Luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (614.32 KB, 26 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN HỌC
------------------
LÊ THỊ THƯƠNG HUYỀN
LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN ĐỘC LẬP THEO HÀNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH TOÁN - TIN HỌC ỨNG DỤNG
Khóa luận tốt nghiệp
1
Vinh, tháng 5 năm 2012
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TỐN HỌC
------------------
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN ĐỘC LẬP THEO HÀNG
Người hướng dẫn : ThS. Dương Xuân Giáp
Người thực hiện : Lê Thị Thương Huyền
Lớp
: 49B - Toán - Tin học ứng dụng
MSSV
: 0851095196
Vinh, tháng 5 năm 2012
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
3
MỤC LỤC
Lời nói đầu
1
Chương 1. Kiến thức cơ sở
3
1.1. Cơ sở xác suất……………………………………………………. 3
1.2. Các biến ngẫu nhiên độc lập………………………………………6
1.3. Luật số lớn ………………………………………………………...6
Chương 2. Luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên độc lập
theo hàng
10
2.1. Giới thiệu..………………………………………………………..10
2.2. Luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng .….11
Kết luận
20
Tài liệu tham khảo
21
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
4
LỜI MỞ ĐẦU
Luật số lớn đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất. Luật số
lớn đầu tiên do James Bernoulli công bố năm 1713. Về sau kết quả này được
Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov…mở rộng. Trong những năm qua có
một số hướng nghiên cứu Luật số lớn là mở rộng các kết quả về Luật số lớn
trong trường hợp dãy (một chỉ số) ra cho trường hợp nhiều chỉ số. Smythe
(1972) đã thu được Luật mạnh số lớn Kolmogolov cho dãy nhiều chỉ số các
biến ngẫu nhiên. Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với dãy nhiều
chiều được Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập. Thời gian gần đây có nhiều
báo cáo nghiên cứu trong trường hợp hai chỉ số cho biến ngẫu nhiên nhận giá
trị thực (Hong and Volodin (1999), L.V.Thanh (2005), N.V.Quang and
N.N.Huy (2008) hoặc nhận giá trị trên không gian Banach (N.V.Quang and
L.H.Son (2006), Rosalsky and L.V.Thanh (2006), N.V.Quang and N.V.Huan
(2008)). Trên cơ sở đọc hiểu và tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúng tơi nghiên
cứu đề tài “ Luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng”.
Khóa luận được chia làm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu
một số khái niệm cơ sở liên quan chính đến nội dung của chương sau. Cụ thể,
chúng tơi trình bày các khái niệm và tính chất cơ sở của lý thuyết xác suất:
biến ngẫu nhiên, các dạng hơi tụ…, tiếp theo đó chúng tơi trình bày về tính
độc lập của các biến ngẫu nhiên. Cuối cùng là khái niệm và một số tính chất
về luật số lớn.
Chương 2. Luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo
hàng. Trong chương này, chúng tôi đưa ra các định lý, các hệ quả về Luật số
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
5
lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng và chúng tôi cũng đã
chứng minh Định lý 2.2.3 [13], định lý quan trọng nhất của chương.
Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
của ThS.Dương Xuân Giáp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy
về sự nhiệt tình hướng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt q trình hình thành
khóa luận. Nhân dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa
Toán, các thầy cơ giáo trong khoa Tốn trường Đại học Vinh, gia đình và bạn
bè đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả được học tập và hoàn thành khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song khóa luận khơng tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cơ
giáo và các bạn đọc để khóa luận được hồn thiện hơn.
Sinh viên
Lê Thị Thương Huyền
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
6
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Cơ sở xác suất
1.1.1 Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa. Giả sử ( , , ) là không gian xác suất, g là - đại số con
của - đại số . Khi đó ánh xạ X : được gọi là biến ngãu nhiên g- đo
được nếu nó là ánh xạ g/ ( ) đo được (tức là với mọi B ( ) thì
X 1 (B) g).
Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị, thì nó được gọi là biến
ngẫu nhiên đơn giản.
Biến ngẫu nhiên còn được gọi là đại lượng ngẫu nhiên.
Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên - đo được, thì X
được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên.
