Phương pháp chỉnh hóa tikhonov và ứng dụng trong phương trình truyền nhiệt ngược thời gian

1

MỤC LỤC
Trang

MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Các kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1 Tốn tử compact trên khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Nghịch đảo suy rộng hay nghịch đảo theo Moore-Penrose . . . . 12
1.2 Khái niệm bài tốn đặt khơng chỉnh, họ các tốn tử chỉnh hố và
một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Khái niệm bài toán đặt khơng chỉnh và một số ví dụ . . . . . . . . 14
1.2.2 Họ các toán tử chỉnh hố và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov và ứng dụng trong
phương trình truyền nhiệt ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Đánh giá tốc độ hội tụ trong phương pháp chỉnh hoá Tikhonov
23
2.2 Ứng dụng phương pháp chỉnh hố Tikhonov trong phương trình
truyền nhiệt ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian là bài tốn đặt khơng
chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Chỉnh hố phương trình truyền nhiệt ngược thời gian bằng phương
pháp chỉnh hoá Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


2

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


LỜI NÓI ĐẦU

Trong khoa học và ứng dụng, nhu cầu khảo sát bài toán ngược được đặt ra
từ lâu. Đặc trưng của bài tốn này là tính đặt khơng chỉnh mà đặc biệt là
tính khơng ổn định của nghiệm. Một bài toán được gọi là đặt chỉnh theo
nghĩa Hadamard nếu nó thoả mãn ba điều kiện a) nó có nghiệm, b) nghiệm
duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tơpơ nào đó) theo dữ
kiện của bài tốn. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện này không thoả mãn
thì ta nói rằng bài tốn đặt khơng chỉnh . Cùng với sự phát triển của các
cơng cụ tốn học, những nhu cầu từ thực tiễn cũng như sự đòi hỏi của các
ngành khoa học ứng dụng khác, các bài tốn ngược (hầu hết là đặt khơng
chỉnh) đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát một cách sâu rộng.
Bài tốn cơ bản là vẽ lại các thơng tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc vật
lý bị nhiễu, ở đó ta nhận được các bài tốn khơng chỉnh (nghiệm của bài
tốn khơng ổn định theo dữ kiện ban đầu) mà các phương pháp nội tại (từ
các mơ hình tốn học trực tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến
sự khuếch đại không thể kiểm soát được của nhiễu. Sự khuếch đại của sai
số xuất hiện khách quan trong quá trình đo đạc làm cho kết quả tính tốn
vì vậy mà khơng có giá trị, những "kết quả" này che giấu lời giải chính xác
dưới các giao động có tần số cao, biên độ lớn.
Hadamard cho rằng các bài tốn đặt khơng chỉnh khơng có ý nghĩa
trong vật lý. Tuy nhiên như đã nói ở trên, nhiều bài tốn thực tiễn trong
khoa học và cơng nghệ dẫn đến bài tốn đặt khơng chỉnh. Chính vì đặc
điểm này người ta phải tập trung tìm các phương pháp để chỉnh hố nó,
thơng thường người ta chọn một hàm (xác định trên miền thích hợp) hội

tụ đến một hàm chính xác, để có thể ứng dụng tính số trong các bài toán
3


4

cụ thể.
Đầu thập niên 50 của thế kỷ trước, nhiều cơng trình nghiên cứu đã đề
cập đến bài tốn đặt khơng chỉnh. Các nhà tốn học A. N. Tikhonov, M. M.
Lavrent’ev, F. John, C. Pucci, V. K. Ivanov là những người đi tiên phong
trong lĩnh vực này. Kể từ năm 1963, sau khi Tikhonov đưa ra phương pháp
chỉnh hoá các bài tốn đặt khơng chỉnh nổi tiếng của ơng, bài tốn đặt
khơng chỉnh và bài tốn ngược đã trở thành ngành riêng của phương trình
vật lý tốn và khoa học tính tốn.
Tikhonov đã đề xuất phương án chỉnh hố phương trình Au=f trong
khơng gian Hilbert H bằng cách lấy tối thiểu hoá phiếm hàm Au − f

2
H+

αl2 (u) theo u. ở đây phiếm hàm l xác định không âm: l(u) ≥ 0, thuần nhất,
l(λu) = |λ|l(u) sao cho tập{u ∈ H|l(u) ≤ m} với số dương m tuỳ ý là
tập compact. Phiếm hàm l được gọi là phiếm hàm hiệu chỉnh cịn được gọi
là tham số hiệu chỉnh. Có thể chứng minh bài tốn tối thiểu hố này có
nghiệm ổn định và với cách chọn α hợp lý thì nghiệm của nó xấp xỉ nghiệm
của phương trình tốn tử. Ngồi ra sử dụng cách đánh giá ổn định, ta có
thể tìm được sai số của lời giải xấp xỉ này với lời giải α.
Trong bài báo On Tikhonov’s Method for III-posed Joel N. Franklin
đã áp dụng phương pháp chỉnh hoá Tikhonov trong bài toán truyền nhiệt
ngược thời gian.

