Toán Lớp 11 NHỊ THỨC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.53 MB, 27 trang )
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
PHẦN I – ĐỀ BÀI
NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT
1. Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:
n
(a b)n Cnk a n k b k
k 0
2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n k bk ( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cnk Cnnk
5) Cn0 Cnn 1 ,
Cnk 1 Cnk Cnk1
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta
sẽ thu được những cơng thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n1 ... Cnn Cn0 Cn1 ... Cnn 2n
(x–1)n = Cn0 x n Cn1 x n1 ... (1) n Cnn Cn0 Cn1 ... (1)n Cnn 0
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
* Cn0 Cn1 ... Cnn 2n
* Cn0 Cn1 Cn2 ... (1)n Cnn 0
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ
THỨC NEWTON
Phương pháp:
ax p bxq Cnk ax p
n
n
k 0
nk
bxq Cnk ank bk xnp pk qk
k
n
k 0
Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m .
m np
Từ đó tìm k
pq
Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cnk a n k .bk với giá trị k đã tìm được ở trên.
m
Nếu k khơng ngun hoặc k n thì trong khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển
P x a bx p cx q được viết dưới dạng a0 a1x ... a2n x 2n .
n
Ta làm như sau:
* Viết P x a bx p cx q Cnk a n k bx p cx q ;
n
n
k
k 0
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx p cx q thành một đa thức theo luỹ thừa
k
của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
Trang 1
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
* Tính hệ số ak theo k và n ;
* Giải bất phương trình ak 1 ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Câu 1: Trong khai triển 2a b , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
5
A. 80 .
B. 80 .
C. 10 .
D. 10 .
n6
Câu 2: Trong khai triển nhị thức a 2 , n . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A. 17 .
B. 11.
C. 10 .
D. 12 .
C. 35.C105 .
D. 35.C105 .
Câu 3: Trong khai triển 3x 2 y , hệ số của số hạng chính giữa là:
10
B. 34.C104 .
A. 34.C104 .
Câu 4: Trong khai triển 2 x 5 y , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là:
8
A. 22400 .
B. 40000 .
C. 8960 .
D. 4000 .
6
2
3
Câu 5: Trong khai triển x
, hệ số của x , x 0 là:
x
A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .
D. 240 .
7
1
Câu 6: Trong khai triển a 2 , số hạng thứ 5 là:
b
6 4
A. 35.a .b .
B. 35.a6 .b4 .
C. 35.a 4 .b5 .
6
Câu 7: Trong khai triển 2a 1 , tổng ba số hạng đầu là:
A. 2a6 6a5 15a 4 .
C. 64a6 192a5 480a4 .
Câu 8: Trong khai triển x y
A. 16 x y15 y8 .
D. 35.a 4 .b .
B. 2a6 15a5 30a 4 .
D. 64a6 192a5 240a4 .
16
, tổng hai số hạng cuối là:
C. 16 xy15 y 4 .
B. 16 x y15 y 4 .
D. 16 xy15 y8 .
6
1
Câu 9: Trong khai triển 8a 2 b , hệ số của số hạng chứa a9b3 là:
2
9 3
A. 80a .b .
B. 64a9 .b3 .
C. 1280a9 .b3 .
D. 60a6 .b4 .
9
8
Câu 10: Trong khai triển x 2 , số hạng không chứa x là:
x
A. 4308 .
B. 86016 .
C. 84 .
10
Câu 11: Trong khai triển 2 x 1 , hệ số của số hạng chứa x8 là:
D. 43008 .
A. 11520 .
B. 45 .
C. 256 .
8
Câu 12: Trong khai triển a 2b , hệ số của số hạng chứa a 4 .b4 là:
D. 11520 .
A. 1120 .
B. 560 .
C. 140 .
7
4 3
Câu 13: Trong khai triển 3x y , số hạng chứa x y là:
D. 70 .
A. 2835x 4 y3 .
B. 2835x 4 y3 .
C. 945x 4 y 3 .
D. 945x 4 y 3 .
Câu 14: Trong khai triển 0,2 + 0,8 , số hạng thứ tư là:
5
A. 0,0064 .
B. 0, 4096 .
C. 0,0512 .
D. 0, 2048 .
Câu 15: Hệ số của x3 y 3 trong khai triển 1 x 1 y là:
6
A. 20 .
6
B. 800 .
C. 36 .
Trang 2
D. 400 .
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 3x 2 y là:
4
B. 6 3x 2 y
2
A. C42 x 2 y 2 .
2
C. 6C42 x 2 y 2 .
.
D. 36C42 x 2 y 2 .
Câu 17: Trong khai triển x y , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là
11
3
B. C11
.
A. C113 .
C. C115 .
D. C118 .
Câu 18: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (1 2 x)10
A. 15360
B. 15360
C. 15363
D. 15363
9
7
Câu 19: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(2 3x)
A. 489889
B. 489887
C. 489888
D. 489888
7
8
7
Câu 20: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: g ( x) (1 x) (1 x) (2 x)9
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
10
7
Câu 21: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (3 2 x)
A. 103680
B. 1301323
C. 131393
D. 1031831
9
7
Câu 22: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(1 2 x)
A. 4608
B. 4608
C. 4618
D. 4618
2
10
8
Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) (3x 1)
A. 17010
B. 21303
C. 20123
D. 21313
8
2
Câu 24: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) 5 x3
x
A. 1312317
B. 76424
C. 427700
D. 700000
12
3 x
Câu 25: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x)
x 2
297
29
27
97
A.
B.
C.
D.
51
52
512
12
2 10
8
Câu 26: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) (1 x 2 x )
A. 37845
B. 14131
C. 324234
D. 131239
8
8
Câu 27: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) 8(1 8x) 9(1 9 x)9 10(1 10 x)10
A. 8.C80 .88 C91.98 10.C108 .108
B. C80 .88 C91.98 C108 .108
C. C80 .88 9.C91.98 10.C108 .108
D. 8.C80 .88 9.C91.98 10.C108 .108
Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x)8 9(1 2 x)9 10(1 3x)10
A. 22094
B. 139131
C. 130282
D. 21031
Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển x3 xy là:
15
A. 2080 .
B. 3003 .
C. 2800 .
D. 3200 .
18
1
Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển x 3 3 là:
x
10
9
8
A. C18 .
B. C18 .
C. C18
.
