Tài liệu Sổ tay Kỹ Thuật Thuỷ Lợi -Phần 1-Tập 1 -Chương 1 pdf

Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông thôn
viện khoa học thủy lợi








sổ tay kỹ thuật thủy lợi

phần 1
cơ sở kỹ thuật thủy lợi


tập 1
ã Toán học

ã Cơ kết cấu



Chủ biên
GS. TSKH. Phạm Hồng Giang

biên soạn
PGS. TS. Phó Đức Anh - PGS. TS. Nguyễn Hữu Bảo
GS. TS. Phạm Ngọc Khánh - GS. TS. Nguyễn Văn Lệ
PGS. TS. Dương Văn Thứ - PGS. TS. Hoàng Đình Trí

Nhà xuất bản nông nghiệp
Hà Nội - 2005
2 sổ tay KTTL * Phần 1 - Cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1






sổ tay kỹ thuật thủy lợi




Thường trực Ban biên tập:


GS. TSKH. Phạm Hồng Giang, Trưởng ban
GS. TS. Nguyễn Tuấn Anh, Phó Trưởng ban
ths. Nguyễn Bỉnh Thìn, ủy viên

PGS. TS. Lê Minh, ủy viên
TS. Đinh Vũ Thanh, ủy viên
CN. Trần Thị Hồng Lan, ủy viên thư ký


Lời giới thiệu 3 3





Lời Giới Thiệu


Hàng ngày, hàng giờ, n-ớc không thể thiếu cho cuộc sống,
cho sự phát triển kinh tế x hội. Đồng thời, quá nhiều n-ớc lại có
thể gây nhiều tai họa. Việt Nam có nguồn n-ớc t-ơng đối dồi dào
nh-ng l-ợng n-ớc phân bố theo thời gian hết sức chênh lệch
do m-a hầu nh- chỉ tập trung trong chừng 3 tháng mỗi năm.
Thủy lợi góp phần quyết định vào việc điều hòa nguồn nước, đưa nước
đến những nơi cần thiết và giảm nhẹ mức ngập lụt khi xảy ra mưa lũ. Vì
vậy, thủy lợi là kết cấu hạ tầng rất quan trọng của toàn xã hội.
Đảng và Nhà n-ớc ta rất quan tâm phát triển thủy lợi. Nhân
dân ta đ dành nhiều công sức xây dựng những hệ thống thủy lợi,
góp phần không nhỏ vào thắng lợi của sự nghiệp giải phóng dân
tộc cũng nh- trong công cuộc đổi mới gần 20 năm qua. Đội ngũ
các nhà nghiên cứu, các chuyên gia, kỹ s-, kỹ thuật viên đ tr-ởng
thành nhanh chóng. Hàng loạt các quy trình, quy phạm, tiêu chuẩn
kỹ thuật đ đ-ợc ban hành cùng với rất nhiều tài liệu tra cứu,
tham khảo, sách giáo khoa,... đ đ-ợc xuất bản.

Trong thời kỳ mới, sự nghiệp công nghiệp hóa và hiện đại
hóa đất n-ớc đang đặt ra những yêu cầu cao cho nhiệm vụ phát
triển thủy lợi. Nhu cầu n-ớc cho dân sinh, cho sản xuất công
nghiệp, nông nghiệp, cho các hoạt động dịch vụ, giao thông, cho
giữ gìn và cải thiện môi sinh,... đang không ngừng tăng lên. Mức
an toàn phải cao khi đối phó với lũ lụt. Nhiều hệ thống thủy lợi và
các công trình thủy điện với quy mô khác nhau sẽ đ-ợc xây dựng
trên cả n-ớc. Công tác quản lý thủy lợi cũng phải đ-ợc tăng c-ờng
nhằm phát huy hiệu quả cao các hệ thống đ đ-ợc xây dựng.
Để góp phần thực hiện nhiệm vụ ấy, đ-ợc sự chỉ đạo của
Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông thôn và Bộ Khoa học và Công
nghệ, Viện Khoa học Thủy lợi đ tổ chức, mời các Giáo s-, các nhà
nghiên cứu, các chuyên gia có kinh nghiệm trong từng lĩnh vực
4 sổ tay KTTL * Phần 1 - Cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
tham gia biên soạn tập tài liệu tra cứu và tham khảo "Sổ tay Kỹ
thuật Thủy lợi" gồm 3 phần:
- Cơ sở kỹ thuật Thủy lợi.
- Công trình Thủy lợi.
- Quản lý khai thác công trình Thủy lợi.
Mỗi phần gồm một số tập.
Sổ tay này phục vụ công việc tra cứu và tham khảo của kỹ
s-, kỹ thuật viên các ngành có liên quan đến thủy lợi khi lập qui
hoạch, tiến hành khảo sát, xây dựng (thiết kế, thi công) công
trình, quản lý hệ thống. Sổ tay cũng rất hữu ích cho cán bộ giảng
dạy và nghiên cứu, nghiên cứu sinh, học viên cao học, sinh viên
đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp.
Các tác giả đ cố gắng theo sát những quy trình, quy phạm,
tiêu chuẩn kỹ thuật hiện hành, những thành tựu mới ở trong và
ngoài n-ớc. Tuy nhiên, do khả năng và điều kiện có hạn nên cuốn
sổ tay không tránh khỏi những khiếm khuyết. Chúng tôi rất mong

nhận đ-ợc sự góp ý của bạn đọc để sổ tay sẽ đ-ợc hoàn thiện hơn
trong lần xuất bản sau.
Xin chân thành cảm ơn Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông
thôn, Bộ Khoa học và Công nghệ, các cơ quan và đồng nghiệp đ
nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho việc biên soạn và xuất bản.


