ ABC là tam giác đều. π Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư 0< A ≤ B ≤ C< 2 . Suy ra: ¿ sin A ≤sin B ≤sin C sin 2 a ≤sin 2 B ≤ sin 2C ¿{ ¿. Áp dụng BĐT trebusep ta được:. ( sin A+sin B+sin C )( sin 2 A +sin 2 B+ sin2 C ) ≥ 3 ( sin A . sin 2 A+ sin B . sin 2 B+sin C . sin 2C ) sin A . sin 2 A+ sin B . sin2 B+sin C . sin 2C 1 ⇔ ≤ (sin 2 A+ sin2 B+sin 2C ) sin A+sin B+sin C 3 ⇔ sin A=sin B=sin C ¿ sin 2 A=sin 2 B=sin 2C Dấu ‘=’ xảy ra ¿ ⇔ Δ ABCdêu ¿ ¿ ¿. Mặt khác:.

(49) sin 2 A+ sin 2 B+sin 2 C=2sin (A + B). cos( A − B)+sin 2 C ¿ 2 sinC [ cos( A − B)+cos C ] =2 sin C [ cos (A − B)−cos ( A+ B) ] ¿ 2sin C . 2 sin A . sin B=4 sin A sin B sin C ¿(2 R sin A )(2 R sin B). sin C=a . b. sin C=2 S (2). Thay (2) vào (1) ta có. sin A .sin 2 a+sin B .sin 2 B +sin C . sin2 C 2 S ≤ . sin A +sin B+sin C 3 Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ Δ ABC đều.. Ví dụ 2(HS tự giải): 1 1 1   9 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: a b c Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR:x + 2y + z 4(1  x)(1  y)(1  z ). a/ b/. a b c 3    c/ Cho a > 0 , b > 0, c > 0. CMR: b  c c  a a  b 2 1  2 x  y  1 d) Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn ; CMR : x+y 5 2 2 2 Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a  b  c 1 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 1    b c a c a b 2. Giải: Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c  Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a2..  a 2 b 2 c 2  a  b  c  b  c a  c a  b. a b c a2  b2  c2  a b c  1 3 1  b2.  c2.  .    . bc a c a b 3  b c a c a b = 3 2 = 2. a3 b3 c3 1    Vậy b  c a  c a  b 2. 1. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 3 Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1 .Chứng minh rằng : a 2  b 2  c 2  d 2  a  b  c   b c  d   d  c  a  10 2 2 Giải: Ta có a  b 2ab c 2  d 2 2cd 1 1 1 x  x 2) Do abcd =1 nên cd = ab (dùng 1 a 2  b 2  c 2 2( ab  cd ) 2(ab  ) 4 ab Ta có (1) Mặt khác: a b  c   b c  d   d  c  a  = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1   1   1   ab     ac     bc   2  2  2 ab   ac   bc  = 2 2 2 2 Vậy a  b  c  d  a b  c   b c  d   d  c  a  10. Phương pháp7 Kiến thức:. Bất đẳng thức Bernouli.

(50) ¿ 1≤ n ∈ Z thì ( 1+a )n ≥ 1+ na . Dấu ‘=’ xảy ra khi -1, ¿. a)Dạng nguyên thủy: Cho a a=0 ¿ n=1 và chỉ khi ¿ ¿ ¿ ¿. b) Dạng mở rộng: - Cho a > -1, α ≥ 1 thì ( 1+a )α ≥1+ na . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0. - cho a ≥ −1,0<α <1 thì ( 1+a )α ≤1+na . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi a=0 ¿ α=1 ¿ . ¿ ¿ ¿. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng ab + ba >1, ∀ a ,b >0 . Giải - Nếu a ≥ 1 hay b ≥ 1 thì BĐT luôn đúng - Nếu 0 < a,b < 1 Áp dụng BĐT Bernouli: b b b 1 a a  b a  1   1 a   1    ab  .      1 a  a a a b a  b a Chứng minh tương tự: b > a+ b . Suy ra ab + ba >1. Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng a5 +b5 +c 5 a+b+c ≥ 3 3. (. 5. ). . (1). Giải (1) ⇔. (. 3a 5 3b 5 3c 5 + + ≥3 a+ b+c a+b+ c a+b+ c. )(. ) (. ). Áp dụng BĐT Bernouli:. (. 5 ( b+c −2 a ) 3a 5 b +c − 2 a 5 = 1+ ≥1+ a+b+ c a+b+ c a+ b+c. ) (. ). (2). Chứng minh tương tự ta đuợc:. ( (. 5 ( c+ a− 2 b ) 3b 5 ≥ 1+ a+b+ c a+b +c 5 5 ( a+b −2 c ) 3c ≥ 1+ a+b+ c a+b +c. ) ). (3) (4). Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có. (. 3a 5 3b 5 3c 5 + + ≥ 3⇒ (đpcm) a+b+ c a+ b+c a+b+c. )(. )(. ). Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây: “Cho a1 , a2 ,. . . an >0 ; r ≥1 . Chứng minh rằng ar1 +ar2 +. .. .+arn a1+ a2 +. .. .+an r ≥ . n n Dấu ‘=’ ⇔ a1=a2 =.. ..=an .(chứng minh tương tự bài trên). Ví dụ 3: Cho 0 ≤ x , y , z ≤1 . Chứng minh rằng. (. ). (đpcm)..

(51) ( 2 x +2 y +2 z ) ( 2− x + 2− y +2− z ) ≤ 81 . 8 Giải Đặt a=2x , b=2 y , c=2 z ( 1≤ a , b , c ≤ 2 ) . 1 ≤ a≤ 2 ⇒ ( a −1 ) ( a −2 ) ≤ 0 2 ⇒ a 2 −3 a+ 2≤ 0 ⇒a+ ≤ 3(1) a. Chứng minh tương tự: 2 b+ ≤3(2) b 2 c + ≤ 3(3) c. Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được côsi. ( 1a + 1b + 1c ) 2√ ( a+ b+c ) 2( 1a + 1b + 1c ) 81 1 1 1 ⇒ ≥(a+b+ c) ( + + ) ⇒ (đpcm) 8 a b c. 9 ≥ ( a+b+ c )+ 2. Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này “ Cho n số x 1 , x 2 , .. . ., x n ∈ [ a , b ] , c>1 Ta luôn có: x1. x2. xn. − x1. − x2. ( c +c +. .. .+c )( c +c +. . ..+c. − xn. [ n ( c a+ c b ) ] ). 2. 4 c a+b. Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu Kiến thức: A>B và B>C thì A>C Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a > c + d , b >c + d. Chứng minh rằng + bc Giải:. ab > ad. a  c  d a  c  d  0    b  d  c  0  (a - c)(b - d) > cd Tacó : b  c  d  ab - ad - bc + cd > cd  ab > ad + bc (điều phải chứng minh). a 2  b2  c2 . 5 1 1 1 1    3 . Chứng minh a b c abc. Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn Giải: Ta có : ( a + b - c)2= a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)  0. 1   ac + bc - ab 2 ( a2 + b2 + c2) 5 1 1 1 1     ac + bc - ab 6  1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có a b c  abc. Ví dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d < 1 Chứng minh rằng (1- a)(1- b)( 1- c)(1- d) > 1- a - b - c -d Giải: Ta có (1- a).(1- b) = 1- a - b + ab Do a > 0 , b > 0 nên ab>0  (1- a)(1- b) > 1- a - b (1) Do c < 1 nên 1- c >0 ta có  (1- a).(1- b) (1- c) > 1-a-b-c  (1- a).(1- b) ( 1- c).(1- d) > (1- a - b - c) (1- d) =1-a - b - c - d + ad + bd + cd  (1- a)(1- b) ( 1- c)(1- d) > 1- a - b - c - d (Điều phải chứng minh).

(52) 3 3 3 2 2 2 Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng: 2a  2b  2c  3  a b  b c  c a Giải: 2 Do a < 1  a  1 và 2 2 2 2 2 2 Ta có 1  a .1  b   0  1 - b - a + a b > 0  1 + a b > a + b 2 3 2 3 mà 0< a,b <1  a > a , b > b 2 2 3 3 3 3 2 2 Từ (1) và (2)  1+ a b > a + b . Vậy a + b < 1+ a b b 3 + c 3 1  b 2 c ; c 3 + a 3  1  c 2 a Tương tự 3 3 3 2 2 2 Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a  2b  2c 3  a b  b c  c a 2 2 2 2 Ví dụ 5 Chứng minh rằng : Nếu a  b c  d 1998 thì ac+bd =1998 Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = a c + b d  2abcd  a d  b c - 2abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 2 2 2 ac  bd 1998 rõ ràng (ac+bd)2   ac  bd    ad  bc  1998  Ví dụ 6 (HS tự giải) : a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 2 1. 2 a 22  a32  ....  a 2003. c hứng minh rằng : a + b/ Cho a;b;c 0 thỏa mãn :a+b+c=1. . 1 2003. 1 1 1  1).(  1).(  1) 8 b c Chứng minh rằng: ( a. Phương pháp 9: Dùng tính chất của tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a a c 1  a – Nếu b thì b b  c a a a c 1  b – Nếu b thì b b  c. 2) Nếu b,d >0 thì từ a c a a c c     b d b bd d. ` Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 1. a b c d    2 a b c b c  d c d a d  a b. Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có a a ad 1  a b c a b c a b c d a a  Mặt khác : a  b  c a  b  c  d. (1) (2). Từ (1) và (2) ta có \ a a ad a b c d < a b c < a b c d. Tương tự ta có. (3).

(53) b b ba   a b c d b c  d a b c d c c bc   a b c d c d a a b c d d d d c   a b c d d a b a b c d. (4) (5) (6). Cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có a b c d    2 a b c b c  d c d a d  a b điều phải chứng minh a c a ab  cd c  2 2 d Ví dụ 2 : Cho: b < d và b,d > 0 .Chứng minh rằng b < b  d a c ab cd ab ab  cd cd c  2  2     b2 b2  d 2 d 2 d b d Giải: Từ b < d a ab  cd c  2 2 d Vậy b < b  d điều phải chứng minh 1. Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a b  tìm giá trị lớn nhất của c d a b a b a a b b      c cd d Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử : c d Từ : c d a 1 c vì a+b = c+d b a b  a/ Nếu :b 998 thì d 998  c d  999 a b 1 999   b/Nếu: b=998 thì a=1  c d = c d Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999 a b 1  Vậy giá trị lớn nhất của c d =999+ 999 khi a=d=1; c=b=999. Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2  ....  un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak  ak 1 Khi đó :S =  a1  a2    a2  a3   ....   an  an 1  a1  an1 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 ....un ak Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: u k = ak 1 a a1 a2 a . ..... n  1 Khi đó P = a2 a3 an 1 an 1. Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng.

