Tài liệu Tuyển tập các bài Toán xác suất nâng cao pdf

Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 1







Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 2
Lời nói đầu
Cách nay hơn 400 năm, từ những bức thư trao đổi giữa hai nhà
toán học vó đại người Pháp là Pascal (1623-1662 ) và Fermat (
1601-1665) quanh việc giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong
các trò cờ bạc của một quý tộc Pháp, moat ngành toán học quan
trọng đã ra đời: lý thuyết xác suất. Ngày nay, cùng với sự phát
triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức, ngành toán học này đã được
ứng dụng trên phần lớn các lónh vực, len lỏi vào hầu heat các ngõ
ngách của đời sống như: kinh tế, sinh học, y học, công nghệ,...Từ một
việc nhỏ như chơi trò chơi gieo súc sắc cho đến vấn đề liên quan đến
sinh mạng con người như khả năng lây nhiễm của một loại bệnh nào
đó hoặc khả năng sống sót của một bệnh nhân ung thư máu, người ta
đều cần sử dụng đến lý thuyết xác suất. Vậy cơ sở lý thuyết của
ngành toán học này là gì ? Tại sao nói là nó có thể áp dụng được
trên hầu hết các lónh vực của đời sống ? Chúng ta phải áp dụng nó
bằng cách nào và áp dụng như thế nào mới chính xác ?...Những câu
hỏi trên sẽ dần được giải đáp thông qua “Tuyển tập các bài toán xác
suất THPT”” mà các bạn đang cầm trên tay.
Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 3

Để tiện cho việc theo dõi, phần trình bày của tổ chúng tôi xin
được chia thành ba phần:
 Phần 1: Cơ sở lý thuyết: gồm các khái niệm mở đầu, các
đònh nghóa xác suất, các quy tắc tính xác suất,…nhằm giúp độc
giả làm quen với lý thuyết xác suất, chẩn bò “hành trang”
trước khi bước chân vào “thế giới của sự may rủi”.
 Phần 2: Bài tập tổng hợp: đây là phần cốt lõi của
tuyển tập này: là nơi tổng hợp các dạng toán xác suất thường
gặp, những bài toán điển hình cùng với những phương pháp
giải đáp được các thành viên trong tồ dày công sưu tầm, sáng
tạo rồi tổng hợp thành. Ngoài ra, trong mỗi dạng chúng tôi
còn tìm thêm một số đề không lời giải cùng đáp án của chúng
để độc giả tự mình tìm hiểu nhằm củng cố lại những kiến
thức và kó năng của bản thân.
 Phần 3: Kết luận: Tổng hợp và đánh giá
Lần đầu tiên biên soạn cả một tuyển tập về toán học, chúng tôi
đã rất cố gắng và nỗ lực với mục đích giới thiệu thêm cho độc
giả về một ngành toán học có tính thực tế rất cao, cũng như
đóng góp một tập tài liệu nhỏ cho thế hệ đàn em sau đam mê
môn Toán lấy đó mà tham khảo. Tuy nhiên, do khả năng có
hạn, việc thiếu sót là khó tránh khỏi. Rất mong nhận được sự
Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 4
góp ý và phê bình thẳng thắn của độc giả để tổ chúng tôi có
thêm những kinh nghiệm quý báu, từ đó hoàn thiện hơn trong
các tuyển tập sau.
Thay mặt các thành viên tổ 3
Nguyễn Thái Dương.

Danh sách thành viên thực hiện

1. Nguyễn Thái Dương
2. Trần Minh Đăng
3. Đào Nguyễn Hương Giang
4. Đinh Quang Huy
5. Phan Hồng Nhung
6. Nguyễn Thò Thanh Tâm
7. Điêu Thiện Toàn
8. Trần Hà Y Vân





Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 5
Phần 1: Cơ sở lý thuyết
A.
A.A.
A. Các khái niệm mở đầu:
Các khái niệm mở đầu:Các khái niệm mở đầu:
Các khái niệm mở đầu:


 Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiênPhép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên(gọi tắt là phép thử): là một
thí nghiệm hay hành động mà:
_ Kết quả của nó không đoán trước được;

_ Có thể xác đònh tập hợp tất cả các kết quả có thể
xảy ra của phép thử đó.
Phép thử thưởng được kí hiệu bởi chữ T.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép
thử được gọi là không gian mẫu
không gian mẫukhông gian mẫu
không gian mẫu của phép thử và được kí
hiệu bởi chữ
Ω
(đọc là ô-mê-ga).
 Biến cố A liên quan đến phép thử T
liên quan đến phép thử Tliên quan đến phép thử T
liên quan đến phép thử T là biến cố mà
việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết
quả của T.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra,
được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
kết quả thuận lợi cho A.kết quả thuận lợi cho A.
kết quả thuận lợi cho A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là
A
Ω
. Khi đó, người ta nói b
bb
biến cố A được mô tả bởi tập
iến cố A được mô tả bởi tập iến cố A được mô tả bởi tập
iến cố A được mô tả bởi tập
A
Ω
.

Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 6
 Ngoài ra, chúng ta còn có khái niệm “biến cố chắc
“biến cố chắc “biến cố chắc
“biến cố chắc
chắn”
chắn”chắn”
chắn” và “biến cố không thể”
“biến cố không thể”“biến cố không thể”
“biến cố không thể”:
_ Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực
hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được miêu tả bởi tập
Ω
và được kí hiệu là
Ω
.
_ Biến cố không thể: là biến cố không bao giờ xảy ra
khi phép thử T được thực hiện. Rõ ràng không có một
kết quả thuận lợi nào cho một biến cố không thể. Biến cố
không thể được mô tả bởi tập
∅
và được kí hiệu là
∅
.
B.
B.B.
B. Đònh nghóa xác suất:
Đònh nghóa xác suất:Đònh nghóa xác suất:
Đònh nghóa xác suất:

1. Theo nghóa cổ điển:
1. Theo nghóa cổ điển:1. Theo nghóa cổ điển:
1. Theo nghóa cổ điển:


 Đònh nghóa:
Giả sử phép thử T có không gian mẫu
Ω
là một tập
hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng.
Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và
A
Ω
1 2
...
k
A A A
∪ ∪ ∪
là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì
xác suất
xác suấtxác suất
xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác
đònh bởi công thức:

( )
A
P A

Ω
=
Ω

Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 7
 Chú ý:
Từ đònh nghóa trên ta suy ra:
•
0 ( ) 1P A≤ ≤
;
•
( ) 1, ( ) 0P PΩ = ∅ =


2. The
2. The2. The
2. Theo nghóa thống kê:
o nghóa thống kê:o nghóa thống kê:
o nghóa thống kê:







Trong đònh nghóa cổ điển của xác suất, ta cần giả thiết
phép thử T có một số hữu hạn các kết quả có thể và các kết quả
này là đồng khả năng. Nhưng trong nhiều trường hợp, giả thiết

đồng khả năng không được thỏa mãn. Chẳng hạn khi gieo một con
súc sắc không cân đối thì các mặt của con súc sắc không có cùng khả
năng xuất hiện. Trong trường hợp đó ta sử dụng đònh nghóa sau gọi
là đònh nghóa thống kê của xác suất.
Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử
đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê
xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần.
 Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số
tần sốtần số
tần số của
A trong N lần thực hiện phép thử T.
 Tỉ số giữa số lần của A đối với số N được gọi là
tần suất
tần suấttần suất
tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T.
Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn
thì tần suất của A càng gần với một số xác đònh, số đó được gọi là
Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 8
xác suất của A theo nghóa thống ke
xác suất của A theo nghóa thống kexác suất của A theo nghóa thống ke
xác suất của A theo nghóa thống kê (số này cũng chính là P(A)
trong đònh nghóa cổ điển của xác suất).
Như vậy, tần suất được xem như giá trò gần đúng của xác
suất. Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm
xác suất. Vì vậy tần suất còn d9u7o72c gọi là xác suất thực nghiệm.
C.
C.C.
C. Các quy tắc tính xác suất:
Các quy tắc tính xác suất:Các quy tắc tính xác suất:

Các quy tắc tính xác suất:






1.
1. 1.
1. Qui tắc cộng:
Qui tắc cộng:Qui tắc cộng:
Qui tắc cộng:








a.
a. a.
a.
Biến cố hợp:
Biến cố hợp:Biến cố hợp:
Biến cố hợp:

Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy
ra”, kí hiệu là
A B∪
, được gọi là hợp của hai biến cố
hợp của hai biến cốhợp của hai biến cố
hợp của hai biến cố A và B.
Một cách tổng quát:
Cho k biến cố
1
A
,
2
A
,..,
k
A
. Biến cố “Có ít nhất một
trong các biến cố
1
A
,
2
A
,..,
k

A
xảy ra”, kí hiệu là
1 2
...
k
A A A∪ ∪ ∪
,
được gọi là hợp của k biến co
hợp của k biến cohợp của k biến co
hợp của k biến cố đó.

b. Biến cố xung khắc:
b. Biến cố xung khắc:b. Biến cố xung khắc:
b. Biến cố xung khắc:







Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B
được gọi là xung khắc
xung khắcxung khắc
xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không
xảy ra.

c. Quy tắc cộng xác suất:
c. Quy tắc cộng xác suất:c. Quy tắc cộng xác suất:
c. Quy tắc cộng xác suất:

Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 9
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để
A hoặc B xảy ra là:
1 2 1 2
( ... ) ( ) ( )... ( )
k k
P A A A P A P A P A
=


( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +

Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố:
Cho k biến cố
1
A
,
2
A
,..,
k
A
đôi một xung khắc. Khi đó:
1 2 1 2
( ... ) ( ) ( ) ... ( )
k k
P A A A P A P A P A∪ ∪ ∪ = + + +

d. Biến cố đối:
d. Biến cố đối:d. Biến cố đối:
d. Biến cố đối:









Cho A là một biến cố đối. Khi đó biến cố “Không
xảy ra A”, kí hiệu
A
, được gọi là biến cố đối
biến cố đốibiến cố đối
biến cố đối của A.
Đònh Lý
Đònh LýĐònh Lý
Đònh Lý:
::
:


Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối
A
là:
P(

A
)=1-P(A)

2. Quy tắc nhân xác suất:
2. Quy tắc nhân xác suất:2. Quy tắc nhân xác suất:
2. Quy tắc nhân xác suất:






a. Biến cố giao:
a. Biến cố giao:a. Biến cố giao:
a. Biến cố giao:









Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B
cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến co
giao của hai biến cogiao của hai biến co
giao của hai biến cố A
và B.
Cho k biến cố

1
A
,
2
A
,..,
k
A
. Biến cố “Tất cả k biến
cố
1
A
,
2
A
,..,
k
A
đều xảy ra”, kí hiệu là
1
A
2
A
,..
k
A
, được gọi là giao
của k biến cố đó.
Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 10

b. Biến cố độc lập:
b. Biến cố độc lập:b. Biến cố độc lập:
b. Biến cố độc lập:









Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau
nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh
hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
Nhận xét:
Nhận xét:Nhận xét:
Nhận xét:

Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và
B
;
A
và B;
A
và
B
cũng độc lập với nhau.
Một cách tổng quát:

Cho k biến cố
1
A
,
2
A
,..,
k
A
; k biến cố này gọi là độc lập
độc lậpđộc lập
độc lập
với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không
làm ảnh hưởng tới các xác suất xảy ra của các biến cố còn lại.

c. Quy tắc nhân xác suất:
c. Quy tắc nhân xác suất:c. Quy tắc nhân xác suất:
c. Quy tắc nhân xác suất:









Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:
P(AB)=P(A).P(B)
Nếu k biến cố

1
A
,
2
A
,..,
k
A
độc lập với nhau thì
P(A
1
A
1. . .
A
1
)=P(A
1
).P(A
1
). . .P(A
k
)

Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh
Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 11

Phần 2: Bài tập tổng hợp

A.
A.A.
A.
Dùng đònh nghóa cổ điển tính xác suất
Dùng đònh nghóa cổ điển tính xác suấtDùng đònh nghóa cổ điển tính xác suất
Dùng đònh nghóa cổ điển tính xác suất



I/BÀI TOÁN VỀ CHỌN VẬT
Bài 1.
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4
viên từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ 3
màu.
Giải:
- Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi có:
4
15
C
cách.
- Số cách chọn để trong số bi lấy ra có đủ 3 màu:

1
4
C
2
5
C
1
6
C
+
2
4
C
1
5
C
1
6
C
+
1
4
C
1
5
C
2
6
C
=720

=> Số cách chọn để không có đủ 3 màu:
4
15
C
- 720 = 645 cách
Bài 2.
Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập
một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Chọn tùy ý
b) Phải có ít nhất 2 nữ.
Giải:
a) Chọn tùy ý:
6
45
C
=8145060
b) Chọn nhiều nhất 1 nữ:
- Chọn 1 nữ, 5 nam:
1
15
C
.
5
30
C

- 0 nữ, 6 nam:
0
15
C

6
30
C

=>
1
15
C
.
5
30
C
+
0
15
C
6
30
C
=2731365
Tuyển tập các bài Tốn xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 12
=> Có ít nhất 2 nữ có:
6
45
C
-2731365 = 5413695

Bài 3.
Có 5 nhà toán học nam; 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam, lập 1 đoàn công
tác, 3 người cần cả nam và nữ cần có nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn?
Giải:
- 1 nữ, 2 nhà vật lí:
1
3
C
.
2
4
C

- 1 nam toán, 1 nữ, 1 vật lí:
1
3
C
.
1
4
C
.
1
5
C

- 2 nữ toán, 1 nam lí:
2
3

C
.
01
4
C

=> Có
1
3
C
.
2
4
C
+
1
3
C
.
1
4
C
.
1
5
C
+
2
3
C

.
01
4
C
=90 cách
Bài 4.
Một bộ bài có 52 quân bài. Hỏi có bao nhiêu cách rút ra từ bộ 10 quân bài gồm
3 quân “cơ”, 3 quân “rô”, 4 quân “bích” chọn?
Giải:
- 1 bộ bài gồm: 13 quân cơ, 13 quân rô, 13 bích
+ Rút 3 quân cơ:
3
13
C

+ Rút 3 quân rô:
3
13
C

+ Rút 4 quân bích:
4
13
C

=>
3
13
C
.

