luyen thi violympic toan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (696.59 KB, 80 trang )

(1)GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG TOÁN 6 I. §Þnh nghÜa phÐp chia Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm đợc hai số nguyên q và r duy nhÊt sao cho: a = bq + r Víi 0  r   b Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là số d. Khi a chia cho b cã thÓ xÈy ra  b sè d r  {0; 1; 2; …;  b} Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiÖu: ab hay b\ a VËy: a  b  Cã sè nguyªn q sao cho a = bq II. C¸c tÝnh chÊt 1. Víi  a  0  a  a 2. NÕu a  b vµ b  c  a  c 3. Víi  a  0  0  a 4. NÕu a, b > 0 vµ a  b ; b  a  a = b 5. NÕu a  b vµ c bÊt kú  ac  b 6. NÕu a  b  (a)  (b) 7. Víi  a  a  (1) 8. NÕu a  b vµ c  b  a  c  b 9. NÕu a  b vµ cb  a  c  b 10. NÕu a + b  c vµ a  c  b  c 11. NÕu a  b vµ n > 0  an  bn 12. NÕu ac  b vµ (a, b) =1  c  b 13. NÕu a  b, c  b vµ m, n bÊt kú am + cn  b 14. NÕu a  b vµ c  d  ac  bd 15. TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n! III. Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt Gäi N = an a n− 1 . .. a 1 a 0 1. DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8} + N  5  a0  5  a0{0; 5} + N  4 (hoÆc 25)  a1 a0  4 (hoÆc 25) + N  8 (hoÆc 125)  a2 a1 a0  8 (hoÆc 125) 2. DÊu hiÖu chia hÕt cho 3 vµ 9 + N  3 (hoÆc 9)  a0+a1+…+an  3 (hoÆc 9) 3. Mét sè dÊu hiÖu kh¸c + N  11  [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11 + N  101  [( a1 a0 + a5 a 4 +…) - ( a3 a2 + a7 a6 +…)]101 + N  7 (hoÆc 13)  [( a2 a1 a0 + a8 a 7 a 6 +…) - [( a5 a 4 a3 + a11 a10 a 9 +…) 11 (hoÆc 13) + N  37  ( a2 a1 a0 + a5 a 4 a3 +…)  37 + N  19  ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0)  19 IV. §ång d thøc a. §Þnh nghÜa: Cho m lµ sè nguyªn d¬ng. NÕu hai sè nguyªn a vµ b cho cïng sè d khi chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo modun m. Ký hiÖu: a  b (modun) VËy: a  b (modun)  a - b  m b. C¸c tÝnh chÊt 1. Víi  a  a  a (modun) 2. NÕu a  b (modun)  b  a (modun).

(2) 3. 4. 5. 6.. NÕu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun) NÕu a  b (modun) vµ c  d (modun)  a+c  b+d (modun) NÕu a  b (modun) vµ c  d (modun)  ac  bd (modun) NÕu a  b (modun), d  Uc (a, b) vµ (d, m) =1 a. b. a. b.  d ≡ d (modun) 7. NÕu a  b (modun), d > 0 vµ d  Uc (a, b, m)  d ≡ d (modun. m ) d. V. Một số định lý 1. §Þnh lý Euler NÕu m lµ 1 sè nguyªn d¬ng (m) lµ sè c¸c sè nguyªn d¬ng nhá h¬n m vµ nguyªn tè cïng nhau víi m, (a, m) = 1 Th× a(m)  1 (modun) C«ng thøc tÝnh (m) Ph©n tÝch m ra thõa sè nguyªn tè m = p11 p22 … pkk víi pi  p; i  N* Th× (m) = m(1 -. 1 )(1 p1. 1 ) … (1 p2. 1 ) pk. 2. §Þnh lý Fermat NÕu t lµ sè nguyªn tè vµ a kh«ng chia hÕt cho p th× ap-1  1 (modp) 3. §Þnh lý Wilson NÕu p lµ sè nguyªn tè th× ( P - 1)! + 1  0 (modp).

(3) phÇn II: c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n chia hÕt 1. Ph¬ng ph¸p 1: Sö dông dÊu hiÖu chia hÕt VÝ dô 1: T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho a56b  45 Gi¶i Ta thÊy 45 = 5.9 mµ (5 ; 9) = 1 để a56b  45  a56b  5 và 9 XÐt a56b  5  b  {0 ; 5} NÕu b = 0 ta cã sè a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9  a + 11  9 a=7 NÕu b = 5 ta cã sè a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9  a + 16  9 a=2 VËy: a = 7 vµ b = 0 ta cã sè 7560 a = 2 vµ b = 5 ta cã sè 2560 Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh răng số đó chia hết cho 9. Gi¶i Gọi số đã cho là a Ta cã: a vµ 5a khi chia cho 9 cïng cã 1 sè d  5a - a  9  4a  9 mµ (4 ; 9) = 1  a  9 (§pcm) … 111  81 ⏟ VÝ dô 3: CMR sè 111 81 sè 1 Gi¶i Ta thÊy: 111111111  9 … 111 = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) ⏟ Cã 111 81 sè 1. Mµ tæng 1072 + 1063 + … + 109 + 1 cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng 9  9  1072 + 1063 + … + 109 + 1  9 … 111  81 (§pcm) ⏟ VËy: 111 81 sè 1 Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: T×m c¸c ch÷ sè x, y sao cho a. 34x5y  4 vµ 9 b. 2x78  17 Bµi 2: Cho sè N = dcba CMR a. N  4  (a + 2b)  4 b. N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 víi b ch½n c. N  29  (d + 2c + 9b + 27a)  29 Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 2 ch÷ sè sao cho mçi sè gÊp 2 lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cña sè đó. Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A = 192021… 7980. Hái sè A cã chia hÕt cho 1980 kh«ng ? V× sao? Bµi 5: Tæng cña 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 46 kh«ng? V× sao? … 11 22 … 22 lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp. ⏟ ⏟ Bµi 6: Chøng tá r»ng sè 11 100 sè 1 100 sè 2 Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: a. x = vµ y = 2 x= vµ y = 6 b. 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17  x = 2 Bµi 2: a. N4  ab 4  10b + a4  8b + (2b + a) 4  a + 2b4 b. N16  1000d + 100c + 10b + a16.

(4)  (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16  a + 2b + 4c + 8d16 víi b ch½n c. Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 mµ (1000, 29) =1 dbca 29  (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bµi 3: Gäi ab lµ sè cã 2 ch÷ sè Theo bµi ra ta cã: ab = 10a + b = 2ab (1) ab 2  b {0; 2; 4; 6; 8} thay vµo (1) a = 3; b = 6 Bµi 4: Cã 1980 = 22.32.5.11 V× 2 ch÷ sè tËn cïng cña a lµ 80  4 vµ 5  A 4 vµ 5 Tæng c¸c sè hµng lÎ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 Tæng c¸c sè hµng ch½n 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Cã 279 + 279 = 558  9  A  9 279 - 279 = 0  11  A  11 Bµi 5: Tæng 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ 1 sè lÎ nªn kh«ng chia hÕt cho 2. Cã 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp  cã 23 cÆp sè mçi cÆp cã tæng lµ 1 sè lÎ  tæng 23 cÆp kh«ng chia hÕt cho 2. VËy tæng cña 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho 46. … 11 22 … 22 = 11 … 11 100 … 02 ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ Bµi 6: Cã 11 100 sè 1. Mµ. 100 … 02 = 3. ⏟. 100 sè 2. 99 sè 0. 11 … 11 ⏟. 100 sè 1. 99 sè 0. 33 … 34 ⏟ 99 sè 3. 22 … 22 ⏟. 33 … 33. 33 … 34.  = ⏟ ⏟ (§pcm) 100 sè 1 100 sè 2 100 sè 3 99 sè 3 2. Ph¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt * Chó ý: Trong n sè nguyªn liªn tiÕp cã 1 vµ chØ 1 sè chia hÕt cho n. CMR: Gäi n lµ sè nguyªn liªn tiÕp m + 1; m + 2; … m + n víi m  Z, n  N* Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta đợc tập hợp số d là: {0; 1; 2; … n - 1} * NÕu tån t¹i 1 sè d lµ 0: gi¶ sö m + i = nqi ; i = 1,n m+in * NÕu kh«ng tån t¹i sè d lµ 0  kh«ng cã sè nguyªn nµo trong d·y chia hÕt cho n  ph¶i cã Ýt nhÊt 2 sè d trïng nhau. Gi¶ sö:. m + i = nqi + r m + j = qjn + r. ¿. ¿{ ¿. 1≤ i; j ≤ n.  i - j = n(qi - qj)  n  i - j  n mµ i - j< n  i - j = 0  i = j m+i=m+j Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n… VÝ dô 1: CMR: a. TÝch cña 2 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 2 b. TÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6. Gi¶i a. Trong 2 sè nguyªn liªn tiÕp bao giê còng cã 1 sè ch½n  Số chẵn đó chia hết cho 2. VËy tÝch cña 2 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 2. TÝch 2 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 2 nªn tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 2 b. Trong 3 s« nguyªn liªn tiÕp bao gi¬ còng cã 1 sè chia hÕt cho 3.  Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1. VËy tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 6. VÝ dô 2: CMR: Tæng lËp ph¬ng cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 9..

(5) Gi¶i Gäi 3 sè nguyªn liªn tiÕp lÇn lît lµ: n - 1 , n , n+1 Ta cã: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thÊy (n - 1)n (n + 1)  3 (CM VÝ dô 1)  3(n - 1)n (n + 1)  9 mµ. ¿ 9(n2+ 1) ⋮ 9 18 n⋮ 9 ¿{ ¿.  A  9 (§PCM) VÝ dô 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n  3 84 víi  n ch½n, n4 Gi¶i Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 Ta cã n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k  2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hÕt cho 2 vµ 1 sè chia hÕt cho 4.  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  8 Mµ (k - 2) (k - 1)k  3 ; (3,8)=1  (k - 2) (k - 1) (k + 1)k  24  16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k  (16,24) VËy n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 víi  n ch½n, n  4 Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1)  6 b. n5 - 5n3 + 4n  120 Víi  n  N Bµi 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24 Víi  n  Z Bµi 3: CMR: Víi  n lÎ th× a. n2 + 4n + 3  8 b. n3 + 3n2 - n - 3  48 c. n12 - n8 - n4 + 1  512 Bµi 4: Víi p lµ sè nguyªn tè p > 3 CMR : p2 - 1  24 Bµi 5: CMR: Trong 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã 1 sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 27. Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2)  6 b. n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2)  120 Bµi 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + 6 + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3)  24 Bµi 3: a. n2 + 4n + 3 = (n + 1) (n + 3)  8 b. n3 + 3n2 - n - 3 = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k  N) = 8k(k + 1) (k +2)  48 12 c. n - n8 - n4 + 1 = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1).

(6) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Víi n = 2k + 1  n2 + 1 vµ n4 + 1 lµ nh÷ng sè ch½n  (n2 + 1)2  2 n4 + 1  2  n12 - n8 - n4 + 1  (24.22. 22. 1 . 21) VËy n12 - n8 - n4 + 1  512 Bµi 4: Cã p2 - 1 = (p - 1) (p + 1) v× p lµ sè nguyªn tè p > 3  p  3 ta cã: (p - 1) (p + 1)  8 vµ p = 3k + 1 hoÆc p = 3k + 2 (k  N)  (p - 1) (p + 1)  3 2 VËy p - 1  24 Bµi 5: Gi¶ sö 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1) trong 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n 0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2) Cã tæng c¸c ch÷ sè lÇn lît lµ: s; s + 1 … ; s + 26 Cã 1 sè chia hÕt cho 27 (§PCM) * Chó ý: n + 899  n + 999 + 899 < n + 1989  C¸c sè ë (2) n»m trong d·y (1) 3. Ph¬ng ph¸p 3: xÐt tËp hîp sè d trong phÐp chia VÝ dô 1: CMR: Víi  n  N Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho 6 Gi¶i Ta thÊy 1 trong 2 thõa sè n vµ 7n + 1 lµ sè ch½n. Víi  n  N  A(n)  2 Ta chøng minh A(n)  3 Lấy n chia cho 3 ta đợc n = 3k + 1 (k  N) Víi r  {0; 1; 2} Víi r = 0  n = 3k  n  3  A(n)  3 Víi r = 1  n = 3k + 1  2n + 7 = 6k + 9  3  A(n)  3 Víi r = 2  n = 3k + 2  7n + 1 = 21k + 15  3  A(n)  3  A(n)  3 víi  n mµ (2, 3) = 1 VËy A(n)  6 víi  n  N VÝ dô 2: CMR: NÕu n  3 th× A(n) = 32n + 3n + 1  13 Víi  n  N Gi¶i V× n  3  n = 3k + r (k  N); r  {1; 2; 3}  A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + 1 = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + 1 ta thÊy 36k - 1 = (33)2k - 1 = (33 - 1)M = 26M  13 33k - 1 = (33 - 1)N = 26N  13 víi r = 1  32n + 3n + 1 = 32 + 3 +1 = 13  13  32n + 3n + 1  13 víi r = 2  32n + 3n + 1 = 34 + 32 + 1 = 91  13  32n + 3n + 1 VËy víi n  3 th× A(n) = 32n + 3n + 1  13 Víi  n  N Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n - 1  7 Gi¶i LÊy n chia cho 3 ta cã n = 3k + 1 (k  N); r  {0; 1; 2} Víi r = 0  n = 3k ta cã 2n - 1 = 23k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M  7 víi r =1  n = 3k + 1 ta cã: 2n - 1 = 28k +1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1 mµ 23k - 1  7  2n - 1 chia cho 7 d 1.

(7) víi r = 2  n = 3k + 2 ta cã : 2n - 1 = 23k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3 mµ 23k - 1  7  2n - 1 chia cho 7 d 3 VËy 23k - 1  7  n = 3k (k  N) Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4)  5 Víi  n  Z Bµi 2: Cho A = a1 + a2 + … + an B = a 5 1 + a5 2 + … + a 5 n Bµi 3: CMR: NÕu (n, 6) =1 th× n2 - 1  24 Víi  n  Z Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + 1  7 Bài 5: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + 1 = n2 CMR: mn  55 Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: + A(n)  6 + LÊy n chia cho 5  n = 5q + r r  {0; 1; 2; 3; 4} r = 0  n  5  A(n)  5 r = 1, 4  n2 + 4  5  A(n)  5 r = 2; 3  n2 + 1  5  A(n)  5  A(n)  5  A(n)  30 Bµi 2: XÐt hiÖu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) Chỉ chứng minh: a5i - ai  30 là đủ Bµi 3: V× (n, 6) =1  n = 6k + 1 (k  N) Víi r  {1} r = 1 n2 - 1  24 Bµi 4: XÐt n = 3k + r (k  N) Víi r  2n{0; 1;n 2} Ta cã: 2 + 2 + 1 = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + 1 Lµm t¬ng tù VD3 Bµi 5: Cã 24m4 + 1 = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m  5  mn  5 Khi m  5 th× (m, 5) = 1  m4 - 1  5 (V× m5 - m  5  (m4 - 1)  5  m4 - 1  5)  n2  5  ni5 VËy mn  5 4. Ph¬ng ph¸p 4: sö dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö Gi¶ sö chøng minh an  k Ta cã thÓ ph©n tÝch an chøa thõa sè k hoÆc ph©n tÝch thµnh c¸c thõa sè mµ c¸c thừa số đó chia hết cho các thừa số của k. VÝ dô 1: CMR: 36n - 26n  35 Víi  n  N Gi¶i Ta cã 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M = (33 + 23) (33 - 23)M = 35.19M  35 VËy 36n - 26n  35 Víi  n  N VÝ dô 2: CMR: Víi  n lµ sè tù nhiªn ch¨n th× biÓu thøc A = 20n + 16n - 3n - 1  232 Gi¶i Ta thÊy 232 = 17.19 mµ (17;19) = 1 ta chøng minh A  17 vµ A  19 ta cã A = (20n - 3n) + (16n - 1) cã 20n - 3n = (20 - 3)M  17M 16n - 1 = (16 + 1)M = 17N  17 (n ch½n)  A  17 (1) ta cã: A = (20n - 1) + (16n - 3n) cã 20n - 1 = (20 - 1)p = 19p  19 cã 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q  19 (n ch½n).

(8)  A  19 (2) Tõ (1) vµ (2)  A  232 VÝ dô 3: CMR: nn - n2 + n - 1  (n - 1)2 Víi  n >1 Gi¶i n 2 Víi n = 2  n - n + n - 1 = 1 vµ (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1  nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 với n > 2 đặt A = nn - n2 + n - 1 ta có A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M  (n - 1)2 VËy A  (n - 1)2 (§PCM) Bµi tËp t¬ng tù 2n +1 2n +2 Bµi 1: CMR: a. 3 + 2 7 4 4 b. mn(m - n )  30 Bµi 2: CMR: A(n) = 3n + 63  72 víi n ch½n n  N, n  2 Bµi 3: Cho a vµ b lµ 2 sè chÝnh ph¬ng lÎ liªn tiÕp CMR: a. (a - 1) (b - 1)  192 Bµi 4: CMR: Víi p lµ 1 sè nguyªn tè p > 5 th× p4 - 1  240 Bµi 5: Cho 3 sè nguyªn d¬ng a, b, c vµ tho¶ m·n a2 = b2 + c2 CMR: abc  60 Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: a. 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n  7 b. mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1)  30 Bµi 3: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = 1 vµ n = 2k (k  N) cã 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64  A(n)  8 Bµi 4: §Æt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k  N) Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1)  64 vµ 3 Bµi 5: Cã 60 = 3.4.5 §Æt M = abc Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3  a2, b2 và c2 chia hết cho 3 đều d 1  a2  b2 + c2. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M  3 Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5  a2, b2 và c2 chia 5 d 1 hoặc 4  b2 + c2 chia 5 th× d 2; 0 hoÆc 3.  a2  b2 + c2. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy M  5 NÕu a, b, c lµ c¸c sè lÎ  b2 vµ c2 chia hÕt cho 4 d 1.  b2 + c2  (mod 4)  a2  b2 + c2 Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn. Gi¶ sö b lµ sè ch½n NÕu C lµ sè ch½n  M  4 NÕu C lµ sè lÎ mµ a2 = b2 + c2  a lµ sè lÎ  b2 = (a - c) (a + b) . b 2 a+ c = 2 2. ( ) ( )( a−2 c ).  b ch½n  b  4  m  4 2. VËy M = abc  3.4.5 = 60 5. Phơng pháp 5: biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tæng.

