Một số tính chất của cs môđun và môđun giả nội xạ

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LẠI TRƯỜNG DUY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
CS – MƠĐUN VÀ MƠĐUN GIẢ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 12. 2011


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LẠI TRƯỜNG DUY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
CS – MƠĐUN VÀ MƠĐUN GIẢ NỘI XẠ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An – 12.2011


3

MỤC LỤC

Trang
Các ký hiệu dùng trong luận văn

2

Lời nói đầu

3

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Tổng và tích trực tiếp các môđun ..............................................................5
1.2 Môđun con cốt yếu ...................................................................................5
1.3 Định nghĩa ................................................................................................8
1.4 Môđun đều, chiều đều ..............................................................................9
1.5 Môđun nội xạ ...........................................................................................9
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MƠĐUN VÀ MÔĐUN
GIẢ NỘI XẠ
2.1 Các điều kiện (Ci) ......................................................................................17
2.2 Một số tính chất của CS – mơđun .............................................................17
2.3 Một số tính chất của môđun giả nội xạ .....................................................20
Kết luận ...........................................................................................................33
Tài liệu tham khảo ...........................................................................................34

4

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

A  M : A là môđun con của môđun M.

A e M : A là môđun con cốt yếu của môđun M.

A  M : A là tập hợp con của tập M.
Hom  N , M  : tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M.

 : tổng trực tiếp của các môđun.
f : N  M : phép tương ứng từ N đến M.

M N : môđun thương của M trên N.

: phép nhúng.

 A : thu hẹp của  trên A.
N  M : môđun N đẳng cấu với M.



I

M  : tích Descartes của họ  M  I .

□ : kết thúc một chứng minh.

5

LỜI NĨI ĐẦU
Trong lý thuyết mơđun, hai lớp mơđun được các nhà tốn học quan tâm
nghiên cứu là lớp mơđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Để nghiên cứu cấu trúc
môđun và đặc trưng vành, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp
môđun như: CS – môđun, môđun giả nội xạ, môđun tựa nội xạ đã được nghiên cứu
bởi Chatters và Hajarnavis (1977), Bharadwaj và Tiwary (1982), S.K.Jain and
S.Singh (1975), M.L.Teply (1975), Tiwary và Pandeya (1978), Wakamatsu
(1979)... và đã đưa ra được nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyết
môđun.
Cho M và N là các R – mơđun phải, ta nói N là M – giả nội xạ nếu với
mọi môđun con A của M, với mọi đơn cấu f : A  N đều mở rộng thành đồng
cấu g : M  N .
Môđun N được gọi là giả nội xạ nếu N là N – giả nội xạ.
Hai môđun M và N được gọi là (giả) nội xạ lẫn nhau nếu

A

M là N – (giả) nội xạ và N là M – (giả) nội xạ.
Mục đích của luận văn là dựa vào tài liệu [3] ” A note on
pseudo–injective modules” của H. Q. Dinh để tìm hiểu và hệ

M

i
g

f

N

thống một số tính chất của CS – mơđun và mơđun giả nội xạ .
Cấu trúc của luận văn được chia thành 2 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ bản .
Các khái niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là tổng và tích trực
tiếp các mơđun, mơđun con cốt yếu, mơđun nội xạ, mơđun giả nội xạ…
Chương 2. Một số tính chất của CS – môđun và môđun giả nội xạ.
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Thầy,
PGS.TS. Ngơ Sỹ Tùng. Tác giả xin bài tỏ lịng biết ơn sâu sắc đối với Thầy.


6

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn q Thầy Cơ trong bộ mơn
Tốn, khoa Sau đại học của trường Đại học Vinh và ĐH Sài Gòn, Ban Giám
Hiệu, Thầy Cơ trường THCS Bình Trị Đơng và các bạn học viên cao học Toán
khoá 17 đã hỗ trợ, giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Do điều kiện hạn chế nên dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn
khơng tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được các góp ý của quý
Thầy Cô giáo, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 12 năm 2011.
Tác giả


7

CHƯƠNG 1.

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí
hiệu là 1, và tất cả các mơđun xét trên vành R đều là R – môđun trái Unita.
1.1. Tích và tổng trực tiếp các mơđun
Cho I là một tập khác rỗng. Giả sử  M  I là một họ các A – mơđun chỉ
số hóa bởi I. Ký hiệu M =



I

M  là tích Descartes của họ  M  I . Khi đó

có thể xây dựng phép cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của A với
các phần tử của M như sau:

 x I   y I   x  y I ,
a  x I   ax I .
Với mọi a  A và mọi  x I ,  y I  M . Hai phép toán vừa xác định
làm cho M trở thành một A – mơđun.
A – mơđun M như trên được gọi là tích trực tiếp của họ các A – môđun

 M  I . Nếu

M   N với mọi   I thì ta ký hiệu

Trong M =



I



I

M  bởi NI.

