Giáo trình logic mờ và ứng dụng

H C VI N NÔNG NGHI P VI T NAM

NGUY N V N NH | NGUY N XUÂN TH O
Ch biên: NGUY N V N NH

GIÁO TRÌNH

LOGIC M

VÀ

NG D NG

NHÀ XU T B N H C VI N NÔNG NGHI P - 2021



L I NịI

U

Logic là m t ngành khoa h c t ng quát chuyên v suy lu n. i t ng trong logic
Boole (George Boole đ a ra t 1854) là các m nh đ ngôn ng , m i m nh đ đ c bi u
di n b i m t t p con (trong m t t p n n ch a nó). Nh v y, logic Boole d a trên lý
thuy t t p h p, đ c khai tri n chính xác nh các ph ng pháp toán trên t p h p. Nh
v y, m i logic ph i xác đ nh rõ ràng r ng logic v đ i t ng nào? N u ta thay đ i đ i
t ng thì ta s có m t logic khác.
Trong cu c s ng, khi con ng i quan sát và suy lu n, h th ng khơng có đ c
d ki n chính xác (hay d li u “rõ”) nh ng v n có th suy lu n trên nh ng d li u
“m ”, ch ng h n: “khi b nh nhân s t cao thì th i gian x lý ph i nhanh, đơy nhi t đ
“cao” hay th i gian “nhanh” lƠ các d li u m .

i t ng c a logic trong các suy lu n
v i nh ng d ki n m nh v y không ph i là các t p h p thông th ng, mà là các t p
h p có th bi u di n các m nh đ v i các d ki n “m ” nh trên. Giáo s Zadeh (1965)
đã đ ngh m t lý thuy t toán v t p m (fuzzy set), lý thuy t này là t ng qt hóa lý
thuy t t p h p thơng th ng và làm n n t ng cho logic m (fuzzy logic). Các mơ hình
tốn h c d a trên logic m đã đ c ng d ng trong h u h t các l nh v c khoa h c và
công ngh .
Vi c ng d ng các mô hình tốn vƠo các bƠi tốn khác nhau lƠ do ng i ra quy t
đ nh l a ch n d a theo kinh nghi m. Vi c ng d ng c a các mơ hình m trong các bài
tốn th c t r t đa d ng và hi u qu . M t trong nh ng ng d ng đó lƠ ng d ng vào
vi c đi u khi n bán ch đ ng h c n MR (h c n l u bi n t ) trong xây d ng các tòa
nhà cao t ng. ng d ng đi u khi n m và logic m trong các đ dùng dân d ng nh
máy gi t, đi u hòa, máy nh, n i c m đi n, ho c trong l nh v c đi u khi n t đ ng, các
h th ng thông minh nh h th ng c m bi n trong xe ô tô t lái... Trong sinh h c, y h c
c ng s d ng r t nhi u các ng d ng c a logic m . c bi t là trong vi c suy lu n, đánh
giá liên quan đ n quy t đ nh c a con ng i, có y u t tâm lý, c m tính thì vi c th hi n
b ng logic m r t thu n l i. Chúng ta th y r ng logic m r t g n v i ngôn ng đ i
th ng và có th hình th c hóa, có th cƠi đ t cho máy tính h tr chúng ta x lý r t
nhi u v n đ ph c t p. L nh v c ng d ng c a logic m r t r ng vƠ đa d ng (Trillas &
Eciolaza, 2015). Bài gi ng này nh m cung c p cho sinh viên nh ng ki n th c c b n v
c s toán h c cho h m và m t s ng d ng.
Giáo trình Logic m và ng d ng đ
Ch

ng 1. Lý thuy t t p m ;

Ch

ng 2. Các phép toán Logic m ;

Ch

ng 3. Suy lu n theo Logic m ;

Ch

ng 4. M t s

c b c c thƠnh 4 ch

ng:

ng d ng c a Logic m .

iii


hồn thành các n i dung trên, nhóm tác gi đã th ng xuyên trao đ i các n i
dung c a m i ch ng, s phân công c th ng i vi t cho các ch ng nh sau:
Nguy n V n

nh là ch biên, biên so n ch

Nguy n Xuân Th o biên so n ch

ng 1 vƠ ch

ng 2 vƠ ch

ng 4.

ng 3.