3
13
C
.
4
13
C
=58484140 cách
Bài 5.
Trong 1 hộp bánh có 6 bánh nhân dâu và 4 bánh nhân sôcôla. Có bao nhiêu cách
lấy ra 6 bánh cho các em bé nếu chọn:
a) Lấy tùy ý
b) Có đúng 4 loại bánh nhân dâu.
Giải:
a) lấy tùy ý:
6
10
C
=210 cách
b) Lấy 4 bánh dâu:
4
6
C
= 15 cách
- Lấy 2 bánh Sôcôla
2
4
C
=6
=> có 15.6 = 90 cách

Tuyển tập các bài Tốn xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 13
Bài 6.
Một tổ gồm 6 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 1 bạn đại diện gồm 5 người
sao cho chọn:
a) Không phân biệt nam, nữ (252 cách)
b) Có đúng 2 nữ (
2
4
C
.
3
6
C
=120 cách)
Bài 7.
Trong một buổi biểu diễn văn nghệ có 8 nam, 6 nữ. Chọn thứ tự 3 nam, 3 nữ để
ghép cặp biểu diễn. Có bao nhiêu cách chọn?
(
3
8
A
.
3
6
A
=40320)

Bài 8.
Một lớp 20 nam, 15 nữ có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh khác phái?
(
2
20
C
.
1
15
C
+
1
20
C
.
2
15
C
=4950 cách)
Bài 9.
Một lớp 51 học sinh gồm 22 nam và 29 nữ. Thì có bao nhiêu cách bầu 1 ban cán
sự gồm 5 người nếu chọn:
- Cậu Huy và cô Thu phải làm việc chung với nhau?
- Trường hợp Huy và Thu cùng tham gia vào ban cán sự ta có
3
49
C
cách chọn.
- Huy và Thu không tham gia
=> Có

3
49
C
+
5
49
C
= 1925308 cách .
Bài 10.
Một gia đình được 15 vệ só bảo vệ trong đó có 3 người bảo vệ mẹ, 5 người bảo
vệ cha, còn lại bảo vệ con gái đầu lòng. Có bao nhiêu cách phân công?
- Chọn 5 người bảo vệ mẹ:
3
15
C
cách
- Chọn 5 người bảo vệ cha:
5
12
C
cách
- Bảo vệ cô gái:
7
7
C
cách
=>
3
15
C

.
5
12
C
.
7
7
C
cách



Tuyển tập các bài Tốn xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 14

II/BÀI TOÁN VỀ SẮP XẾP
Bài 1.
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác; trong đó có 2 cuốn sách toán, 4
cuốn sách văn, 6 cuốn sách anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn trên lên
một kệ dài, nếu các cuốn cùng môn được xếp kề nhau.
Giải:
- Cách xếp 3 loại sách: 3!
- Cách xếp sách toán: 2!
- Cách xếp sách văn: 4!
- Cách xếp sách anh: 6!
=>2!.3!.4!.6!=207360 cách
Bài 2.

Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 – 5 cạnh nhau.
a) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp để phiếu phân thành 2 nhóm chẵn, lẻ riêng biệt (chẳng
hạn 2,4,1,5)
Giải:
a) Phiếu chẵn: 2;4 luôn ở cạnh nhau (coi là 1 khối thống nhất)
=> Cần sắp xếp cho 4 số (24;1;3;5)=>4!
=> Có 2!.4! = 48 cách
b) – Sắp nhóm: 2!
- Số cách sắp số trong nhóm lẻ: 3!
- Số cách sắp số trong nhóm chẵn:2!
=>2!.3!.2!= 24 cách
Bài 3.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A,B,C,D,E vào 1 chiếc ghế dài sao
cho:
a) Bạn C ngồi giữa.
b) Hai bạn A và E ngồi 2 đầu ghế!
Giải:
Tuyển tập các bài Tốn xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 15
a)- Bạn C ngồi giữa (cố đònh):1 cách
- Sắp chỗ cho 4 bạn còn lại: 4!
=> 24 cách
b) - A,E ngồi 2 đầu ghế. Số cách lựa chọn đầu ghế:2!
- Sắp xếp 3 bạn B,C,D:3!
=>3!.2!=12 cách

