đề học sinh giỏi toán lớp 6 (có đáp án lời giải chi tiết)

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN TỐN LỚP 6
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1. (5,0 điểm) Tính hợp lý
a ) A  20182  2017.2018
b) B   1 .  1 .  1 .  1 ..........  1 .  1
2

3

4

99

100

1 2 3
88
88     ..... 
6 7 8
93
c)C 

1 1 1
1
    ..... 
12 14 16
186
WORD=>ZALO_0946 513 000

Bài 2. (5,0 điểm)
2 y  1  x  4   10
a. Tìm x, y ��biết 

3x  5 y   x  4 y  M7
3x  5 y   x  4 y  M49
b. Cho x, y �� thỏa mãn 
. Chứng tỏ rằng 
5n  2
 n ��
c. Tìm số tự nhiên n trong khoảng 290 đến 360 để phân số 2n  7
rút

gọn được
Bài 3. (4,0 điểm)
a. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n  1; 2n  1;5n  1 đều là số chính
phương?
2
3
18
b. Cho A  2017  2017  2017  .......  2017
Chứng tỏ rằng AM2018 . Tìm chữ số tận cùng của A
Bài 4. (4,0 điểm)

a. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB
sao cho BC  5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC

0
�
�
b. Cho xOy  160 . Vẽ tia phân giác Ox1 của xOy . Tính số đo góc xOx1

�
�
Giả sử Ox2 là tia phân giác của xOx1 , Ox3 là tia phân giác của xOx2 ,…… Ox42

là tia phân giác của xOx41 . Tính số đo góc xOx42
Bài 5. (2,0 điểm)
a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có n  nM6
1234
b. Viết số 4321 dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng
các lập phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của T trong phép chia cho 6
3

----hết-----


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

ĐÁP ÁN HSG 6 TRỰC NINH_2020-2021
Bài 1.
a ) A  2018.  2018  2017   2018.1  2018

b) B   1 .1.  1 .1.........  1 .1 (Có 50 thừa số 1) nên B= 1

� 1� � 2� � 3�
� 88 �
1  � �
1  � �
1  � ......  �
1 �
�
6� � 7� � 8�
93 �
�
�
c) C 
1 1 1
1
   ....... 
12 14 16
186
1 �
�1 1 1
5 5 5
5
5. �    .....  �
   ...... 
93 �
�6 7 8
93 
C 6 7 8
1 1 1
1
1 �1 1 1

1 �
   ....... 
 . �    .....  �
12 14 16
186
2 �6 7 8
93 �
C  10
WORD=>ZALO_0946 513 000

Bài 2.
a ) 2 xy  x  8 y  14
x(2 y  1)  8 y  4  14  4
x  2 y  1  4(2 y  1)  10

 2 y  1  x  4   10

Vì x, y��nên 2 y  1��, x  4 ��, suy ra 2 y  1, x  4 là ước nguyên của 10 và 2 y  1 lẻ
Lập bảng
2 y 1
x4
x
y

1
10
14
0

- 1

-10
-6
-1

�x  14 �x  6 �x  6 �x  2
;�
;�
;�
�
Vậy �y  0 �y  1 �y  2 �y  3

b) Phải chứng minh 3x  5 y M7 � x  4 y M7
Đặt A  3 x  5 y, B  x  4 y. Xét tổng A  4 B  7 x  21M7
4,7  1 � B M7
Nếu AM7 � 4 B M7, mà  

5
2
6
2

-5
-2
2
-3


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Nếu B M7 � 4 B M7 � AM7. Chứng tỏ 3x  5 y M7 � x  4 y M7

Vì

3x  5 y M7
�
x  4 y M7
�

 3x  5 y   x  4 y  M7 � �

Nếu  3x  5 y  M7 �  x  4 y  M7 �  3x  5 y   x  4 y  M49
Nếu  x  4 y  M7 �  3 x  5 y  M7 �  3x  5 y   x  4 y  M49
c) Gọi d là ước nguyên tố chung của 5n  2 và 2n  7
2.  5n  2  Md
5n  2Md
�
�
��
�  10n  35    10n  4  Md
�
2n  7 Md
5.(2n  7)Md
�
�
Ta có:
WORD=>ZALO_0946 513 000

Vì d nguyên tố nên d  31
5n  2M31 �
5n  2  62M

31 �
5n  60M31 �
5( n  12) M31
�
��
��
��
�
Khi đó �2n  7M31 �2n  7  31M31 �2n  24M31 �2(n  12)M31
5,31  1;  2;31  1
n  12M31 � n  31k  12  k ��
Mà 
suy ra
n �360
� 290 31k 12 360
Do 290 ��

9

k 11 , mà k là số tự nhiên nên

k � 9;10;11

Từ đó tìm được n � 291;322;353
Bài 3.
a) Do n  1 là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Nếu n  1M3 thì n chia cho 3 dư 2 � 2n  1 chia cho 3 dư 2, vô lý.
Do đó n  1 chia cho 3 sẽ dư 1 � nM3
Do 2n  1 là số chính phương lẻ nên 2n  1 chia cho 8 dư 1, suy ra 2nM8 , từ đó
nM4

Do đó n  1 là số chính phương lẻ nên n  1 chia cho 8 dư 1, suy ra nM8

Ta thấy nM3, nM8 mà  
nên nM24 mà n là số nguyên dương
2
2
2
Với n  24 thì n  1  25  5 ; 2n  1  49  7 ; 5n  1  121  11
Vậy n  24 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài
2
3
2018
b) Ta có A  2017  2017  2017  ......  2017 (tổng A có 2018 số hạng, 2018M2)
3,8  1