Trên cơ sở đọc các tài liệu tham khảo, mục đích của luận văn là tìm
hiểu và trình bày phương pháp chỉnh hố Tikhonov và áp dụng phương
pháp chỉnh hoá Tikhonov trong phương trình truyền nhiệt ngược thời gian
của Frankin.
Luận văn có cấu trúc như sau:
- Mục lục
- Lời mở đầu
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ.
Chương 2: Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov và ứng dụng trong phương


5

trình truyền nhiệt ngược thời gian.
Vì khả năng của bản thân cịn hạn chế nên luận văn sẽ khơng tránh
khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của thầy cơ và
các bạn.
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo,
TS. Nguyễn Văn Đức, sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Giải tích,
khoa Tốn-Trường Đại học Vinh cùng với gia đình và bạn bè. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức- người đã
dành cho tác giả sự quan tâm giúp đỡ nhiệt tình trong suốt quá tình nghiên
cứu và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa, các thầy
cô trong khoa Toán-trường Đại học Vinh đã trang bị kiến thức và kinh
nghiệm bổ ích cho tác giả trong thời gian học, xin cảm ơn tập thể cao học
18-Giải tích đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập
và hồn thành luận văn.
Vinh, năm 2012
Tác giả

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1

Toán tử compact trong khơng gian Hilbert

Trong phần này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản
về khơng gian Hilbert, tốn tử compact trong khơng gian Hilbert, nghịch
đảo suy rộng hay nghich đảo theo Moore- Penrose.

1.1.1

Không gian Hilbert

Cho E là không gian vectơ trên trường K.
1.1.1 Định nghĩa. (1) Ánh xạ ., . : E × E → K được gọi là tích vơ
hướng nếu
(i) x, y = y, x , ∀x, y ∈ E ;
(ii) Ánh xạ x → x, y là tuyến tính với mọi y ∈ E ;
(iii) x, x

0;

(iv) x, x = 0 ⇔ x = 0.
Trên E xác định một chuẩn x =

x|x , chuẩn này gọi là chuẩn sinh

bởi tích vơ hướng trên E .
Khơng gian tuyến tính E cùng với một tích vơ hướng trên nó được gọi
là khơng gian tiền Hilbert.
Khơng gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được sinh ra
bởi một tích vơ hướng.
1.1.2 Định nghĩa. (1) Cho không gian tiền Hilbert E
1) Hai vectơ x, y ∈ E được gọi là trực giao nếu x, y = 0. Kí hiệu x⊥y .


7

2) Giả sử A ⊂ E , A được gọi là hệ trực giao nếu 0 ∈ A và với mọi vectơ

x, y ∈ A thì x⊥y .
3) Giả sử F ⊂ E . Kí hiệu

F ⊥ = {x ∈ E : x⊥F },
F ⊥ được gọi là phần bù trực giao của F .
1.1.3 Mệnh đề. (1) Cho không gian Hilbert E
1) Nếu x⊥y thì y⊥x. Vectơ 0 trực giao với mọi vectơ x ∈ E .
2) Nếu x ⊥ y1 , y2 , . . . , yn thì x ⊥ α1 y1 + α2 y2 + . . . + αn yn với mọi vectơ

x, y1 , y2 , . . . , yn ∈ E , với mọi α1 , α2 , . . . , αn ∈ K.
3) Nếu x⊥yn , yn → y , (n → ∞) thì x⊥y với mọi vectơ x, y, yn ∈ E .
4) F ⊥ là không gian con đóng của E.
5) Nếu x⊥y thì x

2

+ y

2

= x+y

2

với mọi vectơ x, y ∈ E (định

lý Pythagore).
1.1.4 Định nghĩa. (1) Cho E là không gian Hilbert và F là không gian
con đóng của E. Khi đó
1) Với mọi x ∈ E tồn tại duy nhất y ∈ F sao cho

x − y = d x, F = inf{ x − z , z ∈ F }.
Ta gọi y là hình chiếu trực giao của x lên F.
2) Ánh xạ PF : E → F với PF (x) = y là hình chiếu trực giao của x lên
F, với mọi x ∈ E được gọi là phép chiếu trực giao của E lên F.
1.1.5 Định lý. (1) Cho E không gian Hilbert và F ⊂ E là một khơng gian
con đóng của E. Khi đó bất kỳ một phần tử z nào của E cũng có thể phân
tích một cách duy nhất dưới dạng:

z = x + y với x ∈ F, y ∈ F ⊥ .
1.1.6 Định nghĩa. (1) Cho không gian Hilbert E, một hệ {en } các phần
tử của E được gọi là hệ trực chuẩn nếu:
ei , ej = 0,
δi,j =
ei , ej = 1,

i=j
i = j.