Cu i m i ch ng đ u có câu h i và bài t p giúp cho sinh viên h th ng đ c bài
gi ng và hi u sâu thêm nh ng v n đ đã h c. Giáo trình cịn b sung nhi u đo n code
ch ng trình trong Matlab đ giúp sinh viên có th tính tốn s cho các ví d , minh h a
cho các đ nh ngh a vƠ tính ch t đã h c.
Giáo trình nƠy đ c hoàn thành sau th i gian t ng k t kinh nghi m c a nhóm tác
gi khi gi ng d y môn Logic m và ng d ng cho sinh viên khoa Công ngh Thông tin
và sinh viên ngành H th ng đi n, khoa C đi n t i H c vi n Nông nghi p Vi t Nam.
Nhóm tác gi c ng đã t ng k t kinh nghi m d a trên các k t qu nghiên c u c a mình
v Logic m và ng d ng đ hồn thành giáo trình này.
Dù đã r t c g ng, nh ng giáo trình s khơng tránh kh i có nh ng sai sót trong l n
xu t b n đ u tiên, chúng tôi xin chân thành c m n t t c nh ng ý ki n đóng góp c a
các đ ng nghi p và b n đ c.
Ch biên
PGS.TS. Nguy n V n

iv

nh


M CL C
Ch

ng 1. Lụ THUY T T P M

.............................................................................. 1

1.1. B TÚC CÁC KI N TH C V T P H P .......................................................... 1
1.1.1. Mô t t p h p ................................................................................................... 1
1.1.2. Các phép toán trên t p ...................................................................................... 2
1.2. CÁC KHÁI NI M C S C A T P M ............................................................ 4
1.2.1. Khái ni m t p m ............................................................................................. 4
1.2.2. M t s đ c tr ng c a t p m ............................................................................ 6
1.2.3. Xây d ng t p m .............................................................................................. 8
1.2.4. Các phép toán đ i s trên t p m ..................................................................... 9
1.3. S M .................................................................................................................. 15
1.3.1. S m t ng quát ............................................................................................. 15
1.3.2. S m tam giác ............................................................................................... 16
1.3.3. S m hình thang ........................................................................................... 19
1.3.4. S m d ng hàm Gauss .................................................................................. 22
Ch

ng 2. CỄC PHÉP TOỄN LOGIC M

2.1. S

M R NG C A LOGIC C

.................................................................. 29
I N .............................................................. 29

2.1.1. M t s h n ch c a logic c đi n ................................................................... 29
2.1.2. Logic ba tr ..................................................................................................... 30
2.2. CÁC PHÉP TOÁN TRONG LOGIC M ............................................................ 31
2.2.1. Phép h i .......................................................................................................... 32
2.2.2. Phép tuy n ...................................................................................................... 34
2.2.3. Phép ph đ nh ................................................................................................. 36

2.2.4. Phép kéo theo ................................................................................................. 40
2.2.5. Phép t
Ch

ng đ

ng m .................................................................................... 43

ng 3. SUY LU N THEO LOGIC M

.................................................................. 46

3.1. CÁC QUAN H M ............................................................................................ 46
3.1.1. Quan h c đi n .............................................................................................. 46
3.1.2. Quan h m .................................................................................................... 48
v


3.1.3. Phân c m theo quan h m ............................................................................ 64
3.2. BI N NGÔN NG

VÀ SUY DI N M ............................................................. 68

3.2.1. Bi n ngôn ng ................................................................................................ 68
3.2.2. Lu t m .......................................................................................................... 69
3.2.3. Suy di n m ................................................................................................... 72
Ch

ng 4. M T S

NG D NG C A LOGIC M .................................................... 82

4.1. MỌ HÌNH C S D

LI U M ........................................................................ 82

4.1.1. Thơng tin khơng hồn h o .............................................................................. 82
4.1.2. Các ph thu c d li u trên CSDL m ........................................................... 88
4.1.3. Khóa m vƠ bao đóng m trên CSDL m ...................................................... 98
4.1.4. Chu n hóa c s d li u m ......................................................................... 101
4.2. CỄC MỌ HÌNH I U KHI N M .................................................................. 104
4.2.1. Lý thuy t đi u khi n m .............................................................................. 104
4.2.2. H m Mamdani ........................................................................................... 108
4.2.3. H m Tagaki-Sugeno.................................................................................. 113
TÀI LI U THAM KH O ......................................................................................... 117

vi


Ch

ng 1. Lụ THUY T T P M

Lý thuy t v t p h p m (hay t p m ) đ c Giáo s Zadeh gi i thi u l n đ u tiên
vào n m 1965, cùng v i các phỨp toán đ i s trên t p m nh là m t s m r ng c a
t p h p c đi n. Lý thuy t t p m là n n t ng c a Logic m và các ng d ng c a nó.
N i dung ch ng 1 trình bày tóm t t các khái ni m v t p h p, t p h p m , s m và
các phép toán trên s m . ó là nh ng khái ni m quan tr ng đ c s d ng nhi u trong
x lý tri th c không ch c ch n b ng logic m . Bên c nh đó, giáo trình c ng trình bày
m t s ch ng trình Matlab đ th c hi n các phép tốn trên t p h p m và s m . Bài

t p ơn t p đ c trình bày ph n cu i ch ng.
1.1. B

TÚC CÁC KI N TH C V T P H P

nghiên c u các t p h p m (Fuzzy set) và logic m (Fuzzy logic) tr c h t c n
nh c l i các ki n th c c b n v lý thuy t t p h p c đi n (Crisp set), các quan h trên
các t p h p. ơy lƠ nh ng ki n th c n n t ng c a toán h c, h u h t nh ng ki n th c này
sinh viên ngành Tin h c đã đ c h c t p trong các n m đ u c a b c đ i h c, tuy nhiên,
sinh viên c n ôn l i và ch c ch n r ng mình đã n m r t v ng nh ng ki n th c nƠy tr c
khi b t đ u môn h c Logic m và ng d ng.
1.1.1. Mô t t p h p
t

- M t t p h p đ c mơ t là m t nhóm các đ i t ng khơng có s l p l i. M i đ i
ng c a t p h p đ c g i là m t ph n t c a t p h p đó.

