Về các nửa nhóm số arf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VĂN TÂN

VỀ CÁC NỬA NHĨM SỐ Arf

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Nghệ An - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VĂN TÂN

VỀ CÁC NỬA NHÓM SỐ Arf
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An - 2012


MỤC LỤC
MỤC LỤC

1

LỜI NÓI ĐẦU

2

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

1.1 Nửa vành các số tự nhiên. Vành các số nguyên

5

1.2 Đồ thị và cây

11

CHƢƠNG 2. NỬA NHÓM SỐ Arf

16

2.1. Hệ Arf các phần tử sinh

16

2.2. Cây nhị nguyên của nửa nhóm số Arf

21

2.3. Tính bao đóng Arf của một số nửa nhóm số cho trƣớc

26

KẾT LUẬN

30

TÀI LIỆU THAM KHẢO

31


LỜI NĨI ĐẦU
Một nửa nhóm số S là một tập con của nửa nhóm cộng các số tự nhiên
N đóng dƣới phép cộng, 0  S và S sinh ra nhóm cộng các số nguyên Z nhƣ

một nhóm.
Mặc dù ý tƣởng nghiên cứu về các nửa nhóm số đã đƣợc hình thành vào
năm 1884 bởi Sylvester, Frobenius và sau đó vào năm 1942 bởi Brauer, nhƣng
mãi đến 1987 mới đƣợc các tác giả Fröberg, Gottlieb và Häggkvit đề xuất
nghiên cứu một cách có hệ thống (xem [7]). Từ đó đến nay đã xuất hiện nhiều
hƣớng nghiên cứu về tính chất của nửa nhóm số. Một trong những hƣớng
nghiên cứu đƣợc nhiều tác giả quan tâm là dựa trên tính chất của vành Arf
(xem [5]) để đề xuất khái niệm về nửa nhóm số Arf: Một nửa nhóm số S đƣợc
gọi là nửa nhóm Arf nếu đối với mỗi bộ ba phần tử x, y, z  S sao cho x ≥ y ≥ z
thì x + y – z  S.
Để tìm hiểu lớp nửa nhóm này, luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo
“Arf numerical semiroups” đăng trên Journal of Algebra số 276 năm 2004 ([9]).

Ngồi lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn chia
làm hai chƣơng nhƣ sau:


3

Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chƣơng này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về vành số
nguyên và nửa vành các số tự nhiên, lý thuyết đồ thị liên quan đến cây và cây –
từ.
Chƣơng 2. Nửa nhóm số Arf
Đây là nội dung chính của luận văn.
Tiết 1. Hệ các phần tử sinh. Trong tiết này chúng tơi trình bày nửa nhóm
số, nửa nhóm số Arf, hệ Arf các phần tử sinh và chứng minh tính duy nhất của
hệ sinh Arf tối tiểu của nửa nhóm số Arf.
Tiết 2. Cây nhị nguyên của nửa nhóm số Arf. Trong tiết này chúng tơi
trình bày khái niệm cây nhị nguyên và chứng tỏ rằng cây của nửa nhóm số Arf
là cây nhị nguyên (Định lý 2.2.10).
Tiết 3.

nh ao óng của m t nhóm số cho tr

c. Trong tiết này chúng

tơi trình bày thuật tốn tính bao đóng Arf của một số nửa nhóm số cho trƣớc.
Luận văn đƣợc thực hiện và hoàn thành tại Trƣờng Đại học Vinh. Nhân
dịp này tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Quốc Hán,
ngƣời đã hƣớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả biết ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau Đại học
cũng nhƣ các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã

tạo điều kiện giúp đỡ và hƣớng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn
thành luận văn này.


4

Mặc dù đã cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,
chúng tơi rất mong nhận đƣợc những đóng góp q báo của các thầy, cơ giáo và
các bạn đồng nghiệp.
Nghệ An, tháng 10 năm 2012


CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.

NỬA VÀNH CÁC SỐ TỰ NHIÊN, VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN

1.1.1. Tập hợp tƣơng đƣơng. Bản số
Giả sử A và B là hai tập hợp. Khi đó ta nói rằng A t ơng

ơng với B nếu

tồn tại một song ánh từ A lên B.
Khi hai tập hợp A và B tƣơng đƣơng với nhau thì nói rằng chúng có cùng
m t lực l ợng hay cùng m t ản số. Bản số của tập hợp A đƣợc ký hiệu bởi
card(A).
Giữa các bản số ta định nghĩa quan hệ ≤ nhƣ sau: Giả sử a và b là những
bản số. Gọi A và B là các tập hợp sao cho card(A) = a, card(B) = b. Khi đó
a≤

nếu và chỉ nếu A tƣơng đƣơng với một tập con của B.
Một tập hợp không tƣơng đƣơng với bất kỳ một tập con thật sự nào của

nó đƣợc gọi là một tập hợp hữu hạn. Một tập hợp không phải là tập hợp hữu
hạn đƣợc gọi là tập hợp vô hạn.
1.1.2. Tập hợp các số tự nhiên
Bản số của một tập hợp hữu hạn đƣợc gọi là m t số tự nhiên. Tập hợp tất
cả các số tự nhiên đƣợc ký hiệu bởi N .
Vì tập hợp các số tự nhiên N là một tập hợp những bản số, do đó N cùng
với quan hệ thứ tự ≤ đã xác định giữa các bản số trong 1.1.1 cũng đƣợc áp dụng


