Chuyên đề So sánh học sinh giỏi Toán lớp 6

HSG TOÁN 6

CHUYÊN ĐỀ .SO SÁNH
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA.
I. Phương pháp 1:
Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số  hoặc cùng số mũ. 
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn  1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. 





a m  a n    a  1    m  n  
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn  0 )  thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. 





an  bn n  0    a  b  
II. Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân 

a  b  và  b  c  thì a  c  





a.c  b.c c  0    a  b  

II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa. 
Dạng 1. III. BÀI TẬP
Bài 1: So sánh các số sau đây:
a)  1619  và  8 25  

c)  2711  và  818  

e)  7.213  và  216  

b)  523 và  6.5 22  

d)  625 5  và  125 7  

f)  19920  và  200315  

Phân tích: 
Đưa cả hai lũy thừa về cùng cơ số, so sánh hai số mũ, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn. 
Lời giải
a)  1619  và  8 25  
1


TỐN 6

Ta có:  1619  (24 )19  276  và  825  (23 )25  275  nên  1619  825   (vì  276  275 ) 
b)  523 và  6.5 22  
Ta có:  523  5.522  6.522 nên  6.522  523  
c)  2711  và  818  
Ta có:  2711  (33 )11  333  và  81  (34 )8  332  nên  2711  818      (vì  333  332 ) 

d)  625 5  và  125 7  
Ta có:  6255  (54 )5  520  và  125  (53 )7  521 nên  6255  1257  (vì  520  521  ) 
e)  7.213  và  216  
Ta có:  216  23.213  8.213  7.213  nên  7.213  216  
f)  19920  và  200315  
Ta có:  19920  20020  (8.25)20  (23.52 )20  260.540
và  200315  200015  (16.125)15  (24.53 )15  (24.53 )15  260.545  
nên  19920  200315  ( vì  260.540  260.545 ) 
Bài 2: So sánh các số sau đây:

1  
1
 và  35       
21
2
5

e)  230  330  430  và  3.2410  

a)  5100  và  3 500  

c) 

b)  3 39  và  1121  

d)   3 2n  và  2 3n   n  *    





f)  111979  và  371320  

Phân tích: 
Đưa cả hai lũy thừa về cùng số mũ, so sánh hai cơ số, lũy thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn. 
Lời giải
a)  5100  và  3 500  

2


HSG TỐN 6

Ta có:  5300  (53 )100  125100  và  3500  (35 )100  243100  
nên  5300  3500  (vì  125  243    125100  243100 ) 
b)  3 39  và  1121  
Ta có: 3 39  340  (34 )10  8110  và  1121  1120  (112 )10  12110  
nên  339 1121  (vì  8120 12110 ) 

c) 

1  
1
 và  35  
21
2
5

Ta có:  221  (23 )7  87  và  535  (55 )7  31257  
nên:  221  535 ( do  87  31257 ) 

Suy ra: 

1
1
 35  
21
2
5





d)  3 2n  và  2 3n   n *  
Ta có:  32n  32   9n  và  23n  23   8n  nên:  32n  23n  (vì  9n  8n ) 
n

n

e)   230  330  430  và  3.2410  
Ta có:  430  230.230  (23 )10 .(22 )15  810.415  810.315  810.310.3  (8.3)10 .3  2410.3
nên: 230  330  430  3.2410
f)   111979  và  371320
Ta có: 

 

111979  111980  113

660

 

 1331660  và  371320  372

nên  111979  371320   (vì  1331660 1369660 ) 

3

660

 1369660  


TOÁN 6

Bài 3: So sánh các số sau:
a)  A 7245  7244  và  B  7244  7243  
b)  9920 và  999910  

 

c)  1010  và  48.50 5  

e)  291  và  5 35

d) 10750  và  7375  

f)  199010  19909  và 

199110  

Lời giải
a)  A 7245  7244  và  B  7244  7243
Ta có:     A 7244 72  1  7244.71  

B  7243 72  1  7243.71  
nên A  B  
b)  9920 và  999910

 

