DIEM ROI TRONG BAT DANG THUC CAUCHY

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. Đ Trong. BẤT ĐẲNG THỨC c AUCHY. BÁO CÁO VIÊN : GV Đoàn Văn Tố.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. Đỉnh núi Everest. Tại Nepal, nó mang tên Sagarmatha (nghĩa là "trán trời"). Trong tiếng Tây Tạng, nó được gọi Chomolungma (nghĩa là "Thánh mẫu của vũ trụ"). Trong tiếng Trung Quốc, nó có tên phiên âm từ tiếng Tây Tạng là Châu Mục Lãng Mã Phong được dịch nghĩa là Thánh Mẫu Phong - "đỉnh núi của Thánh mẫu". Độ cao. 8848 m. Vị trí. Solukhumbu District,Sagarmatha Zone, Nepal Tingri County, Xigazê Prefecture, Khu tự trị Tây Tạng,Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa[2]. Dãy núi. Mahalangur Himal, Himalayas. Vài dòng tri ân … ... Xin mạn phép nói rằng, trong số các bạn, đã có ai đặt cho mình câu hỏi “ Tại sao người ta luôn phải tìm cách trèo lên đỉnh núi Everest ? ”. Công việc thật sự là quá khó khăn, mà nói cho cùng cũng chẳng mang lại một lợi ích thiết thực nào cả. Nhưng xin các bạn nhớ cho rằng, trong cuộc sống ngoài những nhu cầu về vật chất, con người rất cần đến lòng tin, sức mạnh và ý chí của mình. Xin chân thành cảm ơn các Thầy-Cô, những người đã từng dạy mình cũng như chưa từng dạy mình, tất cả họ đều đã cho tôi lòng tin, sức mạnh và ý chí..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. CHỦ ĐỀ. B ẤT ĐẲNG THỨC Cauchy & Kỹ thuật chọn điểm rơi. I- Giới thiệu một số bất đẳng thức thông dụng : 1) Với mọi a, b : 2.  a b  a + b  2ab  (a + b)  4ab     ab (Dấu “=” xảy ra khi a = b)  2  2) Với mọi a, b > 0 : a b 1 1 4   2 và   (Dấu “=” xảy ra khi a = b) b a a b ab 2. 2. 2. 3) Với mọi a, b : a + b  a +b (Dấu “=” xảy ra khi a.b  0). và a – b  a – b (Dấu “=” xảy ra khi a  b  0 hoặc a  b  0) 4) Với mọi số a, b, c : a) b). 1 2 a  b 2 2 2 a + b + c2  ab + bc + ac a 2  b2 . 3(a2 + b2 + c2)  (a + b + c)2 5) Với mọi số a, b, c không âm : c). a). ab a b  2 2. (BĐT “Căn trung bình cho hai số”). abc a b c  (BĐT “Căn trung bình cho ba số”) 3 3 6) Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy inequality) cho hai số không âm : b). Với a , b và c là ba số không âm : a  b  2 a.b Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra  a = b 7) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki (Bunyakovsky inequality) Với mọi a, b, c, d : (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) Hoặc : ac  bd  a 2  b2 . c 2  d 2 Dấu “=” xảy ra  a = k.c và b = k.d. 1 1 1    ...    n 2 an   a1 a 2. 8) Với n số thực dương a1,a2, …, an :  a1  a 2  ...  a n  . Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra  a1 = a2 = … = an. a 2 b 2 c 2 (a  b  c) 2 9) Với m, n, p dương :    m n p mnp.