6

cho N . Với quan hệ thứ tự đó, N là một tập hợp đƣợc sắp thứ tự toàn phần.
phần tử nhỏ nhất của ( N , ≤ ) là 0, trong đó 0 là bản số của tập rỗng.
Giả sử x, y là các số tự nhiên với x ≤ y. Gọi Y là tập hợp mà card(Y) = y,
khi đó tồn tại tập con X của Y sao cho card(X) = x. Thế thì y đƣợc gọi là số kề
sau của x nếu và chỉ nếu card(Y – X) = 1. Nếu y là số kề sau x thì ta dùng ký
hiệu y = x +1.
Mệnh đề sau đây thƣờng đƣợc gọi là iên ề quy nạp: Giả sử M là một
tập con của N thỏa mãn hai điều kiện
(i)

0  M,

(ii)

Nếu x  M thì x + 1  M.

Khi đó M = N.
Từ tiên đề qui nạp ngƣời ta đƣa ra lƣợc đồ về phép chứng minh quy nạp
dựa trên hệ quả sau: Giả sử  (n) là một kh ng định nào đó phụ thuộc vào số tự
nhiên n thỏa mãn hai điều kiện
(i)

 (0) đúng,

(ii)

Nếu (n) đúng thì (n+1) đúng.

Khi đó (n) đúng với mọi số tự nhiên n, nghĩa là n (n) là một định lý.
Tập hợp số tự nhiên N là một tập hợp vô hạn. Bản số của tập hợp N
đƣợc gọi là lực l ợng ếm

ợc. Tập hợp ( N , ≤ ) là một tập sắp thứ tự tốt,

nghĩa là mọi bộ phận khác rỗng của ( N , ≤) đều có số bé nhất.


7

Tập hợp sn = {x  N / x < n } đƣợc gọi là đoạn n số tự nhiên đầu tiên hay
đơn giản là oạn ầu sn. Ta có card (s n) = n.
1.1.3. Vị nhóm cộng các số tự nhiên
Vì hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hữu hạn, nên ta có thể xây
dựng đƣợc phép tốn hai ngơi trên N nhƣ sau.
Phép tốn N  N  N đặt tƣơng ứng (a, b) với card ( A  B), trong đó
A, B là các tập con của N thỏa mãn card(A) = a, card (B) = b, A  B =  đƣợc

gọi là phép c ng các số tự nhiên. Khi đó card( A  B) gọi là tổng của a và b và
đƣợc ký hiệu bởi a + b.
Với phép cộng đƣợc định nghĩa nhƣ trên, N trở thành một vị nhóm giao
hoán với phần tử trung lập là 0. Hơn nữa, nếu a, b là các số tự nhiên thỏa mãn
a ≤ b thì a + c ≤ b + c với mọi c  N . Ta nói rằng quan hệ thứ tự ≤ xác định
nhƣ trên tƣơng thích với phép cộng các số tự nhiên và ( N , +, ≤) là một nửa
nhóm sắp thứ tự.
1.1.4. Vị nhóm nhân các số tự nhiên
Vì tích Đề các của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn, nên ta có
thể xây dựng đƣợc phép tốn hai ngơi trên N nhƣ sau.
Phép toán N  N  N đặt tƣơng ứng (a, b) với card ( A  B), trong đó
A, B là các tập con của N thỏa mãn card(A) = a, card (B) = b, A  B =  đƣợc
gọi là phép nhân các số tự nhiên. Khi đó card(A  B) gọi là t ch của a và b và
đƣợc ký hiệu bởi ab.


