Chuyên đề Góc, bài toán liên quan - Toán lớp 6

CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6

 
CHUN ĐỀ .GĨC – BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I . NỬA MẶT PHẲNG
1. Hình gồm đường thẳng  a  và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi  a  được gọi là một nửa mặt 
phẳng bờ  a . 
Nhận xét: bất kỳ đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối 
nhau. 

y

2. Tia  Oz  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oy , nếu tia  Oz  cắt 

B

đoạn thẳng  AB  tại điểm  M  nằm giữa  A  và  B  

( A  Ox, B  Oy; A  và  B  khác  O ) 

z


M

Nhận xét: Nếu hai tia  Ox  và  Oy  đối nhau thì mọi tia 

O

Oz  khác  Ox ,  Oy  đều nằm giữa hai tia  Ox ,  Oy . 



3. Hai điểm  A  và  B  cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ 

A

x

a  thì đoạn thẳng  AB  khơng cắt  a  

4. Hai điểm  A  và  C  thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ  a  thì đoạn thẳng  AC  cắt d tại điểm M 
nằm giữa  A  và  C . 

B

 

A
d
II - GÓC, SỐ ĐO GÓC. CỘNG SỐ ĐO HAI GĨC

M


C


1. Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau 

  có hai tai chung gốc là Ox và Oy 
xOy

tia Ox là tia đối của tia Oy 

  có 
                    Góc bẹt  xOy

y

 

y
O
x


O
0
2. Mỗi góc có một số đo dương. Số đo của góc bẹt là  180 . Số đo của mỗi góc khơng vượt qua 
 

1800 . 
3.So sánh góc. 

  cùng số đo 
A  B
A
  và  B


   số đo  
 
A B
A   số đo  B

x


HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

 
B
   số đo  
A
A   số đo  B
4. Các loại góc: 

00   góc nhọn    góc vng  (900 )   góc tù   bẹt  (1800 )  
5. Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh cịn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng 
đối nhau có bờ là cạnh chung. 
6. Góc phụ. Góc bù 

A  phụ với  B

  900  
A B
A  bù với  B
A
 B
  1800  

Hai góc vừa kề vừa bù gọi là hai góc kề bù. 
Hai góc kề bù có tổng bằng  1800  và hai cạnh ngồi là hai tia đối nhau 

 
7. Nếu tia  Oy  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oz  thì  xOy
yOz  xOz

  thì  Oy  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oz  
Ngược lại, nếu  xOy
yOz  xOz

  thì  Oy  nằm giữa hai tia  Ox, Oz . 
Nếu  xOy
yOz  xOz

Nếu tia   Oy  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oz ; tia  Ot  nằm giữa hai tia  Oy  và  Oz  thì: 

  xOz
 . 
xOy
yOt  tOz

8. Hai góc  AOB  và  AOC  là hai góc kề, tia  OA  là tia đối của  OA  
 

B

 
 

A

A

O


 

C
AOB  
AOC  1800  thì tia  OA  nằm giữa hai tia  OB  và  OC 
- Nếu  

  1800  thì tia  OA  nằm giữa hai tia  OB  và  OC . 
- Nếu  
AOB  AOC
III .VẼ GĨC CHO BIẾT SỐ ĐO
1. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia  Ox , bao giờ cũng vẽ được  1  và chỉ  1  tia  Oy  sao 
z

cho  xOy  m  (độ). 
 
 

y

O


 

x

  m0 , xOz
  n0 ; nếu  m  n  thì tia  Oy  nằm 
2.Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứ tia  Ox , có  xOy

giữa hai tia  Ox, Oz . 

2


CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

  m0 , xOz
  n 0 ; xOt
  p 0 . Nếu  m  n  thì 
3. Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia  Ox , có  xOy

Oz  nằm giữa hai tia  Oy  và  Ot . 
 

t

 

z

 

 
 

y

O

 

x

IV . TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC

1. Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng 
nhau 
z

 
 
 

y

O


 
 

x


  zOy
  xOy .
2. Nếu tia  Oz  là tia phân giác của góc  xOy  thì:  xOz
2

  xOy  tia  Oz  là tia phân giác của góc  xOy .
3. Nếu tia  Oz  nằm giữa hai tia  Ox, Oy  và  xOz
2

4. Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó. Mỗi góc có một 
đường phân giác duy nhất.
- Ba cạnh:  AB, BC , AC
, B
,C

- Ba góc:  A

3. Nếu một đường thẳng khơng đi qua các đỉnh của một tam giác và cắt một cạnh của tam giác ấy 
thì nó cắt một và chỉ một trong hai cạnh cịn lại. 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính số góc tạo thành từ các điểm (hoặc từ các tia) cho trước.
* Nếu có n tia chung gốc thì số góc tạo thành là

n(n1)
góc
2

Giải thích:

- Vì mỗi tia với 1 tia cịn lại tạo thành 1 góc.
- Xét 1 tia, tia đó cùng với n - 1 tia còn lại tạo thành n - 1 góc.
- Làm như vậy với n tia ta được n.(n-1) góc.


