Bất đẳng thức hajeck renyi cho các biến ngẫu nhiên liên kết âm và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (206.05 KB, 24 trang )
1
MỤC LỤC
Mục lục
1
Mở đầu
2
1 Các kiến thức chuẩn bị
4
1.1. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. Một số dạng hội tụ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4. Luật số lớn
2 Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho các biến ngẫu nhiên liên
kết âm và ứng dụng
10
2.1. Biến ngẫu nhiên liên kết âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho các biến ngẫu nhiên liên kết âm 12
2.3. Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên liên kết âm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
. . . . . 15
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2
MỞ ĐẦU
Trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học, tính độc lập của các
biến ngẫu nhiên là một tính chất rất mạnh. Đa số các hiện tượng ngẫu
nhiên xảy ra trong đời sống thực thường phụ thuộc với nhau theo một kiểu
nào đó như phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ
thuộc theo khối, phụ thuộc âm hoặc phụ thuộc dương. Trong luận văn này,
chúng tôi nghiên cứu một kiểu phụ thuộc của các biến ngẫu nhiên đó là
liên kết âm (negative association). Khái niệm liên kết âm được đưa ra bởi
Alam và Saxena [3] năm 1981.
Từ đó đến nay, khái niệm liên kết âm đã thu hút được sự quan tâm của
rất nhiều nhà nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê tốn học. Có
nhiều định lý giới hạn được thiết lập cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm. Trong đó phải kể ra là sự hội tụ hầu chắc chắn cho dãy các biến ngẫu
nhiên liên kết âm (Newman (1984)); định lý hội tụ Kolmogorov-Khintchin
(Matula [4]); sự hội tụ đầy đủ, các bất đẳng thức mômen, luật yếu số lớn
và một số luật mạnh số lớn (Su Chun (1996), Su Chun và Qing Yongshong
(1997)).
Bất đẳng thức Hájeck-Rényi (1955) phát biểu cho các biến ngẫu nhiên
độc lập, là một bất đẳng thức quan trọng và có nhiều ứng dụng trong việc
thiết lập các luật số lớn. Kể từ khi được công bố đến nay, bất đẳng thức
này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Một số
cơng trình gần đây được đưa ra bởi Gan Shixin [6, 7].
Dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng, chúng
tôi đã chọn đề tài: Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho các biến ngẫu
nhiên liên kết âm và ứng dụng.
Trong luận văn này, thơng qua tài liệu tham khảo chính là tài liệu [4, 5],
3
chúng tơi sẽ trình bày sự mở rộng bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho các biến
ngẫu nhiên liên kết âm và sẽ sử dụng bất đẳng thức này để chứng minh
luật mạnh số lớn Marcinkiewicz và tính khả tích của supremum của các
biến ngẫu nhiên liên kết âm.
Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình
bày các kiến thức cơ sở làm nền tảng cho nội dung chính ở chương 2.
Chương 2. Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho các biến ngẫu nhiên
liên kết âm và ứng dụng. Trong chương này, chúng tơi trình bày khái
niệm về biến ngẫu nhiên liên kết âm, bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho các
biến ngẫu nhiên liên kết âm và ứng dụng trong thiết lập một số luật mạnh
số lớn.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
khoa học của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Thầy. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành
tới các Thầy Cơ giáo trong tổ Xác suất thống kê và Tốn ứng dụng của
Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q Thầy Cơ giáo Phịng Sau
đại học - Trường Đại học Vinh, ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, các bạn
bè đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên và
giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về năng lực,
kiến thức và thời gian nên luận văn khơng thể tránh khỏi các thiếu sót.
Rất mong được các ý kiến đóng góp quý báu để luận văn được hoàn thiện
hơn. Xin trân trọng cảm ơn.
Nghệ An, tháng 9 năm 2012
Tác giả
4
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1
Không gian xác suất
Giả sử Ω = ∅ và P(Ω) là họ tất cả các tập con của Ω. Mỗi họ C ⊂ P(Ω) sẽ
được gọi là một lớp.
1.1.1 Định nghĩa. Lớp A ⊂ P(Ω) được gọi là một đại số nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn:
(i). Ω ∈ A;
(ii). nếu A ∈ A thì Ac = Ω \ A ∈ A;
(iii). nếu A, B ∈ A thì A ∪ B ∈ A.
1.1.2 Định nghĩa. Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là một σ-đại số nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn:
(i). Ω ∈ F;
(ii). nếu A ∈ F thì Ac = Ω \ A ∈ F;
∞
(iii’). nếu An ∈ F với n = 1, 2, ... thì
∈ F.
n=1
1.1.3 Định nghĩa. Giả sử C ⊂ P(Ω). Khi đó, đại số (t.ư. σ-đại số) bé
nhất chứa C được gọi là đại số (t.ư. σ-đại số ) sinh bởi C, ký hiệu A(C)
(t.ư. σ(C)).