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4 10) Với a, b, c dương :. a b c 3    (Nesbitt inequality) bc ca a b 2. ( Sẽ nói rõ thêm về BĐT Nesbitt và BĐT AM-GM trong một chuyên đề khác. Các bạn nhớ đón đọc nhé !). II-Từ những sai lầm thường gặp : Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất của A =. x 3  5 x. Điều kiện : 3  x  5 Cách 1 “Dùng BĐT căn trung bình”.  x  3   5  x . Ta có A =. x 3  5 x  2. Ta có A =. x  3  5  x = 1. x  3  1. 5  x. =4 2 Dấu “=” xảy ra  x + 3 = 5 – x  x = 1 (thỏa điều kiện) Vậy Amax = 4 tại x = 1 Cách 2 “Dùng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski”.  12     A  4. . 1. 2. . 2. x3.  . 2 5 x  = 4 . . Dấu “=” xảy ra  x  3  5  x  x = 1 (thỏa điều kiện) Vậy Amax = 4 tại x = 1 Cách 3 “Dùng BĐT Cô-si” Tất nhiên, hai cách giải trên là đúng. Chúng ở đó để đối chiếu với cách giải sau, khi gặp bài toán này, của một số học sinh..   Ta có :   . 1 2 A5 1  5  x .1   5  x  1 2.  x  3.1   x  3  1. x  3  1  x  2 Dấu “=” xảy ra    : vô lý ! 5  x  1 x  4  Tới đây, tôi đã gặp nhiều câu trả lời thú vị từ học sinh : _ có bạn thì nói : Bài toán không có GTLN ! _ có bạn thì lại nói : Đề bài có vấn đề !? _ bạn kỹ tính hơn thì lại nhận định : Có lẽ hướng “chặn A  5” chưa đúng !  Các bạn ghi nhớ bài này nhé, ta sẽ giải khi biết “điểm rơi” là gì ! Bài toán 2 : 1 Cho x > 0, y > 0 thỏa xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x  y  xy.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 5. (có lẽ, cấu trúc bài toán làm cho học sinh bị “ghiền” Cô-si cho hai số… !?. Và thật vậy, nhiều bạn đã miệt mài giải như sau…) 1 Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm x + y và , ta có : xy B = xy. 1 1 = 2  B  2.  2 (x  y). xy xy. Dấu “=” xảy ra  x + y =. 1 2   x  y   1  x + y = 1 (x; y > 0) xy. 1  1  x2  x  1  0 x 2 (vô lý ! vì ta đã biết x  x  1  0 với mọi x) Như vậy thì : Ta chặn được B  2 nhưng không tìm được giá trị của x và y để dấu “=” xảy ra ! Điều này có nghĩa là : “giải theo Cô-si kiểu này cũng bế tắc luôn !” 1 Bài toán 3 : Cho a  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của C = a  a Có lẽ, một số học sinh sẽ thấy ngay rằng : 1 _ Khi áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm a và thì sẽ cho ra ngay kết quả a là C  2. Nhưng khi tìm a để dấu “=” xảy ra thì : 1 _ Dấu “=” xảy ra  a =  a2 = 1  a = 1 (a không âm) : trái giả thiết a  3. a  Các bạn thấy chưa ! dùng Cô-si chặn giá trị các biểu thức cần tìm GTNN-GTLN thì rất Kết hợp xy =1, ta có : x . đẹp nhưng tìm giá trị của biến để dấu “=” xảy ra là công việc cần phải hết sức cẩn thận !. Bài toán 4 : Cho a, b và c là ba số không âm thỏa a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của D = Một số học sinh nhận thấy rằng :  cứ gặp. a  b là chuyển thành. ab  bc  ca  6.  a  b .1.  