Ứng dụng của cấu trúc nhóm trong một số bài toán đại số và số học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

HÀ CÔNG TIẾN

ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHĨM TRONG
MỘT SỐ BÀI TỐN I S V S HC

Luận văn thạc sĩ toán học

NGHệ AN – 2012


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

HÀ CÔNG TIẾN

ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHĨM TRONG
MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYT S
Mó s: 60 46 05

Luận văn thạc sĩ toán häc
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. Nguyễn Thành Quang

NGHÖ AN - 2012


3

MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU

1

CHƢƠNG 1
ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHÓM
TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP

4

1.1. Một số kiến thức cơ sở về Lý thuyết nhóm

4

1.2. Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong một số bài toán

8

tổ hợp
1.3. Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong một số bài

11

tốn tơ màu
CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT NHĨM
TRONG
CÁC BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM

15

2.1. Ứng dụng của các nhóm hữu hạn trong một số bài

15

tốn giải phƣơng trình hàm
2.2. Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong bài tốn xây

18

dựng các phép biến đổi phân tuyến tính
2.3. Cấu trúc đồng cấu nhóm trong phƣơng trình hàm

21

KẾT LUẬN

25

TÀI LIỆU THAM KHẢO

26


1

MỞ ĐẦU
Trong khoảng một thế kỷ, rất nhiề u nhà tốn học đ ã gặp khó
khăn khi nghiên cứ u các bài toán trong Đ ại số trước khi Lý
thuyết nhóm ra đời. Bắt đầu là Jose phLouis Lagrange sử dụng
nhóm hốn vị để tìm nghiệ m đa thứ c (1771). Sau đó trong các bài
báo, nghiê n cứ u về phương trình đại số của Le onhard E ule r, Carl
Frie drich Gauss, Niels He nrik Abe l (1824) và Evariste Galois
(1830) , nhữ ng thuật ngữ trong lý th uyết nhóm đ ã xuất hiệ n. Lý
thuyết nhóm cũng được hình thành từ Hình học vào khoảng giữ a
thế kỉ 19 và từ Lý thuyết số.
Vào khoảng cuối thế kỉ 19, Lí thuyế t nhóm được hình thành
như một nhóm độc lập của Đ ại số (nhữ ng người có cơng trong
lĩnh vự c này phải kể đến là Fe rdinand Ge org Frobe nius, Le opo ld
Krone cke r, E mile M athieu...). Nhiều khái niệ m đại số được xây
dựng lại từ khái niệ m nhóm và đ ã có nhiề u kết quả mới đ óng g óp
cho sự phát triển của một ngành quan trọng trong T ốn học.
Hiệ n nay Lí thuyế t nhóm l à một phần phát triển nhất trong
Đại số và có nhiề u ứng dụng trong T ơpơ học, Lý thuyế t hàm, M ật
mã học, Cơ học lượng tử và nhiề u ngành khoa học cơ bản khác.
Lí thuyết nhóm là một trong những lĩnh vự c nghiê n cứ u
quan trọng của Đ ại số hiệ n đ ại. Lí thuyết này có những ứng dụng
sâu sắc trong nhiề u hư ớng khác nhau của T oán học, V ật lí... Đ ặc
biệt, một số kỹ thuật trong Lí thuyế t nhóm đã được sử dụng để
mang lại nhữ ng kết quả đẹp đẽ và sâu sắc của T ốn học. Chẳng
hạn, tính giải được bằng căn thứ c của các phư ơ ng trình đ ại số đ a

thứ c đ ã được giải quyế t trọn vẹ n bởi E . Galois thông qua việ c sử
dụng các kiến thứ c của Lí thuyết nhóm phối hợp một cách tài


2
tình với Lí thuyết trư ờng.
Việc sử dụng cấu trúc nhóm để giải tốn cũng đ ã xuất hiệ n
trong các đề thi Olimpic T oán học quốc tế (IM O).
Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng
của Lí thuyết nhóm vào lĩnh vự c T ổ hợp, Đại số sơ cấp và Số
học. Công cụ chủ yế u của L í thuyết nhóm được vận dụng ở đ ây là
Định lí Lagrange; Bổ đề Burnside về quỹ đ ạo của tác động nhóm
lên một tập, nhóm cyclic, nhóm hữu hạn, nhóm đối xứ ng, nhóm
ma trận, p- nhóm...
Luận văn này được trình bày trong 2 chương.
Chương 1 gồm những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm, bao gồm
các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, lớp ghép, đồng cấu nhóm, nhóm
đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp, p-nhóm. Vì các bài tập minh
họa đều có lời giải sơ cấp, nên luận văn sẽ khơng tập trung trình bày chi tiết
các lời giải này mà chủ yếu phân tích sự xuất hiện các cấu trúc nhóm. Trong
tiết 1.1, luận văn chứng minh lại những công thức số học cổ điển Lucas
bằng phương pháp sử dụng công cụ các lớp ghép và Bổ đề Burnside trong Lí
thuyết nhóm. Ngồi ra, chương 1 điểm lại một vài ứng dụng của nhóm phép
thế để giải một số bài toán tổ hợp và bài tốn tơ màu.
Chư ơng 2 là nhữ ng ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong các
bài tốn giải phư ơng trình hàm. Tiết 2.1 chỉ rõ ứ ng dụng của các
nhóm hữu hạn the o chủ đề vừ a nê u. Tiết 2.2. xây dự ng các phé p
biế n đổi phân tuyến tính bằng cách sử dụng cơng cụ nhóm. Tiết
2.3 gồm nhữ ng ví dụ minh họa về việ c cấu trúc đồng cấu nhóm
xuất hiện trong đề ra và lời giải các phư ơng trình hàm trong các

đề thi Olimpic T oán quốc tế ( IMO) và của một số nư ớc khác. Rõ
ràng là, nếu chúng ta biết sử dụng các tính chất của nhóm thì lời
giải bài toán trở nê n sinh động hơn rất nhiề u.