- N u s ph n t c a t p h p là h u h n và không quá l n ta có th đ c t t p h p
b ng cách li t kê t t c các ph n t c a nó gi a hai d u ngo c {…}, các ph n t trong
t p h p đ c vi t cách nhau b i d u ph y “,” vƠ không quan tơm đ n th t các ph n t
trong m t t p h p.
- T p h p có th có các ph n t r i r c, có th có các ph n t làm nên m t mi n
liên t c
N u ph n t x là thu c t p h p A, ta vi t x  A (đ c: x thu c A), n u trái l i, ta
vi t x  A. (đ c x không thu c A).
- Hai t p h p b ng nhau là hai t p h p có ch a các ph n t nh nhau.
Ch ng h n: T p h p A = {1, 2, 3, 4, 5} và t p B = {2, 1, 4, 3, 5} là b ng nhau, ta
vi t A = B.
N u m t t p h p ch a m t s khá l n các ph n t , ho c là vô h n các ph n t ,
ng i ta có th khơng c n li t kê t t c các ph n t c a t p h p, mƠ dùng cách đ c t t p

h p theo m t s tính ch t đ c tr ng c a các ph n t c a nó.
1


Ví d 1.1. Có th cho m t s t p h p nh sau:
a.

là m t ngày trong tu n khi đó

là t p các ngày c a m t tu n l .

là t p các s th c có giá tr l n h n 5.

b.
c.

v i



và

là t p h p s ph c.

- Ta nói t p h p A là t p h p con c a t p h p B và ký hi u là A  B, n u m i
ph n t c a A c ng lƠ ph n t c a B.
- N u A  B thì ta nói A b ch a trong B, hay B ch a A.
- Hai t p h p A và B g i là b ng nhau khi và ch khi A  B và B  A, và vi t A = B.
- M t tr ng h p đ c bi t c a t p h p lƠ “t p h p r ng”, t p h p này không ch a
b t k ph n t nƠo, vƠ đ c ký hi u là Ø, hay { }. T p h p r ng đ c xem nh t p con

c a m i t p h p.
- T p h p t t c các t p h p con c a t p h p A (k c chính t p A và t p r ng) g i
là t p h p l y th a c a A, ký hi u 2A, t p h p nƠy c ng đ c ký hi u là P(A).
- L c l ng c a t p h p A là s ph n t c a A. Ký hi u l c l

ng c a t p h p A là | A

|.
- Rõ ràng ta có | 2A| = 2 | A |.
Ví d 1.2. M t s k t qu so sánh các t p h p :
a. {1, 2, 3, 4}  {2, 1, 4, 5, 3}
b. {1, 2, 3, 4, 5} = {5, 1, 2, 3, 4}
c. Cho A = {1, 2, 3} thì t p h p l y th a c a A là
2A = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Ta có | 2A| = 2 | A | = 23 = 8 ph n t
Trong chuyên đ này, t nay v sau, đ cho ng n g n ta dùng t “t p” đ thay cho
“t p h p”.
1.1.2. Các phép toán trên t p
Các t p đ c xét đơy đ c xem nh lƠ các t p con c a m t t p v tr X nƠo đó.
Các phép toán xác đ nh trên t p là:
a. Ph n bù c a t p h p A trong X, ký hi u
A

A , là t

p các ph n t c a X mà không thu c A.

= {x  X | x  A }

b. H p c a A và B, ký hi u A  B, là t p các ph n t thu c ít nh t m t trong hai t p A, B.

