Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----------------------

ĐINH VĂN TỪ

CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG
NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
THƠNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC

Nghệ An - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----------------------

ĐINH VĂN TỪ

CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG
NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
THƠNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC 10
Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Nguyễn Đinh Hùng

Nghệ An - 2012


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
TS. Nguyễn Đình Hùng. Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc
tới thầy- người đã trực tiếp giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô giáo trong chuyên
ngành lý luận và phương pháp giảng dạy mơn tốn, Trường Đại học Vinh, đã
nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Tổ Toán-Lý-Tin
Trường THPT DTNT Quỳ Hợp và Ban Giám Hiệu Trường PTDTNT THCS
Quỳ Hợp đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian theo học và làm luận văn.
Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.
Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn khơng thể tránh khỏi những
thiếu sót cần được góp ý, sữa chữa. Tác giả rất mong nhận được những ý
kiến, nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Nghệ An, tháng 8 năm 2012
Tác giả

Đinh Văn Từ


Mục lục
Trang
Mở Đầu .................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ...............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................3
4. Giả thuyết khoa học ..........................................................................................4
5. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................4
6. Đóng góp luận văn ............................................................................................4
7. Cấu trúc luận văn ..............................................................................................4
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn ...............................................................7
1.1. Khái niệm năng lực và năng lực toán học ....................................................7
1.1.1. Năng lực ......................................................................................................7
1.1.2. Năng lực toán học .......................................................................................8
1.1.3. Năng lực giải toán .....................................................................................10
1.2. Một số thành tố của năng lực giải toán......................................................11
1.2.1. Năng lực dự đoán vấn đề ..........................................................................11
1.2.2. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ ................................................................12
1.2.3. Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự .......................13
1.2.4. Năng lực nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau ...................14
1.2.5. Năng lực phân chia trường hợp ...............................................................15
1.2.6. Năng lực suy luận lơgic ............................................................................16
1.2.7. Năng lực khái qt hố .............................................................................18
1.2.8. Năng lực diễn đạt nội dung bài toán theo những cách khác nhau ...............21
1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học ............................................21
1.3.1. Quan điểm của V. A. Krutecxki ..............................................................21
1.3.2. Quan điểm của A. N. Kôlmôgôrôv ..........................................................24


1.3.3. Quan điểm của A. I. Marcusêvich ...........................................................25
1.3.4. Quan điểm của X. I. Svacxbuốc ..............................................................26
1.3.5. Quan điểm của B. V. Gơnhedencô ..........................................................26
1.3.6. Quan điểm của UNESCO.........................................................................26
1.3.7. Quan điểm của một số tác giả khác .........................................................27
1.4. Dạy học giải bài tập tốn .............................................................................28

1.4.1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học ................................................28
1.4.2. Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau: ..................30
1.4.3. Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán ...........................................30
1.5. Một số tồn tại trong việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh.............33
Kết luận chương 1 ...............................................................................................35
Chương 2. Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh
thơng qua dạy học Hình học 10.......................................................................36
2.1. Giới thiệu nội dung chương trình hình học 10 (Ban cơ bản) ....................36
2.2. Định hướng xây dựng các biện pháp. .........................................................38
2.3. Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh thơng qua nội
dạy hoc Hình học 10 ...........................................................................................38
2.3.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.polia trong giải
toán .......................................................................................................................38
2.3.2. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng diễn đạt bài tốn dưới các ngơn ngữ
khác nhau .............................................................................................................45
2.3.3. Bồi dưỡng cho học sinh khả năng giải quyết vấn đề thông qua hoạt động biến
đổi đối tượng để nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán ..............................51
2.3.4. Rèn luyện cho học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau ...............57
2.3.5. Vận dụng lý thuyết của vùng phát triển gần nhất của Vưgôtxky để nâng
dần yêu cầu và hạ thấp yêu cầu khi cần thiết ....................................................68
2.3.6. Bồi dưỡng năng lực tự học .......................................................................73


Kết luận chương 2 ...............................................................................................86
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm ..................................................................87
3.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................................87
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ..............................................................87
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................87
3.2.2. Nội dung thực nghiệm ..............................................................................87
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ....................................................................91

