bộ đề chọn HSG toán cấp trường môn toán lớp 10 các năm gần đây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn thi: Tốn – Lớp 10 – THPT
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (3.0 điểm) . Cho hàm số y  x 2  4 x  4  m ;

Pm  .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1 .
b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ cùng thuộc đoạn  1;4
Cho x1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3x  a  0 ; x3 và x 4 là hai

Câu 2. (3.0 điểm)

nghiệm của phương trình x 2  12 x  b  0 . Biết rằng

x 2 x3 x 4


. Tìm a và b.
x1 x 2 x3

Câu 3. (6.0 điểm)
a)Giải phương trình: x 2  x  2  x  1  0
 x 3  3x 2  4 x  2  y 3  y

4 x  6 x  1  7  4 x  1 y

b)Giải hệ phương trình: 
Câu 4. (3.0 điểm)

a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho
AC  2. AB, OD 

1
1
OB, OE  OA . Hãy biểu thị các vectơ OC , CD, DE theo các vectơ a, b . Từ
2
3

đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vng cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED
Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 .
a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P 

x
2019  x



y
2019  y

-----------------Hết----------------Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

Câu

1

2

Cho hàm số y  x  4 x  4  m ;

HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 - 2019
Mơn: Tốn – Lớp 10 – THPT
ĐÁP ÁN

Pm  .

Điểm
3.0

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1
b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  1;4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1

2.0

Với m=1 thì y  x 2  4 x  3

0.5

TXĐ: R. Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh I ( 2;-1). hệ số a  1  0 parabol có bề lõm
hướng lên trên

0.5

Lập BBT

0.5

Tìm giao của parabol với trục hồnh, trục tung và vẽ.

0.5
1.0

b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ cùng thuộc đoạn  1;4

2

3

Xét pt hoành độ giao điểm x 2  4 x  4  m  0  x 2  4 x  3  m  1
Dựa vào đồ thị tìm được  1  m  1  3  0  m  4

Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm y  x 2  4 x  3 hoặc y  x 2  4 x  4 ...

0.5
0.5

Cho x1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3 x  a  0 ; x3 và x 4 là hai nghiệm của
x
x
x
phương trình x 2  12 x  b  0 . Biết rằng 2  3  4 . Tìm a và b.
x1 x 2 x3

3.0

   9  4a  0
Điều kiện có nghiệm  '1
 2  36  b  0
 x 2  kx1
x 2 x3 x 4



  x3  kx 2  k 2 x1
Đặt k 
x1 x 2 x3
 x  kx  k 3 x
3
1
 4
Theo định lý viet ta có hệ

 x1 1  k   3
 x k 2 1  k   12
 1
 2
 x1 k  a
 x12 k 5  b
 k  2
Với k  2 thì x1  1 ta được a  2, b  32 (tm)

0.5

Với k  2 thì x1  3 ta được a  18, b  288 (tm)

0.5

1. Giải phương trình: x 2  x  2  x  1  0

2.0

Điều kiện: x  1

0.5

0.5
0.5

0.5
0.5

x 2  x  2  0
Phương trình  
 x 1  0
 x  1
  x  2
 x  1
Đối chiếu điều kiện , ta được nghiệm x  1;2

0.5

 x 3  3x 2  4 x  2  y 3  y
2. Giải hệ phương trình: 
4 x  6 x  1  7  4 x  1 y

4.0

Phương trình thứ nhất  ( x 3  3x 2  3x  1)  x  1  y 3  y  x  13  x  1  y 3  y
Đặt a  x  1 ta được a 3  a  y 3  y  a  y a 2  ay  y 2  1  0  a  y  0 .

0.5

2

0.5

0.5

0.5

y

3y 2

 1  0; a, y
Vì a 2  ay  y 2  1   a   
2
4

Ta được y  x  1 thay vào pt thứ hai ta được

0.5

6 x  1  x  8  4 x 2 . ĐK: x  1

0.5









2

x  1  3  2 x 

2

x  1  3  2x

3

x 
 x  1  2x  3  
 x2 y3
2
 x  1  2 x  32
Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y   2;3
Chú ý: +) pt thứ nhất của hệ, hs có thể dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa về tích

0.5
0.5
0.5
0.5

+) pt 6 x  1  x  8  4 x 2 , hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích.

