Dãy farey và ứng dụng trong bài toán xấp xỉ tốt số vô tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HẠNH

DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VƠ TỶ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGHỆ AN – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HẠNH

DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG
BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 2014

MỤC LỤC

TRANG
MỞ ĐẦU

1

CHƢƠNG 1
SỐ VƠ TỶ

4

1.1

Một vài ý nghĩa hình học của số vô tỷ

4

1.2

Số 

9

1.3

Số e

13

1.4

Số vô tỷ đại số và số vô tỷ siêu việt

20

CHƢƠNG 2
DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG
TRONG XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ

28

2.1

Dãy Farey

28

2.2

Định lý Pick

39

2.3

Ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vơ tỉ

41

2.4

Mơ tả hình học của phép xấp xỉ vơ tỷ dựa vào liên phân số

55

và dãy Farey
KẾT LUẬN

57


TÀI LIỆU THAM KHẢO

58


1

MỞ ĐẦU
Trong tốn học, số vơ tỉ là số thực khơng phải là số hữu tỷ, nghĩa là nó
khơng thể biểu diễn được dưới dạng phân số

a
với a, b là các số nguyên, b  0 .
b

Tập hợp số vô tỉ kí hiệu bởi


I  x 


x

a

, a, b  , b  0  .
b


Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vơ tỉ có lực lượng lớn
hơn tập hợp các số hữu tỉ. Nói khác đi, tập hợp các số vơ tỷ có lực lượng quá đếm
được. Chúng ta thường quan tâm tới các số e 2 , e ,  e ,

 2  ... . và cho rằng những
e

số này là số vô tỷ. Tuy nhiên những điều này cần phải được chứng minh. Lý thuyết
số liên quan tới những vấn đề như vậy. Trừ ra một ít trường hợp đơn giản, các vấn
đề nói trên thường cực khó và chúng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học
nổi tiếng (Euler, Liouville, Cantor, Catalan, Napier… ).
Vì vậy, việc tìm hiểu những ý nghĩa và kết quả liên quan đến số vô tỷ và tìm
tịi các xấp xỉ của số vơ tỉ trong Tốn học là điều cần thiết và có ý nghĩa trong
giảng dạy và nghiên cứu toán học. Một trong những cơng cụ để tìm các xấp xỉ tốt
của số vô tỷ là dãy Farey và liên phân số. Tập các phân số dương tối giản, nhỏ hơn
1, có mẫu số không vượt quá n, sắp xếp theo thứ tự tăng dần được gọi là dãy Farey
thứ n. Dãy Farey là một đối tượng nghiên cứu của Số học có nhiều ứng dụng sâu
sắc trong các nghiên cứu về xấp xỉ của số vô tỷ.

Nếu như trước đây, Số học được xem là một trong những ngành lý thuyết xa
rời thực tiễn nhất, thì ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của số học có ứng dụng
trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính.
Trong số học có những con số đặc biệt mà người ta thường gọi là những con số


2

vàng của tốn học. Ngồi những tính chất đẹp đẽ diệu kỳ của nó, những con số này
cịn có những ứng dụng bất ngờ và sâu sắc trong toán học và các lĩnh vực khác.
Việc tìm hiểu những con số vàng của toán học (chẳng hạn số e và số  ) hết
sức cần thiết và có ý nghĩa. Chúng ta thử hình dung rằng, nếu trong tốn học thiếu
vắng các số e và  thì tình hình tốn học sẽ phát triển như thế nào?
Với lý do trên, trên cơ sở tham khảo các tài liệu số học có liên quan đã công
bố trong thời gian gần đây, luận văn “Dãy Farey và ứng dụng trong bài toán xấp
xỉ tốt số vơ tỷ” nhằm tìm hiểu sâu hơn các ý nghĩa và kết quả sâu sắc của số vô tỷ
cũng như các ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ số vô tỷ. Bố cục luận văn gồm
2 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính của
luận văn:
1. Giới thiệu khái niệm và trình bày chứng minh chi tiết về
a) Một vài tính chất hình học của số vơ tỷ.
b) Dãy Farey; Định lý Pick.
c) Xấp xỉ số vô tỷ.
2. Giải một số bài tập về số vô tỷ và dãy Farey .
Phương pháp nghiên cứu của luận văn:
- Sử dụng lý thuyết chia hết trên vành số nguyên và tính chất của số hữu tỉ.
- Sử dụng công cụ giới hạn của dãy số và hàm số thực.
- Sử dụng các tính chất của đa thức và dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vô tỉ.

