Tài liệu Giáo trình hình học và 400 bài tập P1 ppt

TY

x1

1

Giáo trình Tốn - Tập 7

HINH HOC
(ido trinh va
400 bai tip co loi giải

NHÀ XUẤT BAN GIAO DUC

ỳ

DUNOP


Jean-Marie Monier

Giáo trình Tốn

Tập 7

HÌNH HỌC
Giáo trình và 400 bài tập có lời giải
(Tái bản lần thứ hai)

Người dich :

Nguyễn Chỉ

Hiệu đính -

Đồn Quỳnh

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC


Lời nói đầu
Bộ
cho
thứ
các

giáo trình Tốn mới này, với nhiều bài tập có lời giải, được biên soạn dành
sinh viên giải đoạn Ï các trường đại học công nghệ quốc gia (năm thứ | va
2, mọi chuyên ngành), cho sinh viên giai đoạn I đại học khoa học, và cho
thí sinh dự thi tuyển giáo sư trung học phổ thông.

Bố cục của bộ giáo trình như sau:
Tập! : Giả ¡ tích1
}
Tập2 : Giải tích 2

|
3
Tập 5: Đại

Giải tích

nam thit1

Giải tích

năm thứ 2

số 1:

Đại số — năm thứ Ì

Tập 6: Đại số 2:

Đại số — năm thứ 2

Tập 7: Hình học:

Hình học

năm thứ Ivà thứ 2.

Để kiểm chứng mức độ lĩnh hội kiến thức, trong mỗi chương độc giả sẽ thấy

nhiêu bài tập có lời giải in ở cuối sách. Trừ một vài trường hợp đặc biệt, các bài

tập này đều khác với những bài đã có trong bộ bài tập có lời giải gồm tám tập
mới xuất bản.
Nhiều vấn để ở ranh giới của chương trình được để cập ở cuối chương, đưới
dang cic bổ sung có giải.
Tác giả rất mong nhận được những lời phê bình và gợi ý của độc giả. Xin vụ

lịng gửi các ý kiến đến Nhà xuất bán Dunod, 5, phố Laromiguière, 75005
Paris.

Jean-Marie Monier


Lời cám

ơn

Tơi xin bày tỏ ở đây lịng biết ơn đối với nhiều bạn đồng nghiệp đã vui lòng
đọc lại từng phần của bản thảo hoặc của bản đánh máy là : Henri Baroz,.
Alain

Bemard,

Jean-Philippe

Beme,

Isabelle

Bigeard,

Gérard

Bourgin,

Gérard Cassayre, Gilles Demeusois, Catherine Dony, Hermin Durand,
Marguerite Gauthier, André Gruz, Annie Michel, Michel Pernoud, René

Roy, Philippe Saunois.

Sau cùng, tôi chân thành cám ơn Nhà xuất bản Dunod, Gisèle Maïus và
Michel Mounic, mà năng lực cũng như lịng kiên trì đã tạo điều kiện cho
các tập sách này ra đời.
Jean-Marie Monier


Muc luc
Phần thứ nhốt - Giáo trình

Chương 1. - Hình học cfin trong mặt phẳng vờ †rong
không giœn bơ chiều

1.1

Cdc khong gian afin R’ va R®
1.1.1 Nhắc lại về R -kgv
R’ va R?
1.1.2 Các khơng gian n R và RẺ

1.2.

Đường thẳng và mặt phẳng afin

3
3
3
6

1.2.1

Đường thang afin trong A,

Mat phing afin trong A,

14

1.2.3

Đường thẳng afin trong A,

19

1.2.2

6

1.3

Hệ quy chiếu Descartes

29

1.4

Ánh xạ afin

33

1.5

1.4.1
1.4.2.

Dai cuong
Các ví dụ thơng thường về ánh xa afin

Tam tỷ cự, tính lồi

1.5.1 Tam ty cr
1.5.2

Tính lồi

33
35

44

48

Chương 2. - Hinh hoc afin Euclide trong mat phẳng

vị trong khơng gian ba chiều
2.1

Nhấc lại về hình học vectơ Euclide trong IR? va R®
2.1.1 Tích vơ hướng dạng chính tắc

33
53

2.1.3. Tích hỗn hợp và tích vectơ trong IR°
2.1.4. Các tự đồng cấu trực giao của IR? hoặc I°

55
ST

2.1.2

2.2

Tính trực giao

54

Hình học Euclide phẳng
2.2.1 Khoảng cách, góc

62
62

2.2.3.