4

a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho
1
1
AC  2. AB, OD  OB, OE  OA . Hãy biểu thị các vectơ OC , CD, DE theo các vectơ
2
3
a, b . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vng cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED

3.0

a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho
1
1
AC  2. AB, OD  OB, OE  OA . Hãy biểu thị các vectơ OC , CD, DE theo các vectơ
2
3
a, b . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.

2.0

OC   a  2b

0.5

3
CD  a  b
2

0.5
0.5

1
1
DE  a  b
3
2

Ta được CD  3DE . Vậy C,D,E thẳng hàng

0.5


b) Cho tam giác ABC vng cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các

1.0

cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED
Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn O  A; B  Ox; C  Oy . Giả sử AB  AC  2 thì

0.5

A0;0; B0;2; C 2;0  ta được H 1;1; E 0;1; D 1;1.

5

Khi đó EC  2;1; ED   1;2 . Nhận thấy EC.ED  0 chứng tỏ EC  ED

0.5

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 .

3.0

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vng tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

6

a) Gọi C  x;0 .

0.5

Sử dụng AB.BC  0  C 6;0

0.5

 AB. AD  0
b) Gọi D x; y  . Giải hệ 
 AB  AD

1.0

Tìm được D2;2 hoặc D 4;4 

1.0

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
y
P

2019  x
2019  y

2.0

P

2019  y
y

P  2019

Lại có





2019  x
x

4
x y

x y



2

Ta được P  2019.





 1

1 
 2019


 x
y 


x y





x  y . Áp dụng

1 1
4
 
, a, b  0
a b ab


0.5

 2. x  y   4038  x  y  4038

4
4038

1.0

 4038  4038 . Dấu "=" xảy ra khi x  y 

2019
2

1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập
luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới được tính điểm tối đa.
2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng
không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình
chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, khơng làm trịn điểm

0.5


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn thi: Tốn – Lớp 10 – THPT
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (3.0 điểm) . Cho hàm số y  x 2  4 x  4  m ;

Pm  .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1 .
b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ cùng thuộc đoạn  1;4
Cho x1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3x  a  0 ; x3 và x 4 là hai

Câu 2. (3.0 điểm)

nghiệm của phương trình x 2  12 x  b  0 . Biết rằng

x 2 x3 x 4


. Tìm a và b.
x1 x 2 x3

Câu 3. (6.0 điểm)
a)Giải phương trình: x 2  x  2  x  1  0
 x 3  3x 2  4 x  2  y 3  y
4 x  6 x  1  7  4 x  1 y

b)Giải hệ phương trình: 
Câu 4. (3.0 điểm)

a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho
AC  2. AB, OD 

1
1
OB, OE  OA . Hãy biểu thị các vectơ OC , CD, DE theo các vectơ a, b . Từ
2

3

đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vng cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED
Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 .
a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P 

x
2019  x



y
2019  y

-----------------Hết----------------Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

Câu

1

2

Cho hàm số y  x  4 x  4  m ;

HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 - 2019
Mơn: Tốn – Lớp 10 – THPT
ĐÁP ÁN

Pm  .

Điểm
3.0

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1
b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  1;4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1

2.0

Với m=1 thì y  x 2  4 x  3

0.5

TXĐ: R. Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh I ( 2;-1). hệ số a  1  0 parabol có bề lõm
hướng lên trên

0.5

Lập BBT

0.5

Tìm giao của parabol với trục hồnh, trục tung và vẽ.

0.5
1.0

b) Tìm m để Pm  cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ cùng thuộc đoạn  1;4

2

3

Xét pt hoành độ giao điểm x 2  4 x  4  m  0  x 2  4 x  3  m  1
Dựa vào đồ thị tìm được  1  m  1  3  0  m  4
Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm y  x 2  4 x  3 hoặc y  x 2  4 x  4 ...