3.3.1. Đánh giá định tính ....................................................................................91
3.3.2. Đánh giá định lượng .................................................................................91
Kết luận chương 3 ...............................................................................................95
Kết luận...............................................................................................................96
Tài liệu tham khảo ............................................................................................97


1
Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Ở trường phổ thơng dạy tốn là dạy hoạt động tốn học (A.A. Stơliar).
Đối với HS, có thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn
học. Các bài tốn ở trường phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và khơng
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy,
hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng tốn học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập
toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng.
Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn học có vai trị quyết định đối
với chất lượng dạy học tốn. Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng
giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năng
kiểm tra đánh giá. Khối lượng bài tập toán ở trường phổ thông là hết sức
phong phú, đa dạng. Có những lớp bài tốn có thuật giải, nhưng phần lớn là
những bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải. Đứng trước những bài tốn
đó, GV gợi ý và hướng dẫn học sinh như thế nào để giúp họ tìm ra phương
pháp giải là một vấn đề hết sức quan trọng. Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất
khó khăn bởi vì đề ra được những gợi ý hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ cịn là
nghệ thuật sư phạm của chính người giáo viên.
1.2.

Đối với HS trung học phổ thơng, kĩ năng giải tốn thường thể

hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài tốn.
Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng,
không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá
quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân mơn tốn học
khác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tịi phương
pháp giải tốt nhất cho bài tốn đặt ra.


2
Trong học toán và làm toán, việc áp dụng phương pháp, cơng cụ của
lĩnh vực tốn này vào một lĩnh vực tốn khác đơi lúc tỏ ra rất hiệu quả và đơn
giản hơn, đồng thời quá trình này cũng làm cho người học tốn hiểu rõ được
vai trị và ý nghĩa của mỗi phân môn một cách sâu sắc và cụ thể. Chẳng hạn,
trong Hình học , tính chất của các hình hình học, hình dáng, vị trí cũng như
quan hệ giữa các yếu tố trong mỗi hình được biểu thị bằng các biểu thức đại
số, biểu thức lượng giác, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình.
Chính nhờ các dạng biểu diễn này ta có thể áp dụng các phép biến đổi thuần
túy đại số để xác lập các tính chất mới giữa các yếu tố hình học, để khẳng
định sự tồn tại hay thiết lập các điều kiện tồn tại của một hình nào đó. Các
yếu tố ta thường gặp là cạnh, góc, đoạn thẳng, chu vi, diện tích… và các quan
hệ giữa chúng được cho bằng các công thức cơ bản. Trên cơ sở các công thức
này và các giả thiết được cho trong mỗi bài toán, ta lập các biểu thức mới và
sau đó ta sử dụng chủ yếu các phép biến đổi và các công cụ mạnh trong đại số
và giải tích (chẳng hạn như đạo hàm) để rút ra các kết luận cần thiết
1.3. Bồi dưỡng năng lực giải tốn có vai trị quan trọng trong việc phát
triển khả năng tư duy của học sinh, vì để giải bài tốn học sinh phải suy luận
phải tư duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải biết huy
động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng. Mối liên hệ,
dấu hiệu trong bài tốn chỉ có thể được phát hiện thơng qua q trình phân
tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh... Nguồn gốc sức mạnh của Tốn học là

ở tính chất trừu tượng cao độ của nó. Nhờ trừu tượng hố mà Tốn học đi sâu
vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có
khái qt hố, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của học
sinh được phát triển, và có những suy đốn có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa
trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy. Cũng
qua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng


3
tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển. Bởi qua
các thao tác tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định
được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hồn
thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của
người khác. Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra
hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
1.4.