Ta có:  992  99.101  9999  992

10





 9999

10

 nên: 9920  999910  

c)   1010  và  48.50 5
Ta có:  1010  210.510  2.29.510  







và  48.505  3.24 . 25.510  3.29.510  
suy ra:  1010  48.505  (vì  2.29.510  3.29.510  ) 
nên:  1010  48.505  
d)  10750  và  7375
Ta có:  107 50  10850  4.27  2100.3150  
50

và  7375  72  8.9  2225.3150  
75

75

4


HSG TỐN 6

nên:  10750  7375  ( vì  2100.3150  2225.3150 ) 
e)  291  và  5 35  
Ta thấy:  291  290  25   3218  
18

và  535  536  52   2518  
18

nên:  291  535  (do 291  3218  2518  535  ) 
f)    199010  19909  và  199110





Ta có:  199010  19909  19909 1990  1  1991.19909  
và:  199110  1991.19919  
nên  199009  199010 199110  (do 19909 19919 ) 
Bài 4: So sánh các số sau 
a)  11022009 11022008  và  11022008 11022007
b)  A 20072007  20072008  và  B  20082009  
Lời giải
 
a)  11022009 11022008  và  11022008 11022007





Ta có:  11022009 11022008  11022008 1102 1  11022008.1101  





và  11022008 11022007  11022007 1102 1  11022007.1101  
suy ra: 11022008.1101 11022007.1101  

5


TOÁN 6

nên:  11022009  11022008  11022008  11022007  
b) A 20072007  20072008  và  B  20082009





Ta có:  A 2007 2007  2007 2008  2007 2007 1  2007  2008.20072007  
và  B  20082009  2008.20082008  





suy ra:  2008.20072007  2008.20082008    20072007  20082008  
nên A  B  
Bài 5: Chứng tỏ rằng : 527  263  528
Lời giải
Ta có:  263  27   1289   và  527  53   1259  nên  263  527  (vì 1259  1259 ) 
9

9

mà 263  29   5127  và  528  54   6257  nên  263  528 (vì 5127  6257 ) 

7

7

Nên:  527  263  528  
Bài 6: Chứng minh rằng: 

a)

21993  7714  

b)

21995  5863  

Lời giải
a)   21993  7714  
Ta có:  214  16384  75  16807  

và: 

1993 9965 714 9996
 nên  21993  214


=
14
90
5
90

1993
14

 

Vậy:  21993  7714  

6

 

 7

5

714
5

 7114  


HSG TỐN 6

b)  21995  5863  
Ta có:  215  32468  57  78125  

và: 

1993 13951 863 12945

 nên  21995  215


=
15
105
7
105

1995
15

 

 

 57

863
7

 5863  

Vậy:  21995  5863  
Bài tập 7: Viết theo từ nhỏ đến lớn:  2100   ; 375 và  5 50  
Lời giải
Ta có: 

2100  (24 )25  1625 



25

75
3
75 
3  3
 27   2100  550  375  


550  (52 )25  2525 




 

Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với 1 số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) 
Bài 1: So sánh biểu thức  A 

1315  1
1316  1
B

và
1316  1
1317  1

Lời giải
Ta có:  13A 

và 13B 

Vì

13.(1315  1) 1316  13 1316  1  12
12


 1  16
16
16
16
13  1
13  1
13  1
13  1

1316  1 13.(1316  1) 1317  13 1317  1  12
12

 17

 1  17
17
17
17
13  1
13  1
13  1

13  1
13  1

12
12
12
12
 nên  13A  13B
 16
 1  16
 1  17
13  1 13  1
13  1
13  1
17

Vậy  A  B
Bài 2: So sánh biểu thức  A 

10100  1
1098  1
B

 và 
1099  1
1097  1

Lời giải
7

TỐN 6

Ta có: 

1
10100  1
10100  10  9
9
A

 1  100
99
100
10
10.(10  1)
10  10
10  10

1
1098  1
1098  1
1098  10  9
9
B


 1  98
97
98

98
10
10.(10  1) 10  10
10  10
10  10

Vì 

9
9
9
9
 98
 1  98
 nên  1  100
 
10  10 10  10
10  10
10  10
100

Vậy  A  B  
Bài 3: So sánh biểu thức  A 

1920  5
1921  6
 và
B

1020  8

1021  7

Lời giải
Ta có: 