Bài 4.
Có 5 nam, 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên 1 bàn dài và xen kẻ
nhau.
+ Nếu 1 nam ngồi vò trí 1 thì kết thúc vò trí t
10
là 1 nữ.
=>5!.5! cách xếp
=> có 5!.5!+ 5!.5!=28800
Bài 5.
1 nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam, 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10
học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng kề nhau?
- 7 học sinh nam đứng liền kề co như 1 khối cùng với 3 nữ=> 4 cách xếp.
- Mỗi lần hoán vò 7 học sinh nam, sẽ có 7! Cách sắp xếp mới.
=>4!.7! = 120960 cách xếp.
Bài 6.
8 học sinh sắp xếp trên 8 chỗ ngồi trên 1 bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
khác nếu chò Nga không chò ngồi cạnh anh Duy?
- Có 8! Cách xếp 8 học sinh ngồi vào 8 chỗ trên bàn dài.
- Xét TH: Anh Duy và chò Nga ngồi gần
+ Xem Duy – Nga là 1 khối cùng với 6 học sinh kia =>7! Cách xếp
+ Mỗi lần đổi chỗ Duy – Nga dược 2! Cách
=> có 8! - 7!.2! = 30240 cách
Bài 7.
1 cặp vợ chồng mời 2 người bạn dự tiệc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp đặt chỗ ngồi
quanh 1 bàn tròn ăn cho chồng luôn luôn ngồi ở vò trí đối diện vợ.
- ĐS: cách.
Tuyển tập các bài Tốn xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 16
Bài 8.
Tìm số hoán vò của 7 học sinh, biết rằng có 3 học sinh được chỉ đònh đứng cạnh
nhau.
ĐS: 144 cách
Bài 9.
1 hội nghò bàn tròn có phái đoàn các nước Việt Nam: 3 người; Lào: 5 người;
Campuchia: 2 người; Thái Lan: 3 người; Trung Quốc 4 người. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp chỗ ngồi cho với thành viên sao cho người cùng quốc tòch ngồi cạnh nhau.
ĐS: 4976640 cách
Bài 10.
Một ô tô có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ cho 4 người trong đó có 2 tài xế.
ĐS: 12 cách

III/CÁC BÀI TẬP XÁC SUẤT VỀ SỐ
BÀI 1
Cho tập hợp số
{ }
0,1,2,3,4,5X =
có thể lập được :
a) có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2
b) có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5
Giải
Gọi số có 3 chữ số là a
1
a
2
a
3

a) + Xét a
3
= 0
Ta có: a
1
có 5 cách chọn
a
2
có 4 cách chọn
Vậy có 4.5 = 20 số
+ Xét a
3
≠ 0
Ta có : a
1
có 2 cách
a
2
có 4 cách
Vậy có 4.2= 8 số
→Vậy có tất cả là 20 + 8 = 28 số
b) + Xét a
3
= 0
Ta có: a
1
có 5 cách chọn
a
2
có 4 cách chọn

Vậy có 20 số
+ Xét a
3
= 5
Ta có: a
1
có 4 cách chọn
a
2
có 4 cách chọn
Tuyển tập các bài Toán xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 17
Vậy có 16 số
→Vậy ta có tất cả là 20 + 16 = 26 số.

BÀI 2
Từ các phấn tử của
{ }
0;2;3;6;9X =
có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5
chữ số khác nhau. Tính xác suát đề lấy 1 số trong các số đó trong tâp hợp gồm 5 chữ
số được tao thành từ các phần tử trong tâp hợp X.
Giải
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là A= a
1
a
2

a
3
a
4
a
5.
A là số tự nhiên chẵn:
+ Xét a
5
= 0
Các số còn lại a
1
, a
2
, a
3,
a
4
có 4! Cách
+ Xét a
5
≠ 0
Các số a
5
có 2 cách chọn
a
1
có 3 cách chọn
Các số còn lại có 3! Cách chọn
Vậy có tất cả là 4! + 2.3.3! = 60 số

A là số tự nhiên bất kì
+ Xét a
5
= 0 có 4
4
cách
+ Xét a
5
≠ 0
Các số a
5
có 4 cách
a
1
có 4 cách
a
2
, a
3
, a
4
có 5
3
cách
→vậy có tất cả là 4
4
+ 4
2
.5
3

= 2256
gọi B là biến cố “ chọn ngẫu nhiên 1 số trong số có 5 chữ số được tạo thành từ
các phần tử
{ }
0;2;3;6;9X =
”
( )
60 5
2256 188
P B = =
.

BÀI 3:
Dãy số gồm 7 chữ số ( số được chọn trong 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) thỏa: ở vị trí thứ
3 là 1 số chẳn chữ số cuối không chia hết cho 5, chữ số thứ 4, 5, 6 đôi một khác nhau.
Có bao nhiêu số như vậy? tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 số trong số có 7 chữ số (
chữ số thuộc
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
) sao cho số được chọn là số thỏa mãn yêu cầu trên.
Giải
Giải: gọi số cần tìm có 7 chữ số là
1 2 3 4 5 6 7
A a a a a a a a=
.
Thỏa:
+ a
3
chẵn: có 5 cách chọn.
Tuyển tập các bài Toán xác suất

GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 18
+ a
7
không chia hết cho 5: có 8 cách chọn.
+ a
4
, a
5
, a
6
đôi một khác nhau có 10.9.8 cách.
+ a
1
có 9 cách chọn.
+ a
2
có 10 cách chọn.
→vậy có 2.592.000 số thỏa yêu cầu đề bài.
Số gồm 7 chữ số tùy ý.
+ Xét a
7
=0. có 9
6
các chọn.
+ Xét a
7

≠
0. a
1
có 9 cách chọn.
Các số còn lại có 9.10
5
cách chọn.
Vậy có 9
6
+9.9.10
5
= 8631441 số.
A là biến cố chọn ngẫu nhiên 1 số thỏa yêu cầu đề trong các số có 7 chự số thuộc
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
.
( )
2592000
0,3
8631441
P A
= ≈
.