1.1.4 Định nghĩa. Giả sử (X, T ) là không gian tôpô. Khi đó σ-đại số bé
nhất chứa T được gọi là σ-đại số Borel và được ký hiệu là B(X). Điều đó
nghĩa là B(X) = σ(T ).
1.1.5 Định nghĩa. Cho F là một σ-đại số các tập con của Ω. Khi đó cặp
(Ω, F) được gọi là không gian đo.
5
1.1.6 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F) là không gian đo. Một ánh xạ P : F → R
được gọi là độ đo xác suất trên F nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i). P(A)
0 với mọi A ∈ F (tính khơng âm);
(ii). P(Ω) = 1 (tính chuẩn hóa);
(iii). nếu An ∈ F với n = 1, 2, ... và Ai ∩ Aj = ∅ (i = j), thì
∞
∞
An =
P
n=1
P(An ) (tính cộng tính đếm được).
n=1
Khi đó:
Bộ (Ω, F, P) gọi là không gian xác suất;
Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp;
σ-đại số F được gọi là σ-đại số các biến cố;
Biến cố Ω ∈ F được gọi là biến cố chắc chắn;
Biến cố ∅ ∈ F được gọi là biến cố khơng thể có;
Biến cố A = Ω \ A gọi là biến cố đối lập của biến cố A;
Nếu A ∩ B := AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc;
Không gian (Ω, F, P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu mọi tập con
của biến cố có xác suất khơng đều là biến cố.
1.2
Biến ngẫu nhiên
1.2.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ-đại số
con của σ-đại số F. Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên
G-đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì
X −1 (B) ∈ G).
Nếu X là biến ngẫu nhiên F-đo được thì ta cịn gọi X là biến ngẫu
nhiên, hay đại lượng ngẫu nhiên.
Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến
ngẫu nhiên đơn giản.
Mặt khác, ta thấy rằng X là biến ngẫu nhiên thì họ σ(X) = {X −1 (B) :
B ∈ B(R)} lập thành σ-đại số con của σ-đại số F, và σ-đại số này được
6
gọi là σ-đại số sinh bởi X. Đó là σ-đại số bé nhất để cho X đo được. Từ
đó suy ra rằng X là biến ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên.
1.2.2 Mệnh đề. X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều
kiện sau thỏa mãn:
(i). (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R;
(ii). (X
a) := (ω : X(ω)
a) ∈ F với mọi a ∈ R;
(iii). (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R;
(iv). (X
a) := (ω : X(ω)
a) ∈ F với mọi a ∈ R.
Chứng minh. Từ tính chất
B(R) = σ{(−∞, a) : a ∈ R} = σ{(−∞, a] : a ∈ R}
= σ{(a, +∞) : a ∈ R} = σ{[a, +∞) : a ∈ R},
ta suy ra trực tiếp mệnh đề trên.
1.2.3 Định nghĩa. Cho X là biến ngẫu nhiên. Khi đó hàm số
F (x) = P (X < x), x ∈ R
được gọi là hàm phân phối xác suất của X.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có các tính chất sau:
1. Khơng giảm: nếu x1 ≤ x2 thì F (x1 ) ≤ F (x2 ).
2. Liên tục trái: với mọi x0 ∈ R, F (x0 ) = lim− F (x).
x→x0
3. lim F (x) = 0, lim F (x) = 1.
x→−∞
x→+∞
1.2.4 Định nghĩa. 1. Hai biến ngẫu nhiên X1 và X2 được gọi là độc lập
nếu với mọi a1 , a2 ∈ R ta có
P ((X1 < a1 ) ∩ (X2 < a2 )) = P (X1 < a1 )P (X2 < a2 ).
2. Họ n (n ≥ 2) biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ..., Xn được gọi là độc lập nếu với
mọi a1 , a2 , ..., an ∈ R ta có
n
P(
n
(Xk < ak )) =
k=1
P (Xk < ak ).
k=1
7
3. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là độc lập đôi một nếu
2 biến ngẫu nhiên bất kì của dãy độc lập.
4. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là độc lập nếu mọi tập
con hữu hạn các biến ngẫu nhiên của dãy độc lập.
Khái niệm kỳ vọng
Kí hiệu L1 là tập tất cả các đại lượng ngẫu nhiên X : Ω → R khả tích
Lebesgue, tức là
|X|dP < ∞.
Ω
Nếu biến ngẫu nhiên X ∈ L1 ta gọi số
EX =
XdP
Ω
là kỳ vọng của X.