0.5
0.5

Cho x1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3 x  a  0 ; x3 và x 4 là hai nghiệm của
x
x
x
phương trình x 2  12 x  b  0 . Biết rằng 2  3  4 . Tìm a và b.
x1 x 2 x3

3.0

   9  4a  0
Điều kiện có nghiệm  '1
 2  36  b  0
 x 2  kx1
x 2 x3 x 4



  x3  kx 2  k 2 x1
Đặt k 
x1 x 2 x3
 x  kx  k 3 x
3
1
 4
Theo định lý viet ta có hệ
 x1 1  k   3
 x k 2 1  k   12
 1
 2
 x1 k  a
 x12 k 5  b
 k  2
Với k  2 thì x1  1 ta được a  2, b  32 (tm)

0.5

Với k  2 thì x1  3 ta được a  18, b  288 (tm)

0.5

1. Giải phương trình: x 2  x  2  x  1  0

2.0

Điều kiện: x  1

0.5

0.5
0.5

0.5
0.5


x 2  x  2  0
Phương trình  
 x 1  0
 x  1
  x  2
 x  1
Đối chiếu điều kiện , ta được nghiệm x  1;2

0.5

 x 3  3x 2  4 x  2  y 3  y
2. Giải hệ phương trình: 

4 x  6 x  1  7  4 x  1 y

4.0

Phương trình thứ nhất  ( x 3  3x 2  3x  1)  x  1  y 3  y  x  13  x  1  y 3  y
Đặt a  x  1 ta được a 3  a  y 3  y  a  y a 2  ay  y 2  1  0  a  y  0 .

0.5

2

0.5

0.5

0.5

y
3y 2

 1  0; a, y
Vì a 2  ay  y 2  1   a   
2
4

Ta được y  x  1 thay vào pt thứ hai ta được

0.5

6 x  1  x  8  4 x 2 . ĐK: x  1

0.5









2

x  1  3  2 x 

2

x  1  3  2x

3

x 
 x  1  2x  3  
 x2 y3
2
 x  1  2 x  32
Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y   2;3
Chú ý: +) pt thứ nhất của hệ, hs có thể dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa về tích

0.5

0.5
0.5
0.5

+) pt 6 x  1  x  8  4 x 2 , hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích.

4

a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho
1
1
AC  2. AB, OD  OB, OE  OA . Hãy biểu thị các vectơ OC , CD, DE theo các vectơ
2
3
a, b . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vng cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED

3.0

a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho
1
1
AC  2. AB, OD  OB, OE  OA . Hãy biểu thị các vectơ OC , CD, DE theo các vectơ
2
3
a, b . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.

2.0

OC   a  2b

0.5

3
CD  a  b
2

0.5
0.5

1
1
DE  a  b
3
2

Ta được CD  3DE . Vậy C,D,E thẳng hàng

0.5


b) Cho tam giác ABC vng cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các

1.0

cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED
Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn O  A; B  Ox; C  Oy . Giả sử AB  AC  2 thì

0.5

A0;0; B0;2; C 2;0  ta được H 1;1; E 0;1; D 1;1.

5

Khi đó EC  2;1; ED   1;2 . Nhận thấy EC.ED  0 chứng tỏ EC  ED

0.5

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 .

3.0

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vng tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

6

a) Gọi C  x;0 .

0.5

Sử dụng AB.BC  0  C 6;0

0.5

 AB. AD  0
b) Gọi D x; y  . Giải hệ 
 AB  AD

1.0

Tìm được D2;2 hoặc D 4;4 

1.0

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
y
P

2019  x
2019  y

2.0

P

2019  y
y

P  2019

Lại có





2019  x

x

4
x y

x y



2

Ta được P  2019.





 1
1 
 2019


 x
y 


x y





x  y . Áp dụng

1 1
4
 
, a, b  0
a b ab


0.5

 2. x  y   4038  x  y  4038

4
4038

1.0

 4038  4038 . Dấu "=" xảy ra khi x  y 

2019
2

1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập
luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới được tính điểm tối đa.
2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng
không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình
chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.

3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, khơng làm trịn điểm

0.5


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Lớp 10 – Năm học: 2018 - 2019
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề)

-THẠCH THẤT-

Câu 1.(5,0 điểm)
1) Cho hàm số y  x 2  x  1 có đồ thị (P).

Tìm m để đường thẳng

d : y  2 x  m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
vng tại O (với O là gốc tọa độ).
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m ( m  R ) để phương trình
x 4   3m  1 x 2  6m  2  0 có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 4 .
Câu 2.(5,0 điểm )
1) Giải bất phương trình:

 2x  5 

x 2  x  25



x2  5x  6  0 .

3 2 x  y  x  2 y  1  5
2) Giải hệ phương trình: 2 x  2 y  1  5 x  10 y  9 .