Thay mặt tập thể các tác giả


GS. TSKH. Phạm Hồng Giang

Mục lục 5 5




Mục lục

Lời giới thiệu
3
Mục lục 5
Chương 1. Toán học
9
1.1. Toán sơ cấp
9
1.1.1. Đại số và lượng giác
9
1.1.2. Hình học
19

1.2. Toán cao cấp
30
1.2.1. Đại số tuyến tính
30
1.2.2. Hàm số
39
1.2.3. Phép tính vi phân
41
1.2.4. Phép tính tích phân
56
1.2.5. Phương trình vi phân thường
80
1.2.6. Lý thuyết chuỗi
88
1.3. Toán ứng dụng
95
1.3.1. Xác suất & thống kê
95
1.3.2. Phương pháp tính
110
Phụ lục
119
Tài liệu tham khảo
127
Chương 2. Cơ kết cấu
129
2.1. Ngoại lực, nội lực, ứng suất và biến dạng
129
2.1.1. Ngoại lực
129

2.1.2. Nội lực
130
2.1.3. ứng suất
131
2.1.4. Trạng thái ứng suất
131
2.1.5. Biến dạng
134
6 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
2.2. Đặc tr-ng cơ học của vật liệu và các thuyết bền
135
2.2.1. Đặc trưng cơ học của vật liệu
135
2.2.2. Các thuyết bền
138
2.3. Đặc tr-ng hình học mặt cắt ngang của thanh
139
2.3.1. Định nghĩa
139
2.3.2. Một số công thức thường dùng
142
2.4. Tính thanh, dầm và dây mềm
146
2.4.1. Tính thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
146
2.4.2. Tính dầm chịu uốn phẳng
149
2.4.3. Tính thanh chịu xoắn
161
2.4.4. Tính thanh chịu lực phức tạp

165
2.4.5. Tính dây mềm
175
2.5. Tính kết cấu hệ thanh
176
2.5.1. Tính kết cấu tĩnh định chịu tải trọng bất động
177
2.5.2. Tính kết cấu tĩnh định chịu tải trọng di động
185
2.5.3. Tính hệ thanh siêu tĩnh
188
2.6. Lý thuyết đàn hồi
231
2.6.1. Giả thiết tính toán và một số khái niệm
231
2.6.2. Phương trình cơ bản và phương pháp giải
232
2.6.3. Bài toán phẳng
239
2.6.4. Bài toán không gian đối xứng trục
248
2.6.5. Tấm mỏng đàn hồi
250
2.6.6. Vỏ mỏng đàn hồi
297
2.6.7. Vật liệu đàn hồi phi tuyến
307
2.7. Tính hệ kết cấu - nền
308
2.7.1. Khái niệm và giả thiết tính toán

308
2.7.2. Tính dầm và tấm trên nền đàn hồi Uyn - cờ - le
311
2.8. ổn định đàn hồi của kết cấu
312
2.8.1. ổn định đàn hồi của thanh chịu nén đúng tâm
312
2.8.2. ổn định đàn hồi của dầm chịu uốn phẳng
314
Mục lục 7 7

2.8.3. ổn định đàn hồi của khung phẳng
317
2.8.4. ổn định đàn hồi của tấm chịu nén
320
2.8.5. ổn định đàn hồi của vỏ trụ tròn
322
2.9. Dao động của kết cấu
324
2.9.1. Dao động của hệ có một bậc tự do
324
2.9.2. Dao động của hệ có n bậc tự do
328
2.9.3. Dao động của hệ có vô hạn bậc tự do
330
2.10. Lý thuyết dẻo và từ biến
348
2.10.1. Lý thuyết dẻo
348
2.10.2. Lý thuyết từ biến

351
2.11. Ph-ơng pháp số giải các bài toán kết cấu
354
2.11.1. Mở đầu
354
2.11.2. Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn
355
2.11.3. Dạng phần tử và hàm xấp xỉ chuyển vị ứng với một số dạng kết cấu
369
2.11.4. Tính kết cấu cùng làm việc với nền
374
2.11.5. Tính kết cấu đàn hồi phi tuyến
376
2.11.6. Tính kết cấu đàn dẻo
376
2.11.7. Tính kết cấu chịu tải trọng động
377
2.12. Thực nghiệm kết cấu công trình
379
2.12.1. Nguyên lý và dụng cụ đo biến dạng
380
2.12.2. Đo chuyển vị bằng phương pháp cơ học
385
2.12.3. Đo một số đại lượng khác
386
Tài liệu tham khảo
387

Chương 1 - toán học 9




Chương 1

toán học


1.1. Toán sơ cấp
1.1.1. Đại số và l-ợng giác
1.1.1.1. Các công thức kết hợp - Nhị thức Niu tơn
1. Hoán vị (không lặp) của n phần tử phân biệt (n
ẻ
N)
(Kí hiệu: n ẻ N n là một số nguyên, dương hoặc bằng 0).
a) Định nghĩa
Mỗi cách xếp (không lặp) n phần tử phân biệt thành dy có thứ tự cho ta một hoán
vị của n phần tử đó. Ví dụ: (5, 3,1, 2, 4) là một hoán vị của 5 số tự nhiên đầu tiên.

b) Số hoán vị của n phần tử phân biệt
P
n
= n(n
-
1)(n
-
2)...1 = n! (1.1.1)
( n! đọc là giai thừa n hoặc n giai thừa. Số này bằng tích của n số tự nhiên đầu tiên).