1.1.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
1.1.2.1 Phân phối xác suất
Định nghĩa. Giả sử ( , , ) là không gian xác suất, X : là
biến ngẫu nhiên. Khi đó hàm tập
X : ( )
B X (B) = ( X 1 (B))
được gọi là phân phối xác suất của X.
1.1.2.2 Hàm phân phối
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
7
Định nghĩa. Giả sử ( , , ) là không gian xác suất, X : là
biến ngẫu nhiên. Khi đó, hàm số F X (x) = (X < x) = ( : X( )< x) được gọi
là hàm phân phối của X.
1.1.3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
1.1.3.1 Kì vọng
Định nghĩa. Giả sử X : ( , , ) ( , ( )) là biến ngẫu nhiên. Khi
đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo (nếu tồn tại) được gọi là kì vọng
của X và ký hiệu là EX.
Vậy
EX = XdP .
Nếu tồn tại E|X| p < (p > 0), thì ta nói X khả tích bậc p. Đặc biệt, nếu
E|X|< , thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.
1.1.3.2 Phương sai
Định nghĩa. Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, số DX := E(X-EX) 2
(nếu tồn tại) được gọi là phương sai của X.
1.1.3.3 Mode
Khái niệm mode được định nghĩa riêng rẽ cho cả hai trường hợp biến
ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục.
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì giá trị x 0 được gọi là mode của X,
nếu X có xác suất lớn nhất tại x 0 .
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x) thì giá trị x 0 được
gọi là mode của X, nếu p(x) đạt giá trị lớn nhất tại x 0 .
Nếu x 0 là mode của X thì ta ký hiệu x 0 = mod X.
1.1.3.4 Phân vị cấp p
Số x p (0 < p < 1) được gọi là phân vị cấp p của hàm phân phối F(x) của
biến ngẫu nhiên X nếu
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
8
F(x p ) p và F(x p +0) p
(F(x p +0) = lim F(x)).
X
x p
Rõ ràng, nếu F(x) là hàm liên tục thì F(x p ) =p.
Nếu p =
1
thì x p = x 1 được gọi là trung vị hay median của X và được ký hiệu
2
2
là m(X).
1.1.3.5 Moment, hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn
Giả sử X là biến ngẫu nhiên, khi đó số m k =EX k (nếu tồn tại) được gọi
là moment cấp k của X, còn số k = E(X-EX) k (nếu tồn tại) được gọi là
moment trung tâm cấp k của X.
Như vậy, moment cấp 1 chính là kì vọng, cịn moment trung tâm cấp 2
chính là phương sai.
Số
S=
3
3
2
2
được gọi là hệ số bất đối xứng của X.
Số
E=
4
-3
22
được gọi là hệ số nhọn của X.
1.1.4 Các dạng hội tụ
Định nghĩa. Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (X n , n 1) hội tụ dến biến
ngẫu nhiên X (khi n )
Hầu chắc chắn nếu P( lim
|X n -X| = 0) =1.
n
.c.c
X.
Ký hiệu X n h
Theo xác suất nếu với mọi >0 thì
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
9
lim P(|X n -X | > ) =0 .
n
P
Ký hiệu X n
X.
Đầy đủ nếu mọi >0 thì
P(| X
n 1
n
X | ) .
C
Ký hiệu X n
X.
Theo trung bình cấp p, (p > 0) nếu lim
E|X n -X| p = 0.
n
£
Ký hiệu X n
X.
p
Yếu (theo phân phối) nếu
lim F n (x) = F(x)
n
x C(F).
Trong đó F n (x) và F(x) tương ứng là hàm phân phối của các biến
ngẫu nhiên X n và X; C(F) là tập hợp các điểm mà tại đó F(x) liên
tục.
D
Ký hiệu X n
X.
Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ với xác suất 1; hội tụ theo trung
bình cấp p cịn được gọi là hội tụ trong £ p .
1.2 Các biến ngẫu nhiên độc lập
Định nghĩa. Giả sử ( ,F, ) là không gian xác suất. Họ các lớp biến
cố (C i ) iI (C i F) được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi A i C i ,
họ các biến cố (A i ) iI độc lập (độc lập đôi một).
Họ các biến ngẫu nhiên (X i ) iI được gọi là độc lập (độc lập đôi một)
nếu họ - đại số ( (X i )) iI độc lập (độc lập đôi một).