8

Với phép nhân đƣợc định nghĩa nhƣ trên, N trở thành một vị nhóm giao
hốn với đơn vị là 1. Ký hiệu N * là tập hợp tất cả các số tự nhiên khác khơng,
khi đó N * là vị nhóm con của vị nhóm nhân N , hơn nữa ( N , . , ≤) và ( N *, . , ≤)
là các vị nhóm sắp thứ tự đƣợc (Nghĩa là từ a ≤ b suy ra ac ≤ c với mọi
c  N ).
1.1.5. Nửa vành các số tự nhiên N
Ta có ( N , +) là một nửa nhóm, ( N , .) là một nửa nhóm và phép nhân trên

N phân phối đối với phép cộng, nên ( N , +, . ) là một nửa vành. Nửa vành này
giao hốn với đơn vị và có phần tử khơng, hơn nữa nó đƣợc sắp thứ tự bởi quan
hệ ≤ xác định nhƣ trong 1.1.1.
1.1.6. Vành các số nguyên

Vành số nguyên Z là vành cực tiểu chứa nửa vành các số tự nhiên N nhƣ
một nửa vành con, nghĩa là các phép toán cộng và nhân trong Z thu hẹp trên N
trùng với phép cộng và phép nhân đã xác định trong N .
Vành các số nguyên Z là một miền nguyên có lực lƣợng đếm đƣợc.
Trên Z xác định quan hệ thứ tự ≤ cho bởi x ≤ y (x, y  Z ) nếu và chỉ
nếu y – x  N . Thế thì Z trở thành vành sắp thứ tự, nghĩa là thỏa mãn hai điều
kiện:
(i)

Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z , z  Z ,

(ii)

Nếu 0 ≤ x và 0 ≤ y thì 0 ≤ xy.


9

Hơn nữa, Z cùng với quan hệ thứ tự trên là một vành sắp thứ tự Acsimet,
nghĩa là với mọi cặp số nguyên x và y, y >0 đều tồn tại số tự nhiên n sao cho
ny > x.
Với hai số ngun a, b trong đó b  0 ln tồn tại cặp số nguyên (q, r)
duy nhất sao cho a = bq + r với 0 ≤ r < | b |. Nhƣ vậy Z là một vành Euclid với
ánh xạ Euclid * : Z *  N , x a | x | . Từ đó Z là một vành chính.
1.1.7. Ƣớc chung lớn nhất
Số nguyên a đƣợc gọi là

c của số nguyên b nếu tồn tại số nguyên q sao

cho aq = b.

Số nguyên d đƣợc gọi là

c chung của các số nguyên a1, a2, …, an khi d

là ƣớc của mỗi ai, i = 1,2,…,n.
Số nguyên D đƣợc gọi là

c chung l n nhất của các số nguyên a1, a2,

…, an nếu D là ƣớc của a1, a2, …, an và mọi ƣớc chung của a1, a2, …, an đều là
ƣớc của D.
Với mỗi tập con hữu hạn A = {a1, a2, …, an} của Z , ƣớc chung của a1, a2,
…, an luôn tồn tại và duy nhất sai khác nhân tử 1; ký hiệu bởi gcd(A).
1.1.8. Thuật toán Euclid
Giả sử a, b là hai số nguyên. Nếu a là ƣớc của b thì gcd(a,b) = a; nếu b là
ƣớc của a thì gcd(a,b) = b.
Giả sử hai khả năng trên không xảy ra, khi đó ta có dãy hệ thức sau đây
biểu thị các phép chia có dƣ.


10

a = b q0 + r1,

0 < r1 < | b |

b = r1 q1 +r2,

0 < r2 < | r1 |

…..
rn-2 = rn -1 qn-1 + rn ,

0 < rn < | rn-1 |

rn-1 = rn qn.
Dãy phép chia có dƣ liên tiếp trên đƣợc gọi là huật tốn Euclide thực
hiện trên hai số a, b. Dựa vào nhận xét: Nếu a, b, q, r là các số nguyên thỏa mãn
a = bq + r thì gcd(a,b) = gcd( b, r) ta suy ra gcd( a, b) = gcd( b, r1) = …=
gcd (rn-1, rn) = rn.
Nhƣ vậy, ƣớc chung lớn nhất của hai số nguyên a, b là số dƣ cuối cùng
khác khơng trong thuật tốn Euclide thực hiện trên a và b.
Để tìm ƣớc chung của a1, a2, …, an ta tìm d2 = gcd( a1, a2), d3 = gcd(d2,a3),
…, dn = gcd(dn-1, an) thì d = gcd(a1, a2, …, an) = dn.
1.2. ĐỒ THỊ VÀ CÂY
1.2.1. Các định nghĩa
Một ồ thị là một tập hợp khác rỗng các phần tử mà chúng đƣợc gọi là
các ỉnh, cùng với một tập hợp các cặp không đƣợc sắp thứ tự các đỉnh đƣợc
gọi là cạnh.
Tập hợp tất cả các đỉnh của đồ thị  đƣợc ký hiệu bởi V().
Nếu hai đỉnh v1, v2 tạo thành một cạnh của đồ thị thì ta gọi chúng là hai
ỉnh kề nhau.