M  ta lấy ra tập con I M  bao gồm tất cả các phần

tử của M với các phần tử bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu hạn thành phần
có thể khác 0. Khi đó I M  là một A – môđun con của M.
A – môđun I M  được gọi là tổng trực tiếp của họ các A –
môđun  M  I . Nếu M   N với mọi   I thì ta ký hiệu I M  bởi N(I).
Nếu họ các A – môđun  M  I chỉ gồm một số hữu hạn các mơđun thì
tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nó là trùng nhau.
1.2. Mơđun con cốt yếu
1.2.1 Định nghĩa. Cho M là R – môđun trái, môđun con A của M được gọi
là môđun con cốt yếu, kí hiệu A e M , nếu với mọi môđun con X thỏa mãn


8

A  X  0 thì X = 0.

Ví dụ: Môđun nZ  e Z,  n  0 .
1.2.2. Tính chất. (1) A  e M khi và chỉ khi A  R x  0 , x  M , x  0 .
(2) Cho A  N  M thì A  e M khi và chỉ khi A  e N và N  e M .
(3) Cho A  e M và K  M thì A  K e K .
(4) Cho A  N  M . Nếu N A  e M A thì N  e M .

Chứng minh. (1) Hiển nhiên. (2) Giả sử A cốt yếu trong M, lấy môđun con X
bất kỳ của N mà A  X  0 . Do X  N nên X  M và A e M nên X = 0.
Vậy A e N . Tương tự, lấy môđun con Y bất kỳ của M mà N  Y  0 . Do
A  N nên A  Y  0 và A e M . Suy ra Y = 0. Vậy, N e M .

Ngược lại, nếu A e N và N e M thì với mơđun con X bất kì của M mà
A  X  0 . Đặt B  N  X , ta có A  B  A  N  X  A  X  0 , do
A e N nên B = 0  N  X  0 và do N e M  X  0 . Vậy A e M .

(3) Lấy X là mơđun con bất kì của K sao cho A  K  X  0 hay
A  X  0 , do A e M  X  0 . Vậy A  K cốt yếu trong K.

(4) Lấy X  M sao cho N  X  0 . Khi đó, N   A  X   A , từ đây ta
suy ra N A   A  X  A  0 . Do N A e M A nên

A  X 

A  0 hay

A  X  A . Vậy X = 0 hay N e M . □

1.2.3. Bổ đề. Cho  : N  M là đẳng cấu mơđun trên R. Khi đó mơđun con
L của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi (L) cốt yếu trong M.
Chứng minh.    Cho L e N , thì X  M sao cho   L   X  0 .
Suy ra: L   1  X    1   L   X    1  0   0 . Do L e N nên  1  X   0
 X  0 ( là đẳng cấu). Vậy   L  e M .

  Cho   L  e M , thì Y  N sao cho

L Y  0 .

9

Do  đẳng cấu   1   L    Y     1   L     1  Y    L  Y  0
   L    Y   0 . Do   L  e M nên  Y   0  Y  0 . Vậy L e N . □

1.2.4. Mệnh đề. Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con
T của M sao cho A  T e M .
Chứng minh. Đặt S   X  M : X  A  0 , vì 0  S nên S   . Ta sắp thứ
tự S theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:


X1  X 2  ...  X n  ... . Khi đó B   X i là môđun con của M và dễ thấy B là
i 1

cận trên của dãy đã cho. Lấy x  A  B , suy ra có một số k nào đó sao cho
x  X k . Từ đây ta có x  A  X k . Vậy x = 0 hay B  A  0 . Do đó, theo bổ

đề Zorn, S có phần tử tối đại là T. Ta chứng minh A  T e M .
Thật vậy, Y  M thỏa mãn  A  T   Y  0 . Ta có A  Y  0 và
T  Y  0 . Nếu có a  A và t T , y Y sao cho a  t  y thì y  a  t  A  T ,

ta suy ra y  0 và a  t  0 . Như vậy A  T  Y   0 , ta suy ra T  Y   S .
Do tính tối đại của T nên Y  0 . Vậy A  T e M . □
1.2.5. Mệnh đề. Cho B là môđun con của M, K là phần bù của B trong M thì:
(1) K đóng trong M.
(2) K  B là môđun con cốt yếu của M.
Chứng minh. (1) Giả sử có một mơđun con N của M sao cho K e N , thế thì,
nếu

N  K,

do

K  B  0,

K

tối

đại

nên

N  B  0.

Ta

có

K   N  B    K  N   B  K  B  0 , vì K e N , suy ra N  B  0 .

