HHKG ON THI QG 2016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông (ABC). Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC).. Cho tam giác ABC vuông tại B. Lấy điểm S nằm ngoài (ABC) sao cho SA vuông (ABC). Cho tam giác ABC vuông tại B, kẻ tia Ax vuông góc (ABC). Lấy điểm S trên tia Ax.. 1. Góc hợp bởi SB và mặt phẳng (ABC). Do SA ⊥(ABC ) ⇒ AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC) ⇒ góc hợp bởi SB và (ABC) là góc. 2. Góc hợp bởi SC và mặt phẳng (ABC). Do SA ⊥(ABC ) ⇒ AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) ⇒ góc hợp bởi SB và (ABC) là góc. 3. CMR: tam giác SBC vuông.  BC  AB  BC  SB   BC  SA (định lí ba đường vuông góc). ⇒ SBC vuông tại B..  SBA.  SCA.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 4. Góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAB).  BC  AB  BC   SAB    BC  SA ⇒ SB là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB).  ⇒ góc hợp bởi SC và (SAB) là góc CSB. 5. Góc hợp bởi SB và mặt phẳng (SAC). Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên AC  BE  AC  BE   SAC    BE  SA ⇒. SE là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC).  ⇒ góc hợp bởi SB và (SAC) là góc BSE. 6. Góc hợp bởi (SBC) và mặt phẳng (ABC).  SBC    ABC    AB  BC  SB  BC   Góc hợp bởi (SBC) và (SAC) là góc tạo bởi hai.  đường thẳng SB và AB là SBA. 7. Tính thể tích khối SABC. 1 1 VABC  SA.SABC  SA. AB. AC 3 6. 8. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C.. Cách 1. Gọi I là trung điểm SC. SAC  A  IA IS IC  1. (dựa vào câu 3) SBC  B  IA IS IC.  2. Từ (1) và (2) suy ra IA IS IB IC  I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C. Với bán.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 R  SC 2 kính. Cách 2: (thực hiện 4 bước tổng quát) 9. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm trên SC sao cho NS 2 NC . Tính thể tích khối AMNCB. VSAMN SM SN 1 2 1  .  .  V SB SC 2 3 3 SABC Ta có:. 10. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Mặt phẳng (P) đi qua AG và song song BC, cắt SB, SC tại M, N. Tính thể tích khối AMNCB.. Gọi K là trung điểm BC. G là trọng tâm của tam giác SBC. Trong tam giác SBC qua G kẻ song song BC, cắt SB tại M, SC tại N.. 1 2 VSAMN  VSABC  VAMNCB  VSABC 3 3. MN  BC. MSN2G  SBC3I. Ta có:. VSAMN SM SN 4  .  VSABC SB SC 9. 4 5 VSAMN  VSABC  VAMNCB  VSABC 9 9. 11. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Tính tỉ lệ thể tích của chóp SABC được chia bởi (AHK). SAB vuông tại A.. SH SH .SB SA2   SB SB 2 SA2  AB 2 SAC vuông tại A.. SK SK .SC SA2   SC SC 2 SA2  AC 2 VSAHK SH SK   .  V SB SC  SABC Ta có:.   VSAHK  VSABC   VAHKCB .  VSABC .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . 12. Tính d  A;  SBC  . VSAHK   VAHKCB   . Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên SB   AH  SB    BC   SAB   AH  AH  BC.  AH   SBC   d  A;  SBC    AH. Tính AH bằng các công thức sau:. . 1 1 1 SA2 . AB 2    AH  AH 2 SA2 AB 2 SA2  AB 2. AB. AC  AH .BC  AH .   sin SBA . . AB. AC BC. AH   AH  AB.sin SBA AB. Cách 2: 1 VSABC  d  A;  SBC   .S ABC 3  d  A;  SBC   . 13. Tính d  C ;  SAB  . BC   SBC . 3.VSABC SA. AB. AC  SSBC SB.BC. (ý 3).  d  C ;  SAB   BC. 14. Tính d  B;  SAC  . Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên AC.  BE  AC    BE   SAC   BE  SA. d  B;  SAC   BE. (tính BE như ý 12).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 15. Tính d  SA; BC .  AB  SA  d  SA; BC   AB   AB  B. 16. Tính d  SB; AC . Gọi P sao cho PACB là hình bình hành AC / / BP, BP   SBP   d  AC ; SB  d  AC ;  SBP   d  A;  SBP  . Gọi K là hình chiếu của A lên BP, H là hình chiếu của A lên SK AH  AK (1).  BP  AK  BP   SAK   AH   BP  SA  AH  BP (2). Từ (1) và (2) 17. Tính d  SC ; AB . AH   SBP   d  A;  SBP    AH. Gọi P sao cho ABCP là hình bình hành. 0  Vì ABC 90  ABCP là hình chữ nhật.. AB / / CP, CP   SCP   d  AB; SC  d  AB;  SCP   d  A;  SCP  . Gọi H là hình chiếu của A lên SP. AH  SP (1) CP  AP  CP   SAP   AH  CP  SA.  AH  CP (2). Từ (1), (2). AH   SCP   d  A;  SCP    AH.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 18. Tính d  Q;  SBC   Q thuộc AB sao cho AQ nQB. Ta có: . QA   SBC  B. d  Q;  SBC   d  A;  SBC  . .  d  Q;  SBC   . QB QA. QB .d  A;  SBC   QA. Bài toán quay về ý 12. 19.. Tính. d  G;  SBC  . . G là trọng tâm cùa tam giác SAB. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác SAB. GM   SBC  S . d  G;  SBC   d  M ;  SBC  . . GS 2  MS 3. 2  d  G;  SBC    .d  M ;  SBC   (1) 3. AM   SBC  B . d  A;  SBC   d  M ;  SBC  . . AB 2 MB. 1  d  M ;  SBC    .d  A;  SBC   (2) 2 1 d  G;  SBC    .d  A;  SBC   3 Từ (1), (2) suy ra. Bài toán quay về ý 12. Áp dụng thực tế AB a, BC a 2, AB a 3 AB BC a, SB a 3 AB a, BC a 2 , góc hợp bởi SB và (ABC) là 600 AB a, AC a 5, góc hợp bởi SC và (SAB) là 300. 1 AB a, AC a 5, d  A;  SBC    a 2. Bài 2..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông.. SA   ABCD  , O  AC  BD. Cột thứ 3 chỉ gợi ý. Các em phải nắm rõ bài 1 để trình bày và lý luận. 1. Góc hợp bởi SB và mặt phẳng (ABCD).  SB;  ABCD   SBA. 2. Góc hợp bởi SC và mặt phẳng (ABCD).  SC;  ABCD   SCA. 3. Góc hợp bởi SD và mặt phẳng (ABCD).  SD;  ABCD   SDA. 4. Góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAB).  SC;  SAB   CSB. 5. Góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAD).  