Tài liệu La bàn con quay doc














La bàn con quay

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm …..

La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-1
CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
§ 1.1 Khái Niệm Về Con Quay
Khái niệm :
Trong lý thuyết cơ học con quay là một vật rắn bất kỳ nào đó có thể quay quanh
một điểm cố đònh .
Trong kỹ thuật con quay là dạng vật thể rắn đối xứng quay nhanh quanh trục đối
xứng đó được gọi là trục quay riêng của con quay, trục này có thể quay tự do trong
không gian quanh một điểm cố đònh nằm trên trục điểm này gọi là tâm treo con quay
Hai trục nằm trong mặt phẳng quay riêng của con quay và hợp với trục quay
riêng tạo thành một hệ tọa độ đề các thuận (Z trục thẳng đứng Y trục nằm ngang)
trục X, Y, Z cắt nhau tại O gọi là điểm(tâm) treo con quay
Nếu tâm treo trùng với trọng tâm con quay : gọi là con quay cân bằng
Nếu tâm treo không trùng với trọng tâm con quay : gọi là con quay không cân
bằng hay con quay nặng
Con quay tự do là con quay mà trục chính của nó có thể quay tự do trong không
gian
Nếu con quay bò hạn chế quay với 1 trục nào đó(Y,Z) gọi là con quay hai
bậc tự do nều hạn chế hai chiều chuyển động gọi là con quay một bậc tự do
Tốc độ con quay từ 300 - 600 v/s thường sử dụng nguồn điện 3 pha có tần số từ
330 - 500 Hz
1.1.1 Các phương pháp treo con quay:

Có rất nhiều phương pháp treo con quay nhưng ngày nay trong la bàn con
quay hàng hải chỉ phổ biến một vài phương pháp chính
a . Phương pháp treo bằng thủy tónh
thừơng người ta kết hợp với các phương pháp khác
√ Phương pháp treo bằng chất lỏng nâng kết hợp với đàn hồi
√ Phương pháp treo bằng chất lỏng nâng kết hợp với gối đỡ thuỷ ngân
√ Phương pháp treo bằng chất lỏng nâng kết hợp với cuộn dây nâng điện từ
b . Phương pháp treo bằng vòng các đăng (hình c)
La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-2
c. Treo tónh điện
d. treo khí động lực
e. treo điện từ
f. Treo đàn hồi quay
Đại đa số la bàn con quay được trang bò trên tàu biển việt nam áp dụng phương
pháp treo thủy tónh và cácdang
§ 1.2 Hệ Tọa Độ Để Khảo Sát Chuyển Động Của Con Quay
1.2.1 Hệ tọa độ cố đònh 0XoYoZo(hệ toạ độ chân trời )
- Gốc trùng với điểm treo con quay
-0X
o
trùng với đường N-S
-0Zo ,0Y
o
nằm trong mặt phẳng xích đạo
của con quay và cùng với trục chính con quay tạo
thành hệ toạ độ decac thuận
-0Y
o

trùng với đường E-W
0Z
o
trùng với đường dây dọi người quan sát
1.2.2 Hệ tọa độ biến đổi(Rezal) 0XYZ
- Gốc trùng với điểm treo con quay
-0X trùng với trục chính con quay
-0Z ,0Y nằm trong mặt phẳng con quay và cùng với trục chính con quay tạo
thành hệ toạ độ decac thuận
-0Y ,0Z không tham gia vào chuyển động riêng của con quay mà chỉ chuyển
động khi trục chính con quay chuyển động .
1.2.3 Hệ tọa độ tự do 0X
1
Y
1
Z
1

- Gốc trùng với điểm treo con quay
-0X
1
trùng với trục chính con quay
-0Z
1
,0Y
1
nằm trong mặt phẳng con quay và cùng với trục chính con quay tạo
thành hệ toạ độ decac thuận
-0Y
1

,0Z
1
tham gia vào chuyển động riêng của con quay.
Hệ tọa độ 0X
o
Y
o
Z
o
, 0XYZ

xác đònh chuyển động của con quay trong không
gian Hệ tọa độ 0X
1
Y
1
Z
1
xác đònh chuyển động của con quay trong lòng nó
W
E
X
Z
α
β
X
O
Z
O
Y

O
Y

La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-3
§ 1.3 Moment động lượng con quay
1.3.1 Động lượng con quay
Giả sử có một vật rắn quay quanh điểm O không đổi. Ta tách từ vật một chất
điểm A có khối lượng m
i
. Vò trí của A hoàn toàn được xác
đònh bởi bán kinh vector r
i
.Giả sử trong vật tại thời điểm
đang xét có ngoại lực tác dụng f
i
Moment L
i
của lực đối với
điểm O
iii
frl
r
r
r
∧=

Dưới tác dụng của ngoại lực vật sẽ chuyển động quay
quanh 0 với vận tốc góc Ω

Động lượng của một vật chuyển động bằng tích khối lượng với vận tốc chuyển
động của vật thể trên quỹ đạo . Đối với chuyển động quay thì động lượng của nó là
tích giữa khối lượng và vận tốc tiếp tuyến của vật chuyển động quanh một trục bất
kỳ
Động lượng :
i
vmq
rr
.=

Động lượng của con quay chưa biểu hiện rõ quy luật quay của con quay vì vector
vạn tốc tiếp tuyến v
i
luôn đổi hướng. Nó chỉ biểûu thò vận tốc chuyển động của vật thể
có khối lượng . Động lượng càng lớn thì khối lượng hoặc vận tốc của nó càng lớn
1.3.2 Momen động lượng con quay
Moment động lượng của một chất điểm trong con quay là một đại lượng vector
bằng tích có hướng giữa bán kính của chất điểm đó với động lượng của nó:
i
q
i
r
i
h
rr
r
∧=

∑∑
∧==

=
ii
n
i
i
qrhH
rr
r
r
1

Ω=Ω
∑
=∧Ω∧
∑ ∑
=∧=
==
rr
r
r
rrr
r
...)(..
1
2
1
JrmrrmvmrH
n
i
iii

n
i
iiiii

Về độ lớn :
∑∑
==
Ω=Ω==
n
i
ii
n
i
o
iii
JrmvmrH
1
2
1
.
...90sin..