A

1920  5 1920  8  13
13

 1  20
20
20
19  8
19  8
19  8

B

1921  6 1921  7  13
13

 1  21
21
21
19  7
19  7
19  7

Vì 

13
13
13
13
 21
 1  21
 nên  1  20
 
19  8 19  7
19  8
19  7
20

Vậy  A  B  
Bài 4: So sánh biểu thức  A 

33.103
3774
và B 
3
3
5217
2 .5.10  7000

Lời giải
Ta có: A 

và:  B 

33.10 3
33.103
103.33
33



3
3
3
3
3
2 .5.10  7000
8.5.10  7.10
10 .(40  7) 47

3774
33

5217 47

Vậy A  B

8


HSG TOÁN 6

Bài 5: So sánh biểu thức  A 

1
1
1
1
 2  2  .... 
 và  B  1
2
2
3
4
1002

Lời giải

Ta có:

1
1
1 1

 
2
2.1 1 2
2

1
1
1 1

 

2
2.3 2 3
3
1
1
1 1

 
2
3.4 3 4
4
……………….. 

1
1
1
1



2
99.100 99 100
100
Lấy vế cộng vế ta có 

A

1
1
1

1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
99
 2  2  .... 
       ... 

 1

1
2
2
1 2 2 3 3 4
99 100
100 100
2
3
4
100

Vậy:  A  B  
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừ tìm cơ số (số mũ) chưa biết 
Bài 1. Tìm  x    biết  25  5x  125 . 
Lời giải
Ta có:   25  5x  3125  52  5x  55  2  x  5  . 
Do  x    nên  x  3; 4  . 
Bài 2. Tìm  x    biết  27  9x  81 . 
Lời giải

Ta có:  27  9x  243  33  32x  35  3  2x  5  . 

9


TOÁN 6

Do  x    2x    nên  2x  4  x  2  . 
Vậy  x  2 . 
Bài 3. Tìm  x    biết  16x  1284 . 
Lời giải
Ta có:  16x  24   2 4 x ;   128 4  27   228 . 
x

4

Do  16x  1284  nên  24x  228  4x  28  x  7  . 
mà  x    x  0;1;2; 3; 4; 5; 6  . 
Bài 4. Tìm  x    biết  364  x 48  572 . 
Lời giải
Ta giải  364  x 48  và  x 48  572 . 
Ta có  x 48  364  x 3   34   x 3  81  x  4       (1) 
16

 

x 48  572  x 2

24

16

 

 53

24

 x 2  125  11  x  11  (2) 

Từ (1) và (2) suy ra  4  x  11 . 
Vì  x    x  5, 6, 7, 8, 9,10  . 
Bài 5.  

18

Tìm  x    biết  5x  5x 1  5x 2  100

0 : 2  
18 so 0

Lời giải
Ta có: 
18
5x  5x 1  5x 2  100


0 : 2
18 so 0

5

3 x+3

18

 

18

 10 : 2

10


HSG TOÁN 6

 53 x 3  518
 3x  3  18  . 
x 5

Vậy  x  0;1;2; 3; 4;5  
DẠNG 4: Một số bài tốn khác.
Bài 1: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một 
lần và chỉ một lần ?
Lời giải
1. TH khơng dùng luỹ thừa : Số lớn nhất viết đựơc là 321 
2. TH có dùng luỹ thừa : (Bỏ qua TH cơ số hoặc số mũ bằng 1 và các luỹ thừa tầng vì các giá trị 
này q nhỏ so với 321) 
* Xét các luỹ thừa có số mũ một chữ số đươc 4 số :  13 2 ,312 ,12 3 ,213  213  312  

* Xét các luỹ thừa mà số mũ có hai chữ số được 4 số :  213 ,2 31 ,312 ,3 21  
21

=> 321  3.320  3.(3 2 )10  3.910 & 2 31  2.2 30  2(2 3 )10  2.810  2 313  
So sánh  321  và  213  321  39  (33 ) 3  273  213  
Vậy số lớn nhất là  321  . 
Bài 2:
a. Số  58  có bao nhiêu chữ số ? 
b. Hai số  2 2003  và  5 2003  viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số? 
Lời giải
Bài 1. Phương pháp: So sánh lũy thừa với một số luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của
số đó.
a.