1.3 Luật số lớn
1.3.1 Luật yếu số lớn
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
10
Định nghĩa 1.3.1.1. Cho dãy X 1 , X 2 ,...,X n ,...các biến ngẫu nhiên bất kỳ
có kỳ vọng EX i = a i (i=1, 2, ...). Dãy (X n , n 1) gọi là tuân theo luật yếu số
lớn nếu
X 1 X 2 ... X n a1 ... a n p
0
n
n
(khi n ).
Dãy (X n , n 1) gọi là tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại
dãy số (b n ), 0 < b n sao cho
X 1 ... X n a1 ... a n p
0
bn
bn
(khi n ).
Nếu trong định nghĩa trên, hội tụ theo xác suất thay bởi hội tụ hầu chắc
chắn thì dãy (X n , n 1) gọi là tuân theo luật mạnh số lớn (luật mạnh số lớn
tổng quát).
Định lý 1.3.1.2. (Bất đẳng thức Chebyshev). Giả sử X là biến ngẫu
nhiên bất kỳ. Khi đó nếu tồn tại DX thì với mọi >0, ta có
P(|X-EX| )
DX
2
,
>0.
Chứng minh. Xem [1], Định lý 1, trang 98.
Định lý 1.3.1.3. (Markov). Nếu (X n , n 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc
lập đôi một và thỏa mãn điền kiện
1
n2
n
DX
i 1
i
0
(khi n )
thì (X n , n 1) tuân theo luật yếu số lớn.
Chứng minh. Xem [1], Định lý 2, trang 99.
Hệ quả 1.3.1.4. Giả sử (X n , n 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi
một sao cho EX i = a và DX i C với mọi i=1, 2, …Khi đó (X n , n 1) tuân
theo luật yếu số lớn và trung bình cộng X n
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
1 n
X i hội tụ theo xác suất tới a.
n i 1
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
11
Chứng minh. Xem [1], Hệ quả 1, trang 100.
1.3.2 Luật mạnh số lớn
Bổ đề sau đây thường hay được sử dụng khi nghiên cứu các luật mạnh
số lớn
Bổ đề 1.3.2.1. (Kronecker). Giả sử (x n , n 1 ) là dãy các số thực và
(b n , n 1 ) là dãy số dương tăng đến + (0 < b 1 < b 2 <…< b n ). Khi đó,
nếu
xn
b
n 1
hội tụ, thì
n
1
bn
n
x
k 1
k
0
(khi n ).
Chứng minh. Xem [1], Bổ đề, trang 101.
Định lý 1.3.2.2. (Kolmogorov). Giả sử (X n , n 1) là dãy biến ngẫu
nhiên độc lập, 0 < b n .Khi đó, nếu
1
bn
n
(X
k 1
k
EX k ) 0
n 1
DX n
, thì
bn2
h.c.c.
Chứng minh. Xem [1], Định lý, trang 102.
Hệ quả 1.3.2.3. Nếu (X n , n 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và
sup n DX n = C < + thì
1 n
( X i EX i ) 0
n i 1
h.c.c
(khi n ).
1.3.3. Luật số lớn cho dãy cùng phân phối
Trong trường hợp dãy (X n , n 1) cùng phân phối, ta có kết quả sau
Định lý 1.3.3.1. (Etemedi). Giả sử (X n , n 1) là dãy biến ngẫu nhiên
độc lập đơi một, cùng phân phối. Khi đó, nếu E|X 1 | < thì
1 n
X i EX 1 (h.c.c).
n i 1
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
12
Khóa luận tốt nghiệp
Ngược lại, nếu (X n , n 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân
phối và
1 n
X i hội tụ hầu chắc chắn đến hằng số C hữu hạn nào đó thì
n i 1
E|X 1 | < và C = EX 1 .
Chứng minh. Xem [1], Định lý, trang 103.
Hệ quả 1.3.3.2. (Luật số lớn Chebyshev-Khinchin). Giả sử (X n , n 1)
là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối; E|X| n < , EX n =a
(hữu hạn) ( n ). Khi đó (X n , n 1) tuân theo luật số lớn
X 1 X 2 ... X n P
a
n
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
(khi n ).
