Tài liệu Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Quốc học Huế 2006 pdf

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ

KHÓA NGÀY 19.6.2006
* * * * * MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC

Số báo danh: .......... Phòng: ........

Bài 1:
(2,5 điểm)
a) Tìm các số thực
biết :
uv
,uv
33
7+ =
và
2uv⋅ =−
.
b) Giải phương trình :
()
( )( )
2
135xxx 9− ++=
.

Bài 2:
(3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R, dây AC của (O) vuông góc

với BD tại H. Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ
H đến AB, AD, CD, CB.
a) Chứng tỏ : HA
2
+ HB
2
+ HC
2
+ HD
2
= 4R
2
.
b) Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp .
c) Chứng minh : PR + QS
≤
AB + AD .

Bài 3:
(3 điểm)
a) Đặt
2
=
p
;
3
2
= . Chứng tỏ rằng :
q
33

11
1
22 2
pq
pq
qp
− =++++
−
.
b) Chứng tỏ :
()
( )
333 222
3x yz xyzxyzxyzxyyzzx++− =++ ++−−−
,,
với mọi số thực
x yz
.
Suy ra với
là các số dương ta luôn có :
,,abc
3
3abc abc++≥
.
c) Phân chia chín số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thành ba nhóm tuỳ ý, mỗi
nhóm có ba số. Gọi T
1
là tích của ba số của nhóm thứ nhất, T
2
là tích

của ba số của nhóm thứ hai và T
3
là tích của ba số của nhóm thứ ba.
Hỏi tổng : T
1
+ T
2
+ T
3
có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?

Bài 4:
(1 điểm)
Một thùng sắt đậy kín hình lập phương. Biết rằng trong thùng chứa 9 khối
có dạng hình cầu cùng bán kính, làm bằng chất liệu rất rắn .
Chứng minh rằng nếu cạnh của thùng hình lập phương là a thì đường kính
của các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng (
23 3−
)a.

-------------------Hết---------------------

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006
* * * * * MÔN : TOÁN


THANG ĐIỂM - ĐÁP ÁN

Câu Nội dung Điểm

Ta có :
uv
và
uv
33
7+=
33
8⋅ =−

0,25
u
3
và v
3
là các nghiệm của phương trình:
2
78xx 0− −=

0,25
Do đó :
()
hoặc
33
1; 8uv=− =
( )
33
8; 1uv= =−

0,25
Vậy:

()
hoặc
1; 2uv=− =
( )
2; 1uv= =−

0,25
1a
(1đ)

Viết lại :
()( )( )( )
1513xx xx−+ ++=9

0,25

()( )
22
45 43xx xx+− ++=9

0,25
Đặt : , phương trình trở thành:
2
4tx x=+
( )( )
53tt 9− +=
hay:

2
tt2240−− =

0,25
Giải ra :
6; 4tt==−
0,25
Với
tx
, giải ra :
2
64x=⇔ + =6 21x =− ± 0

0,25
Với
tx
,giải ra :
2
44x=− ⇔ + =−4
2x = −

0,25
1b
(1,5đ)

HA
2
+ HB
2
= AB
2

HB

2
+ HC
2
= BC
2

HC
2
+ HD
2
= CD
2

HD
2
+ HA
2
= DA
2

0,25
2(HA
2
+ HB
2
+ HC
2
+ HD
2
)= AB

2
+ AD
2
+ BC
2
+ CD
2
0,25
= 4R
2
+ 4R
2
0,25
Vậy : HA
2
+ HB
2
+ HC
2
+ HD
2
= 4R
2
0,25
2a
(1đ)

Tứ giác HPBS nội tiếp : .
··
·
HPS HBS DBC==
0,25
HPAQ là hình chữ nhật : .
··
··
HPQ HAQ CAD CBD===
Do đó :
.
·
·
·
·
2SPQ HPS HPQ DBC=+ =
0,25
Tương tự:
·
·
2SRQ BDC=
0,25
2b
(1đ)
Do
nên
··
0

90DBC BDC+=
··
0
180SPQ SRQ+=
∠
SPQ+
∠
SRQ = 180
0

0,25

B
D
C

H
P
Q
R
S
O
A
Chú ý: PQRS là hình thang cân.
Ta có : PR HP+HR
≤
0,25
Gọi E là trung điểm AB,ta có:HP
≤
HE =

2
1
AB. Gọi F là trung điểm CD,
HR
≤
HF =
2
1
CD
0,25
Do đó : PR
≤
2
1
AB +
2
1
CD
0,25
Tương tự :QS
≤
2
1
BC +
2
1
AD
0,25
Mà : AB=BC ; AD=CD 0,25
2c

(1,5đ)
Do đó : PR + QS
AB +AD
≤
0,25
Cần chứng tỏ :
11
1.
pq
pq
pq q q p
−=++++
−

0,25
Hay :
()
1
pq
pq pq
qpq

=− +++++


11
(*)
.
0,25
Vế phải của (*) :

22
22
1
pp q
p pq q p qp q p q
qq p
+++++−−−−−−

0,25
Do :
p
2
=2 ;
q
3
=2 ;
q
p
2
=
q
2
=
q
2
;
q
p
=
p

q
2
nên (*) đúng .
0,25
3a
(1đ)





Chú ý
: Có thể trục căn ở mẫu của
3
22
1
−
để chứng tỏ đẳng thức .

Khai triển vế phải:
()
( )
222
x yzx y z xyyzzx++ ++−−−
được vế trái .
0,25
Ta có :
()()()
222
222

1
0
2
xyzxyyzzx xy yz zx

++−−−= − +− +− ≥


0,25
Đặt : x =
3
, y =
a
3
, z =
b
3
c
; x + y + z >0 vì a, b, c dương .
0,25
Từ đó hay : + +
c
3
333
3xyz xyz++− ≥0
a b
≥
3
abc
.

0,25
3b
(1đ)

Ta có :
T
1

+
T
+
T
2 3

≥
3
3
321
TTT
.
0,25
= 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 72.72.70
1
T
2
T
3
T

> 71

3


0,25
Do đó :
T
1

+
T
+
T
2 3

> 213 mà:
T
,
T
,
T
nguyên nên :
T
1 2 3 1

+
T
+
T
2 3

214.
≥
0,25
Ngoài ra:214= 72 +72 +70 =1.8.9 + 3.4.6 +2.5.7,nên giá trị nhỏ nhất của
+
T
+
T
là 214
1
T
2 3
0,25
3c
(1đ)

4
(1đ)


Gọi O là tâm của hình lập phương (L) đang xét. Dựng hình lập phương
(L
1
) có cùng tâmO, có cạnh song song với cạnh của (L) và có độ dài cạnh
là a-2r, với r là bán kính của các hình cầu. Chín tâm của 9 hình cầu đều
nằm trong (L
1
) (hoặc ở trên mặt) .
0,25
Chia (L

1
) thành 8 hình lập phương con bởi ba mặt phẳng qua O và song
song với mặt của (L
1
) .Phải có một hình lập phương con (L
2
) trong chúng
chứa ít nhất hai tâm hình cầu.
0,25
Đường chéo của hình lập phương con (L
2
) là :
2
1
(a-2r)
3
.
Khoảng cách hai tâm hình cầu lớn hơn hoặc bằng 2r.
0,25



Vì vậy
2
1
(a-2r)
3
≥
2r hay : 2r
≤

32
3
+
a
=(
32
-3)a.
0,25