(
Ω∧=
r
rr
ii
rv
, J= M . R
2

-moment quán tính của con quay đối với trục X )
Hướng của moment động lượng
H
r
được xác đònh theo hướng của
Ω
r
tức hướng
của
H
r
trùng với hướng của
Ω
r

Vậy
r
H
đặc trưng cho tính đònh hướng của con quay ,
H
r
càng lớn thì tính đònh
hướng càng cao chính vì vậy cần phải tăng
H
r

+Tăng J = M . R
2

- Tăng M

- Tăng bán kính của con quay (roto ngoài stato hoặc gắn bánh đà vào trục roto)
+Tăng vận tốc góc của con quay bằng cách tăng tần số dòng điện cung cấp cho
X
Y
Z
r
i
v
i
q
i
La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-4
con quay n (v/p) =
K
60f
(f: tần số từ 330 - 500 Hz; K: số cặp cực).
+Tăng kết hợp J ,
Ω

1.3.3 Đònh lý Momen động lượng
i
q
i
r
i
h
rr
r

∧=

iiiiiiiii
ii
iii
iiiii
lframrvmv
dt
vdm
rvm
dt
rd
dt
vmrd
dt
hd
rr
rrrrr
r
rr
rr
==∧+=∧+∧=
∧
=
^..^
)(

(l
i
moment ngoại lực chính tác dụng lên chất điểm A )

L
dt
Hd
l
dt
hd
l
dt
hd
n
i
n
i
i
i
i
i
r
r
r
r
r
r
=
⇒
=
⇒
=
∑ ∑
= =1 1

“Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véctơ moment động lượng đối với một
điểm bằng vector moment ngoại lực chính tác dụng lên vật đối với cùng điểm đó”
Khi vật rắn chuyển động thì moment động lượng sẽ thay đổi về hướng cũng như
về cường độ theo thời gian đầu mút của vector moment động lượng sẽ chuyển động
trong không gian và vẽ lên một đường cong lúc đó nếu gọi
V
r
vector vận tốc của điểm
mút vector moment động lượng thì theo toán học đạo hàm bậc nhất theo thời gian của
vector quãng đường bằng vector vận tốc dài của vector quãng đường đó nghóa là ta có
:

V
dt
Hd
r
r
=
mà
L
dt
Hd
r
r
=

LV
rr
=

Vậy “tốc độ điểm mút vector moment động lượng của vật rắn đối với một điểm
bằng vector moment ngoại lực chính tác dụng lên vật đối với cùng điểm đó“
§ 1.4 Những tính chất cơ bản của con quay tự do
1.4.1 Tính bền vững :
Nếu tổng các moment ngoại lực tác dụng lên con quay tự do bằng 0 (ngoại trừ
mômen nằm trên trục chính) thì trục chính của nó giữ nguyên hướng trong không gian.
Điều đó có nghóa là trục chính con quay hướng về một ngôi sao nào đó thì dù
dòch chuyển nền trên đó có đặt con quay thế nào chăng nữa thì trục chính của nó
không thay đổi hướng tới ngôi sao đó
Thật vậy theo đònh lỳ moment động lượng ta có
L
dt
Hd
r
r
=
mà
L
r
= 0
H
r
= const vậy hướng và độ lớn của moment động lượng
không thay đổi tức là trục chính con quay tự do không đổi hướng trong không gian.
Phuco đã ứng dụng tính chất này để chứng minh chuyển động quay của trái đất
La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-5
1.4.2 Tính tiến động :

Khi có lực ngoại tác dụng lên con quay tự do mà moment của nó không trùng với
hướng trục chính thì trục chính con quay sẽ theo phương vuông
với phương của ngoại lực tác dụng đây gọi là tính tiến động
của con quay
Chiều của vận tốc góc tiến động là chiều sao cho ta đứng
trên nó nhìn xuống chân thấy chiều của vector momen động
lượng
H
r
tiến về trùng với vector ngoại lực
L
r
theo góc nhỏ nhất
và ngược chiều kim đồng hồ
L
dt
Hd
r
r
=
,
V
dt
Hd
r
r
=
theo đònh lý rezal ta có
LV
rr

=
hướng
tiến

động của trục chính con quay trùng với hướng của
r
L
, tức
vuông góc với lực tác dụng.
Tốc độ góc tiến động
ω
p
có trò số bằng tốc độ dài chia cho bán kính
H
r


H
V
p
=
ω
mà
LV
rr
=
⇒
H
L
p

=
ω
ở đây H,L không thay đổi do đó
p
ω
r
không thay
đổi khi ngừng tác dụng tức L=0 thì
p
ω
r
mất ngay như vậy tiến động không có quán
tính
1.4.3 Tính chương động :
Dưới tác dụng của xung lực thì trục chính con quay tự do thực tế không đổi
hướng ban đầu mà chỉ dao động quanh vò trí cân bằng với biên độ nhỏ và tần số lớn
dao động này gọi là chương động
+ Theo đònh lý moment động lượng :
L
dt
Hd
r
r
=
ở dạng xung lực ta có thể chuyển
qua số gia :
L
t
H
=

∆
∆

∆ ∆H L t= .
do xung lực tác dụng trong thời gian rất ngắn do
đó
H∆
rất nhỏ từ dó rút ra rằng dưới tác dụng của xung lực thực tế không làm thay đổi
chiều hướng ban đầu của trục chính con quay
§ 1.5 Moment kháng con quay
Khi nghiên cứu về tính tiến động của con quay ta đã biết rằng trục chính của con
quay chuyển động không phải theo chiều tác dụng của ngoại lực mà chuyển động
theo chiền vuông góc với ngoại lực tác dụng . Hiện tượng đó chỉ co thể giải thích rằng
bản than con quay sinh ra một lực kháng cân bằng với lực tác dụng vào con quay, lực
kháng đó sẽ cản trở trục chính con quay chuyển động theo chiều tác dụng của ngoại
lực tác dụng ta gọi đó là lực kháng con quay. Moment sinh ra bởi lực kháng con quay
gọi là moment kháng con quay hay moment con quay
* Công thức tính moment con quay :
H
Z
Ω
X
F
Y
ω
Y
L
Z
V
H