(9) Giả sử chứng minh A(n)  k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k. VÝ dô 1: CMR: n3 + 11n  6 víi  n  z. Gi¶i 3 3 2 Ta cã n + 11n = n - n + 12n = n(n - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n V× n, n - 1; n + 1 lµ 3 sè nguyªn liªn tiÕp  n(n + 1) (n - 1)  6 vµ 12n  6 VËy n3 + 11n  6 VÝ dô 2: Cho a, b  z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b)  11 CMR: (16a +17b) (17a +16b)  121 Gi¶i Cã 11 sè nguyªn tè mµ (16a +17b) (17a +16b)  11 . 16a +17b ⋮11 ¿ 17a +16b ⋮11 (1) ¿ ¿ ¿ ¿. Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b)  11 (2) Tõ (1) vµ (2) . 16a +17b ⋮11 ¿ 17a +16b ⋮11 ¿ ¿ ¿ ¿. VËy (16a +17b) (17a +16b)  121 VÝ dô 3: T×m n  N sao cho P = (n + 5)(n + 6)  6n. Gi¶i Ta cã P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n  6n nên để P  6n  n2 - n + 30  6n. . ¿ n2 - n ⋮ 6 30 ⋮6n ⇔ ¿ n(n - 1)⋮ 3(1) 30 ⋮ n(2) ¿{ ¿. Tõ (1)  n = 3k hoÆc n = 3k + 1 (k  N) Tõ (2)  n  {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} VËy tõ (1); (2)  n  {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay c¸c gi¸ trÞ cña n vµo P ta cã n  {1; 3; 10; 30} lµ tho¶ m·n VËy n  {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6)  6n. Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73  23 Bµi 2: CMR: 36n2 + 60n + 24  24 Bµi 3: CMR: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1  59 b. 9 2n + 14  5 Bµi 4: T×m n  N sao cho n3 - 8n2 + 2n  n2 + 1 Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N  23 2 Bµi 2: 36 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24.

(10) Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ  n(3n + 5)  2  §PCM Bµi 3: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 = 5n(25 + 26) + 8 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m  59 2n b. 9 + 14 = 9 2n - 1 + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15  5 3 2 Bµi 4: Cã n - 8n + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + 8  (n2 + 1)  n + 8  n2 + 1 NÕu n + 8 = 0  n = -8 (tho¶ m·n) NÕu n + 8  0  n + 8 n2 + 1 2. . n +8 ≤ -n − 1 Víi n ≤ −8 ¿ 2 n +8 ≥ n +1 Víi n ≥− 8 ¿ ⇒ ¿ n2 +n+ 9≤ 0 Víi n ≤ −8 ¿ 2 n −n −7 ≤ 0 Víi n ≥ −8 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿.  n  {-2; 0; 2} thö l¹i VËy n  {-8; 0; 2}. 6. Ph¬ng ph¸p 6: Dïng quy n¹p to¸n häc Gi¶ sö CM A(n)  P víi n  a (1) Bớc 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A(n)  P Bớc 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A(k)  P với k  a Ta CM (1) đúng với n = k + 1 tức là phải CM A(k+1)  P Bíc 3: KÕt luËn A(n)  P víi n  a VÝ dô 1: Chøng minh A(n) = 16n - 15n - 1  225 víi  n  N* Gi¶i Với n = 1  A(n) = 225  225 vậy n = 1 đúng Gi¶ sö n = k  1 nghÜa lµ A(k) = 16k - 15k - 1  225 Ta ph¶i CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1  225 ThËt vËy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1 = 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - 1 + 15.15m = A(k) + 225 mµ A(k)  225 (gi¶ thiÕt quy n¹p) 225m 225 VËy A(n)  225 VÝ dô 2: CMR: víi  n  N* vµ n lµ sè tù nhiªn lÎ ta cã m2 −1 ⋮ 2n+2 Gi¶i 2 Víi n = 1  m - 1 = (m + 1)(m - 1)  8 (v× m + 1; m - 1 lµ 2 sè ch½n liªn tiÕp nªn tÝch cña chóng chia hÕt cho 8) Gi¶ sö víi n = k ta cã m2 −1 ⋮ 2k+2 ta ph¶i chøng minh n. k. k+1. m2 −1 ⋮ 2k+3 ThËt vËy m2 −1 ⋮ 2k+2  k. k. m 2 −1=2k+ 2 . q( q ∈ z).

(11) k.  m2 =2k+ 2 . q+1 cã m2 −1=( m2 )2 − 1=( 2 k+2 . q+ 1 )2 − 1=2k+ 4 .q 2+ 2k+3 . q = 2k+3 ( 2k+1 q2 +q) ⋮ 2k+3 VËy m2 −1 ⋮ 2n+2 víi  n  1 Bµi tËp t¬ng tù 3n+3 Bµi 1: CMR: 3 - 26n - 27  29 víi  n  1 Bµi 2: CMR: 42n+2 - 1  15 Bài 3: CMR số đợc thành lập bởi 3n chữ số giống nhau thì chia hết cho 3n với n là số nguyªn d¬ng. Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: T¬ng tù vÝ dô 1. Bµi 2: T¬ng tù vÝ dô 1. aa . . . a Bµi 3: Ta cÇn CM ⏟  3n (1) 3 sèa Víi n = 1 ta cã aa . . .a ¿ 111a ⋮ 3 ...a ⏟ Giả sử (1) đúng với n = k tức là aa  3k 3 sèa Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh aa ...a ⏟  3k+1 ta cã 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k k+1. k. n. n. k. 3. Cã. k+ 1. sè a. aa . . . a=a⏟ .. . a a⏟ .. . a a⏟ . .. a ⏟ 3. k+ 1. sèa. 3 2 .3. k. ¿ aa . . . a ( 10 ⏟ 3. k. 3 3. k. k. k. 3 k+1. k. k. ¿ aa . . .a . 102 .3 +aa .. . a .103 +a . .. a ⏟ 3k. +10 +1 ) ⋮ 3. k. 7. Phơng pháp 7: sử dụng đồng d thức Giải bài toán dựa vào đồng d thức chủ yếu là sử dụng định lý Euler và định lý Fermat VÝ dô 1: CMR: 22225555 + 55552222  7 Gi¶i Cã 2222  - 4 (mod 7)  22225555 + 55552222  (- 4)5555 + 45555 (mod 7) L¹i cã: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222 = - 42222 (43333 - 1) = - 4 2222 (( 43 )1111 − 1) V× 43 = 64  (mod 7) ⇒ ( 43 )1111 −1 ≡0 (mod 7)  22225555 + 55552222  0 (mod 7) VËy 22225555 + 55552222  7 VÝ dô 2: CMR: 32 +3 3 +5 ⋮ 22 víi  n  N Gi¶i Theo định lý Fermat ta có: 310  1 (mod 11) 210  1 (mod 11) Ta t×m d trong phÐp chia lµ 24n+1 vµ 34n+1 cho 10 Cã 24n+1 = 2.16n  2 (mod 10)  24n+1 = 10q + 2 (q  N) Cã 34n+1 = 3.81n  3 (mod 10)  34n+1 = 10k + 3 (k  N) Ta cã: 32 +3 3 +5=310 q+2 +210 k+3 = 32.310q + 23.210k + 5  1+0+1 (mod 2)  0 (mod 2) mµ (2, 11) = 1 VËy 32 +3 3 +5 ⋮ 22 víi  n  N VÝ dô 3: CMR: 22 +7 ⋮ 11 víi n  N Gi¶i 4 4n+1 Ta cã: 2  6 (mod)  2  2 (mod 10)  24n+1 = 10q + 2 (q  N) 4 n+ 1. 4 n+ 1. 4 n+ 1. 4n +1. 4n +1. 4 n+1. 4n +1.

(12) 4 n+1.  22 =210q +2 Theo định lý Fermat ta có: 210  1 (mod 11)  210q  1 (mod 11) 4 n+1. 22 +7=210 q+2 +7.  4+7 (mod 11)  0 (mod 11) VËy 22 +7 ⋮ 11 víi n  N (§PCM) Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR 22 +3 ⋮ 19 víi n  N Bµi 2: CMR víi  n  1 ta cã 52n-1. 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1  38 Bµi 3: Cho sè p > 3, p  (P) CMR 3p - 2p - 1  42p Bài 4: CMR với mọi số nguyên tố p đều có dạng 2n - n (n  N) chia hÕt cho p. Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: Lµm t¬ng tù nh VD3 Bµi 2: Ta thÊy 52n-1. 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1  2 MÆt kh¸c 52n-1. 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 = 2n(52n-1.10 + 9. 6n-1) V× 25  6 (mod 19)  5n-1  6n-1 (mod 19)  25n-1.10 + 9. 6n-1  6n-1.19 (mod 19)  0 (mod 19) Bµi 3: §Æt A = 3p - 2p - 1 (p lÎ) DÔ dµng CM A  2 vµ A  3  A  6 NÕu p = 7  A = 37 - 27 - 1  49  A  7p NÕu p  7  (p, 7) = 1 Theo định lý Fermat ta có: A = (3p - 3) - (2p - 2)  p §Æt p = 3q + r (q  N; r = 1, 2)  A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = 3r.27q - 2r.8q - 1 = 7k + 3r(-1)q - 2r - 1 (k  N) víi r = 1, q ph¶i ch½n (v× p lÎ)  A = 7k - 9 - 4 - 1 = 7k - 14 VËy A  7 mµ A  p, (p, 7) = 1  A  7p Mµ (7, 6) = 1; A  6  A  42p. Bµi 4: NÕu P = 2  22 - 2 = 2  2 Nếu n > 2 Theo định lý Fermat ta có: 2p-1  1 (mod p)  2m(p-1)  1 (mod p) (m  N) XÐt A = 2m(p-1) + m - mp A  p  m = kq - 1 Nh vậy nếu p > 2  p có dạng 2n - n trong đó N = (kp - 1)(p - 1), k  N đều chia hết cho p 4 n+1. 6n +2. 8. Ph¬ng ph¸p 8: sö dông nguyªn lý §irichlet NÕu ®em n + 1 con thá nhèt vµo n lång th× cã Ýt nhÊt 1 lång chøa tõ 2 con trë lªn. VÝ dô 1: CMR: Trong n + 1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiÖu chia hÕt cho n. Gi¶i Lấy n + 1 số nguyên đã cho chia cho n thì đợc n + 1 số d nhận 1 trong các số sau: 0; 1; 2; …; n - 1  cã Ýt nhÊt 2 sè d cã cïng sè d khi chia cho n. Gi¶ sö ai = nq1 + r 0r<n aj = nq2 + r a1; q2  N  aj - aj = n(q1 - q2)  n VËy trong n +1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiÖu chia hÕt cho n. NÕu kh«ng cã 1 tæng nµo trong c¸c tæng trªn chia hÕt cho n nh vËy sè d khi chia mỗi tổng trên cho n ta đợc n số d là 1; 2; …; n - 1.

(13) VËy theo nguyªn lý §irichlet sÏ tån t¹i Ýt nhÊt 2 tæng mµ chi cho n cã cïng sè d  (theo VD1) hiÖu cïadr tæng nµy chia hÕt cho n (§PCM). Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR: Tån t¹i n  N sao cho 17n - 1  25 Bµi 2: CMR: Tån t¹i 1 béi cña sè 1993 chØ chøa toµn sè 1. Bµi 3: CMR: Víi 17 sè nguyªn bÊt kú bao giê còng tån t¹i 1 tæng 5 sè chia hÕt cho 5. Bµi 4: Cã hay kh«ng 1 sè cã d¹ng. 19931993 … 1993000 … 00  1994 Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: XÐt d·y sè 17, 172, …, 1725 (t¬ng tù VD2) Bµi 2: Ta cã 1994 sè nguyªn chøa toµn bé sè 1 lµ: 1 11 111 … 111 … 11 ⏟ 1994 sè 1. Khi chia cho 1993 th× cã 1993 sè d  theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt 2 sè cã cïng sè d. Giả sử đó là ai = 1993q + r 0  r < 1993 aj = 1993k + r i > j; q, k  N  aj - aj = 1993(q - k) 111 … 11 00 … 0 =1993(q − k ) ⏟ ⏟ i-j 1994 sè 1. i sè 0. 111 … 11 . 10 j =1993(q − k ) ⏟ i-j 1994 sè 1. mµ (10j, 1993) = 1 111 … 11  1993 (§PCM) ⏟ 1994 sè 1 Bµi 3: XÐt d·y sè gåm 17 sè nguyªn bÊt kú lµ a1, a2, …, a17 Chia các số cho 5 ta đợc 17 số d ắt phải có 5 số d thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4} NÕu trong 17 sè trªn cã 5 sè khi chia cho 5 cã cïng sè d th× tæng cña chóng sÏ chia hÕt cho 5. NÕu trong 17 sè trªn kh«ng cã sè nµo cã cïng sè d khi chia cho 5  tån t¹i 5 sè cã sè d kh¸c nhau  tæng c¸c sè d lµ: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10  10 VËy tæng cña 5 sè nµy chia hÕt cho 5. Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, … … 1993 ⏟ a1994 = 1993 1994 sè 1993. ®em chia cho 1994  cã 1994 sè d thuéc tËp {1; 2; …; 1993} theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt 2 sè h¹ng cã cïng sè d. Gi¶ sö: ai = 1993 … 1993 (i sè 1993) aj = 1993 … 1993 (j sè 1993)  aj - aj  1994 1  i < j  1994 ni … 1993 . 10 ⋮ 1993 ⏟  1993 j-i sè 1993. 9. Ph¬ng ph¸p 9: ph¬ng ph¸p ph¶n chøng §Ó CM A(n)  p (hoÆc A(n)  p ) + Gi¶ sö: A(n)  p (hoÆc A(n)  p ) + CM trªn gi¶ sö lµ sai + KÕt luËn: A(n)  p (hoÆc A(n)  p ) VÝ dô 1: CMR n2 + 3n + 5  121 víi  n  N Gi¶ sö tån t¹i n  N sao cho n2 + 3n + 5  121  4n2 + 12n + 20  121 (v× (n, 121) = 1).

(14)  (2n + 3)2 + 11  121 (1)  (2n + 3)2  11 V× 11 lµ sè nguyªn tè  2n + 3  11  (2n + 3)2  121 (2) Tõ (1) vµ (2)  11  121 v« lý VËy n2 + 3n + 5  121 VÝ dô 2: CMR n2 - 1  n víi  n  N* Gi¶i XÐt tËp hîp sè tù nhiªn N* Gi¶ sö  n  1, n  N* sao cho n2 - 1  n Gọi d là ớc số chung nhỏ nhất khác 1 của n  d  (p) theo định lý Format ta có 2d-1  1 (mod d)  m < d ta chøng minh m\n Gi¶ sö n = mq + r (0  r < m) Theo gi¶ sö n2 - 1  n  nmq+r - 1  n  2r(nmq - 1) + (2r - 1)  n  2r - 1  d v× r < m mµ m  N, m nhá nhÊt kh¸c 1 cã tÝnh chÊt (1)  r = 0  m\n mµ m < d còng cã tÝnh chÊt (1) nªn ®iÒu gi¶ sö lµ sai. VËy n2 - 1  n víi  n  N* Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: Cã tån t¹i n  N sao cho n2 + n + 2  49 kh«ng? Bµi 2: CMR: n2 + n + 1  9 víi  n  N* Bµi 3: CMR: 4n2 - 4n + 18  289 víi  n  N Híng dÉn - §¸p sè Bài 1: Giả sử tồn tại n  N để n2 + n + 2  49  4n2 + 4n + 8  49  (2n + 1)2 + 7  49 (1)  (2n + 1)2  7 V× 7 lµ sè nguyªn tè  2n + 1  7  (2n + 1)2  49 (2) Tõ (1); (2)  7  49 v« lý. Bµi 2: Gi¶ sö tån t¹i n2 + n + 1  9 víi  n  (n + 2)(n - 1) + 3  3 (1) v× 3 lµ sè nguyªn tè . n+ 2⋮ 3 ¿ n −1 ⋮3 ¿ ¿ ¿ ¿.  (n + 2)(n - 1)  9 (2). Tõ (1) vµ (2)  3  9 v« lý Bài 3: Giả sử  n  N để 4n2 - 4n + 18  289  (2n - 1)2 + 17  172  (2n - 1)  17 17 lµ sè nguyªn tè  (2n - 1)  17  (2n - 1)2  289  17  289 v« lý Đề số 8. ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 6 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) *****************. Bài 1 (1,0 điểm): Tính giá trị của biểu thức (Tính nhanh nếu có thể). a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21..

(15) 5 4 3 1 13 + + + + b) 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 2(1,5 điểm): 1.Tìm x, biết: 1 3 7 3  x 1  5 10 a) 5 2.Tìm x, y để 56x3 y90. b). x  2 ( 1) 2012. 2008. Bài 3(2 điểm): So sánh: a) A =. 2009 +1 2009 2009 +1. 2009. với B =. 2009 +1 2010 2009 +1. b) 3111 và 1714 Bài 4(2 điểm):a) Cho A = 1 + 32 + 34 + 36 + ...+32004 + 32006. Chứng minh A chia 13dư 10 b) Chứng tỏ rằng 2n + 1 và 2n + 3 ( n  N) là hai số nguyên tố cùng nhau     Bài 5 (2,5 điểm): Cho AOB và BOC là hai góc kề bù . Biết BOC 5 AOB .   a) Tính số đo AOB và BOC .   b) Gọi OD là tia phân giác của BOC . Tính số đo AOD .. c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB và OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA, OB, OC,OD ). Trên hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc? Bài 6 (1,0 điểm): Tính tổng: S = 12 + 22 + 32 + ...+ 1002 ----------------HẾT---------------------.