(54) 1 1 1 1 3    ....   2 n 1 n  2 nn 4 1 1 1   Giải: Ta có n  k n  n 2n với k = 1,2,3,…,n-1 1 1 1 1 1 n 1   ...    ...    2n 2n 2n 2 n 2 Do đó: n  1 n  2 1 1 1 1   ....   2 n 1  1 2 3 n Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với n là số nguyên 1 2 2   2 k  1  k k  k 1 Giải: Ta có k 2 k. . . . . Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có 1 > 2  2  1. 1 2 3 2. . 2. . ……………… 1  2 n 1  n. . n. . Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có n. Ví dụ 3: Chứng minh rằng. 1. k k 1. 2. 1. 2. 1 1 1   ....   2 n 1  1 2 3 n. . n  Z. 1 1 1 1    2 Giải: Ta có k k  k  1 k  1 k. Cho k chạy từ 2 đến n ta có 1 1 1 2 2 2 1 1 1   32 2 3 ................. 1 1 1 1 1 1    2  2  ....  2  1 2 n n 1 n 2 3 n n. 1. k. 2. 2. Vậy k 1 Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải 1/Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có. .

(55) a 2  a (b  c)  2 b  b(a  c)  c 2  c ( a  b) . 0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b .  Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2 2 2 2/ Ta có a > b-c   a  a  (b  c) > 0 2 2 2 b > a-c   b  b  (c  a ) > 0 2 2 2 c > a-b   c  c  ( a  b)  0 Nhân vế các bất đẳng thức ta được. . 2. . 2. .  a 2b 2 c 2  a 2   b  c  b 2   c  a  c 2   a  b  2 2 2. 2. 2.  a b c   a  b  c b  c  a  c  a  b  abc   a  b  c . b  c  a . c  a  b . 2. . 2. Ví dụ2 (HS tự giải) 1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác 2 2 2 Chứng minh rằng ab  bc  ca  a  b  c  2(ab  bc  ca) 2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 2 2 2 Chứng minh rằng a  b  c  2abc  2 Phương pháp 12: Sử dụng hình học và tọa độ Ví dụ 1: Chứng minh rằng : √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab , ∀ a ≥b ≥ 0 và b ≥ c Giải v =¿( √ a − c , √ c) Trong mặt phẳng Oxy, chọn ⃗u=( √ c , √ b − c) ; ¿⃗. ⃗u . ⃗v =√ c (a − c)+ √ c (b − c) Thì |u⃗|=√ b , |⃗v|=√ a ; Hơn nữa: ⃗u . ⃗v =|u⃗|.|⃗v|. cos (⃗u , ⃗v )≤|u⃗|.|⃗v|⇒ √ c (a− c)+ √ c (b − c) ≤ √ ab ⇒ (ĐPCM) Ví dụ 2: n. Cho 2n số: x i ; y i ,i=1,2,. .. , n. thỏa mãn:. n. ∑ x i +∑ y i=1 . i=1. Chứng minh rằng:. i=1. n. ∑ √ x 2i + y 2i ≥ √22 i=1. Giải: Vẽ hình. y. MK. MN H. M 1. O Trong mặt phẳng tọa độ, xét: M 2 (x1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ;…; M n ( x 1+ …+ x n , y 1 +…+ y n ). M 1( x1 , y 1) :. x x+y=1.

(56) ¿ M Giả thiết suy ra đường thẳng x + y = 1. Lúc đó: n∈ ¿ 2 2 2 2 2 2 OM1=√ x 1+ y 1 , M 1 M 2=√ x 2+ y 2 , M 2 M 3=√ x 3+ y 3 ,…,. Và OM1. +M1 M2. 2. 2. M n −1 M n =√ x n + y n 2 +…+ M n − 1 M n ≥ OMn ≥ OH= √ 2. +M2 M3. n. 2 ⇒ ∑ √ x 2i + yi2 ≥ √ ⇒ (ĐPCM) 2 i=1. Phương pháp 13:. Đổi biến số. a b c 3    Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng b  c c  a a  b 2 (1) yz x zx y x y z 2 Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= 2 ; b= ;c= 2 yz x zx y xy z 3    2x 2y 2z 2 ta có (1)  y z x z x y y x z x z y   1    1    1 3  )  (  )  (  ) 6 x x y y z z x z y z  ( x y y x z y z x  2;  2  2 x z Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( x y ; y z nên ta có. điều phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c. >. 1 1 1  2  2 9 a  2bc b  2ac c  2ab 2. 0. và. a+b+c. <1.. Chứng. minh. rằng. (1). 2 2 Giải: Đặt x = a  2bc ; y = b  2ac ; z = c  2ab . Ta có x  y  z  a  b  c   1 2. (1). . 2. 1 1 1   9 x y z. Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0. 1 1 1 1    3 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x  y  z 3. xyz , và: x y z 3. xyz 1 1 1  x  y  z . 1  1  1  9   9   x y z . Mà x+y+z < 1. Vậy x y z (đpcm) 1 xy  2 x  y  1 5 Ví dụ3: Cho x 0 , y 0 thỏa mãn CMR 3. Gợi ý: Đặt x u , thay vào tính S min Bài tập tự giải. y v.  2u-v =1 và S = x+y = u 2  v 2  v = 2u-1. 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0. 25a 16b c   8 CMR: b  c c  a a  b. 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc 1    b c c a a b 2. Phương pháp 14:. . Dùng tam thức bậc hai. Kiến thức : Cho f(x) = ax2 + bx + c. . 2. m  n  p   m  n  p.

(57) Định lí 1:. ∀x⇔ a>0 f(x) > 0, Δ <0 ¿{ ¿ f (x) ≥0, ∀ x ⇔ a> 0 Δ ≤0 ¿ f (x )< 0, ∀ x ⇔ a< 0 Δ< 0 ¿ f (x) ≤0, ∀ x ⇔ a< 0 Δ ≤0 ¿ ¿{ ¿. Định lí 2: Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x 1< α < x 2 ⇔ a . f ( α )< 0 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm : x 1< x 2 <α ⇔ a . f ( α ) >0 Δ> 0 S <α 2 ¿{{. Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm : α < x1 < x 2 ⇔ a . f ( α ) >0 Δ> 0 S >α 2 ¿{{. α < x1 < β < x 2 ¿ x 1<α < x 2 < β Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm ¿ ⇔ f ( α ) . f ( β )< 0 . ¿ ¿ 2 2 Ví dụ 1:Chứng minh rằng f  x, y  x  5 y  4 xy  2 x  6 y  3  0 2 2 Giải: Ta có (1)  x  2 x 2 y  1  5 y  6 y  3  0. (1) 2. 2 2 2   2 y  1  5 y 2  6 y  3 4 y  4 y  1  5 y  6 y  3   y  1  1  0 Vậy f  x, y   0 với mọi x, y 2 4 2 2 2 3 Ví dụ2: Chứng minh rằng: f  x, y  x y  2 x  2 . y  4 xy  x  4 xy. . . Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. .  1  y . 2. x 2 y 4  2 x 2  2 . y 2  4 xy  x 2  4 xy 3  0  ( y 2  1) 2 .x 2  4 y 1  y  x  4 y 2  0 2 Ta có  4 y. 2 2. . . 2.  4 y 2 y 2  1  16 y 2  0.

(58) 2. Vì a =  y  1  0 vậy f  x, y   0 (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0 2. 1 1 1 1  2  ....  2  2  2 n  N ; n  1 n n Ví dụ1: Chứng minh rằng : 1 2 1 1 1  2  2 (đúng). Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giải: Với n =2 ta có 4. (1). Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 Thật vậy khi n =k+1 thì (1)  Theo giả thiết quy nạp. 1 1 1 1 1  2  ....  2  2 2 2 1 2 k (k  1) k 1. 1 1 1 1 1 1 1  2  ....  2  2   2 2 2 2 k (k  1) k  k  1 k 1  1 2. 1 1 1 1 1  ....     2 2 2 (k  1) k  1  k  1 k  1 k 1 1 1   k ( k  2)  (k  1) 2 2 k  (k  1)  k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất. đẳng thức (1)được chứng minh n.  a b  a n  bn   2 Ví dụ2: Cho n  N và a+b> 0. Chứng minh rằng  2   (1). Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 Thật vậy với n = k+1 ta có  a b    2    (1). k 1. a k 1  b k 1 2 . k.  a b  a b a k 1  b k 1   . 2    2  2 k. k. k 1. (2) k. k. a  b a  b a  ab  a b  b k 1 a k 1  b k 1 .    Vế trái (2)  2 2 4 2 k 1 k 1 k 1 k k k 1 a b a  ab  a b  b  0 k k  a  b . a  b  0  2 4 (3). . . Ta chứng minh (3) b (+) Giả sử a  b và giả thiết cho a  -b  a  k. k k  a  b b. . a. k. .  b k . a  b  0.

