Chuyên đề nâng cao các bài toán về Phân số - Toán lớp 6


Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 6
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ

Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

Chương III – PHÂN SỐ
§1. Mở rộng khái niệm phân số. Hai phân số bằng nhau
Kiến thức cơ bản:

a
với a, b ∈ Z ; b ≠ 0 là một phân số, a là tử, b là mẫu của phân số.
b
a
Số nguyên a có thể viết là .
1
a
c
2. Hai phân số và gọi là bằng nhau nếu a . d = b . c.
b
d
1. Người ta gọi

Nâng cao:

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân số thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho

a −a
a −a
= =
;
b −b −b b
(Vì dễ nhận thấy hai “tích chéo” của chúng bằng nhau).
Thí dụ 38: Cho A =

{−5 ; 0 ; 9} . Hãy viết tất cả các phân số

a
với a ; b ∈ A.
b

Giải: Số 0 không thể lấy mà mẫu của phân số. Lấy số – 5 làm mẫu ta viết được 3 phân số là

−5
;
−5

0
;
−5

9
.
−5

Lấy số 9 làm mẫu ta viết được 3 phân số là

−5
;
9

0
;
9

9
.
9

Vật ta viết được tất cả 6 phân số.
Nhận xét:
- Mẫu của một phân số phải khác 0 nhưng tử của phân số có thể bằng 0, lúc đó giá trị của
phân số đúng bằng 0.
- Tử và mẫu của một phân số có thể bằng nhau, lúc đó giá trị của phân số đúng bằng 1.
Thí dụ 39: Tìm x, y ∈ Z biết.

x 3
= và x < y < 0.
15 y
Giải: vì

x 3
= nên xy = 45.
15 y

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-1-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

Vì x < y < 0. nên ta có bảng sau
x

− 45

− 15

−9

y

−1

−3

−5

BÀI TẬP
258. Trong các số sau, số nào là phân số?
−5
;

7

43
;
1

4
(a ∈ Z) ;
a −3

9
(a ∈ Z)
a −5

7 : 2a
10

2

( a ∈ Z)

259. Cho n ∈ N , hỏi sau n giờ thì kim giờ quay được bao nhiêu vịng? Vói giá trị nào thì số
vịng quay là một số tự nhiên.
260. Viết các phân số dưới đây dưới dạng phân phân số có mẫu dương, biết a ∈ Z
3
−4

;

17

a −3

(với a < 3) ;

6
−a 2 − 1

.

261. Từ ba số 2, 10, 50, trong đó có một số được dùng hai lần hãy viết các cặp phân số bằng
nhau.
262. Trong các phân số sau, những phân số nào bằng nhau?
15
;
60

−7 6
;
;
5 15

28
;
−20

3
.
12

263. Tìm x ∈ Z biết:

a)

111
91
37
13

264. Cho A =

b)

−84
108
< 3x <
14
9

3n − 5
n+4

Tìm n ∈ Z để A có giá trị ngun
265. Tìm n ∈ Z để cho các phân số sau đồng thời có giá trị nguyên:
−12
;
n

15
n−2

;

8
.
n +1

266. Tìm x ∈ Z biết:

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-2-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

a)

x −1 8
= ;
9
3

b)

− x −9
=
;
4
x

Website: tailieumontoan.com

c)

x
18
.
=
4 x +1

267. Tìm x, y ∈ Z biết:
a)

x 9
=
7 y

và x > y

b)

−2 y
=
x
5

và x < 0 < y.

268*. Tìm x, y ∈ Z biết:

x−4 4
=
y−3 3

và x − y =
5.

§2. Tính chất cơ bản của phân số.
Rút gọn phân số
Kiến thức cơ bản:
1. Tính chất cơ bản của phân số:
a a.m
=
(m ∈ Z ; m ≠ 0)
b b.m
a a:n
=
b b:n

(n ∈ ƯC(a,b))

Ta nói các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số hữu tỉ.
2. Rút gọn phân số:
a) Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung (khác ±
1) của chúng để được một phân số đơn giản hơn.
b) Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là ± 1
a
tối giản ⇔ ( a , b ) =
1
b

Nâng cao:
1. Muốn rút gọn một phân số thành phân số tối giản, ta chia tử và mẫu của nó cho ƯCLN
của chúng.
a
a.n
2. Nếu là phân số tối giản thì phân số bằng nó đề có dạng
với n ∈ Z ; n ≠ 0.
b
b.n
Thí dụ 40: Viết tập hợp A các phân số bằng phân số

−7
với mẫu dương có hai chữ số.
15

Giải:

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-3-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Vì

Website: tailieumontoan.com

−7
−7 . n

là một phân số tối giản nên mọi phân số bằng nó đều có dạng
. Mẫu số của các
15
15 . n

phân số phải tìm là một số có hai chữ số nên n ∈ {1 ; 2 ; 3 ...; 6} .