Điều này vô lý. Vậy, K đóng trong M . □
(2) Suy ra từ Mệnh đề 1.2.4.
1.2.6. Mệnh đề. Giả sử môđun M   M i là tổng trực tiếp các môđun M i .
iI

Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

10

(1) M là tựa nội xạ.
(2) M i là tựa nội xạ và M  I  i  là M i – nội xạ với mọi i  I .
Chứng minh. xem [7, Mệnh đề 1.18].
1.3. Định nghĩa
1.3.1. Định nghĩa. Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B
trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những mơđun con của M có giao
với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của
môđun con nào đó của M.
1.3.2. Định nghĩa. Mơđun N được gọi là bao đóng của mơđun M nếu N là mở
rộng cốt yếu tối đại của M.
Cho môđun M và N  M. Mơđun N được gọi là đóng trong M nếu N
khơng có một mở rộng thực sự trong M. Nói khác đi, N được gọi là đóng
trong M nếu với mọi môđun con K  0 của M mà N  e K thì K=N.
Ví dụ. A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M = A  B thì mơđun B
là đóng trong M.
1.3.3. Định nghĩa. Môđun U được gọi là đều nếu bất kỳ mơđun con A và
B khác 0 của U thì A  B  0, hay mọi môđun con khác không của U là
môđun cốt yếu trong U.
1.3.4. Định nghĩa. Cho môđun M và N,H  M. Môđun H được gọi là một
phần bù giao của N trong M nếu H là môđun tối đại trong các môđun con của
M thỏa mãn H  N = 0.
1.3.5. Định nghĩa. Một A – mơđun M được gọi là mơđun Noether nếu nó
thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:
(i) Mọi tập hợp khác rỗng những môđun con của M đều có một
phần tử cực đại.
(ii) Mọi dãy tăng những mơđun con của M:
M1  M 2  ...  M n  ...

11

đều dừng, nghĩa là tồn tại m để M k  M m với mọi k  m .
(iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.
Vành A được gọi là vành Noether nếu nó là một A – môđun Noether.
1.3.6. Định nghĩa. Một A – môđun M được gọi là mơđun Artin nếu nó thỏa
mãn một trong hai điều kiện sau:
(i)

Mỗi tập hợp khác rỗng những môđun con của M đều có

một phần tử cực tiểu.
(ii)

Mọi dãy giảm những môđun con của M:

M1  M 2  ...  M n  ...
đều dừng, nghĩa là M k  M k 1 với mọi k đủ lớn.

Vành A được gọi là vành Artin khi nó là một A – môđun Artin.
1.4. Môđun đều, chiều đều
Môđun M được gọi là môđun đều nếu A  B  0 đối với mọi môđun con
(khác 0) A, B của M. Hay nói cách khác, M là đều nếu mọi mơđun khác 0 của
M là cốt yếu trong M.
Môđun M được gọi là có chiều đều (chiều Goldie) hữu hạn nếu M không
chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác khơng. Ngược lại, ta nói M có
chiều đều vơ hạn.
1.5. Môđun nội xạ

1.5.1. Định nghĩa. Cho M và N là các R – môđun.
Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi môđun con X của N, mọi
đồng cấu f : X  M đều mở rộng thành đồng cấu g : N  M , tức là biểu đồ
sau giao hốn:
goi  f , trong đó i là phép nhúng đồng cấu.

Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ.

X
f

i

N
g

M


12

Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N – nội xạ, với mọi môđun N.
Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và N
là M – nội xạ.
Bao nội xạ của mơđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho
M cốt yếu trong E(M).
1.5.2. Mệnh đề. Cho M là R – môđun trái. Khi đó:
(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M).
(2) Nếu N e M thì E(N) = E(M).
(3) Nếu M  Q và Q là môđun nội xạ thì Q  E  M   E ' .

(4) Nếu  A E  M   là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì
E   A M    A E  M  .

1.5.3. Mệnh đề. Giả sử môđun M   M i là tổng trực tiếp các mơđun M i .
iI

Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(1) M là tựa nội xạ.
(2) M i là tựa nội xạ và M  I  i  là M i – nội xạ với mọi i  I .
Chứng minh. xem [6, Mệnh đề 1.18].
1.5.4. Mệnh đề. Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của R,
mọi đồng cấu f : I  M thì tồn tại m  M để f  x   xm , x  I .
Chứng minh.    Cho M là môđun nội xạ. Lấy I là ideal trái của R,
f : I  M là đồng cấu mơđun. Vì R là R – môđun nên M là R – nội xạ. Do đó,

f mở rộng thành đồng cấu f * : R  M . Đặt m  f * 1 . Khi đó: x  I , thì
f  x   f  x.1  f * ( x.1)  xf * (1)  xm .

 

Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi

môđun N.


13

Lấy X là môđun con tuỳ ý của N và g : X  M là đồng cấu bất kỳ.
Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g* là mở rộng của g.
Thật vậy, xét họ S  (T , ) / X  T  N ,  : T  M , 

Ta thấy

X

 g .