D. C183 .
Câu 31: Khai triển 1 x , hệ số đứng trước x 7 là:
12
A. 330 .
B. – 33 .
C. –72 .
D. –792 .
2
Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x trong các khai triển sau: f ( x) ( x )12 (x 0)
x
A. 59136
B. 213012
C. 12373
D. 139412
1
4 x3 )17 ( x 0)
Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x trong các khai triển sau: g ( x) (
3 2
x
Trang 3
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
A. 24310
B. 213012
C. 12373
D. 139412
n
1
Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 3 x5 biết
x
n 1
n
Cn 4 Cn3 7 n 3 .
A. 495
B. 313
C. 1303
D. 13129
8
n
1
Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triể n biể u thức x x 2 với n là số
x
nguyên dương thoả mañ
Cn3 2n An21 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hơ ̣p, số chin̉ h hơ ̣p châ ̣p k của n phầ n tử).
A. 98
B. 98
C. 96
D. 96
40
1
Câu 36: Trong khai triển f x x 2 , hãy tìm hệ số của x31
x
A. 9880
B. 1313
C. 14940
D. 1147
18
1
Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức x3 3 số hạng độc lập đối với x
x
A. 9880
B. 1313
C. 14940
D. 48620
12
x 3
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển
3 x
55
13
621
A.
B.
C.
2
113
9
Câu 39: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển x3 xy
D.
1412
3123
15
A. 300123
B. 121148
C. 3003
D. 1303
2
20
Câu 40: Cho đa thức P x 1 x 2 1 x ... 20 1 x có dạng khai triển là
P x a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20 .
Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995
B. 130414
Câu 41: Tìm số hạng của khai triển
3 3 2
C. 511313
D. 412674
9
là một số nguyên
A. 8 và 4536
B. 1 và 4184
1
Câu 42: Xét khai triển f ( x) (2 x ) 20
x
C. 414 và 12
1. Viết số hạng thứ k 1 trong khai triển
k
.220k.x 20k
A. Tk 1 C20
D. 1313
B. Tk 1 C10k .220k.x202k
k
.2204 k.x 202 k
C. Tk 1 C20
k
.220k.x 202k
D. Tk 1 C20
2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x
1
10 10
.210
.2
A. C20
B. A20
10 4
.2
C. C20
10 10
.2
D. C20
Câu 43: Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x) (3x 2 2 x 1)10 .
A. 8089
B. 8085
C. 1303
D. 11312
2n
7
Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2 3x) , biết n là số nguyên dương thỏa
mãn : C21n1 C23n1 C25n1 ... C22nn11 1024 .
A. 2099529
B. 2099520
C. 2099529
D. 2099520
9
10
14
9
Câu 45: Tìm hệ số của x trong khai triển f ( x) (1 x) (1 x) ... (1 x)
Trang 4
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
A. 8089
B. 8085
C. 3003
D. 11312
5
10
5
2
Câu 46: Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: x 1 2 x x 1 3x
A. 3320
B. 2130
C. 3210
D. 1313
Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f ( x) 1 x 2 1 x
A. 213
B. 230
Câu 48: Đa thức P x 1 3x 2 x
C. 238
2 10
8
D. 214
a0 a1 x ... a20 x 20 . Tìm a15
10
A. a15 C10
.C105 .35 C109 .C96 .33 C108 .C87 .3.
10
B. a15 C10
.C105 .25 C109 .C96 .26 C108 .C87 .27
10
C. a15 C10
.C105 .35.25 C109 .C96 .33.26 C108 .C87 .27
10
D. a15 C10
.C105 .35.25 C109 .C96 .33.26 C108 .C87 .3.27
2
Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x trong các khai triển sau ( x3 ) n , biết rằng Cnn1 Cnn2 78 với
x
x0
A. 112640
B. 112640
C. 112643
D. 112643
3 n 3
Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x
trong khai triển thành đa thức của
( x 2 1)n ( x 2) n . Tìm n để a3n3 26n
A. n=5
B. n=4
C. n=3
D. n=2
n
1
Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 4 x 7 , biết
x
1
2
n
20
C2n1 C2n1 ... C2n1 2 1 .
A. 210
B. 213
C. 414
D. 213
n
n
Câu 52: Cho n * và (1 x) a0 a1 x ... an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 k n 1 ) sao
a
a
a
cho k 1 k k 1 . Tính n ? .
2
9
24
A. 10
B. 11
C. 20
D. 22
1 2 10
Câu 53: Trong khai triển của ( x) thành đa thức
3 3
2
9
10
a0 a1 x a2 x ... a9 x a10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 k 10 ).
26
210
210
210
210
a
3003
a
3003
a
3003
B.
C.
D.
5
4
9
315
315
315
315
Câu 54: Giả sử (1 2 x)n a0 a1 x a2 x 2 ... an x n , biết rằng a0 a1 ... an 729 . Tìm n và số lớn
nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. a10 3003
A. n=6, max ak a4 240
B. n=6, max ak a6 240
C. n=4, max ak a4 240
D. n=4, max ak a6 240
Câu 55: Cho khai triển (1 2 x) a0 a1 x ... an x , trong đó n * . Tìm số lớn nhất trong các số
a
a
a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0 1 ... nn 4096 .
2
2
A. 126720
B. 213013
C. 130272
D. 130127
n
n
Trang 5
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG
n
a C b
k 0
k
k
n
k
.
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
(a b)n Cn0 a n a n1bCn1 a n2b2Cn2 ... bnCnn .
Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
* Cnk Cnnk
* Cn0 Cn1 ... Cnn 2n
n
*
(1) C
k
k 0
n
*
0
n
C22nk C22nk 1
k 0
k 0
n
*
k
n
C a
k 0
k
n
k
1 2n k
C2n
2 k 0
(1 a)n .
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và
biến đổi số hạng đó có hệ số khơng chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
Câu 1: Tổng T Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ... Cnn bằng:
A. T 2n .
B. T 2n – 1 .
C. T 2n 1 .
D. T 4n .
Câu 2: Tính giá trị của tổng S C60 C61 .. C66 bằng:
A. 64 .
B. 48 .
C. 72 .
D. 100 .
5
0
Câu 3: Khai triển x y rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 C51 ... C55
A. 32 .
B. 64 .
C. 1 .
D. 12 .
0
1
2
n n
Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn 2Cn 4Cn ... 2 Cn 243
A. 4
B. 11
C. 12
D. 5
5
0
Câu 5: Khai triển x y rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 C51 ... C55
A. 32 .
C. 1 .
B. 64 .
Câu 6: Khai triển 1 x x 2 x
3 5
D. 12 .
a0 a1 x a2 x 2 ... a15 x15
a) Hãy tính hệ số a10 .