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
13
CHƯƠNG 2
LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
ĐỘC LẬP THEO HÀNG
2.1 Giới thiệu
Xét dãy các biến ngẫu nhiên độc lập { X n : n = 1, 2, …}.Trong Hsu and
Robbins [5], chúng ta nói dãy { X n } hội tụ đầy đủ về 0 nếu > 0, ta có
P[| X
n 1
n
| ] .
Theo bổ đề Borel-Cantelli, hội tụ đầy đủ là hội tụ hầu chắc chắn. Điều
ngược lại có thể khơng đúng, ngoại trừ trường hợp đó là các biến ngẫu nhiên
độc lập. Theo luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund [9], nếu { X n } là một dãy
các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với EX 1 = 0 và nếu 1 p <2, thì
1
n1 p
n
X
k 1
k
.c .c
h
0
(khi n )
(1.1)
nếu và chỉ nếu
E|X 1 | p < .
(1.2)
Trên thực tế, sự tương đương của (1.1) và (1.2) trong trường hợp p = 1
đã được chứng minh bởi Kolmogorov [8].
Zaman và Zaman [13] đã đưa ra một ví dụ như sau: Cho mảng {X nk }
gồm các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, có phân phối ổn định bậc
, 1< <2, kỳ vọng 0. Ví dụ đó đã chỉ ra rằng với bất kì 1
E|X 11 | p < nhưng
1
n1 p
n
X
k 1
nk
0
(không hội tụ h.c.c về 0).
(1.3)
Điều kiện (1.3) có thể thu được từ Erdos [4] (Hệ quả 2) nơi mà nó chỉ
ra rằng hội tụ đầy đủ trong (1.1) cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập,
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
14
cùng phân phối nếu và chỉ nếu E|X 1 | 2 p < . Cho mảng {X nk } gồm các biến
ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, sự hầu chắc chắn trong (1.3) là tương
đương hội tụ đầy đủ. Hơn thế nữa, với mỗi n và >0, thì
P[|
1
n1 p
n
X nk |> ] = P[|
k 1
1
n1 p
n
X
k 1
k1
|> ]
với giả thiết là độc lập, cùng phân phối. Do đó, kết quả sau đây có thể dễ dàng
thu được.
Định lý 2.1. Cho {X nk } là một mảng các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng
phân phối mà EX 11 = 0 và cho 1 p < 2. Thì,
1
n1 p
n
X
k 1
nk
(khi n )
C
0
(1.4)
nếu và chỉ nếu E|X 11 | 2 p < .
Trong khóa luận này, chúng tơi xét mảng:
{X nk : k=1, 2, …, n; n=1, 2, …} gồm các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng
sao cho với n và k
EX nk = 0
(1.5)
và dãy {X nk } bị chặn đều bởi biến ngẫu nhiên X, với
E|X| 2 p < ,
1 p < 2.
(1.6)
Chúng ta nhớ lại rằng, một mảng {X nk } các biến ngẫu nhiên được gọi là bị
chặn đều bởi biến ngẫu nhiên X nếu với n và k và t , t > 0
P[|X nk |>t] P[|X|>t].
2.2 Luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng
Bổ đề 2.2.1. Với r 1, E|X| r < nếu và chỉ nếu
n
r 1
P[| X | n] .
n 1
Chính xác hơn,
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
15
r2
r
n 1
n 1
n r 1 P[| X | n] E | X |r 1 r 2 r n r 1 P[| X | n] .
Bổ đề 2.2.1 với r =1 có ở trong các sách giáo khoa và đã được chứng
minh một cách tổng quát bởi Jain [7].
Bổ đề 2.2.2. Nếu r 1 và p>0, thì
n1 p
E (| X | I [| X |n1 p ] ) r t r 1 P[| X ] t ]dt
r
(2.1)
0
và
E (| X | I [| X |n1 p ] ) n1 p P[| X | n1 p ]
P[| X | t ]dt .
(2.2)
1 p
n
Bổ đề 2.2.2 có thể sử dụng bằng cách sử dụng tích phân từng phần và
chứng minh của nó là ở trong một báo cáo kĩ thuật của Hu, Moricz và Taylor
[6].