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

A   2017  2017 2    20173  2017 4   .....   2017 2017  2017 2018 
A  2017.(1  2017)  20173.(1  2017)  ......2017 2017.(1  2017)
A  2018.  2017  20173  ......  2017 2017  M2018

A  2017  2017 2   20173  2017 4  20175  20176   .....   2017 2015  2017 2016  20172017  20172018 
A   ...6   20173.  ....0   ...  2017 2015.  .....0    ......6 

Bài 4.
a) Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA

WORD=>ZALO_0946 513 000

Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra
điểm B nằm giữa hai điểm A và C
Ta có: AB  BC  AC thay số tính được AC  7 cm
Trường hợp điểm C thuộc tia BA

BA  BC  2 cm  5cm 
Trên tia BA,
nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C
Ta có: AB  AC  BC Thay số tính được AC  3 cm


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

b)

WORD=>ZALO_0946 513 000

0
�
�  xOy  160  800
xOx
�
1
2
2
Tia Ox1 là tia phân giác của xOy nên
0
�
�  xOx1  160

xOx
�
2
2
22
Tia Ox2 là tia phân giác của xOx1 nên
�
Ox42
xOx
41

Tương tự như trên, tia

là tia phân giác của

nên

�
xOx
1600
41
�
xOx42 
 42
2
2

Bài 5
a) Ta có

n

3

 n   n  n 2  1  n  n2  n  n  1  n �
n  n  1   n  1 �
�
� n  n  1  n  1

n  1 n  n  1
Với mọi số nguyên dương n thì 
là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ
2,3  1
n n  1  n  1 M6
chia hết cho 2 và 3 mà  
nên 
43211234  a1  a2  a3  ......  an
3
3
3
3
b) Ta có T  a1  a2  a3  .......  an

Xét hiệu

T  43211234   a13  a23  a33  .....  an3    a1  a2  a3  .....  an 

T  43211234   a13  a1    a23  a2    a33  a3   ......   an3  an 

3

3
3
3
1234
Theo câu a ta có a1  a1 M6, a2  a2 M6, a3  a3 M6,........ an  an M6, nên T  4321 M6


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

1234

Suy ra T và 4321 cùng dư khi chia cho 6
1234
Mặt khác 4321 chi 6 dư 1 nên 4321 chia cho 6 cũng dư 1. Vậy T chia 6 dư 1

WORD=>ZALO_0946 513 000


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN LỚP 6
NĂM HỌC 2020-2021

Bài 1. (3 điểm)
Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1; 2;3 với điều kiện mỗi chữ số
dùng một lần và chỉ một lần

x x ��
Bài 2. (4 điểm) Tìm 
a ) 5x  125
b)32 x  81
c) 5

2 x 3

WORD=>ZALO_0946 513 000

 2.5  5 .3
2

2

2
3
4
2017
2018
Bài 3. (4 điểm) Cho M  2  2  2  2  ......  2  2

a) Tính M
b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3
Bài 4.(3 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4. Biết rằng khi
chuyển chữ số 4 đó lên đầu cịn các chữ số khác giữ ngun thì ta được số mới gấp
4 lần số cũ
Bài 5. (6 điểm)
a) Cho 40 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta
vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ?

b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngồi ra khơng có ba
điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ
được bao nhiêu đường thẳng.

 . Trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai
c) Cho n điểm 
điểm ta được 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tìm n ?
n ��


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 6 GIA LAI 2020-2021
Bài 1.
Trường hợp không dùng lũy thừa, số lớn nhất có thể viết được là 321
*Trường hợp dùng lũy thừa: (Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1)
2
2
3
3
- Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 13 ;31 ;12 ; 21
3
2
3
2
3
2
So sánh 21 và 31 ta có 21  31 (vì 21  9261; 31  961)
13
31 12

21
- Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 2 ; 2 ;3 ;3
21
31
So sánh 3 với 2 ta có
321  3.320  3.  32   3.910
10

231  2.230  2.  23   2.810
10

WORD=>ZALO_0946 513 000

321  39   33   273  213
3

Từ đó suy ra 3  2 . So sánh 3 với 21 ta có :
21
Vậy số lớn nhất là : 3
Bài 2.
21

31

21

3

a ) 5 x  125

c) 52 x 3  2.52  52.3

5 x  53
�x3

52 x 3  52.3  2.52

b)32 x  81

2x  3  3

32 x  34

�x3

52 x 3  53

� 2x  4 � x  2

Bài 3.
2
3
4
2018
2019
a) Ta có 2M  2  2  2  ......  2  2
2019
2019
Lấy 2M  M  2  2 . Vậy M  2  2
b)

M   2  22    23  24    25  2 6   ......   2 2017  22018 
M  2  1  2   23.  1  2   25.(1  2)  .......2 2017.  1  2 
M  3.  2  23  25  ......  22017 

Vậy M M3
Bài 4.
Gọi số cần tìm là abcde4 , ta có: abcde4.4  4abcde
Đặt abcde  x � abcde 4  x 4


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

Ta có:
x 4.4  400 000  x

 10 x  4  .4  400 000  x
40 x  16  400 000  x
39 x  399984
x  10256

Vậy số cần tìm là 10256.
Bài 5.
a)
Kẻ từ 1 điểm bất kỳ với các điểm còn lại được : 39 đường thẳng
Làm như vậy với 40 điểm ta được 39.40  1560 (đường thẳng)
Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần
Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560 : 2  780 (đường thẳng)
b) Nếu 40 điểm khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được 780 đường thẳng.
*Với 10 điểm, khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được:

10.9 : 2  45 (đường thẳng)
Số đường thẳng cần tìm là : 780  44  736 (đường thẳng)
c) Ta có:
WORD=>ZALO_0946 513 000

n.  n  1 : 2  105
n(n  1)  210
n(n  1)  15.14

Vậy n = 15