11


TOÁN 6

58  (5 4 )2  6252  6002  360000
108 100000000 100000000


 400000  
28
256
250
 360000  58  400000.
58 

Do đó  58  có 6 chữ số. 
b. 
Giả sử 2 2003  có a chữ số và  5 2003  có b chữ số thì khi viết 2 chữ số liền nhau ta được 1 số có (a + b) 
chữ số. 
Vì 10 a 1  2 2003  10 a & 10 b 1  5 2003  10 b  
Nên 10 a 1 .10 b 1  2 2003 .5 2003  10 a .10 b  10 a  b  2  10 2003  10 a  b  
Do đó:  2003  a  b  1  
Vậy  a  b  2004  suy ra số đó có 2004 chữ số. 
Bài 3: Tìm các chữ số của các số  n  và  m  trong các trường hợp sau: 
a.  n  83.155  
b.  m  416.5 25  
Lời giải
Phương pháp: Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó lập luận
tìm số chữ số của số đó. 
3

5

5

Bài 2. a. Ta có  n  83.155   23  .  3.5   29.35.55  24.35.  2.5   16.243.10 5  3888.10 5
Số  3888.10 5   gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số. 
Vậy n có 9 chữ số. 
16

25

Bài 3. b. Ta có:  m  416.525   22  .525  232.525  27.  2.5   128.1025
Bài 4. Số  128.10 25  gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.
Vậy m có 28 chữ số. 

Bài 4: Tìm các số nguyên dương  m  và  n  sao cho:  2 m  2 n  256 . 

12


HSG TỐN 6

Lời giải
Ta có:  2 m  2 n  256  2 8  2 n (2 m n  1)  2 8

 1  

Dễ thấy  m  n , ta xét  2  trường hợp: 
Trường hợp 1: Nếu  m  n  1  thì từ   1  ta có: 
2 n.(2  1)  2 8  2n  2 8  n  8  và  m  9 . 

Trường hợp 2: Nếu  m  n  2  



 2 m  n  1  là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của  1  chứa thừa số ngun tố lẻ khi phân tích ra 

thừa số ngun tố, cịn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số ngun tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn 
nhau. 
Vậy  n  8  và  m  9 là đáp số duy nhất. 
 
CHỦ ĐỀ 2: SO SÁNH PHÂN SỐ
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
-

Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn 

-

Muốn so sánh hai phân số khơng cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu 

dương rồi so sánh các tử lại với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn 
Từ lý thyết cơ bản ta rút ra nhận xét sau:
-

Phân số có tử và mẫu là 2 số ngun cùng dấu thì lớn hơn 0. 

-

Phân số có tử và mẫu là 2 số ngun khác dấu thì nhỏ hơn 0. 

-

Hai phân số có cùng mẫu âm, phân số nào có tử lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại

II. CÁC DẠNG TOÁN
PHƯƠNG PHÁP 1: Quy đồng mẫu dương
Ví dụ 1: So sánh các phân số sau 

13


TOÁN 6

a.

42
180
và 
63
216

b.

136
306
và 
476
816

Lời giải
a.

42
2
4
180
5
và 



63 3 6
216 6
42

180
 

63 216
136 2 16
306 3 21




và 
476
7 56
816
8 56

Mà 6  0  và  4  5  nên 
b.

Mà 56  0  và  16  21  nên 

136 306

 
476
816

Ví dụ 2: So sánh các phân số sau 
a.

69
2019
và 
665
2020

b.

287
2476
và 
9111
3007

Lời giải
a.

69
2019
0
665
2020

287
2476
0
3007
 b.  9111

Ví dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần 

7 7 40 4
3
7
; 
;  ; 
;  ; 
 
6 8 32 15 10 24

Lời giải

7
140

6 120    

7
105

  8 120    

40 150

  32 120  

4
32

15 120    

3
36

  10 120    

7
35

 
  24 120

Mà  120  0  và   150  36  32  35  105  140  
Nên 

40
3
4
7
7
7
 





32 10 15 24 8 6

Ví dụ 4: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần 

5 19
1 1 7 1
; 
;  ;  ;  ;   
12 27 2 3 18 33

Lời giải

5
495

12 1188    

19
836

  27 1188  

1
594

  2 1188  
14


HSG TOÁN 6

1 396


3 1188

7
462

18 1188

1
36

33 1188

Mà  1188  0  và   495  462  396  36  594  836  
Nên 

19
1
1 1 7
5


    
27 2 33 3 18 12

Ví dụ 5: Tìm hai số ngun  a, b   sao cho 

2
a
b
1




 
21 9 7 3

Lời giải

2
a
b
1
6
7a
9b
21






6  7a  9b  21
21 9 7 3 hay 63 63 63 63 suy ra 
Vậy: a = 1, b = 1 hoặc a = 1, b = 2 hoặc a = 2, b = 2 
PHƯƠNG PHÁP 2: Quy đồng tử dương
Ví dụ 1: So sánh các phân số: 

