Chuyên đề tìm GTLN – GTNN của biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

MỤC LỤC

I.

LÝ THUYẾT....................................................................................................................................2

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN............................................................................................. 3
Phương pháp 1. Sử dụng phép biến đổi đồng nhất.........................................................................3
Dạng 1.

Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc hai đơn giản..................................................3

Dạng 2.

Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc bốn đơn giản...............................................10

Dạng 3.

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức dạng

Dạng 4.

Tìm Min, Max của biểu thức có điều kiện của biến................................................31

Dạng 5.

Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản:.........................................................................41

Dạng 6.

Tìm Min, Max bằng cách sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối....44

A................................................................
B

14

Phương pháp 2. Phương pháp chọn điểm rơi...............................................................................47
Phương pháp 3. Sử dụng phương pháp đặt biến phụ................................................................... 53
Phương pháp 4. Sử dụng biểu thức phụ........................................................................................56
Phương pháp 5. Phương pháp miền giá trị.................................................................................. 59
Phương pháp 6. Phương pháp xét từng khoảng giá trị................................................................ 61
Phương pháp 7. Phương pháp hình học....................................................................................... 64

1


I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
 M. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền xác định D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả
mãn :
1. f(x,y,...)  M
(x,y,..)  D
2.  (x0, y0,...)  D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...)  D
 M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1. f(x,y,...)  M

(x,y,..)  D
2.  (x0, y0,...)  D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...)  D
2. Các kiến thức thường dùng
2.1. Luỹ thừa:
a) x2  0 x  R  x2k  0 x  R, k  z

  x2k  0 Tổng quát :

[f (x)]2k  0 x  R, k  z   [f (x)]2k  0 Từ đó suy ra : [f (x)]2k +
mm
x  R, k  z
M  [f (x)]2k  M
b) x  0

x  0  (

x

)2k  0

x  0; k z

Tổng quát : ( A

)2k  0
 A  0 (A là 1 biểu thức)
2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
a) |x|  0  xR
b) |x + y|  |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0

c) |x  y|  |x|  |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0 và |x|  |y|
2.3. Bất đẳng thức côsi:
ai  0 ; i = 1, n :

a1 + a2 + .... + a
n

n

n

nN, n  2.

a1 . a2an

dấu "=" xảy ra  a1 = a2 = ... = an
2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với n cặp số bất kỳ a1, a2,..., an ; b1, b2, ...,bn ta có :
(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)2  ( a 2 + a 2 +.... + a 2 ).(b 2 + b 2 +. .+ b 2 )
1

Dấu "=" xảy ra 

a1 a2  ... 

b1

b2

Nếu bi = 0 xem như ai = 0

2.5. Bất đẳng thức Bernonlly :

2

an

n

 Const

bn

1

2

= Const

n


Với a  0 : (1 + a)n  1 + na
Dấu "=" xảy ra  a = 0.

n N.


II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
Phương pháp 1. Sử dụng phép biến đổi đồng nhất
Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về

tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số . Từ đó :
1. Để tìm Max f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra :
sao cho f(x ,y ,...) = M
f (x, y...)  M

(x , y ....)  
0 0

0
0
2. Để tìm Min f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra :
sao cho f(x ,y ,...) = m
f (x, y...)  m

(x , y ....)  
0 0

0
0
 Phương pháp giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số
bằng cách đưa về dạng A(x)  0 { hoặc A(x)  0 }
– Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x)  k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
– Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x)  k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
Dạng 1. Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc hai đơn giản
Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và hiệu
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a) A = x2 + 4x + 7

b) R = 3x2 – 5x + 3

d) A = x2 + 2x + y2 + 1

e)

g) C(x) = 3x2 + x 1
j) Q = 4x + 4x
+11
2

A(x) = x2  4x + 24

h) A = ( 2x +1)2  ( 3x  2)2 + x
11

c)

M = x2 + x + 1

f) B(x) = 2x2  8x + 1
i) P = 2 + x  x2
l)

D = 3x2  6x + 1

k) N = x2  4x +1

m) K = x2  2x + y2  4y
+6

n) B = x2 + y2 + 2xy + 4

p) M = 5x2 – |6x – 1| – 1

q)

o) Q = 4x2 + 3x + 2

2

A = 9x  6x  4 3x 1 + 6

r) B = 2 ( x + 1) 2 + 3 ( x + 2 ) 2  4 ( x + 3)2
HD:
q) Đặt 3x 1 = t ½ t2 = 9x2  6x +1 ½ A = t 2  4t + 5 = (t  2)2 +1  1
x = 1



1.
x = 

3
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức sau
Dấu “=” xảy ra khi t = 2 

3x 1 = 2º

a) A = – x2 + 6x – 15

b) B =  5x2  4x + 1

c) C = – x2 + 4x – 5 < 0

d) D = 4x – 10 – x2

e)