SC;  SAD   CSD. 6. Góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD).   SBC  ;  ABCD   SBA . 7. Góc hợp bởi mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD).   SCD  ;  ABCD   SDA . 8. Góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).   SBD  ;  ABCD   SOA . 9. Góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SAB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Cách 1:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  SAB    SBC  SB   AH  SB  BC  SB .  SBC  ;  SAB    AH ; BC  Cách 2:   AH   SBC     AD   SAB .  SBC  ;  SAB    AH ; AD  10. Góc hợp bởi mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SAD). Tương tự ý 9. 11. Góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SCD). Cách 1:.  ; AB   SBC  ;  SAB    AH ; CD   AH. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC (khi đó H cũng là hình chiếu vuông góc của D lên SC).  ; DH   SBC  ;  SCD    BH. Cách 2: Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SSB, SD..  SBC  ;  SCD    AM ; AN  12. Tính thể tích các khối:….. 1 1 VSABCD  SA.S ABCD  SA. AB 2 ; 3 3 1 VSABC VSABD VSACD VSDCB  VSABCD 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 13. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD. Gọi I là trung điểm của SC. SAC vuông tại A  IA IS IC  1. SBC vuông tại B  IB IS IC.  2. SCD vuông tại D  ID IS IC.  3. Từ (1), (2) và (3) suy ra IA IB IC IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 1 R  SC 2 SABCD với bán kính. 14. Tính. d  A;  SBC  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.. 15. Tính. d  A;  SCD  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD.. 16. Tính. d  A;  SBD  . d  B;  SCD  . d  A;  SCD    AH. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SO.. 17. Tính. d  A;  SBC    AH. d  A;  SBD    AH. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. Do. AB / /  SCD . d  B;  SCD   d  A;  SCD    AH.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> d M ; SCD   18. Tính   với M thuộc AB. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. Do. AB / /  SCD  , M  AB. d  M ;  SCD   d  A;  SCD    AH. 19. Tính. d  O;  SCD  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. Do . AO   SCD  C d  A;  SCD   d  O;  SCD  . . AC 2 OC. 1  d  O;  SCD    AH 2. d P; SCD   20. Tính   với P là trung điểm BO. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. Do . PB   SCD  O d  P;  SCD   d  B;  SCD  . . PO 1  BO 2. 1  d  P;  SCD    d  B;  SCD   2. Do. AB / /  SCD .  d  A;  SCD   d  B;  SCD   1 d  P;  SCD    d  A;  SCD   2 Vậy:. d G; SCD   21. Tính   với G là trọng tâm của tam giác SAB. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. M là trung điểm AB. 2 d  G;  SCD    d  M ;  SCD   3. d  M ;  SCD   d  A;  SCD  .

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2  d  G;  SCD    AH 3. 22. Tính. d  SB; AD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.. 23. Tính. d  AB; SC . d  SB; AD   AH. Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC.. d  AB; SC  BH. Cách 2: Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SD.. AB / /  SCD .  d  AB; SC  d  AB;  SCD   d  A;  SCD    AK. 24. Tính. d  BD; SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SC.. 25. Tính. d  SC ; AD . d  BD; SC  OH. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. AD / /  SCB   d  AD; SC  d  AD;  SCB   d  A;  SCB    AH.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 26. Tính. d  SB; CD . d  SB; CD   AD. d BM ; CD. Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu vuông góc của O lên AK.. . 27. Tính  Với M là trung điểm SC. CD / / AB   MAB   CD / /  MAB   d  CD; BM  d  CD;  MAB   d  C ;  MAB   1 1  d  O;  MAB    OH 2 2. 28. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SK. CMR: A, H, I, K đồng phẳng. Tính thể tích khối chóp SAHIK.  SC  AH  SC   AHK   Gợi ý:  SC  AK. Mà. AI  SC  AI   AHK  .... Ta có: VSAHI SH SI SA2 SA2  .  2 .  VSABC SB SC SA  AB 2 SA2  AC 2.  VSAHI VSABC  2VSAHI 2VSABC  VSAHIK VSAB. 29. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD. (P) qua AG song song BD cắt SB, SC, SD tại M, N, Q. Tính thể tích khối chóp SAMNQ. VSAMN SM SN 1  .  VSABC SB SC 3. 1 1  VSAMN  VABC  2VSAMN  .2VSABC 3 3 1  VSAMNQ  VSABCD 3. Áp dụng thực tế AB a, SB a 2. AB 2a , góc hợp bởi của SC và mặt phẳng (ABCD) là 450. AB a , góc hợp bởi của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) là 300.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> AB a , góc hợp bởi của SC và mặt phẳng (SAB) là 600. Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật.. SA   ABCD  , O  AC  BD. Cột thứ 3 chỉ gợi ý. Các em phải nắm rõ bài 1 để trình bày và lý luận. 1. Góc hợp bởi SB và mặt phẳng (ABCD). Hình tương tự bài 2..  SB;  ABCD   SBA. 2. Góc hợp bởi SC và mặt phẳng (ABCD). Hình tương tự bài 2..  SC;  ABCD   SCA. 3. Góc hợp bởi SD và mặt phẳng (ABCD). Hình tương tự bài 2..  SD;  ABCD   SDA. 4. Góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAB). Hình tương tự bài 2..  SC ;  SAB   CSB. 5. Góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAD). Hình tương tự bài 2..  SC;  SAD   CSD. 6. Góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD). Hình tương tự bài 2..   SBC  ;  ABCD   SBA . 