HSG VÀ TỐN CHUN 6

- Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả

n( n1)
góc
2

Bài tập 1: Cho 10 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm đó với nhau. Hỏi 
tất cả có bao nhiêu góc tạo thành (có đỉnh là các điểm đã cho) ? 
Hướng dẫn
Giả sử có 10 điểm A1, A2,…A10 trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. 
* Xét đoạn thẳng A1A2 
Nối A1 với 8 điểm cịn lại ta được 8 góc có đỉnh là A1 
Nối A2 với 8 điểm cịn lại ta được 8 góc có đỉnh là A2 
Vậy với đoạn thẳng A1A2   ta được 16 góc 
Mà ở đây có tổng cộng 

10.9
 45  đoạn thẳng do đó có 45. 16 góc. 
2

Nhưng nếu vậy mỗi góc đã được tính hai lần. Vậy số gúc là 

1045.16

 360 góc. 
2

Bài tập 2: Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân 
biệt (khơng trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc? 
Hướng dẫn 
Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc. Có 
2010 tia nên tạo thành  2010.2009 góc 
Nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần . 
Vậy có tất cả 

2010.2009
 = 2 019 045 góc 
2

Bài tập 3: Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các 
góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung 
gốc O và khơng trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. 
Hướng dẫn
Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và khơng trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo 
thành tất cả 300 góc. 
Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 
Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O cịn lại thành n + 5 

n
y

góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành: 
(n + 5)(n + 6) góc 
m

Vì tia này tạo với kia  và ngược lại nên mỗi góc được 
tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là: 
z

4

O

m'

x


CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

 n    5 n     6   góc 
2

Vì có 300 góc được tạo thành nên: 

 n    5 n     6   = 300    (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25 
2

  n + 5 = 24    n = 19 
Bài tập 4: Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: 
 2  2xOx
 ;  xOx
 3  3xOx
 ;  xOx

 4  4xOx
 ; ...;  xOx
 n  nxOx
 . Tìm số n nhỏ nhất để trong 
xOx
1
1
1
1

các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc. 
Hướng dẫn

 2  2xOx
 ; 
Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3, ..., Oxn sao cho:  xOx
1
 3  3xOx
 ;  xOx
 4  4xOx
 ; ...;  xOx
 n  nxOx
 
xOx
1
1
1
 1  x



 xOx
1Ox 2  x 2 Ox 3  ...  x n 1Ox n  
Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó  Ox 2017  là tia phân giác chung của 2017 góc: 

 4034  x


xOx
1Ox 4033  x 2 Ox 4032  ...  x 2016 Ox 2018  
Bài tập 5: Cho n tia chung gốc O: Ox1,Ox2,..., Oxn cùng nằm trong một nửa mặt phẳng bờ chứa tia 
Ox1. Có tất cả bao nhiêu góc được tạo thành? 
Hướng dẫn
Số góc có được từ n tia chung gốc là: 

n( n  1)
 
2

Bài tập 6: Cho  n  tia chung gốc tạo thành tất cả  190  góc. Tính  n ? 
Hướng dẫn
n(n 1)
 190  được  n  bằng  20 . 
2

Bài tập 7:
a) Cho  6  tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ? Vì sao? 
b) Vậy với  n  tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. 
Hướng dẫn
a) Vì mỗi tia với  1 tia cịn lại tạo thành  1  góc. Xét 1  tia, tia đó cùng với  5  tia cịn lại tạo thành  5  
góc. Làm như vậy với  6  tia ta được  5.6  góc. Nhưng mỗi góc đã được tính  2  lần do đó có tất cả là 

5.6
 15  góc. 
2

 n 1
b) Từ câu a suy ra tổng qt. Với  n  tia chung gốc có  n 
 (góc). 
 2 
Dạng 2: Bài tập liên quan tới tính đo góc.


HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

* Cho biết tia phân giác tính số đo góc
* Cho biết số đo góc chứng minh một tia là phân giác của góc
* Chứng minh góc bằng nhau, so sánh hai góc.
* Dựa vào việc tính số đo góc chỉ ra hai góc kề bù, hai tia đối nhau.
Bài tập 1: Vẽ 2 góc kề bù xƠy và x’ , biết xƠy = 700. Gọi Ot là tia phân giác của xƠy, Ot’ là tia 
phân giác của x’Ơy. Tính x’; tƠt’; xƠt’ 
Hướng dẫn
HD: Ta có xƠy và x’ là 2 góc kề bù 

  xƠy + x’ = 1800 
  x’= 1800 – 700 = 110 0 
y

Vì Ot’ là tia phân giác của x’ 

1
1

  t’Ơx’ = tƠy =  x’ =  .1100 = 550 
2
2

t'

t

Vì Ot là tia phân giác của xƠy 

  xƠt = tƠy =

700

1
1
xƠy =  .700= 350 
2
2

x

x'

O

Vì Ox và Ox’ đối nhau 

  Ot và Ot’ nằm giữa Ox và Ox’   xƠt + tƠt’ + t’Ơx’= 1800 
  tƠt’ = 180 0 – 350 – 550 = 90 0 

xƠt’ và t’Ơx’ là 2 góc kề bù    xƠt’ + t’Ơx’ = 180 0    xƠt’ = 1800 – 550 = 1250 
Bài tập 2: Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. 
a) Tính số đo mỗi góc. 
b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. 
c)* Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt 
(khơng trùng với các tia OA; OB; OC; OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc? 
Hướng dẫn
a) Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: 

  +  BOC
  =1800 
AOB

B

D

  = 5 AOB
  nên: 6 AOB
  = 1800 
mà  BOC
Do đó: 

A

  = 1800 : 6 = 300;  BOC
  = 5. 300 = 1500 
AOB

  =  DOC

  =
b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên  BOD

1
2

 = 750. 
BOC

  và góc DOC
 là hai góc kề bù nên:  DOA
  +  DOC
  =1800 
Vì góc  DOA
6

O

C


CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6

  =1800 -  DOC
  =  1800-  750 = 1050 
Do đó   DOA
c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia cịn lại thành n+3 
góc. Có n+4 tia nên tạo thành  (n + 4)(n + 3) góc,  nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần . Vậy có 
tất cả 