BÀI 4:
Cho 10 chữ số từ
0 9→
. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn
600.000 xây dựng từ các số tren. Tính xác suât để chọn 1 số lẻ trong các số đó.
Giải

Vậy có 6 chữ số lớn hơn hoặc bằng 599.999.
Số có 6 chữ số:
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
.
+ a
6
có 5 cách.
+ a
1
có 5 cách.
+ a
2
có 8 cách.
+ a
3
, a
4
, a
5
có 7.6.5.
vậy có 420.000 số lẻ nhỏ hơn 600.000.
( )
42000
0,07
600000
P A
= =
.

BÀI 5:
Cho tập hợp các số: 2; 3; 4; 5; 6. tìm số có 4 chữ số thuộc tập hợp trên sao cho số
thứ 1 không lớn hơn 3, số cuối không chia hết cho 5. tính xác suất để lấy 1 số trong
các số có 4 chữ số thuộc
{ }
2;3;4;5;6
. Sao cho số thứ 1 không nhỏ hơn 3 số cuối chia
hết cho 5.
Giải
Gọi số có 4 chữ số là:
1 2 3 4
a a a a
.
+ a
1
không lớn hơn 3: có 2 cách chọn.
Tuyển tập các bài Toán xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 19
+ a
4
số cuối không chia hết cho 5: có 4 cách chọn.
+ a
2
có 5 cách chọn.
+ a
3
có 5 cách chọn.

Vậy có 200 số thỏa yêu cầu đề bài.
A là biến cố chọn 1 số trong số có 4 chữ số thuộc
{ }
2;3;4;5;6
. Sao cho số 1 khong nhỏ
hơn 3 số cuối chia hết cho 5.
( )
4
5A
Ω =
.
Vậy
( )
4
200 8
5 25
P A
= =
.
Vậy
( )
8 17
1
25 25
P A
= − =
.

BÀI 6:
Cho dãy số 0, 1, 2, 3, 4,5. tính xác suất để lấy 1 số có 3 chữ số thuộc dãy số trên sao

cho số đó không chia hết cho 2 nhưng chia hết cho 5.
Giải
Gọi số có 3 chữ số là:
1 2 3
a a a
.
+ a
3
có 1 cách.
+ a
1
có 4 cách.
+ a
2
có 4 cách.
Vậy có 16 số cân tìm.
A là biến cố thỏa yêu cầu đề bài, ta có:
( )
16 4
.
180 45
P A
= =


BÀI 7:
Cho tập hợp số
{ }
0,1,2,3,4,5X
=

.
a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
Giải
a) Gọi số có 3 chữ số là:
1 2 3
a a a
.
+ a
3
= 0. ta có:
 a
1
có 5 cách chọn.
 a
2
có 4 cách chọn.
trường hợp này ta có 20 số.
+ a
3
=5.
 a
1
có 4 cách chọn.
Tuyển tập các bài Toán xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 20
 a

2
có 4 cách chọn.
trường hợp này co 16 số.
vậy từ 2 trường hợp trên ta có 20+16= 36 số.

b) Gọi số có 3 chữ số là:
1 2 3
a a a
.
Số này
1 2 3
9 9a a a
⇔ + + =
⋮
.
Xét cặp số (0; 4 ; 5):
+ a
1
có 2 các chọn.
+ a
2
có 2 cách.
+ a
3
có 1 cách.
Xét (2; 4; 3):
+ a
1
có 3 cách chọn.
+ a

2
có 2 cách.
+ a
3
có 1 cách.
Xét (1; 3; 5):
+ a
1
có 3 cách chọn.
+ a
2
có 2 cách.
+ a
3
có 1 cách.
Vậy có tổng là 16 số.

BÀI 8:
Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. hỏi từ các chữ số đã cho lập được mấy chữ số đôi
một khác nhau và:
a) gồm 3 chữ số.
b) gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400?
c) gồm 3 chữ số và chẵn?
d) gồm 3 chữ số và chia hết cho 5.
Giải
Gọi số có 3 chữ số là:
1 2 3
a a a
.
a) Ta có: a

1
có 6 cách chọn.
a
2
có 5 cách chọn.
a
3
có 4 cách chọn
→vậy có 6*5*4= 120 số.
b) Số nhỏ hơn 400
⇔
số đó không lớn hơn 399.
a
1
có 2 cách chọn.
a
2
có 5 cách chọn.
a
3
có 4 cách chọn
→vậy có 40 số.
Tuyển tập các bài Toán xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 21
c) a
3
có 2 cách chọn.

a
1
có 5 cách chọn.
a
2
có 4 cách chọn.
→vậy có 40 số.

d) a
3
có 1 cách chọn.
a
1
có 5 cách chọn.
a
2
có 4 cách chọn.
→vậy có 20 số.