Z
Ω
X
F
Y
ω
z
L
y
V

La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-6
Từ tính chất tiến động cua con quay ta có
H
L
p
=
ω
L = H.
p

Mặt khác
r
r
R L= −
⇒ R=H.
ω
p

* Chiều của vector moment kháng con quay được xác đònh theo quy tắc Phuco
tức là nó có chiều hướng về phía mà hầu như nó làm trùng vector moment động lượng
với vector vận tốc góc tiến động, nghóa là đối với hệ tọa độ phải thì vector
R
r
sẽ
hướng về phía mà từ đó ta nhìn thấy vector moment động lượng
H
r
quay sang vector
vận tốc góc tiến động
p
ω
r
theo con đường ngắn nhất và ngược chiều kim đồng hồ.
Moment kháng con quay là do quán tính của con quay sinh ra . Để chứng minh
điều này ta làm như sau :
Giả sử có một roto con quay hình đóa dẹp quay với vận tốc góc
Ω
và trục chính
con quay quay quanh trục z với vận tốc góc
ω
z
như vậy con quay sẽ chuyển động phức
hợp gồm chuyển động tương đối với vận tốc góc và chuyển động tương đối với vận
tốc góc
ω
z

Theo đònh lý Koriolit ta có :
r r r r
a a a a
o r e c
= + +

a
0
: Gia tốc tuệt đối

a
r
: Gia tốc tương đối
a
e
: Gia tốc theo
a
c
: Gia tốc Criolit
Bây giờ ta tính từng thành phần gia tốc :
Gia tốc tương đối a
r

được tính bởi công thức :
i
ir
r
v
a
ρ

2
=

i
ρ
: khoảng cách từ điểm treo đến chất điểm thứ i
Để đơn giản ta bỏ qua trục chính con quay chuyển động quanh trục Z . Vì chuyển
động đều nên gia tốc tiếp tuyến bằng không mà chỉ còn gia tốc hướng tâm
a
r
i
i
i
= =
( . )
.
ρ
ρ
ρ
Ω
Ω
2
2

r
a
r
hướng vào tâm
Gia tốc theo a
e

: để thuận lợi cho việc tính toán ta coi con quay không chuyển
động quanh trục X mà trục chính con quay chuyển động quanh trục Z với vận tốc góc
ω
z
.
Độ lớn
e
a
r

X
F
a
c
Z
Y
a
ir
f
ie
f
ic
v
ir
f
ir
a
e
ρ
i

O
v
ie
La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-7
a
v
e
ie
ie
i p
i
i p
= = =
2
2
2
ρ
ρ ϕ ω
ρ ϕ
ρ ϕ ω
( .cos . )
.cos
.cos .

e
a
r
hướng vào trục Z

Gia tốc Criolit a
c
: ac được tính theo công thức cơ học như sau :
r
r
r
a v
c z ir
= ∧2.ω

Hướng của
r
a
c
được xác đònh như sau nếu ta đứng theo
r
a
c
nhìn xuống chân thấy
ω
z quay ngược chiều kim đồng hồ đến trùng với véctơ vận tốc dài tương đối
r
v
ir
theo
góc nhỏ nhất
Độ lớn :
( )
irzirzc
v,sinva

rr
ωω
2=

ϕω
sinva
irzc
2=
Khi có các gia tốc trên sẽ sinh ra các lực quán tính :
r
r
r
r
r
r
f m a f m a f m a
ir i r ie i e ic i c
= − = − = −. , . , .

m
i
là khối lượng của chất điểm khảo sát
Hướng được xác đònh như hình vẽ
Lực quán tính trong chuyển động theo và chuyển động tương đối đều nằm trong
mặt phẳng con quay chỉ gây moment với trục chính nên ta bỏ qua còn lực quán tính
Criolit gây moment với trục Y , z
r
iy
= f
ic

.
ρ
ie
= f
ic
.
ρ
i
. sin
ϕ
= m
i
. a
c
.
ρ
i
sin
ϕ
= 2 . m
i
.
ω
Z
.
ρ
i
2
.
Ω

. sin
2
ϕ
(1)
r
iz
= f
ic
.
ρ
i
. cos
ϕ
= m
i
. a
c
.
ρ
i
cos
ϕ
= 2 . m
i
.
ω
Z
.
ρ
i

2
.
Ω
. sin
ϕ
cos
ϕ

Để tính toán khối lượng m
i
ta xét một mẩu vi phân khối
lượng của con quay
m
i
=
γ
. u
i


γ
: khối lượng riêng (tấn /m
3
)
u
i
: Thể tích của chất điểm (m
3
)
u

i
= h .
ρ
. d
ϕ
. d
ρ

m
i
= h .
γ
.
ρ
. d
ϕ
. d
ρ
(2)
Thay (2) vào (1) ta có :
r
iy
= h .
γ
. 2 . .
ω
Z
.
ρ
i