 X , g   S  S   . Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau:


T1  T2
T
,


T
,


 1 1  o  2 2     . Ta chứng minh S thoả mãn Bổ đề Zorn.
1

 2 T1

Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:

T1,1  o T2 ,2  o ... o Tn ,n  o ...... (a)


Đặt T  Ti  T  N . Lấy  :T  M , với x T  k : x Tk
i 1

Ta định nghĩa   x    k  x  . Dễ dàng kiểm tra được  là đồng cấu. Khi đó

T , 

là cận trên của dãy (a). Theo Bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu

 B,    S . Ta chứng minh

B  N và g* = .

Thật vậy, nếu B  N  a  N \ B . Đặt H  B  Ra  B  H (do
aB), ta xác định đồng cấu h : H  M cho bởi h  b  ra     b   rm , trong
đó m được xác định như sau: Gọi I  r  R / ra  B . Ta hoàn toàn kiểm tra
được I là ideal trái của R. Xác định đồng cấu

g : I  M bởi

g  r     ra  , r  I . Theo giả thiết,  m  M để g  x   xm , xI. Như vậy,

do B  H , và theo cách xác định của h nên h là mở rộng của . Điều này mâu
thuẫn với tính tối đại của  B,   . Vậy, B  N và lấy g* = . Khi đó, g* là mở
rộng của g. □
1.5.5. Mệnh đề. Nếu M là N – nội xạ và A  N thì M là A – nội xạ và N A –
nội xạ.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ.


14

Thật vậy, lấy X  A và f : X  M là đồng cấu. Ta cũng có X  N , do M là
N – nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu g : N  M . Khi đó g A là mở rộng
của f trên A hay M là A – nội xạ.
Bây giờ ta chứng minh M là N A – nội xạ. Lấy X A  N A và

 : X A  M là đồng cấu. Gọi  : N  N A là
đồng cấu tự nhiên.
Đặt    X . Do M là N – nội xạ nên  mở

 : N  M . Ta có:

rộng thành đồng cấu

  A    A    0  0 . Suy ra ker   ker  .
Do đó, tồn tại đồng cấu  : N A  M sao cho

   .

Với

N

X

x X ,

mọi

ta

có






N A

X A





M

  x  A    x     x     x     x  A . Vậy,  là mở rộng của 
hay M là N A – nội xạ. □
1.5.6. Mệnh đề. M là N – nội xạ khi và chỉ khi   N   M với mọi

  Hom  E  N  , E  M   .
Chứng minh. Vì E(N) là môđun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với mọi

  Hom  N , E  M   là đủ.
() Giả sử M là N – nội xạ, với   Hom  N , E  M   .

Đặt X   n  N :   n   M  . Dễ thấy X là mơđun con của N. Vì M là N –
nội xạ,  X mở rộng thành đồng cấu  : N  M , ta chứng minh
M      N   0 . Thật vậy, giả sử có m  M và n  N sao cho

m      n  .

Khi

đó,

  n    n  m  M

m    n    n    n    n  0 .

nên

n X

và


15

Vậy, M      N   0 và vì M e E  M  nên   N     N   M .

 

Giả sử có   N   M với mọi   Hom  N , E  M   . Lấy X  N và

f : X  M là đồng cấu. Vì E(M) là nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu

 : N  E  M  . Theo giả thiết   N   M thì f : X  M mở rộng thành đồng
cấu  : N  M hay M là N – nội xạ. □
1.5.7. Bổ đề. Cho M1 và M2 là các môđun và M  M1  M 2 . Thế thì, M2 là

M1 – nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà N  M 2  0 đều
tồn tại môđun con K của M sao cho M  K  M 2 và N  K .
Chứng minh.



Giả sử M2 là M1 – nội xạ và với mọi môđun con N của M

mà N  M 2  0 . Gọi  i : M  M i

i  1,2 là các phép chiếu.

Đặt   1 N ,    2 N . Vì N  M 2  0 nên  là đơn cấu và do M2 là M1
– nội xạ nên tồn tại đồng cấu  : M1  M 2 sao cho    .
Lấy K   m1    m1  : m1  M1 . Với mọi n  N thì n  m1  m2 . Ta có

  n     n  hay   m1   m2 , từ đây ta suy ra n  m1    m1   K . Do đó,
N  K . Nếu có m1  M1 và m2  M 2 sao cho m1    m1   m2 thì
m1  m2    m1   M 2 , nên m1 = 0 và m2 = 0. Như vậy, K  M 2  0 . Mặt

khác, m  M , m  m1  m2  m1    m1   m2    m1   K  M 2 .
Vậy M  K  M 2 .