Các tính chất của kì vọng
1. Nếu C là hằng số thì EC = C
2. Nếu a, b ∈ R và X, Y ∈ L1 thì E(aX + bY ) = aEX + bEY .
3. Nếu X, Y ∈ L1 và X ≤ Y (h.c.c.) thì EX ≤ EY .
4. Nếu X ∈ L1 thì |EX| ≤ E|X|.
5. Nếu |X| ≤ Y (h.c.c.) và Y ∈ L1 thì X ∈ L1 .
6. Nếu {Xn , n ≥ 1} ⊂ L1 và X ∈ L1 thỏa mãn 0 ≤ Xn ↑ X thì EXn ↑ EX.
7. Nếu X và X độc lập và X, Y ∈ L1 thì E(XY ) = EX.EY .
1.2.5 Mệnh đề. 1. Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối
F (x) thì
+∞
EX =
xdF (x).
−∞
Tổng quát hơn, nếu g : R → R là hàm Borel sao cho g(X) khả tích Lebesgue
thì
+∞
Eg(X) =
g(x)dF (x).
−∞
8
1.2.6 Định nghĩa. Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Khi đó, covariance của X và Y , ký hiệu là Cov(X, Y ) được định nghĩa bởi
Cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ).
Rõ ràng là nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y ) = 0.
1.3
Một số dạng hội tụ
Phần này chúng tơi trình bày một số dạng hội tụ thường gặp trong lý
thuyết xác suất như hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo xác suất, hội tụ yếu,
hội tụ đầy đủ, hội tụ theo trung bình nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu
và chứng minh các kết quả ở chương 2.
1.3.1 Định nghĩa. Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (Xn , n ≥ 1) hội tụ đến
biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞)
• Hầu chắc chắn, nếu P
h.c.c
lim |Xn − X| = 0 = 1. Ký hiệu Xn −−→ X.
n→∞
• Theo xác suất, nếu với mọi ε > 0 thì lim P (|Xn − X| > ε) = 0. Ký
n→∞
P
→ X.
hiệu Xn −
• Đầy đủ, nếu với mọi ε > 0 thì
∞
n=1 P (|Xn
− X| > ε) < ∞. Ký hiệu
c
→ X.
Xn −
• Theo trung bình cấp p, (p > 0) nếu lim E|Xn − X|p = 0. Ký hiệu
n→∞
Lp
Xn −→ X.
• Yếu (theo phân phối), nếu limn→∞ Fn (x) = F (x), ∀x ∈ C(F ). Ký hiệu
D
Xn −
→ X. Trong đó Fn (x) và F (x) tương ứng là hàm phân phối của
các biến ngẫu nhiên Xn và X; C(F ) là tập hợp các điểm mà tại đó
F (x) liên tục.
Mệnh đề sau cho ta một số mối quan hệ giữa các dạng hội tụ trên:
h.c.c
1.3.2 Mệnh đề. 1. Xn −−→ X khi và chỉ khi với mọi ε > 0 thì
lim P
n→∞
sup |Xm − X| > ε
m≥n
= 0.
9
c
h.c.c
2. Nếu Xn −
→ X thì Xn −−→ X.
L
h.c.c
P
r
3. Nếu Xn −−→ X hoặc Xn −→
X thì Xn −
→ X.
P
D
4. Nếu Xn −
→ X thì Xn −
→ X.
D
P
5. Nếu Xn −
→ X và P (X = C) = 1, thì Xn −
→ X.
1.4
Luật số lớn
Cho dãy X1 , X2 , . . . , Xn . . . các biến ngẫu nhiên bất kỳ có kỳ vọng
EXi = ai (i = 1, 2, . . . ). Dãy {Xn , n ≥ 1} gọi là tuân theo luật yếu số lớn
nếu
X1 + · · · + Xn a1 + · · · + an P
−
−
→ 0 (khi n → ∞).
n
n
Dãy {Xn , n ≥ 1} gọi là tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại
dãy số (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho
X1 + · · · + Xn a1 + · · · + an P
−
−
→0
bn
bn
(khi n → ∞).
Nếu trong định nghĩa trên, hội tụ theo xác suất được thay bởi hội tụ
hầu chắc chắn thì dãy {Xn , n ≥ 1} gọi là tuân theo luật mạnh số lớn (luật
mạnh số lớn tổng quát).
Định lý sau đây là luật yếu số lớn Markov.
1.4.1 Định lý. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một
và thoả mãn điều kiện
1
n2
n
DXi → 0
(khi n → ∞)
i=1
thì {Xn , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn.
10
CHƯƠNG 2
BẤT ĐẲNG THỨC HÁJECK-RÉNYI CHO CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN LIÊN KẾT ÂM VÀ ỨNG DỤNG
Trong chương này chúng tơi trình bày khái niệm về biến ngẫu nhiên liên
kết âm, bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho các biến ngẫu nhiên liên kết âm
và các ứng dụng của nó vào việc thiết lập luật số lớn.
