Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (75.59 KB, 6 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>KHẢO SÁT HÀM SỐ (ÔN THI ĐẠI HỌC) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Châu Trần Duyên Anh Ngày 25 tháng 5 năm 2015. 1 Tóm tắt lý thuyết 1.1 Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa 1.1 Ta kí hiệu K ⊂ R là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x ) xác định trên K. Ta nói i) Hàm số y = f (x ) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 ta luôn có f (x1 ) < f (x2 ) ii) Hàm số y = f (x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 ta luôn có f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. Chú ý 1.2 1. Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải 2. Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải .. 1.2 Các định lý áp dụng vào bài tập Định lý 1.3 Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên K i) Nếu hàm số đồng biến trên K thì f ′ (x ) ≥ 0 với mọi x ∈ K ii) Nếu hàm số nghịch biến trên K thì f ′ (x ) ≤ 0 với mọi x ∈ K. Định lý 1.4 Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên K i) Nếu f ′ (x ) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f ′ (x ) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm trên K thì f đồng biến trên K ii) Nếu f ′ (x ) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f ′ (x ) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm trên K thì f nghịch biến trên K Chú ý 1.5 1. Nếu f ′ (x ) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm số hằng trên K Châu Trần Duyên Anh. 1.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. Trong định lý 1.4, nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì cần có thêm điều kiện f liên tục tại các đầu mút 3. Điều kiện f ′ (x ) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm trên K trong định lý 1.4 là để đảm bảo f không là hàm số hằng trên K .Do đó, nếu khẳng định được f không phải là hàm số hằng thì có thể bỏ qua điều kiện này.. 2 Các dạng bài tập 2.1 Tìm các khoảng biến thiên của hàm số Để tìm các khoảng biến thiên của hàm số y = f (x ), ta vận dụng qui tắc sau Qui tắc 2.1 1. Tìm tập xác định hàm số 2. Tình đạo hàm f ′ (x ). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định 3. Kẻ bảng biến thiên, sắp xếp các xi theo thứ tự tăng dần, xét dấu f ′ (x ) 4. Dựa vào bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến . 1 3. Ví dụ 2.2 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x 3 − 2x 2 + 3x + 2 Giải. Tập xác định D = R. Ta có y ′ = x 2 − 4x + 3 y ′ = 0 ⇔ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1. hoặc. x =3. Bảng biến thiên x. −∞. y ′ (x ). y. 1 +. −∞ %. +∞. 3 −. 0 10 3. 0. + +∞. &2%. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3) Ví dụ 2.3 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = Giải. Tập xác định D = R \ {1}. Ta có y ′ = Bảng biến thiên x. −3 <0 (x − 1)2. x +2 x −1 ∀x 6= 1. −∞. y ′ (x ). −. − +∞. 1 y. +∞. 1. & −∞. & 1. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞) Châu Trần Duyên Anh. 2.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> 4 3. 1 2. Ví dụ 2.4 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x 4 − x 3 + x 2 − 3 Giải. Tập xác định D = R Ta có y ′ = 4x 3 − 4x 2 + x = x (4x 2 − 4x + 1) = x (2x − 1)2 y ′ = 0 ⇔ x (2x − 1)2 = 0 ⇔ x = 0. hoặc. x=. 1 2. Bảng biến thiên x. −∞. y ′ (x ) y. 1 2. 0 −. 0. +. +∞. & −3 %. 0. +∞ + +∞. 143 − % 48. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞) Chú ý 2.5 Trong ví dụ 2.4, vì y ′ ≥ 0 ∀x ∈ (0; +∞) và y ′ = 0 chỉ tại x =. 1 nên theo định lý 1.4 hàm số đã cho 2. đồng biến trên (0; +∞) Ví dụ 2.6 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x − sin2 x trên 0;. π 2. π 2 π π ′ Ta có y = 1 − 2 sin x cos x = 1 − sin2x ≥ 0, ∀x ∈ 0; và y ′ = 0 chỉ tại x = 2 4 π Vậy hàm số đã cho đồng biến trên 0; 2. Giải. Xét trên khoảng 0;. 2.2 Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định hoặc một khoảng cho trước Ví dụ 2.7 Tìm m để hàm số y = 2x 3 + (m + 3)x 2 + 6m x + 1 đồng biến trên R Giải. Tập xác định D = R. Ta có y ′ = 6x 2 + 2(m + 3)x + 6m Vì y không là hàm số hằng trên R nên hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi y ′ ≥ 0,. ∀x ∈ R. ⇔ ∆′ = (m + 3)2 − 36 ≤ 0. (do. a y ′ = 6 > 0). ⇔ m 2 − 30m + 9 ≤ 0 p p ⇔ 15 − 6 6 ≤ m ≤ 15 + 6 6 p. p. Vậy 15 − 6 6 ≤ m ≤ 15 + 6 6 thỏa đề bài . Ví dụ 2.8 Tìm m để hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 3m x − 4 nghịch biến trên (0; +∞). Châu Trần Duyên Anh. 3.