3

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn
Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc
đến Thầy về sự hướng dẫn tận tình và dạy bảo ân cần, chu đáo.
Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý
thuyết số, Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học của Trường Đại
học Vinh đã giảng dạy và tổ chức hướng dẫn cho chúng tôi trong học tập và
nghiên cứu.
Xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Cửa Lò 2 – Sở Giáo dục
và Đào tạo Nghệ An, gia đình, anh chị em đồng nghiệp của tơi đã quan tâm tạo
điều kiện giúp đỡ trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, song
chắc chắn vẫn cịn có nhiều thiếu sót, tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của
các thầy cơ giáo và các bạn đồng nghiệp.
TÁC GIẢ


4

CHƢƠNG 1
SỐ VƠ TỶ

1.1. Một vài ý nghĩa hình học của số vơ tỷ
1.1.1. Số vơ tỷ. Trong tốn học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là
không thể biểu diễn được dưới dạng phân số

a
, a , b  , b  0. Nói cách khác, số
b

vơ tỉ là một số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn.
Tập hợp tất cả các số vơ tỉ được kí hiệu bởi

I  x 


x

a

, a, b  , b  0  .
b


Ví dụ về số vơ tỷ:
1. Số thập phân vơ hạn có chu kỳ thay đổi:
0,1010010001000010000010000001...
2. Số 2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7...
3. Số  = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 693…
4. Số lôgarit tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536...
Chúng ta xuất phát bằng một định lý rất đơn giản về số vô tỉ, mà gần như ai
cũng biết, bởi định lý này có một nghĩa ý nghĩa lịch sử to lớn, gắn liền với tên tuổi
của nhà toán học Hy-lạp nổi tiếng: Pithagoras, người đầu tiên phát hiện ra 2 là số
vô tỉ. Sự kiện này được đánh giá như là một trong những phát minh vĩ đại nhất của
nhân loại, tương đương với tầm cỡ như phát minh ra Hình học phi Euclid. Nhờ
phát minh này mà phát hiện được rằng độ dài đường chéo bằng 2 của một hình
vng có cạnh đơn vị, là không thể đo được bằng phân số, hay là một số vô tỷ
(xem [10]).
1.1.2. Định lý Pithagoras.

2 là số vô tỉ.


5

Chứng minh. Giả sử

2

a
với a, b là các số nguyên nào đó, sao cho
b

(a, b)  1

(1)

a 2  2b2 .

Từ đó suy ra

(2)

Từ (2) suy ra a 2 chẵn. Vì vậy, a chẵn, bởi nếu a lẻ thì a 2 lẻ. Khi đó cho phép
chúng ta đặt a  2a1 với a1 là số nguyên nào đó. Từ đó, chúng ta thu được từ (2):
4a12  2b2 hay b2  2a12 .

Như vậy cả hai a và b đều là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (1),
suy ra

2 không biểu thị được dưới dạng

a
. Định lý được chứng minh.■
b

1.1.3. Định lý. Nếu số nguyên m không phải là luỹ thừa bậc n của một số nguyên
nào đó, thì

n

m là số vơ tỉ.