  Giả sử với mọi môđun con N của M mà

N  M 2  0 đều tồn tại môđun

con K của M sao cho M  K  M 2 và N  K . Lấy X là môđun con của M1 và
f : X  M 2 là đồng cấu. Đặt H   x  f  x  : x  X  . Khi đó H là mơđun

con của M và hiển nhiên H  M 2  0 . Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’
của M sao cho M  H ' M 2 và H  H ' . Lấy  : M  H '  M 2  M 2 là phép


16

chiếu và đặt g  

M1

, x  X thì g  x     x     x  f  x   f  x    f  x  .

Vậy, g là mở rộng của f, hay M2 là M1 – nội xạ. □
1.5.8. Mệnh đề. Môđun N là A – nội xạ khi và chỉ khi N là aR – nội
xạ,  a A.
Chứng minh.    Với a A thì aR  A nên theo Mệnh đề 1.2.1, N là aR – nội
xạ. Bây giờ ta giả sử N là aR–nội xạ a  A , ta sẽ chứng minh N là A – nội
xạ.
Gọi X là môđun con của A và  : X  N là đồng cấu bất kỳ. Xét tập S
gồm tất cả các cặp (B, ), trong đó X  B  A và  : B  N là mở rộng của  ,
quan hệ thứ tự trên S là quan hệ  . Do (X,  ) S nên S khác rỗng, S thỏa Bổ
đề Zorn.
Vậy ta có thể tìm được cặp (B, ) tối đại theo nghĩa X  B  A và

 : B  N là đồng cấu mở rộng của  .
Ta chứng minh B cốt yếu trong A.
Giả sử B không cốt yếu trong A, khi đó có mơđun Y  A, Y  0 sao cho
B  Y = 0 và X  B  Y  A. Xác định đồng cấu  : B  Y  N như sau :

 (b+y) =  (b) +  (y) =  (b)+0 = (b).

Như vậy  là mở rộng của  và là mở rộng của  . Do đó,
(B, )  (B  Y, ) mâu thuẫn với (B, ) tối đại.
Giả sử B  A, ta xét phần tử a  A –B. Đặt K = {r R : ar B}. Do aK =
aR  B nên K  0 (Vì B  e A).
Ta xác định đồng cấu như sau:  : aK  N sao cho  (aK) =  (ak)
Do N là aR – nội xạ nên  có thể mở rộng thành v: aR  N
Ta xác định  : B + aR  N như sau:  (b+ar) =  (b) + v(ar),  là ánh
xạ, vì giả sử có b’ + ar’ = b + ar  (b’ – b) + (ar’ – ar) = 0


17

Ta có  (b’ + ar’) –  (b + ar) =  (b’) + v(ar’) –  (b) – v(ar ) =  (b’–
b) + v(ar ’– ar). Vì (b’–b) + a(r ’ –r) = 0 nên ta có a(r ’– r) B. Suy ra (r’ – r)
 K nên v(ar’ – ar) =  (ar’ – ar).Do đó:

 (b’ + ar’) –  (b + ar) =  (b’ – b)+  (ar’– ar) =  (b ’– b + ar’ – ar) =
 (0) = 0   (b’ + ar’) =  (b+ar). Khi đó,  là đồng cấu và  là mở rộng
của  .
Vậy (B,  ) (B+aR,  )( trái với (B, ) tối đại) . Vậy B = A và  : A  N là
mở rộng của  hay N là A – nội xạ. □
1.5.9. Mệnh đề. [7, Mệnh đề 1.5]
Môđun N là  Ai – nội xạ khi và chỉ khi N là Ai – nội xạ,  i I.
iI

1.5.10. Mệnh đề. [7, Mệnh đề 1.6]
M  là nội xạ khi và chỉ khi M  là A – nội xạ.   .




1.5.11. Bổ đề. Cho M1 và M2 là các môđun và M  M1  M 2 . Thế thì, M2 là
M1 – nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà N  M 2  0 đều
tồn tại môđun con K của M sao cho M  K  M 2 và N  K .
Chứng minh.



Giả sử M2 là M1 – nội xạ và với mọi môđun con N của M

mà N  M 2  0 . Gọi  i : M  M i

i  1,2 là các phép chiếu.

Đặt   1 N ,    2 N . Vì N  M 2  0 nên  là đơn cấu và do M2 là M1 –
nội xạ nên tồn tại đồng cấu  : M1  M 2 sao cho :    .
Lấy K   m1    m1  : m1  M1 . Với mọi n  N thì n  m1  m2 . Ta có

  n     n  hay   m1   m2 , từ đây ta suy ra n  m1    m1   K . Do đó,
N  K . Nếu có m1  M1 và m2  M 2 sao cho m1    m1   m2 thì
m1  m2    m1   M 2 , nên m1 = 0 và m2 = 0. Như vậy, K  M 2  0 .