BÀI 9:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các
phần tử {0,1,2,3} và chia hết cho 3.
Giải
Gọi số có 4 chữ số là:
1 2 3
a a a

Số này
1 2 3
3 3a a a

⇔ + +
⋮ ⋮
.
Ta có các tập hợp số

{ }
1
1,2,3,X
=
.
a
1
có 3 cách chọn.
a
2
có 2 cách chọn.
a
3
có 1 cách chọn. .
→ta có 6 số.

{ }
3
1,2,0X
=
.
a
1
có 2 cách chọn.
a

2
có 2 cách chọn.
a
3
có 1 cách chọn.
→ta có 4 số.
Vậy ta có tất cả là 10 số.


Bài 10
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số nhỏ hơn 500 và chẵn.
Giải
Số đó không lớn hơn 499.
Gọi số có 3 chữ số là:
1 2 3
a a a
.
+ Xét a
3
=0
a
1
có 5 cách chọn
a
2
có 8 cách chọn
Tuyển tập các bài Toán xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 22
Vậy có 40 số
+ Xét a
3
≠ 0
a
3
có 4 cách chọn
a
1
có 5 cách chọn
a
2
có 8 cách chọn
Vậy có 160 số
→Vậy có tất cả lả 200 số

Bài 11.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên khác 0) sao
cho.
a) Số tự nhiên đó là số chẵn.
b) Số tự nhiên đó chia hết cho 5.
c) Trong đó phải có 0 và 1.
d) Chữ số giảm từ chữ số bên trái sang bên phải.
e) Chữ số tăng từ chữ số bên trái sang bên phải.
f) Có 3 chữ số lẻ và 3 chử số chẳn.

Bài 12
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho:
a) số tự nhiên đó chia hết cho 4.

b) Tổng các chữ số là số lẻ.
c) Tổng các chữ số bằng 3.

Bài 13
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một sao cho tổng các chữ số bằng
8.
Bài 14
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 có chữ số khác nhau đôi một.
Bài 15
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó có:
a) bốn chữ số 9 và 3 chữ số 0.
b) Đúng 4 chữ số 9.
c) Đúng 4 chữ số 9 và các chữ số khác có mặt 1 lần.

Bài 16
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1 triệu và có tổng chữ số bằng 3.

Bài 17
Tính tổng của các số tự nhiên:
Tuyển tập các bài Toán xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 23
a) có 2 chữ số khác nhau và khác 0.
b) Có 5 chữ số khác nhau là 1, 2, 3, 4, 5.
c) Có 4 chữ số khác nhau.
d) Có 3 số dôi một khác nhau và 3 số giống nhau.
e) Là một số có 3 chữ số không chia hết cho 9 và chia hết cho 5.
f) Có 3 chữ số và chia hết cho 9 và 5

Bài 18
Có bao nhiêu số tự nhiên trong đó có:
a) bốn chữ số 9 và ba chữ số 0
b) đúng 4 chữ số 9
c) đúng 4 chữ số 9 và các chữ số khác có mặt 1 lần
Bài 19
Có bao nhiêu số có 5 chũ số sao cho:
a) Số tự nhiên đó chia hết cho 4
b)Ccá chũ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau
c)Có chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 123
d)hai chữ số liền kề nhau thì khác nhau
e) số tự nhiên đó chia hết cho 9
f) Chia hết cho 3
g) Tổng các chữ số là số lẻ
h) Tổng các chũ số bằng 3
i) a
1
+ a
5
= a
2
+ a
4
= 10
j) a
1
+ a
5
= a

2
+ a
4
= 9
Bài 20
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chũ số chia hết cho 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2.
Bài 21.
Một người gọi điện thoại nhưng quên 4 chử số cuối của số cần goị mà chỉ nhớ rằng 4
chử số ấy khác nhau và theo quy luật tiến lên. Tính xác suất để người đó gọi một lần
là đúng số điện thoại cần gọi
IV/ Các bài toán khác
Bài 1:
Trong một đợt bốc thăm trúng thưởng có 1000 thăm,trong đó có 1 giải nhất, 2 giải nhì
, 3 giải ba .1 người no bốc 3 lá thăm.Tính xác suất để:
a) người đó trúng cả 3 giải.
b) người dó trúng giài nhất.
c) người đó không trúng bất cứ giải nào.
Bài 2 :
Tuyển tập các bài Toán xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 24
Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa co xác suất khoan trúng túi
dầu la o,4. Tính xác suất để trong 5 lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi
dầu.
a) đúng 1 lần duy nhất.
b) ít nhất 1 lần.
Bài 3:
Bốn nam sinh và bốn nữ sinh được xếp ngồi vào 8 chiếc ghế kê thành 2 dãy, mỗi