Định lý 2.2.3 được nêu sau đây sẽ thu được (1.4) cho các biến ngẫu
nhiên khơng cùng phân phối, khi khơng có giả thiết độc lập giữa các hàng của
mảng được thực hiện. Hơn nữa, theo Định lý 2.1 đó là kết quả tốt nhất có thể.
Định lý 2.2.3. Cho {X nk } là một mảng các biến ngẫu nhiên độc lập
theo hàng sao cho (1.5) được thỏa mãn và {X nk } bị chặn đều bởi biến ngẫu
nhiên X, thỏa mãn (1.6). Khi đó (1.4) đúng.
Chứng minh:
Để chứng minh Định lý 2.2.3 chúng ta sử dụng Bổ đề 2.2.1, Bổ đề 2.2.2
và kĩ thuật chặt cụt được cung cấp bởi các điều kiện thời điểm (1.6). Định
nghĩa:
Ynk X nk I [| X
(k= 1, 2, …, n; n= 1, 2, …).
1 p
]
nk | n
(2.3)
Sau đó, theo Bổ đề 1 (với r = 2),
n
P[ X
n 1 k 1
nk
Ynk ]
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
16
n
P[| X nk | n1 p ] nP[| X | n1 p ]
n 1 k 1
n 1
nP[| X | p n] 2 E | X | 2 p .
n 1
tiếp đó, với > 0 bất kì,
P[|
n 1
1 n
1
X nk 1 p
1 p
n k 1
n
n
n
Y
k 1
nk
| ]
n
P[ [ X nk Ynk ]] P[ X nk Ynk ] .
n 1
k 1
n 1 k 1
Do đó,
|
1
n1 p
n
X nk
k 1
1
n1 p
n
Y
k 1
nk
C
|
0
(khi n ),
(2.4)
và nó cũng đủ để chứng minh rằng
1
n1 p
n
Y
k 1
nk
(khi n ).
C
0
(2.5)
Để đạt được điều này, ta xét dãy:
Z nk Ynk EYnk
(k=1, 2, …, n; n= 1, 2, …).
Sau đó, với 1 q 2 p chúng ta có bất đẳng thức Holder như sau:
( E | Z nk | q )1 q 2( E | Ynk | q )1 q 2( E | Ynk | 2 p )1 ( 2 p ) 2( E | X | 2 p )1 ( 2 p ) .
Do đó, theo (1.6),
E | Z nk | q 2 q ( E | X | 2 p ) q ( 2 p ) 2 2 p (1 E | X | 2 p ) C1 .
(2.6)
| Z nk || Ynk | | EYnk | 2n1 p .
(2.7)
Hơn nữa,
Xét kĩ thuật sau đây của Pruitt [10], ta cho số nguyên nhỏ nhất v mà:
2v 2
( 1) 1.
3 p
Ta dễ dàng nhận ra rằng v >
(2.8)
n
3
p và E ( | Z nk |) 2v là hữu hạn, sao cho:
2
k 1
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
17
n
E ( Z nk ) 2v
k 1
k1 ,...,k 2 v
n
E ( Z nk j )
j 1
với tổng được mở rộng cho bộ gồm 2v giá trị ( k1 ,..., k 2v ) với k j = 1, 2, …,n
cho mỗi j. Khơng có sự đóng góp của tổng trên miễn là có một số j với k i
k j với mọi i j, từ Z nk độc lập và EZ nk =0. Số hạng tổng quát được xét như
sau:
q 1 của k’s = 1 ,…, q m của k’s = m ;
r 1 của k’s = 1 ,…, r l của k’s = l ;
trong đó,
2 qi 2 p,
r j >2p,
(2.9)
và
m
l
i 1
j 1
qi r j 2v .
(2.10)
Rõ ràng, m+l v. Sau đó, sử dụng (2.6) và (2.7), chúng ta có thể kết luận
rằng:
m
l
m
E ( Z nqi i Z nj j ) E | Z ni | qi
i 1
r
j 1
i 1
l
E (| Z
n
j 1
j
l
l
C1ml (2n1 p )
rj 2 p
| 2 p | Z n j |
l
( rj 2 p ) ( rj
C1ml 2 j 1
n j 1
p ) 2l
rj 2 p
)
j 1
l
(rj
C1v 2 2v n j 1
p ) 2l
l
(rj
C 2 n j 1
p ) 2l
.
