De thi HSG mon Toan Lop 9 20132014

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS, THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014. MÔN: TOÁN- CẤP THCS. ĐỀ CHÍNH THỨC. Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang). Câu 1: ( 4 điểm)  x −1 1 8 x   3 x −2 Cho biểu thức A =  − +  : 1 −  − 9x 1 3 x − 1 3 x + 1 3 x +1    1) Rút gọn A. 6 2) Tìm các giá trị của x để A = 5. Câu 2: ( 4 điểm) mx + 4y = m 2 + 4 Cho hệ  với m ≠ 1 và m ≠ −4 x + (m + 3)y = 2m + 3  1) Với giá trị nào của m hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x ≥ y . 2) Với các giá trị của m tìm được ở ý 1 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y. Câu 3: ( 3 điểm) Một nhóm người chơi đấu cờ với nhau, người nào cũng đấu với người khác trong nhóm một ván . Hỏi có bao nhiêu người trong nhóm biết rằng tổng số ván cờ là 15. Câu 4: ( 3 điểm)
= 120 O , AB = 6 (cm), BC = 12 (cm), phân giác Cho tam giác ABC có góc ABC
cắt AC tại D. Tính diện tích tam giác ABD. trong của góc ABC Câu 5: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài đường phân giác trong CD và độ dài đường phân giác ngoài CE bằng nhau, ( D, E thuộc AB) nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R.
= 90O + BAC
. 1) Chứng minh: ABC 1 2) Chứng minh hệ thức: R 2 = (AC 2 + BC 2 ) . 4 Câu 6: ( 2 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thuộc đoạn [0;2] và thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3. Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 5 ______________________________Hết_______________________________ (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:…………………………………….. Số báo danh:…………… Họ tên, chữ ký của giám thị 1:…………………………………………………….

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS, THPT CÂP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014. ĐỀ CHÍNH THỨC. MÔN: TOÁN - CẤP THCS (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang). Câu ( điểm). ý. 1 (2đ) 1 (4 điểm). Nội dung x ≥ 0  Điều kiện  1 mẫu thức chung: 9x – 1 x ≠ 9  ( x − 1)(3 x + 1) − (3 x − 1) + 8 x   3 x + 1 − 3 x + 2  A= :  − + (3 x 1)(3 x 1) 3 x +1      3x + x − 3 x − 1 − 3 x + 1 + 8 2  1 = . (3 x − 1)   3 3x + 3 x = (3 x − 1).3. =. x+ x 3 x −1. 6 x+ x 6 ⇔ = ⇔ 5x − 13 x + 6 = 0 5 3 x −1 5 t = 2 2 Đặt t = x t ≥ 0 ta có phương trình: 5t − 13t + 6 = 0 ⇔  3 t = 2  5 (2đ) Với t = 2 thì x = 4 3 9 Với t = thì x = 5 25 9 6 Vậy với x = 4 hoÆc x = thì A = 25 5. Với đ/k đã cho A =. Thang điểm 0,25. 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5. mx + 4y = m2 + 4 (1) Hệ:  với m ≠ 1 và m ≠ −4 x + (m + 3)y = 2m + 3 (2). thay vào (1) ta được: 1 Từ (2)2 có x = 2m + 3 – (m + 3) y (3) 2 2m + 3m − m(m + 3)y + 4y = m + 4 (2đ) 2 ⇔ (m2 + 3m − 4)y = m 2 + 3m − 4 (4 điểm) ⇔ y = 1 (do m ≠ 1 vµ m ≠ - 4). 0,5. 0,5 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Thay y = 1 vào (3) ta được x = m. 0,25. Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (m;1). 0,25. x ≥ y ⇔ m ≥ 1 , vì m ≠ 1 nên ta có m > 1. 0,5. 2 Ta có x + y = m + 1 ( m > 1) (2đ) Hàm số f(m) = m + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞) và có miền giá. 0,5 0,5. trị là (2; +∞) .. 3 (3 điểm). Do đó không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (1; +∞). 0,5. Vậy với m > 1 tổng x + y không đạt giá trị nhỏ nhất.. 0,5. Gọi số người chơi cờ là n ( n là số tự nhiên và n ≥ 2 ).. 0,5. Vì một người đấu với n-1 người còn lại do đó có n(n – 1) ván cờ.. 0,5. Có tất cả n người nên có n(n – 1) ván cờ, nhưng mỗi cặp chỉ đấu. 0,5. với nhau một ván nên có tất cả. n(n − 1) ván cờ. 2. n(n − 1) = 15 ⇔ n 2 − n − 30 = 0 2  n = −5 (Lo¹i) ⇔  n = 6 (NhËn) Vậy có 6 người tham gia đấu cờ.. Ta có pt:. 0,5 0,5. Vẽ hình đúng, đẹp. 0,5. Kẻ AK//BC cắt BD kéo dài tại K, khi đó: DK DA AB 6 1
= = = = Do BD là đường phân giác trong góc B DB DC BC 12 2. 0,75. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  = KBC  (so le trong) = ABK  = 60 o (gt) nên Tam giác ABK có AKB. 4 (3 điểm). tam giác ABK đều, đồng thời. DK 1 = nên BD = 4 (cm) DB 2. Kẻ đường cao AH của tam giác ABK ta có:. 0,5. 0,5. AH = 6 sin 60 o = 3 3 (cm). 1 1 Khi đó : S ∆ABD = BD.AH = .4.3 3 = 6 3 (cm 2 ) 2 2. Vậy S ∆ABD = 6 3 (cm 2 ). 0,5 0,25. Vẽ hình đúng, đẹp. 1 (2đ). 5 (4 điểm). 0,25.  = 45O = BAC  + ACD  Ta có: CDB. 0,5.  = 135O = ABC  + BCD  ADC.  − CDB  = 90 0 = ABC  − BAC  (vì BCD  = ACD ) ⇒ ADC  = 90O + BAC  Vậy ABC  = 90O Vẽ đường kính CK ⇒ KAC. 0,75 0,5 0,5.  = 90O + BAC  = ABC  ⇒ KAB. 2 (2đ).  = BC  ⇔ AK = BC ⇒ AK. 0,5. Xét tam giác vuông AKC: CK 2 = AK 2 + AC 2 ⇔ 4R 2 = BC 2 + AC 2 1 ⇔ R 2 = (BC 2 + AC 2 ) 4. 0,5. 0,5 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vì x ∈ [0;2] nên (x − 2)(y − 2)(z − 2) ≤ 0 (1) ⇔ (xy − 2x − 2y + 4)(z − 2) ≤ 0 ⇔ xyz − 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) − 8 ≤ 0. 0,5. ⇔ xyz − (x + y + z)2 − (x 2 + y 2 + z 2 )  + 4(x + y + z) − 8 ≤ 0. 6 (2 điểm). ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 5 − xyz. (2). ( do x + y + z = 3). Mặt khác x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0 nên từ (2) ta có:. 0,5 0,5. x 2 + y 2 + z 2 ≤ 5 (3). (x − 2)(y − 2)(z − 2) = 0  Từ (1), (2) đẳng thức xảy ra trong (3) ⇔ xyz = 0 x + y + z = 3 . 0,5. ⇔ Trong 3 số x, y, z có một số bằng 0, một số bằng 1 và một số. bằng 2 ---------------------------------------------Hết---------------------------------------------Lưu ý chung toàn bài: + Điểm của một câu trong bài thi là tổng của các điểm thành phần của câu ấy. Điểm của bài thi là tổng điểm các câu trong bài thi, phần lẻ được tính đến 0,25 điểm theo thang điểm 20. + Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn cho điểm tối đa bài đó.. 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>