E = 2 + x  x2

f) F = 5x2  4x + 1

h) H = x2  4x  7
1
k) M =  x2 + 2x  5
3

i) K = 5x2 + 7x  3

g) G = 3x2 + x + 1
1
j) L =  x2  x 1
2

l) N = x 2  x 1

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) B = 2x2  2y2 + 5y2 + 5
2

b) D(x) = 2x2 + 3y2 + 4z2  2(x + y + z) + 2

2

c) A = x + 4y  4x + 32y + 2018

2

e) A = x2 + 2x + 3 + 4y2 + 4y

f) B = 4x2 + y2 + 12x + 4y + 15

g) C = 5x + y + z + 4xy + 2xz
2

2

2

h) D = x2 + 17 + 4y2 + 8x + 4y

i) E = 16x2 + 5 + 8x  4y + y2
2

2

d) A = 3x + y + 4x  y

j) F = x2 + y2 + 2x  6y  2

2

k) I = x + 4xy + 5y  6y +11
2

2

2

2

2

m) R = x + 2y + 2xy  2y

2

2

2

2

p) C = 5x 12xy + 9y  4x + 4

2

q) E = x + 5y  4xy + 2y  3
2

2

n) A = 4x + 5y  4xy 16y + 32

o) B = x + 5y + 5z  4xy  4yz  4z+12
2

2

l) M = x  2xy + 2y  2y +1

2

2

2

r) Q = x + 4y + z  2x + 8y  6z +15 = 0

2

s) A = 2x + y  2xy  2x + 3

t) B = 2x2 + y2 + 2xy  8x + 2028

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
2

2

a) B = 2  5x  y  4xy + 2x

b) A = 4x2  5y 2 +8xy +10y + 12

c) A = x + y + z  (x2 + 2y2 + 4z2 )
2

2

2

d) B = 3x 16y  8xy + 5x+ 2 f)

2

e) N = x  4y + 6x  8y + 3
2

2

h) Q = xy + yz + zx  x2 y2  z 2

2

g) R = 7x  4y  8xy +18x + 9
HD:
h) Ta có : Q = xy + yz + zx  x2 y2 z2 = 

Q= 

1

2

P = 3x  5y + 2x + 7y  23

1

(2x2 + 2y2 + 2z2  2xy  2yz  2xz)
2

[(x y) + (y z) + (z x) ]  0 x,y,z
2

2

2

2

 MaxQ = 0  x = y = z

Vậy: MaxQ = 0  x = y = z

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau bằng cách đưa về HĐT ( a  b )2 ; ( a  b  c )2
2

2

a) A = x  2xy + 2y + 2x 10y +17

b) B = x2  xy + y2  2x  2y


2

2

d) D = x2  2xy + 6y2 12x + 2y + 45

c) C = x + xy + y  3x  3y
2

2

f) K = x2 + y2  xy + 3x + 3y + 20

e) E = x  xy + 3y  2x 10y + 20
2

2

h) A = x2  2xy + 3y2  2x +1997

g) N = x  2xy + 2y  x
i) Q = x + 2y  2xy + 2x 10y

2

j) G = x + xy + y  3 ( x + y) + 3

k) H(x) = x2 + y2  xy  x + y +1

l) D = 2x + 2xy + 5y  8x  22y

2

2

2

2

2

2

2

m) E = 2x + 9y  6xy  6x 12y + 2004
2

2

n) Q = a2 + ab + b2  3a  3b + 3

2

o) A = x + 6y +14z  8yz + 6zx  4xy

p) B(x) = x2 + xy + y2  3x  3y

q) C(x) = 2x + 3y + 4xy  8x  2y + 18
2

2

r) E(x) = 2x2 + 8xy +11y2  4x  2y + 6

s) C = a2 + ab + b2 – 3x – 3b + 1989
u) A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x – 4y + 2013
2

2

t) A = 3x + 4y2 + 4xy + 2x – 4y + 26
v) A = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82

2

w) B = x + 2y + 3z  2xy + 2xz  2x  2y  8z + 2000
x) G = ( x  ay ) 2 + 6 ( x  ay ) + x + 16y  8ay + 2x  8y + 10
2

2

y) F = 2x2 + 6y2 + 5z2 – 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + 2
z) B = 3x2 + 3y2 + z2 + 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + 3

aa) B = 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y
HD:
2

2

a) A = x  2xy + 2y + 2x 10y +17

A = x2  2x ( y 1) + 2y2 10y +17 = x2  2x ( y 1) + ( y 1)2 + 2y 2 10y + 17  ( y 1)2 


(

)

A = ( x  y + 1)2 + y  8y + 16 = ( x  y + 1)2 + ( y  4 )2
2

2

2

b) B = x  xy + y  2x  2y

 2
y + 2 y + 4y + 4   2
y
2
2
B = x  x ( y + 2 ) + y  2y = x  2.x.

+ y  2y  2 4 y  1
2+ 2
4



(
)
= ( x  y  2 )2 + 3 ( y

)
 4y )  3 = ( x  y  2 )2 + 3 ( y  2 )2  15  15

2

(

2

2

4B = x  y  2 2 + 4y  8y  y  4y  4 = x  y  2 2 + 3y  12y  3

½B

2

15
4

2

2

c) C = x + xy + y  3x  3y

 2
y  3 y  6y + 9   2
y  6y + 9
2
2
C = x + x ( y  3 ) + y  3y = x + 2.x. 2 + 2
+ y  3y  2
4
4


4C = ( x + y  3 )2 +  4y 12y  y + 6y  9  
2

2

2

2

d) D = x  2xy + 6y 12x + 2y + 45
2

2

D = x  2x(y + 6) + 6y + 2y + 45




2

2

2

2

= x  2x.(y + 6) + (y + 6) + 6y + 2y + 45  (y + 12y + 36)
2

2

2

2

= (x  y  6) + 5y 10y + 9 = (x  y  6) + 5(y 1) + 4  4
2

2

e) E = x  xy + 3y  2x 10y + 20

E = x  x ( y  2) + 3y 10y + 20
y  2 y  4y + 4
y  4y + 4
2
2
= x  2x.
+ 2
+ 3y 10y + 20  2
2
4
4
2