(2.11)
Kết hợp tất cả các kết luận cố được từ (2.11), chúng ta có thể viết:
n
E ( Z nk ) C3
*
2v
k 1
q1 ,...,qm ;r1 ,...,rl 1 ,...,
C3
m
**
E ( Z
m ; 1 ,...,l
i 1
l
qi
n i
Z )
j 1
rj
n
i
*
S
q1 ,...,qm ;r1 ,...,rl
q1 ,...,qm ; r1 ,...,rl
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
,
(2.12)
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
18
trong đó,
được mở rộng cho bộ gồm m giá trị ( q1 ,..., qm ) và bộ gồm l giá
*
trị ( r1 ,..., rl ) mà điều kiện (2.9) và (2.10) được thỏa mãn (trong trường hợp
m=0 hoặc l=0 cũng có thể xảy ra), trong khi
**
được mở rộng cho bộ gồm
(m+l) giá trị ( 1 ,..., m ;1 ,...,l ) các số nguyên khác nhau giữa 1 và n và C 3 là
một độc lập liên tục của n. Cho m+l=t. Rõ ràng, 1 t v . Chúng ta phân biệt
hai trường hợp t 2 và t = 1.
Trường hợp t 2.
Theo (2.11)
l
S q1 ,...,qm ;r1 ,...,rl C 2
**
n
( rj
p ) 2l
j 1
1 ,..., m ;1 ,...,l
l
C2 n
(rj
p ) 2l t
j 1
.
(2.13)
Bây giờ,theo (2.10) ta có:
m
1 l
1
r j 2l t (2v qi ) 2(t m) t
p j 1
p
i 1
2v 2m
2v
2
2(t m) t
t m( 2) .
p
p
p
p
(2.14)
Chúng ta phân biệt thêm hai trường hợp m = t và m t-1.
Trường hợp m = t:
Theo giả thiết 1 p<2. Còn nếu 2p<3 thì
q i =2; và nếu 2p 3 thì q i =2 hoặc 3 cho mỗi i. Do đó, trong cả hai trường hợp
thì m
2v
(kể cả l=0) và theo (2.8) ta có:
3
t m(
2
2
2v 2
2) m( 1) ( 1) 1.
p
p
3 p
Trường hợp m t-1:
(2.15)
Thì t-m 1 và thậm chí t-m 2 trong trường
hợp đặc biệt khi m=0. Do đó, ta có:
t m(
2
2
2) (t m) m( 1) 1 .
p
p
(2.16)
Bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang trường hợp t = 1.
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
19
Trường hợp t = 1:
Trong trường hợp này nhất thiết phải m = 0
và l = 1, do đó r 1 =2v và
n
2v
.
S q1 ,...,qm ;r1 ,...,rl S 0; 2v EZ nk
k 1
Sử dụng (2.1) chúng ta có được:
1
n 1
2
n
2v
n
n 1
2
2v
EZ nk
2 2v
2v p
k 1
1
2v p
2v
n
1
n
n 1
n 1
n
n1 p
k 1
0
2v t
2 v 1
n
1
n
2v p
EY
k 1
2v
nk
P[| X nk | t ]dt
n1 p
1
2vn t 2v 1 P[| X | t ]dt .
2v p
0
Cho t = n 1 p s 1 2v và áp dụng Bổ đề 2.2.1, ta được:
1
n 1
0
1 2 2v n P[| X | n1 p s1 2v ]ds
1
2 2v nP[| s 1 2v X | p n]ds
0 n 1
2
2 v 1
1
s
p v
E | X |2 p ds 22v 1
0
v
E | X |2 p .
v p
(2.17)
Sử dụng bất đẳng thức Markov và (2.12) – (2.17), chúng ta có, với >0
bất kì thì:
2
C3
2v
C3
1 p
n 1
{
n 1
1
n 2v p
k 1
EZ
v
nk
| ]
n 1
n
1
(n1 p )
E ( Z nk ) 2v
2v
2v
nk
t 2
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
1
2
t m ( 2 )
C v
(t )
p
2v2 p q ,...,q ;r ,...,r n p
}
1
m 1
l
n
n 1
t 2
{ C 2 q ,...,q
2 v 1
(t )
k 1
2v
n
k 1
n
1
( ) P[| n Z
n
;r ,...,r
m 1
l
2
t m ( 2 )
p
},
n 1
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
20
trong đó
có nghĩa là tổng được mở rộng trên bộ gồm m giá trị
(t )
(q 1 ,…,q m ) và bộ gồm l giá trị (r 1 ,…,r l ) với điều kiện (2.9) và (2.10) mà
m+l=t. Từ các số hạng trong mỗi tổng
hơn -1 thì >0, ta có:
1
n1 p
n
Z
k 1
nk
(t )
là hữu hạn và số mũ của n nhỏ
( ) .Do đó, chúng ta chứng minh được rằng:
2
(khi n ).
