Chuyên đề Thực hiện dãy tính, tính nhanh - Toán lớp 6
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (812.92 KB, 104 trang )
CHUYÊN ĐỀ.THỰC HIỆN DÃY TÍNH – TÍNH NHANH
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Với bài tốn thực hiện phép tính trong các kì thi học sinh giỏi, địi hỏi học sinh phải nhanh nhạy trong
việc phối hợp nhiều phép tinh như: phép tính lũy thừa, phép tính cộng trừ các phân số, tối giản phân số,
rồi tính tổng theo quy luật…thứ tự thực hiện phép tính
KIẾN THỨC BỔ TRỢ:
1/ Cơng thức tính lũy thừa của số tự nhiên:
am.an = am+n
(a.b)m = am.bm
(am)n = am.n
m
am
a
n
b
b
b 0 hay (a : b)m = am : bm
2/ Một số công thức đặt thừa số chung
a.b + a.c + a.d + …..+ a. k = a.(b + c + d + … + k)
1 1
a
a
a
1
...
a. ...
x1 x 2
xn
xn
x1 x 2
4/ Một số cơng thức tính tổng.
a) Tổng các số hạng cách đều: S = a1 + a2 + a3 + …. + an
(1)
Với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d (các số hạng cách đều)
Số số hạng trong tổng là n =
a n a1 : d 1
a1 là số hạng thứ nhất
an là số hạng thứ n
Tổng S = n.(a1 + an) : 2
Số hạng thứ n của dãy là an = a1 + (n – 1).d
b) Tổng có dạng: S = 1 + a + a2 + a3 + ….+ an
(2)
B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được.
a.S = a + a2 + a3 + a4 + ….+ an + 1
(3)
B2: Lấy (3) trừ (2) vế theo vế được:
a.S – S = an + 1 – 1 => S
a n 1 1
a 1
c) Tổng có dạng: S = 1 + a2 + a4 + a6 + ….+ a2n
(4)
2
B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được.
a2.S = a2 + a4 + a6 + a8 + ….+ a2n + 2
B2: Lấy (5) trừ (4) vế theo vế được:
(5)
2
2n + 2
a .S – S = a
a 2n 2 1
– 1 => S 2
a 1
d) Tổng có dạng: S = a + a3 + a5 + a7 + ….+ a2n + 1
(6)
B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được.
a2.S = a3 + a5 + a7 + a9 + ….+ a2n + 3
(7)
B2: Lấy (7) trừ (6) vế theo vế được:
a2.S – S = a2n + 3 – a => S
a 2n 2 a
a 2 1
d) Tổng có dạng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1). n
(8)
Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1
=> Nhân vào hai vế của đẳng thức (8) với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) ta được.
3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ….+ (n – 2).(n – 1) .3+ (n - 1).n.3
= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ….+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)]
+ (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)]
= (n – 1).n.(n + 1)
S
n – 1 .n. n 1
3
e) Tổng có dạng: P = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2
(9)
Áp dụng cơng thức tổng (8) là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ n(n+1)
S = 1.(1 + 1) +2 (2 +1 ) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) +…+ n(n + 1)
= (12 + 22 + 32 + 42 + … + n2) + (1 + 2 + 3 + …. + n)
= P + (1 + 2 + 3 + …. + n)
P = S - (1 + 2 + 3 + …. + n)
Trong đó theo (8) thì S =
n. n + 1 n 2
3
Theo (1) thì (1 + 2 + 3 + …. + n) =
P =
n(n 1)
2
n(n 1) 2n 1
6
f) Tổng có dạng: S = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2
(10) với k chẵn và k ∈ N
Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k
= 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k
= 1(0 + 2) + 3(2 + 4) + 5(4 + 6) + …+ (k – 1). [(k– 2) + k]
= 1.2 + 3. 6 + 5.10 +…+ (k - 1).(2k – 2)
= 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +…+ (k – 1).(k – 1).2
= 2.[12 + 32 + 52 + ….+ (k – 1)2]
= 2.S
S =
k – 1 .k. k 1 => S = k – 1 .k. k 1
A
mà theo (8) thì tổng A
2
3
6
g) Tổng có dạng: S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + a4.a5 + ….+ an-1. an (11)
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = 2
S = a1.(a1 + 2) + a2. (a2 + 2) + a3. (a3 + 2) + a4. (a4 + 2) + ….+ an-1. (an - 1 + 2)
= a12 a 22 a 32 ... a 2n 1 2 a1 a 2 a 3 ... a n 1
= S1 + k. S2
Trong đó tổng S1 = a12 a 22 a 32 ... a 2n 1
S2 = a1 a 2 a 3 ... a n 1
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = k > 2
Nhân cả hai vế với 3k , rồi tách 3k ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu.
