Tài liệu Ch-ơng 5 uốn ngang phẳng doc

1
Ch-ơng 5
uốn ngang phẳng
1 Khái niệm
1)Khái niệm chung
Khi có lực tác dụng nếu trục thanh bị cong đi, ng-ời ta nói :thanh chịu uốn.
Thanh chịu uốn đ-ợc gọi là dầm.
Nếu trục thanh bị cong đi nh-ng
vẫn nằm trong 1 mặt phẳng, ta có
uốn ngang phẳng.
Ngoại lực tác dụng gây nên uốn
th-ờng là các lực hoặc mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm và vuông góc
với trục của dầm.
2) Nội lực:
Giả sử có 1 thanh chịu uốn
ngang phẳng, ta dùng 1 mặt cắt cắt
thanh, ta thấy trên mặt cắt xuất hiện
các thành phần nội lực là lực cắt Q
y
và mô men uốn M
x
đ-ợc quy -ớc
dấu nh- sau:
*Dấu của lực cắt Q
y
: Mang dấu d-ơng khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay 90
0
theo chiều kim đồng hồ đến trùng chiều với nó. Ng-ợc lại mang dấu âm
*Dấu của mô men M
x
: Mang dấu d-ơng khi nó làm căng thớ về chiều d-ơng của

trục y. Ng-ợc lại mang dấu âm.
Nh-ng khi vẽ biểu đồ thì biểu đồ mô men uốn không đề dấu, mà căng thớ phía
nào thì vẽ về phía nấy.
Biểu đồ nội lực của uốn ngang phẳng gồm có 2 biểu đồ là biểu đồ mô men
uốn và biểu đồ lực cắt. Ta hãy xem xét 1 ví dụ về vẽ biểu đồ
Ví dụ :Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho sơ đồ dầm chịu lực nh- hình vẽ
P
z P
M
x
Q
y

y
2
Ta chia dầm làm 2 đoạn là BC
và AB. Xét từng đoạn:
*Đoạn BC: dùng mặt cắt 1-1
cắt thanh với z(0-a)
Giả thiết Q
y
d-ơng, M
x
căng
thớ d-ới.Ta có:
- Ph-ơng trình hình chiếu theo
ph-ơng thẳng đứng:
Q
y
+P=0 cho nên Q

y
=-qa
dấu (-) chứng tỏ chiều giả thiết
sai cho nên nó phải có chiều ng-ợc lại, tức là mang dấu âm
- Ph-ơng trình mô men:
M
x
-P.z=0 cho nên M
x
=qa.z
khi z=0 thì M
x
=0
z=a thì M
x
=qa
2
(căng thớ d-ới)
Ta vẽ đ-ợc biểu đồ đoạn BC
* Đoạn BA: dùng mặt cắt 2-2 cắt thanh với z(o-2a)
Giả thiết Q
y
d-ơng, M
x
căng thớ
d-ới.
- Ph-ơng trình hình chiếu:
Q
y
+P -qz =0

Q
y
=qz-qa
Khi z=0 thì Q
y
=-qa (âm)
Khi z=2a thì Q
y
=qa (d-ơng)
Q
y
=0 khi z=a
- Ph-ơng trình mô men:
M
x
+ M+ qz.z/2-P(a+z)=0
Ta có: M
x
=qa(a+z)-qa
2
-qz
2
/2
Khi z=0 thì M
x
=0
Khi z=2a thì M
x
=0
Ta tìm điểm mô men uốn đạt cực trị:

dM
dz
x
= qa-qz =0 cho nên z=a thì mô men đạt cực trị và có giá trị là qa
2
/2
(căng thớ d-ới)
Ta đặt các giá trị đã xác định đ-ợc theo các ph-ơng trình trên vào biểu đồ và vẽ
đ-ợc nh- trên hình vẽ.
3-Quan hệ giữa nội lực và ngoại lực
q M=qa
2
P=qa
A B C
2a a
qa
qa



qa
2
/2 qa
2
M
x
Q
y

z
P=qa
M
x
q M=qa
2
B C
Q
y
z a P=qa
3
a)Liên hệ vi phân:Quan hệ giữa biểu đồ nội lực và ngoại lực đ-ợc biểu diễn qua
các liên hệ vi phân sau:



dQ
dz
q z
dM
dz
Q
d M
dz
q z
y
x
y
x

2
2

Ta có thể phát biểu bằng lời nh- sau:
- Đạo hàm bậc nhất của lực cắt theo chiều trục thanh bằng c-ờng độ lực phân bố
- Đạo hàm bậc nhất của mô men theo chiều trục thanh thì bằng lực cắt
- Đạo hàm bậc 2 của mô men theo lực cắt thì bằng c-ờng độ lực phân bố
b)Nhận xét quan hệ giữa nội lực và ngoại lực
Dựa vào liên hệ vi phân và biểu đồ ta đã vẽ đ-ợc ở phần trên, ta có các nhận xét
sau:
- Về dạng đ-ờng biểu đồ:
+ Trong đoạn thanh không có lực phân bố thì biểu đồ lực cắt là đ-ờng hằng số,
biểu đồ mô men là đ-ờng bậc nhất.
+ Trong đoạn thanh có lực phân bố hằng số thì biểu đồ lực cắt là đ-ờng bậc nhất,
biểu đồ mô men là đ-ờng cong bậc 2 luôn hứng lấy tải trọng.
+ Tại điểm biểu đồ lực cắt cắt trục hoành (Q
y
=0) thì miểu đồ mô men đạt cực trị.
- Về b-ớc nhảy:
+ Tại điểm có lực tập trung thì biểu đồ lực cắt có b-ớc nhảy, giá trị b-ớc nhảy
chính bằng giá trị lực tập trung. Biểu đồ mô men bị gẫy khúc tại điểm đó.
+Tại điểm có mô men tập trung thì biểu đồ mô men có b-ớc nhảy, giá trị b-ớc
nhảy chính bằng giá trị mô men tập trung.
Ta có thể dựa vào các nhận xét trên để kiểm tra biểu đồ hoặc vẽ nhanh biểu đồ.


2 Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang
khi uốn thuần tuý

1-Định nghĩa: Một thanh chịu uốn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ xuất
hiện 1 thành phần nội lực là mô men uốn M
x
2 ) Thí ngiệm và giả thuyết:
a.Thí nghiệm:
4
Trên mẫu, ta kẻ các đ-ờng song song với trục của thanh đặc tr-ng cho thớ dọc và
kẻ các đ-ờng vuông
góc với trục của
thanh, đặc tr-ng cho
mặt cắt ngang. Các
đ-ờng đó tạo nên l-ới
hình ô vuông (hình
vẽ)
Tác dụng mô men
uốn, ta thấy các
đ-ờng vuông góc bị
xoay đi 1 góc nh-ng
vẫn là các đ-ờng
thẳng vuông góc. Các
đ-ờng song song với trục của thanh trở thành các đ-ờng cong nh-ng vẫn song song
với trục của thanh. Làm thí nghiệm nhiều lần, ta vẫn thu đ-ợc kết quả nh- trên, từ
đó ng-ời ta đ-a ra các giả thuyết sau:
b.Giả thuyết
* Giả thuyết 1: Mặt cắt ngang tr-ớc và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với
trục của thanh.
* Giả thuyết 2: Các thớ dọc trong quá trình biến dạng không chèn ép hoặc đẩy xa
nhau.
Ngoài ra ng-ời ta còn giả thiết vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi,
nghĩa là tuân theo định luật Húc:

E
G
3) Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang
* Tr-ớc tiên ta hãy xem xét biến dạng khi thanh chịu uốn thuần tuý (hình vẽ)
. Ta nhận thấy thớ trên thì co
vào , thớ d-ới dãn ra, nh- vậy
chứng tỏ tồn tại 1 thớ không bị
thay đổi kích th-ớc gọi là thớ
trung hoà. Các thớ trung hoà
tạo nên 1 lớp trung hoà. Giao
tuyến giữa lớp trung hoà và mặt
cắt ngang gọi là đ-ờng trung
hoà.
* T-ơng tự nh- khi kéo nén đúng tâm, sử dụng các giả thuyết ta có thể biết rằng:
trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp

* Xét 1 mặt cắt ngang bất kỳ, trên mặt cắt ngang có nội lực là mô men uốn M
x
.
Lập hệ trục toạ độ xoy,trong đó trục x là đ-ờng trung hoà(hình vẽ). Tại điểm
K(x,y), có giá trị -s là

z
. Xung quanh K lấy 1 phân tố diện tích dF. Nội lực trên
dF là

z
.dF và tổng mô men của nó lấy đối với trục x là:
M M
(thớ trung hoà)

5

M y dF
x z
F


. .

(1)
và tổng hình chiếu hình chiếu
của nó là:

N dF
z z
F



. 0
(2)
Ta cần phải biết quy luật biến
thiên của -s:
* Cắt 1 đoạn thanh có chiều dài
là dz sau khi bị biến dạng (hình

vẽ)
Xét thớ trung hoà có chiều
dài:
dz=

.d

Xét thớ cách thớ trung hoà 1 đoạn là
y.
Ta có chiều dài của nó là:(

+y) d

và biến dạng tỉ đối:



z
y d d
d
y



( ). .
.
Trong đó

là bán kính thớ trung
hoà.

Theo định luật Húc, ta có:


z z
E
E y

.
(3)
Thay (3) vào (1), ta có:
M
x
=
E
y dF
E
J
x
F

. . .
2


Suy ra :
1


M
EJ

x
x
(5.1)
Thay 5.1 vào (3), ta có:


z
x
x
M
J
y
.
(5.2)
(5.2) là công thức tính -s trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn thuần tuý.
Thay (3) vào (2) ta có:

E
y dF
E
S
x
F

. .

0
cho nên S
x
=0 nghĩa là đ-ờng trung hoà chính là 1 trục

trung tâm, hay gốc toạ độ đi qua tâm C của mặt cắt.



M
x
x x
x


z
z
y


d

y