( n  4)( n  3)
góc
2



Bài tập 3: Cho hai góc kề bù  xOy  và 


  620  . Om là tia phân giác của góc 
yOz  . Biết  xOy

xOy; On là tia phân giác của góc yOz 



  và  mOy   ; 
a/ Tính số đo góc  xOm



b/ Tính số đo các góc  mOz  và 


 
yOn  và  nOz

 
xOn

  Rồi rút ra nhận xét 
c/ Tính số đo góc  mOn
Hướng dẫn


  180 0  620  1180  
yOz  1800   ( kề bù )   
yOz  1800  xOy
a/ Ta có :  xOy
  nên ta có 
Vì Om là phân giác của  xOy

 620
xOy


xOm  mOy 

 310  
2
2

y

n

m

Vì On là phân giác của  
yOz  nên ta có 


yOz 1180


yOn  nOz 

 590  
2
2

x

  và  
 
yOz  là hai góc kề bù và  Om là phân giác của  xOy
b/ Vì  xOy

yOz  nên tia Oy nằm gữa các tia 
On là phân giác của  
Om và Oz  ;  Ox và On  ; Om và On 
+ Oy Nằm giữa Om và Oz  . Ta có 


  mOz
  310  1180  149 0  
mOy
yOz  mOz
+ Oy nằm giữa Ox và On . Ta có 


  xOn
  620  590  1210  
xOy
yOn  xOn
c/ Vì Oy nằm giữa Om và On nên ta có 


  mOn
  310  590  900  
mOy
yOn  mOn
Nhận xét : Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì tạo thành một góc vng 

O


HSG VÀ TỐN CHUN 6

Bài tập 4: Cho góc  
AOB  1100 , tia  OC  nằm trong góc đó. Gọi  OM , ON  theo thứ tự là các tia 

 ? 
phân giác của các góc  AOC , BOC . Tính  MON
Hướng dẫn
0
    
  MOC
  CON
  AOC  COB  AOC  COB  AOB  110  550  

MON
2
2
2
2
2

Bài tập 5: Cho góc  
AOB  1000  và  OC  là tia phân giác của góc đó. Trong góc  
AOB  vẽ các tia 
  200 . Chứng tỏ rằng tia  OC  là tia phân giác của góc  DOE
 . 
OA, OE  sao cho  
AOD  BOE

Hướng dẫn

  COE
  300 . 
Chứng tỏ rằng  COD
Bài tập 6: Cho góc tù  xOy . Bên trong góc  xOy , vẽ tia  Om  sao cho góc  xOm  bằng  900  và vẽ tia 

On  sao cho góc  yOn  bằng  900 . 
a) Chứng minh góc  xOn  bằng góc  yOm . 
b) Gọi  Ot  là tia phân giác của góc  xOy . Chứng minh  Ot  cũng là 
tia phân giác của góc  mOn . 
Hướng dẫn
a) Lập luận được: 
  mOy
  xOy

  hay  900  mOy
  xOy
 
xOm

  xOy
  hay  900  nOx
  xOy
  xOn

yOn  nOx
yOm  

b) Lập luận được:  

  tOy
 
xOt

  xOn
  nOt
 
xOt

 
tOy
yOm  mOt

  mOt
 

 nOt
 Ot  là tia phân giác của góc  mOn . 

Bài tập 7: Trên đường thẳng  xx  lấy một điểm  O . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng 

xx   vẽ  3  tia  Oy , Ot , Oz  sao cho góc  x Oy  40 0 ; xOt  97 0 ; xOz  540 . 
a) Chứng minh tia  Ot  nằm giữa hai tia  Oy  và  Oz . 
b) Chứng minh tia  Ot  là tia phân giác của góc  zOy . 
Hướng dẫn 

8


CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6

 
a) Theo đề bài ta có  x Ox  180  mà góc  x Oy  và góc  yOx  kề bù. Mà góc  x Oy  400   góc 
0

yOx  1800  400  1400 . Suy ra góc  xOt   góc  xOy  hay tia  Ot  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oy . Lại 

có: góc  xOz   góc  xOt  hay tia  Oz  nằm giữa hai tia  Ot  và  Ox . Vậy tia  Ot  nằm giữa hai tia  Oz  
và  Oy . 
b) Theo câu a) ta có tia  Ot  nằm giữa hai tia  Oz  và  Oy     Góc  zOt   góc  tOy   góc  zOy . 
Vì tia  Ot  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oy  
  Góc  xOt   góc  tOy   góc  xOy  
Hay góc  tOy  430  (vì góc  xOt  970  và góc  xOy  540 ). 
Vì tia  Oz  nằm giữa hai tia  Ox  và  Ot  
=> Góc  xOz   góc  zOt   góc  xOt  
Hay góc  zOt  430  (vì góc  xOt  970  và  xOy  540 ) 