Câu 3.(2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c và diện tích là S . Biết S  b2  (a  c)2 .
Tính tan B .
Câu 4.(3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC  600. Các điểm M, N được xác định
bởi MC  2MB và NA 

1
NB . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vng
2

góc với nhau.
Câu 5.(3,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A 1;2  , B  3; 4  . Tìm tọa độ điểm C sao cho ABC
vng tại C và có góc B  600 .
Câu 6. (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:

2 y
2 x
2 z
1
1

1
 3 2 3
 2 2 2
3
2
2
x y
y z
z x
x
y
z
-------- Hết -------

Họ và tên thí sinh:……………………………………………………… Số báo danh: …….


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN
-THẠCH THẤT-

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Lớp 10 - Năm học: 2018 - 2019

Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút

Câu 1.1 (3,0 đ)
1) Cho hàm số y  x 2  x  1 có đồ thị (P). Tìm m để đường thẳng d: y  2 x  m
cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ).
2

PT hoành độ giao điểm: x  3x  1  m  0. (1)
Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt  PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
13
   0  13  4m  0  m  . (*)
4

Giả sử

A( x1; 2 x1  m); B( x2 ; 2 x2  m)

1,0

 x1  x2  3
 x1.x2  m  1

. Theo hệ thức Vi-et: 

0,5

Ta có OAB vng tại O
 OA.OB  0  5 x1 x2  2m  x1  x2   m 2  0  m 2  m  5  0  m 

Đối chiếu đk (*) có 2 giá trị của m là m 

1  21
2

1  21
2

1,0

0,5

Câu 1.2(2,0 điểm)
4
2
2) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình x   3m  1 x  6m  2  0 có bốn
nghiệm phân biệt đều lớn hơn - 4.
Đặt t  x 2  0 , thay vào phương trình ta được t 2   3m  1 t  6m  2  0
t  2
phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi

t  3m  1
1

3m  1  0
m 


3 . Khi đó pt đã cho có 4 nghiệm là  2;  3m  1
3m  1  2
m  1
17
Để các nghiệm đều lớn hơn 4 thì  3m  1  4  3m  1  4  m  .
3
1 17
Vậy các giá trị của m là m   ;  \ 1
3 3 

Câu 2.1(3,0 điểm) Giải bất phương trình:

 2x  5 

x 2  x  25



0,5

0,5
0,5

x2  5x  6  0

x  3
Điều kiện: 
x  2

*) Nếu x = 3 hoặc x = 2 thì bất phương trình nghiệm đúng.
x  3
*) Nếu 
thì bất PT đã cho  2 x  5  x 2  x  25  0 (a)
x  2

(a ) 

0,5

2 x  5  0 (Do x 2  x  25  0) (1)


x 2  x  25  2 x  5   2 x  5  0
(2)
  x 2  x  25  4 x 2  20 x  25


0,5
0,5
0,5
0,5


+) Giải (1) và kết hợp đk  x   ;2  .

 5
x 

2
+) Giải (2): (2)  
2
3x  19 x  0


 5
x
 2
 19 
Kết hợp đk  x   3; 

 3

0  x  19

3

19
Tập nghiệm S   ;2  3; 
 3

0,5

0,5

3 2 x  y  x  2 y  1  5
Câu 2.2(2,0 điểm) Giải hệ phương trình: 
2 x  2 y  1  5 x  10 y  9
ĐK: 2 x  y  0, x  2 y  1  0 . Đặt u  2 x  y ,(u  0) và v  x  2 y  1,(v  0) .
3u  v  5
Ta được hệ phương trình:  2
2
4u  3v  2v  12  0
v  5  3u

v  5  3u
 u  1



2
23u  96u  73  0
 u  73


23



 2x  y  1

2 x  y  1
x  1


(t/m)
x  2y  3
y  1
x

2
y

1

2




x  1
73
104
Với u   v  

, (loại vì đk v  0 ). Vậy hệ phương trình có nghiệm: 
23
23
 y  1

Với u  1  v  2  

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 3.(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c và diện tích là S . Biết
S  b2  (a  c)2 . Tính tan B .
1
Ta có: S  b2  (a  c)2  ac sin B  a 2  c 2  2ac cos B  a 2  c 2  2ac
2
1
1
 ac sin B  2ac(1  cos B )  sin B  4(1  cos B )  cos B  1  sin B (*)
2
4

0,5
0,5

2

1
17
1
Mặt khác sin 2 B  cos2 B  1  sin 2 B  1  sin B   1  sin 2 B  sin B  0
16
2
 4