8

1.1.7 Mệnh đề. Cho không gian Hilbert E, {en } là hệ trực chuẩn trong
E. Ta có
∞

x, ei

2

≤ x

2

,

i=1

với mọi x ∈ E (bất đẳng thức Bessel).
1.1.8 Mệnh đề. (1) Cho không gian Hilbert E, {en }n∈N là hệ trực chuẩn
trong E. Các mệnh đề sau là tương đương:
1) {en } là hệ đầy đủ,
∞

x, ei ei với mọi x ∈ E ,

2) x =
i=1

∞

3) x =

| x, ei |2 với mọi x ∈ E ,

i=1

4) span{ei , i ∈ N} (không gian sinh) trù mật trong E.
1.1.9 Mệnh đề. (1) Cho E không gian Hilbert và F là không gian con
đóng của E. {ei }i∈I ⊂ F là một hệ đầy đủ của F. P là phép chiếu trực
giao của E lên F. Khi đó:

x, ei ej , với mọi x ∈ E.

PF (x) =
i∈N

1.1.10 Định lý. (1) (Riesz-Fischer). Cho {en } là hệ trực chuẩn đầy đủ
trong không gian Hilbert E. Nếu dãy số {ξi } thoả mãn
∞

ξi2 < ∞,
i=1

thì có duy nhất x ∈ E nhận ξi làm hệ số Fourier
∞

x=

∞

ξi ei ,

x

i=1

2

ξi2 .

=
i=1

1.1.11 Mệnh đề. (1) (Riesz) Cho E là khơng gian Hilbert. Khi đó
1) Với mọi a ∈ E , ánh xạ fa : E → K với fa (x) = x, a với mọi x ∈ E
là tuyến tính liên tục và fa (x) = a .


9

2) Nếu f là ánh xạ tuyến tính liên tục trên E thì tồn tại duy nhất a ∈ E
sao cho

f (x) = x, a , với mọi x ∈ E.
1.1.12 Định nghĩa. (1) Cho không gian Hilbert E.

(i) Nếu f : E → E là tốn tử tuyến tính liên tục. Khi đó tồn tại duy
nhất ánh xạ f ∗ : E → E tuyến tính liên tục thỏa mãn

f (x), y = x, f ∗ (y) , ∀x, y ∈ E.
Ánh xạ f ∗ được gọi là ánh xạ liên hợp của f .
(ii) f là tự liên hợp nếu f ∗ = f.

1.1.2

Toán tử compact

1.1.13 Định nghĩa. (1) Cho E, F là hai khơng gian Hilbert. Tốn tử

f : E → F được goi là compact nếu thoả mãn một trong ba điều kiện sau
1) f (B) = {f (x): x ≤ 1} là tập compact tương đối trong F,
2) f (K) là tập compact tương đối với mọi tập K ⊂ E bị chặn,
3) Với mọi dãy bị chặn {xn } ⊂ E tồn tại dãy con {xnk } để {f (xnk )}
hội tụ.
1.1.14 Định nghĩa. (1) Cho E, F là hai không gian Hilbert.
L(E, F ) = {f : E → F tuyến tính liên tục} ,

K(E, F ) = {f : E → F compact} ,
E = F ⇒ L(E, F ) = L(E, E) : = L(E) ,
E = F ⇒ K(E, F ) = K(E, E) : = K(E) .
1.1.15 Bổ đề. Mọi tốn tử tuyến tính compact đều bị chặn.
1.1.16 Định lý. (1) Cho f là tốn tử tuyến tính giữa hai không gian Hilbert.
Hai mệnh đề sau là tương đương
1) f là toán tử compact,

10

2) Tồn tại dãy các toán tử fn hữu hạn chiều sao cho fn − f → 0 khi

n → ∞.

1.1.17 Định lý. (1) Cho E, F, G là các không gian Hilbert.
1) K(E, F ) là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vơ hướng.
2) Nếu f ∈ L(E, F ), g ∈ K(F, G) thì f g và gf là toán tử compact.
3) K(E, F ) đóng trong L(E, F ).
4) Ánh xạ đồng nhất I :E → E là ánh xạ compact khi và chỉ khi dim E <

∞.
5) Nếu f : E → F là ánh xạ compact khả nghịch và E vô hạn chiều thì

f −1 khơng liên tục.
6) Nếu f là ánh xạ compact thì f ∗ cũng là ánh xạ compact.
7) Nếu {fn } là dãy toán tử compact trong L(E, F ), fn − f → 0 thì
f là tốn tử compact.
1.1.18 Định nghĩa. (1) Cho không gian Hilbert E, f ∈ L(E)
1) λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của tốn tử f nếu và chỉ nếu

f − λI có nghịch đảo liên tục. Kí hiệu Rλ = (f − λI)−1 là giải thức của f.
2) Tập σ(f ) = {λ ∈ C|λ không phải giá trị chính quy củaf thì σ(f )
gọi là phổ của f.
3) Giá trị λ ∈ σ(f ) gọi là giá trị riêng của f nếu tồn tại x ∈ E, x = 0
sao cho f (x) = λ(x). Khi đó x gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ.
4) Tập hợp Ker(f −λI) là một không gian con đóng bất biến đối với f
và được gọi là khơng gian riêng ứng với giá trị riêng λ. Số chiều của không
gian này được gọi là số bội của giá trị riêng λ.