Suy ra góc  tOy   góc  zOt  430 . 
Vậy tia  Ot  là tia phân giác của góc  zOy . 
Bài tập 8: Cho tia  Ox . Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là  Ox . Vẽ hai tia  Oy  và  Oz  sao 
cho góc  xOy  và  xOz  bằng  1200 . Chứng minh rằng: 
a) Góc  xOy   góc  xOz     góc  yOz . 
b) Tia đối của mỗi tia  Ox, Oy, Oz  là phân giác của góc hợp bởi hai tia cịn lại. 
Hướng dẫn
a) Ta có: góc  x Oy  600 , góc  x Oz  600  và tia  Ox   nằm giữa hai tia  Oy, Oz  nên góc 

yOz  yOx  x Oz  1200 . 
Vậy góc  xOy   góc  xOz   góc  yOz  
b) Do tia  Ox   nằm giữa hai tia  Oy, Oz  và góc  x Oy   góc  x Oz  nên  Ox   là tia phân giác của góc 
hợp bởi hai tia  Oy, Oz . Tương tự tia  Oy   (tia đối của  Oy ) và tia  Oz   (tia đối của tia  Oz ) là phân 
giác của góc  xOz  và  xOy . 
Bài tập 9: Cho góc  AOB  1350 ,  C  là một điểm nằm trong góc  AOB  biết góc  BOC  900 . 


HSG VÀ TỐN CHUN 6

a) Tính góc  AOC . 
b) Gọi  OD  là tia đối của tia  OC . So sánh hai góc  AOD  và  BOD . 
Hướng dẫn
a) Theo giả thiết  C  nằm trong góc  AOB  nên tia  OC  nằm giữa hai 
tia  OB  và  OA  
  góc  AOC   góc  BOC   góc  AOB  
  góc  AOC   góc  AOB   góc  BOC   góc 

AOC  1350  900  450  
b) Vì  OD  là tia đối của tia  OC  nên  C , O, D  thẳng hàng. Do đó góc 

DOA   góc  AOC  1800  (hai góc kề bù). 
  góc  AOD  1800   góc  AOC  1800  450  1350  
Góc  BOD  1800  900  900  
Vậy góc  AOD   góc  BOD . 
Bài tập 10: Cho tam giác  ABC  và  BC  5cm . Điểm  M  thuộc tia đối của tia  CB  sao cho 

CM  3cm  
a) Tính độ dài  BM  
b) Cho biết góc  BAM  800 , góc  BAC  600 . Tính góc  CAM . 
c) Vẽ các tia  Ax, Ay  lần lượt là tia phân giác của góc  BAC  và  CAM . Tính góc  xAy . 
d) Lấy  K  thuộc đoạn thẳng  BM  và  CK  1cm . Tính độ dài  BK . 
Hướng dẫn
a) M , B  thuộc  2  tia đối nhau  CB  và  CM
 C  nằm giữa  B  và  M  

 BM  BC  CM  8(cm)  
b)  C  nằm giữa  B, M  
=> Tia  AC  nằm giữa tia  AB, AM  

  BAM
  BAC
  200  
 CAM
  xAC
  CAy
  1 BAC
  1 CAM
  1 ( BAC
  CAM
 )  1 BAM

  1 .800  400 . 
c) Có  xAy
2
2
2
2
2

d) 
- Nếu  K   tia  CM  C  nằm giữa  B  và  K1    BK1  BC  CK1  6(cm)  
- Nếu  K   tia  CB  K 2  nằm giữa  B  và  C    BK 2  BC  CK 2  4(cm) . 
Bài tập 11: Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm 
M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm. 
10


CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6

a) Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
0
b) Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho tOy = 130
, zOy = 300.  Tính số đo  tOz. 
t

Hướng dẫn
 
z

 
a) Trên tia Oy ta có OM = 1 cm < OB = 4 cm 

Vậy M là điểm nằm giữa O và B 
x

A

O

M

y

B

Do M nằm giữa O và B ta có OM + MB = OB 
=> MB = OB – OM = 4 – 1 = 3 
Do A thuộc tia Ox M thuộc tia Oy nên O nằm giữa hai điểm A và M 

z'

=> OM + OA = MA => MA = 2 + 1 = 3 cm 
Mặt khác do A, B nằm trên hai tia đối nhau, M lại nằm giữa O và B 
=> M nằm giữa A và B 
Vậy M là trung điểm của AB 
b) 
TH1: Tia Ot và tia Oz trên cùng một nữa mặt phẳng 
   = 1030 ,   yOz
  = 300 suy ra tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy. 
Do  yOt
  =  tOy
  –  yOz

   = 130 0 – 300 = 1000 
Ta có   tOz

TH2: Tia Ot và tia Oz khơng nằm trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là xy 
=> tia Oy nằm giữa hai tia Ot và Oz 
  +  yOz
  = 1300 + 300 = 1600 
  =  tOy
Ta có  tOz

Bài tập 12: Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D 
sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. 
a) Tính BD. 

   850 , BCA
  500.TínhACD
  . 
b) Biết  BCD
c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK. 
Hướng dẫn 


HSG VÀ TỐN CHUN 6

y
C

D

B

A

x

a) Tính BD 
Vì  B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax 
 A nằm giữa D và B 
  BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm) 

  = 850,  BCA
  = 500. Tính  ACD
 
b) Biết  BCD
Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD 
  +  BCA
  =  BCD
 
=>  ACD

  =  BCD
  -  BCA
  = 850 - 500 = 350 
=>  ACD
c)  Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK 
* Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 
- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B 
- Suy ra: AK + KB = AB   KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm) 
 
* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax 

- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B 
- Suy ra: KB = KA + AB   KB = 5 + 1 = 6 (cm) 
 
* Kết luận: Vậy  KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm 
Bài tập 13: Cho góc xBy = 550.Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C (A   B, C  B). 
Trên đoạn thẳng AC lấy  điểm D sao cho  góc ABD = 300 
a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm 
b/ Tính số đo góc  DBC 
c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc  DBz = 900. Tính số đo  ABz. 
Hướng dẫn
x