70

2.2.2

Các phép đẳng cự afin của mặt phẳng

Các phép đồng đạng thuận trong mặt phẳng

67


Vi

Mục lục

2.2.4.

Đường trịn trong mặt phẳng

2.2.5.

Đường cơnic trong mặt phẳng afin EucHde

2.2.6

2-3

Ứng dụng số phức trong hình học Euclide phẳng

Hình học afin Euclide trong không gian Euclide ba chiều

2.3.1

2.3.2.

Khoảng cách, góc

"Bổ sung

Các phép đẳng cự afin của £,

75
82
9
108
108
127

Chương 3. - Hinh hoc afin Thực
3.1.

Cấu trúc afin chính tắc của một không gian vectơ

3.11

Điểm

3.1.2 Phép tỉnh tiến

3.2. Không gian afin con của một không gian vectơ
3.2.1. Đại cương
3.2.2

3.3

Anh xạ afin
3.3.1.

3.3.2.

Đại cương

Các ví dụ thơng thường về ánh xa afin
Các hệ quy chiéu Descartes

3.4.

3.4.1
3.4.2

3-4-3.

3.6

Tinh song song

Đại cương
Hệ quy chiếu Descartes và không gian afin con

Hệ quy chiếu Descartes và ánh xa afin

Tam ty cy, tinh lồi

3.5.1 Tâm tỷ cự

3.5.2 Tinh I6i

143
143
144
145
145
146
149
149
151
155
155
156
157
158
158
161

Chương 4. - Đường cong trên mặt phdéing
4.1

Cung tham số hóa

4.1.1

4.1.2.

Đại cương

Khảo sát một cung tham số hóa trong lân cận
một điểm

3. Nhánh vơ tận

4

166

Các tính đối xứng

5 Diém bội

-6 Lược đồ khảo sắt một cùng tham số hóa.
7 _ Ví dụ về cách vẽ cung tham số hóa
8

4.2.

Tinh các điện tích phẳng

Đường cong trong tọa độ cực

4.2.1

Tọa độ cực

189
193
193

*%

Mục lục

4.2.2

Biểu diễn một đường cong trong tọa độ cực

194

Đường trịn trong tọa độ cực
Các đường cơnic có tiêu điểm tại gốc tọa độ

195
195,

4.2.3

Đường thẳng trong toa độ cực

4.2.6.

Khảo sát một đường cong xác định

4.2.4.
4.2.5.

4.2.7.

bởi một phương trình cực trong lân cận một điểm

196

Các tính chất đối xứng

199

Các nhánh vơ tận

4.2.8

4.2.9.

Phía lõm đối với gốc toa độ, điểm uốn

4.2.10 Điểm bội

4.2.11 Lược đồ khảo sát một đường cong cho bởi một
phương trình cực
4.2.12 Ví dụ về cách vẽ đường cong trong tọa độ cực
4.2.13 Tính điện tích phẳng trong tọa độ cực

4.3.

Đường cong cho bằng phương trình Descartes

4.3.1

Đại cương

43.2

4.4

Ví dụ

Hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng

4.4.1
44.2

194

Lý thuyết
Vidu

197

200

202

203
204
207

209

209
211

215

215
217

Chương 5. - Cúc tích chốt mê†ric của đường

cong trên mốt phẳng
5.1

Các tính chất cấp một
5.1.1

223

Các tính chất cấp hai

232

5.1.2

5.2

223

Hồnh độ cong

5.2.1
5.2.2
5.2.3

5.2.4.

Biểu điễn tham số theo hồnh độ cong
Bán kính cong
Tam cong
Đường túc bế của một đường cong trên mặt phẳng

Các đường thân khai của một đường cong trên mặt phẳng

229
232
238
243

247

Chương ó. - Đường cong trong khéng gian va
mat cong
6.1

Đường cong trong khơng gian

6.1.1

Đại cương

6.1.3.