1.1.19 Định lý. (1)Cho không gian Hilbert E, f ∈ L(E).
1) Nếu λ ∈ σ(f ) thì |λ| ≤ f .
2) σ(f ) là tập compact trong C.
1.1.20 Bổ đề. (1) Cho không gian Hilbert E, f ∈ L(E), λ ∈ C, λ = 0.


11

1) R(f ) đóng.
2) R(f − λI) ≡ E nếu E không phải giá trị riêng của f.
1.1.21 Mệnh đề. (1) Cho f là tốn tử tuyến tính compact trên không gian
Hilbert E. Mọi hệ trực chuẩn gồm những vectơ riêng ứng với các giá trị
riêng có giá trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng một số c > 0 cho trước đều
hữu hạn.
1.1.22 Định lý. (1) Cho không gian Hilbert E, f ∈ L(E), f compact. Khi
đó
1) σ(f ) = {0} ∪ {λ | λ ∈ C là giá trị riêng của f} nếu dimE = ∞.
2) σ(f ) = {λ | λ ∈ C là giá trị riêng của f} nếu dimE < ∞.
3) Mỗi giá trị riêng của f có bội hữu hạn trong đó bội là số chiều của
khơng gian con riêng.
4) f có khơng q một số đếm được các giá trị riêng và không có điểm
tụ nào khác khơng. Trong trường hợp f có đếm được giá trị riếng thì ta có
thể sắp xếp chúng thành một dãy λn sao cho λn giảm dần và có giới hạn
là 0.
1.1.23 Mệnh đề. (1) Nếu f là tốn tử compact tự liên hợp trên khơng
gian Hilbert E thì:
1) Tồn tại giá trị riêng λ của f sao cho |λ| = f .
2) Các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau của f trực giao
với nhau.
1.1.24 Định lý. (1) Cho f ∈ L(E), f compact, f tự liên hợp, λn , n ∈ N

với N = {1, 2, ..., n} hoặc N = N là các giá trị riêng khác 0 của f. Khi đó

∀x ∈ E, ∃x0 ∈ N (f ) : x = x0 +

Pn (x),
n∈N

f (x) =

λn Pn (x),
n∈N


12

trong đó Pn là tốn tử chiếu trực giao lên N (A − λn I) và được xác định
mn

(x, eni )eni , x ∈ E,

Pn (x) =
i=1

mn là bội của λn và uni là hệ trực chuẩn của N (f − λn I).
1.1.25 Định lý. (1) Cho f là toán tử tuyến tính liên tục giữa hai khơng
gian Hilbert E và F. Khi đó tồn tại tập chỉ số I = {1, 2, . . . , n} hoặc I = N
và hệ trực chuẩn (ei )i∈I của E, (ui )i∈I của F và một dãy các số thực dương
đơn điệu không tăng (σi )i∈I sao cho:
(i) lim σi = 0 nếu I = N;
(ii) f (ei ) = σi fi , f ∗ ui = σi ei , với mọi i ∈ I ;

(iii) ∀x ∈ E, ∃x0 ∈ N (f ); sao cho

x=

x, ei ei + x0 ,
i∈I

σi x, ei ui ;

f (x) =
i∈I

(iv) ∀y ∈ F, f ∗ (y) =

σi (y, ui )ei .
i∈I

1.1.26 Định nghĩa. (1) Hệ (σi , ei , ui ) được gọi là hệ kỳ dị của toán tử f,

σi là giá trị kỳ dị của f.
1.1.3

Nghịch đảo suy rộng hay nghịch đảo theo Moore-Penrose

Kí hiệu

L(X, Y ) = {f : X → Y : tốn tử tuyến tính},
A ∈ L(X, Y ). Tập hợp tất cả các phần tử x ∈ X sao cho
Ax − y

2
Y

≤ Ax − y

2
Y.

gọi là nghiệm bình phương tối thiểu của phương trình Ax = y .


