Parabol và bài toán quy hoạch Toán Lớp 10

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP

1+2
1+2
Chun Parabol
và bài tốn quy hoạch
đề
y  x  x 1
2

Câu 1. (HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI ) Cho hàm số
có đồ
d
:
y


2
x

m
thị là (P) . Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc toạ độ).
Lời giải

2
2
Xét phương trình hồnh độ giao điểm : x  x  1  2 x  m � x  3 x  m  1  0 (1)
WORD=>ZALO_0946 513 000

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A , B thì phương trình (1) phải có hai nghiệm
13
x1 , x2 �   0 � 9  4m  4  0 � 13  4m  0 � m  4
phân biệt
.(*)
Khi đó giả sử

A( x1; 2 x1  m) ; B( x2 ; 2 x2  m)

Theo hệ thức Vi-et ta có:

�x1  x2  3
�
�x1.x2  m  1

uuu
r uuur
� x1.x2  (2 x1  m)(2 x2  m)  0
Tam giác OAB vuông tại O � OA.OB  0
� 5 x1.x2  2m( x1  x2 )  m 2  0 � 5(m  1)  6m  m 2  0 � m 2  m  5  0

�m

1 � 21
2

Kết hợp điều kiện (*) ta có

m

1 � 21
2
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2. (HSG10 YÊN PHONG 2) Cho hàm số
1)Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

 1

y  x 2   2m  3 x  2m  2  1

khi m  0 .

1
2)Xác định m để đồ thị hàm số   cắt đường thẳng y  3 x  1 tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).
Lời giải

2
1)Khi m  0 ta được hàm số y  x  3 x  2

*) Tập xác định: D  �
�3 1 �
I� ; �
*) Tọa độ đỉnh: �2 4 �

Trang 2


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

�3
�
� ;  ��
�, nghịch
*) Sự biến thiên: Vì a  1  0 nên hàm số đồng biến trên khoảng �2
� 3 �
�; �
�
2 �.
�
biến trên khoảng

*) Bảng biến thiên

WORD=>ZALO_0946 513 000

*) Điểm đặc biệt

�3 1 �
I� ; �
*) Đồ thị : Đồ thị là 1 đường parabol có đỉnh �2 4 �, hướng bề lõm lên trên và
3
x
2 làm trục đối xứng.
nhận đường thẳng

2)Phương trình hồnh độ giao điểm của ĐTHS

 1

và đường thẳng y  3 x  1 là:

x 2   2 m  3  x  2m  2  3 x  1

� x 2  2mx  2m  3  0  *
Để ĐTHS

 1

*
cắt đường thẳng y  3 x  1 tại 2 điểm phân biệt A, B � phương trình  

m  3
�
��
0
�m  1
có 2 nghiệm phân biệt � �

Gọi

x1, x2

là các nghiệm của phương trình

 * ,ta có

Trang 3

� x1  x2  2m
�
�x1.x2  2m  3


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

Đặt

A  x1 ;3 x1  1 , B  x2 ;3 x2  1

uuu
r uuur
OAB vuông tại O � OA.OB  0 � 10 x1x2  3  x1  x2   1  0

� 26m  31  0
�m

Vậy

31
26 ( thỏa mãn)

m

31
26 .
WORD=>ZALO_0946 513 000

Câu 3. (HSG10 Kim Liên )Một cầu treo có dây truyền đỡ là Parabol ACB như

'
'
hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm A, B trên mỗi trục AA và BB
' '
với độ cao 30 m. Chiều dài đoạn A B trên nền cầu bằng 200 m. Độ cao ngắn nhất
'
'
'
'
'
'
'
'
của dây truyền trên cầu là CC  5 m. Gọi Q , P , H , C , I , J , K là các điểm chia
' '
đoạn A B thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy
'
'
'
'
'
'
'
dây truyền QQ , PP , HH , CC , II , JJ , KK gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài
của các dây cáp treo ?

Lời giải

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
2

Giả sử Parabol có dạng : y  ax  bx  c, a �0 .

Vì Parabol đi qua điểm

A  100;30 

và đỉnh

C  0;5 

Trang 4

nên ta có hệ phương trình:


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

1
�
a
�
10000a  100b  c  30
�
400
�
�b
��
b0
�
� 0

�
c5
�2a
�
c

5
�
�
�
.
Vậy (P):

y

1 2
x 5
400
.

' '
Đoạn A B chia làm 8 phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài là 25 m.

Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo là:

WORD=>ZALO_0946 513 000

OC  2 y1  2 y2  2 y3

�1

� �1
� �1
�
 5  2 � .252  5 � 2 � .50 2  5 � 2 � .752  5 �
�400
� �400
� �400
�=78,75 m.

Câu 4. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019)Một phân xưởng có hai
M ,M
máy đặc chủng 1 2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I ; II . Một tấn sản phẩm
loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1, 6 triệu đồng. Muốn sản xuất
M
M2
một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy 1 trong 3 giờ và máy
trong 1 giờ.
M
Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy 1 trong 1 giờ và máy
M2
trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai sản phẩm
M
M
trên. Máy 1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy 2 một ngày chỉ làm
việc không quá 4 giờ. Tổng số tiền lãi là lớn nhất có thể đạt được là:
A. 4, 0 triệu.

B. 7, 2 triệu.

C. 6,8 triệu.

Lời giải

D. 5, 7 triệu.

Chọn C
Giả sử phân xưởng sản xuất trong một ngày được x (tấn) sản phẩm loại I và y
(tấn) sản phẩm loại II .
Số giờ làm việc của máy

M1

là: 3x  y .

Số giờ làm việc của máy

M2

là: x  y .

Số tiền lãi của phân xưởng mỗi ngày là T  2 x  1, 6 y (triệu)
3x  y �6
�
�x  y �4
�
�
�x �0
�
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình: �y �0
Ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OABC

Trang 5


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

WORD=>ZALO_0946 513 000

T đạt giá trị lớn nhất khi nó nằm trong miền tứ giác OABC , chỉ đạt được khi tại các
đỉnh.

Thử lại ta thấy T đạt giá trị lớn nhất khi ( x, y ) là tọa độ của điểm B (1;3) .
Vậy T  2.1  3.1, 6  6,8 (triệu)
Câu 5. (HSG10 tỉnh Hải Dương)Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và
loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một
kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản
xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc
trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản
phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ.
Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất.
Lời giải
Giả sử sản xuất x(kg ) sản phẩm loại I và y (kg ) sản phẩm loại II.
Điều kiện x �0, y �0 và 2 x  4 y �200 � x  2 y �100
Tổng số giờ máy làm việc: 3x  1,5 y
Ta có 3 x  1,5 y �120
Số tiền lãi thu được là T  300000 x  400000 y (đồng).

�x �0, y �0
�
�x  2 y �100
�

3 x  1,5 y �120 (I) sao cho T  300000 x  400000 y đạt giá trị
Ta cần tìm x, y thoả mãn: �
lớn nhất.

d : x  2 y  100; d 2 : 3x  1,5 y  120
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng 1

Trang 6


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP

Đường thẳng

d1 cắt trục hồnh tại điểm A(100;0) , cắt trục tung tại điểm B (0;50) .

Đường thẳng

d 2 cắt trục hoành tại điểm C (40;0) , cắt trục tung tại điểm D  0;80  .

Đường thẳng

d1 và d 2 cắt nhau tại điểm E  20; 40  .

WORD=>ZALO_0946 513 000

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC .

�x  0
�T  0

�
y

0
�

;

�x  0
� T  20000000
�
y

50
�

;

�x  20
� T  22000000
�
y

40
�

;

�x  40
� T  12000000

�
�y  0
Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm
loại I và 40kg sản phẩm loại II
Câu 6. (HSG12 tỉnh Điện Biên) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm
2 x  y  a �0
�
�
A  0;9  B  3; 6 
6 x  3 y  5a �0 . Tìm tất
,
. Gọi D là miền nghiệm của hệ phương trình �
cả các giá trị của a để AB �D .

Lời giải
Phương trình đường thẳng AB : x  y  9  0 .
Trường hợp 1: Nếu AB là đường thẳng.
a �2 x  y
�
�
5a �6 x  3 y .
Xét hệ �

a �12
�
�a �12
�
� � 48 � a ��
�
5a �48 �

a�
�
C  7; 2  �AB
5
�
C
�
D
Dễ thấy điểm
nhưng
vì
.
y  9  x  x � 0;3 
Trường hợp 2: Nếu AB là đoạn thẳng. Ta thay

Trang 7

a �2 x  y
�
�
5a �6 x  3 y
vào hệ �


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

a �9  3x
�
3 x  27
�

� 3 x  27  �
5
a�
�
5
Ta được: �
(*) đúng
Vậy



x � 0;3 � 

a 9 3x
(*)

27
�a �0
5
.

27
�a �0
5
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 8