18

Mặt khác, m  M , m  m1  m2  m1    m1   m2    m1   K  M 2 .
Vậy M  K  M 2 .

  Giả sử với mọi môđun con N của M mà

N  M 2  0 đều tồn tại môđun

con K của M sao cho M  K  M 2 và N  K . Lấy X là môđun con của M1 và
f : X  M 2 là đồng cấu. Đặt H   x  f  x  : x  X  . Khi đó H là môđun

con của M và hiển nhiên H  M 2  0 . Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’
của M sao cho M  H ' M 2 và H  H ' . Lấy  : M  H '  M 2  M 2 là phép
chiếu. Đặt g  

M1

, x  X thì g  x     x     x  f  x   f  x    f  x  .

Vậy, g là mở rộng của f, hay M2 là M1 – nội xạ. □


19

CHƯƠNG 2.

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MƠĐUN

VÀ MƠĐUN GIẢ NỘI XẠ
2.1. Các điều kiện (Ci)
Cho môđun M. Ta thường xét các điều kiện sau:
(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.
Nói cách khác, mọi mơđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M.
(C2) Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M.
(C3) Nếu M1 và M2 là hạng tử trực tiếp của M thoả mãn M1  M 2  0 , thì

M1  M 2 là một hạng tử trực tiếp của M.

(1– C1) Mọi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp
của M.
(1) Một môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và
(C2).
(2) Một môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện
(C1) và (C3).
(3) Một môđun M được gọi là (1– C1)–môđun nếu M thỏa mãn điều kiện
(1– C1).
Ta có dãy kéo theo sau đây là đúng:
Nội xạ  tựa nội xạ  liên tục  tựa liên tục  CS – mơđun.
2.2. Một số tính chất của CS – môđun
2.2.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là CS – môđun nếu M thỏa mãn điều
kiện (C1), hay nói cách khác, M là CS – mơđun nếu mọi mơđun con đóng của
M đều là hạng tử trực tiếp của M.
2.2.2. Bổ đề. Cho M là R – mơđun. Khi đó:
(1) Hạng tử trực tiếp của M là mơđun con đóng trong M.


20

(2) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M.
Chứng minh. (1) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M, tức là M  A  B , với
B  M . Lấy N  M sao cho A e N thì N  B  0 . Gọi  : A  B  A là

phép chiếu. Do ker   B nên N  ker   0 , suy ra 

N

là đơn cấu. Vì thế N

được nhúng đơn cấu vào A, mà A e N . Do vậy A = N, hay A là mơđun con
đóng trong M.
(2) Trước hết ta chứng minh, nếu mơđun con A đóng trong M và mọi
Q e M sao cho A  Q thì Q A e M A . Thật vậy, lấy P  M sao cho A  P

và Q A  P A  0 . Do Q  M nên A  Q  P e P . Từ đây, ta suy ra A  P .
Do đó Q A e M A . Bây giờ ta chứng minh K đóng trong M. Lấy K’ là phần
bù giao của K trong L, L’ là phần bù giao của L trong M. Theo Mệnh đề 1.2.5
thì L  L ' e M và theo kết quả chứng minh trên thì  L  L ' L e M L .Theo
Tính chất 1.2.2 thì  L  L ' K e M K , ta cũng có  K  K ' K e L K và

 K  K ' L '

K    K  K ' K    K  L ' K  e M K . Lấy

V  M sao

cho K e V . Khi đó, vì K   K ' L '  0 nên V   K ' L '  0 , từ đây suy
ra V K     K  K ' L ' K   0 . Do đó V  K hay K đóng trong M. □
2.2.3. Hệ quả. Hạng tử trực tiếp của CS – môđun là CS – môđun.
Chứng minh. Giả sử M là CS – môđun, P là hạng tử trực tiếp của M, tức là
M  P  Q , với Q  M . Ta chứng minh P là CS – mơđun.

Lấy A là mơđun con đóng trong P, do P đóng trong M, theo Bổ đề 2.2.2, nên
A đóng trong M. Vì M là CS – môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa
là M  A  B , với B  M .
Theo luật modular, thì P  P  M  P   A  B   A   P  B . Vậy, A
là hạng tử trực tiếp của P hay P là CS – môđun. □

21

2.2.4. Bổ đề. Mọi mơđun khác khơng có chiều đều hữu hạn luôn chứa một
môđun con đều.
Chứng minh. Giả sử M không chứa môđun con đều nào, nghĩa là tồn tại các
môđun con khác không K1, L1 của M sao cho K1  L1  0 . Khi đó K1 không là
môđun con đều, nên tồn tại các môđun khác không K2, L2 của K1 sao cho
K2  L2  0 . Tiếp tục lí luận tương tự đối với K2, dẫn đến M chứa một tổng

trực tiếp vô hạn các môđun con khác không L1  L2  ... . Điều này mâu thuẫn
với tính chiều đều hữu hạn của M. Vậy M có chứa mơđun con đều. □
2.2.5. Mệnh đề. M là CS – mơđun và có chiều đều hữu hạn. Khi đó M phân
tích thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều.
Chứng minh. Bởi M có chiều đều hữu hạn, theo Bổ đề 2.2.4, trong M tồn tại
môđun con đều U1. Gọi X1 là bao đóng của U1 trong M. Giả sử X1 khơng là
mơđun con đều, suy ra tồn tại A, B  X mà A, B  0 sao cho A  B  0 . Do
U1 e X

nên

U1  A  0, U1  B  0 .