 −7 −14 −21 −28 −35 −42 
;
;
;
;
Vậy A =  ;

 15 30 45 60 75 90 
Thí dụ 41: Tìm phân số bằng phân số

32
, biết tổng của tử và mẫu là 115.
60

Giải:
8m
32 8
với
= theo tính chất cơ bản của phân số, phân số phải tim sẽ có dạng
15m
60 15
m ∈ Z ; m ≠ 0.

Ta có

Theo đầu bài thì 8m + 15m= 115 ; 32m= 115 ; m= 5 . Vậy phân số phải tìm là

8 . 5 40
= .
15 . 5 75

Nhận xét:
8
32
thành phân số tối giản
mà khẳng định các phân số
15
60
32
32 . m
bằng phân số
có dạng
thì ta sẽ mắc sai lầm là bỏ sót rất nhiều phân số bằng phân
60
60 . m

Nếu ta khơng rút gọn phân số

số

32
do đó khơng thể tìm được đáp số của bài tốn trên.
60

BÀI TẬP
269. Viết dạng tổng quát các phân số bằng phân số

−12
.
30

270. a) Một mẫu Bắc bộ = 3600m 2 . Hỏi một mẫu Bắc bộ bằng mấy phần của một hecta?
b) Một pao (pound) = 0,45kg. hỏi một pao bằng mấy phần của một ki lơ gam.
c) Một vịi nước chảy vào bể trong 48 phút thì đầy. Nếu mở vịi trong 36 phút thì nước
chiếm mấy phần bể.
271. Rút gọn các phân số sau:
990
a)
;
2610

272. Cho phân số

374
b)
;
506

3600 − 75
c)
;
8400 − 175

914 . 255 . 87
d) 12
18 . 6253 . 243

a
. Chứng minh rằng:
b

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-4-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Nếu

Website: tailieumontoan.com

a−x a
x a
= thì =
b−y b
y b

273. Cho phân số A =

1 + 3 + 5 + ... + 19
21 + 23 + 25 + ... + 39

a) Rút gọn A.
b) Hãy xóa một số hạng ở tử và xóa một số hạng ở mẫu để được một phân số mới có giá
trị bằng A.
274. Rút gọn phân số A =

71. 52 + 53
mà không cần thực hiện các phép tính ở tử.
530 . 71 − 180

275. Hai phân số sau có bằng nhau khơng?
abab
ababab
;
.
cdcd
cdcdcd

276*. Chứng minh rằng:
a)

1. 3 . 5... 39
1
= 20
21. 22 . 23 ... 40 2

b)

1. 3 . 5 ... (2n − 1)
1
= n với n ∈ N*

(n + 1)(n + 2)(n + 3)...2n 2

277. Tìm phân số

a
60
bằng phân số
, biết:
b
108

a) ƯCLN (a, b) = 15
b) BCNN (a, b) = 180
278. Tìm phân số bằng phân số

200
sao cho
520

a) Tổng của tử và mẫu là 306
b) Hiệu của tử và mẫu là 184
c) Tích của tử và mẫu là 2340.
279. Chứng minh rằng với n ∈ N* , các phân số sau là các phân số tối giản:
a)
280. Cho

3n − 2
4n − 3

;

b)

4n + 1
.
6n + 1

a
là một phân số chưa tối giản. Chứng minh rằng các phân số sau chưa tổi giản:
b

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-5-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

a)

a
a−b

;

281*. Cho phân số A=

b)

Website: tailieumontoan.com

2a
.
a − 2b

n +1
(n ∈ Z ; n ≠ 3)
n −3

a) Tìm n để A có giá trị ngun
b) Tìm n để A là phân số tối giản.

§3. Quy đồng mẫu số nhiều phân số
So sánh phân số
Kiến thức cơ bản:
1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương.
Bước 1: Tìm BCNN của các mẫu.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. So sánh phân số:
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng
một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó
lớn hơn.
Nâng cao:
a
c
1. Cho hai phân số
và
( a, b, c, d ∈ ; b > 0; d > 0 )
d

b
a c
ad > bc ⇔ >
b d
a c
ad < bc ⇔ < .
b d
2. Trong hai phân số có tử và mẫu đều dương, nếu hai tử số bằng nhau thì phân số nào có
mẫu nhỏ hơn phân số đó sẽ lớn hơn và ngược lại.
Cho a, m, n ∈ *
a a
> .
m n
Bạn đọc có thể chứng minh hai quy tắc so sánh trên đây bằng cách quy đồng mẫu rồi so
sánh hai tử.
Thí dụ 42:
a
c
và
Cho hai phân số
( a , b, c , d > 0 ) .
d
b
m
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-6-

BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Chứng minh rằng nếu

Website: tailieumontoan.com

a c
b d
> thì < .
b d
a c

Giải:
a c
b d
Vì > nên ad > bc hay bc < ad suy ra < .
b d
a c
Thí dụ 43:
−101
200
và
.
So sánh hai phân số
−100
201
−101 101 100
200 201
Giải:
=

>
= 1;
<
=
1.
−100 100 100
201 201
−101 200
.
Vậy
>
−100 201
Nhận xét:
- Trong cách giải trên, ta đã vận dụng tính chất bắc cầu của thứ tự để so sánh hai phân số.
- Nếu một phân số có tử và mẫu đều dương, thì phân số đó lớn hơn 1 khi và chỉ khi tử lớn
hơn mẫu; phân số đó nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi tử nhỏ hơn mẫu.
BÀI TẬP
282. Quy đồng mẫu rồi so sánh các phân số sau:
−789
1
1
29
−8
11
a)
và
;
b) 3 4 2 và 3 4 3 ;
c) và
( n ∈  *) .