2.1
Biến ngẫu nhiên liên kết âm
Trong mục này chúng tơi trình bày khái niệm về biến ngẫu nhiên liên
kết âm cùng một số tính chất cơ bản của nó để phục vụ cho việc chứng
minh bất đẳng thức Hájeck-Rényi và các luật số lớn ở mục sau.
2.1.1 Định nghĩa. Dãy hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n}
được gọi là liên kết âm nếu
Cov{f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B)} ≤ 0
(2.1)
với mọi cặp các tập con rời nhau A, B của tập {1, . . . , n} và với mọi hàm
không giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R sao cho covariance ở
công thức (2.1) tồn tại.
Một dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi là liên kết âm
nếu với mọi n ≥ 1, dãy hữu hạn {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là liên kết âm.
Ngoài ra, chúng ta cũng đề cập đến một khái niệm yếu hơn khái niệm
liên kết âm, đó là khái niệm về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm. Nó được
phát biểu như sau:
Hai biến ngẫu nhiên X, Y được gọi là phụ thuộc âm nếu
P (X > x, Y > y) ≤ P (X > x)P (Y > y), với mọi x, y ∈ R.
11
Khi đó, hai biến ngẫu nhiên lien kết âm sẽ phụ thuộc âm. Thật vậy, giả sử
X, Y là hai biến ngẫu nhiên liên kết âm, và x, y ∈ R cố định. Từ bất đẳng
thức (2.1), ta chọn hàm
f (a) = I(a > x) =
1
0
nếu a > x
nếu a ≤ x,
g(b) = I(b > y) =
1
0
nếu b > y
nếu b ≤ y.
và hàm
Khi đó, các hàm f, g đều không giảm trên R. Từ bất đẳng thức (2.1) ta có
0 ≥ Cov(f (X), g(Y )) = E(f (X) − Ef (X))(g(Y ) − Eg(Y ))
= E(I(X > x) − P (X > x))(I(Y > y) − P (Y > y))
= E(I(X > x)I(Y > y)) − P (X > x)P (Y > y)
= P (X > x, Y > y) − P (X > x)P (Y > y).
Điều này dẫn đến P (X > x, Y > y) ≤ P (X > x)P (Y > y), hay X, Y là
các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm.
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm đơi một
nếu hai biến ngẫu nhiên bất kì là phụ thuộc âm. Từ lập luận trên, ta cũng
thấy được rằng dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm là dãy các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm đôi một.
Các tính chất sau đây được Matula [4] phát biểu cho dãy các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm đôi một, và nó cũng đúng cho dãy các biến ngẫu nhiên
liên kết âm.
2.1.2 Mệnh đề. (Matula [4], Bổ đề 1) Cho {An , n ≥ 1} là dãy các biến
cố.
1) Nếu
2) Nếu
∞
n=1 P (An ) < ∞ thì P (lim sup An )
∞
n=1 P (An ) = ∞ và P (Ak Am ) ≤
= 0.
P (Ak )P (Am ) với k = m, thì
P (lim sup An ) = 1.
2.1.3 Mệnh đề. (Matula [4], Bổ đề 2) Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một (t.ư. liên kết âm), {fn , n ≥ 1} là dãy các
12
biến ngẫu nhiên không giảm fn : R → R, khi đó {fn (Xn ), n ≥ 1} cũng là
dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một (t.ư. liên kết âm).
2.2
Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho các biến ngẫu
nhiên liên kết âm
Sự mở rộng cho bất đẳng thức Hájeck-Rényi cổ điển từ trường hợp các
biến ngẫu nhiên độc lập sang các biến ngẫu nhiên liên kết âm sẽ được chúng
tơi trình bày trong tiết này.
Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cổ điển cho biến ngẫu nhiên độc lập được
phát biểu như sau:
2.2.1 Mệnh đề. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
EXn = 0, EXn2 < ∞, n ≥ 1, và {bn , n ≥ 1} là dãy các số dương khơng
giảm. Khi đó, với
P
> 0 và với số nguyên m < n, ta có
j
i=1 Xi
max
m≤j≤n
bj
n
≥
≤
EXj2
2 +
b
j
j=m+1
−2
m
j=1
EXj2
.
b2m
2.2.2 Mệnh đề. (Matula [4], 1992) Cho (Xn )n≥1 là dãy các biến ngẫu
nhiên liên kết âm với EXi = 0, EXi2 < ∞, i ≥ 1. Khi đó, với mọi
P max(|S1 |, ..., |Sn |) >
≤
8
>0
n
EXk2 .
2
k=1
Chứng minh. Ta có
max(|S1 |, ..., |Sn |) ≤ max(0, S1 , ..., Sn ) + max(0, −S1 , ..., −Sn ),
do đó
P max(|S1 |, ..., |Sn |) >
≤ P max(0, S1 , ..., Sn ) >
+ P max(0, −S1 , ..., −Sn ) >
2
2
−2
2
−2
≤ 4 E(max(0, S1 , ..., Sn )) + 4 E(max(0, −S1 , ..., −Sn ))2
≤4
−2
E(max(S1 , ..., Sn ))2 + 4
−2
E(max(−S1 , ..., −Sn ))2 .
(2.2)
13
Ta thấy rằng
Mn := max(S1 , ..., Sn ) = X1 + max(0, X2 , X2 + X3 , ..., X2 + ... + Xn ),
và X1 với max(0, X2 , X2 + X3 , ..., X2 + ... + Xn ) là các biến ngẫu nhiên liên
kết âm. Điều này dẫn đến
EMn2 = EX12 + 2EX1 max(0, X2 , X2 + X3 , ..., X2 + ... + Xn )
+ E(max(0, X2 , X2 + X3 , ..., X2 + ... + Xn ))2
≤ EX12 + 2EX1 E max(0, X2 , X2 + X3 , ..., X2 + ... + Xn )
+ E(max(0, X2 , X2 + X3 , ..., X2 + ... + Xn ))2
≤ EX12 + E(max(X2 , X2 + X3 , ..., X2 + ... + Xn ))2 .
Tiếp tục chứng minh bằng quy nạp ta sẽ có
n
EMn2
EXk2 .
≤
k=1
Thay vai trị của Xn bởi −Xn , lập luận tương tự trên ta cũng thu được
n
2
EXk2 ,
E(max(−S1 , ..., −Sn )) ≤
k=1
kết hợp với (2.2) ta thu được điều phải chứng minh.
2.2.3 Định lý. Cho {Xn , n ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên liên kết âm với
EXn2 < ∞, n ≥ 1 và {bn , n ≥ 1} là dãy không giảm các số thực dương, khi
đó với
> 0,
P
1
max
k≤n bk
k
n
(Xi − EXi ) ≥
≤ 32
−2
i=1
j=1
σj2
,
b2j
trong đó σj2 = DXj .
Chứng minh. Đặt Sn =
n
j=1 (Xj
− EXj ), n ≥ 1. Khơng mất tính tổng
qt, đặt b0 = 0, ta có
k
Xj − EXj
Sk =
bj .
=
b
j
j=1
k
(bi − bi−1 )
=
i=1
i≤j≤k
k
j
(bi − bi−1 )
j=1
i=1
Xj − EXj
.
bj
Xj − EXj
bj
14
Chú ý rằng
1
bk
Do đó
Sk
≥
bk
⊂
k
(bj − bj−1 ) = 1.
j=1
max
1≤i≤k
i≤j≤k
Xj − EXj
≥
.
bj
Vì vậy
Sk
≥
1≤k≤n bk
max
⊂
max max
Xj − EXj
≥
bj
1≤k≤n 1≤i≤k
i≤j≤k
Xj − EXj
max
=
−
1≤i≤k≤n
bj
j
j≤k
i
⊂
max
1≤i≤k
j=1
Xj − EXj
≥
bj
2
Xj − EXj
≥
bj
.
Theo bất đẳng thức dạng Kolmogorov đối với biến ngẫu nhiên liên kết
âm (Mệnh đề 2.2.2), ta có
Sk
≥
max
k≤n bk
P
n
≤ 32
−2
j=1
σj2
.
b2j
Định lý được chứng minh.
Từ Định lý 2.2.3 trên, ta có ngay định lý Hájeck-Rényi tổng quát như
sau:
2.2.4 Định lý. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm
với EXn2 < ∞, n ≥ 1, và {bn , n ≥ 1} là dãy các số thực dương khơng giảm.
Khi đó, với
P
max
m≤k≤n
> 0 và với số nguyên m < n, ta có
k
i=1 (Xi
− EXi )
bk
n
≥
≤ 128
−2
σj2
2 +
b
j=m+1 j
m
j=1
σj2
b2m
.
15
2.3
Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên liên
kết âm
Trong mục này, chúng tơi trình bày một số ứng dụng của bất đẳng
thức Hájeck-Rényi vào việc thiết lập luật mạnh số lớn như luật mạnh số
lớn dạng Marcinkiewicz và tính khả tích của supremum của các biến ngẫu
nhiên liên kết âm.
Đầu tiên ta nhắc lại Bổ đề Kronecker mà chúng ta sẽ sử dụng.
2.3.1 Bổ đề. (Bổ đề Kronecker). Giả sử {xn , n ≥ 1} là dãy các số thực và
{bn , n ≥ 1} là dãy các số dương tăng ngặt đến +∞: 0 < b1 < b2 < ... <
∞ x
1 n
n
xk → 0 khi n → ∞.
hội tụ thì
bn → ∞. Khi đó, nếu
bn k=1
n=1 bn
2.3.2 Định lý. Cho {bn , n ≥ 1} là dãy các số thực dương không giảm và
{Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm với
n
i=1 (Xi
trong đó σn2 = DXn , n ≥ 1. Đặt Sn =
0 < r < 2, ta có
∞
2 2
n=1 σn /bn
− EXi ), n ≥ 1, khi đó, với
r
|Sn |
1) E sup
bn
n
< ∞;
2) Giả sử rằng 0 < bn ↑ ∞, khi đó Sn /bn → 0 h.c.c. khi n → ∞.
Chứng minh. 1) Ta chú ý rằng
|Sn |
E sup
bn
n
r
<∞
tương đương với
∞
P
1
sup
n
|Sn |
> t1/r dt < ∞.
bn
Theo bất đẳng thức Hájeck-Rényi, ta có
∞
P
1
|Sn |
sup
> t1/r dt ≤ 32
bn
n
∞
∞
−2/r
t
1
= 32
σn2
dt
b2n
n=1
∞
−2/r
∞
σn2
b2
n=1 n
< ∞,
t
1
dt < ∞.
16
2) Theo bất đẳng thức Hájeck-Rényi, ta có
P
1
max
m≤k≤n bk
n
k
(Xi − EXi ) ≥
≤ 128
σj2
2 +
b
j=m+1 j
−2
i=1
m
j=1
σj2
b2m
.
Điều này dẫn đến
P
1
sup
n≥m bn
n
(Xi − EXi ) ≥
= lim P
n→∞
i=1
1
max
m≤j≤n bj
j
(Xi − EXi ) ≥
i=1
∞
≤ 128
−2
σj2
b2
j=m+1 j
m
+
j=1
σj2
b2m
.
Cho m → ∞ và áp dụng Bổ đề Kronecker ta có
lim P
m→∞
1
sup
n≥m bn
n
(Xi − EXi ) ≥
= 0.
i=1
Từ đây, 2) được chứng minh.
2.3.3 Chú ý. Trong trường hợp đặc biệt, khi cho bn = 1, ta thu được Định
lý 3 của Matula [4].
2.3.4 Hệ quả. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm,
số thực dương t ∈ (0; 2), khi đó
|Sj |
P sup 1/t ≥
≤ 128
j≥m j
với ∀ > 0, m ≥ 1 và Sn =
n
j=1 (Xj
−2
2
sup σn2 · m(t−2)/t ,
2−t n
− EXj ), σn2 = DXn , n ≥ 1.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.2.4, với bj = j 1/t ta có
P
sup
j≥m
Sj
≥
j 1/t
= lim P
n→∞
max
m≤j≤n
Sj
≥
j 1/t
∞
≤ 128
−2
σj2
+
2/t
j
j=m+1
∞
≤ 128
≤ 128
−2
−2
sup σn2
n
n
m
j=1
1
j=m+1
∞
sup σn2
m
j 2/t
σj2
m2/t
m
+
j=1
1
m2/t
dx
+ m(t−2)/t
2/t
x
2
= 128 −2
sup σn2 · m(t−2)/t .
2−t n
17
2.3.5 Hệ quả. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm
với supn σn2 = C < ∞, 0 < t < 2, khi đó
Sn
→ 0 h.c.c. khi n → ∞.
n1/t
r
|Sn |
2. E sup
< ∞ với 0 < r < 2, trong đó Sn =
n1/t
n
1.
n
(Xi − EXi ), n ≥ 1.
i=1
Chứng minh. 1. Áp dụng Hệ quả 2.3.4 ta có
P
sup
j≥n
|Sj |
≥
j 1/t
2
sup σn2 · n(t−2)/t
2−t n
2C
· n(t−2)/t → 0 khi n → ∞.
= 128 −2
2−t
≤ 128
−2
Kết hợp với Mệnh đề 1.3.2 (1) ta suy ra được
Sn
→ 0 h.c.c. khi n → ∞.
n1/t
2. Ta chú ý rằng
|Sn |
E sup
n1/r
n
r
<∞
tương đương với
∞
P
1
sup
n
|Sn |
> t1/r dt < ∞.
1/r
n
Theo bất đẳng thức Hájeck-Rényi, ta có
∞
P
1
|Sn |
sup 1/r > t1/r dt ≤ 32
n n
∞
∞
−2/r
t
1
∞
≤ 32C
n=1
1
n2/r
σn2
dt
n2/r
n=1
∞
t−2/r dt < ∞.
1
Hệ quả hoàn toàn được chứng minh.
Các kết quả sau đây thuộc về Matula [4], chúng được phát biểu cho các
biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi một, và tất nhiên nó cũng đúng cho các
biến ngẫu nhiên liên kết âm.
18
2.3.6 Mệnh đề. (Matula [4], Bổ đề 3) Cho {Xn , ≥ 1} là dãy các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm đôi một và {an , n ≥ 1} là dãy các số nguyên dương.
Đặt Sn =
n
i=1 Xn .