2


(

) (

)

(

4E = ( x  y + 2 )2 + 12y  40y + 80  y  4y + 4 = ( x  y + 2 )2 + 11y  36y + 76
2

2

2

2

)

2

f) K = x + y  xy + 3x + 3y + 20

4K = 4x 2 + 4y 2  4xy +12x +12y + 80 =  4x 2  4x ( y  3) + ( y  3)2  +  4y 2 +12y + 80  ( y  3)2 

 

4K = ( 2x  y + 3 )2 + 3y + 18y + 71
2

2

2

g) N = x  2xy + 2y  x
N = x  x ( 2y + 1) + 2y = x  2x.
2

2

2

(

2y + + (2y + 1 2 + 2y2  ( 2y + 1)2
1
) 4
2
4

4N = ( x  2y 1)2 + 8y  4y + 4y + 1
2

2

2

)

2

h) A = x  2xy + 3y  2x +1997

(

A = x  2x ( y + 1) + 3y + 1997 = x  2x ( y 1) + ( y 1)2 + 3y + 1997  y + 2y + 1
2

2

2

2

2

2

2

i) Q = x + 2y  2xy + 2x 10y

(

Q = x  2x ( y 1) + 2y 10y = x  2x ( y 1) + ( y 1)2 + 2y 10y  y  2y + 1
2

2

2

2

j) G = x + xy + y  3 ( x + y) + 3
2

2

2

2

4G = 4x + 4xy + 4y  12x 12y + 12

(

) (

4G = 4x + 4x ( y  3) + ( y  3)2 + 4y  12y + 12  y  6y + 9
2

2

2

)

4G = ( 2x + y  3)2 + 3y  6y + 3 = ( 2x + y  3)2 + 3 ( y 1)2  0
2

k) H(x) = x2 + y2  xy  x + y +1
H(x) = x2 + y2  xy  x + y +1
 4H(x) = (2x)2  2.2x.y + y2 + 3y2  4x + 4y + 4
= (2x  y)2  2(2x  y) + 3y2 + 2y + 3 +1 = (2x  y 1)2 + 3(y2 +
1

8 8
)2 + 
2
3 3
1
8
2
2

 Min4H(x) =  x = ; y =  MinH(x) =
3
3
3

= (2x  y 1)2 + 3(y +

2

2

y +1)
3

3

2

l) D = 2x + 2xy + 5y  8x  22y

2D = 4x + 4xy +10y 16x  44y = 4x + 4x(y  4) +10y  44y
2

2

2

2

2D = 4x + 2.2x ( y  4 ) + ( y  4 )2 + 10y  44y  y + 8y  16

2

2

2

2

m) E = 2x + 9y  6xy  6x 12y + 2004
2

2

2E = 4x + 18y  12xy  12x  24y + 4008

2

2

)

)




(

2E = 4x 12x ( y + 1) + 9 ( y + 1)2 + 18y  24y + 4008  9 y + 2y + 1
2

2

2

)


2E = ( 2x  y  1)2 + 9y  42y + 3999
2

2

2

n) Q = a + ab + b  3a  3b + 3
2

(

2

2

4Q = a  2ab + b + 3 a + b
2

2

2

) + 4 + 2ab  4a  4b = ( a  b )2 + 3 ( a + b  2 )2

0

2

o) A = x + 6y +14z  8yz + 6zx  4xy

A = x  2x(2y + 3z) + 6y 14z
2

2

2

(

A = x  2x ( 2y + 3z ) + ( 2y + 3z )2 + 6y 14z  4y + 12yz + 9z
2

2

A = ( x  2y  3z )2 + 2y  12yz  23z
2

2

2

2

)

2

p) B(x) = x2 + xy + y2  3x  3y
B(x) = (x2  2x + 1) + (y2  2y +1) + x(y 1)  (y 1)  3 = (x 1)2 + (y 1)2 + (x 1)(y 1)  3
= (x 1)2 + 2(x
y 12


= x 1+




y 1 2 y 1 2
1
) (
) + (y 1)2  3
1). .(y 1) + (
2
2
2
–

y2  2y +1

2 



2
+ y  2y +1 3

4

q) C(x) = 2x + 3y + 4xy  8x  2y +18
2

2

C(x) = 2x 2 + 4xy + 2y 2 + y 2  8x  2y +18 = 2 (x + y) 2  2(x + y)2 + 4 + (y 2 + 6y + 9) +1
= 2(x + y  2)2 + (y + 3)2 +1  1  min A = 1  y = 3; x = 5
r) E(x) = 2x2 + 8xy +11y2  4x  2y + 6
E(x) = 2(x 2 + 4xy + 4y 2 ) + 3y 2  4x  2y + 6 =  2(x + 2y) 2  4(x + 2y) + 2  + 3y 2 + 6y + 4
 x + 2y 1 = 0  x = 3
= 2(x + 2y 1) 2 + 3(y +1) 2 + 1  1  


y +1 = 0
y = 1


2

2

s) C = a + ab + b  3x  3b +1989

C = a + a ( b  3) + b  3b + 1989 = a + 2.a.
2

2

2

2

b 3 + ( b  3 2 + b2  3b + 1989
2
4

2

4C = 4a + 4ab + 4b 12a 12b + 7956
2
2
=  4a + 4a ( b  3) + ( b  3) 2  + 4b 12b + 7956  ( b  3 )2