(59) k. a. (+) Giả sử a < b và theo giả thiết k. k. - a<b. . . a  bk  a k  bk. .  b . a  b  0. Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) n n. a Ví dụ 3: Cho a ≥ −1 ,1 ≤ n∈ Ν . Chứng minh rằng : 1+a ¿ ≥1+ ¿ Giải n=1: bất đẳng thức luôn đúng k n=k ( k ∈ Ν ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 1+a ¿ ≥¿ 1+ k .a k +1 n= k+1 . Ta cần chứng minh: 1+a ¿ ≥ 1+(k +1). a. ¿ 1+a ¿k ≥(1+a).(1+k . a)≥ 1+(k +1)a+ k . a 2 ≥ 1+(k + 1)a Ta có: 1+a ¿k +1=(1+ a). ¿ ¿ ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 n n. a , ∀ n∈ Ν V ậy theo nguyên lý quy nạp: 1+a ¿ ≥1+ ¿. Ví dụ 4: Cho 1≤ n ∈ Ν. a1 , a2 , … , an ≥ 0. 1 thoả mãn a1 +a 2+ …+an ≤ 2 . Chứng minh. 1 rằng: (1− a1 )(1− a2 )…(1− an )≥ 2 1 Giải n=1: a1 ≤ 2 ⇒. 1 1− a1 ≥ ⇒ Bài toán đúng 2. 1 n=k ( k ∈ Ν ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1− a1 )(1− a2 ) …(1− a k )≥ 2 1 n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1− a1 )(1− a2 )…(1− a k+1) ≥ 2. Ta có: (1− a1 )(1− a2 )…(1− a k+1)=¿. (1− a1 )(1− a2 ) …(1− a k− 1)[1−(ak +a k+1)+ ak ak +1 ] 1 1 (1− a1 )(1− a2 )…(1− a k− 1)[1−( ak +a k+1)]≥ (Vì a1 +a 2+ …+a k− 1+(a k + ak +1) ≤ 2 ) 2 ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 1 Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1− a1 )(1− a2 )…(1− an )≥ 2 Ví dụ 5: Cho 1≤ n ∈ Ν , ai , bi ∈ R , i=1,2,. .. , n . Chứng minh rằng: a1 b1 +a 2 b2 + …+ an bn ¿2 ≤(a21 +a 22+ …+a2n)(b 21+ b22 +…+b 2n) ¿. Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k ( k ∈ Ν ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. a1 b1 +a 2 b2 + …+ ak b k ¿ ≤(a 1+ a2+ …+a k )(b1+ b2 +…+ bk ) ¿. n= k+1 . Ta cần chứng minh:. a1 b1 +a 2 b2 + …+ ak +1 b k+1 ¿2 ≤(a21 +a 22+ …+a2k +1)( b21+ b22 +…+ b2k+1 ) (1) ¿ 2 2 Thật vậy: VP (1)=(a1 +a2 +…+ a2k )(b21 +b 22+ …+b2k )+(a21 +…+ a2k ). b2 + 2 2 2 2 2 2 +a ( b1 +b2 +…+bk )+ak +1 . bk +1 (a1 b1 +a 2 b 2+ …+ak b k )+2 a1 b1 ak +1 b k+1 +2 a2 b2 ak+ 1 b k+1 +¿ 2 2 +…+2 a k b k ak+1 b k+1 +ak +1 b k+1 2 2 a1 b1 +a 2 b2 +…+ ak b k ¿2 +2 (a b +a b + …+a b ) a b +a k+1 . b k+1 1 1 2 2 k k k+1 k+1 ¿ a1 b1 +a 2 b2 + …+ ak +1 b k+1 ¿2 ¿. Vậy (1) được chứng minh.

(60) Ví dụ 6: Cho 1≤ n ∈ Ν , ai , bi ∈ R , i=1,2,. .. , n . Chứng minh rằng: a1 +a2 +…+ an 2 a 21+ a22 +…+ a2n ¿ ≤ n n ¿. Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng. a1 +a2 +…+ak 2 a21+a22 +…+a2k ¿ ≤ n=k ( k ∈ Ν ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k ¿ a1 +a2 +…+ ak+ 1 2 a21 +a22 +…+ a2k +1 ¿≤ n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1) k+1 k +1 ¿ a2+ a3 +…+ ak +1 Đặt: a= k k +1 ¿2 ¿ 1 a21+ a22 +…+ a2k+ 1 2 2 2 VP (1)= (a +k a +2 ka 1 a) ¿ ¿ k +1 1 k+1 1 ¿. Vậy (1) đựơc chứng minh. Ví dụ 7: Chứng minh rằng: ⇒ n n =4 ¿ Giải: n=2 n −1 n+1 ¿ =3 ¿ ¿. n −1. n+1 ¿. , ∀ n∈ Ζ , n≥ 2 n n> ¿. n −1. n+1 ¿ ⇒ nn >¿. n=k 2 : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là:. k +1 ¿k − 1 k k> ¿. k +1 ¿2 k +1 ¿ k +1 ¿2 ¿k −1 ¿ k −1 k+ 1¿ ¿ ¿ n= k+1:Ta c ó: 2 k +1 k +1 ¿ =¿ k +1 ¿ ≥ ¿ k +1 ¿2 k −2 ¿ kk ¿ ¿¿ 2 k−1 2 k +2 k ¿ (k +2 k) (vì k +1 ¿2=k 2+ 2 k +1> k 2 +2 k ) ¿ ¿ k k +2 ¿ k k +2 ¿ ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 k +1 ¿k +1> ¿ k k ¿ ⇒¿ n+1 ¿n −1 , ∀ n∈ Ζ , n≥ 2 Vậy n n> ¿ ❑ Ví dụ 8: Chứng minh rằng: |sin nx|≤ n|sin x|, ∀ n ∈ Ν , ∀ x ∈ R k+ 1. Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: |sin kx|≤ k|sin x| n= k+1 . Ta cần chứng minh: |sin( k +1) x|≤(k +1)|sin x| ¿. |a+ b|≤|a|+|b|, ∀ a , b∈ R Ta có: |sin x|,|cos x|≤1, ∀ x ∈ R ¿{ ¿ Nên: |sin( k +1) x|=|sin kx cos x +cos kx sin x|.

(61) |sin kx|.|cos x|+|cos kx|.|sin x| ¿( k +1)|sin x|. |sin kx|.+.|sin x|. k |sin x|.+ .|sin x|. ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1. Vậy: |sin nx|≤ n|sin x|, ∀ n ∈ Ν , ∀ x ∈ R + ❑. Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p  q” Muốn chứng minh p⇒ q (với p : giả thiết đúng, q : kết luận đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau: Giả sử không có q ( hoặc q sai) suy ra điều vô lý hoặc p sai. Vậy phải có q (hay q đúng) Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó . Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P  Q” B – Phủ định rôi suy trái giả thiết C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – Phủ định rồi suy ra kết luận : Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải: Giả sử a  0 thì từ abc > 0  a  0 do đó a < 0. Mà abc > 0 và a < 0  cb < 0 Từ ab+bc+ca > 0  a(b+c) > -bc > 0 Vì a < 0 mà a(b +c) > 0  b + c < 0 a < 0 và b +c < 0  a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0 Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac  2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: 2 a 2  4b , c  4d Giải: 2 2 Giả sử 2 bất đẳng thức : a  4b , c  4d đều đúng khi đó cộng các vế ta được a 2  c 2  4(b  d ) (1) Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2) 2. Từ (1) và (2)  a  c  2ac hay  a  c   0 (vô lý) 2 2 Vậy trong 2 bất đẳng thức a  4b và c  4d có ít nhất một các bất đẳng thức 2. 2. sai Ví dụ 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 1 1 1   Nếu x+y+z > x y z thì có một trong ba số này lớn hơn 1. Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1.

(62) 1 1 1 1 1 1     =x + y + z – ( x y z ) vì xyz = theo giả thiết x+y +z > x y z. nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết) Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý) Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1 Ví dụ 4: Cho a , b , c >0 và a.b.c=1. Chứng minh rằng: a+b +c ≥ 3 (Bất đẳng thức Cauchy 3 số) Giải: Giả sử ngược l ại: 2 2 2 2 a+b +c <3 ⇒(a+b+ c) ab<3 ab ⇔ a b+(a − 3 a)b+1< 0 ⇔ a b+ b a+cab< 3 ab Xét : f (b)=a 2 b+(a 2 −3 a) b+1 2 2 a −1 ¿2 ( a− 4) ≤ 0 a¿ −4a Có a −3Δ=¿ = a 4 − 6 a3 +9 a 2 − 4 a ¿ a(a3 − 6 a2 +9 a− 4) = ¿a¿ ¿ a ,b ,c >0 ⇒ 0< a<3 ) ⇒ f (b)≥0 ⇒ vô lý. Vậy: a+b +c ≥ 3 (Vì a+b +c <3 ¿{ ¿. Ví dụ 5: Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3): |a|<|b − c| (1) |b|<|c −a| (2) |c|<|a −b| (3) Giải: Giả sử tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó: |a|<|b − c| |b|<|c −a| |c|<|a −b|. 2. 2. b − c ¿ >a ⇒¿ 2 2 c − a ¿ >b ⇒¿ 2 2 a −b ¿ > c ⇒¿. ⇒ −(a+ b− c )(a −b+ c)>0. (1’). ⇒−(− a+b+ c)(a+ b −c )> 0. (2’). ⇒ −(a+ b− c )(−a+ b+c )> 0. Nhân (1’), (2’) và (3’) vế với vế ta được:. (3’) 2. (a+ b− c )(a −b+ c)(− a+b+ c) ¿ >0 ⇒ −¿. Vô lý. Vậy bài toán được chứng minh PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO *Dùng định nghĩa ⇒. a2  3 1) Cho abc = 1 và a  36 . . Chứng minh rằng 3 b2+c2> ab+bc+ac a2 a2 a2    Giải: Ta xét hiệu: 3 b2+c2- ab- bc – ac = 4 12 b2+c2- ab- bc – ac a a2 a2 a 3  36abc   = ( 4 b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 12 3bc =( 2 -b- c)2 + 12a a a 3  36abc =( 2 -b- c)2 + 12a >0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 ) a2  Vậy : 3 b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh. 2) Chứng minh rằng 4 4 2 2 a) x  y  z  1 2 x.( xy  x  z  1).

(63) b) với mọi số thực a , b, c ta có c) Giải:. a 2  5b 2  4ab  2a  6b  3  0 a 2  2b 2  2ab  2a  4b  2 0 2. 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 a) Xét hiệu: x  y  z  1  2 x y  2 x  2 xz  2 x =  x  y    x  z    x  1. =H H 0 ta có điều phải chứng minh 2 2 b) Vế trái có thể viết H =  a  2b  1   b  1  1  H > 0 ta có đpcm 2 2 c) vế trái có thể viết H =  a  b  1   b  1  H  0 ta có điều phải chứng minh. * Dùng biến đổi tương đương 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng. x. 2.  y2  8  x  y2 2. 2. x. . 2. 2. x 2  y 2  x  y   2 xy  x  y   2. Giải: Ta có y. 2 2.   x  y . 4. (vì xy = 1). 2.  4. x  y   4. 4 2 2 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với  x  y   4 x  y   4 8. x  y .  x  y  4  4 x  y  2  4 0. . .  x  y . 2. . 2.  2 0. BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy  1 .Chứng minh rằng 1 1 2   2 2 1 x 1 y 1  xy. Giải: 1 1 2   2 2 1 x 1 y 1  xy . Ta có  .  1 1   1 1       0   2 2  2  1  x 1  y   1  y 1  xy . xy  x 2 xy  y 2 x( y  x) y( x  y)  0  2 2 2 1  x .1  xy  1  y .1  xy   1  x .1  xy  1  y 2 .1  xy  0  y  x  2  xy  1 0 1  x 2 . 1  y 2 .1  xy  BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có đpcm. . . . . . . . * Dùng bất đẳng thức phụ a2  b2  c2 . 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c) Ta có . 1.a 1.b 1.c  2 1 1 1. a 2  b 2  c 2    a  b  c  2 3.a 2  b 2  c 2  a2  b2  c2 . 1 3. (vì a+b+c =1 ) (đpcm). 2) Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng (1). 1 3.  a  b  c . 1  1  1  9 a. b. c.