3
.
Ω
. sin
2
ϕ
d
ϕ
. d
ρ

r
iz
= 2 .h.
γ
.
ω
Z
.
ρ
i
3
.
Ω
. sin
ϕ
cos
ϕ
d
ϕ

. d
ρ

Tích phân theo biến
ρ
,
ϕ
ta có moment kháng trên trục Y ,Z
R
z
=
∫ ∫
Ω
R
iz
ddh
0
2
0
3
.cossin....2
π
ϕϕϕρρωγ
=0
R
y
=
∫ ∫
Ω
R

iz
ddh
0
2
0
23
.sin....2
π
ϕϕρρωγ
=
MR
z
2
2
. .
ω
Ω
= J .
ω
.
Ω

h
ρ
d
ρ
ρdϕ
dϕ

La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-8
Hay R
y
= H.
ω
z
(3)
Trong đó
J
MR
=
2
2
moment quán tính con quay đối với trục X
H : moment động lượng của con quay
Giả sử có lực F tác dụng bất kỳ thì ta có công thức moment kháng tổng quát
Giả sử có lực F tác dụng bất kỳ thì ta có công thức moment kháng tổng quát
pp
HR
ω
r
rr
∧=
về độ lớn: R= H.
ω
p.sin(
H
r
,

p
ω
r
)
Moment con quay sẽ làm cho trục chính con quay quay tới khi góc giữa (
H
r
,
p
ω
r
)
=0

§ 1.6 Phương trình vi phân biểu thò chuyển động của con quay
1.6.1 Thiết lập hệ phương trình
Có rất nhiều phương pháp để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của
con quay nhưng ở đây ta chỉ xét trường hợp đặc biệt để làm cơ sở nghiên cứu chuyển
động của con quay trong không gian . Để thuận lợi giáo sư CUDREVIT đưa ra các
bước sau :
Bước 1 :Lập hệ toạ độ cố đònh OXoYoZo
Bước 2 : Lập hệ toạ độ OXYZ
Bước 3 : cho trục chính con quay lệch khỏi
mặt phẳng kinh tuyến một góc
α
, chênh khỏi mặt
phẳng chân trời một góc
β

Bước 4 tìm vận tốc góc trên các trục Y, Z

ω
y
=
d
dt
β

ω
z =
d
dt
α
cos
β

Bước 5 : Tìm gia tốc quán tính trên các trục
Y, ,Z

ε
y
qt
=
d
dt
2
2
β
=
β
’’

ε
zqt =
d
dt
2
2
α
cos
β
=
α
’’.cos
β

≈

α
’’
Bước 6 : Tìm moment kháng vá moment quán tính trên các trục Y , Z
+Moment kháng
r r
r
r r
r
R H R H
y z z y
= ∧ = ∧ω ω;

Độ lớn R
y

= H .
ω
z
Rz = H .
ω
y

R
Z
qt
L
y

ω
z
ε
z
qt

α
’

α
”
R
y

β
’

β
”
z
0
y
0
y
α
β
F
x
x
o
R
y
qt
R
z
qt
H
z
R
z

La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-9
+ Moment quán tính
R I
d

dt
I
R I
d
dt
I
y
qt
z
qt
= =
′′
= =
′′







. .
. .
2
2
2
2
β
β
α

α

Hướng của moment quán tính trên trục Y ,Z bao giờ cũng ngược hướng với gia
tốc
Bước 7 : Giả sử có một lực tác động gây moment ngoại lực trên trục Y và có
chiều dương
Bước 8 : Bỏ qua sự ảnh hưởng chuyển động quay của trái đất đến hệ trục con
quay
Bước 9 : Tìm moment quán tính của điểm treo con quay (O) với hệ toạ độ cố
đònh , ở đây ta coi điểm treo con quay chuyển động đều hoặc cố đònh do đó quán tính
bằng 0
Bước 10 : Tổng các moment trên các trục Y Z, do hệ thống con quay cân bằng
nên :





=
=
∑
∑
0
0
Rz
Ry

⇔
− − =
− =






L R R
R R
y y y
qt
z z
qt
0
0

⇔
+ =
− =







H
d
dt
I
d
dt

L
H
d
dt
I
d
dt
y
. .
. .
α β
β α
2
2
2
2
0

⇔
′
+
′′
=
′
−
′′
=




− −
H I L
H I
y
. .
. .
α β
β α 0
(I 6 1)

Đây là phương trình chuyển động của con quay khi có ngoại lực tác dụng không
đổi
1.6.2 nh hưởng của thành phần xung lực , ngoại lực tác dụng lên con
quay

Để xét ảnh hưởng của thành phần xung lực , ngoại lực tác dụng lên con
quay chúng ta giải phương trình(I -6 - 1) và nêu kết luận :
La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-10
H I L
H I
y
. .
. .
′
+
′′
=
′

−
′′
=



α β
β α
(a)
(b)0

từ (b)
βα
′
=
′′
I
H
tích phân biểu thức này ta có α’ =
I
H
β
+C
1

điều kiện ban đầu t = 0 α=α
o
,
00
ββ

′
=
′
t
, β=β
0
,
0
0
0
=
′
=
′
αα
t

0=
I
H
.
β
0
+C
1 ⇒
C
1
= -
I
H

.
β
0

α
’ =
I
H
.(
β
-
β
0
) (c)
Thay (c) vào (a) ta có :
′′
β
+
2
2
I
H
.
β
=
2
2
I
H
.

β
0
+
I
L
y


đặt
2
2
2
K
I
H
ω
=

β
′′
+
ω
k
2
.
β
=
ω
k
2

.
β
0
+
I
L
y
(1)

với phương trình thuần nhất
β
′′
+ ω
k
2
. = 0 thì β= C
2
. cosω
k
t + C
3
. sin ω
k
.t
Nghiệm riêng của phương trình (1) β
tt
= (ω
k
2
. β

0
+
I
L
y
) : ω
k
2
= β
0
+
K
y
H
L
ω
.