(16) Đề số 8. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 6. Bài. Lời giải a) 53(39– 21) +47.(39 – 21) = 18(53 + 47) = 18.100 = 1800. 1 (1,0đ). 5 4 3 1 13     ) 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 7.(          ) 7.(  )  3 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 4 4. b) 7.(. 1 3 7 x 3  1  5 5 10 3 7 8 7 16 7 9 x 1       5 10 5 10 10 10 10 a). 2 (1,5đ). b). Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. x  2 1.  x – 2 = 1 hoặc x – 2 = - 1  x = 3 hoặc x = 1. 0,25 0,25. 56x3 y 90  56x3 y 9và 56x3910 56x3 y 10  y 0. 0,25. 56x3 y 9  (5  6  x  3  0)9  (14  x)9. Mà x là chữ số nên x = 4. Vậy x = 4;y = 0 a) Thực hiện qui đồng mẫu số:. 3 (2,0 đ). (20092008 +1)(20092010 +1) 20094018 + 20092010 +20092008 + 1 = A= (20092009 +1)(20092010 +1) ( 20092009 +1)(20092010 +1) (20092009 +1)(20092009 +1) 20094018 + 20092009 +20092009 + 1 = B= (20092010 +1)(20092009 +1) (20092010 +1)(20092009 +1) 20092010 +20092008 =20092008 (20092+ 1) 20092009 +20092009 =20092008 (2009+2009) Do (20092 +1) > (2009+2009) nên A > B. (Có thể chứng tỏ A - B > 0 để kết luận A > B). b) Ta có 3111< 3211= (25)11=255 255< 256= (24)14 =1614< 1714 Vậy 3111< 1714 4 a) A có (2006 – 0):2 + 1 = 1004 ( số hạng) mà 1004 chia 3 dư 2 (2,0 đ) A =(1 + 32)+( 34 + 36 + 38) +(310 + 312 + 314)+ ...+(32002 +32004+32006) A = 10 + 34( 1 + 32 + 34) + 310( 1 + 32 + 34) + .... + 32002(1 + 32 + 34) A = 10 + 34.91 + 310.91 + ... + 32002.91 A = 10 + 34. 7. 13 + 310. 7. 13 + ....+ 32002.7.13 A = 10 + 13.(34 + 310 + ... + 32002)  A :13 dư10 b) Gọi d = ƯCLN(2n + 1,2n + 3) Ta có d là số lẻ vì 2n + 1 và 2n + 3 lẻ Và d  Ư(2n + 1) và d  Ư(2n + 3) Mà (2n + 3) – ( 2n + 1) = 2. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25. 0,5 0,25 0,25 0,25.

(17) Do đó d  Ư(2); d lẻ nên d = 1. Vậy 2n + 1; 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.. 0,25 0,25 0,25. Vẽ hình đúng B. D. 0,25 C. A. O. 0     a) Ta có: AOB  BOC 180 ( AOB và BOC là hai góc kề bù ). 0,25.   mà BOC 5 AOB. 5 (2,5đ).   6 AOB 1800  AOB 300 ; BOC 1500. 1  D DOC  BO  BOC 750  2 b)Ta có:: ( OD là tia phân giác BOC ) AOD  DOC   1800 AOD DOC. mà. (. và. là hai góc kề bù ). 0,25 0,25 0,25 0,25.   AOD 180  DOC 180  75 105 0. 0. 0. 0. c)Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n + 4 tia đó tạo với n + 4 – 1 = n + 3 tia còn lại tạo thành n + 3 góc. Có n + 4 tia nên tạo thành ( n + 4)( n+ 3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần..  n  4   n  3 2 Vậy có tất cả góc. S = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) +4(3 + 1) + …+ 100( 99+ 1) = 1 + 1.2+2 + 2.3 + + 3 + 3.4 + 4+…+ 99.100 + 100 = ( 1.2 +2.3 + 3.4 + …+99.100)+ (1 + 2 + 3 + 4 + …+ 100) 6 (1,0 đ) Đặt M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+99.100 3M = 1.2.3 + 2.3.( 4 – 1) +3.4.( 5 – 1) + …+ 99.100.(101 – 98) 3M = 99.100.101 nên M = 333300 Do đó A = 333300 + 5050 =338350 ----------------HẾT------. Đề số 7. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI. Môn: Toán 6 Thời gian: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm)Tính nhanh: A = 6.4.57 + 12.29.2 + 3.14.8 1   1  1  1    1  2   1  3   1  4   1  100       B=  10 10 10 10     1400 C = 56 140 260 Bài 2: (2,0điểm)Tìm số tự nhiên x biết: a) 3x + 17x = 340 b). 2x  1 3. 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25.

(18) x x 1 x 2 c) 3  3  3 1053 Bài 3:( 2,0điểm) 1. Cho abc chia hết cho 27. Chứng minh bca chia hết cho 27 31 32 60   1.3.5...59 2 2 2 2. Chứng tỏ Bài 4:(3,0 điểm) 1) Trên đường thẳng xy cho m điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tia trên hình vẽ. 0  2) Cho hai góc kề bù xOt và góc yOt sao cho xOt 50 . Trên nửa mặt phẳng bờ xy có 0  chứa tia Ot vẽ tia Oz sao cho yOz 80 a) Tia Oz có nằm giữa hai tia Oy và Ot không. Vì sao. b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của góc xOz. 1 1 2   Bài 5:(1,0 điểm) : Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng a b 143 và b - a = 2 ...........................................Hết.......................................... Đề số 7. Câu 1a. 1b. 1c. Nội dung A = 24.57 + 24.29 + 24.14 = 24(57 + 29 + 14) = 24 . 100 = 2400 1 2 3 99    B = 2 3 4 100 1.2.3...99  2.3.4...100 1  100 5 5 5 5 C     28 70 130 700. HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN: Toán 6. §iểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25.

(19) 1 3 3 3 3  5      3  4.7 7.10 10.13 25.28  5 1 1     = 3  4 28  5 3 5   = 3 14 14 3x + 17x = 340. 2.a. 2b. 2c. 3.a.  x.(3 + 17) = 340  20x= 340  x = 17 2x  1 3  2x+ 1 = 3 hoặc 2x + 1 = -3 Nếu 2x+ 1 = 3  2x = 2x=1 Nếu 2x+ 1 = - 3  2x = -4  x = -2 x   1;  2 Vậy. 0.25 0.25. 0.25 0.25 0.25. 3x  3x 1  3x 2 1053  3x  1  3  9  1053. 0.25.  3x.13 1053  3x 81 34  x 4. 0.25 0.25. abc27  10abc27  1000a  bc027  999a  bca 27. mà 999a =  9.111.a=37.27.a 27 Suy ra bca 27 Ta có. 0.25 0.25 0.25 0.25. 31 32 60 31.32...60    2 2 2 230. 0.25.  31.32...60   1.2.3...30  230.  1.2.3...30 . 0.25. . 3.b. 0,25. 1.2.3...60 = 2.4.6...60 =. 0.25. 0.25.  1.3.5...59   2.4.6...60  1.3.5...59  2.4.6...60 .

(20) 4.1. Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau. Trên đường thẳng xy có m điểm phân biệt nên trong hình vẽ có 2m tia. 1. t. x 4.2.a. z. O. 0.25. Tính được  1300 yOt. Trên nửa mặt phẳng bờ Oy có. 0. 5 0.5.    80  130  yOz  yOt.  Tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy. 4.2.b.  100 Tính xOz  500 Tính tOz Suy ra. 0.  tOz   1 xOz  xOt 2.  Tia Ot là phân giác góc xOz 5. 1 1 2   a b 143 b a 2 2 2     ab 143 ab 143  ab 143 Lại có 143 = 1.143 = 11. 13  a = 1, b = 143 hoặc a = 11, b = 13 (vì a < b) Nếu a = 1, b = 143 thì b - a = 142 ≠2 Nếu a = 11, b = 13 thì b - a = 2 thoả mãn. 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.25. 0.25 0.25 0.25. y.

(21) Vậy a = 11, b = 13.. Học sinh làm cách khác Số 6. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN 6 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề). Bài 1 (2 điểm) : Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể) A = 21 . 72 – 11 . 72 + 90 . 72 + 49 . 125 . 16 2 2 2 2 2 B     ...  15 35 63 99 899 C = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + 99 . 100 Bài 2 (1,5 điểm) : Tìm x, biết x 3 .  27 22 . 11  9. a) b) (x – 3).(2x – 7) = 0 c) (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) + … + (x – 100) = 4950 Bài 3 (1,5 điểm) : M. 8n  193 4n  3. Tìm số tự nhiên n để phân số a. Có giá trị là số tự nhiên b. Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số M rút gọn được. Bài 4 (1,5 điểm) : Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 5 dư 4, chia cho 7 dư 5, chia cho 11 dư 6 ? Bài 5 (2,75 điểm) : Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a. Tình độ dài BM b. Cho biết BAM = 800 , BAC = 600 . Tính CAM. c. Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của BAC và CAM. Tính xAy. Bài 6 (0,75 điểm) : 1 1 1 1 1 1  2  2  2  ...   1 2 2 2 2 3 4 5 2011 2012 Chứng minh rằng ------------------------------- Hết --------------------------------. Số 6. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN : TOÁN 6.

(22) A = 72.(21 – 11 + 90 + 125.16) = 49.(21 – 11 + 90 + 2000) = 49 . 2100 = 102900. 0,25đ 0,25đ. 2 2 2 2 2 B     ...  3.5 5.7 7.9 9.11 29.31. Bài 1 (2,0đ). 0,25đ. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1         ...   29 31 = 3 5 5 7 7 9 9 11. 0,25đ. 1 1 28  = 3 31 = 93. 0,25đ. 3.C = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100).3 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ... + 99.100.(101 – 98) = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 + 3.4.5 – ... – 98.99.100 + 99.100.101 = 99.100.101 Suy ra C = 99.100.101: 3 = 33. 100 . 101 = 333300 a). x  3 6. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. x + 3 = 6 hoặc x + 3 = -6 suy ra x = 3 hoặc x = -9 Bài 2 b) x – 3 = 0 hoặc 2x – 7 = 0 Suy ra x = 3 hoặc x = 7/2 (1,5đ) c) 100x – (1 + 2 + 3 + … + 100) = 4950 100x – 5050 = 4950 100x = 10000 suy ra x = 100 8n  193 2(4n  3)  187 187 M  2  4n  3 4n  3 4n  3 a) Để M  N thì 187 ⋮ 4n + 3 => 4n + 3 {1, 11, 17, 187} +) 4n + 3 = 1 => n = -1/2 (loại) +) 4n + 3 = 11 => n = 2 +) 4n + 3 = 17 => 4n = 14 => không có n  N (loại) Bài 3 +) 4n + 3 = 187 => n = 46 (1,5đ) Vậy n = 2; 46 1441 131 M  627 57 b) n = 156 => 1513 89 M  663 39 n = 165 => 1529 139 M  671 61 n = 167 =>. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. Vì a chia cho 5 d 4, chia cho 7 d 5, chia cho 11 d 6 nên (a + 16) ⋮ 5; 7; 11 Bài 4 => a + 16  BC(5; 7; 11) (1,5đ) BCNN(5; 7 ; 11) = 5.7.11 = 385 => BC(5; 7; 11) = {0; 385; 770, 1155; …} Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a + 16 = 385 => a = 369 Bài 5 (2,75đ Vẽ hình đúng A ). B. x. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ. C. M.

(23) a) Do M, B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM => C nằm giữa B và M Ta có BC + CM = BM thay số 5cm + 3cm = BM => BM = 8cm b) Do điểm C nằm giữa hai điểm B,M => Tia AC nằm giữa hai tia AB và AM nên BAC + CAM = BAM Thay số 600 + CAM = 800 => CAM = 200 c. Có xAy = xAC + CAy = =. 1 2. 1 2. 1 2. BAC +. (BAC + CAM) =. 1 2. BAM =. 1 .80 = 2. 40. 1 1 1 1 1 1 1 1     2 2 2 2 1.2 ; 3 2.3 ; 4 3.4 ; … ; 2012 2011.2012 Ta có 2. 1 1 1 1 1 1 1  2  2  ...     2 2 2 2 3 4 2011 2012 1.2 2.3 1 1 1 1 1 1 1 1  2  2  ...       2 2 2 2 3 4 2011 2012 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1  2  2  ...     2 2 2 2 3 4 2011 2012 1 2012. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ. CAM. 0. Bài 6 (0,75đ ). 0,25đ 0,25đ 0,25đ. 0,25đ 0,25đ. 1 1  ...  3.4 2011.2012 0,25đ 1 1 1 1 1    ...   3 3 4 2011 2012. . 2011 = 2012 < 1. 0,25đ. (HS làm đúng theo các khác vẫn cho điểm tối đa). Số 5. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 6 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). Bài 1:( 2,75 điểm) Thực hiện phép tính a, ( 12 + 22 + 32 + ...+ 20122)(91 – 273 : 3) b, (- 284).172 +( - 284 ).( - 72) 1 1 1 1 1 1 1 1 1         5 6 7 8 9 8 7 6 5. c, Bài 2:( 2 điểm) a, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư 1 nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư b, Tìm các chữ số x, y biết rằng số 71x1ychia hết cho 45 Bài 3. ( 2,25 điểm) a, Cho a, b  N nếu 7.a + 3.b 23 thì 4a + 5b 23, điều ngược lại có đúng không b, Cho S = 3 + 32 + 33 + ...+ 31997 + 31998.

(24) Chứng minh rằng S 26 Bài 4:( 1,5 điểm) Cho góc xOy =700 . Vẽ tia Oz sao cho góc xOz = 400. Tính số đo góc yOz Bài 5:( 1,5 điểm) a, Vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây. b, Cho 2012 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tìm số giao điểm của các đường thẳng ấy./. ============= HẾT ==============.

(25) Số 5. Câu a b. 1. c. a 2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 6 Đáp án Điểm 2 2 2 2 ( 1 + 2 + 3 + ...+ 2012 ).0 = 0 0,75 (-284).(172 – 72) = (-284).100 = - 28400  1  1  1  1  1  1  1  1 1 1               5 5  6 6  7 7  8 8  9 9 - Gọi x là số phải tìm (ĐK: x  N ). Theo bài: x – 1 chia hết cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6  x – 1  BC (2;3; 4;5;6) Ta có: BCNN(2;3;4;5;6) = 60  x  1  BC (2;3; 4;5;6)  B(60)  0;60;120;180; 240;300;...  x   1;61;121;181; 241;301;.... Mặt khác: x là số nhỏ nhất chia hết cho 7 Do đó x = 301 b. Vì 45 = 5.9 và (5;9) = 1 nên 71x1 y 45 khi 71x1y 5 và 71x1y 9 Ta có:. 71x1 y 5  y   0;5. * Với y = 0 ta đựơc số 71x10 71x10 9  x 9 nên x   0;9. a. 3 b. 4. 0,75 0,75 0,25 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25. khi đó ta được các số 71010 và 71910 chia hết cho 45 * Với y = 5 ta tìm được x = 4 khi đó ta được các số 71415 chia hết cho 45 Vậy ta tìm được các số 71010; 71910; 71415 Vì 6.(7a + 3b) + (4a + 5b) = 46a +23b = 23(2a + b)  23 Do đó: Nếu (7a + 3b) 23 thì 4a + 5b 23 Nếu 4a + 5b 23 thì (7a + 3b) 23 S = (3 + 32) + (33 + 34) +...+(31997 + 31998) = 12(1 + 32 + 34 + ...+ 31996) 2 S = (3 + 32 +33) +...+ (31996 + 31997 +31998) = 39(1+ ...+ 31995) 13 Vì 26 = 13.2 và (2; 13) = 1 do đó S  26 TH1: Tia Ox và Oy cùng thuộc một nmp có bờ chứa tia 0x. Vì tia Ox và Oy cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox. 0,25.   mà xOy > xOz (700 > 400) nên tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. 0,25.     xOz + zOy = xOy  Thay số tính được zOy = 300. TH2: Tia Oz và Oy thuộc hai nmp đối nhau có bờ chứa tia Ox nên tia Ox nằm giữa hai tia Oz và Oy    xOy zOy xOz + = ta có  Thay số tính được zOy = 1100. 0,5 0,25 0,25 0, 5 0,5 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25.

(26) a 5. b. có ba cách , mỗi cách cho 0,25 điểm - Mỗi đường thẳng cắt 2011 đường thẳng còn lại tạo thành 2011 giao điểm. - Có 2012 đường thẳng nên có 2012.2011 giao điểm Mặt khác: mỗi giao điểm được tính hai lần nên chỉ có: 2012.2011: 2 (giao điểm) Vậy có tất cả 2012.2011: 2 (giao điểm). 0,75 0,25 0,25 0,25. --------------- HẾT --------. Số 4. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 6 Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề ). Câu 1( 2 điểm ): Tính nhanh: A = 35.34 + 35.86 + 65.75 + 65.45 2 5 7 B= 5. 2 2 + 9 11 : 7 7 + 9 11. 1 3 7 6. 1 1 + 4 5 7 7 + 8 10. C = 4 + 22 + 23 + 24 +……+ 220 Câu 2 ( 2 điểm ): Tìm x biết : a) 5x = 125 b) (x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3 ) + …. + (x + 100) = 5750 c) 261x chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1. Câu 3 (2 điểm): a) So sánh phân số A=. 20122012 +1 20122011 +1 B = 20122013 +1 và 20122012 +1. b) Tìm số tự nhiên n để giá trị của phân số : C=. 8n +193 4n + 3 là một số tự nhiên ?. Câu 4 ( 3 điểm): ·. 0. ·. o. ·. a) Cho xOy = 100 .Vẽ tia Oz sao cho zOy = 35 . Tính xOz ? b) Trên đoạn thẳng AB lấy 2013 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là : A, A1,A2,A3, ... , A2011,B.Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB , ta nối M với các điểm A, A1,A2,A3, ... , A2011,B . Tính số tam giác được tạo thành ? Câu 5 ( 1 điểm ): Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 1 - + + < 2 4 8 16 32 64 3.