2
= ( 2a + b  3 )2 + 3b  6b + 7947

t) A = 4y + (4xy  4y) + 3x + 2x + 26
2

2

=  4y + 2.2y. ( x 1) + ( x 1) 2  + 3x + 2x + 26  ( x 1) 2



2

2

A = ( 2 y + x  1)2 + 2x 2 + 4x + 25 = ( x + 2y  1) 2 + 2 ( x 2 + 2x + 1) + 23  23

u) A = x 2 +2y2 + 2xy + 2x  4y + 2013

( b  3)2
4


A = x 2 +2y2 + 2xy + 2x  4y + 2013
= x2 + 2x(y +1) + (y +1)2 + (y  3)2 + 2003  2003
 x = 4; y = 3
v) A = 5x2 + 9y 2 12xy + 24x  48y + 82
A = 5x2 + 9y 2 12xy + 24x  48y + 82
= 9y2 12y(x + 4) + 4(x + 4)2  4(x + 4)2 + 5x2 + 24x + 82
16
= [3y  2(x + 4) ]2 + (x  4) 2 + 2  2x, y  R  x = 4; y =
2

2

3

2

w) B = x + 2y + 3z  2xy + 2xz  2x  2y  8z + 2000

B = x  2x(y z +1) + 2y + 3z  2y  8z + 2000
2

2

2

(

= x 2  2x ( y  z + 1) + ( y  z + 1) 2 + 2y 2 + 3z 2  2y  2z + 2000  y 2 + z 2 + 1  2yz  2z + 2y

(

)

= ( x  y + z 1)2 + y + 2z  4y + 2yz + 1999
2
2
2
= ( x  y + z 1)2 +  y  2y ( z + 2 ) + ( z + 2 )2  + 2z  z + 4z + 4 + 1999


2

2

(

= ( x  y + z 1)2 + ( y  z  2 )2 + z  4z + 1995
2

(

)

)

x) G = ( x  ay )2 + 6 ( x  ay ) + x + 16y  8ay + 2x  8y +10
2
2
G = ( x  ay )2 + 6 ( x  ay ) + 9  + x + 2x + 1 + 16y  8ay  8y


2

2

(

)

G = ( x  ay + 3 )2 + ( x + 1) 2 + 16y  8y ( a + 1) + ( a + 1)2  ( a + 1)2
2

G = ( x  ay + 3)2 + ( x + 1)2 + ( 4y  a  1)2  ( a + 1)2   ( a + 1)2
y) F(x) = 2x2 + 6y2 + 5z2  6xy + 8yz  2xz + 2y + 4z + 2
F(x) = 2x2 + 6y2 + 5z2  6xy + 8yz  2xz + 2y + 4z + 2
3y + z 2

3y + z 2
F(x) = 2x2  2x(3y + z) + 2(
) + 6y2 + 5z2 + 8yz  (
) + 2y + 4z + 2
2
2
3y + z 2 3 2 10
25 2
1 2
= 2(x 
) + (y + yz +
z ) + z + 2y + 4z
+2
2
2
3
9
3y + z 2  3
5
5 3 2 1 2 2
1
= 2(x 
) + (y + z)2 + 2(y + z) + +
+ z+ )+1
2

2


3

3

3 

( z
3

3

3


x

3y + z

=0

)


=
+ 2(...)

3
2

5

2

1





(y + z + ) + (x +1) +1  1  y +
3
3
3

2

2

5 2 2
z+ =0
3

3

 x = 1
1y =  min A = 1





z0 1 =
 +



z) B = 3x2 + 3y 2 +z2 + 5xy  3yz  3xz  2x  2y + 3
3

2
3
y 4
2
B =  z  (x + y)  + (x +  )2 + (y  2)2 +1  1
2
4
3 3
3


aa) G(x) = 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy  2xz  2yz  2x  4y

z = 1



G(x) = 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy  2xz  2yz  2x  4y
= (x 1)2 + (y  2)2 + (x + y  z)2  5  5
 x = 1; y = 2; z = 3
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau bằng cách đưa về HĐT ( a  b )2 ; ( a  b  c ) 2
a) H = x2 + xy  y2  2x + 4y +11

b) D = x  y + xy + 2x + 2y

2

2

c) A = 5  2x2  4y2 + 4xy  8x 12y

d) A = 5  2x  4y + 4xy  8x 12y

e) F = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3

f) E = x  y + xy + 2x + 2y

2

2

2

2

HD:
a) H = x2 + xy  y2  2x + 4y +11

H = x  xy + y + 2x  4y 11 = x  x ( y  2) + y  4y 11
2

2

2

y2

H = x  2x.

2

2

y  4y + 4
2
+ 2
+ y  4y 11 
2
4

(

( y  2 )2
4

½  4H = ( x  y + 2 )2 + 4y 16y  44  y  4y + 4
2

2

2

)