Chứng minh. Giả sử phát biểu trên là sai, khi đó có các số nguyên a và b sao cho
n

Do đó

a
m  , (a, b)  1.
b

a n  mbn

(3)
(4)

Nếu b  1 thì a n  m nào đó, mâu thuẫn với giả thiết của định lý, cho nên b  2 .
Do đó, tồn tại một nguyên tố p nào đó là ước của b. Do đó, từ (4) suy ra p là ước

của a n hay p là ước của a. Như vậy p là ước chung của a và b, nhưng điều này là
khơng thể được vì a và b ngun tố cùng nhau. Bởi vậy, định lý trên được chứng
minh. ■
1.1.4. Định lý. Giả sử f ( x)  x n  a1x n1 

 an là đa thức đơn hệ với hệ số

nguyên. Khi đó, mỗi nghiệm của phương trình f ( x)  0 hoặc là số nguyên hoặc là
số vô tỉ.
Chứng minh. Giả sử phát biểu trên khơng đúng. Khi đó, tồn tại một phân số hữu tỉ
tối giản

a
, b  1 là nghiệm của phương trình f ( x)  0 . Ta có:
b


6
n

a
a
   a1  
b
b

hay
Do đó

a n  a1a n1b 

 anbn  0 .

a n    a1a n1b 

 anb n  .

n 1



 an  0

Như vậy, b là ước của a n . Vậy có một số nguyên tố p (ước nguyên tố của b)
là ước của a n . Do đó, p là một ước nguyên tố chung của a và b. Điều này trái với
giả thiết

a
là phân số tối giản. Bởi vậy, định lý trên được chứng minh. ■
b

1.1.5. Hệ quả. Cho m, n là những số nguyên dương. Nếu

n

m không phải là số

ngun thì nó là số vơ tỉ
Chứng minh. Số
lý trên

n

n

m là nghiệm của phương trình x n  m  0 . Như vậy, theo định

m sẽ hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Nhưng chúng ta đã giả thiết rằng

nó khơng phải là số ngun. Vậy từ đó ta có
Ví dụ.

n

m là số vơ tỉ. ■

2, 3, 5, 3 2, 3 3, 3 5,.... là những số vơ tỷ.

1.1.6. Dựng đoạn thẳng có độ dài vơ tỉ. Cho trước một đoạn thẳng có độ dài 1
đơn vị. Hãy dùng thước và compa dựng các đoạn thẳng với độ dài theo dãy
sau: 1, 2, 3,..., n .
Đầu tiên chúng ta dựng 1 tam giác vuông cân, cạnh góc vng có độ dài 1
đơn vị, từ đó dựng được cạnh huyền có độ dài bằng
tiếp tục dựng đoạn vng góc với đoạn

2 . Từ đoạn

2 đã có, ta

2 tại một trong 2 đầu mút, suy ra độ dài

cạnh huyền của tam giác vng nhận 2 cạnh đó làm 2 cạnh góc vng bằng

3.

Cứ thế tiếp tục ta dựng được đoạn thẳng có độ dài căn n (thực ra sau khi dựng
được một vài đoạn nhỏ, ta có thể tổ hợp các đoạn nhỏ đó, để dựng một đoạn bất kỳ
lớn hơn, mà khơng cần phải tuần tự). Hình vẽ minh họa ở dưới đây:


7

1.1.7. Tỷ lệ vàng. Cùng với phát minh Định lý Pithagoras, Tỷ lệ vàng là một trong
hai phát minh vĩ đại nhất của lồi người trong Hình học.
Hai đại lượng được gọi là có tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng hai đại lượng đó
với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn và đại lượng nhỏ hơn.
Tỷ lệ vàng được nhà toán học người Mỹ là Mark Barr ký hiệu là  để tưởng
nhớ đến Phidias – nhà điều khắc đền Parthenon (Hy Lạp) – Một trong những cơng
trình cổ đại chịu ảnh hưởng của tỷ lệ vàng.