h) Tổng có dạng: S =
1
1
1
1
...
a1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4
a n 1a n
(12)
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = 1 thì:
S=
1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
...
a1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4
a n 1 a n a1 a n
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = k > 1 thì:
1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
S = ...
k a1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4
a n 1 a n k a1 a n
B.BÀI TỐN TỰ LUYỆN
Bài 1.
Tính tổng : S
27.4500 135.550.2
2 4 6 ... 18
Bài 2.
Tính:
a)A
101 100 99 98 .... 3 2 1
101 100 99 98 .... 3 2 1
b)B
423134.846267 423133
423133.846267 423134
Bài 3.
Kết quả của phép tính 1 2 3 4 5 6 ..... 99 100 bằng:
A.
50
B. 50
C. 100
D. 0
Bài 4.
Tính tỉ số
A
1
1
1
1
1
1
1
1
1
, biết: A
;B
B
3.8 8.13 13.18 18.21
3.7 7.11 11.15 15.19 19.23
A 5
B 4
A.
B.
A
1
B
C.
A 4
B 5
D.
A
20.
B
Bài 5.
Tính hợp lý
b) 1 2100 550 2100 11 550
a)53.81 47.14 81.47 14.53
20162016 2017 2016 2016 2016 2017.2017 2016
c)
2017
2017
2016
20172017 2017
2017 2017 .2016
d)
636. 50.540 10.534
3030.104. 100.155 4.35
Bài 6.
5.42017 42018 1
Cho biểu thức A
. Chứng tỏ rằng biểu thức A có giá trị là một số nguyên.
1 4 42 ..... 42016
Bài 7.
Khơng quy đồng hãy tính tổng sau:
A
1 1 1 1 1 1
20 30 42 56 72 90
Bài 8.
Tính giá trị các biểu thức sau:
a)A 68.74 27.68 68
b)B 23.53 3 539 639 8. 78 : 76 20170
151515 179 1500 1616
c)C
10
161616 17 1600 1717
1
1
1
1
d)D 2 1 2 1 2 1 .......
1
2
2
3
4
100
Bài 9.
1 2 3
92 1
1
1
1
: .....
Tính: 92 ....
9 10 11
100 45 50 55
500
Bài 10.
Thực hiện phép tính
9
a) A
6
14
5. 22.32 . 2 2 2. 22.3 .34
5.228.318 7.229.318
12 12 12
5
5
5
12 7 289 85 5 13 169 91 158158158
:
.
b) B 81.
4
4
4
6
6
6 711711711
4
6
7 289 85
13 169 91
Bài 11.
2
3
4
1 3 3 3 3
3
Cho A .....
2 2 2 2 2
2
2012
3
và B
2
Tính B - A
Bài 12.
Tính giá trị các biểu thức sau:
2
3
4
a)A 1 . 1 . 1 . 1 ...... 1
2010
. 1
2011
131313 131313 131313
b)B 70.
565656 727272 909090
c)C
2a 3b 4c 5d
2a 3b 4c 5d
biết
3b 4c 5d 2a
3b 4c 5d 2a
Bài 13.
1.Thực hiện tính A bằng cách hợp lý nhất:
A
2010.2011 1005
2010.2010 1005
2
2 2
2.Thực hiện phép tính: B 33 1 1 ...... 1
3 5
99
Bài 14.
Tính giá trị biểu thức sau:
1 1
1
a)4 . 12 5
7 6
7
b) 2 4 6 8 .... 2014 3 5 7 9 ..... 2011
1
1
1
1 1
c) 1 1 1 1 ....... 1
3 6 10 15
780
Bài 15.
Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:
a) 102 112 12 2 : 132 142
b)1.2.3...9 1.2.3....8 1.2.3....7.82
16 2
c)
3.4.2
11.213.411 169
2013
: 2
d)1152 374 1152 65 374
e)13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Bài 16.