U1  A  U1  B   U1   A  B   0 .

Từ

đây,

ta

có

Điều này mâu thuẩn với tính đều

của U1. Vậy X1 là môđun đều. Bởi M là CS – mơđun và X1 là bao đóng của U1
nên X1 là hạng tử trực tiếp của M, tức là M  X1  M1 . Vì M là CS – mơđun
và có chiều đều hữu hạn, theo Bổ đề 1.2.3, nên M1 cũng là CS – mơđun và có
chiều đều hữu hạn. Lí luận tương tự như trên đối với M1, ta có M1  X 2  M 2 ,
trong đó X2 là mơđun con đều và M2 là CS – mơđun có chiều đều hữu hạn.
Tiếp tục lí luận như trên, ta được M  X1  X 2  ...  X n  M n , trong đó các
X i ,  i  1,2,.., n  là các môđun con đều và Mn là CS – mơđun có chiều đều

hữu hạn. Do M có chiều đều hữu hạn, nên quá trình trên dừng lại sau một số
hữu hạn bước, tức là tồn tại n để Mn = 0. Khi đó M  X1  X 2  ...  X n với
X i ,  i  1,2,..., n  là các môđun con đều. □


22

2.2.6. Hệ quả. Cho môđun M. Nếu M là CS – mơđun thì M là (1–C1)–mơđun
Chứng minh. Giả sử M là CS – môđun theo định nghĩa CS – môđun, mỗi
môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.
Do vậy, mỗi môđun con đều cũng cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của
M, từ đó dẫn đến M là (1–C1)–mơđun . □
2.3. Một số tính chất của mơđun giả nội xạ
2.3.1. Định nghĩa. Mơđun N là M – giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của
M, với mọi đơn cấu f : A  N đều mở rộng thành đồng cấu g : M  N .
Môđun N được gọi là giả nội xạ nếu N là N – giả nội xạ.

Hai môđun M và N được gọi là (giả) nội xạ lẫn nhau nếu M là N – (giả)
nội xạ và N là M – (giả) nội xạ.
Một dãy các đồng cấu R – môđun:
fn
f n 1
... 
 An1 
 An 

 An1 
... được gọi là khớp tại An nếu

Im f n  ker f n1 . Ta nói dãy này là khớp nếu nó khớp tại An với mọi n.
f
g
Một dãy khớp dạng 0 
 M 
 N 
 K 
 0 được gọi là dãy

khớp ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Kerg.
f
Một tồn cấu của các R – mơđun M 
 N 
 0 được gọi là chẻ ra

nếu tồn tại một đồng cấu g : N  M sao cho fg  1N .
f
 M 

 N được gọi là chẻ ra
Một đơn cấu của các R – môđun 0 

nếu tồn tại một đồng cấu g : N  M sao cho gf  1M
f
g
 M 
 N 
 K 
 0 được gọi là chẻ ra
Dãy khớp ngắn 0 

nếu Im f (hoặc ker g ) là hạng tử trực tiếp của N.
2.3.2. Mệnh đề (1) Nếu N là N –giả nội xạ thì mọi đơn cấu f : N  M chẻ ra.
(2) N là nội xạ khi và chỉ khi N là M – giả nội xạ, với mọi M.
(3) Nếu N là M – giả nội xạ thì N là A – giả nội xạ, với mọi môđun con A của
M.


23

(4) Mỗi hạng tử trực tiếp của môđun M – giả nội xạ cũng là môđun M – giả
nội xạ.
(5)Nếu N là M – giả nội xạ thì  (M )  N

với mỗi đơn cấu

 : E(M )  E( N ) . Đặc biệt, nếu N là giả nội xạ thì  ( P)  P với mỗi đơn
cấu   End ( E ( P)).
(6) Cho A và B là giả nội xạ lẫn nhau. Nếu E ( A)  E ( B) thì mỗi đẳng cấu

E ( A)  E ( B) sinh ra một đẳng cấu A  B , đặc biệt A  B . Khi đó, A và B

là giả nội xạ.
Chứng minh. (1) Xét biểu đồ:

Im f  f ( N )  N

i

M

Ta có f : N  M là đơn cấu và tồn tại
ánh xạ ngược của f là f 1 : f ( N )  N .

f-1

 f’



f(N)  A



Đơn cấu f 1 : f ( N )  N .