7. Góc hợp bởi mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD). Hình tương tự bài 2..   SCD  ;  ABCD   SDA . 8. Góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD). Hình tương tự bài 2..   SBD  ;  ABCD   SOA . 9. Góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SAB). Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Cách 1:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  SAB    SBC  SB   AH  SB  BC  SB .  SBC  ;  SAB    AH ; BC  Cách 2:   AH   SBC     AD   SAB .  SBC  ;  SAB    AH ; AD  10. Góc hợp bởi mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SAD). Hình tương tự bài 2.. Tương tự ý 9. 11. Góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SCD). Hình tương tự bài 2.. Cách 1:.  ; AB   SBC  ;  SAB    AH ; CD   AH. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC (khi đó H cũng là hình chiếu vuông góc của D lên SC).  ; DH   SBC  ;  SCD    BH. Cách 2: Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SSB, SD..  SBC  ;  SCD    AM ; AN  12. Tính thể tích các khối: ….. 13. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD. 1 1 VSABCD  SA.S ABCD  SA. AB 2 ; 3 3 1 VSABC VSABD VSACD VSDCB  VSABCD 2. Hình tương tự bài 2.. Gọi I là trung điểm của SC. SAC vuông tại A  IA IS IC  1 SBC vuông tại B  IB IS  IC.  2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> SCD vuông tại D  ID IS IC  3. Từ (1), (2) và (3) suy ra IA IB IC IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD 1 R  SC 2 với bán kính. 14. Tính. d  A;  SBC  . Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. d  A;  SBC    AH. 15. Tính. d  A;  SCD  . Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. d  A;  SCD    AH. 16. Tính. d  A;  SBD  . Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SO. d  A;  SBD    AH. 17. Tính. d  B;  SCD  . Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. Do. AB / /  SCD . d  B;  SCD   d  A;  SCD    AH d M ; SCD   18. Tính   với M thuộc AB. Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. Do. AB / /  SCD  , M  AB. d  M ;  SCD   d  A;  SCD    AH. 19. Tính. d  O;  SCD  . Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. Do . AO   SCD  C d  A;  SCD   d  O;  SCD  . . AC 2 OC. 1  d  O;  SCD    AH 2. d P; SCD   20. Tính   với P là trung điểm BO. Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. Do. PB   SCD  O.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> . d  P;  SCD   d  B;  SCD  . . PO 1  BO 2. 1  d  P;  SCD    d  B;  SCD   2. Do. AB / /  SCD .  d  A;  SCD   d  B;  SCD   1 d  P;  SCD    d  A;  SCD   2 Vậy:. d G; SCD   21. Tính   với G là trọng tâm của tam giác SAB. Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. M là trung điểm AB. 2 d  G;  SCD    d  M ;  SCD   3. d  M ;  SCD   d  A;  SCD   2  d  G;  SCD    AH 3. 22. Tính. d  SB; AD . Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. d  SB; AD   AH. 23. Tính. d  AB; SC . Hình tương tự bài 2.. Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC. d  AB; SC  BH Cách 2: Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SD. AB / /  SCD   d  AB; SC  d  AB;  SCD   d  A;  SCD    AK. 24. Tính. d  BD; SC . Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SC. d  BD; SC  OH.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 25. Tính. d  SC ; AD . Hình tương tự bài 2.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. AD / /  SCB   d  AD; SC  d  AD;  SCB   d  A;  SCB    AH. 26. Tính. d  SB; CD . Hình tương tự bài 2.. d  SB; CD   AD. d BM ; CD. Hình tương tự bài 2.. Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu vuông góc của O lên AK..  . Với 27. Tính  M là trung điểm SC. CD / / AB   MAB   CD / /  MAB   d  CD; BM  d  CD;  MAB   1 1 d  C ;  MAB    d  O;  MAB    OH 2 2. 28. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SK. CMR: A, H, I, K đồng phẳng. Tính thể tích khối chóp SAHIK. Hình tương tự bài 2..  SC  AH  SC   AHK   SC  AK  Gợi ý:. Mà. AI  SC  AI   AHK  .... VSAHI SH SI  . VSABC SB SC. Ta có:. . SA2 SA2 .  SA2  AB 2 SA2  AC 2.  VSAHI VSABC  2VSAHI 2VSABC  VSAHIK VSABCD. 29. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD. (P) qua AG song song BD cắt SB, SC, SD tại M, N, Q. Tính thể tích khối chóp SAMNQ Áp dụng thực tế AB a, SB a 2. Hình tương tự bài 2.. VSAMN SM SN 1  .  VSABC SB SC 3. 1 1  VSAMN  VABC  2VSAMN  .2VSABC 3 3 1  VSAMNQ  VSABCD 3.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> AB 2a, SB a 2 , góc hợp bởi của SC và mặt phẳng (ABCD) là 450 AB a, SB a 2 , góc hợp bởi của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) là 300 AB a, SB a 2 , góc hợp bởi của SC và mặt phẳng (SAB) là 600. Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều SABC. M là trung điểm BC, O là tâm của tam giác ABC.. 1. Góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.  ;  ABC  SAO    SA. 2. Góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy..   SBC  ;  ABC   SMA. 3. Thể tích khối chóp SABC. 1 3 VSABC  SO.S ABC  SO. AB 2 3 12. 4. Tính. Cách 1:. d  A;  SBC   d  B;  SAC   d  C;  SAB  . d  A;  SBC   . 3VSABC S SBC. Cách 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SM. d  A;  SBC   3d  O;  SBC   3OH.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 5. Tính d  SA; BC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên SA. d  SA; BC  d  M ; SA  MH. d  SB; AC  d  SC ; AB . 6. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. SO là trục của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm SA. Dựng mặt phẳng trung trực của SA cắt SO tại I  IA IB IC IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, bán kính R IS. Cách 1: NSI OSA .  R IS . IS NS  SA SO. SA2 2SO. Cách 2: R IS . SN  cos NSI. 7. Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp SABC. Chóp SABC nội tiếp trong hình nón có bán kính R OA ; chiều cao h SO và đường sinh. 8. Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp chóp SABC. Chóp SABC nội tiếp trong hình trụ có bán kính R OA ; chiều cao h SO. l SA. 1 Vnon  SO. .OA2 3. Vtru SO. .OA2.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 9. Gọi E là trung điểm AB. Tính d  EC ; SB . Gọi P sao cho BECP là hình bình hành. CE vuông AB nên BECP là hình chữ nhật. Kẻ gọi K thuộc BP sao cho OK song song EB. Gọi H là hình chiếu của O lên SK. d  EC ; SB  d  EC ;  SBP   d  EC ;  SBP   d  O;  SBP   OH. 10. Gọi E là trung điểm AB. Tính d  EC ; BC . Gọi F là trung điểm AC. K giao điểm AM với EF. H là hình chiếu của O lên SK. d  EC ; BC  d  BC ;  SEF   d  C;  CEF   3d  O;  SEF   3OH. Áp dụng thực tế Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 3 0 Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc là 60 0 Cạnh đáy bằng 2a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc là 30. 0 Cạnh đáy bằng a 3 , mặt bên hợp với mặt đáy một góc là 30 2 Cạnh đáy bằng a, diện tích tam giác SAC bằng 4a. Cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ A đến (SBC) là a 3 Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. M là trung điểm CD, O là tâm của ABCD..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 1. Góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.  ;  ABCD  SAO    SA. 2. Góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy..   SBC  ;  ABCD   SMO. 3. Thể tích khối chóp SABCD. 1 1 VSABCD  SO.S ABCD  SO. AB 2 3 3. 4. Tính d  A;  SCD  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SM.. d  A;  SBC  . d  A;  SCD   2d  O;  SCD   2OH. d  B;  SCD   d  B;  SAD   .... 5. Tính d  SA; BC  d  SA; CD  d  SB; CD  d  SB; AD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SM. d  SB; CD  d  SB;  SCD   d  B;  SCD   2d  O;  SCD   2OH. .... 6. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD. SO là trục của ABCD. Gọi N là trung điểm của SA. Dựng mặt phẳng trung trực của SA cắt SO tại I.  IA IB IC ID IS  I là tâm. mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD, bán kính R IS Để tính IS ta dùng Cách 1: NSI OSA .  R IS . SA2 2SO. IS NS  SA SO.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Cách 2:. R IS . SN  cos NSI. Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 3 0 Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc là 60. 0 Cạnh đáy bằng 2a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc là 30. Bài 6: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau (tứ diện vuông OABC). 1. Góc hợp bởi:.  AB;  OAB   ABO;.  AC;  OBC   ACO;.  ;  OAB  BCO   ;...  BC. 2. Góc hợp bởi (ABC) và (OBC). Gọi E là hình chiếu vuông góc của. 3. Thể tích khối OABC. 1 1 VOABC  OA.SOBC  OA.OB.OC 3 6. 4. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC). Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. Kẻ AH cắt BC tại E. Do H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC) nên OH  AE . Suy ra BC  AH nên AH là đường cao của tam giác ABC.. ABC  ;  OBC   AEO  O lên BC.. Tương tự cho BH; CH. Vậy H là trực tâm của tam giác.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> ABC. Chú ý: . d  O;  ABC   OH. . 1 1 1 1  2  2 2 OH OA OB OC 2. Áp dụng thực tế OA a; OB b; OC c Bài 7,. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi. O là giao điểm AC và BD. Hình chiếu của S lên (ABCD) là H thuộc AB sao cho AH 2 BH. 1. Tính thể tích khối chóp SABCD. 2. Tính d  H ;  SCD   d  A;  SCD   d  B;  SCD   d  M ;  SCD   M  AB. 1 VSABCD  SH .S ABCD 3. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên CD. J là hình chiếu vuông góc của H lên SK. d  H ;  SCD   HJ.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 3. Tính. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên CD. J là hình chiếu vuông góc của H lên SK.. d  O;  SCD  . 1 1 d  O;  SCD    d  B;  SCD    OH 2 2. 4. Tính. Kẻ đường thẳng d qua D song HC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng d. J là hình chiếu vuông góc của H lên SK.. d  HC ; SD . d  HC ; SD  d  HC ;  SKD   d  H ;  SKD   HJ. BÀI TẬP HƯỚNG DẪN Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy , SA = a 2 . a) b) c) d) e). Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. CMR (SAC)  (SBD) . Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) Tính d(A, (SCD)) . Giải a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.  Ta có :. SA   ABCD   SA  AD, SA  AB.  SAD, SAB vuông tại A.  Chứng minh SBC vuông : Ta có : BC  AB ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD ). BC  SA ( vì SA   ABCD  )  BC   SAB  SB   SAB   BC  SB. , mà  SBC vuông tại B.  Chứng minh SCD vuông : Ta có : CD  AD ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD ) CD  SA (Vì SA   ABCD  )  CD   SAD  SD   SAD   CD  SD. , mà.