Cho A
Tỷ số
A.
4
6
9
7
7
5
3
11
và B
7.31 7.41 10.41 10.57
19.31 19.43 23.43 23.57
A
là:
B
7
4
7
B.
2
5
C.
2
D.
11
4
Bài 17.
Tính giá trị biểu thức sau:
1 2 3 4
2017 1
1
1
1
1
B 2017 ......
: .....
4 5 6 7
2020 20 25 30 35
10100
Bài 18.
a) Tính nhanh:
32 32
32
32
.....
1.4 4.7 7.10
97.100
b) B 528 12 211 540 2225
c) M
1 3 32 33 .... 32012
32014 3
d) D
2
2
2
2
2
2
20 30 42 56 72 90
Bài 19.
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1) 1 2 3 4 5 6 7 8 ....... 2013 2014 2015 2016
1 1 1 1
1
1
1
2)B 1 : 1 : 1 : 1 : .......: 1 : 1 :
1
2 3 4 5
98 99 100
Bài 20.
Cho E
Và F
1
1
1
1
......
1.101 2.102 3.103
10.110
1
1
1
1
E
......
. Tính tỉ số
1.11 2.12 3.13
100.110
F
Bài 21.
Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể)
a)1968 :16 5136 :16 704 :16
b)23.53 3 400 673 23. 78 : 76 7 0
Bài 22.
1 3 5 .... 19
21 23 25 .... 39
Tính giá trị biểu thức A
Bài 23.
Tính: A
1
1
1
1
......
4.9 9.14 14.19
64.69
Bài 24.
12 12 12
5
5
5
12 7 289 85 5 13 169 91 158158158
:
.
Thực hiện phép tính A 81.
4
4
4
6
6
6
4
6
711711711
7 289 85
13 169 91
Bài 25.
9
Thực hiện phép tính: A
6
14
5. 22.32 . 2 2 2. 22.3 .34
5.228.318 7.229.318
Bài 26.
Thực hiện phép tính
a) 32.56 32.25 32.19
2
b)24.5 131 13 4
93.253
c) 2
18 .1252
Bài 27.
Cho A
2
2
2
2
.....
11.15 15.19 19.23
51.55
Tính tích A.B
Bài 28.
3
.33.53.7.8
3.53.24.42
2
Rút gọn phân số:
Bài 29.
Khơng quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:
a) A
1 1 1 1 1 1
20 30 42 56 72 90
5 11 1
; B . . 1
3 2 3
b) B
5
4
3
1
13
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
Bài 30.
Tính giá trị các biểu thức sau:
2
3
4
a) A 1 . 1 . 1 . 1 ...... 1
2010
. 1
2011
131313 131313 131313
b) B 70.
565656 727272 909090
2a 3b 4c 5d
2a 3b 4c 5d
biết
3b 4c 5d 2a
3b 4c 5d 2a
Bài 31.
c )C
Thực hiện phép tính
A 540 : 23, 7 19, 7 42. 132 75 36 7317
B
210.13 210.65
28.104
Bài 32.
Tính tổng A 1.2 2.3 3.4 ..... 98.99
Bài 33.
Rút gọn biểu thức:
10.11 50.55 70.77
11.12 55.60 77.84
Bài 34.
Tính hợp lý
a)21.7 2 11.7 2 90.7 2 49.125.16
b)
5.415.99 4.320.89
5.29.619 7.229.27 6
Bài 35.
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A
5
5 5
1 1
6 11 9 : 8
6
6 20
4 3
b) B 23.53 3 400 673 23. 78 : 76 7 0
5
4
3
1
13
c )C
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
Bài 36.
Thực hiện phép tính
9
a) A
6
14
5. 22.32 . 2 2 2. 22.3 .34
5.228.318 7.229.318
12 12 12
5
5
5
12 7 289 85 5 13 169 91 158158158
:
.
b) B 81.
4
4
4
6
6
6 711711711
4
6
7 289 85
13 169 91
Bài 37.
Thực hiện phép tính
3 3
3
3
3
24.47 23
7 11 1001 13
a) A
.
9
9 9 9
24 47 23
9
1001 13 7 11
b) M
1 2 22 23 ..... 22012
22014 2
Bài 38.
Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể)
a)1968 :16 5136 :16 704 :16
b)23.53 3 400 673 23. 78 : 7 6 70
Bài 39.