3131
n
n +1
31
2 .3 .5
2 .3 .5
283. Quy đồng mẫu các phân số rồi sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
17 −19 38 −13
9
7 11
a)
và
b)
;
;
; ;
.
;
52
20 30 45 18
39 65
1
x y 1
284. Tìm các số nguyên x, y biết:
<
< < .
18 12 9 4
285. Quy đồng tử các phân số rồi sắp xếp theo thứ tự tăng dần
9
6

15
;
;
382
257
643
286. Tìm một phân số có mẫu là 15 biết rằng giá trị của nó khơng thay đổi khi lấy tử trừ đi 2 và
lấy mẫu nhân với 2.
287. Tìm hai phân số có mẫu dương biết rằng trong hai mẫu có một mẫu gấp 5 lần mẫu kia và sau
−65
56
khi quy đồng mẫu hai phân số đó thì được
và
.
210
210
288. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
307 317 307
29 28 29
b)
.
a) ; ; ;
;
;
40 41 41
587 587 593
289. So sánh

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-7-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

179
971
183
−184
và
b)
và
;
.
197
917
184
−183
Cho a ∈ {−5;7;9} ; b ∈ {0;16;17;18;19} .

a)
290.

a
.
b
291. Hai người cùng đi quãng đường AB. Người thứ nhất đi hết 32 phút, người thứ hai đi hết 48
phút.

a) So sánh quãng đường người thứ nhất đi trong 20 phút với quãng đường người thứ hai đi
trong 28 phút.
b) Người thứ hai phải đi trong bao lâu để được quãng đường bằng quãng đường người thứ
nhất đi trong 24 phút ?
7
9
292. Có bao nhiêu phân số lớn hơn nhưng nhỏ hơn
mà:
8
10
a) Mẫu là 40.
b) Mẫu là 80.
c) Mẫu là 400.
1
1
293. Có bao nhiêu phân số lớn hơn nhưng nhỏ hơn mà:
6
4
a) Tử là 1.
b) Tử là 5.
7
5
và
294. Cho hai phân số
12
8
7
5
nhưng nhỏ hơn .
a) Tìm một phân số lớn hơn

12
8
7
5
nhưng nhỏ hơn .
b) Tìm hai phân số lớn hơn
12
8
7
5
nhưng nhỏ hơn .
c) Tìm 9 phân số lớn hơn
12
8

Tìm GTLN và GTNN của phân số

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-8-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

§4. Chuyên đề 4. Một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số
Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (cách so sánh hai ” tích chéo”
thức chất chính là quy đồng mẫu), trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của
các phân số, ta cịn có thể so sánh bằng một số phương pháp khác. Tính chất bắc cầu của

thứ tự thường được sủ dụng, trong đó phát hiện ra số trung gian để làm cầu nối là vấn đề
quan trọng.
1. Dùng số 1 làm trung gian.
c
a c
a
> 1 và < 1 thì >
b d
d
b
a
c
a c
b) Nếu = 1 + M ; = 1 + N mà M > N thì > .
b d
b
d
M và N theo thứ tự gọi là “phần thừa” so với 1 của hai phân số đã cho.
Nếu hai phân số có “phần thừa” so với 1 khác nhau, phân số nào có “phần thừa” lớn hơn
thì lớn hơn.
1
77
1 84
Chẳng hạn
= 1+ .
= 1+ ;
83
76
76 83
1

1
77 84
nên
Vì
>
> .
76 83
66 83
c
a
c) Nếu = 1 − M ; = 1 − N
d
b
a c
mà M > N thì < .
b d
M và N theo thứ tự gọi là “phần thiếu” hay “phần bù” tới đơn vị của hai phân số đã cho.
Nếu hai phân số có “phần bù”tới đơn vị khác nhau, phân số nào có “phần bù” lớn hơn thì
phân số đó nhỏ hơn.
42
1
58
1
Chẳng hạn
= 1− ;
= 1− .
43
43 59
59
1

1
42 58
nên
Vì
>
<
43 59
43 59

a) Nếu

2. Dùng một phân số trung gian.
18
15
và
.
a) Thí dụ 44: So sánh
31
37
18
(phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là
Giải. Xét phân số trung gian
37
mẫu của phân số thứ hai).