11

Một đồ thị ’ đƣợc gọi là ồ thị con của , nếu tất cả các đỉnh và tất cả
các cạnh của ’ cũng là đỉnh và cạnh của .
Một đỉnh đƣợc gọi là cực iên (ở đầu mút) nếu nó thuộc đúng một cạnh.
M t oạn của đồ thị  là một dãy hữu hạn (y0, y1, …, yn) các đỉnh thuộc

 sao cho hai đỉnh yi-1, yi là hai đỉnh kề nhau với mọi i = 1, 2, …, n. Một đoạn
với độ dài n gọi là một (y0, yn) – oạn.
Một quỹ ạo là một đoạn mà trong nó tất cả các đỉnh đều phân biệt.
Đồ thị  đƣợc gọi là liên thông nếu mỗi cặp đỉnh của  đƣợc nối với nhau
bởi một quỹ đạo.
Một (,) - đoạn đƣợc gọi là óng.
Một x ch là một đoạn đóng mà tất cả các đỉnh của nó đều phân biệt với ít
nhất có ba đỉnh.
Một cây là một đồ thị liên thơng và khơng có xích nào.
Chú ý rằng trong một cây T, với ,   V(T) tùy ý tồn tại một (, ) –
quỹ đạo duy nhất mà chúng ta ký hiệu nó bởi (, ).
Một cây mà trong nó có một đỉnh đƣợc đánh dấu gọi là cây có gốc.
Chúng ta nói rằng đoạn W xuyên qua đồ thị  nếu tất cả các đỉnh của 
xuất hiện cùng với các đỉnh của W.
Một cạnh với các đỉnh ,  gọi là

ợc ịnh h

ng nếu chúng ta xét cạnh

cùng với (, ) nhƣ một cặp đƣợc định hƣớng. Trong trƣờng hợp này chúng ta
viết    và ký hiệu cạnh bởi  .


12

Một cạnh

ợc dán nhãn nếu có một ký hiệu đƣợc liên kết với nó.

Một cây – từ (word tree) T trên một tập khác rỗng X là một cây với ít
nhất một cạnh, trong đó mỗi cạnh có hƣớng và đƣợc dán nhãn bởi một phần tử
của X và với điều kiện khơng có đồ thị con nào có dạng
x
· ắ xắ
đ Ãơ ắ
ắÃ

x
Ãơ ắ
ắ Ã ắ xắ
đ

Chỳ ý rng ta có thể mở rộng tập hợp các nhãn từ X tới Y = X  X-1 bằng
cách lấy ngƣợc li
a

b

a

b

à ắ xắđ
à cú ngha l à ơ ắ
ắ Ã
- 1
x

Giả sử T và T’ là các cây – từ trên X. Một ẳng cấu từ T lên T’ là một

song ánh từ V(T) lên V(T’) bảo toàn sự kề nhau, hƣớng và nhãn của các cạnh.
Nếu một song ánh nhƣ vậy tồn tại thì ta nói rằng T đ ng cấu với T’ và viết T 
T’. Chú ý rằng đ ng cấu là một quan hệ tƣơng đƣơng trên lớp tất cả các cây - từ
trên X.
1.2.2. Sự hợp thành của các cây - từ
Giả sử L X là một lát cắt chữ nhật của các lớp đ ng cấu các cây – từ trên
X, nghĩa là một tập hợp cắt ngang mỗi lớp tƣơng đƣơng (trong đó quan hệ
tƣơng đƣơng là đ ng cấu) theo một phần tử đơn lẻ.
Giả sử T, T’  L X và   V(T), ’  V(T’) tùy ý. Giả sử  là một đỉnh
cực biên trong T’ và xét quỹ đạo (’,) = (’= 0,  1, …, n = ) trong T’. Tồn


13

tại m V(T) sao cho quỹ đạo (,m) = (=0, 1,…, m) trong T đ ng cấu với
(’ = 0, 1, …, m) và m là số nguyên lớn nhất với tính chất đó (m ≤ n).
Chú ý rằng (,m) là duy nhất vì chúng ta đang khảo sát trong các cây.
Để hợp thành T và T’ ta đồng nhất  i với I , i =1, 2,…, m. Nếu m < n
chúng ta buộc chặt đồ thị (m, 1+m, …,n) với đỉnh m =m. Lặp lại quá trình này
với tất cả các đỉnh cực biên trong V(T’), ta đƣợc một cây – từ trên X là hợp
thành của T và T’. Chúng ta biểu diễn bởi T(,’)T’ đại diện của nó trong LX.
Nó thuận tiện để đồng nhất các đỉnh của T và T’ với các đỉnh tƣơng ứng của
T(,’)T’.
1.2.3. Cây từ hai gốc
M t cây từ hai gốc trên X là một bộ ba (, T, ) trong đó T  LX và