A. a10 C50 . C54 C54C53
B. a10 C50 .C55 C52C54 C54C53
C. a10 C50 .C55 C52C54 C54C53
D. a10 C50 .C55 C52C54 C54C53
b) Tính tổng T a0 a1 ... a15 và S a0 a1 a2 ... a15
A. 131
B. 147614
C. 0
Câu 7: Khai triển 1 2 x 3x
2 10
a0 a1 x a2 x ... a20 x
2
D. 1
20
a) Hãy tính hệ số a4
A. a4 C100 .24
B. a4 24 C104
C. a4 C100 C104
D. a4 C100 .24 C104
C. S 1720
D. S 710
b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 ... 220 a20
A. S 1710
B. S 1510
Trang 6
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
1 0 1 1 1 3 1 4
(1) n n
Cn
Câu 8: Tính tổng sau: S Cn Cn Cn Cn ...
2
4
6
8
2(n 1)
1
A.
B. 1
C. 2
2(n 1)
Câu 9: Tính tổng sau: S Cn1 3n1 2Cn2 3n2 3Cn3 3n3 ... nCnn
A. n.4n1
B. 0
C. 1
1
1
1
Cnn
Câu 10: Tính các tổng sau: S1 Cn0 Cn1 Cn2 ...
2
3
n 1
n 1
n 1
2n 1 1
2 1
2 1
1
A.
B.
C.
n 1
n 1
n 1
Câu 11: Tính các tổng sau: S2 Cn1 2Cn2 ... nCnn
A. 2n.2n1
B. n.2n1
C. 2n.2n1
D.
1
(n 1)
D. 4n 1
2n 1 1
1
D.
n 1
D. n.2n1
Câu 12: Tính các tổng sau: S3 2.1.Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 ... n(n 1)Cnn .
A. n(n 1)2n2
B. n(n 2)2n2
Câu 13: Tính tổng S Cn0
C. n(n 1)2n3
D. n(n 1)2n2
32 1 1
3n1 1 n
Cn ...
Cn
2
n 1
4n 1 2n 1
A. S
n 1
n 1
4 2n 1
1
C. S
n 1
4n 1 2n 1
1
B. S
n 1
4n 1 2n 1
1
D. S
n 1
22 1 1
2n 1 1 n
Cn ...
Cn
2
n 1
3n 1 2n 1
3n 2n 1
3n 1 2n
3n 1 2n 1
A. S
B. S
C. S
D. S
n 1
n 1
n 1
n 1
1
2
2 3
n 2 n 1
Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C2n1 2.2C2 n1 3.2 C2 n1 ... (2n 1)2 C2 n1 2005
A. n 1001
B. n 1002
C. n 1114
D. n 102
0 n 1 n 1
1 n2 n2
n 1 0 0
Câu 16: Tính tổng 1.3 .5 Cn 2.3 .5 Cn ... n.3 5 Cn
Câu 14: Tính tổng S Cn0
A. n.8n1
B. (n 1).8n1
C. (n 1).8n
Câu 17: Tính tổng S 2.1Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 ... n(n 1)Cnn
A. n(n 1)2n2
B. n(n 1)2n2
Câu 18: Tính tổng Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn
2
A. C2nn
2
2
D. n.8n
C. n(n 1)2n
D. (n 1)2n2
C. 2C2nn
D. C2nn11
2
B. C2nn1
Câu 19: Tính tổng sau: S1 5n Cn0 5n1.3.Cnn1 32.5n2 Cnn2 ... 3n Cn0
C. 8n 1
A. 28n
B. 1 8n
0
2
2010
22 C2011
... 22010 C2011
Câu 20: S2 C2011
32011 1
3211 1
B.
2
2
1
2
Câu 21: Tính tổng S3 Cn 2Cn ... nCnn
A.
A. 4n.2n1
C.
B. n.2n1
32011 12
2
C. 3n.2n1
Trang 7
D. 8n
D.
32011 1
2
D. 2n.2n1
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI
NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:
n
(a b)n Cnk a n k b k
k 0
2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n k bk ( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cnk Cnnk
5) Cn0 Cnn 1 ,
Cnk 1 Cnk Cnk1
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta
sẽ thu được những cơng thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n1 ... Cnn Cn0 Cn1 ... Cnn 2n
(x–1)n = Cn0 x n Cn1 x n1 ... (1) n Cnn Cn0 Cn1 ... (1)n Cnn 0
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
* Cn0 Cn1 ... Cnn 2n
* Cn0 Cn1 Cn2 ... (1)n Cnn 0
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ
THỨC NEWTON
Phương pháp:
ax p bxq Cnk ax p
n
n
k 0
nk
bxq Cnk ank bk xnp pk qk
k
n
k 0
Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m .
m np
Từ đó tìm k
pq
Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cnk a n k .bk với giá trị k đã tìm được ở trên.
m
Nếu k khơng ngun hoặc k n thì trong khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển
P x a bx p cx q được viết dưới dạng a0 a1x ... a2n x 2n .
n
Ta làm như sau:
* Viết P x a bx p cx q Cnk a n k bx p cx q ;
n
n
k
k 0
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx p cx q thành một đa thức theo luỹ thừa
k
của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
Trang 8
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
* Tính hệ số ak theo k và n ;
* Giải bất phương trình ak 1 ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Câu 1: Trong khai triển 2a b , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
5
A. 80 .
B. 80 .
C. 10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
5
5
4
3
Ta có: 2a b C50 2a C51 2a b C52 2a b 2 ...
D. 10 .
Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng C52 .8 80 .
Câu 2: Trong khai triển nhị thức a 2
n6
, n . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A. 17 .
B. 11.
C. 10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
n6
Trong khai triển a 2 , n có tất cả n 7 số hạng.
D. 12 .
Do đó n 7 17 n 10 .
Câu 3: Trong khai triển 3x 2 y , hệ số của số hạng chính giữa là:
10
B. 34.C104 .
A. 34.C104 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
C. 35.C105 .
D. 35.C105 .
Trong khai triển 3x 2 y có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 .
10
Vậy hệ số của số hạng chính giữa là 35.C105 .
Câu 4: Trong khai triển 2 x 5 y , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là:
8
A. 22400 .
B. 40000 .
C. 8960 .
D. 4000 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 (1)k C8k .(2 x)8k (5 y)k (1)k C8k .28k 5k.x8k . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 . Khi đó hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là: 22400 .
6
2
3
Câu 5: Trong khai triển x
, hệ số của x , x 0 là:
x
A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C6k .x 6k 2k .x
1
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 k k 3 k 3 .
2
3
3 3
Khi đó hệ số của x là: C6 .2 160 .