13

1.1.27 Định nghĩa. (1) x là nghiệm bình phương tối thiểu của phương
trình Ax = y khi và chỉ khi x thỏa mãn một trong 3 điều kiện tương đương
sau đây
(i) Ax = PR(A) y ;
(ii) Ax − y ≤ Au − y , ∀u ∈ X ;
(iii) A∗ (Ax − y) = 0.
Trong đó A∗ (Ax) = A∗ y : phương trình chuẩn tắc.
1.1.28 Bổ đề. (1) Giả sử T ∈ L(H1 , H2 ) với H1 , H2 là các không gian
Hilbert. R(T ) : ảnh của T , N (T ) : nhân của T . Khi đó
(i) R(T )⊥ = N (T ∗ );
(ii) N (T )⊥ = R(T ∗ );
(iii) R(T ∗ )⊥ = N (T );
(iv) N (T ∗ )⊥ = R(T ).
1.1.29 Bổ đề. (1) Giả sử y ∈ Y . Khi đó
(i) L(y) = {x ∈ X|A∗ Ax = A∗ y} = ∅ nếu và chỉ nếu y ∈ R(A) ⊕

R(A)⊥ .

(ii) Nếu y ∈ R(A) ⊕ R(A)⊥ thì L(y) là một tập lồi, đóng và khác rỗng
của X.
1.1.30 Bổ đề. (1) Với y ∈ R(A) ⊕ R(A)⊥ thì tồn tại một phần tử x+ ∈

L(Y ) có chuẩn nhỏ nhất.
1.1.31 Định nghĩa. (1)Ánh xạ A+ : y ∈ R(A) ⊕ R(A)⊥ → x+ gọi là
nghịch đảo suy rộng của toán tử A.

1.2

Khái niệm bài tốn đặt khơng chỉnh, họ các
tốn tử chỉnh hố và một số ví dụ

Phần này, chúng tơi trình bày về khái niệm về cơ bản bài tốn đặt khơng
chỉnh, đưa ra một số ví dụ về bài tốn đặt khơng chỉnh. Họ các tốn tử
chỉnh hóa và các tính chất cơ bản của họ các tốn tử chỉnh hóa.


14

1.2.1

Khái niệm bài tốn đặt khơng chỉnh và một số ví dụ

Chúng tơi trình bày khái niệm bài tốn đặt khơng chỉnh dựa trên cơ sở xét
một bài tốn ở dạng phương trình tốn tử

A(u) = f,
ở đây A : E → F là tốn tử từ khơng gian Hilbert E vào không gian
Hilbert F, f là phần tử thuộc F.

Sau đây là một định nghĩa của Hadamard.
1.2.1 Định nghĩa. (2) Cho A là tốn tử từ khơng gian Hilbert E vào
khơng gian Hilbert F. Bài tốn A(u) = f được gọi là đặt chỉnh nếu
(i) Phương trình A(u) = f có nghiệm với mọi f ∈ F ;
(ii) Nghiệm này duy nhất;
(iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì bài tốn được gọi
là đặt khơng chỉnh.
Bài tốn tìm nghiệm u phụ thuộc vào dữ kiện f nghĩa là u = R(f ) được
gọi là ổn định trên không gian (E, F ) nếu với mỗi

> 0 tồn tại một số

δ( ) > 0 sao cho: f1 , f2 ≤ δ( ) và u1 , u2 ≤ . Ở đây ui = R(fi ), ui ∈
E, fi ∈ F, i = 1, 2.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của bài toán A(u) = f thường được
cho bởi đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f ta chỉ biết xấp xỉ

fδ của nó thoả mãn fδ − f ≤ δ . Giả sử uδ là nghiệm của phương trình
A(u) = f với f thay bởi fδ (giả thiết nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì
fδ → f nhưng với bài tốn đặt khơng chỉnh thì uδ nói chung khơng hội tụ
đến u.
1.2.2 Ví dụ. Xét bài toán

J(u) =

u2
1+u4 ,

0,

u≥0
u < 0.

(1.1)


15

(i) Giá trị nhỏ nhất của hàm J(u) là J ∗ = 0.
(ii) Tập lời giải u∗ = {u | u ≤ 0}.
(iii) Xét dãy uk = k là dãy tối thiểu hoá lim J(k) = 0, nhưng k =
k→0

∗

∗

1, 2, . . . thì k khơng hội tụ đến u , lim d(k, u ) = ∞. Vậy bài tốn khơng
ổn định.
1.2.3 Ví dụ. Xét bài tốn

J(u) =

∂2u
∂x2

2

+ ∂∂yu2 = 0,

u(x, 0) = f (x), ∂u
∂y |y=0 = ϕ(x), −∞ < x < +∞.

(1.2)

(ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước).
(i) Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ 0 và ϕ(x) = ϕ1 (x) = a1 sin(ax) thì nghiệm
của bài tốn trên là u1 (x, y) =

1
a2

sin(ax)sh(ay), a > 0.