(27) ----------------------------------HẾT --------------------------------. Số 4 Bài 1 2 điểm. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG. Đáp án A = 35.( 34 + 86 ) + 65 .( 75 + 45 ) = 35.120 + 65 .120 = 120.( 35 + 65) = 120 . 100 = 12 000 æ 1 2.ç ç ç5 è æ 1 7.ç ç ç è 5 B=. 2 2 điểm. MÔN: TOÁN 6. ö æ 1 1÷ 1 + ÷ 2ç ç ÷ ç6 9 11ø è : ö æ 1 1÷ 1 ç + ÷ 7. ç ø ç è6 9 11÷. 1 1ö + ÷ ÷ ÷ 2 2 8 10 ø = : =1 ö 7 7 1 1÷ + ÷ ø 8 10 ÷. Điểm 0,5 đ 0.75 đ. C = 4 + 22 + 23 + 24 +……+ 220 2C = 8 + 23 + 24 + 25 + … + 220 + 221 2C – C = 8 – ( 4 + 22 ) + ( 23 – 23 ) + ( 24 – 24 ) + … +( 220 – 220 ) + 221 C = 221 a) 5x = 125 5x = 53 x=3 b) x + 1 + x + 2 + x + 3 + …. + x + 100 = 5750 (1 + 2 + 3 + …+ 100) + (x + x + x + …+ x) = 5750 101. 50 + 100.x = 5750 5050 + 100. x = 5750 100 .x = 5750 – 5050 100.x = 700 x =7 x Î { 0; 2; 4; 6;8} c) + 261x M2 thì. 0,75 đ. 0,5 đ. 0,75 đ. Số 261x có tổng các chữ số là : 2 + 6 + 1 + x = 9 + x 0,75 đ 261x + Để chia cho 3 dư 1 thì ( 9 + x ) chia cho 3 cũng dư 1 x Î {1; 4; 7} Nên + Để 261x chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì x = 4 3 2 điểm. a) Ta có :. 2012.A =. 20122013 + 2012 2011 =1+ 2013 2012 +1 20122013 +1. (1). 2012. 2012 + 2012 2011 =1+ 2012 2012 +1 20122012 +1 2011 2011 < 2013 2012 Từ (1) và (2) ta thấy : 2012 +1 2012 +1 2012.B =. Suy ra : 2012.A < 2012.B .Vậy A < B. 0,5 đ. (2) 0,5 đ.

(28) C=. 8n +193 2(4n + 3) +187 187 = =2+ 4n + 3 4n + 3 4n + 3. b) Để C là số tự nhiên thì 187 phải chia hết cho 4n + 3 hay Î 1;11;17;187} 4n + 3 là ước của 187. Suy ra 4n + 3 { 1 Ï N Nếu 4n + 3 = 1 Þ n = 2 (loại) Þ Î Nếu 4n + 3 = 11 n = 2 N 7 Ï N nếu 4n + 3 = 17 Þ n = 2 nếu 4n + 3 = 187 Þ n = 46 Î N Vậy n Î { 2; 46}. 4 3 điểm. a)- Trường hợp 1: tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy x. z. 0,5 đ. 0,5 đ. - Trường hợp 2:tia Oy nằm 0.75 đ giữa hai tia Ox và Oz. z. x 0,75 đ. O o · Tính được xOz = 65. y O. y. o · Tính được xOz = 135. b)Trên đoạn thẳng B có các điểm A, A1,A2,A3, ... , A2011,B . do đó , tổng số điểm trên đoạn thẳng AB là 2013 điểm , như vậy sẽ có 2013 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm 0,5 đ đó . Mỗi đoạn thẳng có thể kết hợp với 2012 đoạn còn lại và 0,5 đ các đoạn thẳng tương ứng trên đoạn thẳng Ab để tạo thành 2012 tam giác . Như vậy 2013 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2012.2013 = 4 050 156 tam giác , nhưng mỗi tam giác được tính hai lần .Do đó số tam giác thực có là : 4 050 156 :2 = 2 025 078 tam 0,5 đ giác Vậy số tam giác tạo thành là : 2 025 078 5 1 điểm. Đặt A= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - + + = - 2+ 3- 4+ 5- 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1- + 2 - 3 + 4 - 5 Þ 2.A = 2 2 2 2 2 1 Þ A + 2A = 1 - 26 1 1 26 - 1 6 6 3A = 1 - 2 = 2 < 1 Suy ra A < 3. 0,5 đ.

(29) 1 1 1 1 1 1 1 - + + < Vậy : 2 4 8 16 32 64 3. 0,5 đ. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 6 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1:( 2 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý.  10 a). 2.  112  122  :  132  142 . .. 2 b) 1.2.3...2013  1.2.3...2012  1.2.3....2012. 4  5  5  12  1 3  0,25  : 8  0,75  b) . 1 1 1 1 1 1     ...   2352 2450 c) 2 6 12 20 Bài 2 : (2 điểm) Tìm x biết: 2.  19x  2.5  :14  13  8 a). 2.  42. x  x  1  x  2  ...  x  30 1240.       b) b) x là số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số mà khi chia cho 56; 64; 88 đều dư 31. c) Tìm x, y  N biết: 2x + 624 = 5y Bài 3 : (1,5 điểm) Cho S = 1+3+32 +33+.........+348 +349 a ) Chứng tỏ S chia hết cho 4 b) Tìm chữ số tận cùng của S 350  1 c) Chứng tỏ S = 2 Bài 4: (3,5 điểm) 1.Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB. b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O 2. Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù . Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. a) Tính số đo mỗi góc. b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc? Bài 5: ( 1 điểm ) Cho C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 a) Tính giá trị của biểu thức C b) Dùng kết quả của câu a , tính giá trị của biểu thức D = 22+42+62+…+982.

(30) --------------- HẾT ---------------. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 6 Bài. Đáp án 2. 2. 2. 2. a)  10  11  12  :  13  14. 2. .  100  121  144  :  169  196  365 : 365 1 b) 1.2.3...2013  1.2.3...2012  1.2.3....20122 1.2.3...2012. 2013  1  2012  1.2.3...2012.0 0 Bài 1 ( 2 điểm). Bài 2 ( 2 điểm).  5 7 1  5 3 5  28  3 8 3 c)     :  .   12 3 4  8 4 = 12 5 4 15 8 3 19 .  = 6 5 4= 4. 1 1 1 1 1 1 d )     ...   2 6 12 20 2352 2450 1 1 1 1 1     ...   1.2 2.3 3.4 48.49 49.50 1 1 1 1 1 1 1 1        ...   1 2 2 3 3 4 49 50 1 49 1   50 50 2.  19x  2.5  :14  13  8 a) (19x + 50) : 14 19x + 50 19x x b). 2. Điểm.  42. =9 = 126 = 76 = 4. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25. 0,25 0,25. 0,25 0,25. x   x  1   x  2   ...   x  30  1240.   x  x ...   x    1  2  ...  30  1240   30. 1  30  31x  1240 2 31x 1240  31.15 775 x 25 31. 0,25. 0,25.

(31) c)Ta có x-31 chia hết cho cả 56; 64; 88. Mà BCNN(56; 64; 88) = 4928 nên x-31 = 4928k (k là số tự nhiên) => x = 4928k +31 99999 => k lớn nhất là 20 khi đó x = 98591 d)Nếu x = 0 thì 5y = 20 + 624 = 1 + 624 = 625 = 54  y = 4 (y  N) Nếu x  0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y  N (vô lý ) Vậy: x = 0, y = 4 a )Ta có: S = (1+3)+(32+33)+.......+(348+349) = 4+32(1+3)+......+ 348(1+4) 4 b) S = (1+3+32 +33)+(34+35+36+37)+.....+348 +349 Các tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10 . do đó có tận cùng bằng 0 Mặt khác 338 + 349 = 34.12 + 348 .3 = .....1 + ....1 .3 = .............4 Vậy S có chữ số tận cùng bằng 4 Bài 3 2 3 48 49 (1,5điểm) c) S = 1+3+3 +3 +.........+3 +3 2 3 48 3S = 3 +3+3 +3 +.........+3 +349+ 350 3S – S = 350 – 1 2S = 350 – 1 350  1 Suy ra S = 2. Bài 4 1.( 1,5điểm) ( 3,5điểm). o. m. a. b. n. OA OB ; ON  2 2. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25.  OM  MN ON  MN ON  OM OB  OA AB  MN   2 2. Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). 2.(2 điểm) Vẽ hình đúng B D. C O. 0,25 0,25 0,25. Vì OA < OB, nên OM < ON. Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N. Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có :. A. 0,25. 0,25. Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B suy ra : OA < OB. Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :.  OM . 0,25. 0,25. 0,25 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25.

(32) a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =180 0 mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5. 300 = 1500 b)Vì OD là tia phân giác của BOC nên BOD = DOC =. 0,25. 1 BOC 2. 0,25. =750. Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =180 0 Do đó AOD =1800 – DOC = 1800- 750 = 1050 c)Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc. Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009 góc, nhưng như thế mỗi góc. 0,5. 2010.2009 2 được tính hai lần .Vậy có tất cả =2 019 045 góc. Bài 5 ( 1 điểm). a)C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 3C = 3.1.2+3.2.3+…+ 3.99.100 =(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + …+ (99.100.101- 98.99.100) = 99.100.101 C= (99.100.101) : 3 C= 33.100.101= 36300 b)C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) +...+ (97.98 + 98.99) + 99.100 = (1+3)2 + (3+5)4+...+(97+99)98 + 99.100 = 2.2.2 + 2.4.4 + ...+ 2.98.98 + 9900 = 2(22 + 42+…+ 962+ 982) + 9900 Vây 2(22 + 42+…+ 962+ 982) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400  22 + 42+…+ 962+ 982= 13200. Tổng. 0,25 0,25. 0,25 0,25 10.0 điểm. * Chú ý : Trong quá trình chấm, giáo viên cần chú ý đến sự sáng tạo của học sinh, nếu đúng, hợp lý vẫn cho điểm tối đa, không căn cứ quá cứng vào hướng dẫn chấm.. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 6 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5đ). 23.33.53.7.8 4 3 a) Rút gọn phân số sau: 3.2 .5 .14.

(33) 1 5 1 2 2  b) Tính B = 14: ( 12 8 ) + 14. 4 3 4. Bài 2: (2đ): Tìm x biết: a/ 3 + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)] b/ (x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 205550 c/. x 5. = 18 + 2.(-8). 1 0 d/ (3x – 24 ) .75 = 2.76. 2009. Bài 3: (1đ):. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho : (2x+1)(y-5) = 12. Bài 4: (1đ):. 2 Tính tổng: S=. . 2. . 2. 1.2 2.3 3.4.  ....... . 2. . 2. 98.99 99.100. Bài 5: (1,5đ): 5 Cho biểu thức A = n  2. a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số. b, Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A là số nguyên. Bài 6: (3đ): Cho góc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx, Mt là phân giác của góc xMy. a. Tính góc AMy. b. Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt. ––––– Hết –––––.

(34) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 6. Câu. Đáp án. Điểm. a/ Kết quả : 18 1 (1,5điểm). 2 (2 điểm). 3 (1 điểm). 0,75đ 14 11 b/ Kết quả : 15. a) 3 + 2x-1 = 24 – [42 – (22 - 1)] 3 + 2x-1 = 24 – 42 + 3 2x-1 = 24 – 42 2x-1 = 22 x -1 = 2 x =3 b, ( x +1)+ (x + 2) + (x + 3) + ...+ (x +100) = 205550 x + x + x +...+ x+1+2+3+...+100 = 205550 100x + 5050 = 205550 100x = 200500 x = 2005 c/ x = 7 hoặc x = 3;. 0,5đ 0,5đ 0,5đ. Ta có 2x+1; y-5 là ước của 12 12= 1.12=2.6=3.4 do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3  2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 Hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 Vậy (x,y) = (0,17); (1,9). 0,25đ. S = 1.2.  1. 5 (1,5điểm). 0,5đ. d/ x = 30. 2. 4 (1 điểm). 0,75đ. = 2(. 2. . 2. 2.3 3.4 . 1. .  .......  1. 1.2 2.3 3.4. 2. 0,25đ 0,25đ 0,25đ. 2. . 98.99 99.100.  ....... . 1. . 0,25đ. 1. 98.99 99.100 ). 0,25đ. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       ...     98 99 99 100 ) = 2 (1 2 2 3 3 4. 0,25đ. 1 1 99 99 49  1 = 2 ( 1 100 ) = 2. 100 = 50 50. 0,25đ. a/ n  Z và n 2. 0,5đ 0,25đ. 1; 5 b/ (n - 2 ) Ư( -5) = .

(35)  n  2  1  n  2 1    n  2  5   n  2 5. 0,5đ.  n 1  N  n 3  N   n  3  N   n 7  N. 0,25đ. Vậy n = 1;3;7 6 (3 điểm). 0,5đ. C. y. t. 600 A. x M. a) Tia Mx là tia đối của tia MA, gócAMx là góc bẹt: Góc AMx 1800 => MC nằm giữa MA và Mx AMC  CMx    AMx 600  CMx 1800. nên:góc. thay số:. 0,25đ =>góc.  CMx 1800  600 1200. 0,25đ. My là phân giác của góc CMx nên: My nằm giữa MC và Mx và 1 1  xMy  yMC  xMC  1200 600 2 2 góc. 0,5đ. Tia Mx là tia đối của tia MA, góc AMx là góc bẹt: AMx 1800 => My nằm giữa MA và Mx AMy  yMx  AMx 600  yMx 1800. nên:góc. thay số:. yMx 180  60 120 0. 0. =>góc. 0,5đ. 0. b) Do My là phân giác của góc CMx nên Mx và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia My. Mt là phân giác của góc yMx nên Mt nằm trên cùng nửa mặt phẳngbờ chứa tia My. Vậy Mt và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia My hay My nằm giữa MC và Mt nên:góc 0,5đ.   CMy  yMt CMt (*). Lại có tia Mt là phân giác của góc xMy nên: góc 1 xMt tMy   1 xMy   600 300 2 2 thay số vào(*) ta có: góc  CMt 600  300 900. hay MCvuông góc với Mt. (đpcm). ------------- HẾT ---------------. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 6 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). 0,5đ 0,5đ.

(36) Câu 1. (2 điểm): Tính nhanh A= 3.136.8 + 4. 14.6 -14.150  11  5 4 4  8 B    :    4 9 9 11  33 1 1 1 1 C      10 15 21 120. Câu 2. (2 điểm): So sánh a) 2711 và 818 b)536 và 1124 c) 339 và 1121 Câu 3. (1 điểm): Chứng minh Cho A = 999111 + 51234 Chứng tỏ chia A 2 và A 5 Câu 4. (1,5 điểm): Bạn An nghĩ ra một số có 3 chữ số, nếu bớt số đó đi 8 đơn vị thì được một số chia hết cho 7, nếu bớt số đó đi 9 đơn vị thì được một số chia hết cho 8, nếu bớt số đó đi 10 đơn vị thì được 1 số chia hết cho 9. Hỏi bạn An nghĩ ra số nào? Câu 5: (3,5 điểm): a) Cho 3 điểm A,B,C biết AB= 18 cm; AC= 13 cm; BC= 30 cm. Ba điểm A,B,C có thẳng hàng hay không? Vì sao? b) Lấy thêm 17 điểm phân biệt khác 3 điểm A,B,C cho trước. Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng. c) Nếu có tất cả 1770 đoạn thẳng thì phải lấy thêm bao nhiêu điểm phân biệt khác 3 điểm A,B,C cho trước --------------- HẾT ------------.

(37) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 6 Bài. Đáp án A= 24.136 + 24.14 - 14.150. Điểm 0,25. = 24.(136 + 14)- 14.150. Câu 1 (2điểm). = 24.150 - 14.150. 0,25. = 150. (24- 14)=150.10 =150. 0,25 0,25.  11  5 4 11  8 B        4 9 9 4  33 11   5 4  8     4  9 9  33 11 8 2  1  4 33 3 2 2 2 2 C     20 30 42 240 1 1 1   1  2.       15.16   4.5 5.6 6.7 1 2.   4 1 2.   4. Câu 2 (2điểm). 1 1 1 1 1 1 1         5 5 6 6 7 15 16  1  3 3  2.  16  16 8. 0,25 0,25. 0,25 0,25. a) 2711 = (33)11=333. 0,25. 818 = (34)8 = 332. 0,25. Vì 333 > 332 nên 2711 > 818 b) 536 = (53)12=12512. 0,25 0,25. 1124 = (112)12=12112. 0,25. Vì 12512>12112 nên 536>1124 c) 339<340= (34)10= 8110 và 1121>1120=(112)10=12110. 0,25 0,25. Vì 12110>8110 nên 1121>339 999111 =...9. 0,25 0,25. 51234 = ...1. 0,25. A=999111 + 51234 = ...9 + ...1 = ... 0. 0,25 0,25. Câu 4. Vì A có tận cùng là 0 nên A 2 và A 5 Gọi số bạn An nghĩ ra là A. (1,5điểm). Vì (A-8) 7  (A-1) - 7  7 (A-1)  7. 0,25. Vì (A-9) 8  (A-1) - 8  8 (A-1)  8. 0,25. Vì (A-10) 9  (A-1) - 9  9 (A-1)  9. 0,25. Do đó: (A-1) là bội chung của 7,8,9 và A là số có 3 chữ số nên. 0,25. Câu 3 (1điểm).

(38) 99<A< 1000. Câu 5 (3,5điểm). Từ đó giải và tìm được A-1 = 504. 0,25. Suy ra :A= 505 a) Ta có: 18+13 = 31 ≠ 30 hay AB+AC≠ BC. 0,25.  A không nằm giữa B và C. 0,5. -Bằng cách tương tự cũng chỉ ra được B không nằm giữa A và C;. 0,5. C không nằm giữa A và B.. 0,5. Trong 3 điểm A; B; C không có điểm nào nằm giữa 2 điểm còn lại. 0,25. 0,25  A, B,C không thẳng hàng b) Lấy thêm 17 điểm phân biệt khác 3 điểm A,B,C cho trước thì có tất cả 17+3=20 điểm phân biệt.. 0,25. -Chọn 1 điểm trong số 20 điểm, nối điểm đó với 19 điểm còn lại ta được 19 đoạn thẳng. làm như thế với tất cả 20 điểm, ta được: 19.20. 0,25. đoạn thẳng. Như thế mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần. do đó số đoạn thẳng vẽ được. 0,25. 19.20 190 là 2 đoạn thẳng. 0,25. (nếu Hs kết luận số đoạn thẳng là 20.19 thì cho 0,5 điểm) c)-Gọi số điểm để vẽ được 1770 đoạn thẳng là n Ta có: n.(n-1):2=1770 , tìm được n= 60. Số điểm thêm vào là 57 điểm. 0,5. ĐỀ SỐ I Thời gian làm bài 120 phút 3. Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức. A=. 2. a + 2 a −1 3 2 a +2a +2 a+1. a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) 2. −2 ¿ Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc=n2 −1 và ncba=¿ Câu 3: (2 điểm) a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n 2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (2 điểm) a+n. a. a. Cho a, b, n  N* Hãy so sánh b+n và b b. Cho A =. 1011 −1 ; 1012 −1. B=. 1010+ 1 1011 +1. . So sánh A và B..