Trong chương trình Hình học 10 phương pháp véc tơ có vai trị

rất quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng. Chẳng hạn có thể sử dụng
phương pháp véc tơ để xây dựng phương pháp toạ độ, các hệ thức lượng, xây
dựng các phép biến hình, phép dời hình, phép đồng dạng. Sử dụng phương
pháp véc tơ có thể giải một số bài tập tổng hợp hoặc vận dụng hệ thức lượng
trong tam giác có thể giải các bài tốn thực tế, các bài tốn quỹ tích, dựng
hình, bài tốn tam giác lượng. Hoặc có thể sử dụng nhiều vấn đề trong Hình
học 10 để phát huy khai thác, mở rộng, mở rộng, phát triển thành những bài
toán mới tương tự và khái quát hố.
Vì những lý do trên chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:
"Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh thơng qua dạy
học Hình học 10"

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh ở
bậc trong dạy học Hình học 10.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
3.1. Làm sáng tỏ khái niệm năng lực và năng lực giải toán của học sinh.
3.2. Nghiên cứu các biện pháp nâng cao năng lực giải toán của học sinh
bậc THPT.
3.3. Nghiên cứu hệ thống bài tập Hình học 10


4
3.4. Xây dựng một số biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho
học sinh THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được các biện pháp sư phạm và sử dụng các biện pháp
đó nhằm bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh trong q trình dạy
Hình học 10 thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn và đổi
mới phương pháp dạy học trường trong giai đoạn hiện nay.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học,
giáo dục học, các sách, tạp chí, các luận văn cao học..có liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu thực tiễn
Tìm hiểu thực tiễn về dạy học và biện pháp để bồi dưỡng năng lực giải
toán cho học sinh
- Thực nghiệm sư phạm
Nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của các đề xuất trong đề tài
luận văn.
6. Đóng góp luận văn
- Góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận và biện pháp bồi dưỡng năng lực
giải toán cho học sinh trong dạy học toán.

- Kết quả nghiên cứu của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn
gồm 3 chương.
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1.1.1. Năng lực .
1.1.2. Năng lực toán học.
1.1.3. Năng lực giải toán


5
1.2. Một số thành tố của năng lực giải toán
1.2.1. Năng lực dự đoán vấn đề
1.2.2. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
1.2.3. Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự
1.2.4. Năng lực nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau
1.2.5. Năng lực phân chia trường hợp
1.2.6. Năng lực suy luận logic
1.2.7. Năng lực khái qt hóa
1.2.8. Năng lực diễn đạt bài tốn theo những cách khác nhau
1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học
1.3.1. Quan điểm của V.A. Krutexki
1.3.2 Quan điểm của A. N. Kôlmôgônôp
1.3.3. Quan điểm của A.I. Marcusevich
1.3.4. Quan điểm của X.I.Vacxbuôc
1.3.5. Quan điểm của B.V.Gơnhedencô
1.3.6. Quan điểm của Unescô
1.3.7. Quan điểm của một số tác giả khác
1.4.

Dạy học giải bài tập tốn

1.4.1. Vị trí chức năng bài tập toán
1.4.2. Lời giải bài toán phải đảm bảo các yêu cầu
1.4.3. Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán
1.5. Một số tồn tại trong việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh
Chương 2: Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh
THPT thơng qua nội dung Hình học 10.
2.1. Giới thiệu nội dung Hình học 10
2.2. Định hướng xây dựng các biện pháp


6
2.3. Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thơng qua
nội dung Hình học 10.
2.3.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.polia trong
giải toán
2.3.2 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng diễn đạt bài tốn dưới các ngơn
ngữ khác nhau.
2.3.3 Bồi dưỡng cho học sinh khả năng giải quyết vấn đề thông qua
hoạt động biến đổi đối tượng để nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán.
2.3.4. Rèn luyện cho học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau
2.3.5. Vận dụng lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của Vưgotxky để
nâng dần yêu cầu và hạ thấp yêu cầu khi cần thiết
2.3.6. Bồi dưỡng năng lực giải toán bằng con đường tự học
Kết luận chương 2
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1 Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.2.2. Nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.3.1. Đánh giá định tính
3.3.2. Đánh giá định lượng
Kết luận chung về thực nghiệm
Kết luận


7

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1. Khái niệm năng lực và năng lực toán học
1.1.1. Năng lực
Kết quả nghiên cứu của các cơng trình tâm lý học và giáo dục học cho
thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động. Qua
quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ
xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới
với mức độ mới cao hơn. Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong
để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập
và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định. Dưới đây
là một số cách hiểu về năng lực:
+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả
năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [17].
+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con
người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần
thiết để hồn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [2].
+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp
ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[3]).

Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy
sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẽ, và
do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định
nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc).


8
Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như
tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thơng minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng
tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ ...
Phần lớn các cơng trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa
nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng,
tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi
cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau.
1.1.2. Năng lực toán học
Theo V. A. Krutecxki [8, tr. 13] năng lực toán học được hiểu theo 2 ý
nghĩa, 2 mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Tốn học ở trường phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội lồi người.
Giữa hai mức độ hoạt động tốn học đó khơng có một sự ngăn cách tuyệt
đối. Nói đến năng lực học tập Tốn khơng phải là khơng đề cập tới năng lực
sáng tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Tốn học một
cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài tốn khơng phức tạp lắm;
đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các
định lý, độc lập suy ra các cơng thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo
những bài tốn khơng mẫu mực ...

Với mức độ học sinh trung bình, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận NLTH
theo góc độ thứ nhất (năng lực học toán). Sau đây là một số định nghĩa về
NLTH:


9
Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân
(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động tốn
học và giúp cho việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việc
nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thứ c, kỹ năng và kỹ
xảo toán học [8, tr. 14].
Định nghĩa 2: Những năng lực học toán được hiểu là những đặc điểm
tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu
cầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì
là ngun nhân của sự thành cơng trong việc nắm vững một cách sáng tạo
Toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ
dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực tốn học [7,tr. 126].
Nói đến HS có năng lực tốn học là nói đến học sinh có trí thơng minh
trong việc học Tốn. Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm được
chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh này qua
học sinh khác. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: Các
năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển
trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy,
cần nghiên cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hình
thành, phát triển, hồn thiện năng lực.
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học.
Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và
phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao
dần về mặt năng lực tốn học vấn đề này nhà Tốn học Xơviết nổi tiếng, Viện
sĩ A. N. Kơlmơgơrơv cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh trung học

đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được tốn học trong trường trung học với
sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”.


10
1.1.3. Năng lực giải tốn
Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học. Năng lực
giải toán là một phần của năng lực toán học. Vậy năng lực giải tốn là gì và
thể hiện như thế nào?
Năng lực giải tốn là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải
quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, địi hỏi huy động khả năng tư duy
tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện.
Như vậy, một người được coi là có năng lực giải tốn nếu người đó nắm
vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải tốn và đạt được kết quả cao
so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động
giải tốn đó trong các điều kiện tương đương.
Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học
và khái niệm về năng lực giải tốn ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu
trúc của năng lực giải toán như sau:
Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài tốn và các yêu
cầu của một lời giải rõ ràng, đẹp đẽ.
Sự phát triển mạnh của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng
lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài tốn.
Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí hiệu,
ngơn ngữ tốn học. Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài tốn sang ngơn
ngữ: kí hiệu, quan hệ, phép tốn giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và
ngược lại.
Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của
năng lực giải quyết vấn đề.
Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao

trong lao động giải tốn.


11
Khả năng tìm tịi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vào
việc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ưu.
Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành một số kiến
thức mới thơng qua hoạt động giải tốn, tránh được những nhầm lẫn trong
q trình giải tốn.
Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (có
thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật tốn, hoặc thuật tốn để
giải bài tốn đó).
Có khả năng khái qt hóa từ bài tốn cụ thể đến bài tốn tổng qt, từ
bài tốn có một số yếu tố tổng qt đến bài tốn có nhiều yếu tố tổng quát,
nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ
thống hóa, đặc biệt hóa.
Bàn về năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là do thượng
đế ban cho. Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, cịn phần
nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có. Q trình học
tập học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp,
từ đó năng lực giải toán được nâng lên. Một phần do học sinh tự nâng thêm
năng lực của mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồi
dưỡng.
1.2. Một số thành tố của năng lực giải toán
1.2.1. Năng lực dự đốn vấn đề
Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một
quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra
thì ta đã làm cơng việc dự đốn. Để có dự đốn mang tính chuẩn xác cao, cần
phải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đoán
của mình.