3
Tác giả xin bày tỏ lòng biế t ơn sâu sắc tới PGS.TS N guyễ n
Thành Quang, ngư ời thầy giáo đã đ ặt vấn đề nghiên cứ u và tận
tình chỉ dẫn, để tác giả hồn thành bản luận văn này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các T hầy giáo, Cô giáo trong
bộ môn Đ ại số, Kho a T ốn học và Phịng Đ ào tạo Sau đ ại học
thuộc trư ờng Đ ại học Vinh đ ã động viê n cổ vũ, có những góp ý
quý báu và tạo mọi điều kiệ n thuận lợi cho tác gi ả hoàn thành
nhiệm vụ học tập, nghiên cứ u the o chư ơng trình đào tạo sau đ ại
học tại Trư ờng.
Mặc dù đ ã có nhiề u cố gắng song do nhiề u nguyên nhân,
luận văn chắc chắn cịn có nhiề u thiếu sót. Tác giả mong nhận
được sự chỉ bảo, góp ý của các quý thầy cô và các bạn đ ồng
nghiệ p.
T ÁC GI Ả


4
CHƢƠNG 1
ỨNG DỤNG CỦA CẤU CHÚC NHÓM TRONG CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP
Cấu trúc nhóm xuất hiện tự nhiên trong các bài tốn sơ cấp. Ví dụ đơn giản
nhất là các nhóm

,

,

,

với phép tốn cộng. Ví dụ ít hiển nhiên hơn là các

nhóm hữu hạn (nói chung khơng aben) xuất hiện trong Lý thuyết số, Lý thuyết tổ
hợp và Đại số.
Chúng tôi sẽ điểm lại một vài ứng dụng của lý thuyết nhóm để giải một số
bài tốn tổ hợp. Do các bài tập minh họa đều có lời giải sơ cấp, chúng tơi sẽ khơng
tập trung trình bày các lời giải này mà chủ yếu phân tích sự xuất hiện các cấu trúc
nhóm như thế nào.

1.1. Một số kiến thức cơ sở về Lý thuyết nhóm
1.1.1. Định nghĩa. Nếu nhóm G có hữ u hạn phần tử thì ta nói G là một
nhóm hữu hạn. Cấp của G là số phần tử của nhóm đó và ký hiệ u là |G|.
Với mỗi g  G có một số nguyên dư ơng n sao cho g n  1. Khi đó, số
nguyên dương n nhỏ nhất như vậy được gọi là cấp của g và ký hiệ u l à
ord(g).
1.1.2. p-nhóm. Cho p là một số nguyên tố. Một p - nhóm là một nhóm hữu hạn với
các phần tử có cấp là một lũy thừa của p.
1.1.3. Mệnh đề. Nhóm aben G là p-nhóm khi và chỉ khi G có cấp là một lũy thừa
của p.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử nhóm G có cấp là một lũy thừa của số nguyên tố p
và a  G. Xét nhóm xyclic H sinh bởi a. Rõ ràng H  ord (a) . Do đó, theo Định lý
Lagrange, ord(a) là ước của cấp của G, hay G là một p –nhóm.
Ngược lại, giả sử G là một p-nhóm aben và H là một nhóm con lớn nhất của
G mà có cấp là một lũy thừa của p. Ta sẽ chứng minh H = G. Giả sử có một phần
tử a  G - H. Khi đó ord(a) = pn với n > 0 nào đó. Xét tập H '  ab; b  H  . Dễ
thấy H' là hợp rời của các tập hợp H , aH , a 2 H ,..., a p 1H và H’ là một nhóm aben.

n

Nói riêng, H' là một nhóm con của G với cấp là H '  H p n  H . Điều này mâu
thuẫn với cách chọn H là nhóm con lớn nhất của G. Vậy G = H và G có cấp là một


5
lũy thừa của p. ▄
Xét nhóm đối xứng Sn và tập X  1,2,..., n . Với mỗi   Sn, i X, ta được
 (i)  X . Tương ứng này rõ ràng thỏa mãn

(  1o (1  2 )(i)  1 ( 2 (i)) 2).
Khi đó, ta nói rằng có một tác động của nhóm Sn lên tập X. Tổng quát hơn,
ta có định nghĩa.
1.1.4. Định nghĩa. Cho G là một nhóm hữu hạn và X là một tập hữu hạn. Một tác
động của G lên X là một ánh xạ
G x X X
(g,a)  g(a)
thỏa mãn: Với g,h  G, a  X, (gh)(a) = g(h(a)) và e(a)  a.
Với mỗi a  X, tập con
orb(a)  g (a)  X ; g  G

được gọi là quỹ đạo của a.
Phần tử a  X gọi là cố định dưới tác động của nhóm G nếu và chỉ nếu
orb(a)  g (a)  X ; g  G  a.

Nhận xét. Tập X được phân hoạch thành hợp rời các quỹ đạo.
Ví dụ. Xét tác động của nhóm đối xứng Sn lên tập X = 1,......, n. Với hai phần tử
bất kỳ i, j = 1,..., n, ln có một phép thế, ký hiệu là (i,j) và gọi là phép chuyển vị,
tráo đổi vị trí của i,j và cố định các vị trí khác. Do đó, tác động này chỉ có một quỹ

đạo là cả tập X.
Với một tập con Y  X, tập
Stab(Y )  g  G; g (Y )  Y 

là một nhóm con của G và được gọi là nhóm con ổn định của Y.
Ta có một song ánh g.Stab(a); g  G  orb(a) cho bởi gh

g (a) .

Từ Định lý Lagrange cho ta
1.1.5. Mệnh đề. Với mỗi a  X, quỹ đạo orb(a) có số phần tử bằng
Nói riêng, orb(a) là ước của |G|.

G
.
Stab(a )


6
Cho p là một số nguyên tố và G là một p-nhóm. Xét một tác động của G lên
một tập hữu hạn X. Theo Mệnh đề 1.1.5, những quỹ đạo có nhiều hơn một phần tử
có số phần tử là lũy thừa của p. Những quỹ đạo còn lại ứng với các điểm cố định
của X.
Ký hiệu XG là tập các điểm cố định, ta có mệnh đề sau
1.1.6. Mệnh đề.