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-9-

BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Ta thấy

Suy ra

18 18
> ;
31 37

Website: tailieumontoan.com

18 15
> .
37 37

18 15
(tính chất bắc cầu).
>
31 37

Nhận xét:
15
làm phân số trung gian(phân số này có tử là tử của phân
31
số thứ hai, có mẫu là mẫu của phân số thứ nhất).

- Ta cũng có thể lấy phân số

-Ta rút ra nhận xét: Trong hai phân số, phân số nào vừa có tử lớn hơn, vừa có mẫu nhỏ hơn

thì phân số đó lớn hơn( với điều kiện các tử và mẫu đều dương).
12
19
1
1
và
đều xấp xỉ nên ta dùng phân số làm trung gian.
4
4
47
77
12 12 1
19 19 1
Ta có
>
=
<
=
(1)
( 2).
47 48 4
77 76 4

b) Thí dụ 45: So sánh

Từ (1)( 2 ) suy ra

12 19
> .
47 77

BÀI TẬP
295.

So sánh:
a)

296.

n +1
n
và
( n ∈  *) .
n+2
n+3

67
73
và
;
77
83

b)

456
123
và
461
128

b)

58
36
và
89
53

c)

2003.2004 − 1
2004.2005 − 1
và
.
2003.2004
2004.2005

So sánh:
a)

298.

b)

So sánh:
a)

297.

64
73
và
;
85
81

11
16
và
32
49

So sánh các phân số:

=
A

3535.232323
3535
2323
=
; B =
;
C
353535.2323
3434
2322

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-10-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

5. (11.13 − 22.26 )
1382 − 690
.
và B =
22.26 − 44.52
137 2 − 548

299.

So sánh A =

300.

So sánh:
531
53
và
;
a)
571
57
Cho a, b, m ∈  *

301.

Website: tailieumontoan.com

b)

25
25251
và
26
26261

a+m
a
với .
b+m
b
11
10 − 1
1010 + 1
B = 11
302*. Cho A = 12 ;
10 − 1
10 + 1
Hãy so sánh A với B.
303. So sánh các phân số sau mà khơng cần thực hiện các phép tính ở mẫu:
54.107 − 53
135.269 − 133
A=
;
B=

53.107 + 54
134.269 + 135
304. So sánh:

Hãy so sánh

7

6

 1 
 1 
a)   với 
 ;
 243 
 80 

5

3

3
 5 
b)   với 
 .
8
 243 

§5. Phép cộng phân số. Tính chất cơ bản của phép cộng phân số
Kiến thức cơ bản:

a b a+b
+ = .
m m
m
2. Cộng hai phân số không cùng mẫu.
- Quy đồng mẫu các phân số.
- Cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.
3. Các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với số 0 của phép cộng các số nguyên có thể mở
rộng cho phép cộng phân số.
Nâng cao:
1
Phân số Ai Cập là phân số có dạng ( n ∈  *)
n

1. Cộng hai phân số cùng mẫu

Bất kì một phân số dương nào cũng có thể biểu diễn thành tổng của các phân số Ai Cập
khác nhau.
Chẳng hạn

7 1 1 1
= + +
8 2 4 8

Thí dụ 46:
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

-11-

BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Viết phân số

Website: tailieumontoan.com

3
thành tổng của các phân số Ai Cập khác nhau sao cho:
4

a) Có 2 số hạng
b) Có 3 số hạng
c) Có 4 số hạng.
Giải:
a)

3 1 2 1 1
= + = + .
4 4 4 4 2

b)

3 9
2 3 4 1 1 1
=
= + + = + + .
4 12 12 12 12 6 4 3

c)

3 18 1
2
3 12 1
1 1 1
=
=
+
+
+
=
+ + + .
4 24 24 24 24 24 24 12 8 2

Nhận xét:
- Khi viết một phân số thành một tổng thì đầu tiên ta viết các số hạng có mẫu giống nhau,
tử khác nhau, các tử đều là ước của mẫu, sau đó ta rút gọn các phân số
- Có thể có nhiều đáp số khác nhau, tùy theo cách ta biến đổi phân số đã cho thành phân số
có mẫu lớn hơn.
BÀI TẬP
305.

Tính các tổng sau:
a)

306.

4 27
+ ;
6 81

b)

48 −135
+
;
96 270

c)

30303 303030
.
+
80808 484848

Tính bằng cách hợp lí nhất.
 1 −5   2 −8 3 
a)  +  +  +
+ 
 4 13   11 13 4 
 21 −16   44 10  9
b)  +
+ + + .
7   53 31  53
 31

307.

Chứng minh rằng các tổng sau lớn hơn 1.

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-12-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

3 3 3
a) M = + +
8 15 7

19 29 39
49
b) N = +
+
+
60 100 150 300

c) P =
308.
1+

41 31 21 −11 −1
.
+
+
+
+
90 72 40 45 36

Tìm x ∈ , biết:

−1 19
x −1 58 59 −1
+
<
+
<
+
+ .
60 120 36 60 90 72 60

309.