8

Định nghĩa tỷ lệ vàng được minh họa như sau:
ab a
  .
a
b

Phương trình này có nghiệm đại số xác định là một số vô tỷ



1 5
 1,6180339887...
2

Đến thời phục hưng, các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính tốn và xây
dựng tác phẩm của họ sao cho các tỷ số trong thiết kế xấp xỉ tỷ số vàng, đặc biệt là
hình chữ nhật vàng – tỷ số cạnh dài và cạnh ngắn bằng  . Cờ Tổ quốc của các
quốc gia trên thế giới (trong đó có Việt Nam) đều được may theo hình chữ nhật với
tỷ lệ này.
1.1.8. Điểm vàng. Nhà toán học Euclid cũng đã từng nói đến tỷ lệ vàng trong các
tác phẩm bất hủ của ông mang tên “Những nguyên tắc cơ bản”. Theo ông, điểm I
nằm trên đoạn thẳng AB được gọi là điểm vàng nếu nó chia đoạn AB theo tỷ lệ
vàng, nghĩa là:
AB IA


IA IB
•

•

A

I

1.1.9. Các tính chất của số vô tỷ 
i)       1
ii)

1



  1

Các tính chất này dễ dàng suy ra từ định nghĩa.

•

B


9

1.2. Số 
1.2.1. Giới thiệu. Số  (đọc là pi) là một hằng số tốn học có giá trị bằng tỷ số
giữa chu vi của một đường tròn với độ dài đường kính của đường trịn đó. Hằng số
này có giá trị xấp xỉ bằng 3,14159. Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp  từ
giữa thế kỉ 18. Số  là một số vô tỉ. Hơn nữa,  cịn là một số siêu việt - tức là nó
khơng phải là nghiệm của bất kì đa thức hệ số hữu tỉ khác khơng nào. Tính siêu
việt của  kéo theo sự vơ nghiệm của bài tốn cầu phương. Các con số trong biểu
diễn thập phân của  dường như xuất hiện theo một thứ tự ngẫu nhiên, mặc dù
người ta chưa tìm được bằng chứng nào cho tính ngẫu nhiên này.
Trong hàng ngàn năm, các nhà toán học đã nỗ lực mở rộng hiểu biết của con
người về số  , bằng việc tính ra giá trị của nó với độ chính xác ngày càng cao.
Trước thế kỉ XV, các nhà toán học như Archimedes và Lưu Huy đã sử dụng các kĩ
thuật hình học, dựa trên đa giác, để ước lượng giá trị của  . Bắt đầu từ thế kỉ XV,
những thuật toán mới dựa trên chuỗi vơ hạn đã cách mạng hóa việc tính tốn số  ,

và được những nhà toán học như Madhava, Newton, Euler, Gauss và Ramanujan
sử dụng.
Trong thế kỷ XXI, các nhà tốn học và các nhà khoa học máy tính đã khám
phá ra những cách tiếp cận mới - kết hợp với sức mạnh tính tốn ngày càng cao để mở rộng khả năng biểu diễn thập phân của số  tới 10 nghìn tỉ (1013) chữ số.
Các ứng dụng khoa học thông thường yêu cầu không quá 40 chữ số của  , do đó
động lực của những tính tốn này chủ yếu là tham vọng của con người muốn đạt
tới những kỉ lục mới, nhưng những tính tốn đó cũng được sử dụng để kiểm tra các
siêu máy tính và thuật tốn tính nhân với độ chính xác cao.
Do định nghĩa của  liên hệ với đường tròn, ta có thể tìm thấy nó trong
nhiều cơng thức lượng giác và hình học, đặc biệt là những cơng thức liên quan tới
đường trịn, đường elip, hoặc hình cầu. Nó cũng xuất hiện trong các công thức của
các ngành khoa học khác, như vũ trụ học, lý thuyết số, thống kê, phân dạng, nhiệt


10

động lực học, cơ học và điện từ học. Sự có mặt rộng khắp của số  khiến nó trở
thành một trong những hằng số toán học được biết đến nhiều nhất, cả bên trong lẫn
bên ngoài giới khoa học: một số sách viết riêng về số  đã được xuất bản; có cả
Ngày số pi; và báo chí thường đặt những tin về kỉ lục tính tốn chữ số mới của 
trên trang nhất. Một số người còn cố gắng ghi nhớ giá trị của  với độ chính xác
ngày càng tăng.
Sau đây chúng tôi giới thiệu phép chứng minh tính vơ tỷ của các số:  2 ,  .
n

1.2.2. Định lý. Nếu  là số dương thì

n!