dãy 4 ghế đối diện nhau. Tính xác suất để.
a) Nam nữ ngồi đối diện nhau.
b) Nam ngồi đối diện nhau.
Bài 4:
Xác suất bắn trúng đích của 1 người bắn súng la 0,6. tính xác suất để trong 3 lần bắn
độc lập người đó bắn;
a) trúng đích đúng 1 lần
b) không lần nào trúng đích
c) trúng dích ít nhất 2 lần.
Bài 5
1 chó mẹ trong 1 lần sinh được 5 chó con. Xác suât để sinh được 1 chó cái là 0.4. tính
xác suất để.
a) có ít nhát 2 chó đực trong lần sinh đó
b) chỉ co chó cái.
c) có duy nhất 1 chó cái.
Bài 6
3 cung thủ lần lượt bắn 11 mũi tên vào 1 tấm bia . xác suất mà 3 cung thủ bắn trúng
hồng tâm lần lượt la 0,45;o,5 và 0,7 . tìm xác suất để.
a) cả 3 bắn trúng hồng tâm.
b) Có ít nhất 2 cung thủ bắn trúng hông tâm
c) Không ai bắn trúng hồng tâm.
Bài 7
Một người gửi 7 món quà có ghi địa chỉ ở 7 nơi khác nhau.tính xác suất để
a) cả 7 món đến đúng địa chỉ
b) có 3 món không đến đúng địa chỉ.
Bài 8
Ba máy bay ném bom vào cùng một mục tiêu.xác suất để máy bay 1 ném trúng la 0,4;
0,5 và 0,8. mỗi chiếc ném 1 quả. Tính xác suất để
a) cả 3 chiếc nem trúng mục tiêu
b) cả 3 ném không trúng mục tiêu

c) có ít nhất 2 chiếc ném trúng mục tiêu
bài 9
xếp ngẫu nhiên 4 người lên toa tàu.tính xác suất để
Tuyển tập các bài Toán xác suất
GVHD:
Trần Thị Hạnh

Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 25
a) cả 4 người lên 4 toa khác nhau
b) có ít nhất 2 người cùng toa
Bài 10
Nhà nọ có nuôi 1 con chó.một đêm có 2 tên trôm X, Y đột nhập vào. Xác suất để bắt
được tên trôm X là 0,45 ; tên trộm Y la 0,6. tính xác suất để
a) cả hai tên trôm đều chạy thoát
b) 1 trong 2 tên trộm bị bắt
Bài 11
Một chiếc xe đi qua 1 khúc cua X 5 lần. xác suất để vượt qua khúc cua ma không gặp
tai nạn là 0,7 . tính xác suất để .
a) xe vượt qua khúc cua an toàn cả 5 lần.
b) xe gặp tai nan nhiều nhất 2 lần
c) xe khong gạp tai nạn làn nào
bài 12
có 1 bầy 7 con chim đang đậu trên 1 cành cây.xác suất để người thợ săn bằn trúng 1
con chim là o,6. nhười thợ săn bắn 7 phát .tính xác suất để
a) người thợ săn hạ được cả 7 con chim
b) người thợ săn hạ nhiều nhất 3 con chim.
Bài 13
Một hôp có 13 cái bánh, trong đó có 3 bánh hỏng. Một người lấy từ hộp 5 cái bánh.
Tính xác suất để
a) có 3 cái bánh hỏng

b) không co bánh nào hỏng
c) có nhiều nhất 2 cai bánh bị hỏng
bài 14
có 6 nam , 5 nữ và 1 em bé.cần sắp vi trí cho họ trên 1 bàn dai sao cho
a) em bé ngối giữa 2 nam
b) em bé ngồi giữa 2 nữ
c) em bé ngối giữa 1 nam và 1 nữ
Bài 15
1 siêu thị muốn lắp 1hệ thống chuông báo động về hỏa hoạn . biết rằng xác suất để
trong khoảng thời gian t, 1 chuông phát tín hiệu báo cháy khi có cháy là 0,9.

a) tìm xác suất để trong khoảng thời gian t, có ít nhất 1 chuông phát tín hiệu báo cháy
khi có cháy nếu siêu thị lắp 4 chuông báo cháy.

b) nếu yêu cầu xác suất để có ít nhất 1 chuông phát tín hiệu báo cháy khi có cháy
trong khoảng thời gian t không dưới 99,999% thì siêu thị lắp ít nhất mấy chuông. Giả
thiết các chuông hoạt động độc lập nhau
Bài 16.