Ví dụ: Số hoán vị của 5 số tự nhiên đầu tiên là:
P
5
= 5! = 5

4

3

2

1 = 120.
Như vậy, sẽ có 120 cách xếp 5 phần tử thành dy có thứ tự.

c) Quy ước tính
0! = 1.

2. Chỉnh hợp (không lặp) chập k của n phần tử phân biệt
(0
Ê
k
Ê
n; n, k
ẻ
N)
a) Định nghĩa
Mỗi cách xếp (không lặp) k trong n phần tử phân biệt thành dy có thứ tự cho ta
một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Ví dụ: (5, 3, 1) là một chỉnh hợp chập 3 của 5
số tự nhiên đầu tiên.

b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử phân biệt

( )
( )( )( )
k
n
n!
Ann1n2...nk1
nk!
==---+
-
(1.1.2)
Ví dụ: Số chỉnh hợp chập 3 của 5 số tự nhiên đầu tiên là 5



4



3 = 60. Như vậy, từ
5 số tự nhiên đầu tiên, có thể lập được 60 số phân biệt gồm 3 chữ số khác nhau đôi một.
10 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
c) Số chỉnh hợp chập n của n phần tử phân biệt chính là số hoán vị của n phần tử đó:

n
nn
AP=.

3. Tổ hợp (không lặp) chập k của n phần tử phân biệt

(0
Ê
k
Ê
n; n, k
ẻ
N)
a) Định nghĩa
Mỗi tập con (không lặp) gồm k trong n phần tử phân biệt cho ta một tổ hợp chập k
của n phần tử đó. Ví dụ: Tập ba số 5, 3, 1 không kể thứ tự là một tổ hợp chập 3 của 5 số
tự nhiên đầu tiên.

b) Số tổ hợp chập k của n phần tử phân biệt

( )
k
k
n
n
A
n!
C
k!nk!k!
==
-
(1.1.3)
Ví dụ: Số tổ hợp chập 3 của 5 số tự nhiên đầu tiên là
60
10
3!

=. Như vậy từ 5 số tự
nhiên đầu tiên, có thể lập được 10 tập con, để mỗi tập gồm 3 chữ số khác nhau đôi một.

c) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử phân biệt gấp (k!) lần số tổ hợp chập k của n phần
tử đó.

4. Chỉnh hợp (cho phép lặp) chập k của n phần tử phân biệt (n, k
ẻ
N)
a) Định nghĩa
Mỗi cách xếp (cho phép lặp) k phần tử, rút từ n phần tử phân biệt, thành dy có
thứ tự cho ta một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đó. Ví dụ: (5, 3, 3) là một chỉnh
hợp lặp chập 3 của 5 số tự nhiên đầu tiên. Một dy 16 số 0, số 1 là một chỉnh hợp lặp
chập 16 của hai số này.

b) Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử phân biệt

kk
n
Ln= (1.1.4)
Ví dụ: Số chỉnh hợp lặp chập 5 của 3 số tự nhiên đầu tiên là 3
5
= 243. Như vậy,
từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể lập được 243 dy số, để mỗi dy gồm 5 số có kể thứ tự (năm
số này có thể giống nhau hoặc khác nhau đôi một).

5. Tổ hợp và hoán vị (cho phép lặp) của tập n phần tử
a) Nếu thực hiện phép chọn n phần tử trong k nhóm (các phần tử trong mỗi nhóm giống
nhau và số phần tử trong mỗi nhóm lớn hơn hay bằng n) ta có số phép chọn là:
k1

nk1
C
-
+-
. Đây là số tổ hợp (cho phép lặp) của n phần tử chọn từ k nhóm.
Chương 1 - toán học 11

Ví dụ: Số cách chọn 6 cuốn sách thuộc ba loại Toán, Văn, Tin học trong một đống
sách chứa cả ba loại (số sách mỗi loại lớn hơn hoặc bằng 6) là:
2
8
C28= .

b) Số cách chia tập hợp n phần tử phân biệt thành k nhóm, trong đó nhóm thứ i có m
i

phần tử khác nhau đôi một và (m
1
+ m
2
+ ... + m
k
) = n được tính theo công thức:

12k
m;m;...;m
n
12k
n!
C

m!m!...m!
= (1.1.5)
Đây là số hoán vị (cho phép lặp) của n cái nhn hiệu của k nhóm.
Ví dụ: Số cách xếp 10 hành khách vào 3 toa tầu sao cho toa I có 3, toa II có 2, toa
III có 5 là:

3;2;5
10
10!
C2520
3!2!5!
== cách.
Đây là số hoán vị lặp của 10 số (nhn) I,II,III.

c) Từ công thức (1.1.5) có thể trở lại công thức (1.1.3) và ta có thể hiểu:

( )
k
k
n
n
A
n!
C
k!nk!k!
==
-

là số cách chia tập n phần tử phân biệt thành 2 nhóm; một nhóm có k phần tử, nhóm kia
có (n k) phần tử.

6. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn
a) Công thức

( )
n
n
knkk
n
k0
abCab
-
=
+=
ồ
(1.1.6)
(Giải thích (1.1.6): Trong công thức khai triển (a + b)
n
= (a + b) (a + b) ... (a + b), số
hạng
nkk
ab
-
xuất hiện
k
n
C lần).
b) Các tính chất của khai triển nhị thức Niu-tơn
+ Vế phải của (1.1.6) gồm (n + 1) số hạng xếp theo thứ tự (mũ của a giảm dần từ n
đến 0, trong khi mũ của b tăng dần từ 0 đến n hoặc ngược lại). Trong mỗi số

hạng, tổng các số mũ của a và b luôn bằng n.
+ Các hệ số có tính đối xứng, tức là:
knk
nn
CC
-
= .
+ Hệ số của số hạng sau có thể suy từ hệ số của số hạng trước theo công thức:

( ) ( ) ( )
( )
k
n
k1
n
Cnk Hệ số trước số mũ của a
C
k1Số mũ của b1
+
-
==
++

12 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
+ Các hệ số khai triển theo thứ tự lập nên tam giác Pascale:

0
0
01
11

012
222
C
C C
C C C
........................

thỏa mn tính chất:
kk1k1
nnn1
CCC(0kn; k,nN)
++
+
+=ÊÊẻ
Tính ra số cụ thể, tam giác Pascale có dạng:

n Các hệ số khai triển
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1.1.1.2. Số phức
1. Định nghĩa
Số phức là một số có dạng:
Z = a + i

b
trong đó:
a, b là hai số thực;
i là đơn vị ảo với i
2
= -1
(a được gọi là phần thực, kí hiệu ReZ, còn i

b được gọi là phần ảo của Z, kí hiệu ImZ;
khi a = 0, Z là số thuần ảo còn khi b = 0, Z là số thực).
Chương 1 - toán học 13

Người ta biểu diễn số phức Z = a + ib bằng điểm M(a; b) trong hệ toạ độ vuông
góc xOy. Khi đó:
r = OM =
22
ab+
được gọi là môđun, kí hiệu ùZùvà j =

xOM (với
b
tg
a
j= ; chọn j sao cho:
22

b
sin
ab
j=
+
và
2
p
j= khi a = 0) là acguymen chính của số phức Z, kí hiệu là
argZ.
Số phức có thể viết dưới dạng đại số:
Z = a + ib
hoặc dạng lượng giác:
Z = r(cos
j
+i

sin
j
).
Hai số phức có cùng phần thực và có phần ảo đối nhau được gọi là hai số phức
liên hợp ( Z = a + ib và Z = a - ib).
2. Các phép tính trên tập số phức
+ Phép cộng (hoặc phép trừ) cho ta tổng (hoặc hiệu) hai số phức:
(a
1
+ ib
1
)

(a
2
+ ib
2
) = (a
1


a
2
) + i(b
1


b
2
)
+ Phép nhân cho ta tích hai số phức:
(a
1
+ ib
1
) (a
2
+ ib
2
) = (a
1
a
2

b
1
b
2
) + i(a
1
b
2
+ a
2
b
1
)
+ Phép chia cho ta thương hai số phức (với điều kiện Z
2
ạ 0, tức là:
22
22
ab0+ạ).

( )( )
( )( )
1122
11112121221
2222
2222222
2222
aibaib

Z aibaabbbaba
i
Z aibaibaib
abab
+-
++-
===+
++-
++

+ Tổng hai số phức liên hợp bằng:
Z + Z = 2a = 2ReZ.
+ Tích hai số phức liên hợp bằng:
Z

Z = a
2
+ b
2
=
2
Z .
+ Phép nhân và phép chia hai số phức viết dưới dạng lượng giác sẽ rất tiện lợi:
Chẳng hạn với hai số phức:
Z
1
= r
1
(cos
j

1
+ i sin
j
1
)
và Z
2
= r
2
(cos
j
2
+ i sin
j
2
),
ta có thể tính mô đun và aguymen của tích hoặc thương hai số theo các công thức:

ẵ
Z
1

Z
2
ẵ
=
ẵ
Z
1
ẵ

ẵ
Z
2
ẵ
= r
1
r
2
;
arg(Z
1

Z
2
) = argZ
1
+ argZ
2
=
j
1
+
j
2
;
14 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1

1
1
22
Z
Z
ZZ
= (Z
2

ạ
0);

1
2
Z
arg
Z
= argZ
1

-
argZ
2
=
j
1

-

j

2
.
+ Phép lũy thừa và khai căn đối với số phức cũng có thể thực hiện bằng dạng
lượng giác:
với Z = r(cos
j
+i sin
j
)
và n là số nguyên dương, ta có:
Z
n
= r
n
(cosn
j
+ i

sinn
j
)
và
( )
nn
2k2k
Zrcosisink0,1,...,n1
nn
j+pj+p
ổử
=+=-

ỗữ
ốứ

+ Lũy thừa bậc n của một số phức Z còn có thể tính được theo khai triển Niu-tơn:

( )
n
n
nknkk
n
k0
ZaibCa(ib)
-
=
=+=
ồ

và n giá trị căn bậc n cũng có thể tính được bằng cách giải hệ phương trình đại số,
chẳng hạn để khai căn bậc hai của Z = a + ib, người ta đặt Zxiy,=+ rồi giải hệ:

22
xya,
2xyb
ỡ
-=
ù
ớ
=
ù
ợ

để tìm x, y.

1.1.1.3. Cấp số
1. Cấp số cộng (CSC)
CSC là một dy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ
hai trở đi, luôn bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi, gọi là công sai
u
n
= u
n1
+ d (1.1.7)
với:
n là số nguyên, n 2;
d là công sai, d = hằng số;
khi d > 0, CSC là tăng (hay tiến),
khi d < 0, CSC là giảm (hay lùi);
Kí hiệu CSC là á.