X  X G (mod p) .

Một ứng dụng thú vị của mệnh đề trên là định lý số học sau đây.
1.1.7. Đinh lý (Lucas). Cho các số nguyên m, n  0 và số nguyên tố p. Ta có

 m  k  mi 
      (mod p),
 n  i 0  ni 

trong đó mi, ni là các chữ số trong biểu diễn cơ số p của m, n, nghĩa là
m  mk p k  mk 1 p k 1 
n  nk p k  nk 1 p k 1 

 m1 p  m0 ,
 n1 p  n0 ,

với 0  mo , m1 ,..., mk  p; 0  no , n1 ,..., nk  p.
Chứng minh. Xét một tập M gồm m phần tử. Chia M thành các tập con rời nhau: m i
tập con có pi phần tử, i = 0,1,..., m. Trên mỗi tập con, có một tác động tự nhiên của
nhóm xyclic

k

/pi . Do đó nhóm G   ( / pi )m tác động tự nhiên theo từng
i

i 0

thành phần lên tập M. Ở đây ( / pi )m  / pi 
i

 / pi

là tích mi lần

/ pi .

m

Gọi X là tập tất cả các tập con của M có n phần tử. Như vậy |X| =   .
n
 

Dễ thấy G tác động cảm sinh lên tập X. Một tập con N thuộc X là bất biến
dưới tác động của G khi và chỉ khi nó là hợp của các tập con có p i phần tử trong
cách chia ở trên. Với mỗi p i , có ni tập con của N như vậy. Do đó, số tập con của
N  M có n phần tử và bất biến dưới tác động của G là

 mi 

 .
i 0  ni 
k

Khẳng định của Định lý Lucas được suy từ Mệnh đề 1.1.6. ▄
Cơng cụ nhóm tỏ ra có hiệu quả trong việc chứng minh tính trù mật trong
tập hợp các số thực

. Ta bắt đầu công việc nay bởi mệnh đề sau:


7
1.1.8. Mệnh đề. Nếu A là một nhóm con khơng tầm thường của nhóm cộng các số
thì A hoặc là nhóm xyclic hoặc trù mật trong

thực

.

Chứng minh. Đặt   inf a  A; a  0 . Số  như vậy là tồn tại, vì trong A có số
thực dương. Ta xét ba trường hợp sau:
● Trường hợp   0 : Khi đó tồn tại một dãy số thực dương an n  A giảm dần
về 0. Xét một khoảng bất kỳ  a, b  

, không mất tính tổng quát giả sử 0 < a < b.

Khi đó, ln có một phần tử an trong dãy trên sao cho 0 < an < b - a. Đặt
b
N     . Khi đó, ta có a < Nan < b. Vì A là một nhóm nên Nan  A, do đó
 an 

(a,b)  A   là trù mật trong

.

● Trường hợp   0,   A : Tương tự như trên, có một dãy số thực dương

an n

 A giảm dần xuống  . Vì   0 nên với chỉ số n đủ lớn 0 < an+1 - an <  .

Điều này mâu thuẫn với cách chọn  vì an+1 - an  A (A là một nhóm). Do đó
trường hợp này không xảy ra.
● Trường hợp   0,   A : Mọi số thực a  A đều có biểu diễn dạng a = n  + b
với n 

và 0  b <  . Do A là một nhóm nên b = a - n   A . Từ cách chọn 

suy ra b = 0. Vậy A = 

là một nhóm xyclic. ▄

1.1.9. Bài tốn. Cho trước một hình chữ nhật. Theo phương của các cạnh, cắt
hình chữ nhật thành hai hoặc ba hình chữ nhật bằng nhau và giữ lại một. Chứng
minh rằng với mọi  > 0 cho trước, xuất phát từ hình chữ nhật ban đầu, có hữu
hạn cách cắt sao cho hình chữ nhật cuối cùng có tỷ lệ hai cạnh nằm trong khoảng
(1 -  , 1 +  ).
Lời giải. Gọi tỷ số độ dài hai cạnh của hình chữ nhật ban đầu là r. Sau một số hữu
hạn lần cắt, tỷ số độ dài hai cạnh hình chữ nhật mới có dạng 2m3n r; m, n  . Để
chứng minh tỷ số này gần 1 tùy ý, ta chứng minh kết quả tổng quát hơn là tập

2 3

m n

: m, n 

 trù mật trong tập hợp các số thực khơng âm. Điều này tương đương

vói tập m  n log 2 3; m, n 
1.1.8.

 trù mật trên

. Khẳng định được suy ra từ Mệnh đề

8
1.1.10. Mệnh đề (V. I. Arnold). Có vơ hạn lũy thừa của 2 bắt đầu bằng chữ số 7.
Chứng minh. Một lũy thừa 2k có chữ số đầu tiên là 7 khi và chỉ khi tồn tại h 
 2k

2k
sao cho 7  h  8 . Ta đi chứng minh tập  h ; k , h   trù mật trong tập hợp các
10
5


số thực không âm, hay tương đương, tập A  k  h log 2 5; k, h 
hợp các số thực

 trù mật trong tập

. Điều này được suy ra từ Mệnh đề 1.1.8.

Bằng phương pháp tương tự ta chứng minh được các kết quả sau:
1.1.11. Mệnh đề. Tập hợp sin n; n 

 trù mật trong tập hợp  1;1 .

1.1.12. Mệnh đề. Trên mặt phẳng tọa độ, cho P là một ngũ giác đều và X   là
một tập các điểm sao cho X đóng kín đối với các phép lấy đối xứng qua cạnh của
P. Khi đó, tập X trù mật trên mặt phẳng.