<span class='text_page_counter'>(25)</span>  SCD vuông tại D.. b) CMR (SAC)  (SBD) : BD  AC (Hai đường chéo của hình vuông ABCD ) BD  SA ( Vì SA   ABCD  )  BD   SAC  BD   SBD    SAC    SBD . , mà c) Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) :  Do. .. BC   SAB . tại B nên hình chiếu của C lên (SAB) là B.  Hình chiếu của SC lên (SAB) là SB.. .  . .  ,  SAB   SC  , SB CSB   SC.  Trong SAB vuông tại A, ta có :  Trong SBC vuông tại B, ta có :. . SB  SA2  AB 2 .  tan CSB .  a 2. 2.  a 2 a 3. .. BC a 1     CSB 300 SB a 3 3 ..  ,  SAB  30 SC  .  Vậy 0. d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) : SBD  ABCD BD.    Ta có :  . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, O  BD . Theo chứng minh ở câu b) Mặc khác, AO  BD .. BD   SAC . , mà. SO   SAC   SO  BD. ..  , AO  AOS SBD  ,  ABCD    SO      Vậy (do AOS là góc nhọn). AC a 2  AO . . a 2 2 .. tan AOS .  Trong SAO vuông tại A, ta có :. . .   SBD  ,  ABCD   AOS arctan 2. SA a 2  2  AOS arctan 2 AO a 2 2 .. ..   Nhận xét : Để xác định góc giữa   và   ta có thể làm theo các cách sau :.  Cách 1 : Tìm a, b sao cho. .   .. a     , b        ,     a , b.       Cách 2 : Nếu     thì tìm O   . Từ O, trong   vẽ a   tại O ;. .   ,      b   trong vẽ tại O. Suy ra  Cách 3 : Trong trường hợp tổng quát :      Tìm     ;.   a , b  . (đã trình bày ở câu d) ).

<span class='text_page_counter'>(26)</span>     Tìm   sao cho   ;    a        b  Tìm     , ;. Kết luận :.    ,      a , b  .. Câu d) ta có thể trình bày cách 3 như sau :.  SBD    ABCD  BD ; BD   SAC   (theo chứng minh câu b) ) SAC    SBD  SO SACBD  ,;  Ta có :. SBD  ,  ABCD    AC , SO   AOS    Vậy ( Vì AOS là góc nhọn).. e) Tính d(A, (SCD)) : Gọi H là hình chiếu của A lên SD. Ta có : AH  SD CD  AD ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ;. (1). CD  SA (Vì SA   ABCD  ).  CD   SAD . , mà. AH   SAD   CD  AH. (2).  AH   SCD   d  A,  SCD    AH Từ (1), (2) tại H . Xét SAD vuông tại A có AH là đường cao :. Ta có :. 1 1 1 1  2  2 2 AH AS AD a 2. . d  A,  SCD    AH . . 2. . 1 3 2a 2 a 2 2   AH   AH  2 2 a 2a 3 3. a 2 3 .. Vậy Bài 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và SB ¿. √2. , BC = a, SB = 3a.. a) Chứng minh: AC ¿ (SBC) b) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA ¿ c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) Giải a) Chứng minh : AC  (SBC) Ta có : AC  BC (gt) ; AC  SB (Vì SB   ABC  ) ;  AC   SBC . . b) Chứng minh : SA ¿. .. BH. BH.. (ABC), biết AC = a.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Để chứng minh SA ¿ Ta có : BH  SC (gt). BH ta chứng minh (1). Theo chứng minh trên ,. AC   SBC .  BH  SAC. mà. BH   SAC . .. BH   SBC   BH  AC. (2). SA  SAC  BH  SA.   , mà   Từ (1) và (2) . c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) SB  ABC.   tại B nên hình chiếu của S lên (ABC) là B. Do  Hình chiếu của SA lên (ABC) là BA..  . . .  ,  ABC   SA  , BA SAB   SA. .. 2 2 2 2  Trong ABC vuông tại C, ta có : AB  BC  AC  a  2a a 3..  Trong SBA vuông tại B, ta có :.  tan SAB . SB 3a    3  SAB 60 0 AB a 3 ..  ,  ABC  SAB  SA 60   Vậy . 0.  Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 600 và SA=SB = SD = a.. a) b) c). Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) Chứng minh tam giác SAC vuông Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Giải a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. Ta có : SBD cân tại S có O là trung điểm của BD nên SO  BD ABCD là hình thoi nên BD  AC ;  BD   SAC . BD  ABCD   SAC    ABCD .   , mà b) Chứng minh tam giác SAC vuông Ta chứng minh SO = AO = OC. . ;. .. 0.  Do ABD cân tại A có BAD 60  ABD đều.  ABD đều cạnh a có AO là đường trung tuyến  AO . a 3 2 . 2. 3a 2 a 3 a SO  SD 2  OD 2  a 2      2 4 2 .    SOD  Xét vuông tại O, ta có :  SO  AO OC . a 3 2 , mà SO là đường trung tuyến của SAC  SAC vuông tại S.. Chú ý : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến ABC vuông tại A  AM MB MC ..