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Giải. Hàm số đã cho có tập xác định D = R nên xác định trên khoảng (0; +∞) Ta có y ′ = −3x 2 + 6x + 3m = 3(−x 2 + 2x + m ) Vì y không là hàm số hằng trên (0; +∞) nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi y ′ ≤ 0,. ∀x ∈ (0; +∞). ⇔ −x 2 + 2x + m ≤ 0, ⇔ m ≤ x 2 − 2x ,. ∀x ∈ (0; +∞). ∀x ∈ (0; +∞). Xét hàm số g (x ) = x 2 − 2x với x ∈ (0; +∞). Ta có g ′ (x ) = 2x − 2 g ′ (x ) = 0 ⇔ 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên x. 0. +∞. 1. g ′ (x ). −. +. 0. +∞. 0 g (x ). & −1 %. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m ≤ −1 thỏa đề bài. Ví dụ 2.9 Tìm m để hàm số y = x 3 + (m − 1)x 2 − (2m 2 + 3m + 2)x đồng biến trên (2; +∞) Giải. Hàm số có tập xác định D = R nên xác định trên (2; +∞) Ta có y ′ = 3x 2 + 2(m − 1)x − (2m 2 + 3m + 2). Vì y ′ có ∆′ = (m − 1)2 + 3(2m 2 + 3m + 2) = 7(m 2 + m + 1) > 0 ∀m ∈ R. nên y ′ luôn có hai nghiệm phân biệt. x1 , x2 . Giả sử x1 < x2 , khi đó ta có bảng xét dấu. x −∞ y′. x1. x2. +∞. + 0 − 0 +. Hàm số đồng biến trên (2; +∞) khi và chỉ khi p p 7(m 2 + m + 1) ≤ 2 ⇔ 7(m 2 + m + 1) ≤ m + 5 y ≥ 0, ∀x ≥ 2 ⇔ x1 < x2 ≤ 2 ⇔ 3 −3 ≤ m ≤ 2 6m 2 − 3m − 18 ≤ 0 7(m 2 + m + 1) ≤ (m + 5)2 3 2 ⇔− ≤m ≤2 ⇔ ⇔ ⇔ 2 m > −5 m > −5 m +5>0 ′. 1−m +. 3 2. Vậy − ≤ m ≤ 2 thỏa đề bài Nhận xét 2.10 Trong ví dụ 2.9, do m không đồng bậc nên ta không thể cô lập m về một vế chuyển về dạng g (x ) ≤ m hoặc g (x ) ≥ m . Tình huống này phải sử dụng bảng xét dấu y ′ và kiến thức về tam thức bậc hai để giải. quyết. p. Ví dụ 2.11 Tìm m để hàm số y = x 3 − m x 2 + (m + 36)x − 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 Châu Trần Duyên Anh. 4.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Giải. Tập xác định D = R Ta có y ′ = 3x 2 − 2m x + m + 36 là một tam thức bậc hai có a y ′ = 3 > 0 và ∆′ = m 2 − 3m − 108 Nếu ∆′ ≤ 0 ⇔ −9 ≤ m ≤ 12 thì y ′ ≥ 0,. ∀x ∈ R, trường hợp này hàm số luôn đồng biến trên R nên không có. p khoảng nghịch biến có độ dài 4 2. Nếu ∆′ > 0 ⇔ m < −9 hoặc m > 12, trường hợp này y ′ có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ). Khi đó hàm số đã p. cho chỉ nghịch biến trên khoảng (x1 ; x2 ). Theo đề bài thì | x1 − x2 |= 4 2 tức là 2. p. p m 2 − 3m − 108 =4 2 3. bình phương hai vế và rút gọn ta được phương trình m 2 − 3m − 180 = 0 ⇔ m = −12 hoặc m = 15 ( thỏa điều kiện) Vậy m = −12 hoặc m = 15 thỏa đề bài Ví dụ 2.12 Tìm m để hàm số y =. mx +4 đồng trên khoảng (1; +∞) x +m. m2 − 4 (x + m )2 Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi và chỉ khi y ′ > 0 ∀x ∈ (1; +∞), điều này tương đương với. Giải. Tập xác định D = R \ {−m }. Ta có y ′ =. m2 − 4 > 0 −m ≤ 1. ⇔. m −2. m ≤ −1. hoặc m > 2. ⇔m >2. Vậy m > 2 thỏa đề bài.. 3 Bài tập tự làm Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau : 1 3. 1. y = x 3 − 3x 2 − 7x − 2 ; 2. y = x 4 − 2x 2 + 3 ;. 3 2 7 4. y = 9x 7 − 7x 6 + x 5 + 12 ; 5 3x 5. y = 2 ; x +1 p 6. y = x 2 + 2x + 3 ; 3 4. 3. y = x 4 − 2x 3 + x 2 − 6x + 11 ;. 7. y =. x 2 − 8x + 9 . x −5. Bài 2. Chứng minh rằng 1 3. 1. Hàm số y = (m 2 + 1)x 3 − (m + 1)x 2 + 2x + 1 đồng biến trên R với mọi m ; 2. Hàm số y = x + cos2 x đồng biến trên R ; 3. Hàm số y = −x +. p. x 2 + 8 nghịch biến trên R. 4. Hàm số y = 2 − sin2 x − sin2 (m + x ) − 2 cos m cos x cos (m + x ) lấy giá trị không đổi trên R; 5. Hàm số y = cos x + sin x tan Châu Trần Duyên Anh. π π x lấy giá trị không đổi trên − ; 2 4 4. 5.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 3. Tìm m để hàm số 1 3 m +1 3 x + 2x 2 + (m − 1)x nghịch biến trên R; 2. y = 3. 1. y = x 3 + (m + 1)x 2 + (m 2 − 5)x + 1 đồng biến trên R;. 3. y = x 3 + 3x 2 − m x − 4 nghịch biến trên (−∞; 0); 1 3 m 1 5. y = − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + đồng biến trên [2; +∞); 3 3 m x 2 + (6m + 5)x − 2(1 − 3m ) 6. y = nghịch biến trên [1; +∞); x +1 2x 2 − 3x + m 7. y = đồng biến trên (3; +∞). x −1. 4. y = − x 3 + (m + 1)x 2 + (m + 3)x − 4 đồng biến trên (0; 3);. 8. y = x 3 + 3x 2 + m x + m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1. Châu Trần Duyên Anh. 6.
<span class='text_page_counter'>(7)</span>