(39) Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a 1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. ------------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ II Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99 Câu 2. 12 n+ 1. a. chứng tỏ rằng 30 n+2 b. Chứng minh rằng :. là phân số tối giản.. 1 1 1 1 <1 2 + 2 + 2 +...+ 2 2 3 4 100. Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán . Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. --------------------------------------------------------ĐỀ SỐ III. Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; Bài 2: (1,5đ). b) 32x = 81 ;. c) 52x-3 – 2.52 = 52.3. Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a  5   5  a  5 Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ).

(40) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: . . . a. xOy  xOz  yOz b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại.. ------------------------------------------------------ĐỀ SỐ IV Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Tính: a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. Câu 2. a. Chứng minh rằng nếu: ( ab+ cd+eg ) ∶ 11 thì abc deg ∶ 11. b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8 ∶ 72. Câu 3. Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg. Câu 4. Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng. 6 7. 9. số thứ nhất bằng 11. số thứ 2 và. 2. bằng 3 số thứ 3. Câu 5. Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD. -------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ V. Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3đ): a) So sánh: 222333 và 333222 b) Tìm các chữ số x và y để số 1 x 8 y 2 chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28 Bài 2 (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + ... + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S ⋮ 7 Bài 3 (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28 Bài 4 (3đ): Cho góc AOB = 1350. C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD ĐỀ SỐ VI..

(41) Thời gian làm bài 120 phút Bài 1( 8 điểm 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.. a ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới b a lớn hơn hay bé hơn b ? 4. Cho số 155 ∗710 ∗ 4 ∗16 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu *. 3 . Cho phân số. bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: 1. 1 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 3. 4. 99. 100. 3. a) 2 − 4 + 8 − 16 + 32 − 64 < 3 ; b) 3 − 2 + 3 − 4 +. . .+ 99 − 100 < 16 3 3 3 3 3 Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a 1. b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = 2 (a+b). ----------------------------------ĐỀ SỐ VII Thời gian làm bài: 120 phút. A – Phần số học : (7 điểm ) Câu 1:( 2 điểm ) a, Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao? 23 99. ;. 23232323 99999999. ;. 2323 9999. ;. 232323 999999. b, Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 ⇔ 9x + 5y chia hết cho 17 Câu 2:( 2 điểm ) Tính giá trị của biểu thức sau: 1. 1. A = ( 7 + 23 (30. 1009 – 160) Câu 3 :( 2 điểm ). 1. - 1009. 1. 1. ):( 23. + 7 1. 1. - 1009 1. 1. + 7. 1. 1. . 23. . 1009 ) + 1: 1. 23. a, Tìm số tự nhiên x , biết : ( 1 . 2. 3 + 2 . 3. 4 + . . . + 8. 9 . 10 ).x = 45 b,Tìm các số a, b, c , d N , biết : 1. 30 43. =. 1. a+ b+. 1 c+. 1 d. Câu 4 : ( 1 điểm ) Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất. B – Phần hình học ( 3 điểm ) : Câu1: ( 2 điểm ).

(42) Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao? Câu 2: ( 1 điểm) Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. ----------------------------------------------------------. ĐỀ SỐ VIII Thời gian làm bài : 120’ Bài 1 : (3 đ) Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số . Bài 2 : (3đ) Có bao nhiêu chữ số gồm 3 chữ số trong đó có chữ số 4 ? Bài 3 : (4đ) Cho băng ô gồm 2007 ô như sau : 17. 36. 19. Phần đầu của băng ô như trên . Hãy điền số vào chố trống sao cho tổng 4 số ở 4 ô liền nhau bằng 100 và tính : a) Tổng các số trên băng ô . b) Tổng các chữ số trên băng ô . c) Số điền ở ô thứ 1964 là số nào ? ------------------------------------. ĐỀ SỐ IX. Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1:(1,5đ) Tìm x, biết: a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2 :(1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5  5a 5. Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương..

(43) Bài 5: (2đ). Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: . . . a) xOy  xOz  yOz b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. ---------------------------------------ĐỀ SỐ X ( Lưu ý- ghi Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: a- Chứng tỏ rằng số:. 101995 + 8 9. rồi). là một số tự nhiên.. b- Tìm 2 số tự nhiên có tổng bằng 432 và ƯCLN của chúng là 36. Câu 2: Tính nhanh: a35.34 + 35.86 + 65.75 + 65.45 ; b21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 ; Câu 3: So sánh: 920 và 2713 Câu 4: Tìm x biết: a, |2x - 1| = 5 ; b, ( 5x - 1).3 - 2 = 70 ; Câu 5: Chứng minh tổng sau chia hết cho 7. A = 21 + 22 + 23 + 24 +...+ 259 + 260 ; Câu 6: Để chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi, một học sinh giải 35 bài toán. Biết rằng cứ mỗi bài đạt loại giỏi được thưởng 20 điểm, mỗi bài đạt loại khá, trung bình được thưởng 5 điểm. Còn lại mỗi bài yếu, kém bị trừ 10 điểm. Làm xong 35 bài em đó được thưởng 130 điểm. Hỏi có bao nhiêu bài loại giỏi, bao nhiêu bài loại yếu, kém. Biết rằng có 8 bài khá và trung bình. Câu 7: Cho 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, cứ 2 điểm ta sẽ vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng. ------------------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XI. Thời gian làm bài: 120 phút I. TRẮC NGIỆM:. Điền dấu x vào ô thích hợp:( 1 điểm) Câu. Đúng. 1 1 a. Số -5 5 bằng –5 + 5 3 7. 80 7. (0.25 điểm). Sai.

(44) II. TỰ LUẬN:. Câu 1:Thực hiện các phép tính sau: (4 điểm) a. b. c.. 2181. 729+243 . 81. 27 3 2 . 92 . 234+ 18. 54 . 162. 9+723 . 729 1 1 1 1 1 + + +⋯+ + 1 . 2 2. 3 3 . 4 98 . 99 99. 100 1 1 1 1 + + +⋯+ <1 2 32 4 2 1002 5 . 4 15 − 99 − 4 .320 .8 9 d. 5. 29 .6 19 −7 . 229 . 276. Câu 2: (2 điểm) Một quãng đường AB trong 4 giờ. Giờ đầu đi được 1. đường AB. Giờ thứ 2 đi kém giờ đầu là 12. 1 3. quãng. quãng đường AB, giờ thứ 3 đI kém. 1. giờ thứ 2 12 quãng đường AB. Hỏi giờ thứ tư đi mấy quãng đường AB? Câu 3: (2 điểm) a. Vẽ tam giác ABC biết BC = 5 cm; AB = 3cm ;AC = 4cm. b. Lấy điểm 0 ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia A0 cắt BC tại H, tia B0 cắt AC tại I,tia C0 cắt AB tại K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác. Câu 4: (1 điểm) a. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100; 71991 b.Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau: 51992 ------------------------------------------------------------------------------------------. ĐỀ SỐ XII Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1( 8 điểm ) 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.. a ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn b a hơn hay bé hơn b ? 4. Cho số 155 ∗710 ∗ 4 ∗16 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi. 3 . Cho phân số. các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 396..

(45) 5. Chứng minh rằng: 1. 1 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. a) 2 − 4 + 8 − 16 + 32 − 64 < 3 3. 4. 99. 100. 3. b) 3 − 2 + 3 − 4 +. . .+ 99 − 100 < 16 3 3 3 3 3 Bài 2( 2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a 1. b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = 2 (a+b). -----------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XIII. Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian chép đề) Bài 1( 3 điểm) a, Cho A = 9999931999 1. - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5 1. 1. 1. 1. 7. b, Chứng tỏ rằng: 41 + 42 + 43 + …+ 79 + 80 > 12 Bài 2 ( 2,5 điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 2. 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng 3 số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Bài 3: (2 Điểm). Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Bài4 ; (2,5 điểm) a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. ----------------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XIV Thời gian làm bài 120 phút – (không kể thời gianchép đề) Bài 1(3 điểm). a.Tính nhanh: 1.5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54 A = 1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45 b.Chứng minh : Với k  N* ta luôn có : k  k  1  k  2    k  1 k  k  1 3.k  k  1. .. Áp dụng tính tổng : S= Bài 2: (3 điểm).. 1.2  2.3  3.4  ...  n.  n  1. ..  thì : abc deg11 . a.Chứng minh rằng : nếu  2 3 60 b.Cho A = 2  2  2  ...  2 . Chứng minh : A  3 ; 7 ; 15. Bài 3(2 điểm). Chứng minh : ab  cd  eg 11. 1 1 1 1  3  4  ...  n 2 2 2 2 2 < 1..

(46) Bài 4(2 điểm). a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. b.Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. ------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XV Thời gian làm bài 120 phút – (không kể thời gianchép đề) Câu 1: Cho S = 5 + 52 + 53 + ………+ 52006 a, Tính S b, Chứng minh S M126 Câu 2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11. 3n  2 Câu 3. Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = n  1 có giá trị là số nguyên.. Câu 4. Cho 3 số 18, 24, 72. a, Tìm tập hợp tất cả các ước chung của 3 số đó. b, Tìm BCNN của 3 số đó Câu 5. Trên tia õ cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC. ------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XVI Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2 điểm) Cho 2 tậo hợp. A = n  N / n (n + 1) ≤12. B = x  Z / x < 3. a. Tìm giao của 2 tập hợp. b. có bao nhiêu tích ab (với a  A; b  B) được tạo thành, cho biết những tích là ước của 6. Câu 2: ( 3 điểm). a. Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40. b. Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ số đã cho. Câu 3: (3 điểm). Tính tuổi của anh và em biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Câu 4: (2 điểm). a. Cho góc xoy có số đo 1000. Vẽ tia oz sao cho góc zoy = 350. Tính góc xoz trong từng trường hợp. b. Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau..

(47) ---------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XVII Thời gian làm bài: 120 phút A/. ĐỀ BÀI Câu 1: (2,5 điểm) Có bao nhiêu số có 3 chữ số trong đó có đúng một chữ số 5? Câu 2: Tìm 20 chữ số tận cùng của 100! . Câu 3: Người ta thả một số Bèo vào ao thì sau 6 ngày bèo phủ kín đầy mặt ao. Biết rằng cứ sau một ngày thì diện tích bèo tăng lên gấp đôi. Hỏi : a/. Sau mấy ngày bèo phủ được nửa ao? b/. Sau ngày thứ nhất bèo phủ được mấy phần ao? Câu 4: Tìm hai số a và b ( a < b ), biết: ƯCLN( a , b ) = 10 và BCNN( a , b ) = 900. Câu 5: Người ta trồng 12 cây thành 6 hàng, mỗi hàng có 4 cây. Hãy vẽ sơ đồ vị trí của 12 cây đó. --------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XVIII Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Với q, p là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng: P4 – q4 ⋮ 240 Câu 2: (2đ) Tìm số tự nhiên n để phân bố. A=. 8 n+193 4 n+ 3. a. Có giá trị là số tự nhiên b. Là phân số tối giản c. Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được. Câu 3: (2đ) Tìm các nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)2 .(y-3)2 = - 4 Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a. Tình độ dài BM b. Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 . Tính góc CAM. c. Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM . Tính góc xAy. d. Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tính độ dài BK. Câu 5: (1đ) 2. 2. 2. 2. Tính tổng: B = 1 . 4 + 4 . 7 + 7 . 10 +.. . .+ 97 .100 ---------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XIX Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(1đ): Hãy xác định tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó. 1. M: Tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 5 và bé hơn 30..

(48) 2. P: Tập hợp các số 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81. Câu 2(1đ): Chứng minh rằng các phân số sau đây bằng nhau. 41 4141 414141 1. 88 ; 8888 ; 888888 27425  27 27425425  27425 99900000 2. 99900 ;. Câu 3(1,5đ): Tính các tổng sau một cách hợp lí. a) 1+ 6+ 11+ 16+ ...+ 46+ 51 52 52 52 52 52 52      b) 1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31. Câu 4(1,5đ): Tổng kết đợt thi đua kỷ niệm ngày nhà giáo Việt Nam 20/11, lớp 6A có 43 bạn được từ 1 điểm 10 trở lên; 39 bạn được từ 2 điểm 10 trở lên; 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên; 5 bạn được 4 điểm 10, không có ai trên 4 điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua đó lớp 6A có bao nhiêu điểm 10. Câu 5(1,5đ): Bạn Nam hỏi tuổi của bố. Bố bạn Nam trả lời: “Nếu bố sống đến 100 tuổi thì 6/7 của 7/10 số tuổi của bố sẽ lớn hơn 2/5 của 7/8 thời gian bố phải sống là 3 năm”. Hỏi bố của bạn Nam bao nhiêu tuổi. Câu 6(2đ): Cho tam giác ABC có BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm. a) Tính độ dài BM b) Cho biết góc BAM = 800, góc BAC = 600. Tính góc CAM c) Tính độ dài BK nếu K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1cm. Câu 7(1,5đ): Cho tam giác MON có góc M0N = 1250; 0M = 4cm, 0N = 3cm a) Trên tia đối của tia 0N xác định điểm B sao cho 0B = 2cm. Tính NB. b) Trên nửa mặt phẳng có chứa tia 0M, có bờ là đường thẳng 0N, vẽ tia 0A sao cho góc M0A = 800. Tính góc A0N. ----------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XX Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thay (*) bằng các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho 3. b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 Câu 2: (1,5đ) Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100 Câu 3: (3,5 đ) Trên con đường đi qua 3 địa điểm A; B; C (B nằm giữa A và C) có hai người đi xe máy Hùng và Dũng. Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B. Họ cùng khởi hành lúc 8 giờ để cùng đến C vào lúc 11 giờ cùng ngày. Ninh đi xe đạp từ C về phía A, gặp Dũng luc 9 giờ và gặp Hùng lúc 9 giờ 24 phút. Biết quãng đường AB dài 30 km, vận tốc của ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng. Tính quãng đường BC Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1; A2; A3; ...; A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2; A3; ...; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành Câu 5: (1đ).

(49) 8. Tích của hai phân số là 15 . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới 56. là 15 . Tìm hai phân số đó. ------------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XXI Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (1.5đ) Chứng minh các phân số sau đây bằng nhau: 25 ; 53. 2525 5353. ;. 252525 535353. Câu 2: (1,5đ) Không quy đồng mẫu hãyáo sánh hai phân số sau: 37 67. và 677. (x − 5). 30 20 x = +5 100 100. Câu 3: (2đ) Tìm số tự nhiên x, biết:. 377. Câu 4: (3đ) Tuổi trung bình của một đội văn nghệ là 11 tuổi. Người chỉ huy là 17 tuổi. Tuổi trung bình của đội đang tập (trừ người chỉ huy) là 10 tuổi. Hỏi đội có mấy người. Câu 5: (2đ) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù nhau. Góc yOz bằng 300 . a.Vẽ tia phân giác Om của góc xOy và tia phân giác On của góc yOz. b.Tính số đo của góc mOn. ---------------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XXII. Thời gian làm bài: 120 phút. Câu I : 3đ Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí : 1) A = 2) B=. 636363 .37 −373737 . 63 1+2+3+ .. ..+2006 12 12 12 4 4 4 12+ − − 4+ + + 6 19 37 53 17 19 2006 124242423 1 . : . 41 1 3 3 5 5 5 237373735 3+ − − 5+ + + 3 37 53 17 19 2006. (. ). Câu II : 2đ 4 a 5 b⋮ 45 Tìm các cặp số (a,b) sao cho : Câu III : 2đ Cho A = 31 +32+33 + .....+ 32006 a, Thu gọn A b, Tìm x để 2A+3 = 3x Câu IV : 1 đ So sánh: A = Câu V: 2đ. 20052005 +1 20052006 +1. và B =. 20052004 +1 20052005 +1.

(50) Một học sinh đọc quyển sách trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đọc được sách; ngày thứ 2 đọc được. 3 5. 2 5. số trang. số trang sách còn lại; ngày thứ 3 đọc được 80% số. trang sách còn lại và 3 trang cuối cùng. Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang? -----------------------------------ĐỀ SỐ XXIII Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (1,5đ): Dùng 3 chữ số 3; 0; 8 để ghép thành những số có 3 chữ số: a. Chia hết cho 2 b. Chia hết cho 5 c. Không chia hết cho cả 2 và 5 Bài 2 (2đ): a. Tìm kết quả của phép nhân A = 33 ... 3 x 99...9 50 chữ số. 50 chữ số. b. Cho B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2B + 3 = 3n Bài 3 (1,5 đ): Tính a.. 101  100  99  98  ...  3  2  1 C = 101  100  99  98  ...  3  2  1 3737.43  4343.37 D = 2  4  6  ...  100. b. Bài 4 (1,5đ): Tìm hai chữ số tận cùng của 2100. Bài 5 (1,5đ): Cho ba con đường a1, a2, a3 đi từ A đến B, hai con đường b 1, b2 đi từ B đến C và ba con đường c1, c2, c3, đi từ C đến D (hình vẽ). a1 a2. A. b1 B. C b2. a3. c1 c2. D. c3. Viết tập hợp M các con đường đi từ A dến D lần lượt qua B và C Bài 6 (2đ): Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. có tất cả bao nhiêu đường thẳng. -------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XXIV Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(2đ). 27+ 4500+135+550 .2. a. Tính tổng S = 2+ 4+ 6+.. . .14 +16+18 2006. b. So sánh: A = Bài 2 (2đ). 2006 +1 2007 2007 +1. 2005. và B =. 2006 +1 2006 2006 +1.