12
Theo Đào Văn Trung mơ tả: “Dự đốn là một phương pháp tư tưởng
được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các
nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa
biết. Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [14].
Dự đoán có vai trị quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,
vậy liệu có cách nào học được dự đốn hay khơng? Theo G.Polia thì “...trừ
những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải
học tập để có được năng khiếu dự đốn đó. Q trình dự đốn có kết quả khi
phán đốn mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đốn
của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như
vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự
đoán đúng. Những dự đốn có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên
những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ khơng phải là đốn mị, càng khơng
phải là nghĩ liều” [1].
Để có năng lực dự đốn, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS
phải giải thật nhiều dạng tốn, phải biết tích luỹ kinh nghiệm. Họ cần phải
được rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng
Toán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp,
đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã
biết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự.
1.2.2. Năng lực chuyển đổi ngơn ngữ
Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải
quyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau. Một trong những
phương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngơn ngữ
của bài tốn.

13
Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng
để huy động kiến thức đối với việc giải tốn. Nó được thể hiện qua các hoạt
động như:
- Hoạt động chuyển đổi ngơn ngữ nhìn nhận một nội dung tốn học
theo mối liên hệ liên mơn: đại số hố, hình học hố, lượng giác hố,...
- Hoạt động chuyển đổi ngơn ngữ trong nội tại hình học: từ phương
pháp tổng hợp sang phương pháp giải tích (gồm có phương pháp véc tơ và
phương pháp toạ độ), hoặc phương pháp biến hình.
Việc chuyển đổi ngơn ngữ có thực hiện được hay khơng cịn phụ thuộc
vào kỹ năng phân tích bài tốn tức là bài tốn đó có thể chuyển sang được
ngơn ngữ nào, nếu là bài tốn hình học thì làm sao để chuyển sang được ngơn
ngữ véc tơ hoặc toạ độ. Tuy nhiên khơng phải bài tốn nào cũng chuyển đổi
được ngôn ngữ. Một trong các dấu hiệu để xác định xem một bài tốn hình
học có giải được bằng phương pháp véc tơ một cách thuận lợi hay không là
khả năng diễn đạt các khái niệm, các mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và
các yếu tố cần tìm ra ngơn ngữ véc tơ. Nếu sự “phiên dịch” khơng gặp khó
khăn lớn thì việc sử dụng véc tơ để giải bài tốn đó là có cơ sở.
Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh có thêm những định
hướng, những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khác
nhau.
1.2.3. Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong tốn học hai bài toán
được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc
cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống
nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau. Khai thác chức năng của bài
tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có
vai trị khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.

14
Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt
động này thể hiện trong tiến trình người giải tốn phải làm bộc lộ đối tượng
của hoạt động (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các
đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng). Những hoạt động đó là để biến
đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới
tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và
giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm của hoạt động nhận
thức. Để sự tìm tịi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để
biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể.
Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của
bài tốn với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau. Việc biến đổi đó
có thể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có của
học sinh hoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài tốn
phẳng với bài tốn khơng gian. Việc làm này thể hiện ở việc xét cái tương tự
giữa những vấn đề trong không gian đối với những vấn đề trong mặt phẳng:
cái tương tự với mặt phẳng là đường thẳng, mặt cầu là đường tròn, cái tương
tự tứ diện là tam giác,...Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem xét nó
trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần xét kĩ cái chưa biết để huy
động những kiến thức gần nhất với bài tốn đang giải hoặc ít ra là đã giải bài
tốn tương tự.
Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài tốn học sinh có thể quy
các vấn đề trong tình huống mới, các bài tốn lạ về các vấn đề quen thuộc, về
các bài toán tương tự đã giải.
1.2.4. Năng lực nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau
Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật
biện chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều
góc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau. Một bài tốn có thể ta phải