A  B = {x | x  A ho c x  B}
2


c. Giao c a A và B, ký hi u A  B, là t p h p các ph n t đ ng th i thu c c A và B.
A  B = {x | x  A và x  B}
d. Hi u c a A và B, ký hi u A \ B (ho c A ậ B), là t p các ph n t thu c A mà không
thu c B
A \ B = {x | x  A và x  B}
e. Tích
các (Descartes Product) c a hai t p A và B là m t phép ghép hai t p đ đ
t p m i, ký hi u A  B:

c

A  B = {(a, b) | a  A, b  B}
D th y r ng l c l

ng c a tích

Có th m r ng tích

các A  B là: | A  B | = | A |.| B |

các cho nhi u t p:

A1  A2  …  An = {(a1, a2, …, an) | ai  Ai, i = 1, 2,...n}
Có th dùng ký hi u l y th a đ ch tích

các c a cùng m t t p:

Ak = A  A  ...  A (k l n)
Ví d 1.3. Cho R là t p s th c, bi u di n các đi m trên đ

ng th ng, khi đó:

R2 = {(x, y) | x  R, y  R} bi u di n các đi m trên m t ph ng.
R3 = {(x, y, z) | x  R, y  R, z  R} bi u di n các đi m trong khơng
gian.
M t s tính ch t c a các phép toán trên t p h p:
Cho A, B, C là các t p con c a t p v tr X, có th ch ng minh đ

c các tính ch t sau:

+ M t s tính ch t v ph n bù (ph đ nh):
A A

;

X=

Ø;

Ø

=X

+ Giao hoán:
AB=BA
AB=BA

+ K t h p:
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
+ Phân ph i:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
3


+

i ng u (công th c Demorgan):
A B  A B

+L cl

A B  A B

ng c a hai t p:
| A | + | B | = |A  B| + |A  B|

1.2. CÁC KHÁI NI M C

S

C AT PM

1.2.1. Khái ni m t p m
Khái ni m ‘T p m ’ (Fuzzy Set) hay ‘T p h p m ’ là m r ng c a khái ni m t p
h p c đi n, nh m đáp ng nhu c u bi u di n nh ng tri th c khơng chính xác. Trong lý

thuy t t p h p c đi n (Crisp set), quan h thành viên c a các ph n t đ i v i m t t p
h p đ c đánh giá theo ki u nh phân m t cách rõ ràng : m i ph n t x c a v tr tham
chi u X (X còn g i là t p n n c a m i ph n t x) là ch c ch n thu c t p A ho c ch c
ch n không thu c t p A. Nh v y, đ xem m t ph n t có là thành viên c a t p A hay
không, ta gán cho ph n t đó giá tr 1 n u ph n t đó ch c ch n thu c A, ta gán giá tr 0
n u n u ph n t đó khơng thu c v t p A, t c là ta có th xây d ng m t hàm thành viên
(hay hàm thu c) đ đánh giá m t ph n t có thu c t p A hay khơng :

Rõ ràng, hàm thu c
s xác đ nh t p con c đi n A trên t p v tr X và
nh n giá tr trong t p h p {0,1}.

ch

Ng c l i, lý thuy t t p m cho phép đánh giá nhi u m c đ khác nhau v kh
n ng m t ph n t có th thu c v m t t p h p. Ta c ng dùng m t hàm thành viên (hàm
thu c) đ xác đ nh các m c đ mà m t ph n t u thu c v t p A : u  X, 0   A(u )  1
Ch ng h n, xét X là t p v tr g m các nhân viên trong m t công ty. G i A là
t p ‘nh ng ng i có m c l ng t 6 tri u đ n 8 tri u đ ng, A là m t ‘t p rõ’, g m t t c
nh ng ng i có m c l ng S, mƠ 6.000.000  S  8.000.000. Rõ rƠng ai có l ng
5.990.000đ hay 8.010.000đ là không thu c t p A.
N u ta coi m c l ng t 6.000.000 đ n 8.000.000 là m c ‘thu nh p cao’ (t p B),
thì c nh ng ng i có m c l ng th p h n 6.000.000 vài ch c ngƠn đ n v n có th
đ c xem là thu c t p h p ‘nh ng ng i có thu nh p cao’. T p A trên là t p h p theo
ngh a c đi n (t p rõ). T p B là t p m và m i ph n t c a t p n n đ u đ c gán m t
giá tr ch m c đ thu c v t p m này, ch ng h n m t nhân viên có m c l ng
6.800.000 có đ thu c vào t p B này là b ng 1 (ch c ch n lƠ ng i có thu nh p cao),
nh ng m t ng i có m c l ng 5.000.000 thì có th coi là thành viên c a t p này v i
đ thu c th p, đ thu c s t ng d n v i nh ng ng i có m c l ng cƠng cao, cho đ n
khi đ t m c t 6 đ n 8 tri u đ ng thì ch c ch n đ thu c b ng 1. Nh ng ng i có thu

nh p d i 1.000.000 đ thì ch c ch n không th thu c t p B (m c đ thƠnh viên đ i v i
4


t p B là b ng 0). V i nh ng ng i có m c l ng cao h n h n 8.000.000, ch ng h n đ n
10.000.000… thì có th x p vào m t t p m khác ch ng han C là t p m nh ng ng i
có l ng r t cao…
Ta có đ nh ngh a hình th c cho m t t p con m trên m t t p n n X nh sau:
nh ngh a 1.1. (Zadeh, 1965) Cho
trên n n n u đ c xác đ nh b i hàm thu c:

là m t t p n n. T p h p

là t p m

A: X  [0, 1]
Hàm thu c này gán cho m i ph n t x c a X, m t giá tr A(x), v i 0 ≤ A(x) ≤1,
đ ch m c đ mà ph n t x thu c v t p m A. Khi đó
g i lƠ đ thu c m (hay
đ m ) c a vào t p m .
-N ut pn n
di n d i d ng

, t c là t p r i r c, khi đó t p m A đ

c bi u

}
Ho c bi u di n t p m m t cách thu n ti n h n:

- Tr

ng h p đ c bi t là hai t p h p
.