2

b) D = x  y + xy + 2x + 2y

D = x + y  xy  2x  2y = x  x ( y + 2) + y  2y
2

2

2

2

2
y+2 2 2
2
D = x  2x. y + + (
+ y  2y y + 4y + 4
2
) 4
2
4
2

2

c) A = 5  2x  4y + 4xy  8x 12y

A = 2x + 4y  4xy + 8x +12y  5 = 2x  4x( y  2) + 4y +12y  5
2

2

2

2

2
2
= 2  x  2x ( y  2 ) + ( y  2 ) 2  + 4y + 12y  5  2 ( y  2 ) 2

2

2

d) A = x  y + xy + 2x + 2y

(

A = x + y  xy  2x  2y = x  ( xy + 2x ) + y  2y = x  x ( y + 2 ) + y  2y
2



2

2

y+2

2

2

2

2

y + 4y + 4 

 y + 4y + 4 

2

2
A =  x  2x.
+
 + y  2y  
2
4



2x

y
1
3

4

2
 2

A=
4
 +  y  4y + 4 
2
4
3



2


=x
 

4

2

e) F = x + 2xy  4y + 2x +10y  3

F = x  2xy + 4y  2x 10y + 3 = x  2x ( y +1) + 4y 10y + 3
2

2

2

F = x 2  2x ( y + 1) + ( y + 1) 2 + 4y 2 10y + 3  ( y + 1) 2
f) E = x2  y 2 +xy + 2x + 2y

2

2

y+2
2

)
 3y

2

 +
2   4


– 3y 1




E = x2  y 2 +xy + 2x + 2y  4E = 4x2  4y2 + 4xy + 8x + 8y

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán
8
E = 4x2 + 4x(y + 2)  (y + 2)2 + (y + 2)2  4y2 + 8y
= (2x  y  2)2  3(y2  4y) + 4 = (2x  y  2)2  3(y  2)2 +16  16
2x  y  2 = 0  x = 2

E4
y  2 = 0
y=2


Dạng 2. Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc bốn đơn giản
Phương pháp:
a) Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
b) Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
c) Sử dụng các hằng đẳng thức ( a  b )2 , ( a + b + c )2 .
Dạng 2.1 Biểu thức có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Bài 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
4

3

2

4

3

2

a) C(x) = x  4x + 9x  20x + 22

b) D(x) = x  6x + 11x + 12x + 20

c) A(x) = x4  6x3 + 10x2  6x + 9

d) B(x) = x4 10x3 + 26x2 10x + 30

e) C(x) = x4  2x3 + 3x2  4x + 2017

f) A(x) = a 4  2a3  4a + 5

g) D(x) = x4 – x2 + 2x + 7
HD:

a) Biến đổi biểu thức về dạng ( a  b )2
C(x) = ( x 4  4x 3 + 4x 2 ) + 5 ( x 2  4x + 4 ) + 2 = x 2 ( x  2 ) 2 + 5 ( x  2 ) 2 + 2  2

b) D(x) = x 4  6x 3 +11x 2 12x + 20 = x 2 ( x 2  6x + 9 ) + 2x 2 12x + 20
2

2

2

2

2

2

= x (x  3) + 2(x  6x + 9) + 2 = x (x  3) + 2(x  3) + 2  2

c) A(x) = x4  6x3 +10x2  6x + 9
A(x) = x4  6x3 +10x2  6x + 9 = (x4  6x3 + 9x2 ) + (x2  6x + 9)
= (x2  3x)2 + (x  3)2  0 x
 Min A(x) = 0  

x 2  3x = 0  x = 3
x  3 = 0

d) B(x) = x4 10x3 + 26x2 10x + 30
B(x) = x 10x + 26x 10x + 30 = (x  5x) + (x  5) + 5  5  
4

3

2

2

2

2

 x 2  5x = 0
x  5 = 0

x=5

e) C(x) = x4  2x3 + 3x2  4x + 2017
C(x) = x2 (x2 + 2)  2x(x2 + 2) + (x2 + 2) + 2015 = (x 2 + 2)(x 1)2 + 2015  2015  x = 1

f) A = a 4  2a3  4a + 5
A = a 2 ( a 2 + 2)  2a ( a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3 = ( a 2 + 2 )( a 2  2a +1) + 3  3 dấu bằng khi a = 1

g) D(x) = x4  x2 + 2x + 7
Biên soạn: Trần Đình Hoàng
10

081400015
8


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán
8
D(x) = x4  2x2 + 1+ x2 + 2x + 1+ 5 = (x2 1)2 + (x +1)2 + 5  5  x = 1
Dạng 2.2 Biểu thức có dạng

( x + a ) 4 + ( x + b) 4 + ...

a)

D = ( x + 8)4 + ( x + 6 )4

b) F = 2  3 ( x + 1)4  3 ( x  5 ) 4

c)

F = 2  3 ( x + 1) 4  3 ( x 

d) G = ( x + 3) 4 + ( x  7 )4

HD:

5)4

a) Đặt:

D = ( y + 1) 4 + ( y 1) 4 = 2y4 + 12y2 + 2  2

x+7=y
½

b) Đặt: x + 3 = y
c) F = 2  3 ( x + 1)4  3 ( x  5 ) 4
Đặt x  2 = t ½

(

F = 2  3 ( t + 3)4  3 ( t  3)4

)

2

(

)

2

4

(

2

4

F = 3 t + 6t + 9 2 + 3 t  6t + 9 2  2 = 6t + 324t + 484 = 6 t + 54t

(

2

)+

)

2

484 F = 6 t + 27 2 + 3890  3890
d) G = ( x + 3) 4 + ( x  7 )4
Đặt x  2 = t
½
4

(

)

(

)

G = ( t + 5)4 + ( t  5)4 = t + 10t + 25 2 + t 10t + 25 2
2

(

4

2

2

)

4

(

2

2

)

4

G = 2t + 300t +1250 = 2 t + 2.75t + 5625 10 = 2 t + 75 2 10  10
Dạng 2.3 Biểu thức có
dạng

4

x ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d )( x + e) + ...