(51) a. Chứng minh rằng: C = 2 + 22 + 2 + 3 +… + 299 + 2100 chia hết cho 31 b. Tính tổng C. Tìm x để 22x -1 - 2 = C Bài 3 (2đ) Một số chia hết cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho1292 dư bao nhiêu Bài 4 (2đ) Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn được từ 1 điểm 10 trở lên, 39 bạn được 2 điểm 10 trở lên, 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên, 5 bạn được 4 điểm 10, không có ai được trên 4 điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua lớp 6A được bao nhiêu điểm 10 Câu 5 (2đ) Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu. ----------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XXV Thời gian làm bài: 120 phút 1. Tính các giá trị của biểu thức. a. A = 1+2+3+4+.........+100. 1 3 3 4 4 4 4 (3+ − − ) 4 + + + 1 3 7 53 17 19 2003 : . b. B = -1 5 . 1 3 3 5 5 5 3+ − − 5+ + + 3 37 53 17 19 2003 1 1 1 1 1 c. C = 1 . 2 + 2. 3 + 3 . 4 + 4 .5 +. ..+ 99 . 100. 2. So sánh các biểu thức : a. 3200 và 2300. 121212. 2. 404. 10. b. A = 171717 + 17 − 1717 với B = 17 . 3. Cho 1số có 4 chữ số: *26*. Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho tất cả 4số : 2; 3 ; 5 ; 9. 4. Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! +2! +3! +...+n!. là số chính phương? 5. Hai xe ôtô khởi hành từ hai địa điểm A,B đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ. Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10 phút. Biết rằng để đi cả quãng đường AB . Xe thứ nhất cần 2 giờ , xe thứ hai cần 3 giờ. Hỏi sau khi đi 2 xe gặp nhau lúc mấy giờ? . 0. 6. Cho góc xOy có số đo bằng 1200 . Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: AOy =75 0  . Điểm B nằm ngoài góc xOy mà : BOx =135 . Hỏi 3 điểm A,O,B có thẳng hàng không? Vì sao? ----------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XXVI Thời gian làm bài: 120 phút 1 1 1 1 A   2  3  ...  100 3 3 3 3 Câu 1: Tính tổng. Câu 2: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: a 5 b 12 c 6    b 3 ; c 21 ; d 11.

(52) Câu 3: Cho 2 dãy số tự nhiên 1, 2, 3, ..., 50 a-Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất. b-Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất. Câu 4: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD, tạo thành các góc AOB, BOC, COD, DOA   không có điểm chung. Tính số đo của mổi góc ấy biết rằng: BOC = 3 AOB ;     COD = 5 AOB ; DOA = 6 AOB ----------------------------------------------------------. ĐỀ SỐ XXVII Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3đ). a. Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh thích cả ba môn, 12 học sinh không thích môn nào. Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh? b. Cho số: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …….58 59 60. - Số A có bao nhiêu chữ số? - Hãy xóa đi 100 chữ số trong số A sao cho số còn lại là: + Nhỏ nhất + Lớn nhất Câu 2: (2đ). a. Cho A = 5 + 52 + … + 596. Tìm chữ số tận cùng của A. b.Tìm số tự nhiên n để: 6n + 3 chia hết cho 3n + 6 Câu 3: (3đ). a. Tìm một số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số đó cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4 và cho 10 dư 9. b. Chứng minh rằng: 11n + 2 + 122n + 1 Chia hết cho 133. Câu 4: (2đ). Cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n? ----------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XXVIII Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề). Bài 1:(2,25 điểm) Tìm x biết a) b) c). 1 7  x+ 5 25 4 5  x- 9 11. (x-32).45=0. Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất: a) A = 11 + 12 + 13 + 14 + …..+ 20. b) B = 11 + 13 + 15 + 17 + …..+ 25. c) C = 12 + 14 + 16 + 18 + …..+ 26. Bài 3:(2,25 điểm) Tính:.

(53) a) b) c). 5 5 5 5    ...  61.66 A= 11.16 16.21 21.26 1 1 1 1 1 1      B= 2 6 12 20 30 42 1 1 1 1   ...   ...  1989.1990 2006.2007 C = 1.2 2.3. Bài 4:(1 điểm) 102001  1 ; 2002 Cho: A= 10  1. 102002  1 B = 2003 10  1 .. Hãy so sánh A và B. Bài 5:(2,25 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. a) Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. b) Tính IK. ------------------------------------------------------------ĐỀ SỐ XXIX Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề). Bài 1: ( 3 điểm) a. Chứng tỏ rằng tổng sau khôngm chia hết cho 10: A = 405n + 2405 + m2 ( m,n N; n # 0 ) b. Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: B=. 2 n+2 5 n+17 3 n + − n+2 n=2 n+2. c. Tìm các chữ số x ,y sao cho: C = Bài 2 (2 điểm ) 10 10. 10. x 1995 y. chia hết cho 55. 10. a. Tính tổng: M = 56 + 140 + 260 +.. . .+ 1400 3. 3. 3. 3. 3. b. Cho S = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 . Chứng minh rằng : 1< S < 2 Bài 3 ( 2 điểm) Hai người đi mua gạo. Người thứ nhất mua gạo nếp , người thứ hai mua gạo tẻ. Giá gạo tẻ rẻ hơn giá gạo nếp là 20%. Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều hơn khối lượng gạo nếp là 20%. Hỏi người nào trả tiền ít hơn? ít hơn mâya % so với người kia? Bài 4 ( 3 điểm) Cho 2 điểm M và N nằm cùng phía đối với A, năm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm. Chứng tỏ rằng: a. Bốn điểm A,B,M,N thẳng hàng b. Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB c. Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròng tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C, tính chu vi của Δ CAN . -----------------------------------------------------------.

(54) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014. Số 12. MÔN: TOÁN LỚP 6 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề). Câu 1(3 điểm): Thực hiện phép tính a) A=1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…82 16 2.  3.4.2 . 13 11 9 b) B= 11.2 .4  16. 131313. c) C = 70.( 565656. 131313. + 727272. 131313. + 909090 ). Câu 2(2 điểm) Cho A = 1+3 + 32 + … + 329+330 a) TÝnh A. b) A cã ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng? c) Chøng tá A-1 chia hÕt cho 7 Câu 3(4 điểm) : Tìm x   biết : 3. 5 2 a)  7 x  11 2 .5  200 5 3 b)  2 x  15   2 x  15 . c) x+(x+1)+(x+2)+…+(x+2013)=2035147.  1 1 1 1  1 2.     ...   9.10 10.11 11.12 x(x  1)   9 d) Câu 4: ( 6 ®iÓm ) a) Cho S = 3 + 3 + 3 + 3 + 3. 10 11 12 13 14. . Chøng minh r»ng : 1< S < 2. b. Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: 2n  2 5n  17 3n   n2 n2 B = n2 135 c) T×m mét ph©n sè b»ng ph©n sè 165 , biÕt hiÖu gi÷a mÉu sè vµ tö sè cña ph©n. số đó là 28 Câu5 ( 2 ®iÓm ) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3, hái p2+2012 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè C©u 6: (3 ®iÓm). a) Cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đờng thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đờng thẳng. Tính n? 0. b) Cho 2 gãc xOy vµ yOz lµ hai gãc kÒ bï víi nhau vµ yOz 30 . Trªn nöa 0 0 mặt phẳng bờ xz có chứa tia Oy kẻ tia On. Biết xOn  , tìm giá trị của  để tia Oy lµ tia ph©n gi¸c cña nOz . ================HÕt==================. Số 12. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GI.

(55) NĂM HỌC 2013 - 2014. MÔN: TOÁN LỚP 6. ĐÁP ÁN. BIỂU ĐIỂM. Câu 1 a) A=1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…82. 0,25 0,25 0,25 0,25. =1.2.3…8.9-1.2.3…8-1.2.3…8.8 = 1.2.3…8.(9-1-8) =1.2.3…0 =0 16.  3.4.2 . 2. 13 11 9 b)B= 11.2 .4  16 2. 0,25. 16.  3.2 .2 .  11.213.222  236 9.236  11.235  236 9.236  35 2 .  11  2 . 0,25 0,25. 36. . 9.2 2 235.9. 0,25 131313. c) C = 70.( 565656. +. 131313 727272. 0,25. 131313 ) 909090. = 70.(. +. 13 56. +. 13 72. +. 1 1 + 7.8 8. 9 1 1 = 70.13.( ) 7 10. = 70.13.(. 13 ) 90. +. 0,25 1 ) 9. 10. 0,25 0,25. = 39. Câu 2(2 điểm) Cho A = 1+3 + 32 + … + 329+330 a) A = 1+3 + 32 + … + 329+330. 0,25 0,25.  3 A 3  32  33  ...  330  331. .  3 A  A (3  32  33  ...  330  331 )  1  3  32  33  ...  330  2 A 331  1 331  1  A 2. b) Ta có 7. 7. 331  34 .33  ...1 .33  ...1 .  ...7   ...7 .  .  331  1  ...6  . 331  1  ...3 2. 0,25 0,25 0,25. .

(56) Mà số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 3 nên A không phải là số chính phương. 0,25 c) Ta có 2A-1=3 + 32 + … + 329+330 Từ 1  30 có 31 số tự nhiên liên tiếp nên từ 31  330 có 31 lũy thừa của 3, nhóm 2 lũy thừa vào một cặp ta sẽ có 15 cặp 0,25. như sau A  31  34  (32  35 )  ...  327  330.     A  3  3   3 .  3  3   ...  3 .  3  3  A  3  3  .  1  3  ...  3  A 84.  1  3  ...  3  A 7.12.  1  3  ...  3  7 1. 4. 1. 4. 1. 1. 4. 26. 1. 1. 1. 0,25. 4. 26. 26. 1. 26. 0,25.  A7. Câu 3 3. 7 x  11 25.52  200  a) 3  7 x  11 32.25  200 3  7 x  11 1000 3  7 x  11 103  7 x  11 10 7 x 10  11 7 x 21 x 3. 0,25 0,25. 0,25 0,25 5. b)  2 x  15   2 x  15  5 3  2 x  15    2 x  15  0.  2 x  15  .   2 x  15 3. 0,25. 2. 3. 0,25. .  1 0.   2 x  15  3 0     2 x  15  2  1 0  2 x  15 0  x 7,5  .  2 x  15 . 2. 2.  1 0   2 x  15  12.  2 x  15 1 2 x 16 x 8(  ). 0,25 0.25. Vậy x=8 0.25 c) x+(x+1)+(x+2)+…+ (x+2013)=2035147  (x+0)+(x+1)+(x+2)+…+ (x+2013)=2035147(1) NX : Từ 0  2013 có 2014 số tự nhiên liên 0.25 tiếp nên từ x+0  x  2013 có 2014 số x Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ  30 là 0.25.

(57)  2013  0  .2014 2027091 2. Vậy từ (1)ta có 2014.x+2027091=2035147 2014.x=20351472027091 2014.x=8056 x=8056 :2014 x=4. 0.25 0.25. d)  1 1 1 1  1 2.     ...   x(x  1)  9  9.10 10.11 11.12 1 1  1 1 1 1 1 2.      ...    x x 1  9  9 10 10 11 1 1  1 2.     9 x 1  9 2 2 1   9 x 1 9 2 1   x  1 18  x 17 x 1 9. 0.5. 0.75 1 0.25. Câu 4 0.5 a)S = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 => S + + + + > + + + + 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 > =1 (1) S= 15 0.5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 => + + + + < + + + + 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 15 20 S< (2) ( < =2 10 10 Tõ (1) vµ (2) => 1 < S < 2 1. b). B= 2 n+ 9 5 n+17 3 n 2 n+ 9+5 n+17 −3 n 4 n+26 + − = = n+2 n+2 ❑ n+2 n+2 n+2 1 4( n+2)+18 18 B = 4 n+26 = =4+ n+2 n+2 n+ 2. 0.5. 18 §Ó B lµ sè tù nhiªn th× n  2 lµ sè tù nhiªn ( 18) = ⇒ 18 ⋮ (n+2) => n+2 { 1; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 } +, n + 2= 2 ⇔ n= 0 +, n + 2= 3 ⇔ n= 1 +, n + 2= 6 ⇔ n= 4 +, n + 2= 9 ⇔ n= 7 +, n + 2= 18 ⇔ n= 16 VËy n { 0 ; 1; 4 ; 7 ; 16 } th× B. 0.5. 0.25. N.

(58) c) 135 9 0.75   165 11 Ta có các phân số bằng phân số 135 9n (n  Z ; n 0) 165 đều có dạng 11n. Vì hiệu giữa mẫu và tử của phân số là 28 nên 11n-9n=28  n 14 9.14 126  Vậy phân số phait tìm là 11.14 154. Câu5 Vì p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 Nên p không chia hết cho 3. 0.75 0.25.  p 3k 1; p 3k  2.  Nếu p=3k+1 thì 2. p 2  3k  1 3k .  3k  1  1.  3k  1 3k . 3k  1 3;1. 3k 1.    không chia hết cho Vì  3 nên p2 không chia hết cho 3 Nên p2 có dạng. 0.5. p 2 3m  1  p 2  2012 3m  1  2012 3m  2013 3.(m  671)3 . p2+2012 Là hợp số. 0.5.  Nếu p=3k+2 thì 2. p 2  3k  2  3k .  3k  2   2.  3k  2  3k .  3k  2   2.3k  4  p 2 : 3(1)  p 2 3m  1. vẽ 0.5. p 2 3m  1  p 2  2012 3m  1  2012 3m  2013 3.(m  671)3 . p2+2012 Là hợp số Vậy p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 thì p2+2012 Là hợp số Câu6 a) qua 1 điểm bao giờ cũng vẽ được 1 đường thẳng nên +chọn 1 điểm trong n điểm cho trước( trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng) thì ta sẽ vẽ được n đường thẳng. 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25.

(59) + n-1 điểm thì ta sẽ vẽ được n-1 đường thẳng. Nhưng số điểm đã được tính 2 lần nên số đường thẳng thực tế tạo thành là n.  n  1 2. Nếu có 105 đường thẳng thì ta có n.  n  1. 105 2 n.  n  1 2.105 210 15.14  n 15. Vậy có 15 điểm b) n y x O. z. Vì xOy; yOz là 2 góc kề bù nên xOy  yOz 1800. Theo bài ra nếu Oy là tia phân giác của góc nOz thì zOy yOn 300  zOy  yOn 600. Vì On thuộc nửa mặt phẳng bờ xzcó chứa tia Oy nên On tạo với xz 2 góc kề bù là xOn; nOz  xOn  nOz 1800  xOn 1800  nOz 1800  600 1200   1200. Vậy để Oy là tia phân giác của góc nOz 0 thì  120 (Chú ý: Các cách làm khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa). 1/ (3 đ) Tính giá trị các biểu thức: 3 3 7   8 4 12 a) A = 2 3 17 2 .40%. .10. 3 8 72. 2 2 19 5 3  5 7 35 b) B =. c) C =. 4 2 5 x 3 2/(2 đ) Tìm x ,biết : a) 9 b) x + 75%.x = 8 17 1717 171717 3/ (1đ) Các phân số 99 ; 9999 999999 có bằng nhau không ? Vì sao ?.

(60) 4/ (1đ) Tính tổng :. 4 4 4 4 4     42 56 72 90 110. ĐỀ KIỂM TRA MỘT TIẾT MÔN:TOÁN. THỜI. GIAN:45(PHÚT) PHẦN I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7Đ) Câu 1:TÌM X:(2Đ) x 2  a/ 5 5. 3 6  b/ 8 x. 1 x  c/ 9 27. 4 8  d/ x 6. Câu 2:tìm x:(2đ) 3 4  a/ x  5 x  2. x 8  b/  2 x. Câu 3:giải bài toán:(1đ) Một phân số có tử số bằng 4,nếu thêm ở tử 32 đơn vị và giữ nguyên mẫu số rồi thu gọn thì được một phân số mới bằng nghịch đảo của phân số ban đầu…tìm phân số đã cho…. CÂU 4:GIẢI BÀI TOÁN SAU:(1Đ) Một phân số có mẫu số bằng 6,nếu thêm ở tử 6 đơn vị và nhân mẫu cho 7 rồi thu gọn thì được một phân số mới bằng. 5 .Tìm phân số ban đầu 7. Câu 5:Giải bài toán sau (1đ) Khối lớp 6 của trường trung học cơ sở trần đại nghĩa có sinh khá ,. 1 học sinh trung giỏi , 8. 3 5. học. 4 15 học sinh trung bình, học sinh kém, học sinh yếu.Hỏi học lức học sinh 9 7. nào xếp nhiều nhất trong khối,học lực học sinh nào xếp ít nhất trong khối. PHẦN II:PHẦN DÀNH RIÊNG CHO HỌC SINH (CHÚ Ý:HỌC SINH CHỈ LỰA CHON MỘT TRONG HAI PHẦN) PHẦN A:PHẦN CƠ BẢN:(3Đ) 23.34 24.52.112.7 ; 3 3 2 2 2 Câu 1:Rút gọn phân số sau (1đ) : 2 .3 .5 2 .5 .7 .11 25.9  25.17 48.12  48.15 Câu 2: Rút gọn rồi quy đồng (1đ)  8.80  8.10 và  3.270  3.30 n+6 Câu 3:Tìm n để biểu thức sau đạt giá trị nguyên :A= (n z ) (1đ) n− 3. PHẦN B:PHẦN NÂNG CAO :(3Đ) 121.75.130.169 39.60.11.198. 1998.1990  3978 Câu 1:Rút gọn phân số sau (1đ) , 1992.1991  3984 25.7  25 34.5  36 5 2 5 4 4 Câu 2: Rút gọn rồi quy đồng (1đ) 2 .5  2 .3 và 3 .13  3 4 n −5 Câu 3;Tìm giá trị của n để biểu thức sau đạt giá trị nguyên (1đ):A= 2 n −1. (n z ).