(ii) Nếu lấy f (x) = f2 (x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ 0 thì nghiệm của bài toán
là u2 (x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được
xét trong độ đo ta có

f1 − f2 = sup |f1 (x) − f2 (x)| = 0,
x∈R

ϕ1 − ϕ2 = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| =
x∈R

1
a

với a khá lớn thì khoảng cách ϕ1 − ϕ2 lại khá nhỏ. Trong khi đó, khoảng
cách giữa các nghiệm

u1 − u2 = sup |u1 (x, y) − u2 (x, y)|
x∈R

= sup |
x∈R

=

1
sin(ax)sh(ay)|
a2

1
sh(ay),
a2

với y > 0 cố định, lớn bất kỳ. Do đó bài tốn không ổn định.


16

1.2.2

Khái niệm về họ các toán tử chỉnh hoá và các tính chất
cơ bản

Cho E, F là các khơng gian Hilbert với chuẩn sinh bởi tích vơ hướng,

A : F → E là toán tử (ánh xạ).
Đặt G := A−1 : E → F,

tìm Gx =? với dữ kiện xδ mà x − xδ ≤ δ . Khi đó tìm một toán tử Rδ (.)
sao cho Rδ (xδ ) − Gx ≤ ε và Rδ xác định trên toàn bộ khơng gian E . Sai
số của thuật tốn

∆(Rδ , δ, x) =

sup

Rδ (xδ ) − Gx .

x−xδ ≤δ

1.2.4 Định nghĩa. (2) Ánh xạ G được gọi là chỉnh được trên tập D ⊂

DG ⊂ X , nếu tồn tại ánh xạ Rδ (.) từ E ⊕ E + lên Y sao cho
lim ∆(Rδ , δ, x) = 0, ∀x ∈ D.

δ→0

1.2.5 Định lý. (Bakushinskii) (2) Ánh xạ G có thể chỉnh được trên tập

D ⊂ DG bởi họ Rδ (.) = R(.) (không phụ thuộc δ ),0 < δ ≤ δ0 khi và chỉ
khi nó thác triển được lên tồn X sao cho thác triển này liên tục trên D.
1.2.6 Định lý. (Vinokurov) (2) Giả sử ánh xạ G xác định trên DG ⊂

X lên Y trong đó X, Y là các không gian Hilbert. Nếu G chỉnh được trên
DG , N là trù mật khắp nơi trong X thì
+∞

R n1 (N ),

n=1

trù mật khắp nơi trong Y .
1.2.7 Hệ quả. Nếu G : DG ⊂ X → Y là toàn ánh. Nếu G chỉnh được
trên DG và X tách được thì Y tách được.


17

1.2.8 Định lý. (Vinokurov) (2) Ánh xạ G : DG ⊂ X → Y là giới hạn theo
điểm trên D ⊂ D(G) của các ánh xạ Gn liên tục trênX . Khi đó G chỉnh
được.
1.2.9 Định lý. (2) Nếu khơng gian Y tách được và là tập con lồi của khơng
gian định chuẩn tuyến tính, G : DG ⊂ X → Y là giới hạn theo điểm trên

D ⊂ D(G) của các ánh xạ Gn liên tục trênX . Khi đó G chỉnh được.
1.2.10 Định lý. (2) Ánh xạ G từ không gian Hilbert X vào không gian
Hilbert Y tách được, chỉnh được trên D ⊂ D(G) ⊂ X khi và chỉ khi nó là
giới hạn theo điểm trên D của dãy các ánh xạ Gn liên tục trên X .


CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ TIKHONOV VÀ ỨNG
DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
NGƯỢC THỜI GIAN

Phần này, chúng tơi trình bày về phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, đánh
giá tốc độ hội tụ trong chỉnh hóa Tikhonov. Ứng dụng phương pháp chỉnh
hóa Tikhonov trong phương trình truyền nhiệt ngược thời gian.

2.1

Phương pháp chỉnh hố Tikhonov

Trong phần này chúng tơi trình bày lại một cách chi tiết phương pháp
chỉnh hóa Tikhonov và đánh giá tốc độ hội tụ trong phương pháp chỉnh
hóa Tikhonov được H.W.Engl, M.Hanke và A.Neubauer nêu ra trong tài
liệu (5).

2.1.1

Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov

Giả sử {Eλ } là họ các phổ của toán tử T ∗ T và T ∗ T liên tục theo từng đoạn
thì (T ∗ T )−1 =

1
λ dEλ .

Ta có

x+ = T + y
1
=
dEλ T ∗ y.
λ
Thay

1
λ

bởi họ các hàm gα (λ) liên tục từng đoạn trên [0, T

xα :=

gα (λ)dEλ T ∗ y,

(2.1)
2

. Đặt
(2.2)


19

.

gα (λ)dEλ T ∗ y δ .

xδα :=

(2.3)

Từ (2.1 ) và (2.2 ) ta có

x+ − xα = x+ − gα (T ∗ T )T ∗ y
= (I − gα (T ∗ T )T ∗ T )x+
(1 − λgα (λ))dEλ x+

=

= rα (T ∗ T )x+ .