Do N là M – giả nội xạ nên tồn tại đồng cấu f ' : M  N là mở rộng của

N

f 1 (tức f ' .i= f 1 ).Đặt u = f ' . f .

n  N , ta có u(n) = ( f ' . f )(n)= f ' .i.f(n)= f 1. f (n)= n

Vậy u = 1N nên đơn cấu f chẻ ra. □
(2) () Ta có N là nội xạ khi và chỉ khi N là M – nội

iX
X

M

xạ với mọi M.
Từ đó ta suy ra N là M – giả nội xạ, với mọi M.
() Nếu N là M – giả nội xạ với mọi M thì mỗi

đơn cấu f : N  M là chẻ ra (do mệnh đề (1)). Do
đó, N là nội xạ. □
(3) Xét biểu đồ:

g

f
A

A

g*

N


24

Lấy X là môđun con của A và f : X  N là
đơn cấu. Khi đó, X cũng là môđun con của M
( Do A là môđun con của M) .

i

X

f*

f

iA

A

M

g

Đặt iA : A  M .
N

Do N là M – nội xạ nên tồn tại g : M  N
là mở rộng của f.

tức là g. iA..i = f
Đặt f* = g

A

= g. iA.: A  N

Ta có: f*.i = g. iA..i =f nên f* là mở rộng của f.
Vậy N là A – giả nội xạ, với mọi môđun con A của M. □
(4) Giả sử N là M – giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của N, tức
là N  A  A' , với A’ là môđun con của N. Ta chứng minh A là M – giả nội xạ.
Lấy X là môđun con của M và

f : X  A là đơn cấu. Đặt

g : X  N  A  A' xác định bởi g(x) = (f(x),0).Khi đó, g là đơn cấu.

Vì N là M – giả nội xạ nên g mở rộng thành đồng cấu g * : M  N , tức
là g*.iX =g .
Đặt  A : N  A  A'  A là phép chiếu tự nhiên. Khi đó,  A g * : M  A là
đồng cấu và là mở rộng của f vì  A.g *.iX   A.g  f .
Vậy A là M – giả nội xạ. □
(5) Ta có : N là M – giả nội xạ và đơn cấu  : E (M )  E( N ) .
Đặt X ={ m  M :  (m)  N }.Do N là M – giả nội xạ nên 

X

được mở rộng

thành  : M  N .

Với n  N , m  M thỏa (   )(m)  n .Ta có:  (m)   (m)  n  N .Với
m  X thì : (   )(m)  n   (m)   (m)   (m)   (m)  0 ( Do m  X nên

 (m)   (m) ).


25

Ta suy ra N  (   )(M )  0
Do N e E ( N ) nên (   )(M )  0 .Vì vậy  (M )   (M )  N .
Nếu N là giả nội xạ thì  ( P)  P với mỗi đơn cấu   End ( E ( P)).

W

(6) Do (5) và f : E ( A)  E ( B) là đẳng cấu nên f ( A)  B và f 1 ( B)  A .
Ta có B  ( ff 1 )( B)  f ( f 1 ( B))  f ( A) và f ( A)  B nên f ( A)  B .
Khi đó, f

A

: A  B là đẳng cấu và A  B .

Nếu B  A và A là B – giả nội xạ thì A là A – giả nội xạ, nghĩa là A là giả nội
xạ.
Tương tự, B cũng giả nội xạ. □
2.3.3. Mệnh đề. Cho M, N là các môđun và X  M  N . Các điều kiện sau
là tương đương:
(1) M là N – giả nội xạ.
(2) Với bất kỳ môđun con A của X thỏa mãn A  M  A  N  0 , tồn tại
môđun con T của X chứa A sao cho M  T  X .

Chứng minh. 1   2  Giả sử có (1) và A là môđun thỏa mãn giả thiết (2).
Gọi  M : M  N  M ,  N : M  N  N là các phép chiếu. Ta xác định đồng
cấu  :  N  A   M  A như sau:
Với mỗi a  A,   N  a     M  a  . Do A  N  0 , nên  là đơn cấu.
Theo

giả

thiết, 

T   n  g  n : n  N.

mở
Từ

rộng
đây,

thành
ta

đồng
thấy

cấu

g:N M .

M T  X

và

Đặt

a  A ,

a  m  n  n    n   n  g  n  , với n  N , m  M , do đó A  T , thỏa mãn

(2).

 2  1 Giả sử có (2). Gọi B là môđun con của N và

f : B  M là đơn

cấu. Đặt A  b  f  b  : b  B , thế thì A  M  A  N  0 . Theo giả thiết,