(64) a b a c b c a a b b c c 3             9 1     1     1 9  b a  c a  c b  b c a c a a Giải: (1)  x y  2 y x áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0. Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng.  a  b  c . 1  1  1  9.  a b c Vậy (đpcm) * Dùng phương pháp bắc cầu 3 3 3 2 2 2 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng : 2a  2b  2c  3  a b  b c  c a 2 Giải: Do a <1  a <1 và b <1 2 2 2 2 Nên 1  a . 1  b   0  1  a b  a  b  0 2 2 Hay 1  a b  a  b (1) 2 3 3 2 3 3 Mặt khác 0 <a,b <1  a  a ; b  b  1  a  a  b 3 3 2 Vậy a  b  1 a b Tương tự ta có b3  c 3  1  b 2 c; a 3  c3  1  c 2 a . 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2b  b 2 c  c 2 a. 2) So sánh 31 11. Giải: Ta thấy 31 <. 11. và 17. 3211  25. 256 2 4.14.    2 . 14 11. 4 14. Mặt khác * Dùng tính chất tỉ số. (đpcm). 255  256. 1614  1714. 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Cminh rằng: Giải: Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có. 11. Vậy 31 < 17. 2. 14. (đpcm). a b b c c d d a    3 a b c b c d c d a d a b. a b a b a b  d   a b c  d a b c a b c d b  c bc b c a   a b c d b c d a b c d d a d a d a c   a b c  d d a b a b c d. (1) (2) (3). Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : 2. a b b c cd d a    3 a b c b c  d c  d  a d  a b. (đpcm). 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác 1. a b c   2 b c c a a b. Chứng minh rằng : Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0 Và a (65) a a 2a   Vậy ta có a  b  c b  c a  b  c Tương tự ta có. b b 2b   a b c a c a b c c c 2c   a b c b a a b c. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có : 1. a b c   2 b c c a a b. (đpcm). * Phương pháp làm trội : 1) Chứng minh BĐT sau : 1 1 1 1   ...   (2n  1).(2n  1) 2 a) 1.3 3.5 1 1 1 1   ...  2 1.2.3.....n b) 1.2 1.2.3. Giải: 1 1  2k  1  (2k  1) 1  1 1   .     a) Ta có :  2n  1 .  2n  1 2 (2k  1).(2k 1) 2  2k  1 2k 1 . Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có 1 1 1 1  2  1   ...   . 1   1.3 3.5 (2n  1).(2n 1) 2  2 n 1  2 1. b) Ta có:. (đpcm). 1 1 1 1 1 1   ...  1   .....  1.2 1.2.3 1.2.3.....n 1.2 1.2.3  n  1 .n. 1 1  1  1 1  1 1   1        ....     2 2 n  n 1 n <  2  2 3. (đpcm). PHẦN IV : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị Kiến thức: - Nếu f(x)  A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A - Nếu f(x)  B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B Ví dụ 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của :T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Giải: Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = 3 (1) x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x 1. Và (2)  Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4 Ta có từ (1)  Dấu bằng xảy ra khi 1 x 4 (2)  Dấu bằng xảy ra khi 2  x 3 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2  x 3 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1 Giải: Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có 3 xyz  3. 3. 1 1 xyz   xyz  3 27. x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có.  x  y  .  y  z  .  z  x  3 3  x  y  .  y  z  .  x  z  1 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= 3.  2 3 3  x  y  .  y  z  .  z  x .

(66) 8 1 8 8 1 .  Vậy S  27 27 729 . Vậy S có giá trị lớn nhất là 729 khi x=y=z= 3 4 4 4 Ví dụ 3: Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x  y  z. Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z).  xy  yz  zx . 2.  x2  y 2  z 2. . . 2.  1  x2  y 2  z 2. . Ta có 2 2 2 Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x , y , z ) và (1,1,1) Ta có. . 2. (1). ( x 2  y 2  z 2 ) 2 (12 12  12 )( x 4  y 4  z 4 )  ( x 2  y 2  z 2 ) 2 3( x 4  y 4  z 4 ) 4. 4. 4. Từ (1) và (2)  1 3( x  y  z ).  x4  y 4  z 4 . 1 3. 1 3  4 4 4 x  y  z Vậy có giá trị nhỏ nhất là 3 khi x=y=z= 3. Ví dụ 4 : Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất Giải: Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao thuộc cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y 1 .  x  y  .h a.h a. h 2 a. xy 2 Ta có S =. Vì a không đổi mà x+y = 2a. Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất  x  y Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất 2/ Dùng Bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình 2 2 2 Ví dụ 1:Giải phương trình: 4 3x  6 x 19  5 x 10 x  14 4  2 x  x 2 2 2 Giải : Ta có 3x  6 x  19 3.( x  2 x  1)  16 3.( x  1)  16 16 2. 5 x 2  10 x  14 5.  x  1  9 9 2. 2. Vậy 4. 3 x  6 x 19  5 x  10 x  14 2  3 5 Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0  x = -1 2 2 2 Vậy 4 3x  6 x  19  5 x  10 x  14 4  2 x  x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1. khi x = -1. 2 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x  2  x 4 y  4 y  3 Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :. x  2  x 2  12  12 . x 2   2  x 2   2. 2 2 2. Mặt khác. Dấu (=) xảy ra khi x = 1. 1 Dấu (=) xảy ra khi y = - 2 1 khi x =1 và y =- 2. 4 y 2  4 y  3  2 y  1  2 2. 2 2 Vậy x  2  x 4 y  4 y  3 2.  x 1   1  y  2 Vậy nghiệm của phương trình là  x  y  z 1  4 4 4 Ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau:  x  y  z  xyz.

(67) Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có x4  y 4 y 4  z 4 z 4  x4   x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z y z z x z  y 2 x2    2 2 2 2 2 2  y xz  z xy  x yz  xyz.( x  y  z ) x4  y4  z4 . 1 Vì x+y+z = 1) Nên x  y  z xyz Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = 3  x  y  z 1 1  4 4 4 x  y  z  xyz Vậy  có nghiệm x = y = z = 3 4. 4. 4.  xy  4 8  y 2  2 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau  xy 2  x y 8  8  y 2 0. Từ phương trình (1) Từ phương trình (2). (1) (2). hay. 2.  x  2  x . y 2 2 x.  x 2  2 2 x  22 0  ( x . 2) 2 0  x  2  x  2. Nếu x = 2 thì y = 2 2 Nếu x = - 2 thì y = -2 2  x  2   y  2. Vậy hệ phương trình có nghiệm và 3/ Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên.  x 2 2   y  2 2. 2 2 2 Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn x  y  z xy  3 y  2 z  3 2 2 2 Giải: Vì x,y,z là các số nguyên nên x  y  z xy  3 y  2 z  3.   y2   3 y2  x 2  y 2  z 2  xy  3 y  2 z  3 0   x 2  xy      3 y  3   z 2  2 z  1 0 4   4  . . 2. 2. 2. 2. y 2  y    x    3   1   z  1 0 2  2  y 2  y   x    3   1   z  1 0 2  Mà  2  2. y     x    3 2   y   x  2 0  y    1 0  2  z  1 0  . 2. y  2  1   z  1 0 2   x 1   y 2  z 1 . Các số x,y,z phải tìm là.  x 1   y 2  z 1 . (*) x, y  R. .

(68) 1 1 1   2 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử x  y z 1 1 1 3 2      2 z 3 x y z z Ta có. Mà z nguyên dương vậy z = 1. Thay z = 1 vào phương trình ta được. 1 1  1 x y. 1 1 1   Theo giả sử x y nên 1 = x y y  y 2 mà y nguyên dương. Nên y = 1 hoặc y = 2 Với y = 1 không thích hợp Với y = 2 ta có x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình Hoán vị các số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2) Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình x  x  y Giải: (*) Với x < 0 , y < 0 thì phương trình không có nghĩa (*) Với x > 0 , y > 0 2. (*). 2. Ta có x  x  y  x  x  y  x  y  x  0 Đặt x k (k nguyên dương vì x nguyên dương ) 2 Ta có k .(k 1)  y k 2  k k 1  k 1. 2.      k  y  k 1 Nhưng Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên dương nào cả Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình .  x 0  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là :  y 0.

(69) SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC B. Bài tập bắt buộc. ( 8điểm). KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ Năm học 1999 - 2000. æ 1 1 A =ç + ç ç èx - x x-. ö x +1 ÷ : ÷ ÷ 1ø x - 2 x +1. Câu 1: Cho biểu thức: a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A khi x = 0,25. c) Tính các giá trị của x để A > -1. Câu 2. Để chuẩn bị cho kỉ niệm ngày sinh nhật Bác, các đoàn viên hai lớp 9A và 8A của trường trung học cơ sở Kim Liên, tổ chức trồng 110 cây quanh trường. Mỗi đoàn viên lớp 9A trồng 3 cây, mỗi đoàn viên lớp 8A trồng hai cây. Biết rằng số đoàn viên lớp 9A nhiều hơn số đoàn viên lớp 8A là 5 người. Hãy tính số đoàn viên của các lớp 9A và 8A. Câu 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Gọi M là điểm chính giữa cung BC, E là giao điểm của AM với OC. Chứng minh : a) Tứ giác MBOE nội tiếp được. b. ME = MB. c. CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOE. d. Tính diện tích tam giác BME theo R. ----------------Hết--------------SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2000-2001 B. Bài tập bắt buộc. ( 8điểm). a 2a - a a - 1 a- a. P=. Câu 1: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.. b) Tính giá trị của P với a 3  8 c) Tìm a để P < 0. Câu 2 : Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m - 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Câu 3: Cho tam giác vuông ABC ( vuông tại A), đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH. (O) cắt AB, AC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh 3 điểm M, O, N thẳng hàng. b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp. c) Gọi E là trung điểm của HB, F là trung điểm của HC. Tính diện tích tứ giác EMNF, biết HB = 8cm, HC = 18cm. ----------------Hết--------------SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2001-2002 Bài tập bắt buộc. ( 8điểm). A. x  x1. Câu 1: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A. b) Tính giá trị của A với x =36. c) Tìm x để. AA. .. 2 x1 x ( x  1).