(2.4)

trong đó
rα (λ) : = 1 − λgα (λ),

(2.5)

rα (0) : = 1.

(2.6)

2.1.1 Định lý. (5 ) Cho α > 0, gα : [0, T

2

] → R thoả mãn các điều

kiện: gα liên tục từng đoạn C > 0 sao cho

|λgα (λ)| ≤ C,
và

1
,
α→0
λ

với mọi λ ∈ (0, T 2 ). Khi đó với mọi y ∈ D(T + ),
lim gα (λ) =

(2.7)

lim gα (T ∗ T )T ∗ y = x+ ,

α→0

với x+ = T + y . Nếu y ∈ D(T + ) thì lim gα (T ∗ T )T ∗ y = +∞.
α→0

Chứng minh:
Từ (2.1) và (2.4) ta có
T

x+ − xλ

2

2

+

r2α (λ)d Eλ x+ 2 .

=
0

(2.8)

20

Tích phân (2.8) bị chặn bởi hằng số (C + 1)2 . Do đó tích phân (2.8) phụ
thuộc vào độ đo d Eλ x+ 2 . Mặt khác
T

2

+

T

r2α (λ)d Eλ x+

lim

α→0

2

2

lim r2α (λ)d Eλ x+ 2 .

=

0

+
α→0

(2.9)

0

Từ (2.7) và (2.6) ta có

lim r2α (λ) = 0,

α→0

với mọi α > 0 và lim r2α (0) = 1 và
α→0

lim Eλ x+

α→0

2

− E0 x+

2

− E0 x+ = P x+ 2 ,

với P là phép chiếu trực giao trên N (T )⊥ . Do đó x+ ∈ N (T )⊥ , P x+ = 0.
Áp dụng (2.8) và (2.9) ta có

lim x+ − xα

α→0

2

= 0.

Mặt khác, giả sử y ∈ N (T )+ thì xα → +∞ khi α → 0.
Chọn gα đáp ứng đầy đủ các điều kiện của định lý (với c = 1) là

gα (λ) :=

1
,
λ+α

(2.10)

Với cách chọn này, ta có

xδα =

gα (λ).dEλ T ∗ y δ

= (T ∗ T + αI)−1 T ∗ y δ ,

(2.11)

nghĩa là được xác định thơng qua phương trình tuyến tính

T ∗ T xδα + αxδα = T ∗ y δ .
Chúng ta có thể bỏ qua chỉ số δ nếu chỉ số y δ được thay thế bởi chỉ số
chính xác y , tức là

xα = (T ∗ T + αI)−1 T ∗ y.


21

Từ

(T ∗ T + αI)−1 T ∗ = T ∗ (T T ∗ + αI)−1 ,
có thể được tính như sau

T T ∗ zαδ + αzαδ = y δ ,
xδα = T ∗ zαδ .
Cho toán tử compact K với hệ kì dị {δn , vn , un }, (2.11 ) có dạng
+∞

xδα

=
n=1

δn
< y δ , un > vn .
2
δn + α

2.1.2 Định lý. (5 ) Cho xδα xác định như (2.11) thì xδα là cực tiểu duy
nhất của hàm Tikhonov

x → T x − yδ

2

+ α x 2.

(2.12)

Chứng minh:
Kí hiệu fα (x) kí hiệu hàm trong (2.12). Cho α > 0, fα là lồi ngặt,

lim fα (x) = +∞. Do fα là cực tiểu nên

x →+∞

fα (x)h = 0 với mọi h ∈ χ.
Ta lại có

fα (x)h = 2( T x − y δ , T h ) + α x, h )
= 2 T ∗ T x − T ∗ y δ + αx, h .
Vậy fα (x)h ≡ xδα

.

2.1.3 Định lý. (5 ) Cho xδα xác định như (2.11) ,y ∈ R(T ), y − y δ ≤ δ .
Nếu α = α(δ) sao cho

δ2
lim α(δ) = 0 và lim
,
δ→0
δ→0 α(δ)

(2.13)

lim xδα(δ) = T ∗ y.

(2.14)

thì
δ→0


22

Chứng minh:
Cho δn → 0, α := α(δn ), yn := y δn , xn := xδαnn . Từ fn , chúng ta xác định
hàm Tikhonov (2.12) cho αn , tức fn (x) = T x − yn

2

+ αn x 2 .

Theo Định lý 2.1.2., xn là cực tiểu duy nhất của fn . Do đó với x+ := T + y ,

αn xn

2

≤ fn (xn ) ≤ fn (x+ )
= T x + − yn

2

2

≤

sao cho

xn

+ αn x +

2

≤ αn2 + αn x+ 2 ,

δn2
+ x+ 2 .
αn

(2.15)

Do đó xn bị chặn nên có một dãy con hội tụ yếu

xnk

z ∈ χ.

Khi đó

Txnk

Tz .