+ Muốn xác định một CSC, cần biết u
1
, d và n (hữu hạn hoặc vô hạn).
+ Số hạng thứ n:
u
n
= u
1
+ (n
-
1)d (1.1.8)

Chương 1 - toán học 15

+ Tổng n số hạng đầu tiên của CSC là:

( )
( )
1n
n1
uun
n
S2un1d
22
+
ộự
==+-
ởỷ
(1.1.9)
2. Cấp số nhân (CSN)
CSN là một dy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ
hai trở đi, luôn bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi, gọi là công bội
u
n
= u
n-1


q (1.1.10)
với:
n là số nguyên dương, n 2;
q là công bội, q = hằng số;

khi q > 1, CSN là tăng (hay tiến),
khi 0 < q < 1, CSN là giảm (hay lùi);
Kí hiệu CSN là:
::
.

+ Muốn xác định một CSN, cần biết u
1
, q và n (hữu hạn hoặc vô hạn).
+ Số hạng thứ n:
u
n
= u
1
q
n 1
(1.1.11)
+ Tổng n số hạng đầu tiên của CSN là:

( )
n
1
n1
n
uq1
uqu
S
q1 q1
-
-

==
--
nếu q
ạ
1 (1.1.12)

n1
Snu= nếu q = 1 (1.1.13)

+ Tổng các số hạng của một CSN vô hạn với ẵqẵ < 1 bằng:

1
u
S
1q
=
-
(1.1.14)
Công thức (1.1.14) có thể suy từ (1.1.12) khi cho n đ Ơ.

1.1.1.4. Lôgarít
1. Định nghĩa
Với N > 0, 0 < a ạ 1, phương trình:
a
x
= N
có một nghiệm duy nhất, kí hiệu:
x = log
a
N

và được gọi là lôgarít theo cơ số a của N.
16 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
+ Từ định nghĩa trên, suy ra:

a
logN
aN;=

x
a
logax.=
+ Lôgarít theo cơ số 10 được gọi là lôgarít thập phân, kí hiệu là lgN hoặc logN.
+ Lôgarít theo cơ số e được gọi là lôgarít tự nhiên, kí hiệu là lnN (e là số vô tỉ, có
giá trị gần đúng là 2,71828).
2. Các công thức về lôgarít
log
a
(N
1
. N
2
) = log
a
N
1
+ log
a
N
2
(N

1
; N
2
> 0; 0 < a
ạ
1)

1
aa1a2
2
N
loglogNlogN
N
=-

aa
logN.logN( )
a
=aaẻ

b
a
b
logN
logN(0b1).
loga
=<ạ
Có thể viết tổng quát hơn các công thức trên như sau:
log
a

ẵN
1
. N
2
ẵ= log
a
ẵN
1
ẵ+ log
a
ẵN
2
ẵ (N
1
; N
2
ạ 0; 0 < a ạ 1)


)0(log2log
logloglog
2
21
2
1
ạ=
-=
NNnN
NN
N

N
a
n
a
aaa


1.1.1.5. Lượng giác
1. Đơn vị đo góc: radian
a) Định nghĩa
Góc một radian là góc có đỉnh O ở tâm một đường tròn bán kính R, chắn một
cung AB trên đường tròn có độ dài bằng R.

b) Theo định nghĩa trên:
1 radian
~

0
0 '''
180
571745ằ
p

0
1 ~ radian0,017453 radian
180
p
ằ ; 1' ~ 0,000291 radian; 1" ~ 0,000005 radian.

Góc tính theo độ 1

0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0
270
0
360
0
Góc tính theo radian
p
180

p
6

p
4

p
3

p
2

p
3p
2

2p
Chương 1 - toán học 17

2. Các định nghĩa cơ bản
a) Trong hệ trực chuẩn xOy, đường tròn định hướng tâm O(0; 0), bán kính R = 1
được gọi là đường tròn lượng giác. Trên đường tròn này, cho điểm A(1; 0) và điểm
M(x; y). Gọi cung AM tạo bởi một điểm chạy trên đường tròn từ A đến M (có thể
quay nhiều vòng quanh tâm O, cùng chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ) là cung
lượng giác với điểm đầu A, điểm cuối M.

b) Gọi a là số đo (tính theo độ hoặc radian) của cung lượng giác AM. Khi đó, người ta
định nghĩa:
+ Tung độ điểm M là sin của a và kí hiệu là sina:
sin
a
= y.
+ Hoành độ điểm M là cos của a và kí hiệu là cosa:
cos
a
= x.
+ Tỉ số giữa tung độ và hoành độ điểm M (khi x ạ 0) là tang của a và kí hiệu là tga:

sin
tg
cos

a
a=
a
(tg
a
xác định

cos
a

ạ
0).
+ Tỉ số giữa hoành độ và tung độ điểm M là côtang của a và kí hiệu là cotga:

1cos
cotg
tgsin
a
a==
aa
(cotg
a
xác định

sin
a

ạ
0)
sina; cosa; tga; cotga được gọi là các giá trị lượng giác của cung lượng giác a.

Đôi khi, người ta còn đưa vào các kí hiệu:
1
cosec
sin
a=
a
;
1
sec
cos
a=
a
.
Từ các định nghĩa trên, ta có thể xác định dấu của các giá trị lượng giác của a tùy
theo vị trí điểm cuối M của cung này nằm ở góc phần tư nào trên đường tròn lượng giác.