+ T p r ng
+T pn n
+N ut pn n

.
là t p liên t c, khi đó A đ

c bi u di n d

i d ng:

.
Chú ý r ng, các d u tích phân, d u ‘+’ vƠ kỦ hi u phân s trong các bi u di n trên
ch là m t cách ký hi u cho m i ph n t xi ( m u s ) và m c đ thu c c a các ph n t
đó ( t s ) đ i v i t p A ch không liên quan gì đ n các phép tốn.
Khi t p n n

đã rõ rƠng, không s nh m l n, ta có th nói đ n gi n A là t p m .

- Ta kí hi u

là h các t p m trên t p n n .

Ví d 1.4. Gi s t p n n
là t p các s th c. T p m

100”, ta có hàm thu c c a nó có d ng:

là t p “các s th c g n

Trong matlab ta v đ th này b i l nh:
> > x = 90:0.2:110;
> > y = 1./(1+ (x-100).^2);
> > plot(x,y).
(xem hình 1.1)

5


và

đ

c bi u di n d

i d ng
, khi

V i t p m này
đ n 0.

cƠng “xa” 100 thì giá tr hàm thu c càng ti n

Hình 1.1. Minh h a cho s th c g n 100

1.2.2. M t s đ c tr ng c a t p m

Gi s

là t p m trên n n , khi đó ta có m t s đ c tr ng sau:

- Giá đ c a t p m : Giá đ c a t p m

,đ

kí hi u là

c xác đ nh nh sau:

.
- Nhát c t: V i m i giá tr

t p

nhát c t c a t p m

xác đ nh b i:

.
- Chi u cao c a t p m

,đ

, kí hi u

c xác đ nh nh sau:
.

- Lõi c a t p m

, kí hi u

đ

c xác đ nh b i:
.

-L cl

ng c a t p m

, kí hi u

,đ

c xác đ nh b i | A | =



xX

Các đ i l
6

ng nƠy đ

c th hi n nh trong hình 1.2.

A

( x)


µ A(u)

1.0


h(A)

u

0

Core (A)
A
supp(A)

Hình 1.2. Giá đ , h t nhân và

- nhát c t c a t p m A

Ví d 1.5. Ta xét v tính “phù h p” c a m t c n h giƠnh cho gia đình có 4 ng i. Kí
hi u
c n h có phịng,
. Khi đó, ta có t p n n các c n h có i phịng
=

. G i là t p m th hi n m c đ “phù h p” c a các c n h giành
cho gia đình 4 ng i.
.
Khi đó ta có các đ c tr ng c a t p m nƠy nh sau:
+ Giá đ :

.
.

+ Chi u cao:
.

+ Lõi:
+ T p m c, ch ng h n
+L cl

ng c a t p m

:

Ví d 1.6. Trên t p s th c
d ng:

,t pm

là t p “các s th c g n 100” có hƠm thu c

Khi đó ta có các đ c tr ng c a t p m nƠy nh sau:
7

+ Giá đ :

.
.

+ Chi u cao:

.

+ Lõi:
+ T p m c, ch ng h n
+T pm

trong tr

ng h p này là t p không đ m đ

c.

1.2.3. Xây d ng t p m
Có nhi u ph ng pháp xơy d ng hàm thành viên t p m , do gi i h n v th i
l ng c a giáo trình, nên đơy chúng ta ch trình bƠy các ph ng pháp tr c quan và
ph ng pháp suy di n.
a. Ph

ng pháp tr c quan

Ph ng pháp tr c quan d a vào ki n th c và tr c quan v i ng c nh đã cho đ
xây d ng hàm thành viên. Ch ng h n nh xem nhi t đ c a m t đ i t ng là t

đ n
d a vào tr c quan và ki n th c ta có th xây d ng b n t p m l nh (L), mát
(M), m (A), nóng (N) nh hình 1.3 sau:

L

M

A

N

1

-10

0

20

40

60

80

Hình 1.3. Các t p m L, M, A, N v nhi t đ

Trên hình 1.3, ta có các hàm thu c:

8


b. Ph

ng pháp suy di n

Ph ng pháp suy di n d a vào ki n th c đ suy di n hàm thành viên cho t p m
m t ng c nh xác đ nh.
Ví d 1.7. M t tam giác

có th xác đ nh b i 3 góc

th a mãn các đi u ki n:

G i là t p h p các tam giác g n cân. Hàm thành viên c a có th đ

D th y n u các tam giác cân có
Tam giác vng

min

ho c

v i

c suy di n nh sau:

thì m c thành viên b ng 1.
, có giá tr thành viên vào t p m các

.

tam giác g n cân là

1.2.4. Các phép toán đ i s trên t p m
C ng gi ng nh t p h p c đi n, chúng ta c ng xét đ n các phép toán đ i s trên
các t p m . Nó là s m r ng t vi c xem xét quan h gi a các hƠm đ c tr ng c a t p
rõ sang xem xét quan h gi a các hàm thu c c a t p m .
nh ngh a 1.2. Cho
(i)
v im i
(ii)
v im i

là t p con c a , kí hi u

t

ng ng. Ta nói:

t

ng ng. Ta xác đ nh:

n u

.
là hai t p con m b ng nhau, n u
.

nh ngh a 1.3. Cho
(i) Giao c a t p m
v im i

, có các hàm thu c

.

, có các hàm thu c
v it pm

, kí hi u
min

có hàm thu c

9


Hình 1.4. Giao c a hai t p m

H pc at pm
v im i

v it pm

, kí hi u

có hàm thu c

max

.

Hình 1.5. H p c a hai t p m

(ii)

Ph n bù c a t p m

v im i

, kí hi u

(ho c

) xác đ nh b i

.

Hình 1.6. Ph n bù c a t p m A

10


nh ngh a 1.4. Tích
là m t t p con m

các c a hai t p m

và
trên không gian n n

và

min

T ng qt:
Tích
con m

các c a

A1 ×A2 ×…×An

Ví d 1.8. Kí hi u

t pm
trên khơng gian n n

trên các khơng gian n n
là m t t p
th a mãn:

x1 ,x2 ,…,xn =min{

x1 ,

A1

lƠ c n h có phịng,

A2

x2 , …,

An

xn }

. Khi đó, ta có t p n n

=
ng

trên các không gian n n
th a mãn:

.

G i là t p m th hi n m c đ “phù h p” c a các c n h giƠnh cho gia đình 4
i ta có:

G i

là t p m th hi n m c đ “r ng” c a các c n h trong

thì:

Khi đó ta xét m t s t p h p m sau:

+ T p h p các c n h “v a r ng v a phù h p giƠnh cho gia đình 4 ng

+ T p h p các c n h “ho c r ng ho c phù h p giƠnh cho gia đình 4 ng

+ T p h p các c n h “không phù h p cho gia đình 4 ng

+ Tích

i” nh sau:

i” nh sau:

i” lƠ:

các:

Th c hành trong matlab, m i t p m

trên không gian n n

s đ

c mô t d

i d ng ma tr n có 1 hàng, n c t

11


Ta có th vi t m t hàm đ n gi n tính các phép tốn h p, giao, l y ph n bù nh sau:

function kqtinh = tinhpheptoanmo(A,B);
%A = [0 0.3 0.5 1 0.9 0.8 0.4 0]
%B[0 0.1 0.3 0.7 0.75 0.8 0.9 1]
%A = input('nhap A,%d',A);
%B = input('Nhap B');
chon = input('nhap lua chon: ');
% chon 1 tinh giao;
% chon 2 tinh h p
% chon 3 tinh phan bù
if (chon = = 1)
kqtinh = min(A,B);
end
if (chon = = 2)
kqtinh = max(A,B);
end
if (chon = = 3)
chon1 = input('tim phan bu cua A hay B:');
if chon1 = = 1
[m,n] = size(A);
kqtinh = ones(m)-A;
else
kqtinh = ones(m)-B;
end
end
Output
Trong Ví d 1.9 ta có:
Nh p
> > A = [0 0.3 0.5 1 0.9 0.8 0.4 0];
> > B = [0 0.1 0.3 0.7 0.75 0.8 0.9 1];
> > tinhpheptoanmo(A,B);

> > nhap lua chon: 1
% k t qu c a
ans =
0 0.1000 0.3000 0.7000 0.7500 0.8000 0.4000 0
> > tinhpheptoanmo(A,B)
> > nhap lua chon: 2
% k t qu c a
ans =
0 0.3000 0.5000 1.0000 0.9000 0.8000 0.9000 1.0000
tinhpheptoanmo(A,B)
nhap lua chon: 3
tim phan bu cua A hay B: 1
% k t qu tính tốn
ans =
1.0000 0.7000 0.5000 0 0.1000 0.2000 0.6000 1.0000

12


Ví d 1.9. Gi s t p n n là t p các s th c. T p m
có hàm thu c c a nó có d ng:

Khi đó ph n bù

c a

là t p “các s th c g n 100” ta

là:

Có đ th nh Hình 1.7 (đ

ng quay b lõm lên trên)