9
Tính N
6
14
5. 22.32 . 22 2. 2 2.3 .316
5.228.319 7.229.318
Bài 40.
Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:
a) 102 112 122 : 132 142
b)1.2.3...9 1.2.3....8 1.2.3....7.82
16 2
c)
3.4.2
11.213.411 169
d )1152 374 1152 65 374
e)13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Bài 41. Thực hiện các phép tính sau:
a)
2181.729 243.81.27
3 .9 .234 18.54.162.9 723.729
2
2
b)
1
1
1
1
1
1.2 2.3 3.4
98.99 99.100
c)
5.415 99 4.320.89
5.29.619 7.2 29.276
Bài 42. Tính nhanh: A
Bài 43. Tính tổng:
1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
2
2
2
2
.
1.4 4.7 7.10
97.100
Bài 44. Tính giá trị biểu thức
212.13 212.65 310.11 310.5
210.104
39.2 4
Bài 45. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí :
A =
636363.37 373737.63
.
1 2 3 .... 2006
12 12 12
4 4
4
12
4
6
19 37 53 :
17 19 2006 . 124242423 .
B = 1 .
41 3 1 3 3 5 5 5 5 237373735
3 37 53
17 19 2006
Bài 46. Tính:
C =
101 100 99 98 ... 3 2 1
;
101 100 99 98 ... 3 2 1
D =
1
1
1
1
2 2 ...
1 .
2
2
3
4
100 2
Bài 47. Tính tổng S =
27 4500 135 550.2
.
2 4 6 ....14 16 18
1 1 1
1
Bài 48. Tính tổng A 2 3 ... 100
3 3 3
3
Bài 49. Tính:
A=
5
5
5
5
...
11.16 16.21 21.26
61.66 .
1 1 1 1
1
1
B=
2 6 12 20 30 42 .
C =
1
1
1
1
...
...
1.2 2.3
1989.1990
2006.2007 .
212.13 212.65
Bài 50. Tính giá trị biểu thức:
210.104
Bài 51. Cho A
Tính tỷ số
310.11 310.5
39.24
34
51
85
68
39
65
52
26
, B
7.13 13.22 22.37 37.49
7.16 16.31 31.43 43.49
A
.
B
5
7
13.46. 28 27
18
13
Bài 52. Thực hiện dãy tính:
5
5
5
5
59.212
14 84 204 374
39
33 21
65 0, 415 600 : 9
21 3
Bài 53. Tính
:
54 75 7 2 18, 25 13 15 16 17
36
102
Bài 54. Tính
a) A =
101 100 99 98 . . . 3 2 1
101 100 99 98 . . . 3 2 1
b) B =
423134 . 846267 423133
.
423133 . 846267 423134
Bài 55. Tính nhanh:
3 3
3
3
3+ - +
24.47 - 23
7 11 1001 13
a) A =
.
9
9 9 9
24 + 47 - 23
- + - +9
1001 13 7 11
b) B = -329 + -15 + -101 + 440 + 2019
c) M
1 2 22 23 22012
22014 2
Bài 56. Thực hiện phép tính một cách hợp lý:
2 2013 2 1
1
.
a) A .
3 2012 3 2012 3
23 34 1 1 1
12
b) B
199 200 201 2 3 6
c) C 1500 53.23 11 7 2 5.23 8 112 121
2 2 2
2
Bài 57. Rút gọn biểu thức: A 7 5 17 293 .
3 3 3
3
7 5 17 293
Bài 58. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí :
a) 2013 .2014 1007.26
1313 10 130 1515
b)
1414 160 140 1616
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Tính tổng :
27.4500 135.550.2
S
2 4 6 ... 18
Lời giải
Xét tử : 27.4500 135.550.2 270.450 270.550 27000
Xét mẫu: 2 4 6 8 ... 18
2 18 .9 90
2
Suy ra S 270000 : 90 3000
Bài 2.
Tính:
a)A
101 100 99 98 .... 3 2 1
101 100 99 98 .... 3 2 1
b)B
423134.846267 423133
423133.846267 423134
Lời giải
a)A
b)
101.51
101
51
423133.846267 846267 423133
1
423133.846267 423134
Bài 3.
Kết quả của phép tính 1 2 3 4 5 6 ..... 99 100 bằng:
B.