3. Các hệ thức l-ợng giác cơ bản
a)
22
sincos 1a+a="a
b)
sin
tgk
cos 2
ap
a="aạ+p
a


cos

cotgk;k Z
sin
a
a="aạpẻ
a

c)
cos()coscossinsin; ; ab=abab"ab

d) sin()sincoscossin;;ab=abab"ab
18 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
Từ những công thức cơ bản trên, còn có các công thức dẫn xuất khác mà độc giả
có thể tự suy ra được, chẳng hạn:
e)
2
2
1
1tg;
cos
+a=
a

2
2
1
1cotg;
sin
+a=
a

f)
( )
coscos;
-a=a

( )
sinsin;
-a=-a

g)
( )
sinsin;p-a=a
( )
coscos;p-a=-a
h)
sincos;
2
p
ổử
-a=a
ỗữ
ốứ

cossin;
2
p
ổử
-a=a
ỗữ
ốứ

Độc giả có thể dễ dàng tìm được các công thức biến tổng thành tích; biến tích
thành tổng; các công thức cho giá trị lượng giác của các góc nhân đôi, chia đôi, nhân
ba cũng như các công thức tính sinx; cosx; tgx theo
x
ttg.
2
=

4. Các hệ thức l-ợng giác để giải tam giác

Gọi: a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC, theo thứ tự đối diện với các góc
A, B, C. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; p là nửa chu vi tam giác; r là
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Khi đó, ta có:
+ Các định lý hình chiếu:
a = bcosC + ccosB;
b = ccosA + acosC;
c = acosB + b cosA.

+ Định lý hàm số sin:

abc
2R.
sinAsin B sinC
===
Đặc biệt, nếu cho A = 90
0
, a = BC = 2R, thì từ các định lý này, ta sẽ có những
công thức liên quan giữa cạnh, góc, bán kính R để giải một tam giác vuông.

+ Định lý hàm số cos:

222
abc2bccosA=+- .
Từ định lý này, có thể suy ra định lý Pi-ta-go thuận và đảo:
A = 90
0


a
2
= b
2
+ c
2
.

Chương 1 - toán học 19

1.1.2. Hình học
1.1.2.1. Diện tích hình phẳng
1. Tam giác th-ờng
S =
1
2
ah
a
với h
a

- chiều cao ứng với cạnh a.
S = p(pa)(pb)(pc)--- (Công thức Hê-rông);
S =
1
absinC;
2

S = p r.

2. Tứ giác
+ Hình thang có diện tích:
S =
ab
2
+
h
với:
a, b - độ dài hai đáy;
h - chiều cao.

+ Hình bình hành có diện tích:
S = ah
với:
a - chiều dài đáy;
h - chiều cao.

+ Hình thoi ABCD có diện tích:
S =
1
AC BD

2

+ Diện tích một tứ giác bất kỳ có thể tính bằng cách chia tứ giác thành hai tam giác.

3. Hình tròn bán kính R
+ Chu vi:
C = 2
p
R
+ Diện tích:
S =
p
R
2
.
Từ công thức tính diện tích của hình tròn và tam giác, có thể suy ra công thức tính
diện tích các hình vành khăn, quạt tròn, viên phân.
20 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
1.1.2.2. Diện tích và thể tích bề mặt của một số khối cơ bản
1. Diện tích
+ Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay:
S
xq
= C
Đ
h
+ Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay:

xq
S R=p l

trong đó:
C
Đ
- chu vi đáy;
h - chiều cao;
R - bán kính đáy;
l - độ dài đường sinh.

+ Mặt cầu:
S = 4
p
R
2
với: R - bán kính hình cầu.

2. Thể tích
+ Hình lăng trụ:
V = S
Đ
h
+ Hình chóp:
V =
3
1
S
Đ
h
+ Hình chóp cụt:
V =
( )

hBB'BB'
3
++

+ Hình trụ tròn xoay:
V = S
Đ
h
+ Hình nón:
V =
1
3
S
Đ
h
+ Hình nón cụt:
V =
( )
hBB'BB'
3
++

Chương 1 - toán học 21

+ Hình cầu:
V =
3
4 R
3
p

ằ
4,1888
3
R
với:
S
Đ
- diện tích đáy
h - chiều cao.
B, B - diện tích đáy lớn, đáy nhỏ.

Người ta còn tính diện tích mặt tròn xoay và thể tích khối tròn xoay bằng định lý
Guyn-đanh hoặc bằng tích phân (xem 1.2.4).

1.1.2.3. Hình giải tích trong mặt phẳng và trong không gian
1. Phép tính vectơ

a) Vectơ trong không gian được xác định bởi một bộ ba số thực có thứ tự gọi là ba toạ
độ của vectơ đó. Kí hiệu vectơ a là: a

= (a
x
; a
y
; a
z
), khi đó, độ dài và ba côsin chỉ
hướng của a

được tính theo các công thức:

222
xyz
aaaa ;=++



( )
( )
( )
( )
x
222
xyz
y
222
xyz
222
xyz
z
222
xyz
a
coscosa; Ox
aaa
a
coscosa; Oy;aaa0
aaa
a

coscosa; Oz
aaa
ỡ
ù
a==
ù
++
ù
ù
ù
b==++ạ
ớ
ù
++
ù
ù
g==
ù
++
ù
ợ




b) Các phép tính vectơ
+ Tổng (hiệu) hai vectơ là một vectơ có toạ độ bằng tổng (hiệu) các toạ độ tương
ứng của hai vectơ đó.
+ Tích của vectơ với một số thực là một vectơ có toạ độ bằng tích số đó với các toạ
độ của vectơ đ cho.