D. 240 .
1
k
2
7
1
Câu 6: Trong khai triển a 2 , số hạng thứ 5 là:
b
6 4
A. 35.a .b .
B. 35.a6 .b4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Trang 9
C. 35.a 4 .b5 .
D. 35.a 4 .b .
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C7k .a142k .b k
Vậy số hạng thứ 5 là T5 C74 .a6 .b4 35.a6 .b4
Câu 7: Trong khai triển 2a 1 , tổng ba số hạng đầu là:
6
A. 2a6 6a5 15a 4 .
C. 64a6 192a5 480a4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
6
Ta có: 2a 1 C60 .26 a6 C61.25 a5 C62 .24 a 4 ...
B. 2a6 15a5 30a 4 .
D. 64a6 192a5 240a4 .
Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a6 192a5 240a4 .
Câu 8: Trong khai triển x y
A. 16 x y15 y8 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: x y
16
16
, tổng hai số hạng cuối là:
C. 16 xy15 y 4 .
B. 16 x y15 y 4 .
15
C160 x16 C161 x15 . y ... C16
x
y
15
16
C16
D. 16 xy15 y8 .
y
16
6
1
Câu 9: Trong khai triển 8a 2 b , hệ số của số hạng chứa a9b3 là:
2
9 3
A. 80a .b .
B. 64a9 .b3 .
C. 1280a9 .b3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 1 C6k .86k a122 k .2 k bk
D. 60a6 .b4 .
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa a9b3 là: 1280a9 .b3 .
9
8
Câu 10: Trong khai triển x 2 , số hạng không chứa x là:
x
A. 4308 .
B. 86016 .
C. 84 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C9k .x9k 8k.x 2k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9 k 2k 0 k 3 .
Khi đó số hạng không chứa x là: C93 .83 43008 .
D. 43008 .
Câu 11: Trong khai triển 2 x 1 , hệ số của số hạng chứa x8 là:
10
A. 11520 .
B. 45 .
C. 256 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C10k .210k.x10k . 1
D. 11520 .
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10 k 8 k 2 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C102 .28 11520 .
Câu 12: Trong khai triển a 2b , hệ số của số hạng chứa a 4 .b4 là:
8
A. 1120 .
B. 560 .
C. 140 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C8k .a8k . 2 .bk
Trang 10
D. 70 .
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Yêu cầu bài tốn xảy ra khi k 4 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa a 4 .b4 là: C84 .24 1120 .
Câu 13: Trong khai triển 3x y , số hạng chứa x 4 y 3 là:
7
A. 2835x 4 y3 .
B. 2835x 4 y3 .
C. 945x 4 y 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C7k .37k x7k . 1 . y k
D. 945x 4 y 3 .
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x 4 . y 3 là: C73 .34.x4 . y3 2835.x 4 . y .
Câu 14: Trong khai triển 0,2 + 0,8 , số hạng thứ tư là:
5
A. 0,0064 .
B. 0, 4096 .
C. 0,0512 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C5k .(0, 2)5k .(0,8)k
D. 0, 2048 .
Vậy số hạng thứ tư là T4 C53 .(0, 2)2 .(0,8)3 0, 2028
Câu 15: Hệ số của x3 y 3 trong khai triển 1 x 1 y là:
6
6
A. 20 .
B. 800 .
C. 36 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C6k .x k .C6m . y m
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k m 3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x3 y 3 là: C63 .C63 400 .
D. 400 .
Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 3x 2 y là:
4
B. 6 3x 2 y
2
A. C42 x 2 y 2 .
2
C. 6C42 x 2 y 2 .
.
D. 36C42 x 2 y 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2
2
2
2
Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: C42 3x 2 y 6 3x 2 y .
Câu 17: Trong khai triển x y , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là
11
3
B. C11
.
A. C113 .
C. C115 .
D. C118 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C11k .x11k . 1 . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là: C113 .
Câu 18: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (1 2 x)10
A. 15360
B. 15360
C. 15363
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10
10
k 0
7
k 0
Ta có f ( x) Cnk 110k (2 x)k C10k (2) k x k
Số hạng chứa x ứng với giá trị k 7
Vậy hệ số của x 7 là: C107 (2)7 15360 .
Trang 11
D. 15363
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Câu 19: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(2 3x)9
A. 489889
B. 489887
C. 489888
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
9
9
k 0
k 0
D. 489888
Ta có (2 3x)9 C9k 29k (3x) k C9k 29k 3k.x k
9
h( x) C9k 29k 3k x k 1 .
k 0
Số hạng chứa x 7 ứng với giá trị k thỏa k 1 7 k 6
Vậy hệ số chứa x 7 là: C96 2336 489888 .
Câu 20: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) (1 x)7 (1 x)8 (2 x)9
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
7
Hệ số của x 7 trong khai triển (1 x)7 C7k x k là : C77 1
k 0
8
Hệ số của x 7 trong khai triển (1 x)8 C8k (1) k x k là : C87 (1)7 8
k 0
9
Hệ số của x 7 trong khai triển (1 x)9 C9k x k là : C79 36 .
k 0
Vậy hệ số chứa x trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 29 .
Chú ý:
1
* Với a 0 ta có: a n n với n .
a
7
* Với a 0 ta có:
n
m
n
a a với m, n ; n 1 .
m
Câu 21: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x) (3 2 x)10
A. 103680
B. 1301323
C. 131393
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10
10
k 0
8
k 0
D. 1031831
Ta có f ( x) Cnk 310k (2 x)k C10k 310k (2) k x k
Số hạng chứa x ứng với giá trị k 8
Vậy hệ số của x8 là: C108 .32.(2)8 103680 .
Câu 22: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x) x(1 2 x)9
A. 4608
B. 4608
C. 4618
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
9
9
k 0
k 0
Ta có (1 2 x)9 C9k 19k (2 x) k C9k (2) k .x k
9
h( x) C9k (2)k x k 1 .
k 0
Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k thỏa k 1 8 k 7
Vậy hệ số chứa x8 là: C97 (2)7 4608 .
Câu 23: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) (3x 2 1)10
Trang 12
D. 4618
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
A. 17010
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
B. 21303
C. 20123
D. 21313
10
Ta có: f ( x) C10k 3k x 2 k , số hạng chứa x8 ứng với k 4 nên hệ số x8 là: C104 .34 17010 .
k 0
8
2
Câu 24: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x) 5 x3
x
A. 1312317
B. 76424
C. 427700
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
8
D. 700000
8
Ta có: f ( x) C8k 28k (5) k x 4 k 8 , số hạng chứa x8 ứng với k 4 nên hệ số của x8 là:
k 0
C .2 .(5) 700000 .