,

  V(T).
Chúng ta xét tập hợp tất cả các cây từ hai gốc trên X. Khi đó ta có thể

định nghĩa phép nhân trên tập hợp đó theo quy tắc
(, T, ) (’, T’, ’) = (, T (,’)T’, ’).
Chúng ta ký hiệu tập hợp các cây - từ hai gốc cùng với phép toán trên bởi
B X. Một cách trực giác, khi cho hai cây – từ hai gốc ta nhận đƣợc tích của chúng
bằng cách đồng nhất gốc “ thứ hai” của cây đầu tiên với gốc “thứ nhất” của cây
thứ hai, làm cho tất cả các cạnh chung trùng nhau và buộc chặt các đỉnh chung
tất cả các đỉnh khác của cả hai cây, nhƣ chúng ta có thể thấy trong hai ví dụ tiếp
theo.


14

1.2.4. Ví dụ. Cho các cây – từ hai gốc

·

·
y

y

x
·¬ ắ
ắ Ã ắ yắ
đ Ã ắ zắ
đÃ
a

b

x
v à ơ ắ
ắ Ã ắ yắ
đ Ã ắ zắ
đà ắắ
đÃ
g

l

Hp thnh ca chỳng l cõy t hai gc

Ã
y
x
Ãơ ắ
ắ Ã ắ yắ
đ Ã ắ zắ
đ Ã ắ zắ
đÃ
a

l

1.2.5. Vớ d : Cho cỏc cõy t hai gc

Ã

Ã
y

Ãm

Ã
z

z
Ãơ ắ
ắ Ã ắ xắ
đ Ã ắ yắ
đÃ

b

x

đ Ã ắ yắ
đ Ã ắ zắ
đ Ã ¾ x¾
®·
và · ¾ x¾
f

x

z

·

a · ¾ z¾

®·
y

·

Hợp thành của chúng là một cây – từ hai gốc

·

·

·m


15

y

z

z
Ãơ ắ
ắ Ã ắ xắ
đ Ã ắ yắ
đ Ã ắ zắ
đ Ã ắ xắ
đÃ

x

đÃ
a à ắ zắ
y

Ã

y


CHƢƠNG 2. NỬA NHÓM SỐ Arf
2.1. Hệ Arf các phần tử sinh
Cho N là nửa nhóm cộng các số tự nhiên và Z là nhóm cộng các số
nguyên, khi đó tập con S của N đƣợc gọi là nửa nhóm số nếu S là vị nhóm con
của N và S là tập sinh của nhóm cộng Z .
Nếu S là một nửa nhóm số, thì N \ S có hữu hạn phần tử. Số nguyên lớn
nhất không thuộc S đƣợc gọi là số Fro enius của S và đƣợc ký hiệu là F(S),
ch ng hạn F( N ) = -1. Hơn nữa, S thừa nhận một tập sinh hữu hạn tối tiểu
{n1 <...
p

a n i / a1,..., ap N } và không một tập con thật

i= 1 i

sự nào của {n1, ... , np} sinh ra S). Khi đó n1 đƣợc gọi là

i và p đƣợc gọi là

chiều nhúng của S, và đƣợc ký hiệu tƣơng ứng bởi m (S) và μ (S). Rõ ràng

m (S) là phần tử khác không nhỏ nhất thuộc S. Đối với một tập con A của N
cho trƣớc, vị nhóm con của của N đƣợc sinh ra bởi A sẽ ký hiệu bởi <A>. Rõ
ràng vị nhóm <A> là vị nhóm số nếu và chỉ nếu gcd(A) = 1, trong đó gcd (A) là
ký hiệu của ƣớc chung lớn nhất của các phần tử thuộc A.
2.1.1. Định nghĩa. Một nửa nhóm số S đƣợc gọi là một nửa nhóm số Arf (Arf
numerical semigroup) nếu với bộ ba phần tử x, y, z thuộc S sao cho x ≥ y ≥ z
thì x + y – z  S.
Vì nếu S là một nửa nhóm số, thì N \ S là hữu hạn, nên có một số hữu
hạn nhóm số chứa S. Đối với A  N với gcd (A) = l, nếu T là một nửa nhóm số
chứa A thì T phải chứa S = <A>. Một đề xuất đối với nửa nhóm số Arf nhỏ