Các phép tính cộng, trừ, nhân vectơ với một số nói trên có các tính chất giống như
các tính chất phép cộng, trừ, nhân hai số đại số.
+ Tích vô hướng của hai vectơ
a;b

là một số xác định theo công thức:

( )
xxyy zz
a.ba.bcosa;ba.ba.ba.b==++


22 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
Tích vô hướng của hai vectơ có tính chất giao hoán, kết hợp, phân bố đối với phép
cộng. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc với nhau là tích vô hướng của chúng
bằng 0.
Từ công thức trên, ta có thể tính góc hợp giữa hai vectơ khác 0 :

( )
a.b
cosa;b
a.b
=




+ Tích có (hữu) hướng của hai vectơ a;b

là một vectơ ca;b

ộự
=
ởỷ

có phương vuông
góc với cả a và b

; có chiều sao cho ba vectơ
( )
a;b;c

lập nên một bộ ba thuận
(Nghĩa là, nếu đứng theo chiều của tích c

, ta sẽ nhìn thấy chiều quay một góc
nhỏ nhất từ
a

sang
b

là ngược chiều kim đồng hồ); còn môđun của tích có hướng
được xác định theo công thức:

( )
a;ba.bsina;b
ộự
=
ởỷ

Như vậy,
xyz
xyz
ijk
a;baaa
bbb
ộự
=
ởỷ



Tích có hướng của hai vectơ có tính chất kết hợp, phân bố đối với phép cộng, nhưng
không có tính giao hoán. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ cộng tuyến (cùng phương) với
nhau là tích có hướng của chúng bằng
0
ì


Mô đun của tích có hướng hai vectơ bằng diện tích của hình bình hành lập nên
bởi hai vectơ đó, khi ta đưa chúng về cùng một gốc.

+ Tích hỗn hợp (hỗn tạp) của ba vectơ
a;b;c

được ký hiệu là
( )
Da;b;c

và bằng:

( )
xyz
xyz
xyz
aaa
Da;b;ca;bcbbb
ccc
==
ộự
ởỷ


Trị tuyệt đối của tích hỗn hợp
( )
Da;b;c

có giá trị bằng thể tích của một hình
hộp tạo bởi ba vectơ
a;b;c

, khi ta đưa chúng về cùng một gốc. Điều kiện cần và đủ để
ba vectơ đồng phẳng (cùng song song với một mặt phẳng cố định nào đó) là tích hỗn
hợp của chúng bằng 0.
Chương 1 - toán học 23

2. Đ-ờng thẳng trong mặt phẳng (xOy)
a) Phương trình đường thẳng D qua điểm M
0

và có vectơ pháp
n(A;B)0ạ

có thể
viết theo:
+ Dạng vectơ:

0
n.MM0=


"
M(x; y)
ẻ

D
;
+ Dạng tọa độ:

( )( )
( )
22
00
Axx Byy0A B 0;-+-=+>
+ Dạng tổng quát:

( )
22
Ax ByC0A B 0.++=+>

b) Phương trình đường thẳng D qua điểm M
0
và có vectơ chỉ phương u (a;b)0ạ

có thể
viết theo:
+ Dạng vectơ:

0
MMku=


"
M(x; y)
ẻ

D
, (k
ẻ


là tham số);
+ Dạng chính tắc:

( ) ( )
( )
00
22
xxyy
ab0;

ab
--
=+>
Trong dạng chính tắc này, người ta quy ước: khi gặp một phân thức nào có mẫu số bằng 0,
tử số tương ứng cũng bằng 0 theo. Chẳng hạn, phương trình:

( )
00
(xx)(yy)
b0
0b
--
=ạ
biểu diễn đường thẳng qua điểm M
0
và vuông góc với Ox, tức là:
0
xx= .

+ Dạng tham số:

( )
0
22
0
xxat
ab0;t là tham số.
yybt
=+
ỡ

+>ẻ
ớ
=+
ợ


c) áp dụng các dạng nêu trên, ta có:
+ Phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N phân biệt cho trước có dạng:

MM
NMNM
xxyy
xxyy
--
=ì
--

+ Phương trình đường thẳng cho theo đoạn chắn:

( )
xy
1 m;n0
mn
+=ạ
biểu diễn đường thẳng MN với: M(m; 0); N(0; n) là hai điểm lần lượt nằm trên Ox; Oy.
24 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
+ Phương trình:
y = k(x
-
x

0
) + y
0

biểu diễn một đường thẳng qua điểm M
0
và có hệ số góc k = tgj (j là góc hợp bởi
đường thẳng và chiều dương
Ox)

.
Dựa vào phương trình, vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp của hai đường thẳng
trong (xOy), ta có thể xét vị trí tương đối và tính góc giữa chúng.

d) Công thức tính khoảng cách từ M
0
đến đường thẳng D:
Ax ByC0
++= là:

00
0
22
Ax ByC
d(M;)
A B
++
D=
+
)0(

22
>+ BA .
Gọi j là góc giữa hai đường thẳng
( )
0
90jÊ , j có thể xác định theo các công
thức sau:

12
coscos(n;n)j=

(khi biết hai vectơ pháp)
hoặc:
12
12
kk
tg
1kk
-
j=
+
(khi biết hai hệ số góc của hai đường thẳng được xét).

e) Đường thẳng:
( )
22
Ax ByC0A B 0++=+>
chia mặt phẳng toạ độ làm ba phần:
+ Phần I là tập hợp các điểm (x; y) thuộc đường thẳng thoả mn đẳng thức:

.0
=++
CByAx

+ Phần II ,III là tập hợp các điểm (x; y) lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng, nằm hai
phía đường thẳng được xét. Dựa theo chiều của vectơ pháp (A; B) tương ứng với
chiều tăng của (Ax ByC)++ ta có thể xác định được phần nào của mặt phẳng
ứng với
Ax ByC0++<,
phần còn lại là tập hợp các điểm (x; y) thoả mn bất đẳng thức:
Ax ByC0.++>
3. Các đ-ờng cong bậc hai
a) Đường tròn
Trong hệ trực chuẩn (xOy), phương trình:

( )
22
F x;yxy2ax2byc0=++++=
biểu diễn một đường tròn tâm I(-a; -b), bán kính
22
R abc=+-ìTrường hợp
22
abc,+< ta có đường tròn ảo, còn khi
22
abc,+= đường tròn thu về điểm I.
Chương 1 - toán học 25

b) Ba đường cô-nic (Elip; Hypecbôn; Parabôn)
Phương trình tổng quát là:

( )
( )
22222
Fx;yAx BxyCy Dx Ey F 0, A B C0=+++++=++>
Sau khi dùng phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương (gồm ba số hạng đầu
của F(x;y)) về dạng chính tắc, ta dùng một phép đổi biến thích hợp (phép tịnh tiến hệ
trục toạ độ) để đưa phương trình tổng quát trên về một trong các dạng sau đây:
+ Parabôn (P):
2px = y
2

trong đó: p là tham số tiêu;
có: Trục đối xứng Ox; Đỉnh O(0; 0); Tiêu điểm F
p
;0
2
ổử
ỗữ
ốứ
; Đường chuẩn:
p
x
2
=-ì
Theo định nghĩa, (P) là tập hợp các điểm M(x; y) sao cho MF luôn bằng khoảng
cách từ M đến đường chuẩn của nó. Tâm sai của (P) bằng 1.

+ Ellip (E
1
):

22
22
xy
1
ab
+=
trong đó: a, b là độ dài hai bán trục; a > b > 0; Nửa tiêu cự:
22
cab=-

có: Hai trục đối xứng: Ox, Oy; 4 đỉnh: (a; 0) và (0; b); 2 tiêu điểm F
1,2
(c; 0) ẻ Ox;
Tâm sai
c
e
a
=; Hai đường chuẩn:
2
a
x
c
= , mỗi đường chuẩn tương ứng với một
tiêu điểm.

Theo định nghĩa, (E
1
) là tập hợp các điểm M(x; y):
MF

1
+ MF
2
= 2a.

+ Ellip (E
2
):

22
22
xy
1
ab
+=
trong đó: a, b là độ dài hai bán trục; b > a > 0; Nửa tiêu cự
22
cba=-
có: Hai trục đối xứng: Ox, Oy; 4 đỉnh: (a; 0) và (0; b); 2 tiêu điểm F
1,2
(0;c) ẻ Oy;
Tâm sai
c
e
b
=; Hai đường chuẩn:
2
b
y
c

= , mỗi đường chuẩn tương ứng với một
tiêu điểm.
Theo định nghĩa, (E
2
) là tập hợp các điểm M(x;y):
MF
1
+ MF
2
= 2b.
26 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
Nếu a = b, (E) có tâm sai bằng 0 và trở thành đường tròn. Với ellip thực, tâm sai
luôn nằm trong khoảng (0; 1).

+ Hypecbôn (H
1
):

22
22
xy
1
ab
-=
trong đó: a, b là độ dài hai bán trục; Nửa tiêu cự:
22
cab=+
có: Hai trục đối xứng: Ox, Oy trong đó Ox là trục thực, Oy là trục ảo (Oy
không có điểm chung với (H
1

)); 2 đỉnh (a; 0); 2 tiêu điểm F
1,2
(c; 0) ẻ Ox;
Tâm sai
c
e
a
= > 1; Hai đường chuẩn:
2
a
x
c
= , mỗi đường chuẩn tương ứng với
một tiêu điểm.
Theo định nghĩa, (H
1
) là tập hợp các điểm M(x;y):

12
MFMF2a.-=

+ Hypecbôn (H
2
):

22
22
xy
1
ab

-=-
trong đó: a, b là độ dài hai bán trục; Nửa tiêu cự:
22
cab=+
có: Hai trục đối xứng: Ox, Oy trong đó Oy là trục thực, Ox là trục ảo (Ox
không có điểm chung với (H
2
)); 2 đỉnh (0; b); 2 tiêu điểm F
1,2
(0; c) ẻ Oy;
Tâm sai
c
e
b
= > 1; Hai đường chuẩn:
2
b
x
c
= , mỗi đường chuẩn tương ứng với
một tiêu điểm.
Theo định nghĩa, (H
2
) là tập hợp các điểm M(x;y):

12
MFMF2b.-=
Hai hypecbôn (H
1
) và (H

2
) có chung hai đường tiệm cận có phương trình:
b
yx
a
= . Người ta gọi (H
1
) và (H
2
) là hai hypecbôn liên hợp.
Nếu a = b, (H
1
) và (H
2
) là hai hypecbôn vuông.

+ Có thể định nghĩa chung ba đường cônic (E; H; P) là tập hợp các điểm M(x; y)
sao cho tỷ số giữa khoảng cách từ M đến một điểm F cố định (tiêu điểm) và
khoảng cách từ M đến một đường thẳng cố định D (đường chuẩn) luôn bằng một
hằng số e (F và D cùng nằm trong mặt phẳng xOy và F ẽ D).