Nghiệm tổng quát : β = C
2
. cosω
k
t + C
3
. sin ω
k
.t + β
tt
(d)
C

2
,C
3
là các hằng số tích phân, để tìm chúng ta xét
điều kiện ban đầu t = 0 β=β
o
,
00
ββ
′
=
′
t

C
2
+ C
3
.0 +β
tt
= β
0
C
2
= β
0
-β
tt
= -
K

y
H
L
ω
.

vi phân biểu thức (d) β‘ = - C
2
.ω
k
.sinω
k
t + C
3
.ω
k
.cosω
k
t =
0
β
′
C
3
=
K
ω
β
0
′

thay các hệ số này vào (d) ta có :
( )
tt
H
L
k
k
o
k
K
y
o
ω
ω
β
ω
ω
ββ
sincos1
.
′
+−+=
(e)
Thay biểu thức (e) vào biểu thức (c) ta có :
La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-11

α

’ =
I
H
.(
β
-
β
0
) ta có
α
’ =
H
L
y
(1- cos
k
t) +
0
β
′
.sin
k
t
Tích phân biểu thức này ta có α=
H
L
y
.t -
k
y

H
L
ω
.
sinω
k
t +
k
ω
β
0
′

.cosω
k
t +C
4

điều kiện ban đầu t = 0 α= α
0

α
0
=

-
k
ω
β
0

′

+C
4
⇒ C
4
=
α
0
+
k
ω
β
0
′


α
=
H
L
y
.t -
k
y
H
L
ω
.
sin

ω
k
t +
k
ω
β
0
′

.cos
ω
k
t +
α
0
+
k
ω
β
0
′








′

+−+=
++−
′
+=
tt
H
L
t
H
L
t
H
L
t
k
k
o
k
k
y
o
y
k
k
y
k
k
o
o
ω

ω
β
ω
ω
ββ
ω
ω
ω
ω
β
αα
sin)cos1(
.
sin
.
)cos1(
(1)
H : moment động lượng của con quay
k
ω
: tần số góc của con quay khi có ngoại lực tác dụng
Phương trình (1) biểu diễn toạ độ của trục chính con quay theo mặt phẳng
kinh tuyến và mặt phẳng chân trời dưới tác dụng của ngoại lực cố đònh đó là một
hàm số phức hợp bao gồm dao động phần tiến động của con quay với vận tốc góc
H
L
y
=
ω
trong đó có lẫn dao động điều hòa sin và cosin với tần số góc ω

k
. Nếu tốc
độ góc quay riêng của con quay là rất lớn thì ω
k
là rất lớn vì
Ω==
.
I
J
I
H
k
ω
nghóa
là nó gần bằng trò số vận tốc góc, nhưng với biên độ của dao động lại rất bé vì ω
k
lớn lại nằm ở mẫu do đó mà mắt thường không thể nhìn thấùy. Trong tính toán ta
bỏ qua thành phần này
Khi có xung lực tác dụng (L
y
= 0 )
Khi có xung lực tác dụng phương trìng (1) có dạng như sau :







′

+=
−
′
+=
t
t
k
k
o
o
k
k
o
o
ω
ω
β
ββ
ω
ω
β
αα
sin
)cos1(

La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-12
Nhuu7 vậy thành phần tiến động của trục chính con quay không còn nữa mà
chỉ còn thành phần chương động hay nói cách khác trục chính con quay chỉ dao

động rất nhanh quanh vò trí cân bằng với tần số cao và biên độ nhỏ mà mắt thường
không thể nhìn thấy được sau đó trở lại vò trí cân bằng ban đầu
Phương trình rút gọn của con quay ( sử dụng để nghiên cứu chuyển động của con quay
) Trong một số tính toán người ta chỉ cần quan tâm đến đại lượng moment kháng còn moment
quán tính bỏ qua không cần xét đến thì phương trình vi phân đơn giản hơn nhiều
Giả sử có một ngoại lực tác dụng vào con quay theo phương bất kỳ gây ra
moment L
y
,L
z
làm trục chính con quay tiến động theo trục Y, Z.
y
,
z
là tổng các
vận tốc góc trên các trục Y, Z lúc này phương trình vi phân chuyển động cuả con
quay có dạng :
r r
r r
R L
R L
y y
z z
+ =
+ =






0
0

§ 1.7 Chuyển động quay của trái đất
Chuyển động của trái đất
Trái đấøt tự quay xung quanh mình nó đồng
thời chuyển động quay xung quanh mặt trời theo
đònh luật Kepper nhưng ta chỉ xét đến chuyển động
quay xung quanh mình nó (chuyển động ngày đêm)
Giả sử một người quan sát đứng ở vó độ
ϕ
ta
thấy vận tốc góc của trái đất
ω
đ
được chia ra hai
thành phần
Thành phần theo đường NS :
ω
1
=
ω
đ
cos
ϕ

Thành phần này biểu diễn chuyển động của
mặt phẳng chân trời xung quanh đường N S . Ở
phía E được hạ xuống ta có cảm giác tất cả các
thiên thể đang đi lên đây chính là hiện tượng mọc của các thiên thể . Ở phía W được

nâng lên ta có cảm giác tất cả các thiên thể đang đi xuống đây chính là hiện tượng lặn
của các thiên thể
Thành phần theo đường dây dọi của người quan sát

ω
2
=
ω
đ
.sin
ϕ

Thành phần này đặc trưng cho mặt phẳng kinh tuyến chuyển động quanh đường
dây dọi của người quan sát phía N quay về tây còn phía S quay về E
Để xét ảnh hưởng của chuyển động quay của trái đất tới trục chính con quay ta
cho trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc
α
và lệch khỏi mặt
phẳng chân trời một góc
β

P
N
P
S
α
ω
đ
ω
2

ω
1

La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-13
Tìm vận tốc do chuyển động của trục chính
con quay trên các trục :

ω
y
=
d
dt
β
=
β
‘ (+)

ω
z
=
α
‘ cos
β
(+)
Chiếu
ω
đ
lên các trục X ,Y ,Z

ω
xđ
=
ω
đ
.cos

ϕ

cos

α
cos
β

ω

=
ω
đ
. cos

ϕ

sin

α
(- )

ω

zđ
=-
ω
đ
sin

ϕ
cos
β
+
ω
đ
cos
ϕ
cos
α
sin
β

Vì
β
rất nhỏ cos
β

≈
1 , sin
α

≈

α
bỏ VCBBC cos
ϕ
cos
α
sin
β

≈
0 ta có
ω
xđ
=
ω
đ
.cos

ϕ

cos

α

ω

=
ω
đ
. cos

ϕ

.
α
(- )