1.2. Ứng dụng của Lý thuyết nhóm

trong một số bài toán tổ hợp
1.2.1. Phép thế. Một phép thế   Sn được hoàn toàn xác định bởi các giá trị
 (1) ,...,  (n). Do đó, có một cách khác biêủ diễn của  là
1

2

 
  (1)  (2)


.
 (n) 
n

Chú ý rằng  còn được gọi là một hoán vị của các số 1,2,.. ,n và ký hiệu là
(a1 ,..., an ) với ai   (i) . Nếu ai  i thì ta có thể bỏ ai trong ký hiệu trên. Tác động

tự nhiên của nhóm xyclic (  ) lên tập X = {1,2,... ,n} cho ta phân tích của X thành
hợp rời các quỹ đạo.
X = X1  X2  ...  Xr
với mỗi Xi có dạng {a,  (a),...,  ki(a)}. Mỗi Xi được gọi là một chu trình của  và
 X 1 ,..., X r 
.
n!

ta có ord ( )  

1.2.2. Bài toán (Đề thi IMO 2001). Cho n  1 là một số nguyên lẻ và các số

9
nguyên c1,...,cn. Với mỗi phép thế a  (a1 ,..., an ) của 1,…,n, định nghĩa
S (a)  i 1 ci a1 . Chứng minh rằng, tồn tại các phép thế a  b sao cho n ! là ước
n

của S (a)  S (b) .
Lời giải. Nếu tất cả S (a) khơng đồng dư với nhau theo modn thì do có n! phép thế
bậc n nên S (a); a  Sn  là một hệ thặng dư đầy đủ modn hay nói khác đi

S (a); a  Sn   0,1,..., n! 1 (mod n!).
Do đó,



aSn

S( a ) 

(n! 1)n!
(mod n!) .
2

Từ đó



aSn

S( a ) 

n!
(mod n!) .
2

Mặt khác, ta có

S

aSn

(a)



n

n

n

n

n

  c a   c  a   c (n  1)! i =  c n!

aSn i 1

i

i

i 1

i

aSn

i

i 1

i

i 1

i 1

i

n 1
 0(mod n!) .
2

Điều này mâu thuẫn với khẳng định trên.
Vậy có hai phép thế khác nhau a,b sao cho: S (a)  S (b)(mod n!) . ▄
1.2.3. Bài tốn (IMO 1999). Có n cơ gái chơi một trị chơi(n  2), mỗi người
n

giữ một quả bóng. Mỗi cặp trong số tất cả   cặp, theo một thứ tự nào đó, đổi
2
quả bóng họ đang có cho nhau. Trị chơi được gọi là "thú vị” nếu cuối cùng
khơng có cơ gái nào nhận lại quả bóng ban đầu. Ngược lại, nếu cuối cùng tất cả
các cơ gái đều nhận lại quả bóng ban đầu thì trị chơi được gọi là "chán ngắt”.
Tìm giá trị của n để
a) có một trị chơi thú vị;
b) có một trị chơi chán ngắt.
Lời giải. Một phép chuyển vị (i,j) với i,j = 1,..., n, i  j là một hốn vị hai vị trí i,j
cho nhau và giữ ngun các vị trí khác. Một trị chơi là một cách thực hiện liên
n

tiếp, hay là một cách xếp thứ tự, N    phép chuyển vị (i,j) của tập {1,..., n}.
2


10
Giả sử thứ tự đó là t1,..., t N. Một trị chơi sẽ ứng với phép hốn vị P  t N t N 1...t1 .
Trò chơi là thú vị tương ứng với P khơng có điểm cố định. Trị chơi là chán ngắt
nếu P = id là phép đồng nhất.
a) Tồn tại một trò chơi thú vị khi và chỉ khi n  3.
Thật vậy, nếu n = 2 thì P2  (1,2) rõ ràng là thú vị. Nếu n = 3 thì mỗi trị chơi có
dạng P = (2,3)(1,3)(1,2) = (1, 3) nên trị chơi là khơng thú vị.
Với n > 3. Xét Pn = (1, 2)(1, 3)(2, 3) .... (1, n)(2, n)... (n - 1, n). Khi đó
Pn - Pn-1(1, n, n - 1, ... , 2) = (1, n)(2, n - 1)... (i, n + 1 – i)
là thú vị nếu n là chẵn. Nếu n lẻ thì hốn vị
Qn = Pn-1 (1, n)(2, n)... (k, n)(n - 1, n)(n - 2, n)... (n - k+1, n)
là thú vị.
b) Tồn tại một trò chơi chán ngắt khi và chỉ khi n  0,1(mod 4) .

 n

n

Ta có sign( P)  (1) 2 . Do đó nếu P = id là phép đồng nhất thì 2 là ước   , hay
2
n  0,1(mod 4) .

Ngược lại, giả sử n  0,1 (mod 4). Xét trường hợp n = 4k. Chia các cơ gái vào k
nhóm gồm 4 cơ gái. Trong mỗi nhóm xét thứ tự sau
(1, 3)(2, 4)(2, 3)(1, 4)(1, 2) = id.
Giữa hai nhóm khác nhau (ký hiệu là {1, 2, 3,4} và {5,6,7,8}), ta có
(4, 7) (3, 7) (4, 6) (1, 6) (2, 8)(3, 8) (2, 7) (2, 6)
(4, 5) (4, 8) (1, 7) (1, 8) (3, 5) (3, 6) (2, 5) (1, 5) = id.
Trường hợp n = 4k + 1 ta chia thành k + 1 nhóm gồm k nhóm có 4 cơ gái và
một nhóm chỉ có một cơ gái. Giữa hai nhóm có 4 cơ gái khác nhau ta làm như
trên. Với mỗi nhóm có 4 cơ gái, ký hiệu là 1, 2, 3, 4, ta thêm cô gái dư, ký hiệu là
5 và tiến hành theo thứ tự sau
(3, 4) (4, 5) (1, 3) (2, 4) (2, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 2)(2, 5) = id. ▄