50
B. 50
C. 100
D. 0
Lời giải
3.B
Bài 4.
Tính tỉ số
B.
A
1
1
1
1
1
1
1
1
1
, biết: A
;B
B
3.8 8.13 13.18 18.21
3.7 7.11 11.15 15.19 19.23
A 5
B 4
B.
A
1
B
C.
A 4
B 5
Lời giải
4. C
Bài 5.
Tính hợp lý
D.
A
20.
B
b) 1 2100 550 2100 11 550
a)53.81 47.14 81.47 14.53
20162016 2017 2016 2016 2016 2017.2017 2016
c)
2017
2017
2016
20172017 2017
2017 2017 .2016
d)
636. 50.540 10.534
3030.104. 100.155 4.35
Lời giải
a) 81. 53 47 14. 47 53
81.100 14.100
100. 81 14
100.67 6700
b) 2100 1 550 2100 550 11 10
c)
d)
2016
1
2016 2016
1
2017 2017 2017 2017
236.336.535. 2.52.540 2.5.534
30
2.3.5
.2 4.54. 22.52.35.55 2 2.35
237.336.535. 57 1
236.335.534. 57 1
236.336.2.535. 57 1
234.330.534.22.35. 57 1
2.3.5 30
Bài 6.
Cho biểu thức A
5.42017 42018 1
. Chứng tỏ rằng biểu thức A có giá trị là một số nguyên.
1 4 42 ..... 42016
Lời giải
Trước hết tính M 1 4 42 ..... 42016
4M 4 42 43 ...... 42016 42017 M 1 42017
3M 42017 1
A
4 1 .42017 42018 1 42018 42017 42018 1 42017 1 3
1 4 42 ..... 42016
M
M
Bài 7.
Khơng quy đồng hãy tính tổng sau:
A
1 1 1 1 1 1
20 30 42 56 72 90
Lời giải
A
1 1 1 1 1 1
20 30 42 56 72 90
1
1
1
1 1 3
1
1 1 1 1
9.10
9 10 20
4.5 5.6 6.7
4 5 5 6
Bài 8.
Tính giá trị các biểu thức sau:
a)A 68.74 27.68 68
b)B 23.53 3 539 639 8. 78 : 76 20170
151515 179 1500 1616
c)C
10
161616
17
1600
1717
1
1
1
1
d)D 2 1 2 1 2 1 .......
1
2
2
3
4
100
Lời giải
a)A 68.74 27.68 68 68. 74 27 1 68.100 6800
b)B 23.53 3 539 639 8. 78 : 76 20170
8.125 3. 539 639 8. 7 2 1
1000 3.539 639 8.50
1000 3.300 1000 900 100
151515 179 1500 1616 15 1 15 16
c)C
10
161616 17 1600 1717 16 17 16 17
15 15 1 16
0 1 1
16 16 17 17
1
1
1
1
1 4 1 9
1 1000
d)D 2 1 2 1 2 1 ......
1 2 2 .......
2
2
2
3
4
100
2 3
100
3 8 15
9999
1.3 2.4 3.5
99.1010
. 2 . 2 .......
.
.
........
2
2
2 3 4
100
2.3 3.3. 4.4
100.100
1.2.3.......99 . 3.4.5.......101 101
2.3.4......100 . 2.3.4........100 200
Bài 9.
1 2 3
92 1
1
1
1
: .....
Tính: 92 ....
9 10 11
100 45 50 55
500
Lời giải
1 2 3
92 1
1
1
1
B 92 .....
: .....
9 10 11
100 45 50 55
500
2
92
1
8 8
8
.....
1 1 ..... 1
9 10
100 9 10
100 8 : 1 40
B
1
1
1
1
1 1 1
1
5
.....
. ....
45 50 55
500
5 9 10
100
Bài 10.
Thực hiện phép tính
9
a) A
6
14
5. 22.32 . 2 2 2. 22.3 .34
5.228.318 7.229.318
12 12 12
5
5
5
12 7 289 85 5 13 169 91 158158158
b) B 81.
:
.