Hồnh độ cong

6.1.2

Tiếp tuyến tại một điểm

6.1.4 Khảo sát định lượng

249

249

252
255

251

vit


Vill

Mục lục

6.2

Mat cong
6.2.1

Đại cương

6.2.3.
6.2.4

Các mặt thông thường,
Mat bac hai

6.2.2

Tiếp diện

6.2.5 Mặt kẻ, mặt khả triển
6.2.6 .- Ví dụ về khảo sát các đường cong vẽ trên một mặt
cong và thỏa mãn một điều kiện vi phan

264

264
265
271
278
286
291

Phẩn thứ hơi - Chỉ dẫn và lời giải các bài tập
Chương I
Chương 2
Chương 3

Chương 4
Chương 5

Chương 6

Bảng ký hiệu

Bảng thuật ngữ

303
321
385
397
451
469
495
497


Phần thứ nhất

GIAO

TRINH


Chuong

1

Hinh hoc afin trong
mat phang va trong
không

gian ba chiều

1.1

Các không gian afñn R? va R°

1.1.1

Nhic lai vé cdc R - kgv IR? va R?

Ta sẽ xét i, vi uutmg hop RR? ciing tuong a.

Ta nhắc lai (xem Tap 5, 6.1) rang RR 1a mot IR - kgv déi véi cdc luat thông,
thường, được xác định, với (x, y, 2), (x”, y', z2 thuộc )§ và A thude R, bai :
Cay D+

ZH

Ax, ys 2)
va rang :
B°

+ xy

+ yz

4+ 2’)

= (Ax, Ay, 22),

eye
yd
(x,y,2)-(x y,2)=(XX2 yyz-£?),

RỂ được trang bị cơ sở chính tắc (Ƒ,7,Ê), xác định bởi : Ï = (l, 0, 0),
j =(0,L0), £ =(0,0,D. Phần tử (0,0,0) của [Rˆ được ký hiệu là Ư hoặc 0.

1.1.2

Các khơng gian afin R? va R*

Ta sẽ khảo sát trường hợp R’, vì trường hợp IR? cũng tương tự.
Một phần tử (x, y) của JR? được

biểu diễn hình học bởi một điểm,
ký hiệu là ă chẳng hạn, mà các
tọa độ là x, y.

“Ta ký hiệu Ø = (0, 0) = 6.
Vậy, một phần tử (+, y) của IR?,
tùy ngữ cảnh, sẽ được xem

một vectu, hoặc mội điểm.

như

Chương 1

Hình học afin trong mat phẳng và trong khơng gian ba
chiều

Cho
M = (x, y) = R?,

M'=(x,y) eR?
Ta ký hiệu là MM’ phan tit caa R?

xác định bởi :

MM' =M’-M=(¢-x,y'-y).
Vậy ta có :

M=Œ,y)=((y)+Œ'
~x, y -y)

=M+ MM’.
hoặc cịn là: - M'=(M'-M)+M=M+ MM’.

Khi các phân tử của IR? được xem như những điểm, ta nói lÈ? được
trang bị
cấu trúc afin của nó (hoặc : ïE* là một không gian afin),
và không gian

afin IR? thường được gọi là mặt phẳng afin (hoặc : mat phẳng)

. Để chuẩn

bị cho việc nghiên cứu các không gian afin (chương
3), ở đây ta sẽ ký hiệu

Z4; là tập hợp các điểm của lR? và sẽ gọi „4,

là (một) mặt phẳng afin.

Tương tự, ta sẽ ký hiệu „A, là (một) khơng gian afin
(ba chiều).
Nhằm tính đến việc đổi hệ quy chiếu (hoặc : mục tiêu)
(xem 1.3, dưới đây),
ta sé viel M(x, y) thay vi M = (x, y).

+

¡Mệnh để1

Với mọi A, B,C thuộc >4, :

D AB ~>Ư ©A=B

2) BA=-AB

3) AB + BC = AC

4) AB=CB-CA.

C

(hệ thức Chasles)

Chứng mình :
Ký hiệuA = (a, a), 8 = (b, b*), C = (e, c°, ta có :
—

NTI
-

-ab-ay=0

~a=

|? .

=b

ve {i
,~a=0 ` |a=p

2) BA =(a-b,a'-b')=-46-a,b'-a= AB

Qo

A=B

3) AB+BC = (b-a,b'- a) +(c-b,c -b)=(b-a+c-b,b'-a
tc'-b)
=(c-a,c-a)=

AC
4) AB=AC+CB=CB-CA.


xe
1.1.

¢ | Ménh dé 2

Các khơng gian afin J và R?