8
 sin B  (do sinB > 0)
17

Kết hợp với (*) ta được: cos B 

15
8
 tan B  .
17
15

0,5

0,5

Câu 4.1(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC  600. Các điểm M, N
được xác định bởi MC  2MB và NA 

1
NB . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và

2

CN vng góc với nhau.
Ta có: MC  2MB  AC  AM  2( AB  AM )  3 AM  2 AB  AC

0,75

Tương tự ta cũng có: 3CN  2CA  CB

0,75


Vậy: AM  CN  AM  CN  0  (2 AB  AC)(2CA  CB)  0
 (2 AB  AC)( AB  3 AC)  0  2 AB2  3 AC 2  5 AB. AC  0


2c 2  3b 2 

5bc
0 
2

0,5
0,5
0,5

4c2  6b2  5bc  0

Câu 5.(3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A 1;2  , B  3; 4  . Tìm tọa độ điểm C
sao cho ABC vng tại C và có góc B  600 .

Ta có AB   2; 6  , Giả sử C  x; y   AC   x  1; y  2  ; BC   x  3; y  4  .
 AC  BC
ABC vng tại C và có góc B  60  
1
 BC  2 AB
 AC.BC  0
 x  1).( x  3)  ( y  2  (y  4)  0


2  

2
2
AB
2
 x  3   y  4   10
 BC 


4
2
2
x  y  4x  2 y  5  0

 2
2

 x  y  6 x  8 y  25  10

0,5

0,5

0

0,5

0,5

 x2  y2  4 x  2 y  5  0
 x2  y2  4x  2 y  5  0


 2 x  6 y  20  0
 x  3 y  10
9 y 2  60 y  100  y 2  12 y  40  2 y  5  0
 x  3 y  10


2
 x  3 y  10
10 y  50 y  55  0

53 3
5  3
,y
x 
2
2



53 3
5  3 . KL : …
,y
x 
2
2


0,5

0,5

2 y
2 x
2 z
1 1 1
 3 2 3
 2 2 2
3
2
2
x y
y z
z x
x
y
z
Áp dụng BĐT côsi cho các số dương x, y, z ta có

Câu 6. (2,0 điểm) Cho x, y, z  0 . CMR:

0,5

x3  y 2  2 x3 y 2 ; y 3  z 2  2 y 3 z 2 ; z 3  x 2  2 z 3 x 2


2 y
2 y
2 x
2 z
2 x
2 z
 3 2 3 2


3
2
x y
y z
z x
2 x3 y 2 2 y 3 z 2 2 z 3 x 2

2 y
2 x
2 z
1 1 1
 3
 3 2 3 2  
2
x y

y z
z x
xy yz zx
1 1
2 1 1
1
1
2
2
 2
Mặt khác, ta có:
; 2 2 ; 2 2
2
x
zx
z
yz z
x
y
xy y
1
1
1
1
1 1
 2 2 2
 
 2
x
y

z
xy yz zx
2 y
2 x
2 z
1 1 1
 3 2 3 2 2 2 2
3
2
x y
y z
z x
x
y
z
Dấu ''  '' xảy ra x  y  z  1

Từ 1 ,  2  ta có

Chú ý: Các cách giải khác đúng cho điểm tương tự.

1
0,5

0,5

0,5

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CON CUÔNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
NĂM HỌC 2017 – 2018
Mơn : TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Câu 1.(5,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai x 2  5 x  m  0 (1) với x là ẩn số.
a) Giải phương trình (1) khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x 1 x 2  x 2 x 1  6 .
Câu 2. (3,0 điểm)

 x 2  x3 y  xy 2  xy  y  1
Giải hệ phương trình:  4
2
 x  y  xy (2 x  1)  1
Câu 3.(5,0 điểm)
4sin   cos 
sin 3   2 cos3 
 2   1 
b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD  BC; AE  AC . Điểm K trên đoạn

3
4

a) Cho góc  thỏa mãn tan   2 . Tính giá trị biểu thức P 

thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số

AD
.
AK

Câu 4. ( 5,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm
16
AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD : x  3y 1  0 , E  ;1 .
3 

a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD
và BE.
b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

1
1

.
2

2
a b c
abc
2

---- Hết ---Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :.....................................


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu
1.