11

1.3. Ứng dụng của Lý thuyết nhóm
trong một số bài tốn tơ màu
Tốn học rời rạc mà ngày nay ứng dụng to lớn của nó trong Cơng nghệ
thơng tin được khởi đầu bởi 3 bài tốn tơ màu sau:
1. Một chuỗi hạt ngọc trai có tất cả n hạt được tơ bởi r màu. Hỏi xem có tất
cả bao nhiêu chuỗi ngọc trai khác nhau.
2. Một hình lập phương, các mặt của nó được tơ bởi 2 màu khác nhau. Hỏi

có bao nhiêu hình lập phương khác nhau từ cách tơ màu đó.
3. Cho trước 1 cơng thức hố học hãy tìm xem nó có bao nhiêu đồng phân.
Bài tốn tơ màu là một ứng dụng điển hình của lý thuyết nhóm (nhóm đối
xứng) trong tổ hợp. Bài tốn tơ màu được giải bằng cách sử dụng Bổ đề Burnside
và Định lý đếm của Polya.
Xét một tập hữu hạn X cùng với một tác động của một nhóm hữu hạn G.
Với mỗi g  G , ký hiệu
F(g) = {x  X : g(x) = x };
Z = {(g, x)  G x X : x  F(g)}.
Bằng cách đếm theo g  G hoặc theo x  X , ta có đồng nhất thức.
Z   F( g )   Stab ( x) .
g G

x X

Mỗi phần tử x  X xuất hiện đúng |Stab(x)| lần trong tập Z. Như vậy, các
phần tử trong orb(a) xuất hiện ord (a) . Stab(a)  G lần.
1.3.1. Bổ đề Burnside. Số quỹ đạo của tác động nhóm G lên tập X là
N

1
G

 F (g) 

gG

1
G

 Stab(a) .

aX

Bổ đề Burnside cũng được một vài tác giả gọi là Bổ đề Cauchy-Frobenius.
Cauchy là người đầu tiên chứng minh cho trường hợp tác động chỉ có một quỹ
đạo (tác động bắc cầu). Frobenius chứng minh trường hợp tổng quát. Burnside là
người đâu tiên giới thiệu kết quả trên.
1.3.2. Bài tốn tơ màu. Cho r mảnh vải giống hệt nhau và n màu khác nhau. Tơ
mỗi mảnh vải bằng một màu nào đó. Cho G là một nhóm gồm các phép hốn vị n


12
mảnh vải. Hai cách tô màu sẽ được đồng nhất nếu cách này nhận được từ cách kia
bằng một phép hốn vị trong G. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tơ màu (sai khác
hốn vị bởi nhóm G)?
Áp dụng bổ đề Burnside, ta phát biểu lại bài tốn tơ màu trên: Ký hiệu các
mảnh vải là v 1,..., v r , các màu là c1, ... , cn. Xét tập hợp các ánh xạ (hàm):
X = {f : {v1,..., vr}  {c1,..., cn}}.
Mỗi cách tô màu tương ứng một – một với một hàm f  X. Nhóm G  Sr
tác động lên tập {v1, ... , vr} nên có tác động tự nhiên lên tập X cho bởi
( g, f )  G  X

f g  X . Theo Bổ đề Burnside, số các quỹ đạo của tác động này

là:
NG 

1
G

 F ( )

 G

với F(  ) = {f  X : f(  (vi)) = f (vi), i = 1, ... , n}.
Gọi các chu trình của  là V1, ..., Vt. Khi đó f  F(  ) tương đương với f là
ánh xạ hằng khi hạn chế lên từng chu trình Vi, i =1, ... ,t. Như vậy, F ( )  nc ( )
với c( )  t là số chu trình của  . ▄
1.3.4. Định lý đếm của Polya (dạng đơn giản). Ta ln có
NG 

1
G

 n ( ) .

c

G

Đây là một dạng đơn giản của Định lý đếm của Polya. Định lý đếm tổng
quát cho ta thông tin cụ thể hơn về số cách tô màu với những hạn chế về phân bố,
tuy nhiên việc trình bày tương đối dài và vượt ra khỏi phạm vi của luận văn này.
Bài tốn tơ màu sau được giải bằng cách sử dụng Định lý đếm của Polya.
1.3.5. Bài toán (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2010). Người ta dùng n màu để tô
tất cả các ô vuông con của bảng ô vuông kích thước 3  3 , mỗi ô được tô bởi một
màu. Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách tô màu này nhận được từ
cách tô màu kia nhờ một phép quay quanh tâm của bảng ơ vng. Hỏi có tất cả
bao nhiêu cách tô màu khác nhau?

Lời giải. Gọi  là phép quay quanh tâm hình vng góc


theo chiều kim đồng
2


13
hồ. Khi đó G = ( ) là một nhóm xyclic cấp 4. Số chu trình của  là 3, của  2 là 5,
của  3 là 3 và của  4 = id là 9. Theo Định lý đếm của Polya, số cách tô màu là
N=

1 9
(n + n5 + 2 n3). ▄
4
r 

1.3.6. Số Stirling. Ký hiệu số phép thế trong Sr có k chu trình là   và gọi là số
k 
Stirling. Số Stirling liên quan đến bài tốn tìm số cách xếp r quả bóng vào n cái
sọt với hai cách xếp là như nhau nếu sai khác một cách đánh số lại các quả bóng.
Bài tốn bóng - sọt thuộc kiểu bài tốn tô màu. Trong trường hợp này, ta
không phân biệt các quả bóng nên nhóm tác động là Sr. Theo Định lý đếm của
Polya, số cách xếp là
N= N

1 r r  k
 n.
r ! k 0  k 

Mặt khác, mỗi cách xếp tương ứng vói một chuỗi n + r - 1 ký tự gồm r ký tự b
 n  r  1
 . Ta suy ra
r



(bóng) và n - 1 ký tự s (sọt). Số cách sắp xếp do đó là N  
r
r 
(n  r  1)...(n  1)n     n k
k 0  k 