ngoài ra, với giả thiết a + b + c = 1, khi sử dụng Cô-si cho hai số a + b và 1, sẽ gặp tổng a + b + c và sẽ thay tổng này là 1. Có lẽ là quá đẹp phải không ? Và các bạn đã giải như sau : 1 Ta có : D =  a  b  .1   b  c  .1   c  a  .1   2. a  b  c   3 2 1 5   2.1  3   2 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 6. a  b  1  Dấu “=” xảy ra  b  c  1 c  a  1  Kết hợp điều kiện a + b + c = 1, ta có được : a = b = c = 0 (mâu thuẫn !) Tới đây thì ta cũng có kết luận như kết luận của bài toán 2. Và bây giờ thì sẽ giải thế nào đây ? (Hãy khoan dùng BĐT Cô-si, đề dành khi biết “điểm rơi” là gì !) Thử dùng BĐT “căn trung bình cho 3 số không âm” :. 2. a  b  c  2  3.  6 3 3 Dấu “=” xảy ra  a  b  b  c  c  a  a = b = c 1 Kết hợp điều kiện a + b + c = 1, ta có được : a = b = c = (quá đẹp luôn !) 3 a  b  b  c  c  a  3.. Ta có : D =.  Ghi nhớ ! Khi gặp bài toán có chứa các biểu thức dạng A  B  C , theo kinh nghiệm của tôi, các bạn nên nhớ tới các BĐT sau : . A  B  C  3.. ABC , hoặc : 3.  A  B  C  ABC Với ghi nhớ này, các bạn sẽ giải được rất nhiều bài toán hay. Ví dụ : Giải phương trình Hd :. x  x 2  x  x 2  x  1 (1) (Đề thi HSGTP 09-10).  x  x 2  0  x 1  x   0  x  0 v x  1 Điều kiện     0  x 1 2  x  x  0 0  x  1  x 1  x   0. Khi đó, áp dụng BĐT. A  B  2.. AB (A, B  0) 2. x  x2  x  x2 Ta có VT(1)  2.  2 x , trong khi đó VP(1)  2 x (áp 2 dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm x và 1) x  1 x  1 Như vậy, dấu “=” ở hai BĐT trên xảy ra   (!)   2 2 2 x  x  x  x 2x  0   Kết luận : Phương trình (1) vô nghiệm . Bài toán 5 : Cho x  0 , y  0 , x  y  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của E  3x  2y . 6 8  x y.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 7. Một số bạn dùng BĐT Cô-si cho hai số không âm và giải như sau :.  6 8 6  8  Ta có : E =  3x     2y    2. 3x.  2y.  x  y x y    6 2 8. 6  3x  x  x 2  2  x  2 Dấu “=” xảy ra    2  (x > 0, y > 0) 8 y  2 y  4   2y  y  Nhưng khi đó thì x + y < 6 (trái giả thiết). Như vậy, nếu nhóm và áp dụng BĐT Cô-si như ở trên thì “bế tắc” trong việc tìm giá trị nhỏ nhất của E. Bài toán 6 : Với u + v = 1 và u > 0, v > 0. 2. 1  1  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F   u     v   v  u . 2. Quan sát bài giải một học sinh : 1   1   u v Ta có : F =  u 2  2    v2  2   2    u   v   v u  2  2  2.2 8. u  1 Dấu “=” xảy ra  u 2  v2  1   (u, v > 0) : trái giả thiết ! v  1 Và bài giải một học sinh khác như sau : Áp dụng BĐT : A2 + B2  2AB 2. 2. 1  1  Ta có : F =  u     v   v  u  1  1   2  u   v   = v  u . 1   2  2  uv    2  2  2   8 uv  .  uv 2  1  uv  1  Dấu “=” xảy ra     1 1 u  v u   v  v u . u  1  (u, v > 0) : trái giả thiết ! v  1 _ Các em học sinh này chặn được F  8 nhưng đều... “bế tắc”trong cách giải - không sao, đừng nản chí. Trong toán học, đây là chuyện bình thường... các bạn nên biết rằng, đôi lúc ta học được rất nhiều điều từ sự ...