17
51 ;


21

a) 
và  31

4
3 ;
9
13
b) 
và 
      

 
Lời giải

a) 17 
21

b)

51
51 51
17
51
;




63 63 31 21 31

4 12 3 12 12 12
4 3

;

;

 
9 27 13 52 27 52
9 13

Ví dụ 2: So sánh các phân số:
a) 

7
5
 và 
          b )  4 và  3
421
531
93   134

Lời giải

15


TOÁN 6

a)

7
35
5
35
35
35
7
5

;

;



421 2105 531 3717 2105 3717 421 531

 

b)

4 12
3
12 12
12
4
3


;

;

 
93 279 134 536 273 536 93 134  

 
PHƯƠNG PHÁP 3: Tích chéo với các mẫu dương 
A.

Lý thuyết: 

+ Nếu a.d > b.c thì

a c

b d

+ Nếu a.d < b.c thì

a c

b d

+ Nếu a.d = b.c thì

a c


b d

B.

Ví dụ

5 7
Ví dụ 1: So sánh  và  
6 8
Lời giải
 

5 7
  vì 5.8 < 7.6 
6 8
Ví dụ 2: So sánh 

4 4
và
 
5
8

Lời giải
 

4 4

 vì   4.8   4.5  
5

8
Ví dụ 3: So sánh 

3
4
 và   
4
5

16


HSG TỐN 6

Lời giải
Ta viết 

3 3
4 4
3
4
  và 

  
; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên 
4 4
5 5
4 5

Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương chẳng hạn

3 4

do 3.5 < -4.(-4)
4 5

là sai
Ví dụ 4: So sánh 

12
13
 và   
13
14

Lời giải
Ta có: 

12 13
 vì 12.14  13.13  
13 14

Ví dụ 5: So sánh 

7
10
 và 
 
4
3

Lời giải
Ta viết 

7 7 10

và
4 4
3  

Vì   7  .3   10  .4 nên

7 10

4
3  

PHƯƠNG PHÁP  4: DÙNG SỐ HOẶC PHÂN SỐ LÀM TRUNG GIAN 
4.1. DÙNG SỐ 1 LÀM TRUNG GIAN ( Chuyên đề so sánh số, phân số). 
Bài 1. So sánh các cặp phân số 
a)

7
19
 và 
. 
9
17

b)

8
2019
và 
. 
7
2020

 
Lời giải
a)

Ta có:  

b)

Ta có: 

7
19
7 19
 1  và   1 nên   . 
9
17
9 7

8
2019
8 2019
 1 và 

 1  nên  
. 
7
2020
7 2020
17


TỐN 6

Bình luận:
Một trong các phương pháp so sánh hai phân số là ta so sánh các phân số đó với số  1, nếu một phân 
số nhỏ hơn  1 và một phân số lớn hơn   1 thì chúng ta có đánh giá được ngay về hai phân số đó. 
Bài tốn tổng qt
Cho  a,   b,   m,   n   là các số tự nhiên khác  0 . So sánh hai phân số 
dàng đánh giá 

a
bn
 và  
. Khi đó ta rất dễ 
am
b

a
bn
. 
1
am
b

Bài 2. So sánh các cặp phân số 
a)

19
2005
 và 
. 
18
2004

b)

1011
2023
 và 
. 
1010
2021

c)

A

1930  5
1931  5
 và 
. 
B


1931  5
1932  5

Lời giải
19
1
2005
1
1
1
19 2005
 . Vì  
 nên  
.
 1   và 
 1
18
18
2004
2004
18 2004
18 2004

a)

Ta có: 

b)

Ta có 

c)

1931  5  90
1930  5
1931  95
90
Theo giả thiết  A  31
 suy ra  19 A  31
 
    1  31
.
31
19  5
19  5
19  5
19  5

1011
1
2023
2
1
2
2
1011 2023
  và 
. Vì 
 nên 
.

 1
 1



1010
1010
2021
2021
1010 2020 2021
1010 2021









1932  5  90
1932  95
90
Ta lại có  19 B  32
 
    1  32
.
32
19  5
19  5

19  5
90
90
Vì   19 31  5  1932  5  nên  31
. Suy ra  19 A  19 B    A  B . 
 32
19  5 19  5
Bình luận:
a
c
a
c
Một số bài tốn so sánh hai phân số   và   mà ta chỉ ra được   1  M ;  1  N  trong đó 
b
d
b
d

M  N  thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài tốn dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong 
thực tế chúng ta thường gặp những bài tốn khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là 
ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân 
số ban đầu. 