Đây là một định nghĩa khác của số Stirling.
Phần trên cho ta đã thấy ứng dụng của nhóm đối xứng, tiếp theo ta sẽ xét
một số bài tốn với các cấu trúc nhóm khác.
1.3.7. Bài tốn (Thi Vơ địch tốn Mỹ năm 2008 – USAMO 2008). Trong một hội
thảo về toán, hai nhà toán học bất kỳ hoặc là bạn nhau hoặc là ngưòi lạ. Trong
thời gian ăn trưa, những ngưòi tham dự ăn ở một trong hai phịng ăn. Mỗi nhà
tốn học đều ăn trong một phịng chứa một số chẵn người bạn của mình. Giả sử
có ít nhất một cách sắp xếp như vậy. Chứng minh rằng số cách chia các nhà toán
học vào hai phòng là một lũy thừa của 2.
Lời giải. Định nghĩa một lệnh là một tập các hướng dẫn, mỗi nhà toán học được đề
nghị hoặc ở lại hoặc di chuyển. Giả sử đang có một cách chia tốt, nghĩa là mỗi nhà


14
tốn học có số chẵn bạn ở trong cùng phịng. Xét tập tất cả các lệnh sao cho xuất
phát từ cách chia này, sau khi áp dụng một lệnh ta được một cách chia tốt khác.
Các lệnh đó cũng được gọi là các lệnh tốt. Gọi tập này là G. Khi đó lệnh I mà mỗi

nhà tốn học ở ngun tại chỗ cũng thuộc tập G.
G là một nhóm aben. Thật vậy, nếu A, B  G là hai lệnh bất kỳ, ta ký hiệu
A.B là lệnh nhận được bằng cách áp dụng lần lượt lệnh B rồi tiếp lệnh A. Dễ thấy
hai lệnh A.B và B.A như nhau. Ta chứng minh A.B cũng là một lệnh tốt, nghĩa là
thuộc vào tập G. Thật vậy, xét một nhà toán học x trong hội thảo. Nếu B(x) là ở lại
thì có chẵn bạn của x ở cả hai phòng phải đi sang phòng khác. Như vậy, nếu xuất
phát từ một cách chia tốt bất kỳ khác, sau lệnh B thì số người đi và đến phòng của
x cùng là chẵn hoặc cùng là lẻ. Dẫn đến số bạn cùng phòng của x sau đó vẫn là số
chẵn. Tương tự, nếu B(x) là sang phịng khác thì có chẵn bạn của x ở hai phòng sẽ
ở lại phòng. Nếu xuất phát từ một cách chia tốt khác, thì số bạn ở lại phịng x đến
và số bạn sẽ đến phịng đó cũng cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Do đó x có chẵn bạn cùng
phịng sau lệnh B. Tóm lại, A.B là một lệnh tốt và do đó A.B  G. Như vậy, G là
một nhóm aben. Nếu A  G, thì ta có A.A= I. Do đó, G là 2-nhóm và |G| là một lũy
thừa của 2. ▄


15

CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT NHĨM
TRONG CÁC BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM

2.1. Ứng dụng của các nhóm hữu hạn
trong một số bài tốn giải phƣơng trình hàm
Trong phần này ta xét một lớp phương trình hàm mà lời giải có sử dụng
cơng cụ hoặc xuất hiện cấu trúc của các nhóm hữu hạn.
2.1.1. Bài tốn (Putnam 1971). Tìm tất cả hàm số f :
f ( x)  f (

Lời giải. Đặt D 

x
)  1  x, x 
x 1

thỏa mãn

\ 0,1.

\ 0,1 . Xét các hàm

g0 ; g1; g2 : D  D với g0 ( x)  x; g1 ( x) 

Ta có



x 1
1
; g 2 ( x) 
.
x
1 x

g1 g2  g0 ; g1 g1  g2 ; g 2 g 2  g1; g13  g 23  g0  id .

Do đó, G  g0 ; g1; g2  là một nhóm xyclic cấp 3 sinh bởi g1 hoặc g 2 .
Phương trình hàm ban đầu viết lại là f ( x)  f ( g2 ( x))  x  1 .
Ký hiệu fi  f gi , i  0,1, 2 . Thay x lần lượt bởi g1(x) và g2(x) ta nhận được
hệ phương trình sau:

 f 0  f1  x  1,

 f1  f 2  g1 ( x)  1,
 f  f  g ( x)  1.
2
2
 0

Hệ này có nghiệm

f 0 (x) = f (x) =

x3  x 2  1
;
2 x( x  1)

x3  x 2  2 x  1
f1 (x) =
;
2 x( x  1)

x3  3x 2  4 x  1
f 2 ( x) 
.
2 x( x  1)

Thay lại vào phương trình ban đầu, ta được hàm cần tìm là
x3  x 2  1
f ( x) 
.

2 x( x  1)

▄


16
Nhận xét. Cấu trúc nhóm nào thường xuất hiện trong phương trình hàm? Để giải
phương trình hàm đã cho, ta cần xác định được nhóm G. Thơng thường, G là một
nhóm xyclic hoặc là một nhóm hữu hạn đơn giản.
Xét trường hợp G = (g) là một nhóm xyclic hay nói một cách khác, ta có
ánh xạ g: D  D sinh ra nhóm G và thỏa mãn điều kiện gn = id , với một số tự
nhiên n nào đó.
2.1.2. Bài tốn. Cho một miền D 

và một tập các hàm

G = {g,. . ., gn-1 : D  D}.
Giả sử với phép hợp thành G là một nhóm. Cho trước các hàm

0 ,..., n1 ,  : D  .
Hãy giải phương trình hàm sau:
 0 (x)f(g0(x)) + 1 (x) f (g1(x))+ . . . +  n1 ( x) f ( gn1 ( x))   ( x),