17

nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A là giao của tất cả các nửa nhóm số Arf
chứa S, dựa trên kết quả sau: giao của một họ hữu hạn của nửa nhóm số Arf là
một nửa nhóm số Arf.
2.1.2. Mệnh đề. Nếu S1, ... , Sn là nửa nhóm số Arf, thì S = S 1 ∩ S2 ∩ ... ∩ Sn
cũng là nửa nhóm số Arf.
Chứng minh: Vì 0  S i với mọi i =1, 2, …, n nên 0  S1 ∩ S2 ∩ ... ∩ Sn = S. Giả
sử x, y, z  S sao cho x ≥ y ≥ z. Khi đó x, y, z  S i , i=1,2,...,n vì S i là nửa
nhóm số Arf với mọi i. Suy ra x + y – z  S1 ∩ S2 ∩ ... ∩ Sn = S, nên S là nửa
nhóm số Arf.
2.1.3. Chú ý . Kết quả trên cho phép chúng ta định nghĩa nửa nhóm số Arf sinh
bởi A (gcd (A) =1) nhƣ giao của tất cả các nửa nhóm số Arf có chứa A (và nhƣ
vậy chứa <A>), và đƣợc ký hiệu bởi Arf (A). Rõ ràng theo Mệnh đề 2.1.2,
Arf(A) là nửa nhóm số Arf nhỏ nhất chứa A. Cũng chú ý rằng nếu S là một
nửa nhóm số Arf, thì rõ ràng Arf (S) = S.
2.1.4. Định nghĩa Giả sử S = Arf (A). Khi đó ta nói rằng A là một hệ Arf các
phần tử sinh của S, và sẽ nói rằng A là hệ sinh Arf tối tiểu nếu khơng có một tập

con thực sự nào của A là một hệ Arf các phần tử sinh của S. Đối với một nửa
nhóm số S, Arf (S) đƣợc gọi là ao óng Arf (Arf closure) của S.
Mục đích chính của tiết này là trình bày tính duy nhất của hệ sinh Arf tối
tiểu của nửa nhóm số Arf. Trƣớc hết, chúng tơi trình bày một mơ tả của Arf(A).


18

Rõ ràng nếu cho trƣớc tập con A  N với gcd (A) = l thì Arf (A) phải chứa tất
cả các phần tử dạng x + y - z với x, y, z  <A> và x ≥ y ≥ z.
2.1.5. Mệnh đề. Giả sử S là m t vị nhóm con của N . hế thì S’ = {x + y - z |
x, y, z  S, x ≥ y ≥ z} là m t vị nhóm con của N và S  S’.
Chứng minh. Giả sử x  S. Thế thì x + x - x  S’ nên S  S’. Rõ ràng S’ N
theo định nghĩa của S’. Giả sử a, b  S’. Khi đó tồn tại x1, x2, y1, y2, z 1, z 2  S,
thỏa xi ≥ yi ≥ z i, i {l, 2} và a = x1 + y1 - z1, b = x2 + y2 – z2. Khi đó a + b =
(x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2). Vì S là một vị nhóm con của N nên x1 + x2, y1 +
y2, z 1 + z2  S và x1 + x2 ≥ y1 + y2 ≥ z 1 + z 2. Từ đó a + b  S’ và do đó S’ là vị
nhóm con của N.. (Chú ý 0  S và S  S’ nên 0  S’). ✷
2.1.6. Ký hiệu. Giả sử S là một vị nhóm con của N và n  N . Ký hiệu :
• S0 = S,
• Sn+1 = (Sn )’.
2.1.7. Mệnh đề. Giả sử S là m t nửa nhóm số. hế thì tồn tại k  N sao cho
Sk = Arf (S).
Chứng minh. Bằng qui nạp theo n, ta chứng minh đƣợc rằng Sn  Arf (S) với
mọi n  N . Theo Mệnh đề 2.1.5, S n  Sn+1 và S  Sn với mọi n  N . Nhƣ đã
chú ý ở trên, số các nửa nhóm số chứa S là hữu hạn, từ đó S k = Sk+1 với k  N
nào đó. Rõ ràng Sk là một nửa nhóm số Arf và Sk  Arf (S), và vì Arf (S) là nửa
nhóm số nhỏ nhất chứa S, nên Sk = Arf (S). ✷

19

Để chứng minh rằng hệ Arf các phần tử sinh tối tiểu là duy nhất, trƣớc
hết cần chứng minh rằng mỗi hệ Arf các phần tử sinh phải chứa bội của nửa
nhóm.
2.1.8. Mệnh đề. Giả sử S là m t nửa nhóm số Arf và A là m t hệ Arf các phần
tử sinh của S thì m (S)  A.
Chứng minh. Đối với x, y, z  S \ {m (S)} với x ≥ y ≥ z, ta nhận đƣợc x + y - z
 S \ {m (S)}, từ đó S \ {m (S)} là một nửa nhóm số Arf. Nếu m (S)  A, thì
Arf (A)  Arf (S \ {m (S)}) = S \ {m (S)} ≠ S, mâu thuẫn giả thiết Arf (A) = S.
✷
Chúng ta đã biết rằng đối với một nửa nhóm số cho trƣớc S = <A>, tồn
tại k  N sao cho S k = Arf (A). Nói riêng điều đó kéo theo rằng mỗi phần tử
thuộc Arf (A) biểu diễn đƣợc dƣới dạng một tổ hợp tuyến tính với hệ số nguyên
các phần tử trong A. Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng đối với s  Arf (A),
các phần tử sinh xuất hiện trong biểu diễn tùy ý của S phải nhỏ hơn s.
2.1.9. Bổ đề. Giả sử S là m t nửa nhóm số và A là m t hệ Arf các phần tử sinh
của S. Đối v i mỗi s  S,