18


HSG TỐN 6

Bài tốn tương tự
Bài tập 1: Cho hai phân số  A 

107  5
108  6
và
 
B

107  8
108  7

So sánh  A  và  B . 
Bài tập 2: Cho hai phân số  A 

108  2
108
 và 
. 
B

108  1
108  3

So sánh  A  và  B . 
Bài tập 3: Cho hai phân số  A 

1920  5
1921  6
 và 
. 
B


1920  8
1921  7

So sánh  A  và  B . 
Bài tập 4: Cho hai phân số  A 

1010  1
1010  1
 và 
. 
B

1010  1
1010  3

So sánh  A  và  B . 
Bài 3. So sánh các cặp phân số 
a)

72
98
 và  . 
73
99

b)

2017
1009

 và 
. 
2019
1010

c)

A

22008  3
22007  3
 và 
. 
B

22007  1
22006  1

 
Lời giải
a)

Ta có 

72
1
98
1
1
1

72 98
 nên 
 
 1   và 
 1  . Vì 


73
73
99
99
73 99
73 99

b)

Ta có 

2017
2
1009
1
1
2
2
2017 1009
 và 
. Vì 
 nên 
 . 

 1
 1



2019
2019
1010
1010
1010 2020 2019
2019 1010

c)

Theo giả thiết  A 

22008  3
1
22008  3
1
 suy ra 
. 
A

 1  2008
2007
2008
2 1
2
2 2

2 2

22007  3
1
22007  3
1
 nên 
 . 
 1  2007
B

2006
2007
2 1
2
2 2
2 2
1
1
1
1
Vì   22008  2  22007  2  nên   2008
 suy ra  A  B  A  B  
 2007
2
2
2
2 2
2
Ta lại có  B 

Bình luận:
19


TỐN 6

a
c
a
c
Một số bài tốn so sánh hai phân số   và   mà ta chỉ ra được   1  M ;  1  N   trong đó 
b
d
b
d

M  N  thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài tốn dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong 
thực tế chúng ta thường gặp những bài tốn khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là 
ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân 
số ban đầu. 
Bài tốn tương tự.
Bài tập: Cho hai phân số   A 

Bài 4. Cho hai phân số:  A 

218  3
220  3
  và 
. So sánh  A  và  B . 

B

220  3
222  3

20082008  1
20082007  1
 và 
. So sánh  A  và  B . 
B

20082009  1
20082008  1

Lời giải
Cách 1: Với bài tốn này chúng ta có thể làm theo phương pháp so sánh với số 1, cách làm tương 
tự bài số 2 như sau : 
Ta có  2008 A 

20082009  2008
20082009  1  2007
2007
 
   1
. 

2009
2009
20082009  1
2008  1

2008  1

Ta lại có  2018B 

20082008  2018
20082008  1  2017
2017
 
   1
. 

2008
2008
20082008  1
2008  1
2008  1

Vì  22009  1  22008  1  nên 

2017
2017
 suy ra  2018 A  2018B  A  B . 
 2008
2009
2 1 2 1

Ngồi ra bài tốn này có thể giải bằng các cách sau: 
Cách 2:  Với  mọi số tự nhiên  a, b, c ≠ 0, ta chứng minh  được: 
+) Nếu 

a
a ac
> 1 thì   
. 
b
b bc

+) Nếu 

a
a ac
< 1 thì   
 . 
b
b bc

Áp  dụng tính chất trên vào bài, ta có: 
Vì  A 

20082008  1 20082009  1

 1  nên 
20082009  1 20082009  1

20


HSG TOÁN 6

2018  20082007  1

20082008  1 20082008  1  2017
20082007  1
 
 

A


 B . 
20082009  1 20082009  1  2017
20082008  1
2018  20082008  1

Vậy  A  B  
Cách 3:
Ta có:  



1 20082009  1 20082009  2008  2007
 
 

A 20082008  1
20082008  1

2008.(20082008  1)  2007
2007
   2018 
 

2008
20082008  1
2008  1

Ta lại có:  