(1)

với x  D và f là hàm cần tìm.
Để giải phương trình này ta lần lượt thay x bởi g0(x),..., gn-1(x) và nhận được
một hệ n phương trình tuyến tính với các hệ số là các hàm  i (gj(x)), hệ số tự do
gồm các hàm  (gi(x)) và ẩn là các hàm fi(x) = f(gi(x)); i, j = 0,..., n - 1.
Cách giải hệ này tương tự như trong đại số tuyến tính. Chú ý rằng, điều kiện

cần và đủ để f0 ,..., f n là một nghiệm của hệ phương trình suy ra phương trình (1)
có nghiệm duy nhất là f0 g01  fi gi1 , i  0,1,..., n.
2.1.3. Chú ý. Cách giải như trên cũng cho biết khi nào phương trình (1) có một
nghiệm duy nhất hay vơ số nghiệm. Trường hợp hệ có vơ số nghiệm xảy ra khi ta
thay biến mới vào thì chỉ được phương trình hệ quả.
Ví dụ. xét phương trình hàm:
f(x) + f(- x) = x2.
Thay x bởi g(x) = - x khơng mang đến phương trình mới. Nghiệm của phương
1
2

trình này là f(x) = x 2 + F(x) với F(x) là một hàm lẻ bất kỳ.
2.1.4. Mệnh đề. Ánh xạ g :
nghĩa là gn = id. Với a 



1
n

cho bởi g(x) = x + {x + } là xoắn bậc n,

ta chia các nửa đoạn như sau:


17

 a, a  1  [a, a 

1

n 1
1
2
)  [a  , a  )  ...  [a 
, a  1) .
n
n
n
n

Khi đó, các ánh xạ hạn chế
k 1
k 
k
k 1

g : a 
, a    a  , a 
 , k  1,..., n  1,
n
n 
n
n 


n 1
1

 
g : a 

, a  1   a, a  
n
n

 

là các song ánh.
Chú ý rằng, ánh xạ g ở trên được xây dựng từ ánh xạ quen thuộc trong
nhóm thương của nhóm cộng các số thực trên nhóm con cộng các số nguyên:
g0 :

/



/ , x

x

1
 .
n

2.1.5. Mệnh đề. Ký hiệu
1 



 i  tan 1    , i  n  1, n  2,...,0,..., n  1 ,
n

D

\ a n1 ,..., a0 ,..., an1.

Khi đó, ánh xạ sau là xoắn bậc n


g : D  D, g ( x)  tan  tan 1  x    .
n


Hơn nữa, nếu ta chia
D  D n1  ...  D0  ...  Dn1  Dn ,
D n1  (, a n1 ), Dn  (an1 , ), Di  (ai 1 , ai ), i  n  2,..., n  1,

thì các ánh xạ sau
g : Di  Di 1 , i  n  1,..., n  1; g : Dn  D n1 ,

là các song ánh.
Sẽ rất thú vị nếu ta xây dựng được các ví dụ tương tự trên những tập rời
rạc như

, .


18

2.2. Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong bài tốn
xây dựng các phép biến đổi phân tuyến tính
Có một lớp các hàm quan trọng là các phép biến đổi phân tuyến tính. Phần

tiếp theo ta sẽ đi xây dựng các phép biến đổi này nhờ cơng cụ nhóm.
2.2.1. Tác động của nhóm GL(2, ) lên

. Xét nhóm tuyến tính tổng quát thực

 a b 

GL(2, )  
 ; a, b, c, d  , ad  bc  0 
 c d 


  cho bởi

và một tác động lên không gian xạ ảnh thực P1 ( ) 
GL(2, )     

  ,

a b
ax  b

  x  cx  d .
c d 

Với mỗi ma trận   GL(2, ) , tác động trên cho ta một ánh xạ trên

  , gọi là

phép biến đổi phân tuyến tính

g:

  

  , x 

ax  b
.
cx  d

Ví dụ. Các hàm g1(x)= - x, g2(x) = 1/x là những phép biến đổi phân tuyến tính.
Bằng cách chia cả tử số và mẫu số của phân thức tuyến tính trên cho

det 

ta có thể giả sử det(  ) = ±1, ký hiệu nhóm các ma trận tương ứng là G. Chú ý
rằng, tác động của hai phần tử  ,    G trùng nhau.
2.2.2. Ma trận của phép biến đổi phân tuyến tính xoắn. Ta quan tâm đến những
phép biến đổi xoắn, nghĩa là với những g  G thỏa mãn
g n ( x)  x, x 

  .
a b

Những phép biến đổi này tương ứng với các ma trận A  
  G , thỏa
c d 
mãn An   I 2 với n  . Vì A thỏa mãn phương trình đa thức  2 n  1  0 nên A
chéo hóa được và các giá trị riêng của A là các căn bậc 2n của đơn vị, nghĩa là
 m

A~
 0

1

0 

m 
2


19
A với  là một căn nguyên thủy bậc 2n của 1, 0  m1  m2 < 2n. Ta có
 m  m  det A  ad  bc  ,
1

2

 m   m  tr ( A)  a  d  .
1

2

Điều kiện  m  m là số thực suy ra m1  m2 0, n, 2n, 3n . Chọn
1

2

  cos


n

 isin


n

,

ta xét riêng rẽ các trường hợp sau:
● m1  m2  0 : Trường hợp này ứng với A = I2 và n = 1.
● m1  m2  n : Khi đó
 m   n  m    m .
2

1

1

Do đó
 m   m   m    m  2cos
1

2

1

1

Điều kiện  m   m  . tương đương với sin
1

2

m1
m
 i2sin 1 .
n
n

m1
= 0, hay m1 = 0, dẫn đến m2 = n.
n

Ma trận chéo hoá A là
0
1
A~ 
.
 0 1 

Nói riêng, trường hợp này chỉ xảy ra khi n = 2.
● m1  m2  2n : Tính tốn tương tự như trên ta có:
 m   m   m    m  2cos
1

2

1

1

m1
 .
n

Ma trận chéo hoá của A là
 m
A~
 0

1

0 
.
 m 
1

Điều này tương đương với det A  1 a  d  2cos

m1
. Nói riêng, A  SL(2, ) .
n

● m1  m2  3n : Vì m2 < 2n nên m1 = 3n – m2 > n. Ta có
 m   3n  m    m .
2

Do đó.