ω
zđ
= -
ω
đ
sin

ϕ

+ Tổng các vận tốc góc trên các trục Y, Z :

ω β ω ϕ α
ω α ω ϕ
y d
z d
=
′
−
=
′
−






∑
∑
.cos .
.sin

Thành phần
ω
x
chỉ làm tăng hoặc giảm vận tốc góc không gây tiến động từ nay
ta không xét đến .
chuyển động nhìn thấy của con quay tự do đối với mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời :
Khảo sát chuyển động nhìn thấy của trục chính con quay tự do đặt ở một điểm
bất kỳ của trái đất đối với hệ tọa độ chân trời . Như ta đã biết trục chính con quay tự
do giữ nguyên hướng trong không gian tự do . Vò trí của nó đối với mặt phẳng chân
trời và mặt phẳng kinh tuyến được xác đònh bởi
α
,
β
. Trong thiên văn hàng hải những
góc đó hay những cung tương ứng của các cung vòng lớn của tam giác cầu ZPnA ( A
là điểm mút của trục chính con quay) những góc đó chính là phương vò và độ cao của
điểm A (tương ứngvới điểm cuối của trục chính con quay)do trục chính con quay luôn
giữ hướng không đổi trong không gian còn độ cao
và phương vò luôn thay đổi do chuyển động quay
của trái đất như vậy chuyển động nhìn thấy của
trục chính con quay tự do sẽ quay quanh trục vũ
trụ theo hình nón có đáy với bán kính:
∆

=900 -
δ
,
∆
là cực cự ,
δ
là xích vó của điểm A Các góc này
được xác đònh bởi hệ thức lượng trong tam giác
cầu
sin
β
= sinh = sin
ϕ
.sin
δ
+cos
ϕ
.cos
δ
.cost
cotg
α
= cotagA = cos
ϕ
.tg
δ
.cosect + sin
ϕ
.cotgt
Trường hợp đặc biệt là khi trục chính con

quay tự do đặt song song với trục trái đất khi đó
y
ω
ωω
ω
1
11
1
ω
ωω
ω
d
ω
2z
ω
2y
P
S
P
N
α
β
y
o
z
o
z
x
x
o

ω
ωω
ω
2
22
2
ω
2x
ω
ωω
ω
1
11
1z
ϕ
α
’
α
’.cos
β

A
P
n
Z
N
90
0
-δ
δδ

δ
90
0
-h
90
0
-ϕ
ϕϕ
ϕ
A
t
La Bàn Con Quay

09-07-2009 1-14
xích vó
δ
=90
0
theo hệ công thức trên thì
sin
β
= sin
ϕ
.sin
δ
+cos
ϕ
.cos
δ
.cost = sin

ϕ

cotg
α
= cos
ϕ
.tg
δ
.cosect + sin
ϕ
.cotgt =
∞




∞=
=
α
ϕβ
gcot
sinsin

⇔



=
=
0

α
ϕβ
sin

⇔



=
=
0
α
ϕβ

Hay là trục chính con quay chênh khỏi mặt phẳng chân trời một góc bằng vó độ
người quan sát và nằn trong mặt phẳng kinh tuyến người quan sát
Đối với bất kỳ cách sắp đặt trục chính con quay khác đều sảy ra chuyển động
nhìn thấy đối với mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời thật
Trực quan hơn ta đặt con quay tại vó độ vó
ϕ
sao cho trục của nó nằm song song
với mặt phẳng chân trời và mằm trong mặt phẳng
kinh tuyến vò trí (I) sau 6 giờ mặt phẳng kinh
tuyến quay được 90
0
nhưng trục chính con quay
vẫn giữ nguyên hướng trong không gian tuyệt đối
. để dễ quan sát ta giả sử trái đất đứng yên còn
con quay chuyển về vò trí (II) lúc này trục chính
con quay không còn trùng với mặt phẳng kinh

tuyến nữa mà hợp với mặt phẳng kinh tuyến một
góc
α
và chênh khỏi mặt phẳng chân trời nhưng ở
vò trí này chúng ta không thấy rõ. Sau 6 giờ nữa thí mặt phẳng kinh tuyên lại quay
được một góc 90
0
cũng như trên ta giả sử con quay ở vò trí (III) lúc này ta thấy rõ trục
chính con quay chênh khỏi mặt phẳng chân trời một góc 2
β
.
Như vậy theo thời gian trục chính con quay sẽ chuyển động không ngừng theo
hình chóp nón với góc mở là 2
β

P
N
2β
β
ϕ
α
I
II
III

La Bàn Con Quay

09-07-2009 2-1
CHƯƠNG 2 CHUYỂN ĐỘNG CỦA LA BÀN CON QUAY
TRÊN NỀN CỐ ĐỊNH

§ 2.1
Chuyển động của con quay hai bậc tự do

2.1.1 Thí nghiệm 1 của FUCO
Fuco sử dụng con quay cân bằng và hạn chế chiều
quay với trục Y sau đó đặt trục chính con quay lệch khỏi
mặt phẳng kinh tuyến một góc α kết quả nhận được trục
chính con quay chuyển động về mặt phẳng kinh tuyến
người quan sát . Điều này chỉ có thể giải thích như sau :
Do chuyển động quay của trái đất mà mặt phẳng
chân trời luôn quay quanh xuống ở phía E với vận tốc
ω
đ
cosϕ nhưng do trục chính con quay bò hạn chế chiều
chuyển động với trục Y nên nó phải chuyển động cưỡng bức xung quanh trục Y
với vận tốc góc
ω

=ω
đ
cosϕ.α (sinα ≈ α)

Do đó trong bản thân con quay sẽ sinh ra một momen kháng
r r
r
R H
z yd
= ∧ ω

về độ lớn R

z
= H . ω
đ
. cos

ϕ .