Trong matlab ta v các hình này b i các dòng l nh:
> > x = 90:0.2:110;
> > y = 1./(1+ (x-100).^2);
> > plot(x,y);
> > hold on
> > plot(x, 1-y)

Hình 1.7.
th hàm thu c c a các s th c “g n 100”
(b lõm quay xu ng) và ph n bù c a nó (b lõm quay lên)

T p h p m là m t s m r ng c a t p h p c đi n. Ta xét các tính ch t c a các
phép toán trên t p m . Các phép toán trên t p h p m đ c đ nh ngh a trên c ng có
nh ng tính ch t k th a các tính ch t c a t p c đi n, nh ng c ng có nh ng tính ch t
đúng trong t p c đi n thì v i t p m l i khơng cịn đúng n a.
13


M nh đ 1.1. Cho
(i)

, khi đó ta có các tính ch t:
Giao hốn:
.

(ii)

K t h p:

(iii)

L y đ ng:
.

(iv)

Phân ph i:
;
.

(v)
(vi)

.
ng nh t:
;
.

(vii)

H p thu:
;
.

(viii) Lu t De Morgan:
;

.
(ix)

Cu n:

M nh đ trên cho th y có khá nhi u tính ch t c a t p c đi n v n đúng cho t p
m . Nh ng có nh ng tính ch t đúng trong t p c đi n thì v i t p m l i khơng cịn đúng
n a. Ch ng h n trong t p c đi n
và
, nh ng trên t p m thì
đi u này khơng cịn đúng n a, ta xét đi u nƠy qua tr ng h p c th nh trong ví d 1.8
v i

và:

14


ta có:

V i các đ nh ngh a vƠ tính ch t c b n c a t p m
trên, các phép toán c a các
t p h p m r ng c a t p m v sau c ng đ c xây d ng d a trên các phép toán c a t p
m . B n đ c có th xem thêm các tài li u tham kh o (Thao & cs., 2014; Nguy n Xuân
Th o & Nguy n V n nh, 2015; Thao & Dinh, 2015: Thao & cs., 2017).
1.3. S

M

1.3.1. S m t ng quát

Trong các bài toán ng d ng ta c n đ n khái ni m s m (xem Dubois & Prade,
1978). S m đ c đ nh ngh a d i d ng t ng quát nh trong đ nh ngh a 1.5 sau đơy.
nh ngh a 1.5. (S m t ng quát) T p m
trên đ
(t ng quát) n u th a mãn c ba đi u ki n sau:
(i) T n t i giá tr

sao cho

(ii)

,t pm c

ng v i m i

ng th ng s th c

là m t s m

, t c là chi u cao c a

l n h n 0;

lƠ đo n đóng trên ;

(iii)

là hàm liên t c trên .

Trong tr

ng h p đ cao c a s m b ng 1, thì ta có khái ni m s m chu n hóa.

nh ngh a 1.6. (S m chu n hóa) T p m
trên đ
m (chu n hóa) n u th a mãn c ba đi u ki n sau
(i)
(ii)
(iii)

chu n hóa, t c là t n t i
ng v i m i

ng th ng s th c

là m t s

;

sao cho

lƠ đo n đóng trên ;

,t pm c

là hàm liên t c trên .

Do gi i h n trong ch ng trình vƠ th i gian, nên t đơy v sau giáo trình này ch
trình bày v s m chu n hóa vƠ đ cho g n ta g i là s m . Các khái ni m v các phép
toán c a s m đ c đ xu t b i Dubois & Prade (1978).

nh ngh a 1.7. M t s m
g i là âm n u nh :

g i lƠ d

ng n u nh

.M ts m
.

nh ngh a 1.8 Cho hai s m
có các hàm thu c l n l
. Khi đó ta đ nh ngh a các phép tốn trên s m sau:

t là

15


(i) T ng c a s m

v im i

v is m

xác đ nh b i hàm thu c:

, kí hi u
max min

.

(ii) S m đ i c a s m

đ

là s m

c xác đ nh b i:
.

(iii) Hi u c a s m

v is m

xác đ nh b i:

, kí hi u
.

(iv) Tích c a s m

v im i

v is m

(vi) Th

max min

.

(v) Ngh ch đ o c a s m

ng c a s m

xác đ nh b i hàm thu c:

là s m

, kí hi u là

v is m

xác đ nh b i hàm thu c:

max

là s m

.
, xác đ nh b i

, xác đ nh

b i hàm thu c:

v im i

.

max min

Trong các bài toán ng d ng, ng i ta th ng dùng các s m tam giác, hình
thang và d ng hàm Gauss (Bector & Chandra, 2005; Bùi Cơng C ng & Nguy n
Dỗn Ph c, 2006). Sau đơy ta xét đ n các s m nƠy vƠ các phép toán đ c xác đ nh
trên các s m tam giác, hình thang và d ng hàm Gauss.
1.3.2. S m tam giác
nh ngh a 1.9. S m tam giác (L-R)
xác đ nh b i các c n d i
,c n
trên
trong đó là giá tr lõi, lƠ đ tr i trái, lƠ đ tr i ph i, có hƠm thu c:

.