4
4
4
6
6
6 711711711
4
6
7 289 85
13 169 91
Lời giải
a) Ta có:
9
A
6
14
5. 22.32 . 2 2 2. 22.3 .34
5.228.318 7.229.318
5.218.318.212 2.228.314.34 5.230.318 229.318
28 18
5.228.318 7.229.318
2 .3 . 5 7.2
229.318. 5.2 1 2.9
2
2 28.318. 5 14 9
b) Ta có:
12 12 12
5
5
5
12
5
7 289 85 :
13 169 91 . 158158158
B 81.
4
4
4
6
6
6
4
6
711711711
7 289 85
13 169 91
1
1
1
1
1
1
12. 1 7 289 85 5. 1 13 169 91 158.1001001
:
.
81.
4. 1 1 1 1 6. 1 1 1 1 711.1001001
7 289 85
13 169 91
18 2 324
12 5 158
81. : .
81. .
64,8
5 9
5
4 6 711
Bài 11.
2
Cho A
3
4
1 3 3 3 3
3
.....
2 2 2 2 2
2
2012
3
và B
2
Tính B - A
Lời giải
Ta có:
2
3
4
1 3 3 3 3
3
A ....
2 2 2 2 2
2
2
3
2012
4
3
3 3 3 3
3
A ....
2
4 2 2 2
2
(1)
2013
(2)
Lấy (2) trừ (1) ta được:
3
3
AA
2
2
Vậy B A
2013
3 1 3
4 2 2
32013 32013 5
22014 2 2012 2
Bài 12.
Tính giá trị các biểu thức sau:
2
3
4
a)A 1 . 1 . 1 . 1 ...... 1
2010
. 1
2011
131313 131313 131313
b)B 70.
565656 727272 909090
c)C
2a 3b 4c 5d
2a 3b 4c 5d
biết
3b 4c 5d 2a
3b 4c 5d 2a
Lời giải
a) 1.1. 1 ...... 1 .1. 1 1
1
1
13 13 13
1
b)B 70.
70.13.
56 72 90
7.8 8.9 9.10
1 1
70.13. 39
7 10
c)
2a 3b 4c 5d
k
3b 4c 5d 2a
Ta có:
2a 3b 4c 5d
. . . k 4 k 4 1 k 1 C 4
3b 4c 5d 2a
Bài 13.
1. Thực hiện tính A bằng cách hợp lý nhất:
2013
: 2
A
2010.2011 1005
2010.2010 1005
2
2 2
2. Thực hiện phép tính: B 33 1 1 ...... 1
3 5
99
Lời giải
1)A
2010.2011 1005 2010. 2010 1 1005 2010.2010 2010 1005
2010.2010 1005
2010.2010 1005
2010.2010 1005
2010.2010 1005
1
2010.2010 1005
2
1 3 5
97
1 1
2 2
2)B 33 1 1 ...... 1 33. . . ...... 33.
3 5 7
99
99 3
3 5
99
Bài 14.
Tính giá trị biểu thức sau:
1 1
1
a)4 . 12 5
7 6
7
b) 2 4 6 8 .... 2014 3 5 7 9 ..... 2011
1
1
1
1 1
c) 1 1 1 1 ....... 1
3 6 10 15
780
Lời giải
1 1
1
1 1
1 1
1
1 36
a)4 . 12 5 4 .12 .5 4 2 . 3
7 6
7
7 6
6 7
7
6 7
b) 2 4 6 8 ..... 2014 3 5 7 9 ..... 2011
Nhận xét: 2 4 6 8 .... 2014 có 1007 số hạng
3 5 7 9 .... 2011 có 1005 số hạng
2 3 4 5 6 7 2010 2011 2012 2014 có 1006 nhóm
1 1 1 ..... 1 4026 có 1005 số hạng 1
1005 4026 3021
1
1
1
1 1
c) 1 1 1 1 ....... 1
3 6 10 15
780
4 10 18 28 1558 1.4 2.5 3.6 38.41
6 12 20 30 1560 2.3 3.4 4.5 39.40
1.2.3...38 4.5.6...41 1 41 41
2.3.4...39 3.4.5...40 39 3 117
Bài 15.
Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:
a) 102 112 12 2 : 132 142
b)1.2.3...9 1.2.3....8 1.2.3....7.82
16 2
c)
3.4.2
11.213.411 169
d)1152 374 1152 65 374
e)13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Lời giải
a) 102 112 122 : 132 142 100 121 144 : 169 196 365 : 365 1
b)1.2.3....9 1.2.3...7.8 1.2.3...7.82
1.2.3...7.8. 9 1 8 1.2.3...7.8... 0 0
16 2
c)
3.4.2
11.213.411 169
16 2
3.2 .2
11.2 . 2 2
2
13
2 11
4 9
32. 218
2
11.213.2 22 236
32.236
32.236
32.2
2
11.235 236 235. 11 2
9
d)1152 374 1152 65 374
1152 374 1152 65 374
1152 1152 374 374 65 65
e)13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13
Bài 16.
Cho A
Tỷ số
A.
7
4
4
6
9
7
7
5
3
11
và B
7.31 7.41 10.41 10.57
19.31 19.43 23.43 23.57
A
là:
B
7
B.
2
5
C.
2
Lời giải
16.C
D.
11
4
Bài 17.
Tính giá trị biểu thức sau:
1 2 3 4
2017 1
1
1
1
1
B 2017 ......
: .....
4 5 6 7
2020 20 25 30 35
10100
Lời giải
1 2 3 4
2017 1
1
1
1
1
B 2017 ......
: .....
4 5 6 7
2020 20 25 30 35
10100
1
2
3
2017 1
1
1
1
1
B (1 ) (1 ) (1 ) (1
):
.....
4
5
6
2020 20 25 30 35
10100
3 1 1 1 1
1
3 3 3
B
)
: ( .....
2020 5 4 5 6
2020
4 5 6
B 15
Bài 18.
Tính nhanh:
32 32
32
32
a)
.....
1.4 4.7 7.10
97.100
b)B 528 12 211 540 2225
1 3 32 33 .... 32012
c)M
32014 3
d)D
2
2
2
2
2
2
20 30 42 56 72 90
Lời giải
a)
32 32
32
32
3
3
3
3
.....
3
.....
1.4 4.7 7.10
97.100
97.100
1.4 4.7 7.10
1
1
1 1 1 1 1 1
1 1 297
3 .....
3
97 100
1 4 4 7 7 10
1 100 100
b)B 528 12 211 540 2225 540 540 211 211 2014 2014
c)M
1 3 32 33 .... 32012
32014 3
A 1 3 32 33 .... 32012 3A 3 32 33 .... 32012 32013
3A A 32013 1
B 32014 3 3 32013 1
M
1
6
D
2
2
2
2
2
2
20 30 42 56 72 90
D
2
2
2
2
2
2
4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
D 2
4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1 3
D 2
4 10 10
Bài 19.
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1) 1 2 3 4 5 6 7 8 ....... 2013 2014 2015 2016
1 1 1 1
1
1
1
2)B 1 : 1 : 1 : 1 : .......: 1 : 1 :
1
2 3 4 5
98 99 100
Lời giải
1)A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ..... 2013 2014 2015 2016
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 2013 2014 2015 2016
Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : 4 504 nhóm
A 4 4 4 ...... 4 (tổng có 504 số 4)
A 4.504 2016
1 1 1 1
1
1
1
2)B 1 : 1 : 1 : 1 : .......: 1 : 1 :
1
2 3 4 5
98 99 100
1 2 3
98 99
B : : : .......:
:
2 3 4
99 100
1 3
99 100
B . ........
.
2 2
98 99
Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên mang dấu âm
B
1.3.4.5.6......98.99.100 100
25
2.2.3.4.5......97.98.99
2.2
Bài 20.
Cho E
Và F
1
1
1
1
......
1.101 2.102 3.103
10.110
1
1
1
1
E
......
. Tính tỉ số
1.11 2.12 3.13
100.110
F
Lời giải
Ta có:
E
1
1
1
......
1.101 2.102
10.110
E
1 100
100
100
.
.....
100 1.101 2.102
10.110
1
1 1 1
1
1
. 1
.....
100 101 2 102
10 110
1 1 1
1 1
1
1
. 1 .....
......
100 2 3
10 101 102
110
F
1
1
1
.....
1.11 2.12
100.110
F
1 10
10
10
.
.......
10 1.11 2.12
100.110
F
1
1 1 1
1
1
. 1 ....
10 11 2 12
100 110
F
1 1 1
1 1 1 1
1
. 1 ......
......
10 2 3
100 11 12 13
110
F
1 1 1
1 1
1
1
. 1 .....
.....
10 2 3
10 101 102
110
1
E 100 1
1
F
10
10
Bài 21.
Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể)
a)1968 :16 5136 :16 704 :16
b)23.53 3 400 673 23. 78 : 76 7 0
Lời giải
a) 16. 123 321 44 :16 400
b) 8.125 3.400 673 8.50
1000 3.400 273
619
Bài 22.
Tính giá trị biểu thức A
1 3 5 .... 19
21 23 25 .... 39
Lời giải
Ta có:
1 3 5 .... 19 1 19 3 17 ..... 9 11 20 20 ... 20 100
21 23 25 .... 39 21 39 23 27 ... 29 31 60 60 ... 60 300
A
100 1
300 3
Bài 23.
Tính: A
1
1
1
1
......
4.9 9.14 14.19
64.69
Lời giải
A
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
.....
. ....
4.9 9.14 14.19
64.69 5 4 9 9 14
64 69
1 1 1 13
.
5 4 69 4.69
Bài 24.
12 12 12
5
5
5
12 7 289 85 5 13 169 91 158158158
Thực hiện phép tính A 81.
:
.
4
4
4
6
6
6 711711711
4
6
7 289 85
13 169 91
Lời giải
1
1
1
1
1
1
12. 1 7 289 85 5. 1 13 169 91 158.1001001
:
.
A 81.
4. 1 1 1 1 6. 1 1 1 1 711.1001001
7 289 85
13 169 91
18 2 324
12 5 158
81. : .
81. .
5 9
5
4 6 711
Bài 25.
9
Thực hiện phép tính: A
6
14
5. 22.32 . 2 2 2. 22.3 .34
5.228.318 7.229.318
Lời giải
9
A
6
14
5. 22.32 . 22 2. 22.3 .34
5.228.318 7.2 29.318
5.2.318.212 2.228.314.34
5.228.318 7.2 29.318
29 18
5.230.318 229.318 2 .3 . 5.2 1 2.9
2
228.318.(5 7.2)
228.318. 5 14 9
Bài 26.
Thực hiện phép tính
a) 32.56 32.25 32.19
2
b)24.5 131 13 4
c)
93.253
182.1252
Lời giải
a) 32.56 32.25 32.19 32. 56 25 19
32.100 3200
2
b)24.5 131 13 4 16.5 131 92
80 131 81 30
c)
93.253
36.56
32 9
182.1252 22.34.56 22 4
Bài 27.
Cho A
2
2
2
2
.....
11.15 15.19 19.23
51.55
5 11 1
; B . . 1
3 2 3
Tính tích A.B
Lời giải
A
2
2
2
2
.....
11.15 15.19 19.23
51.55
1 1 1
1 1 1 1 1 2
.....
2 11 15
51 55 2 11 55 55
5 11 1 5 11 4 55.2
B . . 1 . .
9
3 2 3 3 2 3
A.B
2 55.2 4
.
55 9 9
Bài 28.
3
.33.53.7.8
3.53.24.42
2
Rút gọn phân số:
Lời giải
Bài 29.
Khơng quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:
a) A
1 1 1 1 1 1
20 30 42 56 72 90
b) B
5
4
3
1
13
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
Lời giải
1 1 1
1
1
1
1
1
....
....
20 30 42
90
9.10
4.5 5.6 6.7
a) A
1 1
1 1
1 1 3
.....
9 10
4 5
4 10 20
5
4
3
1
13
4
3
1
13
5
b) B
7.
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
2.7 7.11 11.14 14.15 15.28
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
7. 7. 3
4
2 7 7 11 11 14 14 15 15 28
2 28
Bài 30.
Tính giá trị các biểu thức sau:
2
3
4
a) A 1 . 1 . 1 . 1 ...... 1
2010
. 1
2011
131313 131313 131313
565656 727272 909090
b) B 70.
c )C
2a
3b
3b
4c
4c
5d
5d
2a
biết
2a 3b 4c 5d
3b 4c 5d 2a
Lời giải
a) 1.1. 1 ...... 1 .1. 1 1
1
1
13 13 13
1
1 1
b) B 70.
70.13.
70.13. 39
56 72 90
7.8 8.9 9.10
7 10
c) Đặt
2a 3b 4c 5d
k
3b 4c 5d 2a
Ta có:
2a 3b 4c 5d
. . .
k 4 k 4 1 k 1 C 4
3b 4c 5d 2a