Với mọi điểm A, Ö thuộc „2A; và mọi vectơ #, vihuộc R?:

DAt atv A+ (uty)

Atuey

2) AB=u @B=Atu
3 ÁA+ 6 =A+v cữ=y,

⁄ `
AL

asa
i

Ching minh :
1) Suy từ tính kết hợp của
+ trong JE?,

A

——_—~-

_Ö

B=Atu

ký hiệuA = (a, a’), B= (d, 6), he (4,0), 0 = Ov):

Vi

2) AB =u â (ba, b`ô 4) = (6 4) « (b, bs (a, a) + (u,v)
=B=A+w

= AGT

34+

oO

lười

fics

4i iê=ẽg +”

NHẬN XÉT:

Với A € Ay, cố định, ánh xạ R2 -> >Ò là một song ánh.

HAE

Một cập - điểm là một cặp (A, B)

gồm hai

điểm.

Ta nói rằng một cạp - điểm (A, 8)
tương đẳng với một cặp - điểm

(C, D), va ta ky hieu (A, 8) ~
(C, D), khi và chỉ khi :

AB=CD.
Rõ ràng ~ là một quan hệ tương
đương
trong
tap
hợp
các

cặp - điểm cia A).

Cho

ABCD

A, B,C, D € A,

; ta nói rằng

là một hình bình hành khi

và chỉ khi: A8
= ĐC.

A

.

§


6

Chương 1

gian ba chiều
Hình học afn trong mặt phẳng và trong không

1⁄2

Đường thẳng và mặt phẳng afin

1.2.1

Dudng thang afin trong A,

1)

Dai cuong

+

Định nghĩa 1

1) ChoAe A), a © R2- {6}. Tap hợp các điểm M thuộc zÄ; sao cho
AM cộng tuyến với z (ức là: AM e Ra) goi la dường thing

afin di qua A va định phương bởi ứ.

2)

Một bộ phận Ð của zA; được gợi là đường thing afin (hoặc :

đường thẳng) khi và chỉ khi tổn tại (A, ư) € zA; x OR? - (0) sao
#.
cho D là đường thang afin di quaA va duge dinh phuong béi
D

D

qua A và định
'Với cách ký hiệu + giữa điểm và vectơ (xem 1.1.2), đường thẳng afin đi
làA+iii.
phương bởi Z là {A + 4#; 2 e JE], đường thẳng này cũng được ký hiệu

anh,xa R —> Á + Rũ là một song ánh.
Với Á € zÃ; và ứ e RR”- (Ö } đểu cố định

À

BÁ+Âu

Dac biét do R vo han, nén moi đường thẳng afin là một tập hợp vôhạn.

Ta ký hiệu

Có thể thấy ngay :

D=A+Rđ.

VBeD,

B+IRữũ =A+lRi.

Tổng qt hơn, với mọi điểm A, 8 thuộc „A; và mọi vectơ 1,v khác vectơ khơng
thuộc RẺ:
as
mm

A+Rđ=B+RäB

«|

Mệnh để - Định nghĩa 1

@

Phtiueec |

[GD
(#, AB)
phuthuộ

Cho Ð là một đường thang afin cla Ap.

z3; thỏa
Mọi vectơ ÿ thuộc R? - {6 }, sao cho t6n tai mot điểm A thuộc

vectd
mãn Ð = A + ïRÿ, đêu cộng tuyến với cùng một vectơ ¡ khác
được gọi là phương của Ð và được ký
không. Đường thẳng vectơ JR
hiệu là Ð

; một phần tử khác vecto khong của lầ#

được gọi là một

vectg chỉ phương của Ð.

«

đường
Định nghĩa 2 — Ta gọi mọi cặp (D, ø), trong đó D là một
z3a.
của
trục
thang afin ctla A, và ø là một vectơ chỉ phương của D, là

1.2.

¢

Định nghĩa - Ký hiệu 3

Đường thẳng và mặt phẳng afin

Cho (2, z) là một trục, A, 8 € Ð. Ta ký

hiệu số thực t sao cho AB =tu 1A AB, và ta nói rằng AB là số đo đại
số của cặp - điểm (A, 8) trên trục (D, ñ ).

«

a

A

B

D

NHẬN XÉT :

1) Ky higu (AB)q thay vi AB chính xác hơn, vì AB phụ thuộc việc chọn #
trong D— {0}. Véi moi A, B, A’, B’ œ D sao cho Á' # 8', số thực AB

AB

khong

phụ thuộc việc chọn đ thuộc З [ƠỊ.
2) Các tính chất sau đây là hiển nhiên, với mọi điểm A, B, C thuộc Ð, các số đo
đại số đều được "tính" trên trục (Ð, ÿ ) :
AB
+ BC = AC —
AB = CB- CA.
+j¡

(hệ thức Chasles)

Mệnh đề - Ký hiệu 2 Với hai điểm phân biệt bất kỳ 3, M; thuộc
zÀ›, tồn tại một và chỉ một đường thang afin chita M, va M, ; đường

thẳng này được ký hiệu là (Ä#,Ä,).