“bế tắc”!.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 8. _ Thế thì bài này giải như thế nào ? Thật ra không cần phải biết “điểm rơi” ở đây làm gì. Ta dùng một số BĐT đúng và BĐT Cô-si thuần túy cho hai số không âm là được rồi….  Cách 1. 1   1 u v _ Ta có : F =  u 2  v2    2  2   2    v  u v u  Áp dụng BĐT : A2 + B2 . 1 2  A  B  (*) 2. 1 1 2  u  v   u2 + v2  (vì u + v = 1) 2 2  Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm u, v : 1 Ta có : u + v  2 uv  4 uv 2 1 1 u 2  v2 1 1  1 1 1 Khi đó : 2  2  2 2     .16  2  2  8 (**) u v u v 2  uv  2 u v 1 1 u v  _ Vậy : F   8  2.2    2   F  12 2 2 v u  1 _ Dấu “=” xảy ra  u = v, kết hợp u + v = 1  u = v = 2 (**) Giải theo hướng khác : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 u  v 1 1        2 2      u 2 v2 2  u v  u v 2  u.v  2  u.v  Ta có : u2 + v2 . 2. 2. 1 1 1 1 1 1 4  Hoặc : 2  2        u v 2 u v 2u  v  Cách 2 Áp dụng BĐT (*) 2 2 2 1  1  1 1 1  _ Ta có : F   u     v     u   v   v  u  2 v u  _ Thay u + v = 1, ta được : 2 2 1 u  v u  v 1 u v F  1     3    2 v u  2 v u u v 1 1 2   2  F   3  2   F  12 Mà v u 2 2 1 _ Dấu “=” xảy ra  u = v = . 2 Bài toán 7 : Cho a > c, b > c và c > 0. Chứng minh rằng. c  a  c   c  b  c   ab (1). Bài toán này thì đã quá quen thuộc với nhiều người. Lời giải bài toán ta bàn sau nhé, hãy xem suy nghĩ của một học sinh khi giải bài toán như sau :.  Quan sát thấy :.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 9. c  a  c  ở dưới dấu căn và vế phải của BĐT chỉ chứa a, b 1 …còn chờ gì nữa (?!) chặn ngay : c  a  c    c  a  c  2  Bài giải như sau : Áp dụng BĐT cô-si cho hai bộ số không âm : c, a  c và c, b  c 1   c  a  c   2  c  a  c  1 _ Ta có :   ca  c  c b  c  a  b 2  c  b  c  1  c  b  c   2 1 _ Như vậy, để chứng minh BĐT (1) ta cần chứng minh :  a  b   ab 2 1 Nhưng điều này là không thể vì ta đã biết  a  b   ab (Cô-si hai số). 2  Một số cách giải của bài toán : Cách 1 Hai vế BĐT đã cho không âm, bình phương hai vế - khai triển và thu gọn, ta 2. được BĐT tương đương BĐT đã cho : c   a  c  b  c    0   Cách 2 Ta có : c  a  c   c  b  c   c. a  c  b  c. c Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski : c. a  c  b  c. c  c. a  c  b  c. c . c   b  c .. . ab : đpcm !. a  c  c. Cách 3. ca  c cb  c   1 (2) ab ab c ac Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm , . Ta có : b a c  a  c c a c 1 c a c  .     ab b a 2 b a  Ta có :. c  a  c   c  b  c   ab . c  b  c c bc 1c bc  .     ab a b 2a b  1 c a c c bc Vậy : VT(2)       2b a a b  1  .2 = 1  đpcm ! 2 Cách 4 “Giải bài toán BĐT bằng phương pháp hình học” Tương tự :.