Tinh chat cua truc tam trong tam giac

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuẩn bị thi TNPT & CĐ-ĐH 2015. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM KHI LÀM BÀI TOÁN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy Vấn đề 1: Tính chất trực tâm của tam giác Bài toán 1: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E, D, F lần lượt là chân đường cao tương ứng hạ từ các đỉnh B, C, A; và G, I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh điểm đối xứng của H qua M nằm trên. đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; suy ra và 2. Điểm đối xứng của trực tâm H qua mỗi cạnh của tam giác thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: 1. Gọi A’ là điểm đối tâm của A, như vậy AA’ là đường kính đường tròn (ABC). Do đó: . Hơn nữa H là trực tâm nên: . Từ (1) và (2). .. Suy ra tứ giác BHCA’ là hình bình hành. Do đó. : trung điểm của BC (tính chất đường chéo là hình bình hành).. Hay nói cách khác: điểm đối xứng của H qua M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác: I là trung điểm của AA’ và gt: M là trung điểm cạnh BC nên IM là đường trung bình của tam giác AHA’, do đó: Gọi. (đpcm).. và vì AH // IM nên:. Do AM là trung tuyến nên N chính là trọng tâm tam giác ABC hay. Gv: Phan Hữu Thiềm- Th.S. Toán học. . (đpcm).. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuẩn bị thi TNPT & CĐ-ĐH 2015. 2. Xét đường tròn (ABC) và gọi + +. ta có:. (Góc nhọn có cặp cạnh vuông góc) (3) (Cùng chắn cung. (4). Từ (3) và (4) => Tam giác cân tại B => F trung điểm của hay điểm đối xứng của trực tâm H qua cạnh BC thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh tương tự cho các cạnh còn lại. Vậy: Điểm đối xứng của trực tâm H qua mỗi cạnh của tam giác thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E, D, F lần lượt là chân đường cao tương ứng hạ từ các đỉnh B, C, A; và G, I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1. Chứng minh đoạn nối tâm I với một đỉnh của tam giác thì vuông góc với đường nối hai chân đường cao của hai đỉnh còn lại. 2. Trực tâm H của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Gọi At là tiếp tuyến với đường tròn (ABC) tại A, nên: (chắn cung AB) (5) Mặt khác, ta có: tứ giác BEDC nội tiếp được, ta có: (cùng bù với ) (6) Từ (5) và (6): => At // ED => . Chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại, tức là: (đpcm). 2. Ta sẽ chứng minh EC là phân giác của . (cùng chắn cung DC trong đường tròn (BEDC)) (7) (cùng chắn cung HF trong đường tròn (BEHF)) (8) Từ (7) & (8) => => CE là đường phân giác của góc . Chứng minh tương tự, ta cũng có: DB là đường phân giác của góc và AF là đường phân giác của góc Vậy: Trực tâm H của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF BÀI TẬP ÁP DỤNG Gv: Phan Hữu Thiềm- Th.S. Toán học. .. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuẩn bị thi TNPT & CĐ-ĐH 2015. 1. Trong mp(Oxy), cho tam giác ABC với C(-3; 0), đường thẳng đi qua chân đường cao hạ từ A và B có pt: 7x + y + 5 = 0 . Viết pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng điểm M(4; 1) thuộc đường tròn đó. 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A và (BC): 2x + y -2 = 0. Hai điểm E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C của tam giác ABC . BE có pt: x + y + 1 = 0, điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng CF. Tìm tọa độ các đỉnh: A, B, C. 3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I(2; 1), bán kính R = 5. Chân đường cao hạ từ B, C, A lần lượt là D(4; 2), E(1; -2) và F. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF biết rằng điểm A có tung độ dương. 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: , M(2;3) là trung điểm của AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có các chân đường cao hạ từ B, C lần lượt là D(-1; -3), E(2; -3) . Tìm tọa độ các đỉnh: A, B, C biết A có tung độ âm.. Tài liệu tham khảo: 1. Toán học tuổi trẻ số 11 (2014). 2. Các đề thi thử TNTH và CĐ- ĐH năm 2015.. Gv: Phan Hữu Thiềm- Th.S. Toán học. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>