Một người đi xe đạp từ A đến B hết 5 giờ; Người thứ hai đi xe máy từ B về A hết 2 giờ;
người đi xe máy khởi hành sau người đi xe đạp 2 giờ. Hỏi sau khi người đi xe máy đi được
1 giờ thì hai người đã gặp nhau chưa ?

310.

Cho ba vịi nước cùng chảy vào một bể cạn. Vòi A chảy một mình thì sau 6 giờ bể sẽ đầy;
vịi B chảy một mình mất 3 giờ, cịn vịi C chảy một mình mất 2 giờ mới đầy bể. Hỏi nếu
mở cả ba vịi cùng chảy một lúc thì trong bao lâu sẽ đầy bể ?

311.

Chứng minh rằng :

1

1
1
+
a)=
q q + 1 q ( q + 1)

với q ∈ ; q ≠ 0; q ≠ −1

a ( q + 1) − b
a
1
b)=
+
b q +1
b ( q + 1)

với a, b, q ∈ ; b ≠ 0; q ≠ −1

c) Áp dụng: Viết phân số

1
thành tổng của ba phân số Ai Cập khác nhau.
3
1
1
nhưng nhỏ hơn và có tử là 4.
5
4

312.

Tính tổng các phân số lớn hơn

313.

Chia đều 7 quả táo cho 8 em bé sao cho mỗi em bé đều được 3 phần.

314.

Cho phân số A =

n +1
n+2

a) Tìm n ∈  để A có giá trị ngun
b) Tìm n ∈  để A có GTLN.
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

-13-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

315.

Cho phân
số B
=

Website: tailieumontoan.com

10n
( n ∈  ).
5n − 3

a) Tìm n để B có giá trị ngun.
b) Tìm GTLN của B .
316.

Tìm m, n ∈  để cho

317.

Cho S =

1 n 1
+ =.
m 6 2

3 3 3 3 3
+ + + + .
10 11 12 13 14

Chứng minh rằng 1 < S < 2 , từ đó suy ra S không phải số tự nhiên.
318.

Cho S =

1
1

1
1
+
+ + ... + .
31 32 33
60

Chứng minh rằng
319.

3
4
5
5

Chứng minh rằng các tổng sau không phải là số tự nhiên:
a) A =

1 1 1
+ +
2 3 4

b) B =

1 1 1
1
+ + + ... +
2 3 4
8

c) C =

1 1 1
1
+ + + ... + .
2 3 4
16

§6. Phép trừ phân số
Kiến thức cơ bản:
1. Số đối: Số đối của phân số

Ta có:

a
a
kí hiệu là − .
b
b

a  a
+  −  =0.
b  b

a −a a
Như vậy − =
.
=
b

b
−b

2. Phép trừ phân số:
a c a  c
− =
+− 
b d b  d

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-14-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

Nâng cao:
1. Số đối của số đối của một số chính là số đó.
 a a
− −  =
 b b

2. Để tiện tính tốn nhiều khi ta viết một phân số thành hiệu của hai phân số khác.

1
1
m
.

=
−
b (b + m) b b + m
Bạn đọc có thể chứng minh công thức trên bằng cách làm phép trừ ở vế phải.
Thí dụ 47:
Cho b ∈ ; b > 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
−
< 2<
− .
b b +1 b
b −1 b

Giải:

1
1
b +1− b
1
1
1
− =
=
< = 2
b b + 1 b ( b + 1) b ( b + 1) b.b b
Vậy

1 1
1
> −
2
b
b b +1

(1)

Chứng minh tương tự ta được
Từ (1) và ( 2 ) suy ra

1
1
1
<
−
2
b
b −1 b

( 2)

1
1
1
1
1
−

< 2<
− .
b b +1 b
b −1 b

Nhận xét:
Trong cách giải của thí dụ trên ta đã thay phân số

1
1
bằng phân số lớn hơn nó là
b.b
b ( b + 1)

. Như vậy ta đã dùng phương pháp “làm trội”, khi đó dấu “ = ” được thay bỡi dấu “ < “.
Ngược lại với phương pháp “làm trội” là phương pháp “ làm giảm”, khi đó dấu “ = ” được
thay bỡi dấu “ > “.
BÀI TẬP
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-15-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

320.

Tính:
a)

321.

25 20
− ;
42 63

9 13 1
− − ;
50 75 6

c)

2 2
4
− −
15 65 39

7 17 1
= − ;
12 18 9

b)

29  13
 7
− + x =
30  23
 69

Tính bằng phương pháp hợp lý nhất.

a)

323.

b)

Tìm x biết:
a) x +

322.