 0 khi n   .

Chứng minh: Nếu m là số nguyên dương lớn hơn  thì
n
n!





  
1



2

m





  
 1 . Do đó 
Ở đây 0 

m 1
 m 1

n

n!







m m 1



 ... 




n

m   

nm



 ...  


m! m  1 m  2
n m!  m  1 



Vì vậy, chúng ta suy ra

3

 ... 

nm

 0 khi n   .

 0 khi n   . ■

1.2.3. Định lý. Số  2 là một số vô tỷ.
Chứng minh. Ngược lại, chúng ta giả sử rằng  2 là số hữu tỉ, suy ra  2 
là số nguyên dương. Xét tích phân xác định
I b 
n

2 n 1

1

 sin  x. f ( x)dx,
0

a
với a, b

b


11

x n 1  x 
. Lấy tích phân từng phần chúng ta thu được
với f ( x) 
n!
n

sin  x '
cos x ''
 cos x
I  b n 2 n1  
. f ( x) 
. f ( x) 
. f ( x) 
2


3




cos x

 2 n1

1
. f 2 n ( x) 
0
1
0

Mọi số hạng trong biểu diễn này chứa sin  x là bằng 0 bởi vì  sin  x   0. Mỗi số
hạng chứa cos  x là một số nguyên có dạng:
b n 2 n1

cos x

 2 r 1

1
. f 2 r ( x) ,0  r  n
0

 b n 2 n2 r  cos . f 2 r (1)  f 2 r (0) 
 b r a nr   f 2 r (1)  f 2 r (0) 

Do đó, I là số nguyên với mọi n.
Mặt khác, nếu 0 < x < 1 thì 0  f ( x) 

1
. Do đó:
n!

0  bn 2 n1 sin  x. f ( x) 
0b 

n

2 n 1

0 I 

b n . 2 n1
(vì 0 < sin  x <1).
n!

b n . 2 n1
sin

x
.
f
(
x
)
dx

dx
0
n! 0
1

 an
n!

1

vì  2 

a
.
b

an
 0 khi n   . Do đó I < 1 với mọi giá trị đủ lớn của n và điều này là mâu
Mà
n!

thuẫn với I là số nguyên với mọi n như đã khẳng định ở trên.
Vì vậy, ta suy ra  2 là số vô tỉ. ■
1.2.4. Hệ quả.  là số vô tỉ siêu việt.


12

Chứng minh. Nếu  là số hữu tỉ, khi đó hiển nhiên  2 cũng là số hữu tỉ. Điều đó
mâu thuẫn với Định lý 1.2.3 ở trên. Do đó,  là số vơ tỉ. ■
1.2.5. Bài tốn cầu phƣơng hình trịn. Dùng thước kẻ và compa dựng một hình
vng có diện tích bằng diện tích một hình trịn đã cho.
Giả sử độ dài cạnh hình vng là x và lấy bán kính R của hình trịn làm đơn
vị dài thì bài tốn đưa đến giải phương trình: x2    0. Vì  là số vơ tỷ siêu việt
trên

nên  cũng vơ tỷ siêu việt trên

. Do đó, trường nghiệm

phương trình x2    0 khơng có bậc hữu hạn trên
không giải được bằng căn thức bậc hai trên
trịn khơng thể thực hiện được.■

   của

, hay phương trình x2    0

. Vì vậy, bài tốn cầu phương hình


13

1.3. Số e
1.3.1. Giới thiệu về số e
Hằng số toán học e là cơ số của lôgarit tự nhiên. Thỉnh thoảng nó được gọi
là số Euler, đặt theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số
Napier để ghi cơng nhà tốn học Scotland John Napier người đã phát minh ra
lôgarit. Số e là một trong những số quan trọng nhất trong tốn học. Nó có một số
định nghĩa tương đương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dưới đây.
Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất bản vào 1618 trong
bảng phụ lục của một cơng trình về lơgarit của John Napier. Thế nhưng, cơng trình
này khơng chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh sách các lôgarit tự nhiên
được tính tốn từ hằng số e. Bảng này được soạn bởi William Oughtred. Chỉ dẫn
đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá
trị của biểu thức:
 1
lim 1  
n 