4
8
4
4
12
3 x
Câu 25: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x)
x 2
297
29
27
A.
B.
C.
51
52
512
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
8
D.
97
12
12
Ta có: f ( x) C12k 312k.2 k.x 2 k 12 , số hạng chứa x8 ứng với k 10 nên hệ số của x8 là:
k 0
297
C1210 .32.210
.
512
Câu 26: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) (1 x 2 x 2 )10
A. 37845
B. 14131
C. 324234
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10
10
k 0
k 0 j 0
D. 131239
k
Ta có: f ( x) C10k (2 x 2 )10k (1 x)k C10k Ckj .210k x 202 k j
0 j k 10
Số hạng chứa x8 ứng với cặp (k , j ) thỏa:
j 2k 12
8
Nên hệ số của x là:
10 8
C106 C60 .24 C107 C72 23 C108 C84 22 C109 C96 2 C10
C10 37845
Câu 27: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x) 8(1 8x)8 9(1 9 x)9 10(1 10 x)10
A. 8.C80 .88 C91.98 10.C108 .108
B. C80 .88 C91.98 C108 .108
C. C80 .88 9.C91.98 10.C108 .108
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
D. 8.C80 .88 9.C91.98 10.C108 .108
8
Ta có: (1 8 x)8 C8k 88k x8k
k 0
9
(1 9 x)9 C9k 99k x9k
k 0
10
(1 10 x)10 C10k 1010k x10k
k 0
Trang 13
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Nên hệ số chứa x8 là: 8.C80 .88 9.C91.98 10.C108 .108
Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x)8 9(1 2 x)9 10(1 3x)10
A. 22094
B. 139131
C. 130282
D. 21031
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n
Ta có: 1 ax Cnk a k x k nên ta suy ra hệ số của x k trong khai triển (1 ax)n là Cnk a k . Do đó:
n
i 0
Hệ số của x trong khai triển (1 x)8 là : C88
8
Hệ số của x8 trong khai triển (1 2 x)9 là : C98 .28
Hệ số của x8 trong khai triển (1 3x)10 là : C108 .38 .
Vậy hệ số chứa x8 trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C88 9.28.C98 10.38.C108 22094 .
Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển x3 xy là:
15
A. 2080 .
B. 3003 .
C. 2800 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C15k .x 453k .x k . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 10 .
Vậy hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển x3 xy
15
D. 3200 .
10
là: C15
3003 .
18
1
Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển x 3 3 là:
x
10
9
8
A. C18 .
B. C18 .
C. C18
.
D. C183 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C18k .x543k .x 3k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54 3k 3k 0 k 9 .
Khi đó số hạng không chứa là: C189 .
Câu 31: Khai triển 1 x , hệ số đứng trước x 7 là:
12
A. 330 .
B. – 33 .
C. –72 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C12k . 1 .x k
D. –792 .
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 7 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x 7 là: C127 792 .
2
Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x trong các khai triển sau: f ( x) ( x )12
x
A. 59136
B. 213012
C. 12373
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
12
Ta có: f ( x) ( x 2.x 1 )12 C12k x12k .(2 x 1 ) k
k 0
12
C
k 0
k
12
(2)k x122 k
Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 2k 0
Trang 14
(x 0)
D. 139412
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
k 6 số hạng không chứa x là: C126 .26 59136 .
Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x trong các khai triển sau: g ( x) (
A. 24310
B. 213012
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
3
1
x 3 ; 4 x3 x 4 nên ta có
Vì
3 2
x
17 k
C. 12373
1
3
x
2
4 x3 )17
( x 0)
D. 139412
k
17 k 136
17
2
3
f ( x) C x 3 . x 4 C17k .x 12
k 0
k 0
Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17k 136 0 k 8
Vậy hệ số không chứa x là: C178 24310 .
17
k
17
n
1
Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của 3 x5 biết
x
n 1
n
Cn 4 Cn3 7 n 3 .
A. 495
B. 313
C. 1303
D. 13129
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: Cnn41 Cnn3 7 n 3 Cnn3 Cnn31 Cnn3 7 n 3
Cnn31 7 n 3
n 2 n 3 7
2!
n 2 7.2! 14 n 12 .
n 3
12 k
5
60 11k
12
12
k
1
C12k x 2 .
Khi đó: 3 x5 C12k x 3 . x 2
x
k 0
k 0
60 11k
8 k 4.
Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa:
2
12!
495 .
Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C124
4!12 4 !
n
n
1
Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triể n biể u thức x x 2 với n là số
x
nguyên dương thoả mañ
Cn3 2n An21 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hơ ̣p, số chỉnh hơ ̣p châ ̣p k của n phầ n tử).
A. 98
B. 98
C. 96
D. 96
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n 3
3
2
Ta có: Cn 2n An 1 n n 1 n 2
2n n 1 n
6
n 3
2
n 8.
n 9n 8 0
Theo nhi ̣thức Newton ta có:
8
8
1
1
2
0 1
1 1
x x x x x 1 x C8 x8 C8 x 6 1 x
Trang 15
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
1
1
2
3
4
8
1 x C83 2 1 x C84 1 x ... C88 x8 1 x
4
x
x
Số ha ̣ng không phu ̣ th ̣c vào x chỉ có trong hai biểu thức
1
3
4
C83 2 1 x và C84 1 x .
x
Trong đó có hai số ha ̣ng không phu ̣ thuô ̣c vào x là: C83 .C32 và C84 .C40
C82
Do đó số ha ̣ng không phu ̣ thuô ̣c vào x là : C83 .C32 C84 .C40 98 .
40
1
Câu 36: Trong khai triển f x x 2 , hãy tìm hệ số của x31
x
A. 9880
B. 1313
C. 14940
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
18
3 1
Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức x 3 số hạng độc lập đối với x
x
A. 9880
B. 1313
C. 14940
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
C189 48620
D. 1147
D. 48620
12
x 3
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển
3 x
55
13
621
A.
B.
C.
2
113
9
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
55
(3)4 C124
8
3
9
4
D.
1412
3123
Câu 39: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển x3 xy
15
A. 300123
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
10
C15
3003
B. 121148
C. 3003
D. 1303
Câu 40: Cho đa thức P x 1 x 2 1 x ... 20 1 x có dạng khai triển là
2
20
P x a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20 .
Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
B. 130414
C. 511313
D. 412674
20
a15 kCk15 400995
k 15
Câu 41: Tìm số hạng của khai triển
A. 8 và 4536
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
3 3 2
B. 1 và 4184
9
là một số nguyên
C. 414 và 12
Trang 16
D. 1313
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Ta có
3 3 2
9
9
C9k
k 0
3 2
k
9k
3
Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa:
k 2m
9 k 3n k 0, k 6
k 0,...,9
Các số hạng là số nguyên: C90
2
3
9
8 và C96
3 2
6
3
3
1
Câu 42: Xét khai triển f ( x) (2 x ) 20
x
1. Viết số hạng thứ k 1 trong khai triển
k
A. Tk 1 C20
.220k.x 20k
B. Tk 1 C10k .220k.x202k
k
C. Tk 1 C20
.2204 k.x 202 k
k
D. Tk 1 C20
.220k.x 202k
2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x
1
10 10
10 4
A. C20
B. A20
C. C20
.210
.2
.2
Hướng dẫn giải:
1
1. Ta có: Tk 1 C20k (2 x)20k k C20k .220k.x 202 k
x
2. Số hạng không chứa x ứng với k: 20 2k 0 k 10
10 10
Số hạng không chứa x: C20
.2
Câu 43: Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x) (3x 2 2 x 1)10 .
A. 8089
B. 8085
C. 1303
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
f x 1 2 x 3x 2 C10k 2 x 3x 2
10
10
10 10
D. C20
.2
D. 11312
k
k 0
10
k
10
k
k 0
i 0
k 0
i 0
C10k Cki (2 x)k i .(3x 2 )i C10k Cki 2k i.3i x k i
với 0 i k 10 .
Do đó k i 4 với các trường hợp i 0, k 4 hoặc i 1, k 3 hoặc i k 2 .
Vậy hệ số chứa x 4 : 24 C104 .C40 2231 C103 .C31 32 C102 .C22 8085 .
Câu 44: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức của (2 3x) 2 n , biết n là số nguyên dương thỏa
mãn : C21n1 C23n1 C25n1 ... C22nn11 1024 .
A. 2099529
B. 2099520
C. 2099529
D. 2099520
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2 n 1 k
2 n 1
C2 n 1 2
n
k 0
C22ni 11 22 n 1024 n 5
Ta có: n
n
i 0
C 2i 1 C 2i
2 n 1
2 n 1
i 0
i 0
10
Suy ra (2 3x) 2 n C10k 210k.(3) k x k
k 0
Hệ số của x là C .23.(3)7 2099520 .
7
7
10
Trang 17
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Câu 45: Tìm hệ số của x 9 trong khai triển f ( x) (1 x)9 (1 x)10 ... (1 x)14
A. 8089
B. 8085
C. 3003
D. 11312
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Hệ số của x 9 : C99 C109 C119 C129 C139 C149 3003 .
Câu 46: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức của: x 1 2 x x 2 1 3x
A. 3320
B. 2130
C. 3210
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
5
10
Đặt f ( x) x 1 2 x x2 1 3x
5
5
10
Ta có : f ( x) x C5k 2 .x k x 2 C10i 3x
k
k 0
5
10
D. 1313
i
i 0
10
C5k 2 .x k 1 C10i 3i.xi 2
k
k 0
i 0
Vậy hệ số của x trong khai triển đa thức của f ( x) ứng với k 4 và i 3 là:
5
C54 2 C103 .33 3320 .
4
Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f ( x) 1 x 2 1 x
A. 213
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Cách 1
B. 230
C. 238
8
D. 214
1 x 2 1 x C80 C81 x 2 1 x C82 x 4 1 x C83 x 6 1 x
8
2
3
C84 x8 1 x C85 x10 1 x ... C88 x16 1 x
4
5
8
Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối
lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C83 .C32 , C84 .C40 .
Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức 1 x 2 1 x là:
a8 C83 .C32 C84 .C40 238 .
Cách 2: Ta có:
8
8
8
n
n 0
k 0
1 x 2 1 x C8n x 2 n 1 x C8n Cnk 1 x 2 n k
8
n 0
n
k
với 0 k n 8 .
Số hạng chứa x8 ứng với 2n k 8 k 8 2n là một số chẵn.
Thử trực tiếp ta được k 0; n 4 và k 2, n 3 .
Vậy hệ số của x8 là C83 .C32 C84 .C40 238 .
Câu 48: Đa thức P x 1 3x 2 x 2 a0 a1 x ... a20 x 20 . Tìm a15
10
10
.C105 .35 C109 .C96 .33 C108 .C87 .3.
A. a15 C10
10
.C105 .25 C109 .C96 .26 C108 .C87 .27
B. a15 C10
10
.C105 .35.25 C109 .C96 .33.26 C108 .C87 .27
C. a15 C10
10
.C105 .35.25 C109 .C96 .33.26 C108 .C87 .3.27
D. a15 C10
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Trang 18
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Ta có: P x 1 3x 2 x 2 C10k 3x 2 x 2
10
10
k
k 0
10
k
10
k
k 0
i 0
k 0
i 0
C10k Cki (3x)k i .(2 x 2 )i C10k Cki .3k i.2i x k i
với 0 i k 10 . Do đó k i 15 với các trường hợp
k 10, i 5 hoặc k 9, i 6 hoặc k 8, i 7
Vậy a15 C1010 .C105 .35.25 C109 .C96 .33.26 C108 .C87 .3.2 7 .
2
Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x trong các khai triển sau ( x3 ) n , biết rằng Cnn1 Cnn2 78 với
x
x0
A. 112640
B. 112640
C. 112643
D. 112643
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n!
n!
78
Ta có: Cnn1 Cnn2 78
(n 1)!1! (n 2)!2!
n(n 1)
n
78 n2 n 156 0 n 12 .
2
12
12
3 2
Khi đó: f ( x) x C12k (2) k x364 k
x
k 0
Số hạng không chứa x ứng với k : 36 4k 0 k 9
Số hạng không chứa x là: (2)9 C129 112640
Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của
( x 2 1)n ( x 2) n . Tìm n để a3n3 26n
A. n=5
B. n=4
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1:Ta có :
x
2
C. n=3
1 Cn0 x 2 n Cn1 x 2 n 2 Cn2 x 2 n 4 ... Cnn
n
x 2
n
Cn0 x n 2Cn1 x n 1 22 Cn2 x n 2 ... 2n Cnn
Dễ dàng kiểm tra n 1 , n 2 khơng thoả mãn điều kiện bài tốn.
Với n 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích
x3n3 x2n .xn3 x2n2 .xn1
Do đó hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của
x
2
1 x 2 là : a3n3 23.Cn0 .Cn3 2.Cn1 .Cn1 .
n
n
Suy ra a3n 3 26n
2n 2n2 3n 4
Vậy n 5 là giá trị cần tìm.