(70) Câu 2 : Một canô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi quay trở lại A ngay mất 4 giờ. Biết quãng sông AB dài 30km và vận tốc dòng nước là 4km/h. Tính vận tốc thực của canô? Câu 3:. AB Cho 2 đoạn thẳng AB và AC vuông góc với nhau.( AB < AC ). Vẽ (O; 2 ) và AC (O’; 2 ). Gọi D là giao điể thứ 2 của 2 đường tròn đó.. a) Chứng minh 3 điểm B, D,C thẳng hàng. b) Gọi giao điểm của OO’ với cung nhỏ AD của (O) là N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc DAC. c) Tia AN cắt (O’) tại điểm thứ 2 là M, gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh tứ giác AOIO’ nội tiếp. ----------------Hết--------------SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2002-2003 Bài tập bắt buộc: (8điểm)  1 1  3 M    : x 3 x  3  x 3 Câu 1: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M.. 1 b) Tìm x để M > 3 c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. Câu 2 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong 7 giờ thì họ làm được 1/3 công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người mất bao lâu để hoàn thnàh công việc ? Câu 3 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm thuộc đường tròn đó. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn, Ax cắt tia BC tại K. Gọi Q, M lần lượt là trung điểm của KB, KA. a) Chứng minh 4 điểm A, M, C, Q cùng nằm trên một đường tròn. b) Cho AB = 10cm, OQ = 3cm. Tính diện tích tứ giác ABQM. c) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O). d) Chưng minh rằng: Nếu  ACO và  BCO có bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau thì C là điểm chính giữa cung AB. -----------------Hết---------------SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2003-2004 B. Bài tập bắt buộc: (8điểm) 1  1   1 A   1   x  1 x  1 x     Câu 1: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A.. 1 b) Tính giá trị của A khi x = 4 A A . c) Tìm giá trị của x để: Câu 2 : Để chở một đoàn khách 320 người đi tham quan chiến trường Điện Biên Phủ, công ty xe khách đã bố trí 2 loại xe, loại thứ nhất mỗi xe có 40 chỗ, loại thứ hai mỗi xe có 12 chỗ. Em hãy tính số xe mỗi loại biết loại thứ nhất ít hơn số xe loại thứ hai là 5 chiếc và số người ngồi vừa đủ số ghế trên xe..

(71) Câu 3 : Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AE, BK, CI cắt nhau tại H. a) Chứng minh các tứ giác EHKC và BIKC nội tiếp. b) Chứng minh AE, BK, CI là các đường phân giác của tam giác IEK. c) So sánh bán kính các đường tròn ngoại tiếp  AHB,  AHC,  BHC. -----------------Hết---------------SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2004-2005 B. Bài tập bắt buộc. ( 8điểm). 1  1  P  1  . x  1 x  x . Câu 1: (2,5đ) Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P. b) Tính giá trị của A với x = 25.. 2. c) Tìm x để: P. 5  2 6 .( x  1)  x  2005  2  3 Câu 2: (2đ) Hai ôtô khởi hành cũng một lúc từ A đến B cách nhau 150km. Biết vận tốc ôtô thứ nhất hơn vận tốc ô tô thứ hai 10km/h và ôtô thứ nhất đến B trước ôtô thứ hai 45 phút. Tính vận tốc mỗi xe? Câu 3: (3,5đ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R; H là điểm nằm giữa O và B. Đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt nửa đường tròn ở C. Gọi I là trung điểm của dây AC. a) Chứng minh tứ giác OICH nội tiếp. b) Chứng minh AI.AC = AO.AH. c) Trong trường hợp OH = 1/3R, chứng minh BI  IK ( K là trung điểm của AO ) -----------------Hết---------------SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2006-2007.  1 1  x 1 P    : 2 x  x 1  x ( 1  x )   Cho biểu thức. Bài 1: (2,0 điểm) a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm x để P > 0. Bài 2 : (1,5 điểm) Trong mọt kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có tất cả 450 3 học sinh dự thi. Biết số học sinh trúng tuyển của trường A bằng 4 số học sinh dự thi của 9 trường A. Số học sinh trúng tuyển của trường B bằng 10 số học sinh dự thi của trường B. 4 Tổng số học sinh trúng tuyển của hai trường bằng 5 số học sinh dự thi của hai trường. Tính. số học sinh dự thi của mỗi trường ? Bài 3 : (2,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m2 – 9 = 0. (1) a) Giải phương trình (1) với m = 1. b) Tìm m để (1) có 2 nnghiệm phân biệt. c) Gọi 2 nghiệm phân biệt của (1) là x1 và x2. Hãy xác định các giá trị của. x  x x  x. 2 1 2 m để: 1 Bài 4 : (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là điểm nằm trên nửa đường tròn đó sao cho cung AM lớn hơn cung BM (M khác B). Đường thẳng d là tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O ; R). Kẻ AD, BC vuông góc với d (D và C thuộc d) a. Chứng minh M là trung điểm của CD..

(72) b) Chứng minh AD.BC = CM2. c) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng AB. d) Kẻ MH  AB tại H. Hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác DHC bằng 1 4 diện tích tam giác AMB.. -----------------------Hết----------------------SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2007-2008 Tự luận (8 điểm)  x 1  1  :   x1  x x x1 Câu 1 (3 điểm). Cho biểu thức A =  a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0. c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A x  m  x có nghiệm. Câu 2 (2 điểm). Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Xe máy thứ nhất có vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc trung bình của mỗi xe máy, biết rằng quãng đường AB dài 120km. Câu 3 (3điểm). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm H nằm giữa hai điểm A và B (H không trùng với O). Đường thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nửa đường tròn trên tại điểm C. Gọi D và E lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AC và BC. a) Tứ giác HDCE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ADEB là tứ giác nội tiếp. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB. Chứng minh DE = 2KO. -----------------------Hết----------------------SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2008 -2009 PHẦN TỰ LUẬN: (8điểm).  3 1  1 P    : x 1  x 1  x 1 Câu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức: a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để. P. 5 4.. M. x  12 1 . x1 P. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 2 : ( 2,0 điểm)Hai người tợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì sau bao lâu xong việc ? Câu 3: (3,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M. Trên cung nhỏ AM lấy điểm E ( E. . . A; M). Kéo dài BE cắt AC tại F.. a) Chứng minh BEM  ACB , từ đó suy ra MEFC là tứ giác nội tiếp. b) Gọi K là giao điểm của ME và AC. Chứng minh AK2 = KE.KM.

(73) c) Khi điểm E ở vị trí sao cho AE + BM = AB. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác của. AEM và BME . thuộc đoạn thẳng AB. ------------------------HÕt----------------------Së gd&®t nghÖ an kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt đề chính thức N¨m häc 2009-2010. x x 1 x  1  x  1 x 1 . Câu I (3,0 điểm). Cho biểu thức A = 1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 9 2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .. 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1. Câu II (2,5 điểm). Cho phương trình bậc hai, với tham số m : 2x2 – (m + 3)x + m = 0 (1) 1) Giải phương trình (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 5 x1x 2 x1 + x 2 = 2 . 3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x  x2 P= 1 . Câu III (1,5 điểm). Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi. Câu IV (3,0 điểm). Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt các đường thẳng AC và AD lần lượt tại E và F. 1) Chứng minh rằng BE.BF = 4R2. 2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được đường tròn. 3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định. ------------------------HÕt----------------------Së gd&®t nghÖ an kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt đề chính thức N¨m häc 2010-2011 x  x1. 2 2  x 1 x  1 .. Câu I (3,0 điểm). Cho biểu thức A = 1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 3. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x-1). Câu II (2,0 điểm). Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1). Câu III (1,5 điểm). Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi)..

(74) Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O). Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC. 1. Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân. 3. Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C).. --------------Hết------------SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI ------. KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Khóa ngày 21 tháng 6 năm 2008 MÔN THI : TOÁN Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề).  a 1   1 2      :   a  1 a  a   a 1 a  1  Câu 1 : (1,5 điểm)Cho biểu thức M = . 1) Rút gọn M. 2) Tính giá trị của M khi a = 3 + 2 2 . Câu 2 : (1,5 điểm)  x  2 y  4  1) Giải hệ phương trình sau : 2 x  y 7. 2) Giải phương trình : 4x4 – 5x2 – 9 = 0 Câu 3 : (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = ( m – 1)x – ( m – 1). 1) Vẽ (P). 2) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). 3) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Câu 4 : (1,5 điểm). Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ. Câu 5 : (4,0 điểm) Từ một điểm C nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) kẻ cát tuyến CBA và hai tiếp tuyến CM, CN (M, N là các tiếp điểm) với (O). Gọi H là trung điểm của AB. 1) Chứng minh 4 điểm C, H , O, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Đường thẳng OH cắt tia CN tại K. Chứng minh : KO . KH = KN . KC. 3) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I. Giả sử  OMIN là hình thoi . Tính thể tích hình tạo thành khi quay  COM một vòng quanh cạnh MC. 4) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích  CEF là nhỏ nhất. ======== Hết ======== SỞ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học 2010 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC. Bài I (2,5 điểm). Môn thi: TOÁN Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2010 Thời gian làm bài: 120phút.

(75) x 2 x 3x  9   x 3 x  3 x 9. Cho biểu thức : A = 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm giá trị của x để A = 1/3 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1. 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để: x12x2 + x22x1 – x1x2 = 3. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC. . . 3) Chứng minh CFD = OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB = 2. Bài V ( 0,5 điểm) 2. Giải phương trình: x2 + 4x + 7 = (x + 4) x  7 ======== Hết ======== SỞ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT THANH HOÁ Môn thi: Toán. Năm học 2010 – 2011. ĐỀ CHÍNH THỨC. Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2010 Thời gian làm bài: 120phút ------------------------------------------------------2 Bài I (2,0 điểm) Cho phương trình : x + nx – 4 = 0 (1) (với n là tham số) 1. Giải phương trình (1) khi n = 3 2. Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình (1),tìm n để : x1(x22 +1 ) + x2( x12 + 1 ) > 6 Bài II (2,0 điểm)  a 3 A   a 3  Cho biểu thức. a  3 1 1     a  3   3 a. 1.Rút gọn A 2.Tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Bài III (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho parabol (P): y = x2 và các điểm A,B thuộc parabol (P) v ới xA = -1,xB = 2 1.Tìm toạ độ các điểm A,B v à viết phương trình đ ư ờng th ẳng AB. 2. T ìm m đ ể đường th ẳng (d) : y = (2m2 – m)x + m + 1 (v ới m là tham số ) song song với đường thẳng AB..