1

1


20
m1
m
 i2sin 1 .
n
n

 m   m   m    m  2cos
1

2

Điều kiện  m   m 
1

2

1

1

tương đương với sin

m1

= 0. Vì n < m1 < 2n nên
n

trường hợp này không xảy ra.
Như vậy trong các trường hợp trên, đối với các phép biến đổi tuyến tính
xoắn, chỉ có trường hợp n = 2 là ma trận A không nằm trong SL(2, ) , các trường
hợp cịn lại đều có A  SL(2, ) . ▄
2.2.3. Bậc của phép biến đổi phân tuyến tính xoắn. Tiếp theo, ta quan tâm đến
bậc xoắn của ánh xạ phân tuyến tính, nghĩa là với n cho trước tìm những ma trận
A sao cho n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn An   I 2 .
Nếu n = 1 thì An   I 2 . Nếu n = 2 thì A đồng dạng với ma trận đường chéo.
Xét n > 2. Theo như phân tích ở trên, ma trận chéo hố của A có dạng
 m

0

0

 m

1

A~B= 

1


,


với m < m1 < 2n. Bằng cách lập luận tương tự như trên, khơng có ma trận thực C
nào thoả mãn Cn ~ B2. Do đó, điều kiện An =  I2 tương đương với A2n =  I2. Từ
đây suy ra, n là số nhỏ nhất để An =  I2 khi và chỉ khi bậc xoắn của ma trận A là
một trong hai giá trị n, 2n, do đó tương đương với (m1, n) = 1. Dẫn đến, số ma trận
đường chéo như vậy bằng số ước nguyên dương của n.
Một số trường hợp cụ thể:
(a) n = 2: Ta có a + d = 0. Các phép biến đổi tương ứng là
ab
, a2 + bc = 1.
cx  a

(b) n = 3: Khi đó m1 = 1, 2 và a + d =  1.
Các phép biến đổi phân tuyến tính có dạng
ax  b
, a(1- a) – bc = 1,
cx  1  a
ax  b
, a(-1- a) – bc = 1.
cx  1  a

(c) n = 4: Ta có m1 = 1, 3. Do đó a + d =  2 . Ánh xạ g khi đó có dạng


21
ax  b
, a ( 2 - a) – bc = 1,
cx  2  a
ax  b
, a (- 2 - a) – bc = 1.
cx  2  a

(d) n = 5: m1 nhận các giá trị 1, 2 ,3, 4.
Tương ứng, a + d nhận các giá trị
1
1
(1  5 ); (1  5 );
2
2

1
1
(1  5);  (1  5).
2
2

2.3. Cấu trúc đồng cấu nhóm trong phƣơng trình hàm
Các bài tốn sau đây là những ví dụ minh họa về việc cấu trúc đồng cấu
nhóm xuất hiện trong đề ra và lời giải các phương trình hàm trong các đề thi IMO.
Những phương trình hàm ở đây khơng cùng kiểu với các phương trình hàm đã
giới thiệu ở trên. Rõ ràng là, nếu ta biết sử dụng các tính chất của nhóm thì lời giải
bài tốn trở nên minh bạch hơn rất nhiều. Ta xét các bài tốn sau.
2.3.1. Bài tốn (IMO 2001 (Czech)). Tìm tất cả các hàm số f :
f ( xy)  f ( x)  f ( y)    x  y  f ( x) f ( y) .

(*)

Lời giải. Cho y  1 ta có
f ( x)  f ( x)  f (1)    x  1 f ( x) f (1).

Do đó

hay

f ( x) f ( x)  f ( x) f (1)  xf ( x) f (1)  f ( x) f (1)

f ( x)  f ( x)  f (1) x   0.

f (0)  0.
Từ đó ta có
+) Nếu f (1)  0 thì f ( x)  0; x  . Thử lại thỏa mãn.

+) Nếu f (1)  C  0 thì 0  S  {x  | f ( x)  0}. Do đó suy ra
f ( x)  xf (1), x  S ; f ( x)  0, x  S.

Ta kiểm tra được rằng: Nếu x  S , y  S thì thương
Vậy

x
 S.
y



thỏa mãn


22
Cx
f ( x)  
0

x  S,
x  S,

trong đó C là hằng số thực khác 0 và S là đóng kín với phép chia hay S một nhóm
con của nhóm nhân



các số thực khác 0.

Ngược lại, với C là một hằng số thực khác 0 tùy ý cố định và S là một
nhóm con của nhóm nhân



các số thực khác 0, ta xét hàm số:
Cx
f ( x)  
0

x  S,
x  S.

Khi đó, với x, y  , ta xét tất cả các khả năng có thể xảy ra sau:
- Nếu x, y  S thì f ( x)  Cx, f ( y)  Cy . Do đó, phương trình (*) thỏa mãn.
- Nếu x, y  S thì f ( x)  0, f ( y)  0 . Do đó, phương trình (*) thỏa mãn.
- Nếu x  S , y  S thì xy  S bởi vì nếu xy  S thì từ tính chất nhóm con của
S ta sẽ suy ra y  S hay f ( x)  Cx, f ( y)  0, f ( xy)  0 . Do đó, phương trình (*) thỏa
mãn.
Vậy

Cx
f ( x)  
0

x  S,
x  S.

với C là hằng số thực khác 0 và S là một tập con của
là nhóm con của nhóm nhân



đóng kín với phép chia (S

các số thực khác 0) là những hàm số cần tìm.



Chẳng hạn, hàm số sau đây (xác định bởi S 

 2x
f ( x)  

0

x  0,
x  0.

*

, C  2 ):

hay f ( x)  2 x

là một hàm số thỏa mãn phương trình (*) đã cho. ▄
2.3.2. Bài tốn. Tìm tất cả các hàm số f :



thỏa mãn

f  f ( x  y)   f ( x) f ( y)  f ( x)  f ( y)  xy

Lời giải. Cho x = y ta thu được:
f(f(0))=(f(x))2 − x2.
Do đó

(f(x))2 = x2 + f(f(0)).