ặt B (s) = {a  A | a ≤ s}. Nếu s  <A>n thì s 

<B(s)>n.
Chứng minh. Chúng ta chứng minh quy nạp theo n. Đối với n = 0, kết quả là rõ
ràng theo định nghĩa của B(s). Bây giờ giả thiết rằng kết quả đúng với số tự
nhiên n nào đó và ta phải chứng minh nó đúng với n + l. Lấy s  <A>n+1 . Thế
thì tồn tại x, y, z  <A>n với x ≥ y ≥ z sao cho s = x + y - z. Theo quy nạp, ta


20

có x  <B(x)>n, y  <B (y)>n, z  <B (z)>n. Vì s = x + y - z và x ≥ y ≥ z, chúng
ta có z ≤ y ≤ x ≤ s. Từ đó B (z) B(y) B(x)  B(s). Suy ra x, y, z  <B (S)>n
và điều này dẫn đến s = x + y - z  <B(s)>n+1✷
2.1.10. Định lý . Giả sử A và B là hai hệ sinh Arf tối tiểu của m t nửa nhóm số
Arf S. hế thì A = B.
Chứng minh. Giả thiết rằng A = {n1 <... Theo Mệnh đề 2.1.8, n1 = m1 = m (S). Nếu A ≠ B, thế thì tồn tại số nguyên r nhỏ
nhất mà nr ≠ mr (rõ ràng rằng số nguyên đó tồn tại vì n1 = m1, A  B và B  A).
Khơng mất tính tổng qt, giả thiết rằng mr Mệnh đề 2.1.7 và thu đƣợc mr  <A>n với n số ngun khơng âm nào đó. Sử
dụng Bổ đề 2.1.9, chúng ta kết luận đƣợc rằng mr  <n1 ..., nr-1>n. Vì mk = nk
với mọi k < r, chúng ta có mr  <m1, ..., mr-1 >n, từ đó mr  Arf (B \ {mr}) và S
= Arf (B \ {mr}), mâu thuẫn với B là một hệ sinh Arf tối tiểu. ✷
Kết quả này cho phép chúng ta xác định hạng Arf của nửa nhóm số Arf
nhƣ các lực lƣợng của một hệ sinh tối tiểu của nó.
2.1.11. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm số Arf. Khi đó lực lƣợng của
một một hệ sinh Arf tối tiểu của S đƣợc gọi là hạng Arf ( Arf rank) của S.
Ký hiệu: Arf-rank(S).
Giả sử S là một nửa nhóm số và S = <n1, ..., np>, trong đó <n1, ..., np> =
<{n1, ..., np}>. Để đơn giản ta sẽ viết Arf (n1, ..., np) thay cho Arf ({n1, ..., np}) .
Thế thì nhƣ đã chứng tỏ ở trên, S= Arf (n1, ..., np). Từ đó Arf-rank (S) ≤ μ (S),


21

nghĩa là hạng Arf của S là nhỏ hơn hoặc bằng chiều nhúng của nó. Hơn nữa,
mỗi nửa nhóm số đều có chiều nhúng cực đại, nghĩa là μ (S) = m (S). Suy ra
đối với mỗi nửa nhóm số Arf S có Arf- rank (S) ≤ μ (S) = m (S).
Ta tóm tắt các nhận xét trên vào mệnh đề sau.
2.1.12. Mệnh đề. Giả sử S là m t nửa nhóm số Arf. hế thì

Arf-rank (S) ≤ μ (S) = m (S) = min (S \ {0}).
2.2. Cây nhị nguyên của nửa nhóm số Arf
Một cây nhị nguyên (A binary tree) là một cây đƣợc trồng sao cho mỗi
đỉnh có tối đa hai con. Mục đích của tiết này là trình bày một phƣơng thức đệ
quy sắp xếp tập hợp tất cả các nửa nhóm số Arf bằng một cây nhị nguyên mà rễ
của nó là N . Ý tƣởng là đƣa ra cách xây dựng các nửa nhóm số Arf bằng cách
bổ sung hoặc bỏ đi một phần tử từ một nửa nhóm số Arf. Trƣớc hết chứng tỏ
rằng bằng cách bổ sung số Frobenius vào một nửa nhóm số Arf sẽ nhận đƣợc
một nửa nhóm số Arf mới, và phép toán này sẽ cho phép chuyển từ một đỉnh
trong một cây đến bố mẹ nó. Q trình sinh con của một đỉnh bằng cách loại bỏ
các phần tử nào đó từ hệ sinh Arf tối tiểu của nửa nhóm.
2.2.1. Mệnh đề. Giả sử S là m t nửa nhóm số Arf, S ≠ N và F(S) là số
Fro enius của S. hế thì S  {F (S)} lại là m t nửa nhóm số Arf .
Chứng minh. Theo [6, Bổ đề 0.2], S  {F(S)} là một nửa nhóm số. Lấy x, y, z
 S  {F (S)} thỏa x ≥ y ≥ z , chúng ta phải chứng minh x + y - z S {F(S)}.
 Nếu x, y, z  S, thì do S là nửa nhóm số Arf, nên x + y - z S  S {F (S)}.