Chứng mình Cho Ø là một đường thẳng afin chứa M, và M;. Khi đó M, e Ð và M,M; định
phương
Ð, vậy D = M, +8 MỊM.
Ngược lại, đường thẳng afin 8, + :8M,M2 đi qua M, (vì M, = M)+ 0M.)
và M; (Vì My =M: + TMIM ).

"

Vay ta c6 : (M\M;) = M,+RM|M, =M, +8 MyM, .
+

Binh nghia4

Ba diém M,, M,, M; thudc »A, được gọi là thắng
hàng khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng afin D của A, sao cho:
Vice |1,2,3},M,c
Ð.

'Ta có ngay mệnh để sau.


8

Chương 1

+

Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều

Mệnh để3

Với mọi điểm Mx, y) (¡ 6 (1,2, 3)) thuộc z3›, các tính

chất sau đây tương đương từng cặp :

1) M,, M;, M; thẳng hàng

2) (M,M,M,M3)
3)

— #I
2741

X2

Ag

37"

Y27~ Yt

YZ

Ixy

#2

%3

4) bị

vs

1

1

phụ thuộc
0

| =0.

1

"Tổng quát hơn, với

là một bộ phận của „^;, ta nói rằng các điểm của F 1a

thắng hàng (hoặc : đếu thẳng hàng) khi và chỉ khi tổn tại một đường

thẳng afin Ð sao cho £ C Ð.

Mọi bộ ba, ký hiệu là ABC, gồm ba điểm của +3; gọi là tam giác (trong

+2;) ; thường A, 8, C duoc giả thiết là không thẳng hàng ; khi đó, các điểm

A, B, C được gọi là các đỉnh của tam giác ABC. Mọi bộ bốn, ký hiệu
ABCD, gồm bốn điểm thuộc +2; gọi là tứ giác (trong z^;) ; thường A, Ö, C,
D duoc giả thiết là từng ba điểm một không thẳng hàng và lúc bấy giờ ta nói
rằng đó là một tứ giác thực sự.
2) Phương trình Descartes của đường thẳng trong z3;

1) Cho Milo, ys) € An =)

€ R- {0}, D=My+ Ru.

V6i moi

MG, y) thuộc A, ta có :

Me Do GER, (x, y) = (oo) + Mi, 9).
`

Ta nói rằng lí

=

Âu
a

y=yp+»

*) là một biểu diễnx tham số @iếta tấtak :

'BDTS) của đường thang D.

Rõ ràng là : (|

X=XytAu

) © vx- Uy + (yg VX) = 0.

y= Yo tay
2) Nguge lai, cho (a, b, c) € 'S` sao cho (a, b) # (0, 0), va A= (MQ. y) 5 ax +
hy + = O}. RO rang [a tén tai M(x, yo) sao cho My © A (ta c6 thé chon

(oe Yo) =

-5,0

@

/

néua#0

(0.-<) nếu bz0

M(x y) thuge Ay:

, và khi ký hiệu @ = Cb, a), ta 06 voi moi

M € Ac ale-%) + ly - y0) = 069 (2, MyM ) phu thuge > Me My + Xai.
Điều này chứng tô 44 là một đường thẳng afin.


4.2.
3) Cho (4, b, €), (ø, be)

Đường thẳng và mặt phẳng afin

e IRỲ sao cho (ø, b) z (0, 0) và (2, b) z (0, 0), D và

D' là các đường thẳng afin xác định bởi :
=0},
by +c ;
ax+ y)
D=[MŒ,

D.=(MŒ,y);¡ax+ By + c =0).
bởi (-b, z) (tương ứng :
e Giả sử D = D'. Vì D (tương ứng : Ð) được định phương,
Hơn nữa, tồn tại

(bY, a’), nên tôn tại & € IR` sao cho (-ð, đ) = kb, 2).
Mo(%. Yo) € D = D’, từ đó

axg + byg +o =0

axg tb yo+c=0

, và vì thế c' =kc.