A
z
TH1                                                     

TH2 

 

x

A

D

12

B

D

C
y

B


CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6

 
 
 
 
 
a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C: 
AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm 
b) Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 
Ta có đẳng thức: 
  ABD
  DBC
  DBC
  ABC
  ABD
  55o  30o  25o  
ABC

c) Xét hai trường hợp: 
- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa 
hai tiaBz và BD 

  90o  ABD
  90o  30o  60o  
Tính được  ABz

- Trường hợp 2:Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai 
tia Bz và BA 

  90o  ABD
  90o  30o  120o  
Tính được  ABz
Bài tập 14: Trên đường thẳng  x ' x  lấy điểm  O  tuỳ ý. Vẽ hai tia  Oy  và  Oz  nằm trên cùng một 

 . 
  = 400,   x
nửa  mặt phẳng có bờ   x ' x  sao cho:  xOz
' Oy  3.xOz
a) Trong ba tia  Ox, Oy , Oz tia nào nằm giữa hai tia cịn lại ? 

' ? 
b) Gọi  Oz '   là tia phân giác của góc  x
' Oy . Tính góc  zOz
Hướng dẫn
z, 

y 
z 

 
 

x, 

   
O 

400 

x 

  nên:  x
a) Theo bài ra:  x
' Oy = 3.  xOz
' Oy = 3.400 = 1200 

xOy  và   x
' Oy  là 2 góc kề bù nên 
Hai góc  
 = 1800 -  x
xOy
' Oy  = 1800 -1200 = 600 
Hai tia Oy, Oz nằm trên cùng một  nửa mặt phẳng bờ chứa tia x’x 

  nhỏ hơn  
lại có  xOz
xOy nên tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy 


HSG VÀ TỐN CHUN 6

  =  

  +  zOy
Ta có:   xOz
xOy  
  =  
 = 600 - 400 = 200 
Hay  zOy
xOy  -   xOz
Mà  
yOz '  =  

1  1
.  x ' Oy =  . 120 0 = 60 0 (Oz, là tia phân giác  x
' Oy ) 
2
2

'  =  
Vậy:  zOz
yOz '  +  
yOz = 600 + 200 = 800 
Bài tập 15: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD bằng 
3cm. 
a) Tính độ dài đoạn thẳng CD. 
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính độ dài  đoạn thẳng BM. 
c) Biết  góc DAC = 120O. Vẽ Ax và Ay lần lượt là các tia phân giác của góc BAC và góc BAD. 
Tính số đo góc xAy. 
d) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB khơng chứa điểm D, nếu vẽ thêm n tia gốc A phân 
biệt khơng trùng với các tia AB, AC, Ax thì có tất cả bao nhiêu góc đỉnh A được tạo thành? 
Hướng dẫn
a) Vì điểm D thuộc tia đối của tia BC nên điểm B nằm giữa 

hai điểm C và D, ta có: 
CD = BC+ BD = 6+3 = 9 (cm) 
b) Vì M là trung điểm của đoạn CD nên 
CM = MD = CD: 2= 4,5 (cm) 
CM < CB nên điểm M nằm giữa hai điểm C và B 
Ta có: BC= BM + CM   BM = BC- CM= 6 – 4,5 =1,5 (cm) 

c) Vì Ax là tia phân giác của góc BAC nên  xAB

Vì Ay là tia phân giác của góc BAD nên  
yAB 

1
BAC  
2

1
BAD  
2

Vì điểm B nằm giữa hai điểm C và D nên tia AB nằm giữa hai tia AC và AD 

 = DAC
  BAD
 =120 0. 
 BAC
Vì Ax là tia phân giác của góc BAC, Ay là tia phân giác của góc BAD 
=> tia AB nằm giữa hai tia Ax, Ay 



  1 BAC
  1 BAD
   1 ( BAC
  BAD
 )  1 DAC
  600  
 xAy
xAB  BAy
2
2
2
2
d) Ta có n + 3 tia gốc A phân biệt (kể cả các tia AB, AC, Ax) 
Mỗi tia trong n + 3 tia hợp với n + 2 tia cịn lại một góc. Có n + 3 tia như vậy nên có tất cả (n + 3)(n 
+ 2) góc. Tính như thế mỗi góc đã được tính hai lần nên có tất cả (n + 3)(n + 2): 2 góc đỉnh A 
14


CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6

Bài tập 16: Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các 
góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. 
a) Tính số đo góc mOn 

b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết  m
'Oz  300   

Hướng dẫn 

n

y

  kề bù với  zOy
  nên:  xOy
  +  zOy
  = 180  
a) Vì  xOy
0

  nên: 
Vì tia Om là tia phân giác của  xOy

m

  1 xOy
 
mOy
2
  nên: 
Vì tia On là tia phân giác của  zOy

  1 zOy
 
nOy
2

z

O

m'

  kề bù với  zOy
  nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác của  xOy
 
Vì  xOy
  nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó: 
và tia On là tia phân giác của  zOy
  +  yOn
  =  mOn
 
mOy



1 1
 
xOy  +  zOy  =  mOn
2
2



1  
 
xOy  zOy  =  mOn
2



1
 
.1800  =  mOn
2





  = 900 
 mOn

 
b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó  m
'Oz   kề bù với  zOm

  = 1800 
'Oz  +  zOm
 m
  = 1800 
    300    +  zOm

  = 1500 
                 zOm
   kề bù với  mOx
 
Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó  zOm
  +  mOx
  = 1800 
   zOm