Bài 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau

Biên soạn: Trần Đình Hoaøng
11

081400015
8


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán
x + 3 )( x + 4)
a) B = ( x +1 )( x + 2 )( 8
b) B = ( x 1)( x  3) ( x 2  4x + 5 )
c) A = x ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6) + 8

d) D = ( x + 1) ( x 2  4 ) ( x + 5 ) + 2014

e) A = ( x 2 + x  6 )( x 2 + x + 2 )

f) C = ( x 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 6)

g) D = ( 2x 1)( x + 2 )( x + 3 )( 2x +1)

h) C = ( x +1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4) + 2011
j) A = x ( x  7 )( x  3)( x  4)

i) G = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)  2006
HD:
a) B = ( x +1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4)

B = ( x +1)( x + 4 )( x + 2 )( x + 3) = ( x + 5x + 4 )( x + 5x + 6 )
2

2

Đặt

2
x + 5x + 5 = t , Khi đó: B = ( t 1)(t +1) = t 1 1
2
2
t =0
x + 5x + 5 = 0
5 
5
º
Dấu “ = “ khi º
x=
2

2

b) B = ( x 1)( x  3 ) ( x  4x + 5 )
2

B = ( x  4x + 5 )( x  4x + 5 )
2

2

, Đặt x  4x + 4 = 0 . Khi đó:

2

B = ( t 1)(t +1) = t 1  1 , Dấu “ = “ khi
2

c) A = x ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6) + 8

2

t =0
º

t=2

2

x  4x + 4 = 0º

A = x ( x + 6 )( x + 2 )( x + 4 ) + 8 = ( x + 6x )( x + 6x + 8) + 8

2

2

Đặt

2
x + 6x + 4 = . Khi đó: A = ( t  4 )( t + 4) + 8 = t 16 + 8 = t 8  8
t
 x = 3 +
5
2
2
Dấu “ = “ Khi đó: t = 0

x + 6x + 4 = 0

2

º

 x = 3 

º

2

5

d) D = ( x + 1) ( x  4 ) ( x + 5 ) + 2014

2

D = ( x +1)( x + 2 )( x  2 )( x + 5) + 2014 = ( x + 3x 10 )( x + 3x + 2 ) + 2014
2

2

Đặt

2
x + 3x  4 = t . Khi đó: D = ( t  6 )( t + 6) + 2014 = t +1978
2
2
t = 0 x + 3x  4 = 0º  x = 1
Dấu “= “ xảy ra khi: º

 x = 4

2

e) A = ( x + x  6 )( x + x + 2 )
2

Đặt

2

2
x + x  2 = t . Khi đó: A = ( t  4 )( t + 4) = t 16  16

t=0
Dấu “ = “ xảy ra khi: º

2

2

x + x  2 = 0º

x = 1

 x = 2

f) C = ( x 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 6)
Biên soạn: Trần Đình Hoàng
12

081400015
8


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán
2
2
C = ( x 1)( x + 6 )( x8+ 2 )( x + 3) = ( x + 5x  6 )( x + 5x + 6 )
Đặt

x + 5x = t . Khi đó: C = ( t  6 )( t + 6) = t  36  36
2

2

t=0
Dấu “ = “ khi º

2

x + 5x = 0
º

x = 0

 x = 5

g) D = ( 2x 1)( x + 2 )( x + 3 )( 2x +1)
D = ( 2x 1)( x + 3)( x + 2 )( 2x +1) = ( 2x + 5x  3)( 2x + 5x + 2 )
2

2


2
2
Đặt 2x + 5x = , Khi đó: D = ( t  3)( t + 2) = t  t  6 = t 
t
1
1
2

t=

2x + 5x =
º
5 
29
Dấu “ = “ khi: º
x=
2
2
h) C = ( x +1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4) + 2011

1 2 25 25
 – 
2

4

4

4

C = ( x +1)( x + 4)( x + 2)( x + 3) + 2011 = ( x 2 + 5x + 4 )( x 2 + 5x + 6 ) + 2011
2

Đặt x + 5x + 5 = t . Khi đó: C = ( t 1)( t + 1) + 2011
º
2

x + 5x + 5 = 0
º

x=

5 

5
2

i) G(x) = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)  2006

Biên soạn: Trần Đình Hoàng
13

081400015
8


G(x) = (x 2 + 5x  6)(x 2 + 5x + 6)  2006 = (x 2 + 5x) 2  2042  2042 

x = 0


x = 5

j) A = x ( x  7 )( x  3)( x  4 ) = ( x  7x )( x  7x +12 ) ,
2

Đặt

2

x2  7x + 6 =t Khi đó: A = (t  6 )( t + 6) = t2  36  36
2

t =0
Dấu “ = ” khi º

2

x  7x + 6 = 0º

x = 1

x = 6

Vậy Min A =  36 khi x = 1 hoặc x = 6
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức
sau

E = 5 + (1 x )( x + 2 )( x + 3)( x + 6)

HD:
E = 5  ( x 1)( x + 6 )( x + 2 )( x + 3) =  ( x + 5x  6 )( x + 5x + 6 ) + 5
2

Đặt

2

2

x + 5x = t .