Vậy : (2, b, c) = kúa, b, €).

= kía, b,c), thì D = D,
e Ngược lại, rõ ràng là nếu tổn tại k e IR” sao cho (đ, b,c‘)

Tóm lại :

©¡

Mệnh để - Định nghĩa

0)} x RB)
Với mọi đường thẳng afin Ð của zÀ›, tồn tại (2, b, e) e TR - (1O,
:
cho
sao
không,
duy nhất sai khác một hệ tử nhân khác
D={M(x,y); ax+by+c=0}3

(viết tắt :

ta nói rằng ax + by + c = 0 là một phương trình Descartes
PTD) của đường Ð và ký hiệu: DI ax+ by +c= 9.
(0, 0), tập hợp
Ngược lại, với mỗi (a, b, c) thuộc R? sao cho (a, b) #
afin.
(M(x, y) ; ax + by + c =0} là một đường thẳng

Descartes cha D hoac là một
Ta xem như nhau ax + by + c = 0 là phương trinh

phương trình Descartes của Ð.

Một vectơ chỉ phương của Ð | ax + by + € = 0 1a (-b, a).
được định phương bởi
Mot PTD của đường thẳng D đi qua Mo(xo, Yo) va
ta cd thể nhận được bằng
ø =(, v) # (0, 0), là -vŒ - xg) + HỚ - yo) = 0, ma
cách khai triển định thức :

lx—-xạ
y-Yo

V

=0

VÍ DỤ:

định phương bởi „=q,3.
Lập một PTD của đường thang D di qua My(2, -1) vađược

maede

-2
|)
y

1
1|2035:9-0+0=0e 8-70

y;), là :
Một PTD của đường thẳng (M,M;), trong đó M C4, y2), Ma,
xX,

X2 ~#I

yo

Y2 TL

=0

"


40

Chương1

Hình học afin trong mat phẳng và trong khơng gian ba chiều

VÍ DỤ:

Lập PTD của đường thẳng Ð nối các diém M (2, -1) va M21, 4).

moneda

y

-2

-3

{050-2420 4 D206 5149)-7=0m

Các trường hợp riêng quan trọng:
1) PTD của dường thẳng D di qua A(a, 0) và B(O, b) (ta gia thiét ab 4 0)
M(x, y) € D&
jx-a

-a

\AB, 2)

phụ thuộc

=0

y—b

<= bx+av=ab

Chẳng hạn, một PTD của đường thẳng nối A(2, 0) và 8(0, 3) là tr

=).

2) PFD ctia đường thẳng D nối O(0, 0) và một diểm bất kỳ A(œ, Ø) (khác
điểm O).
Moxy

d >|
©

Chẳng

x

@

»

B

Ề

|@-o=0

hạn, một PTD

của đường

thẳng nối Ø(0, 0) và A(2, 5) là:
5x-2y =0.

3) Tính song song của hai đường thẳng trong A;

ôâ

nh ngha 1

Cho D, D' 1a hai dutmg thang afin cha Ay Ta nói rằng,

D song song với ?, và ta ký hiệu Ð // D', khi và chỉ khi: D=D.
Như vậy, Ð song song với D' néu va chỉ nếu
Ð và Ð' cùng phương.

Hiển nhiên quan hệ // là một quan hệ tương

đương trong tập hợp các đường thẳng afin

của „Ä,. Đạc biệt, vì / là một quan hệ đối
xứng, đáng lế phải nói "Ð song song với

Ð", ta có thể nói "Ð va D' song song”.

p

Dp

1.2

+ | Mệnh để1

Đường thẳng và mặt phẳng afin

Muốn cho Ð Ì äx + by + c = 0 và Ð' 2x + by +c =0

song song, cần và đủ là :

a

ie

Chitng minh :
Ð (ương ứng : Ð) được định phương bởi ï = (-b, a) (tuong ing : a = CĨ, đ)), vậy :
Đ//D ©
©=

cơn

(0)

phụ thuộc ©

Lị
I-a

-a@

|

=o

bị
pl =0.