15
chuyển đổi ngơn ngữ bằng cách: đại số hố, lượng giác hố, hình học hố;
hoặc chuyển đổi trong nội tại của một ngơn ngữ như: chuyển đổi ngơn ngữ
hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véc tơ, toạ độ, biến hình. Hoặc có thể nhìn
nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau, chẳng hạn nhìn tam giác là một tứ
giác có một cạnh bằng khơng, một tứ giác có một góc bằng 180 0, cái tương tự
như tứ diện trong khơng gian,...hoặc xem xét, đặt nó trong mơi trường khơng
gian khác, chẳng hạn có thể nghiên cứu hình chóp trong hình hộp, đường trịn
trong một mặt cầu,...
Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm tốn có thói quen nhìn nhận
theo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã
có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềm
tin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài tốn đang giải đó nó cịn ẩn tàng
những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra.
1.2.5. Năng lực phân chia trường hợp
Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hố các kiến thức, cũng như khi
giải toán biện luận, ... ta cần phải phân chia một khái niệm.
Trong lôgic học, người ta quan niệm: “Phân chia khái niệm là thao tác
lôgic, chia các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thành
các nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định” [12, tr. 72].
Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại diên của khái
niệm ấy chia thành nhiều bộ phận [4, tr. 141].
Phân loại là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành những tập
hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung.
Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường khơng có sự phân biệt rõ
ràng, người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm.
Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy tắc nhất định:
+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, khơng bỏ sót;

16
+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;
+ Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để phân
chia (phân loại);
+ Phân chia phải liên tục [12, tr. 141].
1.2.6. Năng lực suy luận lôgic
Trong lôgic học người ta quan niệm rằng: “Suy luận là quá trình suy nghĩ
để rút ra một mệnh đề từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước” [5, tr. 140].
Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy luận, các mệnh đề mới rút ra
gọi là hệ quả hay kết luận của suy luận.
Một suy luận bất kỳ nói chung có cấu trúc lơgic A  B , trong đó A là
tiên đề, B là kết luận. Cấu trúc lôgic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là
cách lập luận.
Xét suy luận với cấu trúc lôgic A  B , nếu suy luận kéo theo A  B
hằng đúng thì suy luận được gọi là suy luận hợp lơgic.
Ta phải phân biệt hai hình thức suy luận: suy luận diễn dịch (suy diễn) và
suy luận quy nạp.
a) Suy luận diễn dịch (hay phép suy diễn) là suy luận theo những quy tắc
(quy tắc suy diễn) xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận
rút ra cũng đúng [4, tr. 59].
Suy luận suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng. Vậy để đảm bảo tính
chất đúng đắn của một suy diễn thì các tiền đề của suy luận phải đúng đồng
thời suy luận phải hợp lôgic.
Một suy luận hợp lôgic dạng A  B hoặc A1 A2 ...An  B được ký hiệu
là:

A A1 , A2 ,..., An
;
.
B

B


17
Một số quy tắc suy diễn thường dùng:
* Quy tắc modus ponens:

P  Q, P
Q

Quy tắc suy luận modus ponens thường được sử dụng trong chứng minh
một mệnh đề toán học bằng cách đi từ các mệnh đề đúng đã biết, suy diễn tới
mệnh đề cần chứng minh.
b) Suy luận quy nạp: chúng ta gọi các kết luận được rút ra trên cơ sở các
quan sát và thực nghiệm, tức là những kết quả nhận được bằng con đường
xem xét các trường hợp riêng và sau đó khái quát lên thành những quy luật
cho các trường hợp tổng quát gọi là suy luận quy nạp [5, tr. 142].
* Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rải để chứng minh các định lý
và giải Toán. Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được
chứng minh là đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra, do đó, mặc dù
được gọi là quy nạp, nhưng ta vẫn phải xem quy nạp hoàn toàn là suy luận
thuộc loại suy diễn [5, tr. 142].
Thật vậy, để có thể áp dụng được phương pháp suy luận này, ta phải đưa
về việc phân chia các trường hợp chung thành một số hữu hạn các trường
hợp riêng có thể có và chứng minh khẳng định đúng trong tất cả các trường
hợp riêng.
Từ những đặc điểm trên về suy luận quy nạp hoàn toàn, để tránh sự trùng
lặp nhiều, trong Luận văn chúng tôi sẽ không bàn nhiều về phát triển năng lực
suy luận lơgic ở góc độ này. Vì năng lực này được phát triển nếu chúng ta
phát triển được ở học sinh năng lực suy diễn, năng lực phân chia các trường

hợp riêng.

