Cac bai Luyen tap

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. Chuyên đề : Đa thức Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: 4 3 2 a. A = x  17 x  17 x  17 x  20 taïi x = 16. 5 4 3 2 b. B = x  15 x  16 x  29 x  13 x taïi x = 14. 14 13 12 11 2 c. C = x  10 x  10 x  10 x  ...  10 x  10 x  10 taïi x = 9 15 14 13 12 2 d. D = x  8x  8 x  8x  ...  8 x  8 x  5 taïi x = 7. Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 650 4 4 .  .3   a. M = 315 651 105 651 315.651 105 1 3 546 1 4 2 .  .  b. N = 547 211 547 211 547.211 2. Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: a. A =. x3  x 2  y2   y2  x 3  y3 . với x = 2;. y 1. .. 2 2 x 2 b. M.N với .Bieát raèng:M =  2 x  3x  5 ; N = x  x  3 . Bài 4: Tính giá trị của đa thức, biết x = y + 5:. a.. x  x  2   y  y  2   2 xy  65 x 2  y y  2 x  75.   b. Bài 5: Tính giá trị của đa thức: x  1  y   y  xy  1  x 2 y. bieát x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: x  a   x  b    x  b   x  c    x  c   x  a  ab  bc  ca  x 2 a.  ; bieát raèng 2x =a+b+c 2bc  b 2  c 2  a 2 4 p  p  a . b. ; bieát raèng a + b + c = 2p Baøi 7: a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia heát cho 3. b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hoûi tích ab coù chia heát cho 3 khoâng? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với: M a  a  b   a  c . ;. N b  b  c   b  a . ;. P c  c  a   c  b . x  a  x  b   x  b   x  c   x  c  x  a   x2  Bài 9: Cho biểu thức: M = .. 1 1 1 x  a b c 2 2 2 . Tính M theo a, b, c, bieát raèng. Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh raèng neáu x, y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13. Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B. b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia heát cho 17 thì 9x + 7y cuõng chia heát cho 17. Bài 12: Chứng minh rằng: 7 9 13 a. 81  27  9 chia heát cho 405. 2 n 1 n 2 b. 12  11 chia heát cho 133. n  n  1 2 Baøi 13: Cho daõy soá 1, 3, 6 , 10, 15,…, ,…. Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là soá chính phöông.. 2. Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên I. Một số hằng đẳng thức cơ bản 1. (a  b)2 = a2  2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a 2 + ... + a n )2 = 2 2 2 = a1  a 2  ...  a n  2(a1a 2  a1a 3  ...  a1a n  a 2a 3  ...  a 2a n  ...  a n  1a n ) ; 2. (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 = a3  b3  3ab(a  b); (a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ; 3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ; 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; 2k + 1 a + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + 2k b ); II. B¶ng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal §Ønh 1 Dßng 1 (n = 1) 1 1 Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè trong dßng thø n cña bảng trên. Ngời ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi n = 4 th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = 5 th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II. C¸c vÝ dô VÝ dô 1. §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2  x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i 3 3 3 3 a) a + b + c – 3abc = (a + b) + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô 4. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z  (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + 3 z (z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) Bµi tËp: 1. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4. 2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. 2 2 2 3. Cho a – b = 4c . Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. 4. Chøng minh r»ng nÕu: 5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× a b = x y. b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 a b c = = x y z. vµ x, y, z kh¸c 0 th× 7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 8. Chứng minh các hằng đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945. 11. Hai sè a, b lÇn lît tháa m·n c¸c hÖ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b. 12. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H·y tÝnh : E = a2 + b2. 13. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.. 3. Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö. a, x 2  5 x  6. d, x 2  13 x  36. b, 3x 2  8 x  4. e, x 2  3 x  18. c, x 2  8 x  7. f, x 2  5 x  24. g , 3x 2  16 x  5. h, 8x 2  30 x  7. i, 2x 2  5 x  12. k, 6x 2  7 x  20. Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1, x3  5 x 2  8 x  4. 2, x 3  2 x  3. 3, x 3  5 x 2  8 x  4. 4, x 3  7 x  6. 5, x3  9 x 2  6 x  16. 6, 4x3  13 x 2  9 x  18. 7, x 3  4 x 2  8 x  8. 8,  x 3  6 x 2  6 x  1. 9, 6x3  x 2  486 x  81. 10, x 3  7 x  6. 11, x 3  3 x  2. 12, x 3  5 x 2  3 x  9. 13, x 3  8 x 2  17 x  10. 14, x 3  3 x 2  6 x  4. 15, x 3  2 x  4. 16, 2x 3  12 x 2  17 x  2. 17, x3  x 2  4. 18, x 3  3 x 2  3 x  2. 19, x 3  9 x 2  26 x  24. 20, 2x3  3 x 2  3 x  1. 21, 3x 3  14 x 2  4 x  3. 22, x 4  2 x 3  x 2  x  1. (Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ) II- Ph¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu cña hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2. 1, (1  x 2 ) 2  4 x(1  x 2 ) 2,  x 2  8   36 3, x 4  4. 4, x 4  64. 5, 64x 4 1. 6, 81x 4  4. 7, 4x 4  81. 8, 64x 4  y 4. 9, x 4  4 y 4. 10, x 4  x 2 1. 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:. 1, x 7  x 2  1. 2, x 7  x5  1. 3, x5  x 4 1. 4, x5  x  1. 5, x8  x 7  1. 6, x 5  x 4  1. 7, x 5  x  1. 8, x10  x5  1. III- Phơng pháp đổi biến Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x( x  4)( x  6)( x  10)  128 2, (x 1)( x  2)( x  3)( x  4)  24. 3, ( x 2  4 x  8)2  3 x( x 2  4 x  8)  2 x 2. 4, ( x 2  x) 2  4 x 2  4 x  12. 5, x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  15. 6, (x  a)( x  2a)( x  3a)( x  4 a)  a 4. 7, 6 x 4  11x 2  3. 8, ( x 2  x)2  3( x 2  x)  2. 9, x 2  2 xy  y 2  3 x  3 y  10. 10, ( x 2  2 x) 2  9 x 2 18 x  20. 11, x 2  4 xy  4 y 2  2 x  4 y  35. 12, (x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  16. Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1, x 4  6 x 3  7 x 2  6 x  1 2, ( x 2  y 2  z 2 )( x  y  z ) 2  ( xy  yz  zx) 2. IV- Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:. a, P = x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y ) b, Q =a(b  c  a)2  b(c  a  b)2  c(a  b  c)2  (a  b  c) (b  c  a)(c  a  b). Gi¶i 2. 2. a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y ( y  z )  y ( z  y ) 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thïa sè x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức. x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y) k ( x  y)( y  z )( z  x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta đợc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M a(b  c  a ) 2  b(c  a  b) 2  c (a  b  c) 2  (a  b  c )(b  c  a )(c  a  b) N a(m  a)2  b(m  b) 2  c(m  c) 2  abc , víi 2m = a+ b + c.. Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A (a  b  c)(ab  bc  ca )  abc.. b) B a (a  2b)3  b(2a  b)3 . c)C ab(a  b)  bc(b  c)  ac(a  c). d ) D (a  b)(a 2  b 2 )  (b  c )(b 2  c 2 )  (c  a )(c 2  a 2 ) e) E a 3 (c  b 2 )  b3 (a  c 2 )  c3 (b  a 2 )  abc(abc  1). f ) f a (b  c )3  b(c  a )3  c (a  b)3 . g )G a 2b 2 (a  b)  b 2 c 2 (b  c)  a 2 c 2 (c  a). h) H a 4 (b  c )  b 4 (c  a )  c 4 (a  b)..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> V-Phong pháp hệ số bất định Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A  x 4  6 x 3  12 x 2  14 x  3 b) B 4 x 4  4 x 3  5 x 2  2 x  1 c )C 3x 2  22 xy  11x  37 y  7 y 2  10 d ) D x 4  7 x 3  14 x 2  7 x  1 e) E x 4  8x  63. Bµi tËp: VÝ dô . Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i 2 3 §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP . V× vËy : 2 3 A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x 3 - S 3 ) - (3S 2 x - 3S 3 ) + (6Px - 6SP) 2 2 2 = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S). 2 2 = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + 1 ; h) x12 + 1 ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.. 4. Chuyên đề: Xác định đa thức * §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dông: 1) §Þnh lÝ BªZu: D trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f ( x)=(x − a) q(x )+ f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a. áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thùc hiÖn nh sau: Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm cña f(x) kh«ng. Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f (x)=(x − a) p(x ) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a. Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc. Sau đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức. *Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng nhau. VÝ dô: P(x)=ax 2+2 bx −3 ; Q(x)=x2 − 4 x − p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - 4 (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - 3 = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Ph¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th¬ng vµ d trong phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn lît lµ M(x) vµ N(x) Khi đó ta có: P( x)=Q(x) . M (x )+ N (x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : x=α ( α là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hÖ sè cña c¸c h¹ng tö trong c¸c ®a thøc ( §a thøc th¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d). VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) Gäi th¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã: a2 x 3+3 ax 2 −6 x − 2 a=(x+1).Q(x ) . Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược: a=− 2 a=3 2 −a + 3 a+6 −2 a=0 ⇒− a2+ a+6=0 ⇒¿ Với a = -2 thì A=4 x 3 − 6 x 2 −6 x + 4 , Q(x)=4 x 2 − 10 x + 4 Với a = 3 thì A=9 x 3 +9 x 2 − 6 x − 6 ,Q( x )=9 x 2 − 6. *Ph¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh SGK) Bµi tËp ¸p dông 2 3. 2 Bài 1: Cho đa thức A( x) a x  3ax  6 x  2a(a  Q) . X¸c định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1. 4. 3. Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x)  x  x  2 x  4 thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét 2 nh©n tö cã d¹ng: x  dx  2 Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x 3+ ax2 +2 x+ b chia hÕt cho ®a thøc: x 2+ x +1 . H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x)=x 4 − 9 x 3 +21 x 2+ x +k chia hết cho ®a thøc: g( x)=x 2 − x −2 . Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: f (k )=k 3+2 k 2+15 chia hết cho nhị thức: g(k )=k +3 . Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: f ( x)=x 4 −3 x 3 +3 x 2+ ax+b chia hết cho đa thức: g( x)=x 2 −3 x +4 . Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: P( x)=x 4 +ax 2+ bx +c 3 Chia hết cho x −¿3¿ . b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: Q( x)=6 x 4 − 7 x 3+ ax2 +3 x +2 chia hết cho đa thức M ( x)=x 2 − x +b ..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> c) Xác định a, b để P(x)=x3 +5 x 2 − 8 x+ a chia hết cho M (x)=x 2 + x +b . 3 2 x − ax + bx − c=(x −a)( x −b)( x −c ) Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có. đẳng thức: (Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định hằng số a sao cho: a) 10 x2 −7 x +a chia hết cho 2 x −3 . b) 2 x 2 +ax +1 chia cho x − 3 dư 4. c) ax 5+ 5 x 4 − 9 chia hết cho x −1 . Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho: a) x 4 +ax 2+ b chia hết cho x 2 − x +1 . b) ax 3+ bx 2 +5 x −50 chia hết cho x 2+3 x +10 . ¿2 . c) ax 4 + bx2 +1 chia hết cho x −1 ¿ 4 2 d) x +4 chia hết cho x + ax+b . Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho x 3+ ax+b chia cho x+ 1 thì dư 7, chia cho x − 3 thì dư -5. Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax 3+ bx 2 +c chia hết cho x+ 2 , chia cho x 2 −1 thì dư x+ 5 . (Một số vấn đề phát triển Đại số 8) Bài 13: Cho đa thức: P( x)=x 4 + x 3 − x 2 +ax +b và Q(x)=x2 + x −2 . Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức P( x)=ax 4 + bx3 +1 chia hết cho đa x −1 ¿2. thức Q(x)=¿ Bài 15: Cho các đa thức P( x)=x 4 − 7 x3 + ax2 +3 x+ 2 và Q(x)=x2 − x +b . Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x). (23 chuyên đề toán sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng: P( x)=b0 +b 1 ( x −C 1)+b 2 (x −C 1)( x −C 2)+⋯+b n ( x −C 1)(x −C 2)⋯( x −C n ) Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số b0 , b1 , b2 ,⋯ , bn .. Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0)=25 , P(1)=7 , P(2)=− 9 . Giải Đặt P( x)=b0 +b 1 x +b2 x ( x −1) (1) Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: Vậy, đa thức cần tìm có dạng:. vào. b 0=25 7=25+ b1 ⇔b1=−18 −9=25 −18 . 2+ b2 . 2 .1 ⇔ b 2=1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> P( x)=25 −18 x+ x ( x −1)⇔ P (x)=x 2 −19 x+25 . Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: P(0)=10 , P(1)=12 , P(2)=4 , P(3)=1 Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b 1 x +b2 x ( x −1)+b3 x ( x −1)(x − 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho (x − 1),( x − 2),( x −3). đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18. Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b 1 (x −1)+b2 ( x −1)( x −2)+b3 ( x −1)(x − 2)(x −3) (1) Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P(−1)=0 P( x) − P( x −1)=x (x +1)(2 x +1),(1). a) Xác định P(x). ❑ b) Suy ra giá trị của tổng S=1 . 2. 3+2 .3 . 5+…+n (n+1)(2n+ 1) ,(n ∈ N ) . Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được : P(−1)− P(−2)=0⇔ P(−2)=0 , P(0)− P(−1)=0 ⇔ P (0)=0 P(1)− P(0)=1 .2 . 3 ⇔ P(1)=6 P(2)− P(1)=2 .3 . 5⇔ P(2)=36 P( x)=b0 +b 1 ( x+1)+b2 ( x +1)x +b3 (x +1) x (x −1)+ b4 (x +1) x ( x −1)( x −2) (2). Đặt Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 0=b0 0=b 1 ⇔ b1=0, 6=b2 . 2. 1⇔ b2=3, 36=3. 3 .2+ b3 . 3 .2 . 1⇔ b3=3. 0=3.( −1)( −2)+ 3.(− 1)(− 2)(−3)+b4 (−1)(−2)(−3)(− 4)⇔ b 4=. 1 2. Vậy, đa thức cần tìm có dạng: x+1 ¿2 (x +2) 1 1 P(x)=3( x +1) x+ 3( x +1) x (x −1)+ ( x +1)x (x − 1)( x −2)= x ¿ 2 2. (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P( x)=ax 2+ bx +c ,(a , b , c ≠ 0) . Cho biết 2 a+3 b+6 c=0 1 1) Tính a, b, c theo P(0) , P 2 , P(1) .. 2) Chứng minh rằng:. () 1 P(0) , P ( ) , P(1) 2. không thể cùng âm hoặc cùng. dương. Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:. P (0)=19 P(1)=85 P(2)=1985. 5. Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ VÝ dô 1. 3n +1 a) Chøng minh r»ng ph©n sè 5n + 2 lµ ph©n sè tèi gi¶n nN ;.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> n2 + 4 A= n + 5 (nN). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n b) Cho ph©n sè 2009 sao cho ph©n sè A cha tèi gi¶n. TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn đó. Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d  d = 1. 3n +1 VËy ph©n sè 5n + 2 lµ ph©n sè tèi gi¶n. 29 29 A=n- 5+ n + 5 . §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè n + 5 ph¶i cha b) Ta cã tèi gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c íc d¬ng lín h¬n 1 cña 29. V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5  29  n + 5 =29k (k  N) hay n=29k – 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009  1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690. VÝ dô 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn 1 1 1 1 + + = a b c a +b +c . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : 1 1 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 . Lêi gi¶i 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + =0 a b c a + b + c a b c a + b + c Ta cã :  a +b a +b c(a + b + c) + ab + =0 (a + b). =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c)   éa + b = 0 éa =- b ê ê êb + c = 0 êb =- c ê ê êc + a = 0 êc =- a  (a + b)(b + c)(c + a) = 0  ë ë  ®pcm. 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + = 2009 b 2009 c2009 a 2009 (- c)2009 c2009 a 2009 Từ đó suy ra : a 1. 1 1 = 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 1 1 + + = 2009 b 2009 c2009 a 2009 + b 2009 + c2009 .  a VÝ dô 3. §¬n gi¶n biÓu thøc : 2009. 2009. 2009. =. 2009.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ö 1 æ 1 1ö 3 æ 1 1÷ 6 æ 1 1ö ÷ ç ç ç + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ (a + b)4 è ÷ ça 2 b 2 ÷ ça b ø èa 3 b 3 ø ø (a + b)5 è (a + b)3 ç . Lêi gi¶i 2 §Æt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S - 2P 3 a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP . 1 1 a +b S 1 1 a 2 + b 2 S 2 - 2P + = = ; 2+ 2= 2 2 = ; 2 a b ab P a b a b P Do đó : 1 1 a 3 + b 3 S 3 - 3SP + = 3 3 = . a3 b3 ab P3 1 S 3 - 3SP 3 S 2 - 2P 6 S . + 4. + 5. 3 P3 S P2 S P Ta cã : A = S = 2 S - 3P 3(S 2 - 2P) 6 (S 4 - 3S 2 P) + (3S 2 P - 6P 2 ) + 6P 2 S4 + + 4 = = 4 3 S 2 P3 S4P2 S P S 4P3 S P 1 1 = 3 3. 3 ab Hay A = P VÝ dô 4. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) . Lêi gi¶i C¸ch 1 x 2 - (a + b)x + ab x 2 - (b + c)x + bc x 2 - (c + a)x + ca S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) = Ax2 – Bx + C 1 1 1 A= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ; víi : A=. a +b b +c c +a + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ; ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b - a +c - b +a - c A= =0 (a b)(b c)(c a) Ta cã : ; B=. (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) (a - b)(b - c)(c - a) b 2 - a 2 + c2 - a 2 + a 2 - c2 = =0 (a - b)(b - c)(c - a) ; B=.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = =1 (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) . VËy S(x) = 1x (®pcm). C¸ch 2 §Æt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng vît qu¸ 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm. NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0  a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x). §iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 x. Suy ra S(x) = 1 x  ®pcm. 1 x + =3 x VÝ dô 9. Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 1 1 A = x2 + 2 B = x3 + 3 C = x4 + 4 D = x5 + 5 x ; b) x ; c) x ; x . a) d) Lêi gi¶i 2 ö 1 æ 1 2 A = x + 2 =ç x+ ÷ ÷ ç ÷- 2 = 9 - 2 = 7 ç è ø x x a) ; C=. æ 1ö 1 æ 1ö ÷ ç B = x + 3 =ç x + 3 x+ ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷= 27 - 9 = 18 ç ç è ø è ø x x x b) ; 2 1 æ2 1 ö C = x4 + 4 =ç x + 2÷ ÷ ç ÷- 2 = 49 - 2 = 47 ç è ø x x c) ; 3. 3. æ2 1 ö æ3 1 ö 1 1 5 ÷ ÷ ç A.B = ç x + x + = x + + x + = D +3 ÷ ÷ ç ç 2 3 ÷ç ÷ ç è è x ø x ø x x5. d) 123..  D = 7.18 – 3 =. 2 ax + b c = 2 + Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho : (x +1)(x - 1) x +1 x - 1 . Lêi gi¶i Ta cã : ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x 2 +1) (a + c)x 2 + (b - a)x + (c - b) + = = x 2 +1 x - 1 (x 2 +1)(x - 1) (x 2 +1)(x - 1) 2 2 Đồng nhất phân thức trên với phân thức (x +1)(x - 1) , ta đợc : 2. ìï a + c = 0 ï ïí b - a = 0 Û ïï ïîï c - b = 2. ìï a =- 1 ï ïí b =- 1 2 - x- 1 1 ïï = 2 + 2 ïîï c = 1 . VËy (x +1)(x - 1) x + 1 x - 1 ..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 6. Chuyên đề: Giải phơng trình I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình đưa về dạng (1) *Cách giải: (Biến đổi và đưa hết về một vế sau đó rút gọn thành dạng ax+b=0) TH1:a=0 nếu b 0 thì phương trình (1)vô nghiệm nếu b=0 thì phương trình (1) vô số nghiệm b TH2:a 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x= a. *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi và chuyển về một vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn về dạng ax+b=0) b3:.  12 3 x=  4. b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)  1,2-x+0,8+1,8+2x=0  x+3,8=0  x= -3,8 *Các bài tập tương tự: a)7x+21=0 c)5x-2=0 e)0.25x+1,5=0. b)12-6x=0 d)-2x+14=0 f)6,36-5,3x=0. 4 5 1 x  g) 3 6 2. 5 2 x  1  x  10 3 h) 9. i)11-2x=x-1 l)2(x+1)=3+2x n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x. k)5-3x=6x+7 m)2(1-1,5x)+3x=0 o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x). p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4). x 3 1 2x 6  3 q) 5.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 3   13  2  x   5    x   5  v)  5  7x 20 x  1,5  5( x  9)  6 s) 8. 3x  2 3  2( x  7)  5 4 w) 6 5( x  1)  2 7 x  1 2(2 x 1)   5 6 4 7 y). II/Phương trình tích:  A 0  *Cách giải: Pt:A.B=0   B 0. (A=0 (1) B=0 (2) ) Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc nhất cách giải tương. tự phần trên (Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa về dạng A.B=0 bằng cách phân tích thành nhân tử ) *Ví dụ: a)(4x-10)(24+5x)=0  4 x  10 0 (1)    24  5 x 0 (2) 10 5  Từ (1) x= 4 2.  24 (2)  x= 5. 10 5  24  Vậy phương trình có 2 nghiệm x= 4 2 hoặc x= 5. b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)  (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0  (x-1)(2x+11)=0  x 1  x  1 0   11  2 x  11 0  x    2. *Các bài tập tương tự: a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0.  2( x  3) 4 x  3     0 7 5   b)(3x-2).  7 x  2 2(1  3x )     0 5 3   c)(3,3-11x). d) ( 3  x 5)(2 x 2 1) 0. e) (2 x  7)( x 10  3) 0 g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 n)x3+1=x(x+1) p)x3+x2+x+1=0 r)4x2-12x+5=0. f) (2  3 x 5)(2,5 x  2) 0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 q)x2-3x+2=0 s)-x2+5x-6=0. 2. t)2x +5x+3=0. x  2   3( x y) . 2.  2) 0.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>

<span class='text_page_counter'>(18)</span>