(76) Bài IV (3,0)Cho tam giác PQR có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn t âm O,c ác đ ường cao QM,RN c ủa tam gi ác c ắt nhau t ại H. 1.Chứng minh tứ giác QRMN là tứ gi ác n ội tiếp trong một đ ường tròn. 2. Kéo dài PO cắt đ ường tròn O tại K.Chứng minh tứ giác QHRK là hình bình hành. 3. Cho cạnh QR cố đ ịnh,Pthay đổi trên cung lớn QR sao cho tam giác PQR luôn nhọn.Xác định v ị trí điểm P để diện tích tam giác QRH lớn nhất. Bài V ( 1,0 điểm) Cho x,y là các số d ương thoả mãn : x + y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất c ủa :. P x 2  y 2 . 33 xy. --------------------- Hết--------------------UBND TỈNH ĐĂKLĂK SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH MÔN : TOÁN.Năm học : 2010 -2011 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề). Bài 1: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2 x 2 + √ 3 x=x 2+2 √ 3 x 2) Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2;8) và B(3;2). Bài 2: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= √2 ( √ 2− 2 ) + ( √ 2+1 )2. ( 1 −2√ x − √ x) :( 1+1√ x + 1−2 √ xx ). 2) Cho biểu thức: B=. a) Rút gon biểu thức B. b) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 5.. 1 2. 2 2 Bài 3: (1,5 điểm). Cho phương trình: x − ( 2 m+1 ) x +m + =0 (m là tham số). (1). 1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? 2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức M =( x 1 − 1 ) . ( x 2 − 1 ) đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 4: (3,5 điểm). Cho nữa đường tròn có tâm O và đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB, P là điểm thuộc cung MB (P không trùng với M và B); đường thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C, đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D. 1) Chứng minh OBPC là một tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh hai tam giác BDO và CAO đồng dạng. 3) Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cắt CD tại I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng CD. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình ( a 4 − b 4 ) x2 −2 ( a6 − ab5 ) x+ a8 − a2 b6 =0 luôn luôn có nghiệm với mọi a, b. -------Hết------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG NINH NĂM HỌC 2010 – 2011 Ngày thi : 02/7/2010 Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1 . (1,5 điểm) a) So sánh 2 số : 3 5 và 29 . 3 5 3 5  b) Rút gọn biểu thức : A = 3  5 3  5.

(77) 2 x  y 5m  1  Bài 2 . (2,0 điểm) Cho hệ phương trình :  x  2 y 2 (m là tham số). a) Giải hệ phương trình với m = 1. b) Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) thoả mãn : x2 – 2y2 = 1 Bài 3 .(2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình và hệ phương trình : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy . Nếu từng vòi chảy riêng thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể sẽ ít hơn vòi thứ 2 chảy đầy bể là 10 giờ . Hỏi nếu chảy riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể ? Bài 4 . (3 điểm) Cho đường tròn(O;R) , dây cung BC cố định (BC < 2R) và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H . a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp . b) Giả sử góc BAC = 600 , hãy tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC theo R c) Chứng minh đường thẳng kể qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định Bài 5 . (1,0 điểm). Cho biểu thức : P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36. Chứng minh P luôn dương với mọi x;y thuộc R . ………………………Hết………………………..

(78) MỘT SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT Đề số 1 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1998 – 1999). Câu I (2đ). Giải hệ phương trình: 2x  3y  5    3x  4y 2 Câu II (2,5đ). Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 (m là tham số). 1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Câu III (4,5đ). Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O 1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O 2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với M). 1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông. 2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2). 3) BO1 cắt CO2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn. 4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất. Câu IV (1đ). Cho 2 số dương a, b có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4  4   1  a2   1  b2  A= .   . Đề số 2 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000). Câu I. Cho hàm số f(x) = x2 – x + 3. 1 1) Tính các giá trị của hàm số tại x = 2 và x = -3 2) Tìm các giá trị của x khi f(x) = 3 và f(x) = 23. Câu II. Cho hệ phương trình :  mx  y 2 (1)   x  my 1 (2) 1) Giải hệ phương trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Câu III. Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lượt là P, Q, R. 1) Chứng minh tứ giác BPIQ là hình vuông. 2) Đường thẳng BI cắt QR tại D. Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên một đường tròn. 3) Đường thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB lần lượt tại E và F. Chứng minh AE. CF = 2AI. CI. Đề số 3 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000). Câu I 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành. Câu II. Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m..

(79) 2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8. Câu III. Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đường thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC tại P và cắt AB tại Q. 1) Chứng minh BP = CQ. 2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất. 3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB2 = HA2 + HC2. Tính góc AHC. Đề số 4 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001). Câu I. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Câu II. Giải các phương trình : 1) x2 + x – 20 = 0. 1 1 1   2) x  3 x  1 x . 3) 31  x x  1 . Câu III. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính AD, AH là đường cao của tam giác (H  BC). 1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. 2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD. Chứng minh HM vuông góc với AC. 3) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN. 4) Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R. Chứng minh : r + R  AB.AC . Đề số 5 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001). Câu I. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Giải phương trình với m = 0. 2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4. Câu II. Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. 4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt). Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tại I. 1) Chứng minh OI vuông góc với BC. 2) Chứng minh BI2 = AI.DI.   3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh rằng : BAH CAO .   C  HAO B 4) Chứng minh : ..

(80) Đề số 6 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002). Câu I (3,5đ). Giải các phương trình sau: 1) x2 – 9 = 0 ; 2) x2 + x – 20 = 0 ; 3) x2 – 2 3 x – 6 = 0. Câu II (2,5đ). Cho hai điểm: A(1 ; 1) và B(2 ; -1). 1) Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m 2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Câu III (3đ). Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại E và F. 1) Chứng minh AE = AF. 2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH. 3) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành. 3 x  7 y  3200 Câu IV (1đ). Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình: . Đề số 7 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002). Câu I (3,5đ). Giải các phương trình sau : 1) 2(x – 1) – 3 = 5x + 4 ; 2) 3x – x2 = 0 ; x  1 x 1  2 x 1 3) x . Câu II (2,5đ). Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P). 1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( 2 ; -4) có thuộc (P) không ? 2) Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P). Câu III (3đ). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. 1) Chứng minh rằng MN là đường kính của đường tròn đường kính AH. 2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp. 3) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. Chứng minh: BI = IC. 2 2 Câu IV (1đ). Chứng minh rằng 5  2 là nghiệm của phương trình: x + 6x + 7 = x , từ đó phân tích đa thức x3 + 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử. Đề số 8 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003). Câu I (3đ). Giải các phương trình: 1) 4x2 – 1 = 0 ; x  3 x  1 x 2  4x  24   x2  4 2) x  2 x  2 ; 3). 4x 2  4x  1 2002 .. Câu II (2,5đ). Cho hàm số y =. . 1 2 x 2 ..

(81) 1) Vẽ đồ thị của hàm số. 2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt là 1 và -2. Viết phương trình đường thẳng AB. 3) Đường thẳng y = x + m – 2 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là hoành độ hai giao điểm ấy. Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22. Câu III (3,5đ). Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD. 1) Chứng minh OI song song với BC. 2) Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh rằng CD là tia phân giác của góc BCA khi và chỉ khi OI = OJ..  74 3 Câu IV (1đ). Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá. 7. .. Đề số 9 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003). Câu I (2,5đ). Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2  1 . Câu II (3đ). Cho phương trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: 1) x12 + x22 ; x x  x2 x2 2) 1 1 ; x12  x 22  x1x 2  x1  x 2 . . . . . x 2 x 2  1  x 22 x 22  1 3) 1 1 . Câu III (3,5đ). Cho đường tròn tâm O và M là một điểm nằm ở bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp điểm) và cát tuyến MAB. 1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên một đường tròn. 2) PQ cắt AB tại E. Chứng minh: MP2 = ME.MI. 3) Giả sử PB = b và A là trung điểm của MB. Tính PA. Câu IV (1đ). Xác định các số hữu tỉ m, n, p sao cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12. Đề số 10 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004). Câu I (1,5đ). Tính giá trị của biểu thức: 4 5 2  3 8  2 18 2 A= 1  x2 Câu II (2đ). Cho hàm số y = f(x) = 2 . 1 1) Với giá trị nào của x hàm số trên nhận các giá trị : 0 ; -8 ; - 9 ; 2. 2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là -2 và 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B. Câu III (2đ). Cho hệ phương trình:  x  2y 3  m  2x  y 3(m  2).

(82) 1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl. Câu IV (3,5đ). Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD. 1) Chứng minh :  MIC =  HMK . 2) Chứng minh CM vuông góc với HK. 3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất. Câu V (1đ). Chứng minh rằng : (m  1)(m  2)(m  3)(m  4) là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m. Đề số 11 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004). 3 2 x Câu I (2đ). Cho hàm số y = f(x) = 2 . 2 3 ), f( 3 ).. 1) Hãy tính f(2), f(-3), f( 1 3  3 ;    1; 2  2; 3  2;  6   4  có thuộc đồ thị hàm số không ? 2    2) Các điểm A ,B ,C ,D Câu II (2,5đ). Giải các phương trình sau : 1 1 1   1) x  4 x  4 3 ; 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) Câu III (1đ). Cho phương trình: 2x2 – 5x + 1 = 0. x x  x 2 x1 Tính 1 2 (với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Câu IV (3,5đ). Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung của hai đường tròn về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O1) và (O2) thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O1) và (O2) thứ tự ở C và D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I. Chứng minh: 1) IA vuông góc với CD. 2) Tứ giác IEBF nội tiếp. 3) Đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF.. . . Câu V (1đ). Tìm số nguyên m để. m2  m  23 là số hữu tỉ. Đề số 12. (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005). Câu I (3đ). Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*). 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua: a) A(-1; 3) ; b) B( 2 ; -5 2 ) ; c) C(2 ; -1). 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (*) cắt đồ thị của hàm số y = 2x – 1 tại điểm nằm trong góc vuông phần tư thứ IV. Câu II (3đ). Cho phương trình 2x2 – 9x + 6 = 0, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. 1) Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức: 3 3 x1  x 2 a) x + x ; x x ; b) x1  x 2 ; c) . 1. 2. 1 2. x2  x2 x2  x 2) Xác định phương trình bậc hai nhận 1 và 2 1 là nghiệm. Câu III (3đ). Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đường tròn đường kính AB, BC. Gọi M và N thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đường tròn đường kính AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM với CN. 1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp..