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 10. _ Xét ABC có AB = a , AC = b và đường cao AH = c (tất nhiên lúc này thì điều. A. kiện a > c, b > c và c > 0 vẫn đảm bảo. Câu hỏi mà bạn quan tâm sẽ là dựng ABC đó như thế nào ?! Ta nói chuyện này sau nhé…) b a c. . C B. a-c. H. _ Tính được BH = a  c , CH = b  c . 1 _ Ta có SABC = . c a  c  b  c 2  c  a  c   c  b  c   2.SABC. b-c. . Mà : 2.SABC  a. b  ab (lại nói sau nhé…). Từ đây ta có đpcm !.  Giải thích một số ý : a) Dựng ABC :  ABH vuông tại H có AH = c , AB = a nên ABH dựng được.  Vẽ tia Hx đối tia HB. Cung tròn (A; b ) cắt tia Hx tại điểm C. Lúc này ABC xem như dựng xong. b) Tính chất về diện tích tam giác : A Tam giác ABC có độ dài hai cạnh là x và H y (x > 0, y > 0). Khi đó ta luôn luôn có 1 được SABC  xy . y x 2 Thật vậy, khi kẻ đường cao BH của 1 1 ABC thì : SABC = BH.AC  BH.y C 2 2 B 1 Mà BH  x, do đó : SABC  x.y 2 III- Khái niệm về “điểm rơi” - Một số ví dụ minh họa : 1 1) Bài toán mở đầu : Cho x  3. Tìm GTNN của P  x  ? x 1 1  Rõ ràng không thể áp dụng BĐT Cô-si ngay để có P  x   2. x.  2 vì x x dấu “=” xảy ra  x = 1, mâu thuẫn với điều kiện x  3.  Từ điều kiện đề bài “ x  3 ”, ta dự đoán rằng P sẽ có giá trị nhỏ nhất khi “ x = 3 ” và đây chính là “điểm rơi” của bài toán.  Sơ đồ phân tích :. 1 1  x 3 1 với P  x   tách hạng tử x trong P để có : x 1 1 1  .?  .  ?  x 2 x  x=3. 1 a.b  (a  b) 2 “=” xảy ra  a = b.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 11. Với x = 3 (tức là dấu “=” xảy ra) 1 1 x 3 1      ?  ?     khi x  3  x  3 9 9 3 . 1 x 1 x 2  2 .  x 9 x 9 3 1 8x  x 1  8.3 2  P=x+ =     với x  3. x 9 9 x 9 3 10  P 3 10  Dễ thấy, dấu “=” xảy ra  x = 3. Vậy Pmin = khi x = 3. 3 1 10 (Đề thi HSG Q.9 - 2000.2001) Bài toán tương tự : Chứng minh rằng x 2  3  2  x 3 3  Và giải như sau :. 2) Bài toán thứ nhất : Cho x, y > 0 thỏa mãn xy =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 thức : M = x + y + xy  Vì x, y > 0 và xy = 1 nên ta dự đoán rằng : dấu “=” xảy ra  x = y = 1.  Sơ đồ phân tích : x=y=1. 1 1 1   x  y 11 2. 1 với ? (chắc chắn sẽ được tách ra từ x + y) để khi dùng xy BĐT Cô-si cho hai số (không âm) ta có được dạng như sau : Ta sẽ nhóm.  1 1  1 .?  .  ? xy 2 xy  Và khi dấu “=” xảy ra tại x = y = 1 thì giá trị. 1 = giá trị của ? xy. xy 1 (để khi x = y =1, sẽ cho giá trị là ) 4 2 3(x  y)  x  y 1   Và giải như sau : M =   4 x  y   4 3(x  y) 3 3(x  y) 3 Trong đó :  .2 xy   (1) 4 4 4 2 xy 1 xy 1 xy 1    2. .   1 (2) 4 xy 4 xy 4 xy 3 5 Vậy : M   1 hay M  2 2 Như vậy : ? chỉ có thể là.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 12. Dấu “=” xảy ra  dấu “=” ở (1) và (2) đồng thời xảy ra x  y x  y   x  y  x = y = 1 : đúng như dự đoán 1    x  y  2 (x, y  0)   4 xy  về “điểm rơi” ban đầu. 3) Bài toán thứ hai : Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc =1.. a2 b2 c2 3 Chứng minh rằng : P =    1 b 1 c 1 a 2  Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1.  