 n

n

Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu diễn bởi chữ cái b, là
trong liên lạc thư từ giữa Gottfried Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và
1691. Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số vào 1727, và việc sử
dụng e lần đầu tiên trong một ấn bản là cuốn Mechanica của Euler (1736).
Lí do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa được biết, nhưng có thể
đó là chữ cái đầu tiên của từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thơng thường là tăng
nhanh chóng, nghĩa trong tốn học là hàm mũ). Một khả năng khác đó là Euler sử
dụng nó bởi vì nó là ngun âm đầu tiên sau a (xem [10]).
1.3.2. Một số định nghĩa khác tƣơng đƣơng của số e
1. Số e là số thực dương duy nhất mà đạo hàm của hàm số mũ cơ số e chính là hàm
số đó


14

d t
e  et .
dt

2. Số e là số thực dương duy nhất sao cho
d
1
log e t  .
dt
t

3. Số e là giới hạn
 1
e  lim 1  
n
 n

n

4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn


1 1 1 1 1 1
     
0! 1! 2! 3! 4!
n 0 n !

e

trong đó n! là giai thừa của n.
5. Số e là số thực dương duy nhất thỏa mãn
e

1

 t dt  1
1

(nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f(t) = 1/t từ 1 tới e là bằng 1).
6. Biểu diễn số e dưới dạng phân số liên tục (hay liên phân số)
e  [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,...,1,2n,1,...]

1

e  2

1

1

1

2

1

1
1

1
4

1


15

1.3.3. Số chữ số thập phân đã biết của số e
Số chữ số thập phân đã biết của số e
Thời gian Số chữ số thập phân

Tính bởi

1748

18

Leonhard Euler

1853

137

William Shanks

1871

205

William Shanks

1884

346

J. Marcus Boorman

1946

808

?

1949

2.010

John von Neumann (trên ENIAC)

1961

100.265

Daniel Shanks & John Wrench

1981

116.000

Stephen Gary Wozniak (trên Apple II)

1994

10.000.000

Robert Nemiroff & Jerry Bonnell

5/1997

18.199.978

Patrick Demichel

8/1997

20.000.000

Birger Seifert

9/1997

50.000.817

Patrick Demichel

2/1999

200.000.579

Sebastian Wedeniwski

10/1999

869.894.101

Sebastian Wedeniwski

21/11/1999

1.250.000.000

Xavier Gourdon

10/7/2000

2.147.483.648

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon


16

16/7/2000

3.221.225.472

Colin Martin & Xavier Gourdon

2/8/2000

6.442.450.944

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

16/8/2000

12.884.901.000

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

21/8/2003

25.100.000.000

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

18/9/2003

50.100.000.000

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

27/4/2007

100.000.000.000

Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

6/5/2009

200.000.000.000

Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

Dưới đây chúng tơi giới thiệu phép chứng minh tính vơ tỷ của các số: e , e k .
1 1 1

1! 2! 3!

1.3.4. Định lý. Số e  1  

là số vô tỉ.
a
b

Chứng minh. Giả sử mệnh đề trên không đúng. Khi đó, e  , a, b 



. Do đó

a
1 1 1
1
1
1
 1     ...  

 ...
b
1! 2! 3!
b!  b  1!  b  2 !

Vì vậy:
a
 1 1 1
.b!  1    
b
 1! 2! 3!
 a. b  1!  I 

với I  1    
1! 2! 3!
1

1

1



một số nguyên với tổng





1
b!
b!


 b !
b! 
 b  1!  b  2 !

1
1


b  1  b  1 b  2 

1
 b! là một số nguyên. Do đó, a(b  1)! là tổng của
b! 