C
0
Chúng ta đề cập đến một vấn đề đơn giản rằng nếu { n } là một dãy các
C
biến ngẫu nhiên và { a n } là một chuỗi số mà n
0 và a n 0 thì
C
n an
0 .Vì thế theo (2.5) ta có:
1
n1 p
n
EY
k 1
nk
(khi n ).
0
Để đạt được điều này, chúng ta sẽ chứng minh rằng:
1 n
| EYnk | .
1 p
n 1 n
k 1
3
(2.18)
Theo (2.3),
Ynk X nk I [| X
1 p
]
nk | n
X nk X nk I [| X
1 p
]
nk | n
.
Từ EX nk = 0, ta có:
| EYnk | E (| X nk | I [| X
1 p
]
nk | n
).
Do đó, sử dụng (2.2) ta được:
1
n
n E(| X
3
n 1
1 p
k 1
nk
| I [| X
1 p
]
nk | n
)
1 n
1 p {n1 p P[| X nk | n1 p ] P[| X nk | t ]dt}
n 1 n
k 1
n1 p
{nP[| X | n1 p ]
n 1
n
P[| X | t ]dt} .
n1 p n1 p
Cho t n1 p s và áp dụng Bổ đề 2.2.1, chúng ta có thể kết luận rằng:
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
21
nP[| X |
3
p
n 1
n 1
1
n] n P[| X | n1 p s]ds
1 n 1
1
2 E | X | 2 p nP[| s 1 X | p n]ds 2 E | X | 2 p 2 s 2 p E | X | 2 p ds
4p
E | X |2 p ,
2 p 1
Chứng minh (2.5) thông qua (2.18) và do đó hồn thành việc chứng minh
Định lý 2.2.3.
□.
Các kết quả trước trong các tài liệu đã được sử dụng đã thay đổi các
điều kiện moment để có được luật số lớn mà thu được trong Hệ quả 2.2.4. Hệ
quả 2.2.4 chỉ ra rằng, cho một số p : 1 p < 2 và > 0, ta có
sup E| X nk | 2 p =B < ,
(2.19)
n, k
thì (1.4) thỏa mãn.Tuy nhiên, (2.19) suy ra sự tồn tại của biến ngẫu nhiên X
mà {X nk } bị chặn đều bởi X và (1.6) thỏa mãn. Do đó, Định lý 2.2.3 kéo theo
hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.2.4. Cho {X nk } là một mảng các biến ngẫu nhiên độc lập
theo hàng sao cho (1.5) và (2.19) được thỏa mãn với 1 p < 2 và > 0. Khi
đó, ta có (1.4).
Điều kiện đủ của Hệ quả 2.2.5 được suy ra từ Định lý 2.1, trong khi
điền kiện cần được suy ra từ Erdos [4]. Hệ quả 2.2.6 là một kết quả tương ứng
cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập mà không cần phải cùng phân phối.
Hệ quả 2.2.5. Cho {X k } là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng
phân phối mà EX 1 = 0 và cho 1 p < 2. Thì
1
n1 p
n
X
k 1
k
C
0
(khi n )
(2.20)
nếu và chỉ nếu E|X 1 | 2 p < .
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
22
Khóa luận tốt nghiệp
Hệ quả 2.2.6. Cho {X k } là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập mà
EX k =0 với mọi k và {X k } bị chặn đều bởi biến ngẫu nhiên X, thỏa mãn (1.6).
Khi đó, ta có (2.20).
Nhận xét 1. Trong điều kiện p =1, điều kiện đủ của Hệ quả 2.2.3 được
đưa ra bởi Hsu and Robbins [5].