Nếu
Sn
an−1
→ 0 h.c.c. và sup
≤ M < ∞ với M ∈ R,
an
n≥1 an
khi đó
∞
n=1 P (|Xn |
≥ an ) < ∞.
Chứng minh. Từ Sn /an → 0 h.c.c. và giả thiết về dãy an ta suy ra
Sn an−1 Sn−1
Xn
=
−
.
→ 0 h.c.c.
an
an
an an−1
Đặt Xn+ = max(0, Xn ), Xn− = max(0, −Xn ), ta thấy rằng Xn+ /an → 0
h.c.c. và Xn− /an → 0 h.c.c. Từ Mệnh đề 2.1.3 ta suy ra {Xn+ , n ≥ 1} và
{Xn− , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một. Đặt
An = (Xn+ > an /3), Bn = (Xn− > an /3), n ∈ N.
Ta có
P (Ak Am ) ≤ P (Ak )P (Am ) với k = m
và
P (Bk Bm ) ≤ P (Bk )P (Bm ) với k = m.
∞
+
n=1 P (Xn
Theo Mệnh đề 2.1.2, nếu
> an /3) = ∞, thì P (lim sup An ) = 1,
điều này mâu thuẫn với Xn+ /an → 0 h.c.c., do đó
Tương tự,
∞
−
n=1 P (Xn
∞
+
n=1 P (Xn
> an /3) < ∞.
≥ an /3) < ∞. Ta có
∞
∞
P (Xn+ + Xn− ≥ an )
P (|Xn | ≥ an ) =
n=1
n=1
∞
∞
P (Xn+
≤
n=1
P (Xn− > an /3) < ∞.
> an /3) +
n=1
Mệnh đề được chứng minh.
2.3.7 Mệnh đề. (Matula [4], Định lý 1) Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối. Khi đó, Sn /an → a h.c.c.
với số a ∈ R, khi và chỉ khi E|X1 | < ∞. Nếu E|X1 | < ∞ thì a = EX1 .
19
Sử dụng Định lý 2.3.2, ta sẽ thu được luật mạnh số lớn dạng Marcinkiewicz
cho biến ngẫu nhiên liên kết âm sau đây:
2.3.8 Định lý. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm
cùng phân phối.
1) Nếu E|X1 |t < ∞ với t ∈ (0; 1) nào đó, thì
n
i=1 Xi
n1/t
→ 0 h.c.c.
2) Nếu E|X1 |t < ∞ với t ∈ [1; 2) nào đó, thì
n
i=1 (Xi −
n1/t
EXi )
→ 0 h.c.c.
3) Ngược lại, nếu mệnh đề 1) và 2) ở trên đúng, thì E|X1 |t < ∞ với
t ∈ (0; 2) nào đó.
Chứng minh. Phương pháp chứng minh ở đây là tương tự như phương pháp
chứng minh luật mạnh số lớn Marcinkiewicz cổ điển cho các biến ngẫu nhiên
độc lập cùng phân phối. Do đó, chúng tơi sẽ nêu các ý chứng minh chính
mà khơng đi vào chi tiết.
Chứng minh khẳng định 1) và 2): Khi t = 1, ta thu được luật mạnh
số lớn Kolmogorov (xem Định lý 1 của Matula [4] hoặc Mệnh đề 2.3.7). Do
đó ta chỉ chứng minh khẳng định 2) khi t > 1.
Giả sử E|X1 |t < ∞ với 0 < t < 2 và t = 1. Để chứng minh khẳng định
1), ta chỉ cần chứng minh
n
+
i=1 Xi
n1/t
→ 0 h.c.c.
(2.3)
n
−
i=1 Xi
n1/t
→ 0 h.c.c.
(2.4)
và
là đủ.
Để chứng minh khẳng định 2), ta chỉ cần chứng minh
n
+
i=1 (Xi −
n1/t
EXi+ )
→ 0 h.c.c.
(2.5)
20
và
n
−
i=1 (Xi −
n1/t
EXi− )
→ 0 h.c.c.
(2.6)
là đủ, trong đó Xi+ = max(Xi , 0), Xi− = max(−Xi , 0).
Chú ý rằng {Xi+ , i ≥ 1}, {Xi− , i ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên liên kết âm
(xem Mệnh đề 2.1.3), ta chỉ cần chứng minh cho (2.3) và (2.5), còn (2.4)
và (2.6) là tương tự.
Đặt Yi = Xi+ ∧ n1/t , i = 1, ..., n. Theo Mệnh đề 2.1.3 thì {Yi , 1 ≤ i ≤ n}
là các biến ngẫu nhiên liên kết âm cùng phân phối.
Chú ý rằng E|X1 |t < ∞ kéo theo
∞
n=1 P (|X1 |
> n1/t ) < ∞, mặt khác
P (Yi = Xi+ ) = P (Xi+ ∧ n1/t = Xi+ )
= P (Xi+ > n1/t )
= P (X1+ > n1/t )
≤ P (|X1 | > n1/t ).