<span class='text_page_counter'>(28)</span> “Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền”. c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Xét hình chóp S.ABD : Ta có : SA = SB = SD = a, AB = BD = DA = a nên S.ABD là hình chóp đều. ABD  SH   ABD . Gọi H là trọng tâm của  SH   ABCD . (Theo tính chất của hình chóp đều).. tại H  . ,dSABCDH. 2 2 a 3 a 3 AH  AO  .  3 3 2 3 .  Vì H là trọng tâm ABD nên 2. a 3 2 SH  SA  AH  a     a   3   Trong SHA vuông tại H, ta có : 2.  d  S ,  ABCD   SH . 2. 2. 2. a 3 2a 2 a 2     3 3 3   .. a 2 3 .. Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều. Gọi E, F là trung điểm của AB và CD. a) Cho biết tam giác SCD vuông cân tại S. Chứng minh: SE ¿. (SCD) và SF ¿ (SAB).. b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên EF. Chứng minh: SH ¿ c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD) Giải a) Chứng minh SE ¿ (SCD) và SF ¿ (SAB).  Chứng minh SE ¿ (SCD) :  Do SCD cân tại S có F là trung điểm của CD  CD  SF Mà CD  EF (theo tính chất của hình vuông)  CD   SEF . SE  SEF  SE  CD.   , mà  Ta chứng minh SEF vuông tại S bằng cách sử dụng định lý Pytago như sau : SCD vuông tại S có SF là đường trung tuyến nên 1 a SF  CD  2 2.. SAB đều cạnh a có SE là trung tuyến nên. SE . a 3 2 .. (1). AC.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> EF = a. 2.  a 3   a  2 3a 2 a 2 SE  SF   a 2 EF 2      2 2 4 4     Ta có : . Vậy SEF vuông tại S  SE  SF 2. 2. (2).  SE  SCD.  . Từ (1) và (2)  Chứng minh SF ¿ (SAB) : Theo chứng minh trên, SF  SE. (3). CD   SEF . (4). , mà AB // CD.  AB   SEF   SF  AB.  SF  SAB .  Từ (3) và (4) b) Chứng minh SH ¿ Ta có :. CD   SEF . . AC. (theo chứng minh trên), mà. SH   SEF   SH  CD. .. SH   ABCD  Hơn nữa, SH  EF (gt)  . AC  ABCD.    SH  AC . Mà c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD) (câu khó - các em học sinh đọc tham khảo). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Theo tính chất của hình vuông ABCD, ta có AC, BD và EF đồng quy tại O. Vì SE  SF nên H thuộc đoạn OF.  Trong mặt phẳng (ABCD), qua H vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD, OD lần lượt tại M và K. Vậy góc giữa BD và mặt phẳng (SAD) là góc giữa KD và (SAD). Ta đi tìm hình chiếu của K lên (SAD). SH   ABCD   AD   SHM    SAD    SHM  Ta có : AD  MH , AD  SH (do ) ..  SAD    SHM  SM .  KP  SAD.   tại P.  Vẽ KP  SM ( P  SM ) Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.  Hình chiếu của K lên (SAD) là P.  Hình chiếu của KD lên (SAD) là PD. .  ,  SAD   KD     , PD  KDP  BD,  SAD    KD ..   Để tìm góc KDP ta đi tìm KD và KP..

<span class='text_page_counter'>(30)</span>  SEF vuông tại S có SH là đường cao nên ta có : 1 1 1 1 1 1 1 4 4 16 3a 2 a 3 2  2 2    2  2  2  2  2  SH   SH  2 2 2 3a a SH SE SF 3a a 3a 16 4 a 3 a    2  4 4  2  ..  SEH vuông tại H nên ta có : OH EH  OE . . EH  SE 2  SH 2 . 3a 2 3a 2 9a 2 3a    4 16 16 4 .. 3a a a a a a    HF OF  OH    4 2 4 2 4 4..  H là trung điểm của OF, mà HK // DF nên HK là đường trung bình của FOD . 1 1 a 2 a 2  KD  OD  .   K là trung điểm của OD 2 2 2 4 . (do BD a 2 ). 1 1 a a a a a HK  DF  .  MK MH  HK     K 2 2 2 4, 2 4 4  là trung điểm của MH..  Trong (SHM), vẽ HQ  SM ( Q  SM ), mà KP  SM  KP / / HQ mà K là trung điểm của MH nên 1 MHQ  KP  HQ 2 KP là đường trung bình của .  SHM vuông tại H có HQ là đường cao, ta có :. 1 1 1 1 1 1 1 16 4 28 3a 2 a 3 2  2    2  2  2  2  2  HQ   HQ  2 2 2 2 3a a HQ HS HM 3a a 3a 28 2 7  a 3  a    2  16 4  4  . 1 a 3 a 3  KP  .  2 2 7 4 7. a 3 KP 4 7 3   sin KDP     KDP 27 035' KD a 2 14 4  Trong KPD vuông tại P, ta có :   BD,  SAD  KDP 27035'. Vậy. . . .. Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD) và SA = 2a. a). Chứng minh (SAC )  (SBD ) ; (SCD )  (SAD ) b). Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC); c). Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Giải.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> a) Chứng minh (SAC )  (SBD) ; (SCD )  (SAD ) SAC  SBD.   :  Chứng minh  Ta có : BD  AC (Hai đường chéo của hình vuông ABCD) ; BD  SA (do SA   ABCD  ) ;  BD   SAC  BD   SBD    SAC    SBD . , mà. .. SCD  SAD.   :  Chứng minh  Ta có : CD  AD (Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ; CD  SA (do SA   ABCD  ;  CD   SAD  CD   SCD    SCD    SAD . , mà . b) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).  Tính góc giữa SD và (ABCD). SA  ABCD.   tại A nên hình chiếu của S lên mp (ABCD) là A. Ta có :  Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD.  ,  ABCD   SD  SD    , AD  SDA   .. Trong SAD vuông tại A,.  tan SDA . SA 2a   2  SDA arctan 2. AD a.  ,  ABCD  SDA  SD arctan 2   Vậy ..  Tính góc giữa SB và (SAD). BA  SA, BA  AD  BA  SAD.   tại A nên hình chiếu của B lên (SAD) là A. Ta có :  Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAD) là SA.  ,  SAD   SB     , SA BSA  SB .. . Trong SAB vuông tại A,.  tan BSA . AB a 1 1     BSA arctan . SA 2a 2 2. 1  ,  SAD  BSA  SB arctan   2. Vậy.  Tính góc giữa SB và (SAC). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. BD  SAC.   tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O. Theo chứng minh trên  Hình chiếu của SB lên (SAC) là SO.. .  . .  ,  SAC   SB  , SO BSO   SB. ..