Nội dung

Điểm

Phương trình x 2  5 x  m  0

5,0

a) Giải phương trình (1) khi m  6

1,5

Khi m  6 PT (1) có dạng: x 2  5 x  6  0

0,5

Ta có:  '  4  1  5  0

0,5

PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1  2 và x2  3

0,5

b) Tìm giá trị m thỏa mãn

3,5

Lập ∆ = 25 - 4m
Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 khi ∆ ≥ 0 hay m 

0,5

25
4

Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1  x2  5; x1 x2  m
0,5

ìïx + x > 0
hay m > 0.
Hai nghiệm x1 , x2 dương khi ïí 1 2
ïïỵx1x 2 > 0

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là 0 < m 
Ta có:

Suy ra

(

x1 + x 2

)

2

0,5

= x1 + x 2 + 2 x1 .x 2 = 5 + 2 m

x1 + x 2 = 5 + 2 m

Ta có x1 x 2  x 2 x1  6  x1.x 2
Hay

25
(*)
4





0,5

x1  x 2  6

m 5  2 m  6  2m m  5m  36  0 (1)

Đặt t  m  0 , khi đó (1) thành:
 2t3 + 5t2 - 36 = 0

0,5

 (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0
 t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0

Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).

0,5

Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vơ nghiệm.
Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5


x1 x 2  x 2 x1  6 .

2.

 x 2  x3 y  xy 2  xy  y  1
Giải hệ phương trình:  4
2
 x  y  xy (2 x  1)  1

3,0

( x 2  y )  xy ( x 2  y )  xy  1
Hệ   2
2
 x  y   xy  1

1,0

a  x 2  y
Đặt 
. Hệ trở thành:
b  xy

a  ab  b  1
(*)
 2
a  b  1

0,5

a 3  a 2  2a  0
a (a 2  a  2)  0
Hệ (*)  

2
2
b  1  a
b  1  a

0,5

Từ đó tìm ra (a; b)  (0; 1); (1; 0); (2;  3)
 x2  y  0
Với (a; b)  (0; 1) ta có hệ 
 x  y  1.
 xy  1
 x2  y  1
 ( x; y )  (0; 1);(1;0);(1;0) .
Với (a; b)  (1; 0) ta có hệ 
 xy  0

0,5

Với (a; b)  (2; 3) ta có hệ
3
3


 x 2  y  2
y  
y  


 x  1; y  3 .
x
x

xy
3



3
2

x  2x  3  0
( x  1)( x  x  3)  0



0,5

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( x; y )  (1; 1);(0;  1);(1; 0);(1; 0);(1; 3) .
3.

5,0

a) Cho góc  thỏa mãn tan   2 . Tính giá trị biểu thức P 

 4sin   cos    sin 2   cos 2  
4sin   cos 
P

sin 3   2 cos3 
sin 3   2 cos3 

4 sin   co s 
sin 3   2 co s 3 

2,5

1.0



4sin 3   sin 2  cos   4sin  cos 2   cos3 
sin 3   2 cos3 

0,5



4 tan 3   tan 2   4 tan   1
tan 3   2

0,5



4.8  4  4.2  1 7

8 2
2

0,5




2  
3

1 
4
b)
AD
trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số
.
AK

b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD  BC; AE  AC . Điểm K



Vì AE 

2,5

A

1   1  3 
AC  BE  BC  BA (1)
4
4
4

E
K

0,5

B

D

C


 


Giả sử AK  x AD  BK  xBD  1  x  BA (1)



2 
3







Mà BD  BC nên AK  x.AD  BK 
 

Do BC; BA không cùng phương nên
1
3

8

9




2x 
BD  (1  x)BA
3

0,5

m 2x
3m

 0 &1  x 
0
4 3
4

0.5

1 
3

0,5

Từ đó suy ra x  ; m  . Vậy AK  AD 

4.

0,5

AD
3
AK

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là
trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình
 16 
CD : x  3y 1  0 , E  ;1  .
 3 

5,0

Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao
2,5
a) của CD và BE.
Ta có

BA EA

 2  E là chân đường phân giác trong
BC EC

A

0,5
D
I

B

E

C


Do BD = BC  BE  CD  BE : 3 x  y  17  0

0,5

x  3y 1  0
I  BE  CD  tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ 
3x  y  17  0

0,5

Giải hệ phương trình  I  5; 2 

1,0

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.