(61) ĐỀ KIỂM TRA MỘT TIẾT MÔN:TOÁN. THỜI. GIAN:45(PHÚT) PHẦN I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7Đ) Câu 1:TÌM X:(2Đ) x 2  a/ 5 5. 3 6  b/ 8 x. 1 x  c/ 9 27. 4 8  d/ x 6. Câu 2:tìm x:(2đ) 3 4  a/ x  5 x  2. x 8  b/  2 x. Câu 3:giải bài toán:(1đ) Một phân số có tử số bằng 4,nếu thêm ở tử 32 đơn vị và giữ nguyên mẫu số rồi thu gọn thì được một phân số mới bằng nghịch đảo của phân số ban đầu…tìm phân số đã cho…. CÂU 4:GIẢI BÀI TOÁN SAU:(1Đ) Một phân số có mẫu số bằng 6,nếu thêm ở tử 6 đơn vị và nhân mẫu cho 7 rồi thu gọn thì được một phân số mới bằng. 5 .Tìm phân số ban đầu 7. Câu 5:Giải bài toán sau (1đ) Khối lớp 6 của trường trung học cơ sở trần đại nghĩa có sinh khá ,. 1 học sinh trung giỏi , 8. 3 5. học. 4 15 học sinh trung bình, học sinh kém, học sinh yếu.Hỏi học lức học sinh 9 7. nào xếp nhiều nhất trong khối,học lực học sinh nào xếp ít nhất trong khối. PHẦN II:PHẦN DÀNH RIÊNG CHO HỌC SINH (CHÚ Ý:HỌC SINH CHỈ LỰA CHON MỘT TRONG HAI PHẦN) PHẦN A:PHẦN CƠ BẢN:(3Đ) 23.34 24.52.112.7 ; 3 3 2 2 2 Câu 1:Rút gọn phân số sau (1đ) : 2 .3 .5 2 .5 .7 .11 25.9  25.17 48.12  48.15 Câu 2: Rút gọn rồi quy đồng (1đ)  8.80  8.10 và  3.270  3.30 n+6 Câu 3:Tìm n để biểu thức sau đạt giá trị nguyên :A= (n z ) (1đ) n− 3. PHẦN B:PHẦN NÂNG CAO :(3Đ) 121.75.130.169 39.60.11.198. 1998.1990  3978 Câu 1:Rút gọn phân số sau (1đ) , 1992.1991  3984 5 5 4 2 .7  2 3 .5  36 5 2 5 4 4 Câu 2: Rút gọn rồi quy đồng (1đ) 2 .5  2 .3 và 3 .13  3 4 n −5 Câu 3;Tìm giá trị của n để biểu thức sau đạt giá trị nguyên (1đ):A= 2 n −1. (n z ). II. NỘI DUNG Việc tính tổng của các biểu thức thông thường ( hữu hạn số hạng) ta chỉ áp dụng đúng thứ tự và quy tắc phép toán là có thể giải được bài toán. Vấn đề đặt ra là cách.

(62) khai thác để giải bài toán tính tổng có dạng: S n= a1+a2+a3+...+an (n=1,2,3…) thì chúng ta phải làm như thế nào ? Sau đây tôi đưa ra một số dạng bài cơ bản và phương pháp khai thác để giải các dạng bài toán đó. II.1. Phương pháp tách số hạng: 1. Dạng 1:Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử là 1 và mẫu là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. 1.1. Ví dụ 1: Tính 1 1 1 1 S    ...  1.2 2.3 3.4 2004.2005. Học sinh phải nhận dạng được mỗi số hạng của tổng có thể tách được như sau. 1 1 1   ; 1.2 1 2. 1 1 1 1 1 1   ;...........   2.3 2 3 2004.2005 2004 2005. Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được. 1  1 1 2004  1 1  1 1  1 S 1          ...    1    2005 2005  2 2  3 3  2004 2004  2005. 1.2. Ví dụ 2: S. 1 1 1   ...  9.10 10.11 2004.2005. Tính tổng Nhận xét: Ta thấy tổng này giống hệt như tổng ở ví dụ 1 ta dùng cách tách các số hạng như ở ví dụ 1: 1 1 1 1 1 1 S     ...   9 10 10 11 2004 2005 1 1 1996    9 2005 18045 1 Nhận xét tổng quát: Nếu số hạng tổng quát có dạng: n n  1 1 1 1   n n  1 n n  1 Thì ta tách như sau:. Từ đó ta có công thức tổng quát để tính tổng như sau: 1 1 1 1 S   ...  1  1 .2 2 .3 n n  1 n 1. 2. Dạng 2: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử số là 1, mẫu là tích hai thừa số hơn kém nhau “k” đơn vị. 2.1. Ví dụ 1: 1 1 1 S   ...  1.3 3.5 2003.2005. Cách 1 Học sinh phải nhận dạng được các số hạng đều có dạng - Tử số của các số hạng đó là 1 - Mẫu là tích của hai số tự nhiên hơn kém nhau hai đơn vị. Ta có thể tách như sau: 1 1  1  1   1.3 2  3  1 1 1 1     3.5 2  3 5 . ……………………….

(63) 1 1 1 1      2003.2005 2  2003 2005 . Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được: 1  1   1 1  1  1  1  1002  1 S   1        ...       1   2  3   3 5   2003 2005   2  2005  2005. Nhận xét kết quả: - Thừa số nhỏ nhất, lớn nhất của mẫu các số hạng là 1; 2005 - Kết quả bằng tích của hiệu các nghịch đảo thừa số nhỏ nhất và thừa số lớn nhất với nghịch đảo đơn vị kém hơn. Cách 2 1 1 1 S   ...  1.3 3.5 2003.2005 a b a b 1 1     Ta thấy: b.a b.a b.a b a. (a,bN, a>b ) Ta phải biến đổi sao cho tử số của tất cả các số hạng phải là khoảng cách hai thừa số dưới mẫu thì tất cả các hạng tử đều tách ra được: 2 1 1   1 .3 1 3 2 1 1   3 .5 3 5 .................. 2 1 1   2003.2005 2003 2005 2 2 2 1  1 1  1 1  1    ...          ...     1.3 3.5 2003.2005  1 3   3 5   2003 2005  1 2004 1   2005 2005 1 1 1 Mµ S    ...  1.3 3.5 2003.2005 2 2 2 2004  2S    ...   1 .3 3 .5 2003.2005 2005 2004 1002 S :2  2005 2005. Chú ý: Thông qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai hay gặp: 1 1 1   3.5 3 5 là sai M 1 1   Nhận xét tổng quát: b.a b a với a-b=M. Bài toán tổng quát. Sn . 1 1 1   ...  a(a  m) (a  m)( a  2m)  a   n  1 m  a  nm. 11 1  Sn     m  a a  nm . 3. Dạng 3: Mẫu các số tự nhiên liên tiếp. 3.1. Ví dụ 1: Tính tổng sau: 1 1 1 Sn    ...  1 .2 .3 2 .3 .4 n n  1 n  2 . với m=1;2;3.. n=1;2;3..

(64) Nhận xét đề bài: - Tử các số đều là 1 - Mẫu các số hạng đều là 3 tích số tự nhiên liên tiếp. Ta có. 1 Số hạng tổng quát có dạng n n  1 n  2 1 1 1 1      1.2.3 2  1.2 2.3  1 1 1 1      2.3.4 2  2.3 3.4  .......... .......... .......  1 1 1 1     n n  1 n  2 2  n n  1  n  1 n  2 . Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được.  1 1 1 1 1 1 1  S n       ...   2  1.2 2.3 2.3 3.4 n n  1  n  1 n  2  . Nhận xét kết quả Nếu mẫu có 3 thừa số thì tổng bằng tích nghịch đảo của( 3-1) với hiệu nghịch đảo của tích 2 thừa số có giá trị nhỏ nhất và tích 2 thừa số có giá trị lớn nhất  1 1 1  S n    2  1.2  n  1 n  2 . 3.2 Ví dụ 2. Tính tổng sau. 1 1 1 Sn    ...  1.2.3.4 2.3.4.5 n n  1 n  2  n  3. Nhận xét đề bài - Tử các số hạng là 1 - Mẫu các số hạng đều là 4 tích số tự nhiên liên tiếp. Ta có. 1 Số hạng tổng quát có dạng n n  1 n  2 n  3 1 1 1 1      1.2.3.4 3  1.2.3 2.3.4  1 1 1 1      2.3.4.5 3  2.3.4 3.4.5 . ....................................  1 1 1 1     n  n  1  n  2   n  3 3  n  n  1  n  2   n  1  n  2   n  3  . Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được  1 1 1 1 1 1 1 Sn       ...    3  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 n  n  1  n  2   n  1  n  2   n  3   1 1 1        3 1 . 2 . 3 n  1 n  2 n  3   =. Bài toán tổng quát.

(65) 1 1 1 Sn    ...  1.2.3...m 2.3.4... m  1 n n  1 n  2 ... n  m  1  1  1 1   Sn           m  1 1 . 2 . 3 ... m  1 n  1 n  2 n  3 ... n  m  1   Ta có ngay. với m=2;3;4... n=1; 2; 3…… Chú ý: Ví dụ 1: Có thể khai thác cho học sinh thấy trong tổng 1 1 1 Sn    ...  1.2.3 2.3.4 n n  1 n  2. Thì 3-1=4-2=…..=n+2-n=2 2 2 2  2S n    ...  1.2.3 2.3.4 n n  1 n  2   1  1   1 1  1  1  2 S n         ...    1.2 2.3   2.3 3.4   n n  1  n  1 n  2   1 1   1.2  n  1 n  2   1 1 1  S n       2 1 . 2 n  1 n  2   =>. Như vậy: 2m 1 1   a  a  m  a  2m  a  a  m   a  m  a  2m  3m 1 1 *   a  a  m  a  2m  a  3m  a a  m  a  2m   a  m  a  2m  a  3m  *. Một số bài tập áp dụng Tính các tổng sau: 1 1 1 1 1 1 1 A       2 6 12 20 30 42 56 1 1 1 B   ...  1.4 4.7 2002.2005 3 3 3 C   ...  15.22 22.29 85.92 1 1 1 D   ...  1.3 3.5  2n  1  2n 1. 7 8 668 §S : 2005 11 §S : 460 §S :. §S :. n 2n  1. 1 1 1 n 2  2n E   ...  §S : 1.3.5 3.5.7 3  2n  1  2n  3  2n  1  2n  1  2n  3. II.2. Tính tổng bằng phương pháp giải phương trình ( làm trôi) Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng của một dãy số viết theo thứ tự tăng (giảm) mà các số hạng của tổng quan hệ với nhau là: Mỗi số hạng liền trước( liến sau) đều hơn (kém) nhau “q” lần thì ta có thể nhân hoặc chia từng số hạng của tổng cho “q” để xuất hiện một tổng dãy số có quan hệ tường minh với tổng ban đầu 1. Dạng 1: các số hạng của tổng luôn nhỏ hơn hoặc băng 1 1.1 Ví dụ 1. Tính tổng sau 1 1 1 S   2  ...  2005 2 2 2. (1).

(66) Ta thấy mỗi số hạng liền sau của tổng đều kém số hạng liền trước của nó “2” lần 2 S 1 . 1 1 1  2  ...  2004 2 2 2. (2) Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được S 1 . 1 2 2005. 2 2005  1  2005 2. 1.2 Ví dụ 2. Tính tổng 1 1 1 S   ...  1.3 3.5 2003.2005 a b a b 1 1     Ta thấy: b.a b.a b.a b a. (a,bN, a>b ) Ta phải biến đổi sao cho tử số của tất cả các số hạng phải là khoảng cách hai thừa số dưới mẫu thì tất cả các hạng tử đều tách ra được: 2 2 2 1  1 1  1 1  1 2S    ...          ...     1.3 3.5 2003.2005  1 3   3 5   2003 2005  1 2004 1   2005 2005 2004 1002 S :2  2005 2005. 2. Dạng 2:Các số hạng của tổng lớn hơn hoặc bằng 1 2.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau S 30  31  3 2  ...  3100. Ta thấy mỗi số hạng sau gấp số hạng liền trước nó “2” lần . Cách làm tương tự như bài toán ở dạng 1 Ta có : 3S 31  3 2  ...  3100  3101 2 S 3101  1 S. 3101  1 2. 2.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với nN* Để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp 2 số ta nhân mỗi số hạng của tổng với 3. Thừa số 3 này được viết dưới dạng: 3-0 ở số hạng thứ nhất 4-1 ở số hạng thứ hai 5-2 ở số hạng thứ ba (n+2)-(n-1) ở số hạng thứ cuối cùng Ta có 3Sn=1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)} =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1)) =n(n+1)(n+2) n n  1 n  2 3 =>Sn=. Tổng quát cho 2 trường hợp trên ta có S n 1  a  a 2  ...  a n . a n 1  1 a  1 với nN ; 1<aN. II.3. Tính tổng bằng phương pháp qui nạp toán học.

(67) Trong một số trường hợp tính tổng của một dãy số, ta chỉ thông qua một số phép tính một vài số hạng đầu tiên ta có thể dự đoán kết quả. Phương pháp này dễ dàng thực hiện được phép tính tổng, tuy nhiên việc vân dụng phương pháp này chỉ giải quyết một số ít bài toán ở dạng tính tổng của dãy số. Lí do là một số bài toán việc tìm ra giả thiết quy nạp còn gặp nhiều khó khăn. Ví dụ: Muốn tính hay chứng minh một mệnh đề S k(k=1;2;3…) nào đó mà ta thấy mệnh đề đó đúng với 1; 2; 3 giá trị đầu tiên của k thì ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học để tính hoặc chứng minh mệnh đề đó. Các bước giải bài toán này như sau: Bước 1: Thử một vài giá trị đầu tiên xem tính đúng đắn của mệnh đề Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k. Nghĩa là Sk đúng . Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề đó đúng với n=k+1, tức là Sk+1 đúng Bước 4: Kết luận bài toán. Ví dụ: Tính tổng Sn =1 + 2 + 3 + …+ n với nN n n  1 Dự đoán kết quả: Sn= 2. Với n= 1thì S1= 1. (đúng). 2 2  1 3 Với n=2 thì S2=1+2= 2 3 3  1 6 Với n=3 thì S3=1+2+3= 2. (đúng) (đúng). Giả sử kết quả trên đúng với n=k tức là k  k  1 Sk=1+2+3+…+k= 2. Ta phải chứng minh kết quả trên đúng với n=k+1.  k  1 k  2 2 Tức là phải chứng minh Sk+1= Thật vậy Sk+1= 1+2+3+...+k+ (k+1) k  k  1 2 + (k+1) =  k  1 k  2 2 = (ĐPCM). Suy ra dự đoán trên là đúng n n  1 Vậy Sn=1+2+3+…+n= 2. Sau đây là một số bài tập tương tự Tính các tổng sau: 1. Sn=1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) 2. Sn=12+22+32+…+n2. với nN* với nN*. ĐS : Sn=n2 n n  1 2n  1 6 ĐS: Sn= n 2  n  1 4 ĐS: Sn=. 2. 3. Sn=13+23+33+…+n3 với nN* 4. Sn=13+33+53…+(2n-1)3 với nN* ĐS: Sn= n2(2n2-1) II.4. Phương pháp tính tổng thông qua tổng đã biết. Qua thực tế giải toán ta gặp những tổng của dãy số cần tính có thể biểu diễn qua tổng hữu hạn của tổng khác mà ta đã biết khi đó ta có thể biến đổi tổng cần tính làm.

(68) xuất hiện các tổng mà ta đã biết kết quả. Việc làm như vậy có thể tính được tổng phức tạp thông qua tổng đã biết 1. Dạng 1: Tách tổng đã cho thành các tổng đã biết (tổng đã tính được) 1.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với nN* Ta thấy n.(n+1)=n2+n Nên ta có Sn =12+22+32+…+n2+1+2+…+n n n  1 2n  1 n n  1  6 2 n. n  1 n  2  3 . Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên băng cách khác như sau: Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với nN* 3Sn =1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)} …+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1)) =n(n+1)(n+2). =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+. n n  1 n  2 3 =>Sn=. 1.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau: Sn=1.3+3.5+5.7+…+(2n-1)(2n+1) Nhận xét - Khai thác từ số hạng tổng quát ta có (2n-1)(2n+1)=4n2-1 n. S a 1. n. n. . . đề. bài. :. n.  4a 2  1  4a 2  1.n a 1. a 1. 4n n  1 2n  1  n 6 2n n  1 2n  1   n 3 . 2. Dạng 2:Tính tổng thông qua việc lập hiệu hai tổng trung gian Ví dụ: Tính tổng sau. Sn=13+33+53+…+(2n+1)3 Nhận xét đề bài: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp. Muốn tính tổng trên ta lập một tổng là tổng lập phương của các số tự nhiên liên tiếp rồi bới đi phần cộng thêm. Giải Sn=13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-{23+43+63+…+(2n)3} =13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-23{13+23+33+…+(2n)3} 2.  2n 2n  1   n n  1   23    2   2  =. ={n(2n+1)}2-2{n(n+1)}2 =n2(4n2+4n+1-2n2-4n-2) =n2(2n2-1). 2.

(69) Số 10_. ĐỀ THI KĐCL HỌC SINH GIỎI. NĂM HỌC: 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN 6 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) 2 2 2 2 A= + + +... + 11.15 15.19 19.23 51.55 a. Cho Tính tích: A.B .. æ 5 ö 11 æ1 ö B =ç ç- ÷ ÷× ×ç ç +1÷ ÷ 3 2 è ø è3 ø ;. b. Chứng tỏ rằng các số tự nhiên có dạng: abcabc chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố. Câu 2. (2,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho chia nó cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, cho 7 ta được các số dư theo thứ tự là: 1; 2; 3; 4; 5; b. Tìm số nguyên a để 2a + 1 chia hết cho a - 5; Câu 3. (2,0 điểm) 3 - x =x - 5 a. Tìm x biết:. y 1 1   b. Tìm các số nguyên x; y sao cho: 3 x 3 .  a, b   1  a, b  6. c. Tìm số tự nhiên a và b biết: a - b = 5 và Câu 4. (1,5 điểm) Cho: M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3upload.123doc.net+ 3119 N. 1. 22. . 1. 32. . 1. 42.  ... . 1. 20092. . 1. 20102. Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho 13. b) N  1 Câu 5. (2,5 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho   xOy 800 , xOz 1300. a) Chứng tỏ tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz . b) Gọi Ot là tia đối của tia Ox. Tia Oz có phải là tia phân giác của tOy không? Vì sao? c) Lấy các điểm A thuộc tia Ot; B thuộc tia Oz; C thuộc tia Oy; D thuộc tia Ox, (các điểm đó khác điểm O). Qua 5 điểm A, B, C, D, O vẽ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt? Hết./..