<span class='text_page_counter'>(32)</span> 1 a 2 BD a 2  BO  BD  2 2 . . SB  SA2  AD 2   SAB  vuông tại A nên.  2a . 2.  a 2 a 5. .. a 2 BO 2 1 1   sin BSO   2    BSO arcsin SB a 5 2 5 10 10 .  Trong SOB vuông tại O, ta có : 1  ,  SAC  BSO  SB arcsin 10 . Vậy. . . c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)). Tính d(A, (SCD)). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD. Ta có : AH  SD . Theo chứng minh ở câu a,. CD   SAD . mà. AH   SAD   AH  CD. ..    tại H .  SAD vuông tại A có AH là đường cao, ta có :  AH   SCD .  d A, SCD.  AH. 1 1 1 1 1 5 4a 2 2a 2    2  2  2  AH   AH  2 2 2 AH AD AS a 4a 4a 5 5. d  A,  SCD    AH . 2a 5.. Vậy Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. AH   SCD  Trong ý trên, do (SAD)  (SCD) và có giao tuyến là SD nên khi kẽ AH  SD thì .. Tính d(B,(SAC)). Theo chứng minh trên. BD   SAC .  d  B,  SAC   BO . a 2 2 .. tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O..  Bài 6. Hình chóp S.ABC. ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC).. a) CM: SB  (ABC) b) CM: mp(BHK)  SC. c) CM: BHK vuông . d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK)..

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Giải Nhận xét : Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) vuông góc với mặt phẳng đó, tức là :         d        ;          Ta có :. d   . .. a) CM SB  (ABC) :   SAB    SBC  SB  SAB    ABC  ;  SBC    ABC    Ta có :. SB   ABC . .. b) CM (BHK)  SC :  SC  BK (gt)  AC  AB ( ABC vuông tại A) ;. (1). AC  SB (do SB   ABC  )  AC   SAB  . BH   SAB   BH  AC mà , mặc khác BH  SA (gt)  BH   SAC  SC   SAC   SC  BH. mà. (2).  SC  BHK .  Từ (1) và (2) c) CM BHK vuông :. .. BH  SAC. HK   SAC   BH  HK.   mà Theo chứng minh ở câu b, Vậy BHK vuông tại H. d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK) :. ..  ,  BHK   SH  ,  BHK  SA  .   Vì H  SA nên. SC  BHK.   tại K nên hình chiếu của S lên (BHK) là K. Theo chứng minh ở câu b,  Hình chiếu của SH lên (BHK) là KH.. .  .  .  ,  BHK   SH  ,  BHK   SH  , KH SHK   SA .. . HK HK AC SHK SCA   SH . Ta có : SH SC .  SHK vuông tại K nên AB AB a cos 600   BC   2a 0 1 BC cos 60 2  BAC vuông tại A, .  cos SHK . 2 2 2 2  SBC vuông tại B nên SC  BS  BC  4a  4a 2 2a . 2 2 2 2 . AC  BC  AB  8a  a a 7.   cos SHK . HK AC a 7 7 14     SH SC 2 2a 2 2 4 ..