22

 Nếu F(S)  {x, y, z}, thì nhớ rằng F(S) = max( N \ S), ta có x + y – z ≥ F (S) .
Từ đó x + y - z  S {F (S)}. ✷
2.2.2. Ký hiệu. Giả sử S là nửa nhóm số, với n  N , định nghĩa bằng phƣơng
pháp đệ quy nửa nhóm Sn bởi
(1) S0 = S
(2) Sn+1 = S n {F(S n)}, nếu Sn ≠ N và S n+1 = N nếu Sn = N .
Rõ ràng rằng đối với mỗi nửa nhóm số S tồn tại số tự nhiên k sao cho Sk = N .
Cũng chú ý rằng nếu S là một nửa nhóm số thì theo Mệnh đề 2.2.1, chuỗi S =
S0  S1  ...  S k = N là một chuỗi các nửa nhóm số Arf, và S i = S i+1 \ {a} với
a  S i+1 nào đó. Kết quả sau đây trình bày điều kiện a thuộc nửa nhóm số Arf S

với S \ {a} là Arf.
2.2.3. Mệnh đề. Giả sử S là m t nửa nhóm số Arf và a  S. hế thì hai iều
kiện sau t ơng

ơng:

(1) a thu c hệ sinh Arf tối tiểu của S;
(2) S \ {a} là m t nửa nhóm số Arf.
Chứng minh.
(1)  (2). Vì a thuộc về hệ sinh Arf tối tiểu của S, nên Arf (S \ {a}) đƣợc chứa
thật sự trong S. Từ đó S \ {a}  Arf (S \ {a})  S, và S ≠ Arf (S \ {a}) dẫn đến
Arf (S \ {a}) = S \ {a}, nghĩa là S \ { a} là một nửa nhóm số Arf.
(2)  (l). Nếu a không thuộc vào hệ sinh tối tiểu của S thì Arf (S \ {a}) = S, từ
đó S\ {a} khơng có tính chất Arf. ✷


23

Với kết quả sau đây có thể phát hiện ra khi nào một nửa nhóm số Arf
đƣợc xây dựng bằng các q trình đƣợc mơ tả trong Mệnh đề 2.2.1.
2.2.4. Mệnh đề. Giả sử S là m t nửa nhóm số Arf. Khi ó các iều kiện sau là
t ơng

ơng:
(l) S = S È {F(S)} , v i S là nửa nhóm số Arf,
(2) Hệ sinh Arf tối tiểu của S chứa t nhất m t phần tử l n hơn F(S).

Chứng minh. (1)  (2). Rõ ràng, nếu S = S È {F(S)} , thì S = S \ {F ( S )}. Vì
F( S )= max( N \ S ). Bằng cách sử dụng Mệnh đề 2.2.3 ta nhận đƣợc: F(S) phải
thuộc vào hệ sinh Arf tối tiểu của S, và vì S  S và F( S )  S, ta suy ra đƣợc

F( S ) > F (S).
(2)  (l). Nếu a là một phần tử của hệ sinh Arf tối tiểu của S, thì từ Mệnh đề
2.2.3 ta biết rằng S = S \ {a} là một nửa nhóm số Arf. Nếu bằng cách bổ sung
a> F(S), thế thì a = F( S ), do đó S = S  {F ( S )} với S là nửa nhóm số Arf. ✷
2.2.5. Chú ý. Mệnh đề 2.2.4 cùng với chú ý sau Mệnh đề 2.2.1 cho phép chúng
ta xây dựng bằng phƣơng pháp đệ quy từ nửa nhóm số Arf N ( với chú ý
F( N )= -1) tập hợp tất cả các nửa nhóm số Arf (xem hình 1). Cách xây dựng này
sắp xếp chúng trong một cây dạng thứ tự. Khi chuyển xuống các nhánh của cây
này, chúng ta tình cờ gặp các nửa nhóm với các số Frobenius lớn hơn.