(70) Câu 1. a. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KĐCL HSG NĂM HỌC 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 6 Nội dung cần đạt 2 2 2 2 1 æ1 1 1 1 1 1 1 1ö A= + + +... + = ç + + ... + - ÷ ç ÷ 11.15 15.19 19.23 51.55 2 è11 15 15 19 19 51 51 55 ø 1 æ1 1 ö 1 4 4 2 = ç = ç - ÷ ÷= . = 2 è11 55 ø 2 55 2.55 55 æ 5 ö 11 æ1 ö æ 5 ö 11 4 55.2 ç- ÷ ÷. . ç ç +1÷ ÷=ç ç- ÷ ÷. . =B =ç 9 è 3 ø 2 è3 ø è 3 ø 2 3. b. Điểm 0,5. 0,5. 2 55.2 -4 . A.B = 55 ( 9 ) = 9 abcabc =1000.abc +abc =1001abc =7.11.13abc chia hết cho ít nhất ba số. 0,25. 0,75 nguyên tố: 7; 11; 13 2. a. Vì n chia 3; 4; 5; 6; 7 lần lượt dư là 1; 2; 3; 4; 5 nên n+2 chia hết cho 3; 4; 5; 6 và 7 nghĩa là n+2 là BC(3;4;5;6;7) 0.5 Mà BCNN(3;4;5;6;7) = 420 Vậy n+2 = 840 suy ra n = 838 0.5 (Vì n là số TN lớn nhất có 3 chữ số) 2a  1 2(a  5)  11 11 b. 0.5  2  a  5 a  5 a  5 Ta có: Để 2a+1 chia hết cho a- 5 thì a-5 là ước của 11 Suy ra: a -5 = 1 hoặc a -5 = -1 hoặc a - 5 = 11hoặc a - 5 = -11 Suy ra: a =6 hoặc a= 4 hoặc a = 16 hoặc a = -6 3.a.. *) 5 - x =3  x = 2 *) 5 - x =- 3  x = 8 b. y 1 1 y 1 1 y 1 1        3 x Ta có: 3 x 3 3 3 x. Nên: (y - 1).x = 3  ta có bảng x y-1 y c..  a, b   a, b . 3 1 2. 1 3 4. 1    a, b  6.( a, b) 6. -3 -1 0. -1 -3 -2. 2. '. '. 2. '. '. 0.5 0.25. Gọi d = (a,b) suy ra: a = d.a' ;. b = d. b' Ta có: a.b = [a,b].(a,b) nên d.a'.d.b' = 6.(a,b).(a,b) '. '. hay d .a .b = 6.d  a .b = 6  (a = 3; b = 2); (a’ = 6; b’=1) (Vì a>b  a'>b' ) Mặt khác a - b = 5  d.a' - d.b' = 5. 2,0. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25. 5 - x +1 =4 Û 5 - x =3. 2,0. 0.5. 2,5.

(71) TH1:  d(a' - b') = 5  d = 5,  a = 15; b = 10. 0.25. TH2:  d(a' - b') = 5  5d = 5,  d = 1  a = 6; b = 1 4. 1,0 t. z. 5 1300 x. A. t. 300. O. B. M. A x. 1300. M. O. 300. y. B y. 2,5. z. a. Trên tia Oy có OM < OB ( vì 1cm < 4cm) nên M nằm giữa O và B => MO + MB = OB => MB = OB – MO = 3cm. (1). 0,5. Vì Ox, Oy đối nhau, A thuộc Ox, M thuộc Oy nên O nằm giữa A và M AM = AO + OM = 3cm b. (2). Từ (1) và (2) => MB = MA = 3cm hay M là trng điểm cả AB 0,5 HS vẽ hình được 2 trường hợp: (Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy; Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy). 0,5. HS lập luận tính đúng: 0,5. 0  + Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy: tOz =100. . 0. + Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy: tOz =160 HS làm cách khác đúng yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa. Số 9- ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN :TOÁN LỚP 6 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) *****************. 0,5.

(72) Bài 1(1,5 điểm): a) So sánh: 2225 và 3151 b). −7 −15 −15 −7 So sánh không qua quy đồng: A= 2005 + 2006 ; B= 2005 + 2006 10. 10. 10. 10. Bài 2 (1,5 điểm): Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) b). −1 − 1 −1 − 1 −1 − 1 + + + + + 20 30 42 56 72 90 5 4 3 1 13 B= + + + + 2. 1 1 .11 11 . 2 2 . 15 15 . 4. A=. Bài 3 (1,5 điểm): Cho A =. n− 2 n+3 .Tìm giá trị của n để:. a) A là một phân số. b) A là một số nguyên.. Bài 4 (1,5 điểm):. 10 n −3 a)Tìm số tự nhiên n để phân số B= 4 n− 10 đạt giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó. x. 3. 1. b)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 9 − y =18 Bài 5 (1,5 điểm):Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?. Bài 6 (2,5 điểm): Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù . Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. a) Tính số đo mỗi góc. b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?. ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP 6 Bài 1(1,5 điểm): a) 2225 = 23.75 = 875 ; 3151 > 3150 mà 3150 = 32.75 = 975. (0,5điểm).

(73) 975 > 875 nên: 3150 > 2225 .Vậy: 3151 > 3150 > 2225. (0,25điểm). ¿. b=. −7 − 15 −7 −8 −7 − 15 −7 −7 −8 −7 −8 −8 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 ¿ B= 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 ¿ (0,25điểm) > 2005 ⇒ A > 2005 2006 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10. (0,25điểm) Bài 2(1,5 điểm):. (0,5điểm) (0,25điểm) ¿. a=. − 1 −1 − 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +. ..+ =−( + + +.. .+ )¿=−( − + − + + +. ..+ − )=− 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9. 10 4 5 5 6 6 7(0,5điểm) 9 10. ¿. b=. (0,25điểm). 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 1 1 1 1 1 + + + + =7 .( + + + + )¿=7 .( − + − + 2 .1 1. 11 11 .2 2 .15 15 . 4 2. 7 7 . 11 11 .14 14 . 15 15 .28 2 (0,25điểm) 7 7 11 11. Bài 3(1,5 điểm): a ¿ A=. n −2 là phân số khi: n-2 n+3 ⇔ n. Z , n+3 Z và n. Z và n+3. 0. (0,5điểm). -3. (0,25điểm) b ¿ A=. n −2 (n+3)− 5 5 = =1− n+3 n+3 n+ 3. A là số nguyên khi n+3. (0,25điểm). { −1 ; 1; − 5; 5 } Ư(5) ⇔ n+3 ⇔ n { − 4 ; −2 ; −8 ; 2 }. (0,25điểm) (0,25điểm). Bài 4 (1,5 điểm):. 10 n −3 5 (2 n− 5)+22 5 22 5 11 (0,25điểm) = = + = + 4 n− 10 2 2( 2n −5) 2 2 n −5 2 ( 2 n −5 ) 11 B đạt giá trị lớn nhất khi 2 n −5 đạt giá trị lớn nhất. Vì 11>0 và không đổi nên 11 đạt giá trị lớn nhất khi:2n - 5> 0 và đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ 2n - 5 = 1 ⇔ 2 n −5 a ¿ B=. n=3 ( 0,25điểm). 5. Vậy:B đạt giá trị lớn nhất là 2 +11=13 ,5 khi n = 3 (0,25điểm) x. 3. 1. 3. x. 1. 2 x −1. b) Từ 9 − y =18 ta có: y = 9 − 18 =18 (x,y N) (0,25điểm) Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó y Ư(54) = { 1; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54 } , vì 54 là số chẵn mà { 2; 6 ;18 ; 54 } 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. Vậy y Ta có bảng sau: y. 2. 6. 18. 54. 2x-1. 27. 9. 3. 1. x. 14. 5. 2. 1. (0,25điểm).

(74) {(14 ; 2);(5 ; 6);(2 ; 18); (1; 54) } Vậy (x;y) (0,25điểm) Bài 5(1,5 điểm): Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) (0,25điểm) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3. (0,25đi ểm) Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 . Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg. (0,25điểm) Số xoài và cam còn lại : 359 71= 288 (kg) (0,25điểm) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) (0,25điểm) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg . các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg. (0,25điểm) Bài 6(2,5 điểm:) Vẽ hình đúng B. (0,25điểm). D. C. A. O. a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 (0,25điểm) mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 (0,25điểm) Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5. 300 = 1500 (0,5điểm) b)Vì OD là tia phân giác của góc 1. BOC nên BOD = DOC = 2 BOC = 750. (0,25điểm) Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 (0,25điểm) 0 0 0 0 Do đó AOD =180 - DOC = 180 - 75 = 105 (0,25điểm) c) Tất cả có n+4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3 góc.Có n+4 tia nên tạo thành (n+4) (n+3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .Vậy có tất cả (0,5điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng. Số 9- ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN :TOÁN LỚP 6 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) *****************. Bài 1(1,5 điểm):. (n+ 4)(n+3) góc 2.

(75) a) So sánh: 2225 và 3151. −7 −15 −15 −7 So sánh không qua quy đồng: A= 2005 + 2006 ; B= 2005 + 2006. b). 10. 10. 10. 10. Bài 2 (1,5 điểm): Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a). −1 − 1 −1 − 1 −1 − 1 + + + + + 20 30 42 56 72 90 5 4 3 1 13 B= + + + + 2. 1 1 .11 11 . 2 2 . 15 15 . 4. A=. b). Bài 3 (1,5 điểm): Cho A =. n− 2 n+3 .Tìm giá trị của n để:. a) A là một phân số. b) A là một số nguyên.. Bài 4 (1,5 điểm):. 10 n −3 a)Tìm số tự nhiên n để phân số B= 4 n− 10 đạt giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó. x. 3. 1. b)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 9 − y =18 Bài 5 (1,5 điểm):Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?. Bài 6 (2,5 điểm): Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù . Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. a) Tính số đo mỗi góc. b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?. ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP 6 Bài 1(1,5 điểm): a) 2225 = 23.75 = 875 ; 3151 > 3150 mà 3150 = 32.75 = 975 975 > 875 nên: 3150 > 2225 .Vậy: 3151 > 3150 > 2225 ¿. b=. (0,5điểm) (0,25điểm). −7 − 15 −7 −8 −7 − 15 −7 −7 −8 −7 −8 −8 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 ¿ B= 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 ¿ (0,25điểm) > 2005 ⇒ A > 2005 2006 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10. (0,25điểm).

(76) Bài 2(1,5 điểm):. (0,5điểm) ¿. a=. − 1 −1 − 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +. ..+ =−( + + +.. .+ )¿=−( − + − + + +. ..+ − )=− 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9. 10 4 5 5 6 6 7(0,5điểm) 9 10 ¿. b=. (0,25điểm). 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 1 1 1 1 1 + + + + =7 .( + + + + )¿=7 .( − + − + 2 .1 1. 11 11 .2 2 .15 15 . 4 2. 7 7 . 11 11 .14 14 . 15 15 .28 2 (0,25điểm) 7 7 11 11. Bài 3(1,5 điểm): a ¿ A=. n −2 là phân số khi: n-2 n+3 ⇔ n. Z , n+3 Z và n. Z và n+3. 0. (0,5điểm). -3. (0,25điểm) b ¿ A=. n −2 (n+3)− 5 5 = =1− n+3 n+3 n+ 3. A là số nguyên khi n+3. (0,25điểm). { −1 ; 1; − 5; 5 } Ư(5) ⇔ n+3 ⇔ n { − 4 ; −2 ; −8 ; 2 }. (0,25điểm) (0,25điểm). Bài 4 (1,5 điểm):. 10 n −3 5 (2 n− 5)+22 5 22 5 11 (0,25điểm) = = + = + 4 n− 10 2 2( 2n −5) 2 2 n −5 2 ( 2 n −5 ) 11 B đạt giá trị lớn nhất khi 2 n −5 đạt giá trị lớn nhất. Vì 11>0 và không đổi nên 11 đạt giá trị lớn nhất khi:2n - 5> 0 và đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ 2n - 5 = 1 ⇔ 2 n −5 a ¿ B=. n=3 ( 0,25điểm). 5. Vậy:B đạt giá trị lớn nhất là 2 +11=13 ,5 khi n = 3 (0,25điểm) x. 3. 1. 3. x. 1. 2 x −1. b) Từ 9 − y =18 ta có: y = 9 − 18 =18 (x,y N) (0,25điểm) Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó y Ư(54) = { 1; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54 } , vì 54 là số chẵn mà { 2; 6 ;18 ; 54 } 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. Vậy y Ta có bảng sau: y. 2. 6. 18. 54. 2x-1. 27. 9. 3. 1. 5. 2. 1. x 14 {(14 ; 2);(5 ; 6);(2 ; 18); (1; 54) } Bài 5(1,5 điểm):. Vậy (x;y) (0,25điểm) (0,25điểm).

(77) Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) (0,25điểm) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3. (0,25đi ểm) Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 . Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg. (0,25điểm) Số xoài và cam còn lại : 359 71= 288 (kg) (0,25điểm) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) (0,25điểm) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg . các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg. (0,25điểm) Bài 6(2,5 điểm:) Vẽ hình đúng B. (0,25điểm). D. C. A. O. a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 (0,25điểm) mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 (0,25điểm) Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5. 300 = 1500 (0,5điểm) b)Vì OD là tia phân giác của góc 1. BOC nên BOD = DOC = 2 BOC = 750. (0,25điểm) Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 (0,25điểm) 0 0 0 0 Do đó AOD =180 - DOC = 180 - 75 = 105 (0,25điểm) c) Tất cả có n+4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3 góc.Có n+4 tia nên tạo thành (n+4) (n+3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .Vậy có tất cả (0,5điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng. Số 9- ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN :TOÁN LỚP 6 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) *****************. Bài 1(1,5 điểm): a) So sánh: 2225 và 3151 b). −7 −15 −15 −7 So sánh không qua quy đồng: A= 2005 + 2006 ; B= 2005 + 2006 10. 10. 10. 10. (n+ 4)(n+3) góc 2.

(78) Bài 2 (1,5 điểm): Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a). −1 − 1 −1 − 1 −1 − 1 + + + + + 20 30 42 56 72 90 5 4 3 1 13 B= + + + + 2. 1 1 .11 11 . 2 2 . 15 15 . 4. A=. b). Bài 3 (1,5 điểm): Cho A =. n− 2 n+3 .Tìm giá trị của n để:. a) A là một phân số. b) A là một số nguyên.. Bài 4 (1,5 điểm):. 10 n −3 a)Tìm số tự nhiên n để phân số B= 4 n− 10 đạt giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó. x. 3. 1. b)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 9 − y =18 Bài 5 (1,5 điểm):Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?. Bài 6 (2,5 điểm): Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù . Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. a) Tính số đo mỗi góc. b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?. ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP 6 Bài 1(1,5 điểm): a) 2225 = 23.75 = 875 ; 3151 > 3150 mà 3150 = 32.75 = 975 975 > 875 nên: 3150 > 2225 .Vậy: 3151 > 3150 > 2225. (0,5điểm) (0,25điểm). ¿. b=. −7 − 15 −7 −8 −7 − 15 −7 −7 −8 −7 −8 −8 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 ¿ B= 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 ¿ (0,25điểm) > 2005 ⇒ A > 2005 2006 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10. (0,25điểm) Bài 2(1,5 điểm):. (0,5điểm) (0,25điểm).

(79) ¿ − 1 −1 − 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a= + + +. ..+ =−( + + +.. .+ )¿=−( − + − + + +. ..+ − )=− 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9. 10 4 5 5 6 6 7(0,5điểm) 9 10 ¿. b=. (0,25điểm). 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 1 1 1 1 1 + + + + =7 .( + + + + )¿=7 .( − + − + 2 .1 1. 11 11 .2 2 .15 15 . 4 2. 7 7 . 11 11 .14 14 . 15 15 .28 2 (0,25điểm) 7 7 11 11. Bài 3(1,5 điểm): a ¿ A=. n −2 là phân số khi: n-2 n+3 ⇔ n. Z , n+3 Z và n. Z và n+3. 0. (0,5điểm). -3. (0,25điểm) b ¿ A=. n −2 (n+3)− 5 5 = =1− n+3 n+3 n+ 3. A là số nguyên khi n+3. (0,25điểm). { −1 ; 1; − 5; 5 } Ư(5) ⇔ n+3 ⇔ n { − 4 ; −2 ; −8 ; 2 }. (0,25điểm) (0,25điểm). Bài 4 (1,5 điểm):. 10 n −3 5 (2 n− 5)+22 5 22 5 11 (0,25điểm) = = + = + 4 n− 10 2 2( 2n −5) 2 2 n −5 2 ( 2 n −5 ) 11 B đạt giá trị lớn nhất khi 2 n −5 đạt giá trị lớn nhất. Vì 11>0 và không đổi nên 11 đạt giá trị lớn nhất khi:2n - 5> 0 và đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ 2n - 5 = 1 ⇔ 2 n −5 a ¿ B=. n=3 ( 0,25điểm). 5. Vậy:B đạt giá trị lớn nhất là 2 +11=13 ,5 khi n = 3 (0,25điểm) x. 3. 1. 3. x. 1. 2 x −1. b) Từ 9 − y =18 ta có: y = 9 − 18 =18 (x,y N) (0,25điểm) Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó y Ư(54) = { 1; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54 } , vì 54 là số chẵn mà { 2; 6 ;18 ; 54 } 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. Vậy y Ta có bảng sau: y. 2. 6. 18. 54. 2x-1. 27. 9. 3. 1. Vậy (x;y). x 14 5 2 1 (0,25điểm) {(14 ; 2);(5 ; 6);(2 ; 18); (1; 54) } (0,25điểm) Bài 5(1,5 điểm): Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) (0,25điểm).

(80) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3. (0,25đi ểm) Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 . Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg. (0,25điểm) Số xoài và cam còn lại : 359 71= 288 (kg) (0,25điểm) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) (0,25điểm) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg . các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg. (0,25điểm) Bài 6(2,5 điểm:) Vẽ hình đúng B. (0,25điểm). D. C. A. O. a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 (0,25điểm) mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 (0,25điểm) Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5. 300 = 1500 (0,5điểm) b)Vì OD là tia phân giác của góc 1. BOC nên BOD = DOC = 2 BOC = 750. (0,25điểm) Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 (0,25điểm) 0 0 0 0 Do đó AOD =180 - DOC = 180 - 75 = 105 (0,25điểm) c) Tất cả có n+4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3 góc.Có n+4 tia nên tạo thành (n+4) (n+3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .Vậy có tất cả (0,5điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng. (n+ 4)(n+3) góc 2.

(81)

luyen thi violympic toan

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về