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 14  ,  BHK  cos SHK  cos SA  4 . Vậy. . . Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng của hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC. a) b) c) d). a √5 2 . Gọi O là tâm. Chứng minh: (MBD) ¿ (SAC) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD). Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD). Nhắc lại : Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và có đáy là đa giác đều. Do đó, trong hình chóp đều, tâm của đa giác đáy trùng với hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy. a) Chứng minh : (MBD) ¿. (SAC) :. Vì hình chóp S.ABCD đều nên. SO   ABCD . ;. BD  ABCD  BD  SO.   mà ; Hơn nữa, BD  AC (Hai đường chéo của hình vuông ABCD);  BD   SAC . BD  MBD  MBD    SAC .    mà b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) :. .. SO  ABCD.   nên hình chiếu của S lên (ABCD) là O. Ta có :  Hình chiếu của SA lên (ABCD) là OA..  . . .  ,  ABCD   SA  , OA SAO   SA. .. a 5 a 2 AC a 2  AO  2 ; 2   Trong SOA vuông tại O, ta có : SA . a 2 AO 2 2   cos SAO   2   SAO arc cos SA a 5 5 5 2 ..  ,  ABCD  SAO  SA arc cos   Vậy. 2 5.. c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) :  Ta có :.  MBD    ABCD  BD ;. BD   SAC . . ;. SACBD.   ; .  SAC    MBD  MO ;.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> .  .    MBD  ,  ABCD    AC , MO COM. .  ( Vì COM là góc nhọn ). 1 1 a 5 a 5 OM  SC  .  2 2 2 4 .  Trong SOC vuông tại O có OM là đường trung tuyến nên OC . . a 2 1 a 5 ; MC  SC  2 2 4 .. 2 2 2   Áp dụng định lí cosin trong tam giác COM, ta có : CM OM  OC  2OM .OC.cos COM . 2. 2. 2. a 5 a 2 a 5 a 2       2 2 2 4 2 4 OM  OC  CM 2 2          cos COM    2   COM arccos 2OM .OC a 5 a 2 a 5 5 5 2 . 4 2 2 ..  MBD  ,  ABCD   COM arccos   Vậy. 2 . 5. Cách 2 : 1 1 a 5 a 5 OM  SC  .  CM 2 2 2 4 Trong SOC vuông tại O có OM là đường trung tuyến nên .    COM cân tại M  COM MCO .. 2  SAO arccos     5. Mặc khác, MCO SAO ( Vì SAC cân tại S)  COM SAO . Theo câu b,  MBD  ,  ABCD   COM arccos   Từ đó suy ra. 2 . 5. Nhận xét : Trong việc xác định góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) ta có thể dùng cách 2 như đã nói ở bài tập 1. Cách này không đơn giản vì tìm điểm thuộc BD để từ đó vẽ trong (ABCD) và (MBD) hai đường thẳng lần lượt vuông góc với BD tại điểm đó là khó. Thực chất, người ta thường dùng cách 3 để từ đó trình bày cách 2 cho đơn giản. d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) : SAB  ABCD  AB.     Ta có :  ; Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. SO   ABCD   AB   SEF   AB  EF ; AB  SO (do ) . SEFABCD.   ; .  SEF    SAB  SE ;. .  . .  , EF SEF    SAB  ,  ABCD   SE.  ( Vì SEF là góc nhọn ).

<span class='text_page_counter'>(36)</span> 2. 2. a 5 a 2 5a 2 2 a 2 a 3 SO  SC  OC          2 2 4 4 2      SOC vuông tại O nên 2. 2. a 3 SO   tan SEF   2  3  SEF 600 a OE 2  Trong SEO vuông tại O, ta có :  600 SAB  ,  ABCD  SEF. . . Vậy . Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB). b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC). c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC). Giải a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB). AA '/ /  BCC ' B ' Vì AA '/ / BB ' nên.  d  AA ',  BB ' C ' C   d  A,  BCC ' B '  .. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Từ H, vẽ đường thẳng song song với AA’ cắt B’C’ tại H’. AA '   ABC   HH '   ABC   HH '  AH Do AA '/ / HH ' , ..  AH  BC  AH   BCC ' B '  AH  HH '  Ta có : tại H  d  A,  BCC ' B '   AH. .. 2 2 2 2  ABC vuông tại A nên AC  BC  AB  4a  3a a .  ABC vuông tại A có AH là đường cao nên. 1 1 1 1 1 4 3a 2 a 3 2       AH   AH  2 2 2 2 2 2 AH AC AB a 3a 3a 4 2 .  d  AA ',  BB ' C ' C    AH . a 3 2 .. b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC). AA '  ABC.  AB   A ' ACC '  AB  A ' C.   ) ; AB  AC (gt)  AB  AA ' (do Ta có : A’A = AC = a nên A’ACC’ là hình vuông. Gọi O là tâm của hình vuông A’ACC’.. A ' C  AC '   A ' C   ABC '  A ' C   A ' BC    ABC '    A ' BC  A ' C  AB   Do mà .  A ' BC  ,  ABC ' OB.  Hai mặt phẳng. có giao tuyến là. .. ..

<span class='text_page_counter'>(37)</span>  ABC ' kẻ AK  OB  K  OB   d  A,  A ' BC    AK .. Trong . AK   A ' BC . tại K..  AOB vuông tại A có AK là đường cao nên 1 1 1 1 1 1 2 1 6 7 3a 2 a 3 2          AK   AK  2 2 2 2 2 2 2 2 2 AK AB AO 3a  a 2  3a a 3a 3a 7 7    2  .. Vậy. d  A,  A ' BC    AK . a 3 7 .. Cách 2 : BC  AH , BC  AA '  BC  AA ' H  A ' BC    AA ' H .     Vì Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến A’H.  Trong mặt phẳng (AA’H), kẻ  d  A,  A ' BC    AI. AI  A ' H  I  A ' H   AI   A ' BC . tại I.. ..  AA ' H vuông tại A có AI là đường cao nên 1 1 1 1 1 4 1 7 a 3    2  2  2  2  2  AI  2 2 2 3a AI AH AA ' a 3a a 3a 7 4 ..  d  A,  A ' BC    AI . a 3 7 .. Nhận xét : Hai điểm I và K hiển nhiên trùng nhau. c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).  Chứng minh rằng AB  (ACCA) : AA '   ABC   AB   ACC ' A '  Ta có : AB  AC , AB  AA ' (do ) ..  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) : Theo chứng minh trên,. Ta có :. A ' C   ABC '. A ' C a 2  A ' O . tại O nên. d  A ',  ABC '    A ' O. a 2 a 2  d  A ',  ABC '   2 2 .. ..

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Nhận xét : Để tính khoảng cách từ M đến  chiếu của M lên   thì ta làm như sau :  Tìm mp.    đi qua M và        ;.  Tìm giao tuyến  Kẻ.    , nếu đề bài cho không xác định trực tiếp được hình.        . ;. MH    H     MH      d  M ,     MH. ..

<span class='text_page_counter'>(39)</span>