Website: tailieumontoan.com

31  7
8 
− + 
23  32 23 

1 12 13
79 28
b)  + +  −  − 
3

67

41   67

41 

c)

38  8 17 3 
−  − − .
45  45 51 11 

1
quãng đường AB. Giờ thứ
3
1
1
hai đi kém giờ đầu là
quãng đường AB; giờ thứ ba đi kém giờ thứ hai
quãng đường
12
12

Một người đi quãng đường AB trong 4 giờ.. Giờ đầu đi được

AB. Hỏi giờ thứ tư đi được mấy phần quãng đường AB ?
324.

Tìm các số nguyên m và n biết rằng:

325.

Cho phân số A =

m 2 1
− =.
2 n 2

6n − 1
3n + 2

a) Tìm n ∈  để A có giá trị ngun
b) Tìm n ∈  để A có GTNN.
326.

Chứng minh rằng tổng hoặc hiệu của một số tự nhiên với một phân số tối giản là một phân
số tối giản.

327.

Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lí nhất:
a) A =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
;
1.2 2.3 3.4
49.50

b) B =

2

2
2
2
;
+
+
+ ... +
3.5 5.7 7.9
37.39
3
3
3
3
.
+
+
+
4.7 7.10 10.13 73.76

c) C =
328.

Tìm x biết:

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-16-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

x+

Website: tailieumontoan.com

4
4
4
4
−37
+
+
+ ... +
= .
5.9 9.13 13.17
41.45 45

329.

Cho S =

3
3
3
3
+
+
+ ... +
1.4 4.7 7.10
n ( n + 3)

với n ∈ * .

Chứng minh rằng S < 1.
330*. Cho S =

1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 .
2
2 3 4
9

Chứng minh rằng

2
8
5
9

§7. Phép nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép nhân phân số
Kiến thức cơ bản:
1. Quy tắc nhân phân số: Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau, nhân các mẫu
với nhau.
a c a.c
. =
.
b d b.d

2. Tính chất cơ bản: các tính chất giao hốn, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối của

phép nhân đối với phép cộng các số nguyên đều có thể mở rộng cho phép nhân phân số.
Chú ý: Phép nhân phân số cũng có tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ.
Nâng cao:
Lũy thừa của phân số:
n

a
a a a an
=
=
. ...
 
b
b 
b bn
b 

(n ∈ )

n thừa số

Thí dụ 48:
Cho hai phân số

a
a
và . Tìm hệ thức giữa a, b, c để tổng của hai phân số đó bằng tích
b
c

của chúng.
Áp dụng: Tìm vài cặp phân số sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-17-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

Giải:
a a ac + ab a ( b + c )
=
+
=
b c
bc
bc

(1)

a a a.a
. =
b c bc

( 2)

a ( b + c ) a.a

a a a a
+ =
. ⇔
=
⇔ a ( b + c )= a.a ⇔ b + c= a
b c b c
bc
bc

Từ (1) và ( 2 ) suy ra

9 9 9 9  81 
.=
+=


4 5 4 5  20 

Chẳng hạn

12 12 12 12  −144 
.=
+=


85 
−5 17 −5 17 

BÀI TẬP
331.

Tìm x ∈  biết:
a)

−5 120
−7 9
.
.
6 25
15 14

−5
−24 −5
b)   < x <
. .
3

 3 

332.

35

6

Thực hiện các phép tính:
9 15
5 11 7
a)  −  .  − − 

10 16 12 15 20


b)
333.





−3 28  43 5 21 
+ . +
− .
5
5  56 24 63 

Tính giá trị biểu thức sau bằng cách hợp lí nhất:
a)

17 −31 1 10 −1
.
. . . ;
5 125 2 17 23

11 −5 4 11 8
b)  . − .  . ;
4 9

 17

18

9 4  33

19

20   −5

1

1

c)  + − −  .  + +  .
 28 29 30 31   12 4 6 

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-18-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

334.

Website: tailieumontoan.com

Tìm tích:
1
1
1

1
a)  + 1  + 1  + 1 ...  + 1 ;
 2   3   4   99 
1
1
1
1
b)  − 1  − 1  − 1 ...  − 1 ;
 2   3   4   99 

c)
335.

3 8 15 899
. . ...
.
22 32 42 302

Hai người đi bộ cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều để gặp nhau.

Người thứ nhất đi trong 36 phút với vận tốc
với vận tốc
nhau

7
km/h rồi tạm nghỉ. Người thứ hai đi trong 45 phút
2

10
km/h rồi tạm nghỉ. Biết rằng cho đến lúc nghỉ thì họ chưa gặp nhau, cịn cách

3

2
km. Tính khoảng cách AB.
5
a
sao cho khi lấy mẫu trừ đi tử thì giá trị của phân số tăng lên 10 lần.
b

336.

Tìm phân số tối giản

337.

Tìm n ∈  để tích các phân số

338.

Tìm số nguyên âm lớn nhất để khi nhân nó với một trong các phân số tối giản sau đều
được tích là những số nguyên:

339.

5 −7 11
; ; .
6 15 21

Tìm phân số dương nhỏ nhất để khi nhân nó với một trong các phân số sau đều được kết
quả là những số nguyên:

340.