  = 180 0 
  1500  +  mOx
  = 300 
               mOx

  nên:  mOy
  mOx
   = 300 
Vì tia Om là tia phân giác của  xOy

x


HSG VÀ TỐN CHUN 6

   kề bù với  yOm
'  
Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó  yOm
  +  yOm
'  = 1800 
   yOm
'  = 1800 
   300   +  yOm
'  = 1500 
               yOm

Bài tập 17: Cho góc xOy . Vẽ tia Oz là tia phân giác của góc xOy . Vẽ tia Ot là tia phân giác của 
góc xOz . Vẽ tia Om là tia phân giác của góc xOt .
a) Giả sử  góc xOm = 120 . Hãy tính số đo góc xOy ? 
b) Tính giá trị lớn nhất của góc xOm ? 

Hướng dẫn
a) Tính được: xOy = 8.xOm = 8.120 = 960 
b)Vì xOy = 8.xOm , nên  xOm có giá trị lớn nhất khi 
xOy = 1800    xOm = 22,50 
Bài tập 18: Cho điểm O nằm ngồi đường thẳng d. Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho 
AB = 6cm, AC= 2cm. 
a) Tính BC. 

  80 , tính  OAC
 . 
b) Giả sử cho  OAB
o

c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C). Hỏi có bao nhiêu góc có  đỉnh 
O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d. 
Hướng dẫn
O

O

d

2 cm

A

6 cm

2 cm

d

C

C

B

Hình 1

A

6 cm
Hình 2

 

a) Tính BC. 
Vì A, B, C thuộc đường thẳng d và AB > AC nên xảy ra 2 trường hợp 
TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)
 AB = AC + CB  BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm 
TH2: A nằm giữa B và C (hình 2) 
 BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm 
Vậy BC = 4cm hoặc BC = 8cm 

16

B

CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6

 . 
b) Tính  OAC
TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)

  OAB
  80  
Tia AC và tia AB trùng nhau  OAC
o

TH2: A nằm giữa B và C (hình 2) 

 OAB
  là hai góc kề bù  OAC
  OAB
 180o  
Tia AC và tia AB đối nhau  OAC;

 180  OAB
 180  80 100  
Suy ra:  OAC
o

o

o

o

  80  hoặc  OAC
 100  
Vậy  OAC
o

o

c) 
+) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt 
+) Cứ 2 điểm trên  đường thẳng d nối với điểm O được một góc đỉnh O. 
Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O. 
Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là : 

2018.2017
 2035153  (góc) 
2
Vậy có 2035153 góc đỉnh O 
Bài tập 19: Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho 

  1200 , AOC
  800 . Gọi OM là tia phân giác của  BOC
 . 
AOB
 . 
a) Tính  AOM
 . 
b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của  CON

Hướng dẫn

  AOB
 (800 < 1200) 
a) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có  AOC

 Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB 
  BOC
  AOB
  800  BOC
  1200  BOC
  400  
 AOC

  BOM
  COM
  BOC  40  200  
Vì OM là tia phân giác của  BOC
2
2
  BOA
 
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có  BOM

(200< 1200) nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB 
  MOA
  AOB
 
 BOM

  1200  MOA
  1000  

=>  200  MOA
 và  AON
  là hai góc kề bù. 
b) Vì OM và ON là hai tia đối nhau nên hai góc  AOM
  AON
  1800  
 AOM


HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

  1800  AON
  800  
 1000  AON
  AON
  ( vì cùng bằng 80 0)  
Suy ra  AOC

 

(1) 

Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia OA nằm giữa hai 
tia OM và ON  

 

(2) 

 

Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của  CON
Bài tập 20: Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB 
lấy điểm N sao cho AN = AM. 
a) Tính BN khi BM = 2cm. 
b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho 
  400 , BAy
  1100 . Tính  yAx,
 NAy
 . 
BAx

y

c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn 
thẳng BN có độ dài lớn nhất. 

x

Hướng dẫn
a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB 

40

 AM + 2 = 5    AM = 3 cm 

)

N

Có AN = AM    AN = 3 cm 

A

Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B 
BN = AB + AN = 5 + 3 =  8 cm 
  BAy
 (400  1100 )  
b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có:   BAx
  xAy
  BAy
 
  Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có:  BAx
  1100  xAy
  1100  400  700  
hay  400  xAy
  và  NAy
  là hai góc kề bù . 
+   Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có  BAy
  NAy
  1800  
 BAy
  1800    NAy
  1800 1100  700  
hay  1100  NAy

c) Vì BN = AB + AN = 5 + AN 
Suy ra BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất 
Mà AN = AM    BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất 
Có AM    AB    AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B. 
Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất. 

 
 
 
18

0

M

B


CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

PHẦN II.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6
Bài 1.
 và  
 ;  On là tia phân giác của  
Cho  xOy
yOz là hai góc kề bù.  Om là tia phân giác của  xOy
yOz  
 
a) Tính  mOn
'  300 thì  m

b) Kẻ tia  Om ' là tia đối của tia  Om. Nếu  zOm
' Oy có số đo bằng bao nhiêu độ 

c) Vẽ đường thẳng  d khơng đi qua O. Trên đường thẳng  d lấy 2015 điểm phân biệt. Tính số các góc 
có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm bất kỳ trên đường thẳng d. 