(83) 2) Chứng minh EB là tiếp tuyến của 2 đường tròn đường kính AB và BC. 3) Kẻ đường kính MK của đường tròn đường kính AB. Chứng minh 3 điểm K, B, N thẳng hàng. Câu IV (1đ). Xác định a, b, c thoả mãn: 5x 2  2 a b c    3 x  3x  2 x  2 x  1  x  1 2 . Đề số 13 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005). Câu I (3đ). Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*). 1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: 1   2 ; 5 2;  1 . a) A(-1 ; 3) ; b) B ; c) C  2) Thay m = 0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị của hàm số y = x – 1. Câu II (3đ). Cho hệ phương trình: (a  1)x  y a  x  (a  1)y 2 có nghiệm duy nhất là (x; y).. . . 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5. 2x  5y 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức x  y nhận giá trị nguyên. Câu III (3đ). Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam giác   MNP sao cho NQ = NP và MNP PNQ và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E.   1) Chứng minh PMI QNI . 2) Chứng minh tam giác MNE cân. 3) Chứng minh: MN. PQ = NP. ME. Câu IV (1đ). Tính giá trị của biểu thức: x5  3x 3  10x  12 x 1  4 2 2 x  7x  15 A= với x  x  1 4 .. Đề số 14 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2005 – 2006). Câu I (2đ). Cho biểu thức:. . x. y. . 2.  4 xy . x y y x. x y xy N= ;(x, y > 0) 1) Rút gọn biểu thức N. 2) Tìm x, y để N = 2. 2005 . Câu II (2đ). Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Giải phương trình (1). 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tính B = x13 + x23. Câu III (2đ). Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 4 là 2 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta được số mới bằng 7 số ban đầu. Câu IV (3đ). Cho nửa đường tròn đường kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P  M, P  N). Dựng hình bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ tại K. 1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn..

(84) 2) Chứng minh: MP. PK = NK. PQ. 3) Tìm vị trí của P trên nửa đường tròn sao cho NK.MQ lớn nhất. Câu V (1d). Gọi x1, x2, x3, x4 là tất cả các nghiệm của phương trình (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 1. Tính: x1x2x3x4.. Đề số 15 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2005 – 2006).  a  a  a a   1    1   a 1   a  1   Câu I (2đ). Cho biểu thức: N = 1) Rút gọn biểu thức N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004. Câu II (2đ). x  4y 6  1) Giải hệ phương trình : 4x  3y 5 . 2) Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : 6 x 4x  5 y = 4 ; y = 3 và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm. Câu III (2đ). Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng được tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây các bạn nữ trồng được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ. Câu IV (3đ). Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đường tròn đi qua N và P. Từ M kẻ các tiếp tuyến MQ và MK với đường tròn (O). (Q và K là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của NP. 1) Chứng minh 5 điểm M, Q, O, I, K nằm trên một đường tròn. 2) Đường thẳng KI cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh QF song song với MP. 3) Nối QK cắt MP tại J. Chứng minh : MI. MJ = MN. MP. Câu V (1đ). Gọi y1 và y2 là hai nghiệm của phương trình : y2 + 5y + 1 = 0. Tìm a và b sao cho phương trình : x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm là : x1 = y12 + 3y2 và x2 = y22 + 3y1. Đề số 16 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2006 – 2007). Bài 1 (3đ) 1) Giải các phương trình sau: a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0 2x  y 3  2) Giải hệ phương trình: 5  y 4x . Bài 2 (2đ) 1) Cho biểu thức: a 3 a1 4 a 4   4  a (a  0; a  4) a 2 P= a 2 a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với a = 9. 2) Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số). a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại..

(85) b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23  0. Bài 3 (1đ) Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô. Bài 4 (3đ) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh: a) CEFD là tứ giác nội tiếp. b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM. c) BE.DN = EN.BD. Bài 5 (1đ) 2x  m 2 Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức x  1 bằng 2. Đề số 17 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2006 – 2007). Bài 1 (3đ) 1) Giải các phương trình sau: a) 5(x - 1) - 2 = 0 b) x2 - 6 = 0 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ. Bài 2 (2đ) 1) Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1). 2) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 2(m - 1)x - 4 = 0 (m là tham số). Tìm m để x1  x 2 5 . 3) Rút gọn biểu thức: x 1 x1 2   x  1 (x  0; x  1). P = 2 x  2 2 x 2 Bài 3 (1đ) Một hình chữ nhật có diện tích 300m2. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu. Bài 4 (3đ) Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C). Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF. 1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp. b) MF vuông góc với HK. 2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất. Bài 5 (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có phương trình y = x 2. Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất. Đề số 18 (Đề thi của thành phố Hải Phòng năm học 2003 – 2004). Câu I (2đ). Cho hệ phương trình:.

(86)  x  ay 1 (1)  ax  y 2 1) Giải hệ (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. Câu II (2đ). Cho biểu thức:  x 2 x 1  x1     : 2 x x  1 x  x  1 1  x  A=  , với x > 0 và x  1. 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Chứng minh rằng: 0 < A < 2. Câu III (2đ). Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Giải phương trình khi m = 1. 2) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Câu IV (3đ). Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB và một cát tuyến MCD (MC < MD) tới đường tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD, OI. 1) Chứng minh rằng: R2 = OE. OM = OI. OK. 2) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn.   3) Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh : DEC 2.DBC . Câu V (1đ). Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng: 3 2  2  14 xy  yz  zx x  y 2  z 2 . Đề số 19 (Đề thi của tỉnh Bắc Giang năm học 2003 – 2004). Câu I (2đ) 1) Tính :. . . 2 1 .. 21. . x  y 1  2) Giải hệ phương trình: x  y 5 . Câu II (2đ). Cho biểu thức:  x x  1 x x 1  2 x  2 x 1    : x 1 x  x x  x  A=  . 1) Rút gọn A. 2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Câu III (2đ). Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Câu IV (3đ). Cho đường tròn (O; R), hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. Chứng minh:   1) BMD BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK là tứ giác nội tiếp. 2) HK song song với CD. 3) OK. OS = R2. 1 1 1   Câu V (1đ). Cho hai số a, b  0 thoả mãn a b 2 . Chứng minh rằng phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm: (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0.. . . Đề số 20.

(87) (Đề thi của tỉnh Thái Bình năm học 2003 – 2004). Câu I (2đ). Cho biểu thức:  x  1 x  1 x 2  4x  1  x  2003    . x  1 x 1 x2  1  x  A= .. 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A. 3) Với x  Z ? để A  Z ? Câu II (2đ). Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003). 2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0. 1 2 x 3) Tiếp xúc với parabol y = - 4 . Câu III (3đ) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. 2002 2003   2002  2003 2003 2002 2) Chứng minh bất đẳng thức: . Câu IV (3đ). Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. 1) Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp. 2) Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao? 3) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng 2 2 minh rằng: r2 = r1  r2 . Đề số 21 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2007 – 2008). Câu I (2đ). Giải các phương trình sau: 1) 2x – 3 = 0 ; 2) x2 – 4x – 5 = 0. Câu II (2đ). 1) Cho phương trình x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm là x 1 , x 2 . Tính giá trị của biểu thức x x S 2  1. x1 x 2 2) Rút gọn biểu thức : 1  3   1    1  a 3  a  với a > 0 và a 9. A=  a 3 Câu III (2đ).  mx  y n   1; 3 1) Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình  nx  my 1 có nghiệm là . 2) Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Câu IV (3đ). Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD. 1) Chứng minh OM // DC. 2) Chứng minh tam giác ICM cân.. . .

(88) 3) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN. Câu V (1đ). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0). Tìm m sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Đề số 22 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2007 – 2008). Câu I (2đ). 2x  4 0  1) Giải hệ phương trình 4x  2y  3 . 2 x 2   x  2  4 2) Giải phương trình . Câu II (2đ). 1 1) Cho hàm số y = f(x) = 2x – x + 1. Tính f(0) ; f( 2 ) ; f( 3 ). 2) Rút gọn biểu thức sau :  x x 1 x  1     x  x x  1 x  1  A=  với x  0, x  1. Câu III (2đ) 1) Cho phương trình (ẩn x) x2 – (m + 2)x + m2 – 4 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? 2) Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau. Câu IV (3đ). Cho đường tròn (O ; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là một điểm bất kì trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Kẻ đường kính BB’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 1) Chứng minh AH // B’C. 2) Chứng minh rằng HB’ đi qua trung điểm của AC. 3) Khi điểm B chạy trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Câu V (1đ). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 và điểm A(-2 ; 3). Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng trên là lớn nhất. . 2. . . Đề số 23 Câu I (2đ). 5 2  x  x  y 2    3  1 1, 7  Giải hệ phương trình  x x  y . Câu II (2đ). 1 x  x  x , với x > 0 và x  1. Cho biểu thức P = x  1 1) Rút gọn biểu thức sau P. 1 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 2 . Câu III (2đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Biết rằng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đường thẳng y = -2x + 2003..

(89) 1) Tìm a và b. . 1 2 x 2 .. 2) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của (d) và Parabol y = Câu IV (3đ). Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ở bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (O), P và Q là các tiếp điểm. Đường thẳng đi qua O vuông góc với OP và cắt đường thẳng AQ tại M. 1) Chứng minh rằng MO = MA. 2) Lấy điểm N nằm trên cung lớn PQ của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) cắt các tia AP và AQ lần lượt tại B và C. a) Chứng minh : AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. b) Chứng minh : Nếu tứ giác BCQP nội tiếp một đường tròn thì PQ // BC. Câu V (1đ). Giải phương trình : x 2  2x  3  x  2  x2  3x  2  x  3 . Đề số 24 Câu I (3đ). 1) Đơn giản biểu thức : P = 14  6 5  14  6 5 . 2) Cho biểu thức:  x 2 x  2  x 1   . x  2 x  1 x  1  x  Q= , với x > 0 ; x  1. 2 a) Chứng minh rằng Q = x  1 ; b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên. Câu II(3đ).  a  1 x  y 4  ax  y 2a Cho hệ phương trình  (a là tham số). 1) Giải hệ khi a = 1. 2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y  2. Câu III(3đ). Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm phân biệt chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N và P. Chứng minh : 1) Tích BM.BN không đổi. 2) Tứ giác MNPQ nội tiếp. 3) BN + BP + BM + BQ > 8R. Câu IV (1đ). x 2  2x  6 x 2  2x  5 .. Tìm giá trị nhỏ nhất của y =. Đề số 25 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2008 – 2009). Câu I (3đ). 1) Giải các phương trình sau: a) 5.x  45 0.