17

1
1


b  1  b  1 b  2 

Ta có:
1
1
1
1
1
1
1


 ... 


 ...   1.
2
3

b  1  b  1 b  2   b  1 b  2  b  3
b  1  b  1  b  1
b

Vậy a(b  1)! là tổng của một số nguyên dương với một số thực dương bé
hơn 1. Nhưng điều này không thể được, bởi a(b - 1)! là một số nguyên. Mâu thuẫn
này kết thúc chứng minh định lý của chúng ta. ■
1.3.5. Định lý. Cho f ( x) 
i) 0  f ( x) 

x n (1  x) n
. Khi đó
n!

1
, 0  x 1
n!

ii) Các giá trị của f(x) và các đạo hàm liên tục tại x = 0 và tại x = 1 là các số
nguyên.
iii) f  2 nk   x   0, k  0.
Chứng minh. i) Ta có 0  x  1 . Như vậy 0  1  x  1. Do đó
0  x 1  x   1.

Khi đó
x n 1  x 
1
0

n!

n!
n

0  f ( x) 

1
.
n!

ii) Chúng ta viết f(x) dưới dạng khai triển
f ( x) 

n  n  2  n2
1 n
n 1
x 
 x  nx 
n! 
2


n
  1 x 2 n  .



18

Bởi vậy
f (0)  0, f '  0   0,..., f 

f
f

n 1

n 2

f

 0 

2 n

f

 0 

(0)  0, f   (0)  1;
n

 n  1! (n);
n!

 n  2 ! n  n  1 ;

 x 

2 n k 

n1

n!

2

 2n ! (1)n , x
n!

 x   0, k  0 .

Từ trên suy ra được rằng giá trị của f(x) và các đạo hàm liên tục tại x = 0 là
số nguyên. Ta có
f (1  x) 

(1  x)n (1  1  x)
 f ( x) .
n!

Do đó các đạo hàm của f(x) và f(1 - x) là bằng nhau với giá trị như nhau của x.
Chọn x = 0 có f ( r ) (0)  f ( r ) (1) với mọi r  0 . Điều này dẫn đến f ( r ) (1) là số nguyên
với mọi r.
iii) Từ ii) ở trên, chúng ta đó thu được kết quả iii). ■
1.3.6. Định lý. Nếu k là một số nguyên dương. Khi đó, e k là số vô tỉ.
Chứng minh. Giả sử mệnh đề trên sai. Khi đó, e k 
dương.
Lúc này, ta xét tích phân xác định:
1

I  bk 2 n1  ekx f ( x)dx,
0

a
với a, b là số nguyên
b


19

x n 1  x 
.
trong đó f ( x) 
n!
n

Lấy tích phân từng phần, chúng ta thu được:
I  bk

2 n 1

 ekx
ekx '
ekx ''
ekx  2 n  1
f ( x)  2 f ( x)  3 f ( x)  ...  2 n1 f ( x)  .

k
k
k
 k
0

Từ đó f  2 nk   x   0 với k > 0. Số hạng tổng quát của vế phải của đẳng thức ở trên
là số nguyên có dạng:
 ekx r
1
bk 2 n1  r 1 f   ( x)  (với 0  r  2n )
k
0

a
1
a 1

r
r
 bk 2 n1  . r 1 f   (1)  r 1 f   (0)  (do e k  )
b
k
b k



k 2 n1
r
r
a. f   (1)  b. f   (0) ,
r 1
k





bởi r  1  2n  1 và f  r  (1), f ( r ) (0) là số nguyên. Do đó I là số nguyên với mọi n.
Mặt khác 0  f ( x) 

1
,0  x  1. Bởi vậy, ta có
n!

ekx
0  e f ( x) 
.
n!
kx

 0  bk

2 n 1

bk 2 n1 kx
0 e f ( x)dx  n! 0 e dx
1

1

kx

bk 2 n1 ek  1
0 I 

.
n!
k

k 

2 n

 0  I  bek

k 
Nhưng theo Định lý 1.2.2 ta có

n!