1 20082008  1 20082008  2008  2007
 
 

B 20082007  1
20082007  1

2008.(20082007  1)  2007
2007
   2008 
 
2007
2008  1
20082007  1

Vì  2008 2008  1  2008 2007  1  nên  

Suy ra  2008 

2007
2007


 
2008
2008  1 20082008  1

2007
2007
1 1
 . Do đó    A  B  ( vì  A, B  0 ). 
 2008 
2008
2008
A B
2008  1
2008  1

Cách 4: Quy đồng 

Ta có:  A  B 



20082008  1 20082007  1  2008
 

20082009  1 20082008  1

2008

 1 20082008  1   20082009  1 20082007  1

 2008

20084016  2.20082008  1   20084016  20082009  20082007  1

 2008

2009

 1 20082008  1

2009

 

20082007  2.2008  20082  1

Bài toán tổng quát
Cho hai phân số:  A 

an  b
a n 1  b
 và 
. So sánh  A  và  B . 
B

a n1  b
a n 2  b

Bài toán tương tự.
Bài tập 1: Cho hai phân số  A 

1019  1
1020  1
 và 
. 
B

1021  1
1020  1

21

 1 20082008  1

 2008

2009

 1 20082008  1

 0 

 


TOÁN 6

So sánh  A  và  B . 
Bài tập 2: Cho hai phân số  A 

1015  1
1016  1
 và 
. 
B

1016  1
1017  1

So sánh  A  và  B . 

20092008  1
20092009  1
 và 
. 
B

20092009  1
20092010  1

Bài tập 3: Cho hai phân số  A 
So sánh  A  và  B . 
Bài tập 4: Cho hai phân số  A 

1019  1
1020  1
 và 
. 
B


1021  1
1020  1

So sánh  A  và  B . 
4.2 Dùng một phân số làm trung gian
Dạng 2. + So sánh hai phân số

a
c
và ; ( a, b, c, d  0)
b
d

Nếu  a  c  còn  b  d  (hoặc  a  c còn  b  d ) thì ta có thể chọn phân số trung gian là 

Bài 1: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất.: 

c
a
 (hoặc ) 
b
d

40
41
và   
57
55

Phân tích: Ta có tử số của phân số thứ nhất nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai ( 40  41 ); Mẫu số 

của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai (57 > 55). 
Lời giải.
Chọn phân số trung gian là 

Ta có: 

Vậy 

41
 
57

40 41
41 41
mà  
 

57 57
57 55

40 41
 . 
57 55

Đơi khi bài tốn khơng cho ta nhìn thấy ngay phân số trung gian mà phải biến đổi chúng về
các phân số tương đương có tính chất như trên. Các bạn có thể tham khảo một trong những
cách biến đổi nó như sau: 
+ Nếu hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số
phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp

22


HSG TỐN 6

2 hoặc 3 lần,…hay bằng

1 2
; ;... thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số
2 3

lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất”. Các bạn
lưu ý đây khơng phải là các tối ưu có thể áp dụng trong các trường hợp mà chỉ là một cách để
tham khảo.
Bài 2: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất. 

67
15
và 
 
101
29

Lời giải:
Ta có: 

15 15  4 60
 



29 29  4 116

Ta so sánh 

60
67
 và
. Ta thấy 60 < 67; 116 > 101 
116
101

Chọn phân số trung gian là 

Ta có

60
 
101

60
60 60 67
15 67
. Vậy 
 

;


116 101 101 101
29 101

a
am
a
+ Sử dụng tính chất với a, b,c, d >0 và  <1 thì chọn phân số trung gian là 
 (m>0) sao cho 
b
bm
b

<

am
<   
bm

Bài 3: So sánh hai phân số sau: 

33
15
 và   
101
29

Nếu theo cách trên các bạn sẽ có: Hiệu giữa hai mẫu số là: 101 – 29 =72 
Hiệu giữa hai tử số là: 33-15 = 18 
Tỉ số giữa hiệu của hai mẫu số và hiệu của hai tử số là: 72 : 18 = 4 
Nhân cả tử số và mẫu số của phân số 

15

 với 4 để có hiệu hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu 
29

số của hai phân số là nhỏ nhất. Ta có: 