S m tam giác đ c g i lƠ đ i x ng n u đ tr i trái vƠ đ tr i ph i b ng nhau, t c là
.
th c a hƠm thu c c a s m hình tam giác đ c mơ t nh hình 1.8.

16


µ A(u)

µ A(u)

1

1

0

m-

m

m+

u

0

Hình 1.8.

m-

m

m+

u

th c a hàm thu c tam giác

Ta xét m t s phép toán nh c ng, tr , nhân, chia các s m tam giác (Dubois &
Prade, 1978).
có các hàm thu c
nh ngh a 1.10. Cho hai s m
. Khi đó ta đ nh ngh a các phép toán trên s m sau:

l n l t là
(i)

T ng c a

(ii)

S m đ ic am

(iii)

Hi u c a

v i

v i

, kí hi u

xác đ nh b i:
đ

là s m
, kí hi u

c xác đ nh b i:

.
xác đ nh b i:
.

(iv)

Tích c a

(v)

Ngh ch đ o c a s m tam giác (khác 0)

(vi)

Th

ng c a

v i

là s m :

v i

là

.

(khác 0) là s m :
.

Ví d 1.10. Cho hai s m tam giác

và

.

Khi đó ta có:
;

17


. Ch ng trình tính tốn cho
Trong matlab ta bi u di n s m tam giác b i ma tr n
đ nh ngh a 1.11 nh sau:
function kqtinh = tinhsomotamgiac(A,B);
%A = [2 1 1.5]
%B = [5 4 3]
%A = input('nhap A,%d',A);
%B = input('Nhap B');
chon = input('nhap lua chon: ');
% chon 1 tinh tong;
% chon 2 tinh hieu
% chon 3 tinh tích
% chon 4 tính 1/B%
%ch?n 5 tính A/B
if (chon = = 1)
kqtinh = A+ B;
end
if (chon = = 2)
kqtinh = [A(1)-B(1) A(2)+ B(3) A(3)+ B(2)];
end

if (chon = = 3)
kqtinh = [A(1)*B(1) A(1)*B(2)+ A(2)*B(1) A(1)*B(3)+ A(3)*B(1)];
end
if (chon = = 4)
if (B(1) = = 0)
fprintf('khong thuc hien duoc phep tinh A/B')
else kqtinh = [1./ B(1) B(3)./(B(1)*B(1)) B(2)./(B(1)*B(1))];
C = kqtinh
end
end
if (chon = = 5)
if (B(1) = = 0)
fprintf('khong thuc hien d??c phep tinh A/B')
else
kqtinh
=
[A(1)./B(1)
(A(1)*B(3)+ B(1)*A(2))./(B(1)*B(1))
(A(1)*A(3)+ B(1)*B(2))./(B(1)*B(1))]
end
end
end
V i Ví d 1.7 ta nh p
> > A = [2 1 1.5]
A=
2.0000 1.0000 1.5000
> > B = [5 4 3]
B=
5 4 3
tinhsomotamgiac(A,B)

nhap lua chon: 1
% k t qu tính t ng
ans =
7.0000 5.0000 4.5000

18


tinhsomotamgiac(A,B)
nhap lua chon: 2
% k t qu tính hi u
ans =
-3.0000 4.0000 5.5000
tinhsomotamgiac(A,B)
nhap lua chon: 3
% k t qu tính tích
ans =
10.0000 13.0000 13.5000
tinhsomotamgiac(A,B)
nhap lua chon: 4
% k t qu tính ngh ch đ o c a B
ans =
0.2000 0.1200 0.1600
tinhsomotamgiac(A,B)
nhap lua chon: 5
kqtinh =
0.4000 0.4400 0.9200
% k t qu tính
ans =
0.4000 0.4400 0.9200

N u nh p B =[0 1 1.2] khi đó ta xỨt các phỨp tốn
+ l y ngh ch đ o
tinhsomotamgiac(A,B)
nhap lua chon: 4
khong thuc hien duoc phep tinh 1/B
+ phép chia
tinhsomotamgiac(A,B)
nhap lua chon: 5
khong thuc hien duoc phep tinh A/B (trong tr ng h p này hai phép tốn trên khơng th c
hi n đ c)

1.3.3. S m hình thang
nh ngh a 1.11. S m hình thang (L-R)
xác đ nh b i các c n d i
,
c n trên
v i
là giá tr lõi, lƠ đ tr i trái, lƠ đ tr i ph i, có hàm thu c:

S m hình thang đ c g i lƠ đ i x ng n u nh đ tr i trái vƠ đ tr i ph i c a
nó b ng nhau, t c là
.
th hàm thu c c a s m hình thang đ c th hi n
nh hình 1.9.
19