.

2 n

n!

 0 khi n  . .


20

Do đó I < 1 với giá trị đủ lớn của n và điều này trái với I là số nguyên như đã
khẳng định ở trên. Vì vậy, ta suy ra e k là số vô tỉ. ■
1.3.7. Định lý. Cho hai số nguyên a, b sao cho một trong hai số đó có một thừa số
ngun tố khơng phải là ước của số kia. Khi đó, log a b và logb a là các số vô tỷ.

Chứng minh. Giả sử ngược lại phát biểu trên khơng đúng. Khi đó:
log a b 

s
.
t

Với s và t là các số nguyên dương. Từ đó suy ra:
ab

s

t

hay at  b s

Nhưng điều này khơng thể xảy ra vì một trong các số a, b chứa một thừa số
không phải là ước của số kia. Vì vậy, log a b là số vơ tỷ. Chứng minh tương tự đối
với logb a. ■

1.4. Số vô tỷ đại số và số vô tỷ siêu việt
1.4.1. Định nghĩa. Một số phức  được gọi là số đại số nếu  là nghiệm của một
đa thức khác khơng nào đó với hệ số hữu tỷ. Nói cách khác, số đại số là một số
phức  đại số trên trường

các số hữu tỉ. Một số phức không phải là số đại số

được gọi là số siêu việt.
Cho số đại số  , ta gọi đa thức đơn hệ  ( x) có bậc nhỏ nhất, với hệ số hữu
tỉ, nhận  làm nghiệm là đa thức cực tiểu của  . Ta cũng gọi bậc của đa thức

 ( x) là bậc của số đại số  và ký hiệu là deg  . Như vậy, deg  = deg  ( x) .
Ví dụ. Đa thức x2 + 4 là đa thức cực tiểu của số đại số 2i, và deg 2i = 2.
Các số đại số  và  được gọi là liên hợp với nhau nếu chúng có cùng đa
thức cực tiểu.
1.4.2. Định lí. Tập hợp A tất cả các số đại số lập thành một trường con của trường
các số phức

.


21

Chứng minh. Giả sử  ,  là các số đại số, deg  = n, deg  = m, 1   , 2 , , n là
tất cả các số liên hợp của  ; 1   , 2 , , m là tất cả các số liên hợp của  .
a) Để kiểm tra A khép kín đối với phép cộng, chúng ta xét đa thức
f ( x) 

  x  

i 1, , n
j 1, , m

i



 j .

Đây là một đa thức trên trường số phức, các hệ số của nó là những đa thức đối

xứng của 1 , , n và 1 , , m với hệ số hữu tỉ nguyên, cho nên các hệ số này là
những số hữu tỉ, nghĩa là ta có f  x  

 x .

Vì số     1  1 là một nghiệm của f  x  , cho nên    là số đại số.
b) Để kiểm tra tập hợp A khép kín đối với phép nhân, ta xét đa thức
g ( x)    x   i  j  và với cách lập luận như trên, ta thu được số  là số đại số.
i, j

c) Giả sử  là nghiệm của đa thức:
  x   xn  a1 x n1 

 x .

 an 

Xét đa thức:
  x    1 x n   1 a1 x n1 
n

n 1

 an 

 x .

Ta có          0 , nghĩa là   là nghiệm của đa thức  x  , vậy   là một số
đại số.
d) Giả sử   0 và  là nghiệm của đa thức  x  nói trên. Xét đa thức

  x   1  a1 x  a2 x 2 

 an x n 

 x .

 

Ta có   1   n    0 , nghĩa là  1 cũng là nghiệm của đa thức   x  .
Vậy  1 là một số đại số.
Các kết quả trên chứng tỏ rằng A là trường con của trường số phức
1.4.3. Hệ quả. Tập hợp các số đại số thực A 
của trường các số thực

. Ta gọi A 

 = A

.■

lập thành một trường con

 là trường các số đại số thực.