Cách 2:
3
n
26n n
n
1 2
n
Ta có: x 2 1 x 2 x3n 1 2 1
x x
i
7
hoặc n 5
2
n
k
n
n
n
1 n
2
x3n Cni 2 Cnk x3n Cni x 2i Cnk 2k x k
x k 0 x
i 0
k 0
i 0
Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n 3 khi
2i k 3 2i k 3 .
Trang 19
D. n=2
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i 0, k 3 hoặc
i 1, k 1(vì i, k nguyên).
Hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của x 2 1 x 2
n
n
Là : a3n3 Cn0 .Cn3 .23 Cn1 .Cn1 .2 .
Do đó a3n 3 26n
2n 2n2 3n 4
Vậy n 5 là giá trị cần tìm.
3
7
26n n hoặc n 5
2
n
1
Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của 4 x 7 , biết
x
1
2
n
20
C2n1 C2n1 ... C2n1 2 1 .
A. 210
B. 213
C. 414
D. 213
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Do C2kn1 C22nn11k k 0,1, 2,..., 2n 1
C20n1 C21n1 ... C2nn1 C2nn11 C2nn21 ... C22nn11
Mặt khác: C21n1 C22n1 ... C22nn11 22 n1
2(C20n1 C21n1 C22n1 ... C2nn1 ) 22 n1
C21n1 C22n1 ... C2nn1 22n C20n1 22n 1
22n 1 220 1 n 10 .
10
10
10
10
1
Khi đó: 4 x 7 x 4 x 7 C10k ( x 4 )10k .x 7 k C10k x11k 40
x
k 0
k 0
26
Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k 40 26 k 6 .
Vậy hệ số chứa x 26 là: C106 210 .
Câu 52: Cho n * và (1 x)n a0 a1 x ... an x n . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 k n 1 ) sao
a
a
a
cho k 1 k k 1 . Tính n ? .
2
9
24
A. 10
B. 11
C. 20
D. 22
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n!
1
n!
1
2 (k 1)!(n k 1)! 9 (n k )!k !
Ta có: ak Cnk , suy ra hệ
n!
1
n!
1
9 (n k )!k ! 24 (n k 1)!(k 1)!
9k 2(n k 1)
2n 11k 2
n 10, k 2 .
24(k 1) 9(n k )
9n 33k 24
1 2
Câu 53: Trong khai triển của ( x)10 thành đa thức
3 3
a0 a1 x a2 x2 ... a9 x9 a10 x10 , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 k 10 ).
210
315
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A. a10 3003
B. a5 3003
210
315
C. a4 3003
Trang 20
210
315
D. a9 3003
210
315
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
15
15 k
15
1 2
1
Ta có: x C15k
3 3
3
k 0
k
k
15
2
k 2
k
x
C
15 15 x
3
3
k 0
1
Hệ số của x k trong khai triển ak 15 C15k 2k
3
k 1 k 1
k k
Ta có: ak 1 ak C15 2 C15 2 C15k 1 2C15k
32
k
k 10. Từ đó: a0 a1 ... a10
3
Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:
32
ak 1 ak k
a10 a11 ... a15
3
210 10
210
Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 15 C15 3003 15 .
3
3
n
2
n
Câu 54: Giả sử (1 2 x) a0 a1 x a2 x ... an x , biết rằng a0 a1 ... an 729 . Tìm n và số lớn
nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. n=6, max ak a4 240
B. n=6, max ak a6 240
C. n=4, max ak a4 240
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: a0 a1 ... an (1 2.1)n 3n 729 n 6
D. n=4, max ak a6 240
ak C6k 2k suy ra max ak a4 240 .
Câu 55: Cho khai triển (1 2 x)n a0 a1 x ... an x n , trong đó n * . Tìm số lớn nhất trong các số
a
a
a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0 1 ... nn 4096 .
2
2
A. 126720
B. 213013
C. 130272
D. 130127
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt f ( x) (1 2 x)n a0 a1 x ... an x n
a
a1
1
... nn f 2n 2n 4096 n 12
2
2
2
Với mọi k 0,1, 2,...,11 ta có: ak 2k C12k , ak 1 2k 1 C12k 1
a0
ak
2k C k
k 1
23
1 k 1 12k 1 1
1 k
ak 1
2 C12
2(12 k )
3
Mà k Z k 7 . Do đó a0 a1 ... a8
a
Tương tự: k 1 k 7 a8 a9 ... a12
ak 1
Số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., a12 là a8 28 C128 126720 .
Trang 21
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG
n
a C b
k 0
k
k
n
k
.
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
(a b)n Cn0 a n a n1bCn1 a n2b2Cn2 ... bnCnn .
Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
* Cnk Cnnk
* Cn0 Cn1 ... Cnn 2n
n
*
(1) C
k
k 0
n
*
0
n
C22nk C22nk 1
k 0
k 0
n
*
k
n
C a
k 0
k
n
k
1 2n k
C2n
2 k 0
(1 a)n .
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và
biến đổi số hạng đó có hệ số khơng chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
Câu 1: Tổng T Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ... Cnn bằng:
A. T 2n .
B. T 2n – 1 .
C. T 2n 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn.
Câu 2: Tính giá trị của tổng S C60 C61 .. C66 bằng:
A. 64 .
B. 48 .
C. 72 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
S = C06 +C16 +...+C66 26 64
D. T 4n .
D. 100 .
Câu 3: Khai triển x y rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C50 C51 ... C55
5
A. 32 .
B. 64 .
C. 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với x 1, y 1 ta có S= C50 +C15 +...+C55 (1 1)5 32 .
Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn0 2Cn1 4Cn2 ... 2n Cnn 243
A. 4
B. 11
C. 12
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Xét khai triển: (1 x)n Cn0 xCn1 x 2Cn2 ... x nCnn
D. 12 .
D. 5
Cho x 2 ta có: Cn0 2Cn1 4Cn2 ... 2n Cnn 3n
Do vậy ta suy ra 3n 243 35 n 5 .
5
Câu 5: Khai triển x y rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C50 C51 ... C55
A. 32 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
B. 64 .
C. 1 .
Trang 22
D. 12 .
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Với x 1, y 1 ta có S= C50 +C15 +...+C55 (1 1)5 32 .
Câu 6: Khai triển 1 x x 2 x3 a0 a1 x a2 x 2 ... a15 x15
5
a) Hãy tính hệ số a10 .