(2.16)

Tiếp tục áp dụng định lý Định lý 2.1.2., tương tự như trên

Txnk − ynk

2

≤ fnk (xnk ) ≤ δn2 k + αnk x+ → 0 khi k → +∞

Áp dụng (2.16) ta có

T z = y.

(2.17)

Vì cực tiểu của fn ∈ N (T )⊥ và xn ∈ N (T )⊥ do đó z ∈ N (T )⊥ . Từ (2.16)
khi z = x+ thì xnk → x+ ta suy ra

xn → x+ .

Bây giờ giả sử

(2.18)

> 0 và dãy con xnk thỏa mãn xnk ≤ x+ − với mọi

k ∈ N thì dãy con này sẽ có một dãy con hội tụ yếu tới z với z ≤ x+ − ,
mâu thuẫn với (2.18). Do đó

lim inf xn ≥ x+ .

n→∞

(2.19)


23

Từ (2.13) và (2.15), ta có

lim sup xn ≤ x+

(2.20)

n→∞

Từ (2.18),(2.19),(2.20) suy ra xn → x+ . Cho δn → 0, (2.14) .

2.1.2

Đánh giá tốc độ hội tụ trong chỉnh hóa Tikhonov

2.1.4 Định lý. (5 ) Giả sử gα xác định theo định lý Định lý 2.1.1., xα và

xδα xác định theo (2.2 ) và (2.3 ) và α > 0, đặt
Gα := sup{|gα (δ)| |δ ∈ [0, T

2

]}.

(2.21)

Khi đó

T xα − T xδα ≤ Cδ,

(2.22)

và

xα − xδα = δ

CGα ,

(2.23)

cố định.
Chứng minh:
Đầu tiên ta chứng minh (2.22), từ

gα (T ∗ T )T ∗ = T ∗ gα (T T ∗ ),

(2.24)

ta có

T xα − T xδα = T gα (T ∗ T )T ∗ (y − y δ )
≤ T T ∗ gα (T T ∗ ) y − y δ .
Suy ra

T xα − T xδα ≤ δ T T ∗ gα (T T ∗ ) .

(2.25)


24

Giả sử Fα là phổ của T T ∗ , khi đó ∀y ∈ Y với y = 1 ta có
T

T T ∗ gα (T T ∗ )y

2

2

+

(λgα (λ))2 d Fλ y

=
0
T

2

c2 d F λ y

≤

2

2

0
2

= c y 2.
Do đó

T T ∗ gα (T T ∗ )y

2

≤ c2 ,

(2.26)

cố định.

Từ (2.25) và (2.26),(2.22) được chứng minh.
Từ(2.26), ta có

gα (T T ∗ ) ≤ Gα .

(2.27)

Mặt khác theo (2.24), suy ra

xα − xδα = xα − xδα , T ∗ gα (T T ∗ )(y − y δ )
= T xα − T xδα , gα (T T ∗ )(y − y δ )
≤ T xα − T xδα

gα (T T ∗ ) δ.

áp dụng (2.22) và (2.27),(2.23) .

2.1.5 Định lý. (5 ) Cho gα xác định như trong Định lý 2.1.1., rα trong
(2.26), µ, ρ > 0. Giả sử ωµ : (0, α0 ) → R sao cho ∀α ∈ (0, α0 ) và λ ∈

[0, T

2

],
λµ |rα (λ)| ≤ ωµ (α),

(2.28)

xα − x+ ≤ ωµ (α)ρ,

(2.29)

cố định.
Khi đó, với x+ ∈ χµ,ρ thì


25

và

T xα − T x+ ≤ ωµ+ 21 (α),

(2.30)

cố định, trong đó xα xác định như trong (2.2) và x+ := T + y .
Chứng minh:
Giả sử ω ∈ χ sao cho x+ = (T ∗ T )µ ω , ω ≤ ρ.
Từ (2.4) ta có x+ − xα = rα (T ∗ T )(T ∗ T )µ ω
và T x+ − T xα = T rα (T ∗ )(T ∗ )µ ω .
Áp dụng bất đẳng thức

Tz

2

= T z, T z
= T ∗ T z, z
1

1

= (T ∗ T ) 2 z, (T ∗ T ) 2 z
1

= (T ∗ T ) 2 2 .
Suy ra (2.29) và (2.30) được chứng minh.

2.1.6 Hệ quả. (5 ) Giả sử

ωµ (α) = cαµ ,
với c > 0 và giả sử gα xác định trong Định lý 2.1.4. thỏa mãn

1
Gα = o( ) khiα → 0.
α
Khi đó với quy tắc chọn tham số
α
δ 2µ+1
α∼
ρ

(2.31)

là bậc tối ưu trong χµ,ρ .
Chứng minh:
Từ định lý 2.1.4. và định lý 2.1.4. ta có

xδα − x+ ≤ cαµ ρ + δ

c
.
α