Khi đó: E =  ( t  6 )( t + 6 ) + 5 =  ( t  36 ) + 5 = t + 41  41
2
2
t =0
x + 5x = 0
x = 0
Dấu “ = “ Khi º
º

 x = 5
2

2

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau
C = (x  1)(x  4)(x  5)(x  8) + 2002
Giải: Ta có: C = (x  1)(x  4)(x  5)(x  8) + 2002
= (x  1)(x  8)(x  4)(x  5) + 2002
= (x2  9x + 8) (x2  9x + 20) + 2002
= [(x2  9x + 14)  6].[(x2  9x + 14) + 6] + 2002
= (x2  9x + 14)2  36 + 2002
= (x2  9x + 14)2 + 1966  1966 vì (x2  9x + 14)2  0 x
 MinC = 1966  x2  9x + 14 = 0 

x = 2

Vậy MinC = 1966 


x=7

Bài 4. Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:

x = 2

x = 7

( x + 1)( x + 2 )2 ( x + 3)  m

HD:
VT = ( x +1)( x + 3)( x + 2 ) 2 = ( x + 4x + 3)( x + 4x + 4 )
2

2

Đặt x + 4x = t , Khi đó:

2

7

49

49



7 2

1

1

2
2
VT = ( t + 3 )( t + 4) = t + 7t +12 = t + 2.t. + +12 
=t +

 
2 4
4 
2
4 4


Dạng 3. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức dạng
A=

Dạng 3.1 Biểu thức dạng
hoặc dương:
Phương pháp giải:
1. Biểu thức dạng A =

m

A
B

với m là hằng số hoặc m đã xác định được âm

ax2 + bc +
c

m
khi đó A  (ax2 + bc + c)
ax + bc +
max
c

hoặc A

2

min

 (ax 2 + bc + c)
min

max

2. Bên cạnh việc biến đổi về tổng các bình phương, ta sử dụng thêm tính chất nghịch đảo:
Nếu a  b ½

1 1a
 b

3. Sử dụng cả biểu thức Denta để tìm GTNN hoặc GTLN rồi mới biến đổi thêm bớt.
4. Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm.

 Ta đưa về dạng:
C

A=m+
C


D D

0






Bài 1. Tìm Min của các biểu thức sau:
a) A =

2
2
6x  5  9x
d) D =
6
2
x + 2x  3
g) B =
2
2
x +x+4

k) A =
3y2

1
x  4x + 9
2
e) K = 2
x +8
5
h) A =
2
x  2x  5
b) B =

(x  0)

l) C =

HD:
25x2 + 20xy  5y2

3
x  5x +1
1
f)A
2
9x 12x +10
=
1
2

i) B = x  4x +11
c) C =

2

(x  0)

2

2

y

9x2 12xy + 5y2

(

)

a) Ta có: 9x + 6x  5 =  9x  6x + 1 + 4 =  ( 3x 1)2  4  4
2

2

½

2

k) C =

2

=

6x  5  9x

2

 ( 3x 1)2  4

y2
9x 12xy + 5y
2

2

(x  0)



2
=
4

1
2

9

x2

y

12
2

x
+5
y

2

Ta có: y = 0  A = 0

1

y0A=

½ A

, Dấu “ = ” khi

1

Đặt t =

x
y

x=

1
3


1

A=

1

=

9t 12t + 5

2

l) Ta có: y = 0  A = 0
y0A=

Vì A =

2

(3t  2) +1

2

–

1 t =

3

x2
25

x=
3

2

y

(Đặt t =

x
+ 20

y

2

y
3

x
)
y

5

3
3
 1  A  3  t =
=
2
25t + 20t  5
(5t  2)2 +1

2

x=

2

y

5

5

Dạng 3.2 Phương pháp giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức
đại số
dạng

ax2 + bx + c
a ' x2 + b' x + c
'

Phương pháp giải:

1. Thực hiện phép chia tử thức cho mẫu thức để đưa biểu thức về dạng

đưa biểu thức về dạng

A(x)

+

a ' x2 + b ' x +
n
mc'

+ c với A(x)  0 với mọi x
B(x)
B(x)

2. Biến đổi biểu thức về dạng m +

n

ax + b

p

+

rồi đặt ẩn phụ đối với phân thức có mẫu

(ax + b)2

thức là bình phương của một đa thức bậc nhất

m+

Dạng 3.2.1 Thực hiện phép biến đổi đưa phân thức về
dạng

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại
số

n
a ' x2 + b ' x + c '

3x2 + 6x + 10
A(x) = 2
x + 2x + 3

HD:
Từ A(x) = 3x2 + 6x +10
x2 + 2x + 3 2
3x + 6x + 9 + 1 3(x2 + 2x + 3) + 1
1
=
3
+
Ta có A(x) = A(x) =
=
x2 + 2x + 3
(x + 1)2 + 2
x2 + 2x + 3

Vì (x + 1)2  0 với  x nên (x + 1)2 + 2  2 với  x.
1
1
1
1
1
Do đó:

Vậy A(x) = 3 +
3+ =3
(x + 1)2 + 2 2
(x + 1)2 + 2
2
2
Max A(x) = 3

1

2

hoặc

khi (x + 1)2 = 0  x = –1

Bài 2. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:
2x2 16x + 41


2

3x  6x +17
a) B(x) =

x  8x + 22

HD:
a) Từ B(x) = B(x) =

b) Q
=

với x  R

2

2x2 16x + 41

2

x  2x + 5

2(x2  8x + 22)  3

3

=
=2
x 2  8x + 22
x2  8x + 22
(x  4)2 + 6

Vì (x  4)2  0 với x nên (x  4)2 + 6  6.
Nên
3
3 1
(x  4)2 + 6  6= 2
3
1 3
3
 B(x) = 2 
2 =
Min B(x) =
khi (x  4)2 = 0  x = 4
2
2
(x  4) + 6
2 2
2
2
b) Ta có : Q = 3 +
, mà x  2x + 5 = ( x 1)2 + 4  4 ½
2
 2=1
2
2
x  2x + 5
x  2x + 5 4 2
Bài 3. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:
b) A = 2
3x2 12x + 10
6x + 2x +19