Lời giải

n
y
m
3

2

4

z

1

O

x

m'
 O
  1 xOy
 ;  On là tia phân giác  
1
a)  Om là tia phân giác  xOy
yOz  O
yOz  
2
3
2

2

1800
 O
 O
  1 xOy

 mOn
yOz

 900  
2
3
2
2





'  1800  
b) Om và Om’ là hai tia đối nhau   mOm

'  Oz nằm giữa Om và  Om '  m

  1800
' Oz  mOm
+) m
' Oz  zOm

  mOz
  1800
Mặt khác  xOm

(1)  

(2)  


 
Từ (1) và (2)   m
' Oz  xOm

+) m
' Oy  
yOm  1800  
  300 (vì Om là tia phân giác của  xOy
)  
Mà  
yOm  xOm

m
' Oy  1800  
yOm  1800  300  1500  

c) Cứ 2 điểm trên đường thẳng  d nối với điểm O được 1 góc đỉnh O 
 có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O 
 Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kỳ trên đường thẳng d là: 
2015.2014
 4058210 (góc). Vậy có  4058210 góc. 

2


HSG VÀ TỐN CHUN 6

 , zOy
. Vẽ tia Om và On theo thứ tự là tia phân giác của các góc 
Bài 2.Vẽ hai góc kề bù  xOy
 , zOy
 . Vẽ tia  Om ' là tia đối của tia  Om  
xOy

 
a) Tính số đo  mOn
'  250  
b) Tính số đo của góc kề bù với  
yOn , biết  zOm
c) Trên cùng một nửa mặt chứa tia Oy, có bờ chứa tia  Ox. Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt gốc 
O và khơng trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành  630 góc đỉnh O (chỉ tính các góc thuộc 
nửa mặt phẳng nói trên). 
Lời giải
n
y
m

x

z

O

m'

  900
a )mOn
1
  2.250  50 0  
b) xOy
yOz  1300  
yOn  
yOz  650
2
Vậy góc kề bù với  
yOn có số đo bằng:  1800  650  1150  
c) Với  n tia chung gốc O vẽ được: 

n  n  1
2

góc đỉnh O 

ta phải có:  n  n  1  1260  36.35  n  36  
Vậy phải vẽ thêm :  36  5  31 tia gốc O như yêu cầu đề bài. 

Bài 3.Cho góc  xOy và góc  yOz là hai góc kề bù. Góc  yOz bằng  300  
  750 ; tia  On nằm trong góc  yOz sao cho  
a) Vẽ tia  Om nằm trong góc  xOy sao cho  xOm
yOn  150  

b) Hình vẽ trên có mấy góc? 
c) Nếu có  n tia chung gốc thì sẽ tạo nên bao nhiêu góc ? 

Lời giải
a) Vẽ được góc  xOy và góc  yOz kề bù và  
yOz  300  
Vẽ được tia  Om thỏa mãn điều kiện 
Vẽ được tia On thỏa mãn điều kiện 
20


CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6

m
y
n
O

x

z

 

b) Hình vẽ trên có 10 góc 
c) Lập luận : từ hình vẽ trên ta có mỗi tia với 1 tia cịn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 
4 tia cịn lại tạo thành 4 góc. Làm như vậy với 5 tia ta được  5.4 góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2 
lần, do đó có tất cả là 
 

5.4
 10 góc 
2

 n 1 
Từ đó suy ra tổng quát: với  n tia chung gốc có  n. 
 (góc) 
 2 
 , zOy
. Vẽ tia  Om, On theo thứ tự là tia phân giác của  xOy
 , zOy
 . Vẽ tia 
Bài 4.Vẽ hai góc kề bù  xOy
Om ' là tia đối của tia  Om  

 
a) Tính số đo  mOn

b) Tính số đo của góc kề bù với  
yOm , biết:  m
' Oz  300  
c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc  O và khơng trùng với các tia đã vẽ trong hình để 
tạo thành tất cả  300 góc. 
Lời giải

y

n

m
z

O

m'

 kề bù với  zOy
 nên:  xOy
  zOy
  1800  
a) Vì  xOy
 nên: mOy
  1 xOy
 
Vì tia  Om là tia phân giác của  xOy
2
 nên:  nOy
  1 zOy
 
Vì tia  On là tia phân giác của  zOy
2

x


HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

 kề bù với  zOy
 nên tia  Oy nằm giữa hai tia  Ox, Oz mà tia  Om là tia phân giác của  xOy
 và tia 
Vì  xOy
 nên tia  Oy nằm giữa hai tia  Om, On , khi đó: 
On là tia phân giác của  zOy


  1 xOy
  1 zOy
  mOn

mOy
yOn  mOn
2
2
 
1  
1
0
0


 xOy  zOy  mOn  mOn  .180  90
2
2






 
b) Vì hai tia  Om, Om ' đối nhau, khi đó  m
' Oz kề bù với  zOm



  1800  300  zOm
  1800  zOm
  1500  
m
' Oz  zOm
 kề bù với  mOx
 
Vì hai tia  Ox, Oz đối nhau, khi đó  zOm

  mOx
  1800  1500  mOx
  1800  mOx
  300  
 zOm
 nên:  mOy
  mOx
  300  
Vì tia  Om là tia phân giác của  xOy

Vì hai tia  Om, Om ' đối nhau, khi đó  
yOm kề bù với  
yOm '  


yOm  
yOm '  1800  300  
yOm '  1800  
yOm '  1500  
c) Giả sử cần vẽ thêm  n tia phân biệt chung gốc  O và khơng trùng với các tia đã vẽ trong hình để 
tạo thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là  n  6  