A. a10 C50 . C54 C54C53
B. a10 C50 .C55 C52C54 C54C53
C. a10 C50 .C55 C52C54 C54C53
D. a10 C50 .C55 C52C54 C54C53
b) Tính tổng T a0 a1 ... a15 và S a0 a1 a2 ... a15
A. 131
B. 147614
C. 0
Hướng dẫn giải:
Đặt f ( x) (1 x x2 x3 )5 (1 x)5 (1 x2 )5
D. 1
a) Do đó hệ số x10 bằng: a10 C50 .C55 C52C54 C54C53
b) T f (1) 45 ; S f (1) 0
Câu 7: Khai triển 1 2 x 3x 2 a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20
10
a) Hãy tính hệ số a4
A. a4 C100 .24
B. a4 24 C104
C. a4 C100 C104
D. a4 C100 .24 C104
C. S 1720
D. S 710
b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 ... 220 a20
A. S 1710
Hướng dẫn giải:
B. S 1510
10
Đặt f ( x) (1 2 x 3x 2 )10 C10k 3k x 2 k (1 2 x)10k
k 0
10
10 k
C10k 3k x 2 k C10i k 210k i x10k i
k 0
10 10 k
i 0
C10k C10i k 3k 210k i x10 k i
k 0 i 0
a) Ta có: a4 C100 .24 C104
b) Ta có S f (2) 1710
1
1
1
1
(1) n n
Cn
Câu 8: Tính tổng sau: S Cn0 Cn1 Cn3 Cn4 ...
2
4
6
8
2(n 1)
1
A.
B. 1
C. 2
2(n 1)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1
1
(1)n n
Cn
Ta có: S Cn0 Cn1 Cn2 ...
2
2
3
n 1
D.
1
(n 1)
n
(1)k k (1)k k 1
1
Cn
Cn 1 nên: S
Vì
(1)k Cnk11
k 1
n 1
2(n 1) k 0
1 n 1
1
(1)k Cnk1 Cn01
.
2(n 1) k 0
2(n 1)
Câu 9: Tính tổng sau: S Cn1 3n1 2Cn2 3n2 3Cn3 3n3 ... nCnn
A. n.4n1
Hướng dẫn giải:
B. 0
C. 1
Trang 23
D. 4n 1
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Chọn A.
1
Ta có: S 3 kC
3
k 1
n
n
k
k
n
k
k
1
1
Vì kC n Cnk11 k 1 nên
3
3
k
n
k
k
n 1
1
1
1
S 3 .n Cnk11 3n1.n Cnk1 3n 1.n(1 )n 1 n.4n 1 .
3
k 1 3
k 0 3
1
1
1
Cnn
Câu 10: Tính các tổng sau: S1 Cn0 Cn1 Cn2 ...
2
3
n 1
n 1
n 1
2n 1 1
2 1
2 1
1
A.
B.
C.
n 1
n 1
n 1
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
1
1
n!
1
(n 1)!
Cnk
k 1
k 1 k !(n k )! n 1 (k 1)![(n 1) (k 1))!
1
Cnk11 (*)
n 1
1 n k 1
1 n 1 k
2n 1 1
0
S1
C
C
C
.
n1 n 1
n 1
n 1
n 1 k 0
n 1
k 0
n
n
2n 1 1
1
D.
n 1
Câu 11: Tính các tổng sau: S2 Cn1 2Cn2 ... nCnn
A. 2n.2n1
B. n.2n1
C. 2n.2n1
D. n.2n1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
n!
n!
k !(n k )! (k 1)![(n 1) (k 1)]!
(n 1)!
n
nCnk11 , k 1
(k 1)![(n 1) (k 1)]!
Ta có: kCnk k .
n
n 1
k 1
k 0
S2 nCnk11 n Cnk1 n.2n 1 .
Câu 12: Tính các tổng sau: S3 2.1.Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 ... n(n 1)Cnn .
A. n(n 1)2n2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có k (k 1)Cnk
B. n(n 2)2n2
C. n(n 1)2n3
n!
n(n 1)Cnk22
(k 2)!(n k )!
n
S3 n(n 1) Cnk22 n(n 1)2n 2 .
k 2
32 1 1
3n1 1 n
Cn ...
Cn
Câu 13: Tính tổng S C
2
n 1
4n 1 2n 1
A. S
n 1
0
n
B. S
Trang 24
4n 1 2n 1
1
n 1
D. n(n 1)2n2
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
4n 1 2n 1
1
C. S
n 1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có S S1 S2 , trong đó
4n 1 2n 1
1
D. S
n 1
32 1 33 2
3n1 n
S1 C Cn Cn ...
Cn
2
3
n 1
1
1
1
S2 Cn1 Cn2 ...
Cnn
2
3
n 1
n 1
2 1
1
Ta có S2
n 1
Tính S1 ?
0
n
3k 1 k 1
3k 1 k
n!
3k 1
(n 1)!
k 1
Cn 1
Cn 3
Ta có:
k 1
(k 1)!(n k )! n 1 (k 1)![(n 1) (k 1)]! n 1
4n 1 1
1 n 1 k k
1 n k 1 k 1
0
0
0
2.
3
C
C
2
C
S1
3
C
2
C
n2 n n 1
n 1
n
n
n 1
n 1 k 0
k 0
Vậy S
4n 1 2n 1
1 .
n 1
Câu 14: Tính tổng S Cn0
3n 1 2n 1
n 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: S S1 S2
A. S
22 1 1
2n 1 1 n
Cn ...
Cn
2
n 1
3n 2n 1
B. S
n 1
C. S
3n 1 2n
n 1
D. S
3n 1 2n 1
n 1
n
Ck
2k 1
2n1 1
; S2 n
1
k 1
n 1
k 0
k 0 k 1
3n 1 1
2k 1 k 2k 1 k 1
Cn
Cn 1 S1
1
Mà
n 1
k 1
n 1
3n 1 2n 1
Suy ra: S
.
n 1
Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C21n1 2.2C22n1 3.22 C23n1 ... (2n 1)2n C22nn11 2005
A. n 1001
B. n 1002
C. n 1114
D. n 102
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
n
Trong đó S1 Cnk
2 n 1
Đặt S (1) k 1.k.2k 1 C2kn 1
k 1
Ta có: (1)k 1.k.2k 1 C2kn1 (1)k 1.(2n 1).2k 1 C2kn1
Nên S (2n 1)(C20n 2C21n 22 C22n ... 22n C22nn ) 2n 1
Vậy 2n 1 2005 n 1002 .
Câu 16: Tính tổng 1.30.5n1 Cnn1 2.31.5n2 Cnn2 ... n.3n150 Cn0
A. n.8n1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
B. (n 1).8n1
C. (n 1).8n
Trang 25
D. n.8n