-bư +ab' =Ú ©

=

Một PTD của đường thẳng Ð' song song với một đường thẳng đã cho D | ax

+ hy + c=0 và đi qua một điểm cho trước Ä⁄q(xo, yo) la:

a@Œ - +0) + BỘ - Yo) =O

«¡ Định lý (inh ly Thales)
Cho (Ð, ä), (Ð$, ñ') là hai trục sao cho Ð # Ð'; (A, B, C) € D’,
(A,B,C) © D® sao choA#
A’, B# B,C
#C,A#B,A'#B va (AA) // (BB).
Ta có :

“

(AA)

AC

(COV

=

AB

AB

Chứng mình :

AB

Một mặt AC

và AC = đC AB. Mặt khác, vì

AB

BE =(A'B
— AB)+ AA' và
(AA) // (BB), nén tén tai 2 €
cho AB’ = AB+2AA".
Khi đồ ta có:
CC

= CA + AAT+ Ä'C]
= ac

AB

AC Vip
AB

1+2

Vì (AB) #(AA, tạ suy ra :
(AA2//CC

®

_AC

-

11


12

Chương1

@|

Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều

HE qua

Cho (D, i), (D’, i’)

là hai trục sao cho Ð ¬ Ð' là một

đơn tử {C}, và cho A, B e D,
A',B'e D' đều khác C. Ta có :

(AA')/1(BB) © œ.œ
CA’
CA

‹

Giao của hai đường thẳng afin cha A,

'Ta có thể quy vẻ việc giải hệ hai phương trình hai ẩn ;
9) 9)

Dlar+by+c=0

Đlzx+by+c=0

1) Néu DYKD', tiie 1a néu *lB >

z0,0, t thìì hệ hệ

phương trình (S) là một hệ Cramer, vậy sẽ có một và

Ð

chỉ một nghiệm. Trong trường hợp đó, Ð ¬ Ð' là một

don tit.

2) Néu D ff D’, tức là nếu

# < E” sao cho {
ax+by+ec
ax +by+

0

c_

la
ức

D

6
.
=0, thì tồn tại
ÐĐỊ
.

a=ka
, và (S) tương đương với
b= kb

73 vậy (S) võ nghiệm (nếu ¢ * +)

hoặc có vó số nghiệm (nếu c =
Nhuthé:

DAD'=@

hodc

DND =D.

"Ta tóm tắt việc khảo sát.

«¡

Mệnh đề

- Định nghĩa 2

hai đường thẳng afin.
Nếu D

Cho Ð, Ø là

Ð' thì Ð ¬ Ð' là một đơn tử, và ta

nói rằng Ð và Ð' cắt nhau.
Nếu Ð //D, thì Ð = Ð' là tập hợp rỗng (nếu
D#D) hoặc bằng Ð (nếu Ð = D).
@

l

s

D

?'

Định nghĩa 2
Ba đường thang afin D, D’, 2" được gọi là đồng quy khi và chỉ khi :
ĐaDnaP'zØ.

D"

Chẳng hạn (xem bài tập 1.5.1), các trung tuyến của một hình tam giác đồng quy.


4.2

Đường thẳng và mặt phẳng afin

Ta nói rằng ba đường thẳng afmn D, D’, Ð'` đồng quy hoặc song song khi

và chỉ khi :

D,D',D"' đồng quy
hoặc

AA
D,Đ°,D`

song song (từng đôi)

Tổng quát hơn, cho 72 một tập hợp những đường thẳng của A, (co it nhat

hai phần tử). Ta nói rằng các đường thẳng thuộc 72 đồng quy khi và chỉ khi
f\D zØ. Ta nói rằng các đường thẳng của 72 là đồng quy hoặc song
De?

song khi và chỉ khi chúng đồng quy hoặc (đều) song song.
4) Nửa đường thẳng, nửa mặt phẳng trong A,
+

Định nghĩa

Cho Ð là một đường thẳng afin của A,, A, 8 là hai điểm

thuộc D sao cho A # B. Tap hop A + IR, AB (tuong tmg : A + RA)

gọi là nửa đường thẳng đóng (tương ứng : mở) có gốc A và đi qua B,

và ký hiệu là [4) (tương ứng : }AB)).
Ta cũng nói rằng [4B) (tương

ứng

: JAB)) là

nửa

đường

thẳng đóng (tương ứng : mở)
có gốc A và được định phương

và định huong béi AB.

ĐT
4

‘

B

NHAN XET:

1) R6 rang là với mọi diém C

thudc JAB), ta c6:
(AC) = [AB) va JAC) = JAB).

A

pe

2) JAB) = [AB)- {A}.

3) Việc cho một điểm A trên đường thẳng Ð xác định hai nửa dường thẳng gốc

A bao ham trong D.

13