Cứ 1 tia gốc O tạo với  n  5 tia gốc O cịn lại thành  n  5 góc, mà có  n  6 tia như vậy nên tạo thành: 

 n  5 n  6  góc 
Vì tia này tạo với tia kia và ngược lại nên mỗi góc được tính 2 lần, suy ra số góc tạo thành: 

 n  5 n  6  góc. Vì có 300 góc nên ta có: 
2

 n  5  n  6 
2

 300   n  5  n  6   600  24.25  n  19  

  900 và vẽ tia On sao cho 
Bài 5.Cho góc tù  xOy.  Bên trong góc  xOy, vẽ tia Om sao cho  xOm

yOn  900.  

a) Chứng minh  xOn
yOm  
 . Chứng minh rằng  Ot là tia phân giác của góc  mOn  
b) Gọi Ot là tia phân giác của  xOy

Lời giải

22


CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

t

m

n

y

x

O

  mOy
  xOy
 hay  900  mOy
  xOy
 
a) Lập luận được  xOm


  xOy
 
yOn  nOx
xOy hay  900  nOx

 xOn
yOm  
  tOy
 ; xOt
  xOn

  nOt
  tOy

 
b) Lập luận được  xOt
yOm  mOt
  mOt
  Ot là tia phân giác của  mOn
 
 nOt

Bài 6.Cho góc  xAy,  trên tia  Ax  lấy điểm B sao cho  AB  6cm.  Trên tia đối của tia Ax lấy điểm  D  
sao cho  AD  4cm.   
a) Tính  BD   
b) Lấy C là một điểm trên tia  Ay.  Biết  BCD  80 0 , BCA  450  . Tính góc  ACD   
c) Biết  AK  2cm  (K thuộc BD). Tính  BK .   
Lời giải

y
C

x
D

A

B

 

a) Vì  B  thuộc tia  Ax,  D thuộc tia đối của tia  Ax  A  nằm giữa D và B 

 BD  BA  AD  6  4  10(cm)   
b) Vì A nằm giữa D và B   tia  CA nằm giữa hai tia  CB, CD.   




ACD  
ACB  BCD
ACD  BCD
ACB  80 0  450  350   
c) Trường hợp 1: K thuộc tia  Ax   

D
Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B 

A K

B

x

 


HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Suy ra  AK  KB  AB  KB  AB  AK  6  2  4(cm)   
Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia  Ax   

Lập luận chỉ ra được  A  nằm giữa K và B 

D

K A

B

x

 

Suy ra  KB  KA  AB  KB  6  2  8(cm)   
Kết luận : Vậy  KB  4cm  hoặc  KB  8cm.   
Bài 7.Cho tam giác  ABC có  
ABC  550 , trên cạnh AC lấy điểm  D ( D khơng trùng với A và C) 
a) Tính độ dài  AC , biết AD  4cm, CD  3cm  

 biết  
b) Tính số đo  DBC
ABD  300  
  900. Tính số đo  
c) Từ B dựng tia  Bx sao cho  DBx
ABx  

d) Trên cạnh  AB lấy điểm  E (E khơng trùng với  A và B). Chứng minh rằng  2 đoạn thẳng BD và 

CE cắt nhau. 
Lời giải

A
E

D

B

C

a) D nằm giữa A và C  AC  AD  CD  4  3  7cm  

 
b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên  
ABC  
ABD  DBC

 DBC
ABC  
ABD  550  300  250  
c) Xét hai trường hợp: 
Trường hợp 1: Tia  Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB 
Tính được:  
ABx  900  
ABD  
Mặt khác tia  BD  nằm giữa hai tia  BA, BC nên  00  
ABD  550  

 900  550  
ABx  900  00  350  
ABx  900  

Trường hợp 2: Tia  Bx, BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là  AB  
Tính được:  
ABx  900  
ABD  
Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được:  900  
ABx  1450  

24


CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Vậy  350  
ABx  1450 , 
ABx  900  
d) Xét đường thẳng BD 
Do  BD  cắt AC nên đường thẳng  BD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ  BD chứa 
điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A 
 tia  BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A 
E thuộc đoạn AB  E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A 

 E , C ở hai nửa mặt phẳng bờ BD 
 đường thẳng BD cắt đoạn EC 
Xét đường thẳng CE 
Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD 
Vậy 2 đoạn thẳng  EC , BD cắt nhau 
Bài 8.Cho điểm O nằm ngồi đường thẳng  xy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa đường 
  1300 , 
thẳng  xy , kẻ tia  Oz , Ot sao cho  zOt
yOt  1000  

a) Tia  Oz có là phân giác của  
yOt khơng ? Tại sao ? 
 , On là tia đối của tia  Ot. Tính số đo  mOn
 
b) Gọi  Om là phân giác của  zOt

c) Lấy thêm 19 điểm phân biệt trên đường thẳng  xy (các điểm này khơng trùng với điểm O) và một 
điểm A nằm ngồi đường thẳng  xy . Hỏi vẽ được bao nhiêu tam giác nhận 3 trong các điểm trên 
làm đỉnh. 
Lời giải

m

z

t

y

O

x

n
a) Vì điểm O nằm trên đường thẳng  xy nên hai tia  Ox, Oy là hai tia đối nhau 
, 

Nên  xOy
yOz là hai góc kề bù   xOy

yOz  1800  
yOz  500  


yOz  500  1000  nên tia  Oz nằm giữa 
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia  Oy có:  xOy
  tOz

  500 (2) 
tia Oy, Ot (1)  zOy
yOt  zOy