(90) b) x(x + 2) – 5 = 0 x2 2) Cho hàm số y = f(x) = 2 a) Tính f(-1). M 2;1 b) Điểm có nằm trên đồ thị hàm số không ? Vì sao ? Câu II (2đ). 1) Rút gọn biểu thức : a 1   4  a  1    1   .  a  2   a   a 2 P= với a > 0 và a 4. 2 2) Cho phương trình (ẩn x) : x – 2x – 2m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2  1  x12   1  x 22  5 . thoả mãn : Câu III (1đ). Tổng số công nhân của hai đội sản xuất là 125 người. Sau khi điều 13 người từ đội thứ nhất sang đội 2 thứ hai thì số công nhân đội thứ nhất bằng 3 đội thứ hai. Tính số công nhân của mỗi đội lúc đầu. Câu IV (3đ). Cho đường tròn (O). Lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D, E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. 1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp. 2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O). Chứng minh DM  AC. 3) Chứng minh : CE.CF + AD.AE = AC2. Câu V (1đ). Cho biểu thức: B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x - 2)2 + 2008. . . 1 Tính giá trị của B khi x = 2. 21 2 1 . Đề số 26 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2008 – 2009). Câu I ( 2,5 điểm ) Giải các phương trình sau : 1 5 x 1  x 2 a) x  2 b) x2 -6x+1 = 0 Câu II ( 1,5 điểm ) 2 x  y m  2  Cho hệ phương trình:  x  2 y 3m  4 1) Giải hệ phương trình với m = 1 2) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 + y2 =10 Câu III ( 2,0 điểm )..

(91) M. 7 b  b 9.  b    b 3. b  1  (b 0; b 9) b  3 . 1) Rút gọn biểu thức : 2) Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 55. Tìm 2 số đó . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đường tròn lấy một điểm C ( C không trùng với A,B và CA > CB ) . Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A , tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB ), DO cắt AC tại E . 1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp . 0   2) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh : 2 BCF  CFB 90 . 3) BD cắt CH tại M . Chứng minh EM // AB . Câu 5 ( 1,0 điểm ) Cho x, y thỏa mãn :. x. x 2  2008.  y . . y 2  2008 2008. Tính x + y .. Đề số 27 Câu I (2đ). 1) Tính P = 7  4 3  7  4 3 . 2) Chứng minh rằng :. . a. . 2.  4 ab a b  b a . a  b a b ab , với a > 0; b > 0. Câu II (3đ). x2 Cho parabol (P) : y = 2 và đường thẳng (D) : y = mx – m + 2 (m là tham số). 1) Tìm m để đường thẳng (D) và parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4. 2) Chứng minh rằng với mọi m (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. x ;y  x ;y  3) Giả sử 1 1 và 2 2 là toạ độ các giao điểm của (D) và (P). y  y 2  2 2  1  x1  x 2  Chứng minh rằng : 1 . Câu III (4đ). Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O) bán kính R (0 < BC < 2R). A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho  ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của  ABC cắt nhau tại H. 1) Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp. 2) Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2A’O. 3) Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích  ABC và 2p là chu vi  DEF. Chứng minh : a) d // EF ; b) S = pR. Câu IV(1đ). Giải phương trình : b. . . 9x 2  16 2 2x  4  4 2  x ..

(92) Đề số 28 Câu I (2đ). 1   x 2 x 1   1  :      x x  1   x  1 x  2   Cho A = với x > 0, x  1 và x  4. 1) Rút gọn A. 2) Tìm x để A = 0. Câu II (3,5đ). Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2(a – 1)x + 5 – 2a (a là tham số). 1) Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P). 2) Chứng minh rằng với mọi a (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. x 2  x 22 6 3) Giả sử x1 và x 2 là hoành độ các giao điểm của (D) và (P). Tìm a để 1 . Câu III (3,5đ). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và khác O). Gọi C là điểm tuỳ ý trên cung lớn MN (C khác M , khác N và khác B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh : 1) Chứng minh rằng tứ giác IECB nội tiếp ; 2) AM2 = AE.AC ; 3) AE.AC – AI.IB = AI2. Câu IV(1đ). Cho a  4 ; b  5 ; c  6 và a2 + b2 + c2 = 90. Chứng minh rằng : a = b + c  16. Đề số 29 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2009 – 2010). Câu I (2 điểm): 1) Giải phương trình : 2(x - 1) = 3 - x y x  2.  2x  3y 9 2) Giải hệ phương trình :  . Câu II (2 điểm): 1 1 2 f  f  2 x 1) Cho hàm số y = f(x) = 2 . Tính f (0) ; f(2) ;  2  ; . 2 2 2) Cho phương trình (ẩn x): x - 2(m + 1)x + m - 1 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai 2 2 nghiệm x , x thỏa mãn x1  x 2 x1x 2  8 . . 1. . . 2. Câu III (2 điểm): 1) Rút gọn biểu thức : 1  x1  1   : x  1  x  2 x  1 với x > 0 và x  1. A=  x x 2) Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất cạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe ô tô, biết quãng đường AB dài là 300km. Câu IV (3 điểm): Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với AN (K thuộc AN). 1) Chứng minh bốn điểm A, M, H, K cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh MN là phân giác của góc BMK. 3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN. Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất. Câu V (1 điểm):.

(93) x  2  y3  y  2  x 3 Cho x, y thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = x2 + 2xy - 2y2 + 2y + 10.. Đề số 30 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2009 – 2010). Câu 1 (2 điểm): x 1 x 1 1  4 a) Giải phương trình : 2 x 2y.  x  y 5 b) Giải hệ phương trình :  . Câu 2 (2 điểm): a) Rút gọn biểu thức : 2. . x 2. . x x 4 x  2 với x  0 và x  4. A= b) Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. Câu 3 (2 điểm): Cho phương trình x2 - 2x + (m - 3) = 0 (ẩn x) a) Giải phương trình khi m = 3. b) Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 và thỏa mãn điều 2 kiện : x1  2x 2  x1x 2  12 . Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác MNP cân tại M có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O ; R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lầ lượt cắt tia MP và tia MN ở E và D. a) Chứng minh: NE2 = EP.EM b) Chứng minh: Tứ giác DEPN là tứ giác nội tiếp. c) Qua điểm P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại điểm K (K không trùng với P). Chứng minh rằng : MN2 + NK2 = 4R2. Câu 5 (1 điểm): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức : 6  8x 2 A = x 1 . Đề số 31 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2010 – 2011). Cõu 1 (3 điểm) 1) Giải các phương trỡnh sau: 2 x  4 0 4 2 a) 3 ; b) x  3 x  4 0 . 2) Rỳt gọn biểu thức:. . N  3 . . a a  a a  . 3   a 1   a  1. với a 0 và a 1 .. Cõu 2 (2 điểm) 1) Cho hàm số bậc nhất y ax  1 . Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1  2 ..

(94)  x  y 3m  x  2 y  3 2) Tỡm cỏc số nguyờn m để hệ phương trỡnh  cú nghiệm ( x; y ) thỏa món điều kiện 2. x  xy 30 .. Cõu 3 (1 điểm) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đó may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vỡ thế, xưởng đó hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo? Cõu 4 (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O). Cỏc đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường trũn (O) lần lượt tại E’ và F’ (E’ khác B và F’ khác C). 1) Chứng minh tứ giỏc BCEF là tứ giỏc nội tiếp. 2) Chứng minh EF song song với E’F’. 3) Kẻ OI vuụng gúc với BC ( I  BC ). Đường thẳng vuông góc với HI tại H cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh tam giác IMN cõn. Cõu 5 (1 điểm) a 2. 2. 4. Cho a, b, c, d là các số dương thỏa món a  b 1 và c 2 a d  2 2 Chứng minh rằng c b .. . b. 4. d. . 1 cd .. Đề số 32 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2010 – 2011). Cõu 1 (3 điểm) a) Vẽ đồ thị của hàm số y 2 x  4 ..  x 2 y  3  y 2 x  3 b) Giải hệ phương trỡnh  . c) Rỳt gọn biểu thức: 9 a. 25a  4a. 3. 2. a  2a P= với a  0 . Cõu 2 (2 điểm) 2 Cho phương trỡnh x  3 x  m 0 (1) (x là ẩn). a) Giải phương trỡnh (1) khi m 1 . b) Tỡm cỏc giỏ trị m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 thỏa món 2. 2. x1  1  x2  1 3 3. . Cõu 3 (1 điểm) Khoảng cỏch giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dũng nước là 4 km/h. Cõu 4 (3 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) và N. . 0. là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) sao cho MAN 45 . Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh tứ giỏc ABMQ là tứ giỏc nội tiếp. b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh AH vuông góc với MN..

(95) c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Cõu 5 (1 điểm) 3 3 Chứng minh a  b ab (a  b) với mọi a, b 0 . Áp dụng kết quả trờn, chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1  3  3 1 3 3 3 3 a  b 1 b  c 1 c  a 1 với mọi a, b, c là các số dương thỏa món abc 1 . Đề số 33 (Đề thi của tỉnh Quảng Ninh năm học 2009 – 2010). Bài 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : a). 2 3  3 27 . 300. 1  1  1   : x  1  x ( x  1)  x x. b) Bài 2. (1,5 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 3x – 4 = 0 b) Giải hệ phương trình: 3x – 2y = 4 2x + y = 5 Bài 3. (1,5 điểm) 1 Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m  2 . Hãy xác định m trong. mỗi trường hơp sau : a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 ) b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác OAB cân. Bài 4. (2,0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ . Biết quãng đường sông từ A đến B dài 60 Km và vận tốc dòng nước là 5 Km/h . Tính vận tốc thực của ca nô (Vận tốc của ca nô khi nước đứng yên). Bài 5. (3,0 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn (O;R) (A; B là hai tiếp điểm). a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp. b) Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm. c) Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm của AB và OM. Chứng minh rằng EA là tia phân giác của góc CED..

(96)

ON THI TOAN VAO LOP 10 FULL

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về