α

( < 0 )
Momen kháng này làm có tác dụng làm cho góc hợp bởi vector momen
động lượng và vector vận tốc góc bằng 0 hay α → 0. Nếu trục chính con quay lại
chuyển động khỏi mặt phẳng kinh tuyến về phía tây của mặt phẳng chân trời ω


sẽ đổi hướng và theo chiều dương R
z
cũng đổi dấu và tiếp tục đưa trục chính con
quay về mặt phẳng kinh tuyến.
Vậy con quay có xu hướng ổn đònh trong mặt phẳng kinh tuyến và gọi là
LBCQ
Để tìm quy luật chuyển động của trục chính con quay theo mặt phằûng kinh
tuyến ta thiết lập phương trình vi phân trong trường hợp này ta có
∑ R
z
= 0 hay
z
qt
z
RR

rr
+
=0 ⇔
0=+
′
yz
HI
ωω

H
y
ω
ωω
ω
1
11
1
ω
ωω
ω
d
R
z
ω
xd
ω
yd
P
S
P

N
α
ω
ωω
ω
2
22
2
x
x
o
z
La Bàn Con Quay

09-07-2009 2-2
ω
y
, ω
z
là tổng các vận tốc góc trên các trục Y ,Z có kể đến chuyển động
của trái đất





−
′
=
=

∑
∑
ϕωαω
αϕωω
sin.
.cos.
dz
dy
⇒ ω’
z
= α”
0=+
′
yz
HI
ωω
⇔
0.cos =+
′′
αϕωα
d
HI
⇔
0.cos =+
′′
αϕωα
d
I
H
I

⇔
0.
2
0
=+
′′
αωα

(
*
)
với
2
0
ωϕω
=






cos
I
H
d

Nghiệm của (*) α = C
1

cos cosω
0
t +C
2
sin ω
0
t
C
1
, C
2
là các hằng số tích phân
điều kiện đầu α = α
0
, α’ = α’
0
= 0 ta có C
1
= α
0

đạo hàm (*) α’ = - C
1
ω
0
. sinω
0
t +C
2
ω

0
.cosω
0
t =0 ⇒ C
2
= 0
⇒
tcos
00
ωαα
=

Vậy con quay hạn chế chiều quay với trục Y thì trục chính con quay dao
động không tắt theo hàm cosin quanh mặt phẳng kinh tuyến người quan sát với
chu kỳ
T
0
=
2
2
0
π
ω
π
ω ϕ
= .
cos
I
H
d

Không áp dụng la bàn này trên thiết bò chuyển động vì chu kỳ nhỏ do ảnh
hưởng của các ngoại lực bên ngoài, T
0
xấp xỉ chu kỳ lắc của tàu như vậy sẽ gây
cộng hưởng
2.1.2 Thí nghiệm 2 của FUCO
Fuco sử dụng con quay cân bằng và hạn chế
chiều quay với trục Z sau đó đặt trục chính con
quay lệch khỏi mặt chân trời một góc β và hợp với
trục vũ trụ một góc θ kết quả nhận được trục chính
con quay chuyển động về song song với trục vũ trụ.
Điều này chỉ có thể giải thích như sau :
β
’
R
y
Y
Z
X
o
Z
o
ϕ
θω
z
β
H
P
N

P
S
X
ω
x
ω
đ
La Bàn Con Quay

09-07-2009 2-3
Do chuyển động quay của trái đất mà mặt phẳng kinh tuyến luôn quay
quanh đường dây dọi với vận tốc ω
đ
sinϕ nhưng do trục chính con quay bò hạn chế
chiều chuyển động với trục Z nên nó phải chuyển động cưỡng bức xung quanh trục
Z với vận tốc góc ω
đ
sinβ. Do đó trong bản thân con quay sẽ sinh ra một momen
kháng
zdy
HR
ω
r
rr
∧=

Về độ lớn
βω
sin
dy

HR
=

Momen kháng này làm có tác dụng làm cho góc hợp bởi vector momen
động lượng và vector vận tốc góc bằng 0 tức là β tăng dần hay trục chính con quay
tiến về song song với trục vũ trụ thì R
y
=0. Nếu trục chính con quay lại chuyển
động chênh cao hơn thiên trục thì ω
zđ
sẽ đổi hướng và theo chiều dương R
y
cũng
đổi dấu và tiếp tục đưa trục chính con quay về song song với thiên trục
Vậy trục chính con quay có xu hướng ổn đònh song song với thiên trục hay
độ cao của trục chính con quay bằng vó độ đặt con quay
Để tìm quy luật chuyển động của trục chính con quay ta thiết lập phương
trình vi phân
∑
= 0
y
R
r
hay
y
qt
y
RR
rr
+

=0 ⇔
0=+
′
zy
HI
ωω

ω
y
, ω
z
là tổng các vận tốc góc trên các trục Y ,Z có kể đến chuyển động
của trái đất





=
′
=
∑
∑
θωω
βω
sin
dz
y
⇒
( )






=
′
−=
∑
∑
θωω
θϕω
dz
y
⇒
θω
′
−=
′
y

0=+
′
yz
HI
ωω
⇔
0=+
′′
θωθ

d
I
H
⇔
0
2
0
=+
′′
θωθ

(
*
)
với
2
0
ωω
=






d
I
H

Tương tự ta có

tcos
00
ωθθ
=

Vậy con quay hạn chế chiều quay với trục z thì trục chính con quay dao
động không tắt theo hàm cosin quanh trục vũ trụ với chu kỳ
d
H
I
.T
ω
π
ω
π
2
2
0
0
==

Như vậy độ cao của trục chính con quay chỉ vó độ người quan sát.
La Bàn Con Quay

09-07-2009 2-4
§ 2.2 Các phương pháp biến con quay tự do thành la bàn con quay
2.2.1 p dụng theo kiểu con lắc vật lý – Hạ thấp trọng tâm
Trong phương pháp này người ta hạ thấp trọng tâm của con quay dọc trên
trục Z xuống một đoạn là a so với tâm treo. Để hạ thấp trọng tâm của rôto ta hạ
thấp trọng tâm của vỏ treo rôto con quay (Hạ thấp hộp đựng rôto con quay).

Tại vò trí I:
Giả sử trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến 1 góc α về
phía E của mặt phẳng chân trời đồng thời nằm trong mặt phẳng chân trời ngườiø
quan sát ( β= 0), lúc này trọng lực P đi qua tâm treo nên không gây ra
moment.Nhưng do chuyển động quay của trái đất mặt phẳng chân trời ở phía E đi
xuống và phần N của mặt phẳng kinh tuyến quay sang phía W mà trục chính con
quay vẫn giữ nguyên hướng trong không gian tự do, do đó so với mặt phẳng kinh
tuyến và mặt phẳng chân trời nó sẽ đi lên với vận tốc
Tg
V
r
và tiếp tục
trượt xa mặt phẳng kinh tuyến về phía E với vận tốc
Dr
V
r
do xuất hiện
góc chênh β so với mặt phẳng chân trời nên trọng lượng P gây ra
moment trên trục Y làm cho trục chính con quay tiến động về mặt phẳng kinh
tuyến với vận tốc
c
V
r
như vậy sau vò trí I sẽ xuất hiện thêm thành phần vận tốc điều
khiển
c
V
r
nhưng
c

V
r
<
Dr
V
r
do đó tổng hợp các vector vận tốc
c
V
r
,
Tg
V
r
,
Dr
V
r
thì trục chính
con quay vẫn tiếp tục trượt xa mặt phẳng kinh tuyến về phía E và nâng độ cao quỹ
đạo của dầu mút trục chính vẽ lên đường cong từ vò trí I tới vò trí II
X
P
r
z
P
r
x
P
r

H
r
Tg
V
r
Dr
V
r
Tg
V
r
Dr
V
r
C
V
r
Dr
V
r
C
V
r
Tg
V
r
Dr
V
r
C

V
r
Tg
V
r
Dr
V
r
Tg
V
r
Dr
V
r
Dr
V
r
C
V
r
C
V
r
X
P
r
z
P
r
x

P
r
H
r
Tg
V
r
Dr
V
r
C
V
r
Tg
V
r
Dr
V
r
C
V
r
Tg
V
r
Dr
V
r
C
V

r
α
P
r
p
r

x
y
p
r

x
y
La Bàn Con Quay

09-07-2009 2-5
Tại vò trí II:
Khi β= β
r
nào đó thì
c
V
r
=
Dr
V
r
do đó trục chính con quay không trượt xa
mặt phẳng kinh tuyến nữa (α = α

max
) nhưng vẫn tiếp tục nâng nên ( β tăng dần
)khi qua khỏi vò trí II thì
c
V
r
>
Dr
V
r
do đó tổng hợp các vector vận tốc
c
V
r
,
Tg
V
r
,
Dr
V
r


thì
trục chính con quay di chuyển về mặt phẳng kinh tuyến và tiếp tục nâng độ cao
quỹ đạo của đầu mút trục chính vẽ lên đường cong từ vò trí II tới vò trí III
Tại vò trí III:
Trục chính con quay nằm trong mặt phẳng kinh tuyến (α=0) nên
Tg

V
r
=0 do
đó trục chính con quay không nâng thêm độ cao nữa (β=β
max
).
cMAXc
VV
rr
=
>
Dr
V
r
nó
lại trượt khỏi mặt phẳng kinh tuyến về phía W qua vò trí III thì trục chính con quay
lại hạ xuống với vận tốc
Tg
V
r
(do mặt phẳng chân trời phía W nâng lên tổng hợp các
vector vận tốc
c
V
r
,
Tg
V
r
,

Dr
V
r
thì trục chính con quay tiếp tục trượt xa mặt phẳng kinh
tuyến về phía W đồng thời hạ thấp độ cao. Quỹ đạo của đầu mút trục chính vẽ lên
đường cong từ vò trí III tới vò trí IV
Tại vò trí IV:
Khi β= β
r
nào đó thì
c
V
r
=
Dr
V
r
do đó trục chính con quay không trượt xa
mặt phẳng kinh tuyến nữa (α = α
max
) nhưng vẫn tiếp tục hạ thấp độ cao với vận
tốc
Tg
V
r
khi qua khỏi vò trí IV thì
c
V
r
<

Dr
V
r
do đó tổng hợp các vector vận tốc
c
V
r
,
Tg
V
r
,
Dr
V
r


thì trục chính con quay di chuyển về mặt phẳng kinh tuyến và tiếp tục hạ
thấp độ cao quỹ đạo của đầu mút trục chính vẽ lên đường cong từ vò trí IV tới vò trí
V
Tại vò trí V:
Trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến 1 góc α về phía
W của mặt phẳng chân trời đồng thời nằm trong mặt phẳng chân trời ngườiø quan
sát ( β= 0), lúc này trọng lực P đi qua tâm treo nên không gây ra moment.Nhưng
do chuyển động quay của trái đất mặt phẳng chân trời ở phía W đi lên và phần S
của mặt phẳng kinh tuyến quay sang phía E do đó so với mặt phẳng kinh tuyến và
mặt phẳng chân trời trục chính con quay sẽ hạ thấp độ cao với vận tốc
Tg
V
r

và tiếp
tục tiến về mặt phẳng kinh tuyến với vận tốc
Dr
V
r
qua khỏi vò trí V trục chính con
quay chìm xuống một góc β so với mặt phẳng chân trời nên trọng lượng P gây ra
moment trên trục Y(lúc này đã đổi dấu ) làm cho trục chính con quay tiến động về
mặt phẳng kinh tuyến với vận tốc
c
V
r
như vậy sau vò trí V sẽ xuất hiện thêm thành
phần vận tốc điều khiển
c
V
r
cùng chiều với
Dr
V
r
do đó tổng hợp các vector vận tốc