Khi đó việc so sánh hai phân số 

15 15  4 60
 


29 29  4 116

33
15
60
33
 và 
 thành so sánh 
 và 
 
101
29
116
101
23


TỐN 6

Vì

33
33  15
48 60
<
, suy ra 
 1 , nên ta chọn phần tử trung gian là 

101
101  15 116 116

 
33
33  15 60
< 
<
. 
101 101  15 116

Nếu các bài tốn so sánh sử dụng phương pháp tìm phần tử trung gian chỉ đơn giản như các ví dụ 
phía trên thì thật là nhàm chán. Chúng ta có thể mở rộng hay nói vui là nâng cấp bài tốn sử dụng 
phương pháp dùng phần tử trung gian để nó trở lên hấp dẫn hơn. Chúng ta có thể sử dụng một trong 
các cách sau. (Tuy nhiên, tác giả mong muốn trước khi xem lời giải thì người đọc tự giải thử trước). 
Bài 4:: So sánh 
2015 2013 2011
2016 2014 2012
và 
 





2020 2018 2016
2019 2017 2015

Phân tích: Chắc chắn sẽ khơng ai ngốc nghếch đến mức quy đồng rồi so sánh. ^_^. Nhiều bạn sẽ sử 
dụng phần bù vì nhìn thấy quy luật của hiệu giữa tử và mẫu nhưng mình thấy cách đó dài hơn. 
Vậy nên chúng ta sử dụng kết hợp tính chất  a1  b1 ; a2  b2 ;....; an  bn thì 
a1  a2  a3  ...  an  b1  b2  b3  ...  bn  và phân số trung gian. 

Lời giải:
Ta so sánh 

2015
2016 2013
2014 2011
2012
và 
; 
 và 
; 
và 
 
2020
2019 2018
2017 2016
2015

Ta thấy đã xuất hiện dạng bài dùng phân số trung gian 

2015
2016
2015
2015 2015 2016
và 
 chọn 
làm phân số trung gian. Dễ thấy
 (1) 


2020
2019
2019
2020 2019 2019
2013
2014
2013
2013 2013 2014
 và 
 chọn 
 làm phân số trung gian. Dễ thấy 
 (2) 


2018
2017
2017
2018 2017 2017
2011
2012

2011
2011 2011 2012
và 
chọn 
 làm phân số trung gian. Dễ thấy 
 (3) 


2016
2015
2015
2016 2015 2015

Từ (1), (2), (3) ta có 

2015 2013 2011 2016 2014 2012
< 
. 




2020 2018 2016 2019 2017 2015

Để tăng độ khó hơn một ít, chúng ta có thể mở rộng bài này thêm một chút

24


HSG TỐN 6

Bài 5:: Chứng mình rằng
2011 2007 2003
503 502 501
 < 




2020 2018 2016 504 503 502

Phân tích: Ta đưa bài toán về bài toán so sánh
2011 2007 2003
503 502 501
 và 
  (I)




2020 2018 2016
504 503 502

Ta chia thành các cặp 
2011
503 2007
502 2003
501
và 
; 

và 
; 
và 
 
2020
504 2018
503 2016
502

Hiệu giữa các mẫu số của phân sơ bên vế trái lớn hơn nhiều so với mẫu số của các phân số bên vế 
phải. Vậy để đưa về dạng có thể tìm được phần tử trung gian thì ta phải nhân vào cả tử và mẫu của 
vế phải một số để cho hiệu giữa các mẫu của phân số bên vế trái và mẫu của các phân số bên vế 
phải là nhỏ nhất. 
Lời giải:
Ta xét 

503 502 501 4 503 502 501 4  503 4  502 4  501 2012 2008 2004
=
 


 (


)




504 503 502 4 504 503 502

4  504 4  503 4  502 2016 2012 2008

(I)

Trở thành so sánh 

2011 2007 2003
2012 2008 2004
và 
 




2020 2018 2016
2016 2012 2008

So sánh 

2011
2012 2007
2008 2003
2004
và 
; 
và 
; 
và 
 
2020

2016 2018
2012 2016
2008

Khi đó: 

2011 2007 2003 2011 2007 2003 2012 2008 2004 503 502 501
< 
<
=
 








2020 2018 2016 2016 2012 2008 2016 2012 2008 504 503 502

(ĐFCM) 
Chúng ta lại có thể tăng thêm độ khó 1 chút. Ví dụ như bài sau: 
Bài 6:: So sánh 
899 895
225 299
và 


999 997

249 332  

Hướng dẫn:

25