a) F
2
x  4x + 5
3x2 + x + 7
=
HD:

a) Ta có: F =

3x2 12x + 10
x2  4x +5

5
=3

5

2

x  4x + 5

=3

2

(x  2) +1

 3  5 = 2

Do (x  2)2 + 1  1 

5
 5  x = 2
(x  2)2 +1
6x2 + 2x +19 2(3x2 + x + 7) + 5
5
b) Ta có: A =
=
=2+
3x2 + x + 7
3x2 + x + 7
3x2 + x + 7
1
1
83 83
Đặt M = 3x2 + x + 7 = 3(x + )2 + 
x=
6
12 12
6
A

=M

A

=2+

5

=2

60

83
83
12
Bài 4. Tìm min hoặc max của các biểu thức sau:
2
2x 16x + 71
a) I = 2
x  8x + 22
max

HD:

min

max

a) Hạ phép chia ta được :

I=2+

27
2

x=

1

6
2

b) N =

2x + 4x + 9
2

x + 2x + 4

, mà x2  8x + 22 = x(  4 2 + 6  6

x  8x + 22
1
N
=
2
+
b) Hạ phép chia ta được :
, mà x 2 + 2x + 4 = ( x + 1)2 + 3  3
2
x + 2x + 4
2
3x 12x +10
Bài 5. Tìm min hoặc
max
của
các
biểu
thức

sau:
2
x  6x + 23


a) A
=

x 2 6x +10
4x  6x + 3

b) C
=

b) G = 2x2  3x + 2

c) D
=

2

HD:
13

a) Ta có : A = 1 +

x

2

x4 + x2 +1

13

=1+

2

2

x  4x + 5

2

x  6x + 10
(x  3) + 1
5
5
b) Ta có : C = 3 +
=3+
2
2
x  4x + 5
(x  2) + 1
1
c) Ta có : G = 2 +
2
2x  3x + 2

1

2

x

d) Ta có : D = 4
2
x + x +1
½

D

= x2 +

1

(Áp dụng Cơsi )

+1  3

2

x

Dạng 3.2.2 Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức
Bài 1. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:
2

2x  6x + 5
2

x  2x +1

2x2 10x 1
(x  1)
x2  2x + 1
2x + 3
2x + 3
2(x  1) + 1
2
1
HD:
a) Ta có: Q = 2 +
=2+
=2+
=2
+
a) Q
=

b) M =

2

Đặt

2

2
x  2x + 1
(x  1)

(x  1)
2
2
, khi đó ta có: Q = t  2t + 2 = (t  1) + 1  1

1
x 1 = t

2x2 10x 1
b) Ta có: M =
Đặt

1

x2  2x + 1

2(x2  2x + 1)  6(x 1)  9
=

=2

(x 1)2
2

x 1

6

(x 1)

2

9



x  1 (x 1)2

2

= t , khi đó ta có: M =  9t  6t + 2 = (3t + 1) + 3  3

x 1
Bài 2. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:

HD:

2

a) A =

2

2x + 4x + 4

b) B =

x2

a) Ta có : A = 2 + 4 + 4 2

x x

x  4x +1

c) H =

x2
, Đặt 1
x

2

4

x +1

(x
+1) 2
2

2

= t ½ A = 4t + 4t + 2 = (2t + 1) + 1  1


b) Ta có: K = 1

½

4

1

x

x

, đặt

2

2

1

2

x

2

x +1 = t

K = t  4t + 1 = ( t  2 )2  3  3

=t

4

x = t 1

2

x = t  2t +1
H=

c) Đặt
Đặt

1

=a

½

2x +1 = t

x=

t 1

( x + 2000 )2

t  2t +1

t

t2

t

c) Đặt x + 2016 = t
½

½

=a

t

x = t 10 ½ B = t 10 = 1 10

x + 10 = t
½

x

f) F =

2

2

t2

1

2

t

t

2

2

A = 1  5a + 5a

t

, Đặt
½

1

=a

2

B = 10a + a

t

x = t  2016 ½ C = t  2016 = 1  2016 ,

C = a  2016a

2

2

t

t

2

t

t

2000 , Đặt
1
2
=a
2
D = 1  2a + 2000a
x
½
x
2
x  2x + 2015
2 2015
= 1 +
e) Ta có : 2015E =
,
2
2
x
x

x
d) Ta có : D = 1 

Đặt

2

t

x
c) C = ( x + 2016) 2

x =
, Khi đó :
½
½
4
2
2
2
t  2t + 1  3( t 1) + 1 t  5t + 5
1
5 5
A
1
, Đặt = a
=
=
= 
½

+

Đặt

t

2

2

HD:

b) Đặt

=1

H = 2a  2a + 1

t
Bài 3. Tìm Min hoặc
Max của các biểu thức sau:
2
4x  6x +1
x
A
a)
b) B ( x +
( 2x
=
= 10

)2
+1) 2
2
2
x  2x + 2015
x  2x + 2000
d) D =
e) E =
2
2
2015x
x

a) Đặt

 2

2

t  2t +1+1

2

1

+
x

=a ½

2

2015E = 1  2a + 2015a ½

2