Sơ đồ phân tích : a2 a2 a2 Ý tưởng : ?2 .? (dấu “=” xảy ra  = ? khi a = b = 1) 1 b 1 b 1 b Có. a2 12 1   khi a = b = 1. 1 b 11 2.  cần tạo ra “một lượng mới ?” có tử là 1 + b = 2 và cân bằng với đại lượng a2 khi a = b = 1. 1 b  mẫu của “lượng mới ?” là 4 để. 1+b 1  khi b =1 4 2.  Và giải như sau :. a2 1 b a2 1 b Ta có :  2 . a 1+b 4 1+b 4 b2 1  c c2 1  a Tương tự :   b và  c 1+c 4 1+a 4 1 a 1 b 1 c Khi đó : P   a  b  c     4 4 4 3 3 P   a  b  c  4 4 Tiếp tục, áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương a, b, c : 3 3 3 P  .3 3 abc   P  (*) (quá đẹp phải không !) 4 4 2  Kiểm tra lại việc dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c = 1 ” 1  b  2a 1  c  2b  Dấu “=” ở (*) xảy ra    a = b = c =1. 1  a  2c  a  b  c 4) Bài toán thứ ba : Hai bài toán “họ hàng” với bài toán thứ hai.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 13. 4.1) Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 0 thì. x2 y2 z2 xyz    xy yz zx 2.  Dự đoán “điểm rơi” : “ x = y = z ”  Khi đó. x2 x xy x   “lượng mới” cần kết hợp :  xy 2 4 2.  Áp dụng BĐT Cô-si :. x2 xy   x … có được đpcm ! xy 4.  Nói thêm : Có thể dễ dàng chứng minh bài toán trên thông qua bổ đề sau : Cho a1, a2, a3, b1, b2, b3   và b1, b2, b3 > 0 . 2. a 2 a 2 a 2  a +a +a  Khi đó : 1  2  3  1 2 3 b1 b 2 b 3 b1  b 2  b 3. (BĐT Cauchy-Schwarz).  Nói thêm nữa : Bài toán tổng quát của bài toán trên : Chứng minh rằng với mọi x, y, z, m, n > 0 thì :. x2 y2 z2 1    . x  y  z  mx  ny my  nz mz  nx m  n. (Bạn nhớ giải nhé !). 4.2) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của :. x2 y2 z2 E=   yz zx x y  Dự đoán “điểm rơi” : “ x = y = z =. 2 ” 3. 2 2. x  y 2x 1 x 1  Khi đó   3   “lượng mới” cần kết hợp : 4 4 4 3 yz 3 2.  Tương tự như bài toán 4.1) ta có : E  1  Kiểm chứng lại việc dự đoán “điểm rơi”, ta có : Emin = 1 tại x  y  z  5) Bài toán thứ tư : “ Trở về bài toán cũ ” Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 1. Chứng minh:. a  b  b  c  c  a  6 (1).  Dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c =  Sơ đồ phân tích :. 1 ” 3. 2 3.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 14. Ý tưởng :.  a  c  .? . 1  a  c   ?  2. Dấu “=” xảy ra   a  c   ? Mà theo dự đoán, dấu “=” xảy ra tại “điểm rơi” : “ a = b = c =. 1 ” 3. 2 ? 3  Và giải như sau : Do đó :. 2 1 2   a  b   , tương tự cho : 3 2 3 2 2  b  c . và  c  a . 3 3 1 2 2 Khi đó : .VT(1)   2  a  b  c   3.   …  VT(1)  6 2 3 3 1  Kiểm tra lại việc dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c = ” 3 2  1 a  b  b  c  c  a  Dấu “=” ở (1) xảy ra   3  a=b=c= 3 a  b  c  1 Ta có :.  a  b .. 