Đặt BC  a  0  AB  2a, AC  a 5, CE 

2,5

a 5
3

0,5

  450  IB  IC  BC  a
Do CBE

2

(1)

2

Tam giác EIC vuông tại I  IE  EC  IC  IE 
2



2

0,5

a

2

(2)

3 2



Từ (1) và (2)  IB  3IE  B (4;5)
Gọi C (3c  1; c) từ

0,5

c  1
BC  2 5  c 2  4c  3  0  
c  3

0,5

Với c  1  C (2;1), A(12;1) (KTM)
Với c  3  C (8;3), A(0; 3) (TM)

0,5

Vậy A(0; 3), B (4;5), C (8;3)
Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1 .
5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

1
1

.
2
2
2
a b c

abc

2,0

Áp dụng BĐT AM- GM ta có
ab  bc  ca  33 a 2 b 2 c 2
1= a + b + c  3 3 abc  3 abc 

P

P

0,5
1
 ab  bc  ca  33 abc
3

3

abc  9abc

1
9

2
2
a b c
ab  bc  ca
2

1
1
7
1



2
2
a b c
ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca
2

0,5

0,5




9
7

 30
a  b  c  2ab  2bc  2ca a  b  c 2
3
2

2

2

1
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 khi chẳng hạn tại a  b  c  .

0,5


SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP 1
Ngày thi: 30/01/2018
***
Câu I ( 2+2=4 điểm)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
Năm học 2017 – 2018
Mơn thi: Tốn – Lớp 10
(Thời gian làm bài: 150 phút)

Cho parabol ( P) : y  ax 2  bx  1

 3 11 
1) Tìm các giá trị của a; b để parabol có đỉnh S  ;
.
 2 2 
2) Với giá trị của a; b tìm được ở câu 1, tìm giá trị của k để đường thẳng
 : y  x(k  6)  1 cắt parabol tại hai điểm phân biệt M ; N sao cho trung điểm của
đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d : 4 x  2 y  3  0 .

Câu II ( 2 điểm)








Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  2 CA ,
3

 4 
AP  AB . Tìm k để AM vng góc với PN .
15

Câu III( 3+3+3=9 điểm)

1)

Tìm m để phương trình x  6 x  9  m x  2 x  9  8  x 

3m  1
2

có hai nghiệm x1 , x 2 sao cho x1  10  x 2
2)
3)

Giải phương trình x  3  x . 4  x  4  x . 5  x  5  x . 3  x

2
 2
Giải hệ phương trình  x  y  2 y  6  2 2 y  3  0

( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2
2

2

2

2

.

Câu IV( 1.5+1.5=3 điểm)

Cho hình vng ABCD cạnh có độ dài là a. Gọi E; F là các điểm xác định bởi
 1  
1 
CF


CD, đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại điểm I .
BE  BC ,
3
2
 
1) Tính giá trị của EA.CE theo a.
AIC  900 .

2) Chứng minh rằng 
Câu V ( 2 điểm)
Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

a a
b b
c c
.


2c  a  b
2a  b  c
2b  c  a

- - - - Hết - - - - “CHÚ Ý : HỌC SINH KHƠNG ĐƯỢC SỬ DỤNG MÁY TÍNH”


Bài
Bài 1

Câu 1

HƯỚNG DẪN CHẤM

Tìm

Điểm
4
điểm

2
điểm

….

Do Parabol nên
và có trục đối xứng
.
mà
Tọa độ đỉnh có tung độ là
hay
Ta có hệ pt
thế vào ta được:

nên
nên ta có:

Nếu
loại.
Nếu
thỏa mãn.
Vậy
là giá trị cần tìm.
Câu 1 Tìm m … với parabol
ý2
Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì pt
có hai nghiệm phân biệt
2
hay pt: 2 x  kx  2  0 có hai nghiệm phân biệt
có

Khi đó, giao điểm
nên trung điểm của đoạn

Bài 2

,

2
điểm

,

0,5

0,5

.

1 

2  3k  k 2 

k
k
2
Theo định lý Viet ta có x1  x2  nên I  ;

2
2
4




2
nên k  8k  2  0 hay
Do I thuộc đường thẳng
k  4  18 thì thỏa mãn bài toán.


Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC ,

0,5
0,5

 2   4 
CN  CA , AP  AB . Tìm k để AM vng góc với PN .
3
15


 
 
A
+) BM  k BC  AM  AB  k ( AC  AB)




 AM  (1  k ) AB  k AC .

P
N

  
4  1 
+) PN  AN  AP   AB  AC
15
3
B

M

0,5

1,0

,

là

0,5

C