Vì vậy
∞
P (Yi = Xi+ ) < ∞,
i=1
do đó
P (Yi = Xi+ i.o.) = 0.
(2.7)
Đầu tiên ta sẽ chứng minh
n
i=1 EYi
n1/t
→ 0 với 0 < t < 1.
(2.8)
21
Thật vậy, ta có
∞
n=1
EYn
=
n1/t
∞
n−1/t EX1+ I(X1+ ≤ n1/t ) + n1/t P (X1+ > n1/t )
n=1
∞
=
∞
n
−1/t
n=1
∞
≤
EX1+ I(X1+
1/t
P (X1+ > n1/t )
≤n )+
n=1
∞
n
n
−1/t
n=1
∞
EX1+ I((k
1/t
− 1)
<
X1+
≤k
P (|X1 | > n1/t )
)+
n=1
k=1
∞
n−1/t + E|X1 |t
EX1+ I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t )
≤
1/t
n=k
k=1
∞
k 1−1/t EX1+ I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t
≤C
k=1
∞
E(X1+ )t I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t
≤C
k=1
≤ CE|X1 |t < ∞.
Theo Bổ đề Kronecker, ta thu được (2.8).
Tiếp theo ta có
|EXn+ − EYn | ≤ EXn+ I(Xn+ > n1/t ) + n1/t P (Xn+ > n1/t ),
tương tự như trên, ta cũng chứng minh được
∞
n−1/t |EXn+ − EYn | < ∞.
n=1
Theo Bổ đề Kronecker ta có
n
+
i=1 (EXi
n1/t
− EYi )
→ 0 với 1 < t < 2.
(2.9)
Từ (2.7), (2.8) và (2.9), ta chỉ còn phải chứng minh
n
i=1 (Yi −
n1/t
EYi )
→ 0 h.c.c.
(2.10)
22
là đủ. Từ Định lý 2.3.2, cho bn = n1/t , ta có
∞
∞
n
−2/t
2
E|Yn − EYn | ≤ C
n=1
∞
n
−2/t
EYn2
n−2/t E(X1+ ∧ n1/t )2
=C
n=1
n=1
∞
∞
n−2/t E(X1+ )2 I(X1+ ≤ n1/t ) +
≤C
n=1
∞
n=1
n
n−2/t
≤C
n=1
∞
E(X1+ )2 I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t
k=1
∞
E(X1+ )2 I((k
=C
P (X1+ > n1/t )
1/t
− 1)
<
X1+
≤k
1/t
n−2/t + E|X1 |t
)
k=1
∞
n=k
k 1−2/t E(X1+ )2 I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t
≤C
k=1
∞
k 1−2/t · k −1+2/t E(X1+ )t I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t
≤C
k=1
≤ CE|X1 |t < ∞.
Điều này kết thúc chứng minh khẳng định 1) và 2).
Chứng minh khẳng định 3): Cho an = n1/t , áp dụng Mệnh đề 2.3.6
ta có
∞
P (|Xn | ≥ n1/t ) < ∞,
n=1
kết hợp với {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối ta suy
ra
∞
P (|X1 |t ≥ n) < ∞,
n=1
điều này dẫn đến E|X1 |t < ∞.
23
KẾT LUẬN
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
1. Trình bày lại một số kiến thức cơ bản về xác suất và biến ngẫu nhiên
thực.
2. Trình bày khái niệm về biến ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm
và các tính chất cơ bản của nó.
3. Trình bày chứng minh bất đẳng thức Háeck-Rényi cho các biến ngẫu
nhiên liên kết âm và ứng dụng trong việc chứng minh luật mạnh số lớn
Marcinkiewicz.
24
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội.
[2] Trần Đình Hữu (2011), Các bất đẳng thức đối với tổng các biến ngẫu
nhiên liên kết âm và ứng dụng, LV. Thạc sĩ Toán học, ĐH Vinh.
[3] K. Alam, K.M. Saxena (1981), Positive dependence in multivariate
distributions, Comm. Statist. A. Theory Methods, 10 (12), 1183-1196.
[4] P. Matula (1992), A note on the almost sure convergence of sums of
negatively dependent random variables, Statist. Probab. Lett., 15(3),
209-213.
[5] J. Liu, S. Gan and P. Chen (1999), The Hájeck-Rényi inequality for
the NA random variables and its application, Statist. Probab. Lett.,
43, 99-105.
[6] Gan Shixin (1997), The Hájeck-Rényi inequality for Banach space
valued martingales and the p-smoothness of Banach space, Statist.
Probab. Lett., 32, 245-248.
[7] Gan Shixin (1997), The Hájeck-Rényi inequality for Banach space valued random variables sequences and its application, Wuhan Uni. J.
Natural Sci., 2, 13-18.