6) Bài toán thứ năm : Dự đoán “điểm rơi” trong BĐT Cauchy qua một cách giải đã biết trước đó. Bài toán : Cho A =. x  3  5  x (1). Tìm giá trị lớn nhất của A ?. Cách giải đã biết trước : Điều kiện : 3  x  5 Áp dụng BĐT “Căn trung bình” cho hai số không âm là x + 3 và 5  x :. x 3  5 x  2.  x  3   5  x  2. =4. Dấu “=” xảy ra  x + 3 = 5 – x  x = 1 (thỏa điều kiện) Vậy Amax = 4 tại x = 1 Cách giải khác :  Tất nhiên theo các trên thì “điểm rơi” là : “ x = 1 ”  Sơ đồ phân tích : Ý tưởng :.  x  3 .? . 1  x  3  ?  2. Khi dấu “=” xảy ra, ta có :  x  3  ?.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 15. Mà theo dự đoán, dấu “=” xảy ra tại “điểm rơi” : “ x = 1 ” Do đó : 4  ? để khi x + 3 = 4  x = 1  Và giải như sau :.   Ta có :   . 1 2 1  5  x .4   5  x  4  2.  x  3.4   x  3  4 . Như vậy : 2A . 1 2.  x  3.4   5  x .4   x  3  4  5  x  4 .  A4.  x  3  4 Dấu “=” xảy ra    x = 1 (thỏa điều kiện) 5  x  4    Và tất nhiên thỏa dự đoán“điểm rơi” : “ x = 1 ” Vậy Amax = 4 tại x = 1. 7) Bài toán thứ sáu : Chưa có lời giải cho bài toán trước đó, nếu giải theo tinh thần “Dự đoán điểm rơi” thì bài toán trên giải sao đây ? Xét bài toán “ Tìm GTLN của P =. x 2  6x ”.  ĐK : 2  x  6  Dự đoán “điểm rơi” là : “ x = k : hằng số ”  Sơ đồ phân tích : Thông thường giá trị ? trong hai 1  6  x .?   6  x   ? BĐT là như nhau. 2. Nếu áp dụng BĐT Cô-si cho từng thành phần :.  x  2  .? . 1  x  2   ?  2. Thì điều kiện về dấu “=” xảy ra sẽ cho chúng ta :. x2?. 6x ?. Do đó : (x  2)  (6  x)  2.?. Bạn biết k bằng bao nhiêu chưa ?. ?=2. k = ___.  Và giải như sau :.   Ta có :    Như vậy :. 1 1   x  2   2  2 x  2  x  2 2  1 1  6  x .2   6  x   2  2 6  x  8  x  2  2.  x  2 .2 . 2.P  4  P  2 2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 16. x  2  2 Dấu “=” xảy ra    x  4 (thỏa điều kiện) . 6  x  2  Vậy : Pmax = 2 2 tại x  4 . 8) Bài toán thứ bảy : Dự đoán “điểm rơi” cho một bài toán khó có điều kiện :. a,b,c  0 Bài toán : Cho  a  b  c  3 a b c 3    (1) ab  3c bc  3a ca  3b 4  Dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c = 1 ” Chứng minh rằng :.  Trước tiên, biến đổi VT(1) như sau : Ta có : ab + 3c = ab + (a + b + c).c = (a + c)(b + c) Như vậy : VT(1) =. a b c   (a  c)(b  c) (b  a)(c  a) (c  b)(a  b).  Sơ đồ phân tích : khi a = b = c = 1, ta có : a(a  c) 1 a(b  c) 1 a 1  “kết hợp”   “kết hợp” 8 4 8 4 (a  c)(b  c) 4 Tạo thành bộ ba số dương để có thể áp dụng Cô-si cho bộ ba số này.. a(a  c) 1 a(b  c) 1 a 1 “kết hợp”  “kết hợp”   (a  c)(b  c) 4 8 4 8 4  Và giải như sau : Ta có :. a a(a  c) a(b  c) 3    a (a  c)(b  c) 8 8 4. a a 2  2ac  ab 3    a (a  c)(b  c) 8 4 Tương tự :. b b 2  2ab  bc 3   b (b  a)(c  a) 8 4 c c 2  2bc  ac 3   c (c  b)(a  b) 8 4 2.   ab  bc  ac  3  a  b  c 8 4 9 9 ab  bc  ac  VT(1)    (2) 4 8 8  Nhờ vào các BĐT : Như vậy : VT(1) +. a  b  c. 2. a 2  b 2  c2  ab  bc  ca   a  b  c   3  ab  bc  ca .