19 n
. có giá trị là một số nguyên.
n −1 9

3 6 9
; ; .
4 5 10

1 3 5 99
2 4 6 100

Cho M = . . ...

2 4 6 100
N = . . ...
3 5 7 101

a) Chứng minh M < N
b) Tìm tích M . N
c) Chứng minh M <

1
.
10

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-19-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

§8. Chuyên đề 5. Tổng các phân số viết theo quy luật
Ta đã gặp các bài tốn tính tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo quy
luật. Chẳng hạn bài 327, tính tổng

3
3
3
3
. Ta thấy tử của chúng không thay
+
+
+ ... +
4.7 7.10 10.13
73.76

đổi và đúng bằng hiệu của hai thừa số ở mẫu; thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu
sau.
Phương pháp giải tốn loại này là dùng cơng thức

m
1
1
=

−
để viết mỗi số hạng
b (b + m) b b + m

thành một hiệu của hai phân số. Số trừ của nhóm trước bằng số trừ của nhóm sau rồi khử liên
tiếp, còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng.
Nếu mỗi số hạng có dạng phức tạp hơn như

2m
thì ta dùng cơng thức :
b ( b + m )( b + 2m )

2m
1
1
=
−
để viết mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số.
b ( b + m )( b + 2m ) b ( b + m ) ( b + m )( b + 2m )

Chẳng hạn

2
1
1
4
1
1
(ở đây =
(ở đây =

=
−
=
−
m 1;=
b 1 ) hay
m 2;=
b 1 ).
1.2.3 1.2 2.3
1.3.5 1.3 3.5

Bạn đọc có thể chứng minh công thức trên bằng cách làm phép trừ ở vế phải.
Thí dụ 49.
Tính tổng: A =
Giải: A =

1 1 1
1
+ + + ... +
10 15 21
120

1 1 1
1
+ + + ... +
10 15 21
120

A=

2
2
2
2
+
+
+ ... +
20 30 42
240

1
1
1 
 1
=
A 2. 
+
+
+ ... +

15.16 
 4.5 5.6 6.7
1 1
1 1 1 1 1 1
A
= 2.  − + − + − + ... + − 
15 16 
4 5 5 6 6 7
3 3
1 1 

A = 2.  −  = 2. =
16 8
 4 16 

Nhận xét:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-20-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

Ta thấy lúc đầu trong tổng đã cho, các số hạng đều có tử là 1 nhưng mỗi mẫu khơng phải là
tích của hai thừa số có hiệu bằng 1=
= 3.5;21
= 3.7;....) vì vậy ta đã áp dụng tính chất
(10 2.5;15
cơ bản của phân số, nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với 2 , ta được các mẫu mới lần lượt là
20,30, 42,..., 240 . Ta thấy
=
20 4.5;30
= 5.6;
=
42 6.7;... thỏa mãn yêu cầu có hiệu của hai thừa số
bằng 1 . Nhưng tử của mỗi phân số lúc này không phải là 1 mà là 2 nên ta phải dùng tính chất
phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đặt 2 ra ngoài dấu ngoặc.
BÀI TẬP
341. Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lí nhất:

4
4
4
4
;
a) A=
+
+
+ ... +
3.7 7.11 11.15
107.111
2 2
2
2
b) B =
+ + + ... +
15 35 63
399
342. Tính các tổng sau:
7
7
7
7
;
a) =
C
+
+
+ ... +
10.11 11.12 12.13

69.70
6
6
6
6
b) =
D
+
+
+ ... +
15.18 18.21 21.24
87.90
32
32
32
32
+
+
+ ... +
c) E=
.
8.11 11.14 14.17
197.200
343. Tính các tổng sau:
1
1
1
1
a) =
F

+
+
+ ... +
25.27 27.29 29.31
73.75
15
15
15
15
b) G =
+
+
+ ...
90.94 94.98 98.102
146.150
10 10
10
10
.
c) H =
+
+
+ ... +
56 140 260
1400
344. Chứng minh rằng với mọi n ∈  ta ln có:
1
1
1
1

n +1
+
+
+ ... +
=
1.6 6.11 11.16
( 5n + 1)( 5n + 6 ) 5n + 6
345. Tìm x ∈  biết:
20
20
20
20
3
x−
−
−
− ... −
=
11.13 13.15 15.17
53.55 11
346. Tìm x ∈  biết:
1
1
1
2
2
+
+ + ... +
=
21 28 36

x ( x + 1) 9
347. Chứng minh rằng:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-21-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
< ;
1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20 4
36
36
36
36
b) =
B
+
+

+ ... +
< 3.
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
348. Chứng minh rằng:
1 1 1
1
a) M = 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1
( n ∈ ; n ≥ 2 )
2 3 4
n
1 1 1
1
1
b) N = 2 + 2 + 2 + ... +
<
( n ∈ ; n ≥ 2 )
2
4 6 8
( 2n ) 4

a) =
A

2! 2! 2!
2!
+ + + ... + < 1
( n ∈ ; n ≥ 3)
3! 4! 5!
n!

349. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
=1 − + − + ... +
− .
26 27 28
50
2 3 4
49 50

c) P =

§9. Phép chia phân số
Kiến thức cơ abản:
1. Số nghịch đảo:
Hai số gọi là nghịch đảo của nhau khi tích của chúng bằng 1 .
a
b
Nghịch đảo của là
( a, b ∈ ; a, b ≠ 0 )
b
a

2. Phép chia phân số:
a c a d ad
=
:
=
.
b d b c bc
Nâng cao:
Hai số dương nghịch đảo nhau, bao giờ cũng có tổng lớn hơn hoặc bằng 2 . (Xem thí dụ 50).
Thí dụ 50.
Cho

a
a b
> 0 , chứng minh rằng + ≥ 2 .
b
b a

Giải:
Khơng giảm tính tổng qt, giả sử a ≥ b suy ra a= b + m ( m ≥ 0 ) .

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-22-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Ta có:

Website: tailieumontoan.com

a b b+m
b
+=
+
b a
b
b+m

= 1+

m
b
m
b
m+b
+
≥ 1+
+
= 1+
b b+m
b+m b+m
b+m

=1+1 = 2 .

Vậy

a b

+ ≥ 2 (dấu = ⇔ m = 0 ⇔ a = b ).
b a

Nhận xét:
Trong một bất đẳng thức có chứa chữ, nếu các chữ a và b có vai trị như nhau, ta có thể thay
a bởi b ; thay b bởi a , do đó ta có thể sắp thứ tự tùy ý cho nên trong cách giải nên ta đã giả
sử a ≥ b mà khơng sợ mất tính tổng qt.
BÀI TẬP
350. Thực hiện các phép tính:
99 98 97
2 1
1:
: : : ... : :
100 99 98
3 2
351. Thực hiện các phép tính:
 7 11 15   11 26 
a)  + −  :  −  ;
 20 15 12   20 45 
5 5 5
15 15
5− + −
15 − +
3 9 27 :
11 121 ;
b)
8 8 8
16 16
8− + −
16 − +

3 9 27
11 121
1 5
− −4
9 6
;
c)
7 1
− − 10
12 36
352. Tìm x biết:
1 1 
1 1 7

a)  x + −  :  2 + −  = ;
4 3 
6 4  46

b)

13  13
7
 7
.
−  + x . =
15  21
 12 10

353. Cho A = {30;42;56;72;90;110;132;156;182;210}
B = {15;35;63;99;143;195}

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-23-


BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Website: tailieumontoan.com

Chứng tỏ rằng tổng các số nghịch đảo của các phần tử thuộc tập hợp A đúng bằng
tổng các số nghịch đảo của các phần tử thuộc tập hợp B .
354. Cho hai phân số có tổng bằng −3 và tích bằng

12
. Tính tổng các số nghịch đảo của
5

hai phân số đó.
355. Tìm phân số dương nhỏ nhất mà khi chia phân số này cho các phân số

356.

357.
358.
359.

360.

42 63

;
ta
275 110

được kết quả là một số tự nhiên.
2
28
. Tìm
Tích của hai phân số là . Nếu thêm vào thừa số thứ hai 3 đơn vị thì tích là
5
15
hai phân số đó.
Một ca nơ xi một khúc sơng từ A đến B mất 6 giờ, ngược dòng từ B về A mất 7
giờ 30 phút. Hỏi một khúc gỗ trôi từ A đến B mất bao lâu?
Lúc hơn 3 giờ kim giờ ở trước kim phút đúng 4 khoảng chia phút. Hỏi lúc đó là mấy
giờ?
Hai vịi nước cùng chảy vào một bể. Sau 10 phút người ta đóng vịi B , hỏi vòi A phải
chảy thêm trong bao lâu nữa thì bể đầy nước; biết rằng một mình vịi A chảy đầy bể
trong 45 phút, một mình vịi B chảy đầy bể trong 30 phút.
a+b b+c c+a
Cho a, b, c ∈ * và S =
+
+
c
a
b
a) Chứng minh S ≥ 6 .
b) Tìm GTNN của S .

361*. Cho a, b, c ∈ * ; x + y + z =

5
Biết =
S1

b
c
x+ z;
a
a

=
S2

a
c
x+ y;
b
b

=
S3

a
b
z+ y.
c
c

Chứng minh rằng: S1 + S 2 + S3 ≥ 10 .

§10. Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm
Kiến thức cơ bản:
1. Hỗn số: Là số gồm phần nguyên kèm theo phân số (thường nhỏ hơn 1)
17
2
= 3 (chia 17 cho 5 được 3 dư 2 )
5
5
−17
2
= −3 (chia −17 cho 5 được −3 dư −2 ).
5
5
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

-24-