* Quy nạp khơng hồn tồn là phép đi từ cái đúng riêng đến kết luận cho
cái chung, đi từ một hiện tượng đơn nhất cho các hiện tượng phổ biến [5, tr.
145].


18
Đối với phép quy nạp khơng hồn tồn, đặc biệt hoá và khái quát hoá,
tương tự hoá, được xem là các thủ thuật lơgic tư duy chủ yếu, có ý nghĩa cực
kỳ quan trọng trong khi tiến hành suy luận.
Khi cần rút ra một kết luận về mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên

n  a , người ta thường dùng phép quy nạp toán học theo quy tắc sau:
Tiền đề: 1. P(n) đúng
2. Nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng với k
Kết luận: P(n) đúng với mọi n  a .
Tiền đề 1 gọi là mệnh đề cơ sở, tiền đề 2 gọi là mệnh đề quy nạp, P(k)
đúng là giả thiết quy nạp.
Theo GS. Nguyễn Cảnh Tồn: “Để đi đến cái mới trong Tốn học phải
biết được tư duy lôgic và tư duy biện chứng. Trong việc phát hiện vấn đề và
định hướng giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng giữ vai trị chủ đạo, cịn
hướng giải quyết vấn đề đã rõ thì tư duy lơgic giữ vai trị chính” [13, tr. 5].
Ngồi ra, trong q trình giải tốn, khi đứng trước một vấn đề cần giải
quyết thì hoặc phải biến đổi giả thiết và kết luận sao cho chúng xích lại gần
nhau hơn, hoặc biến đổi tìm kiếm nhiều thơng tin liên quan đến bài tốn. Có
nghĩa, vai trị của suy luận lơgic là rất quan trọng trong quá trình học và
nghiên cứu toán.
1.2.7. Năng lực khái quát hoá
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp

đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật
một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [9, tr. 55].
Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến
phương pháp tư duy khái quát. Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tơnxtơi đã
nói: “Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát
thì con người mới có thể hiểu được nó”. Khơng có khái qt thì khơng có


19
khoa học; không biết khái quát là không biết cách học. Khả năng khái quát là
khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả
năng đặc biệt” [15, tr.170].
Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái qt hố tài liệu Toán học
là thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học; điều này đã được các nhà Sư
phạm, nhà Toán học như: V. A. Krutecxki, A. I. Marcusêvich, Pellery, Tổ
chức quốc tế UNESCO, ... khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực tốn học
của mình.
Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hoá cần tập luyện cho họ
hoạt động khái quát hoá và điều cốt yếu nhất là nắm vững phương pháp khái
quát hoá. Trên tinh thần đó, để phát triển năng lực khái qt hố cho học sinh
có thể thực hiện theo các cách sau:
a) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánh
các trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp.
Khái qt hố có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên một
mức độ cao hơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biến
của các đối tượng đang xét. Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoá
phải thấy được những nét chung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt.
Hoạt động phân tích và tổng hợp bao giờ cũng diễn ra khi hoạt động so
sánh chưa tìm ra được đặc điểm bản chất – chung để khái quát hoá. Kết quả

hoạt động khái qt hố chỉ là dự đốn, vì vậy để có độ chính xác về mặt
Tốn học cần có bước chứng minh. Đường lối chứng minh kết quả khái qt
có thể tìm thấy sau q trình phân tích, q trình giải các bài tốn cụ thể
nhưng cũng có những trường hợp đường lối giải quyết bài toán cụ thể chưa
thể áp dụng để giải quyết bài toán tổng quát lúc này giáo viên cần gợi động cơ
để HS có thể tìm kiếm con đường giải quyết khác mà nó có thể giúp ích cho
việc giải quyết bài tốn tổng quát.