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 17. . a  b  c 3. 2.   ab  bc  ca .  Kết luận : Từ (2), ta được : 2. 9 1  a  b  c 3 VT(1)    : đpcm ! 8 8 3 4 9) Bài toán thứ tám : Dự đoán “điểm rơi” cho một bài toán khó có điều kiện :  x, y,z  0 Bài toán : Cho  x  y  z  1 Chứng minh rằng : P  x 2 . 1 1 1  y 2 + 2  z 2  2  82 2 x y z. 1 ” 3  Đầu tiên, ta thấy trong căn bậc hai có dạng m 2 + n2 nên ta nghĩ đến dạng 1 2 BĐT :  am  bn    a 2 +b 2  m 2  n 2  . Ở đây : m = x ; n = x  Dự đoán “điểm rơi” : “ x = y = z =. 2. 1 1  a   Ta có :  ax  b.    a 2 +b 2   x 2  2  , dấu “=” xảy ra khi  b.x (1) x x  x   1 a 1 Dự đoán, dấu “=” xảy ra khi x = y = z = nên từ (1) :  b. hay 9a = b 1 3 3 3 Cho a = 1 và b = 9, ta có BĐT sau : 2. 2. 1 1  9    2 1  2 2  2  1.x  9.   1 +9   x  2    x    82. x  2  x x  x x       Và giải như sau : Ta có : Tương tự (cho hai căn còn lại), ta có : Và :. x2 . 1 1  9  . x   2 x x 82 . y2 . 1 1  9  . y   2 y y 82 . z2 . 1 1  9  . z    z2 z 82 .  Khi đó :. P  x2 . 1 1 1 1  9 9 9  y2 + 2  z2  2  xyz     2 x y z x y z 82  (dành cho các bạn làm tiếp tục nhé !). 10) Bài toán thứ chín : “Điểm rơi” dành cho độc giả :.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 18  Bài 10.1). a,b,c  0 a2 b2 c2 1 Cho  . Chứng minh :    a+b b  c c  a 2  ab  bc  ca  1  Bài 10.2). a,b  0 a2 b2 1 Cho  . Chứng minh :   a+1 b  1 3 a  b  1  Bài 10.3) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm GTNN của :. a3 b3 c3 P   (1+b)(1+c) (1  c)(1  a) (1  a)(1  b).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 19. IV- Tài liệu tham khảo : 1) Tài liệu tập huấn nâng cao năng lực giảng dạy Toán THCS (SGD + Khoa Toán Trường ĐHKHTN). 2) Các chuyên đề Đại số bồi dưỡng HSG của nhóm tác giả chuyên toán ĐHSPHN. 3) Những con đường khám phá lời giải bài toán BĐT - Tác giả Nguyễn Đức Tấn. 4) Tuyển tập : 30 năm Tạp chí Toán học - Tuổi trẻ. 5) Các bài toán cực trị - GS Hoàng Chúng (NXBGD 1993). 6) Các đề thi IMO từ 1974 - 2006 của GS Lê Hải Châu. 7) Toán rời rạc sử dụng trong khoa học máy tính - NXB Khoa học kỹ thuật.. 8) Các tài liệu tra cứu và sưu tầm trên Diendantoanhoc.net 9) Các bài toán trích ra từ Tạp chí Toán học tuổi trẻ - Hội Toán học VN.. Xin chân thành cảm ơn các tác giả đã cung cấp thêm kiến thức cho tôi để có thể hoàn thành chuyên đề nhỏ này ! Sẽ có những bản cập nhật mới hơn để làm cho chuyên đề hay hơn và phong phú hơn !. Tất cả những ý kiến đóng góp, xin vui lòng gởi theo E-mail : Các bạn có thể xem và tải lại file báo cáo này theo địa chỉ : www.misp.vn/hongbang www.violet.vn/vanto71. Xin cảm ơn Thầy-Cô và các bạn ! Xin chào !.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>