Nhận xét 2. Chúng ta chỉ ra rằng các Hệ quả 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6 và cả
hai Định lý 2.1 và 2.2.3, giả thiết p < 2 là cần thiết. Quan hệ (2.2) và do đó
(1.4) có thể khơng đúng cho p = 2, thậm chí trong trường hợp bị cặn đều bởi
biến ngẫu nhiên. Các hàm Rademacher là phù hợp cho luật loga lặp.
Nhận xét 3. Xét mảng tổng quát các biến ngẫu nhiên
X 11 , X 12 ,..., X 1m1
X 21 , X 22 ,..., X 2 m2
……………...
X n1 , X n 2 ,..., X nmn
……………...
với {m n : n= 1, 2, …} là một dãy tăng các số nguyên. Trong trường hợp mảng
thông thường (tam giác), chúng ta có m n = n cho mỗi n. Chúng tôi chỉ ra rằng
kết quả của chúng tôi vẫn hợp lệ cho mảng tổng quát dãy các biến ngẫu nhiên.
Có nghĩa là, mệnh đề được nêu sau đây cho Định lý 2.2.3 có thể được chứng
minh một cách tương tự.
Mệnh đề 2.2.7. Nếu
{X nk : k 1,2,..., mn ; n 1,2,...; mn mn1 } là các biến
ngẫu nhiên độc lập theo hàng mà (1.5) được thỏa mãn và {X nk } bị chặn đều
bởi biến ngẫu nhiên X thỏa mãn (1.6) thì
1
m1n p
mn
X
k 1
nk
C
0
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
(khi n ).
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
23
KẾT LUẬN
Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo ThS.Dương Xuân Giáp, luận văn được hoàn thành, đã giải quyết các vấn
đề chính sau đây:
1. Hệ thống lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết xác
suất. Trình bày về các biến ngẫu nhiên độc lập, định nghĩa và các tính chất
quan trọng về luật số lớn.
2. Dựa vào luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund, chúng tôi mở rộng
luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, đây là phần
chính của khóa luận. Trong phần này, chúng tôi đã đưa ra hai bổ đề, Bổ đề
2.2.1 [12] và Bổ đề 2.2.2 [13] cùng với việc sử dụng kỹ thuật chặt cụt để
chứng minh Định lý 2.2.3 [13].
Một số hướng nghiên cứu tiếp theo của khóa luận:
- Trong khóa luận này, tất cả các biến ngẫu nhiên được xác định trên
không gian xác suất ( , , ). Chúng ta có thể mở rộng các kết quả
cho trường hợp không gian Banach.
- Mở rộng hướng nghiên cứu về luật mạnh số lớn cho dãy các biến
ngẫu nhiên m-phụ thuộc, luật số lớn cho mảng phù hợp các phần tử
ngẫu nhiên trong không gian Banach.
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp
24
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1]. Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia
Hà Nội.
TIẾNG ANH
[2]. A.Beck, On the strong law of large numbers. Ergodic Theory,pp.21-53.
Academic Press (New York,1963).
[3] Y.S. Chow and H. Teicher, Probability Theory, Independence,
Interchangeability, Martingales. Springer (New York-Heidelberg, 1978).
[4]. P. Erdos, On a theorem of Hsu and Robbins, Ann. Math. Statist., 20
(1949), 286-291.
[5]. P.L. Hsu and H. Robbins, Complete convergence and the law of large
numbers, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 33 (1947), 25-31.
[6]. T.-C.Hu, F. Moricz and R.L. Taylor, Strong laws of large numbers for
arrays of rowwise independent random variables. Statistics Technical Report
27. University of Georgia, 1986.
[7]. N.C. Jain, Tail probabilities for sums of independent Banach space valued
random variables, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 33 (1975), 155-166.
[8]. A.N. Kolmogorov, Uber die Summen durch den Zufall bestimmter
unabhangiger Grossen, Math. Ann. 99 (1928), 303-319 and 102 (1930), 484488.
[9]. J. Marcinkiewicz and A. Zygmund, Sur les fonctions independantes,
Fund. Math., 29 (1937), 60-90.
[10]. W.E. Pruitt, Summability of independent random variables, J. Math.
Mech., 15 (1966), 769-776.
SVTH: Lê Thị Thương Huyền
Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng
