Tài liệu Sức bền vật liệu P10 doc

1
Chơng 10.
Tính chuyển vị của hệ thanh
I. Các Khái niệm chung
Chơng ny sẽ trình by một phơng pháp tổng quát để tính
chuyển vị của các thanh có dạng bất kỳ (nh khung, thanh
cong,...) chịu lực bất kỳ. Những phơng pháp ny dựa trên các
nguyên lý về năng lợng đợc gọi l
phơng pháp năng lợng
.
Một số các phơng pháp hay sử dụng đối với hệ thanh đn
hồi tuyến tính: phơng pháp dựa trên định lý Castigliano, định
lý tơng hỗ Betti hoặc Maxwell, công thức Maxwell-Mohr,
Khi nghiên cứu cách xác định chuyển vị của hệ thanh đn
hồi tuyến tính ta thừa nhận một số
giả thiết
sau:
- Tải trọng gây ra chuyển vị l tải trọng tác dụng tĩnh.
- Chuyển vị của hệ tuân theo nguyên lý cộng tác dụng.
Để xác định chuyển vị của hệ thanh ta có thể tiến hnh theo
một trong hai hớng:
- Xuất phát từ nguyên lý bảo ton năng lợng, xác định
chuyển vị theo thế năng biến dạng đn hồi.
- Xuất phát từ nguyên lý công khả dĩ của hệ thanh.
II. TNH CHUYN V THEO TH NNG BIN DNG N HI
1. Công của ngoại lực, nội lực thế năng biến dạng đn hồi
Di tỏc dng ca ngoi lc vt th b bin dng, lm dch chuyn
im t ca lc ngoi lc s sinh cụng - ú l cụng ca ngoi lc. Cụng
ca ngoi lc, ký hiu l A
ng

, l cụng dng vỡ gõy ra cỏc chuyn v.
Cụng ca cỏc ni lc sinh ra trờn nhng bin dng n hi ca h c
gi l Cụng ca ni lc, ký hiu l A
n
, l cụng õm vỡ ngn cn chuyn v.
Theo nguyờn lý bo ton nng lng thỡ mt h bin dng n hi
trng thỏi cõn bng s tho món iu kin:
A
ng
= - A
n
(10-1)
Nu lc tỏc dng lờn vt l tnh, vt lm vic trong gii hn n hi v
b qua cỏc mt mỏt nng lng do cỏc hin tng nhit, in t, , trong
quỏ trỡnh lý tng, theo nguyờn tc bo ton nng lng ta cú th coi: ton
b cụng ca ngoi lc A
ng
c chuyn húa thnh th nng bin dng n
hi U tớch ly trong vt th:
A
ng
= U = - A
n
(10-2)
Th nng bin dng n hi c tớnh nh sau:

2
⇒ Khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm: U
1
=

=
∑
∫
i
l
2
n
i1
0
N
dz
2EF
(10-3)
⇒ Khi thanh chịu uốn ngang phẳng:
U
2
=
==
+η
∑∑
∫∫
ii
ll
22
nn
i1 i1
00
MQ
dz dz
2EJ 2GF

(10-4)
trong đó η là hệ số điểu chỉnh, kể tới sự phân bố không đều của ứng suất
tiếp. Hệ số này phụ thuộc vào hình dạng của tiết diện, ví dụ, mặt cắt tròn η =
1,18; mặt cắt hình chữ nhật η = 1,2; tiết diện hình ống mỏng η = 2.
⇒ Khi thanh chịu xoắn: U
3
=
i
l
2
n
z
i1
p
0
M
dz
2GJ
=
∑
∫
(10-5)
⇒ Tæng qu¸t thế năng biến dạng ®μn hồi :
U =
=
∑
∫
i
l
2

n
i1
0
N
dz
2EF
+
==
+η
∑∑
∫∫
ii
ll
22
nn
i1 i1
00
MQ
dz dz
2EJ 2GF
+
i
l
2
n
z
i1
p
0
M

dz
2GJ
=
∑
∫
(10-6)
⇒ Ðối với bài toán phẳng, trên các MCN của thanh chỉ có 3 thành phần
nội lực: N, Q, M nên:
U =
i
l
2
n
i1
0
N
dz
2EF
=
∑
∫
+
==
+η
∑∑
∫∫
ii
ll
22
nn

i1 i1
00
MQ
dz dz
2EJ 2GF
(10-7)
2. Xác định chuyển vị trực tiếp theo thế năng biến dạng đàn hồi
⇒ Phương pháp này chỉ sử dụng khi trên hệ có một lực tác dụng, ví dụ lực
P. Yêu cầu xác định chuyển vị Δ có vị trí và phương tương ứng với lực P:
A
ng
=
1
P
2
Δ
= U Æ
2U
P
Δ=
(10-8)
⇒ Chú ý đến (10-7), ta có thể xác định Δ theo công thức sau:

ii i
ll l
22
2
nn n
i1 i1 i1
x

00 0
MQ
2U 2 N
dz dz dz
PP 2EF 2EJ 2GF
== =
⎡⎤
Δ= = + + η
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∑∑ ∑
∫∫ ∫
(10-9)
⇒
Ví dụ 10.1. Xác định độ võng tại đầu tự
do của dầm cho trên hình 10-1. Bỏ qua ảnh
hưởng của lực cắt và lực dọc.
Trong trường hợp này ta có:

223
00
M(Pz)P
21
dz dz
P 2EJ P EJ 3EJ
Δ= = =
∫∫
ll
l

l
H×nh 10.1
P
z

3
2. Xác định chuyển vị theo định lý Castigliano
⇒
Định lý Castigliano: “Ðạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi
theo một lực nào đó bằng chuyển vị theo phương tác dụng của lực đặt tại
điểm đó”.

k
k
U
P
∂
Δ=
∂
(10-10)
⇒
Chứng minh (hình 10-2)
⇒
Giả sử tăng lượng P
k
lên
một lượng vô cùng bé dP
k
thì

độ võng của dầm tại các điểm
đặt lực sẽ tăng lên các lượng
d
Δ
1
, d
Δ
2
,...,d
Δ
k
,...,d
Δ
n

⇒
thế
năng biến dạng đàn hồi cũng sẽ
tăng lên một lượng là dU.
⇒
Nếu vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi thì thế năng biến dạng là
một hàm của tải trọng, do đó dU cũng là một hàm của tải trọng.
U = f(P
i
) => dU = df(P
i
)
⇒
Thế năng biến dạng U sẽ tăng một lượng là:

k
k
U
dU dP
P
∂
=
∂
(10-11)

⇒
Sau khi biến dạng, lực dP
k
thực hiện một công là: dA = dP
k
.
Δ
k

⇒
Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng: dA = dU
⇒
(đpcm)
⇒
Giả sử trên dầm có mômen tập trung tác dụng, tương tự ta có biểu thức
của định lý Castigliano viết cho góc xoay tại vị trí mômen tập trung là:

k
k
U

M
∂
θ=
∂
(10-12)
Với U biểu diễn trong (10-7), ta có:
== =
∂∂ ∂
Δ= + + η
∂∂ ∂
∑∑ ∑
∫∫ ∫
ii i
ll l
nn n
k
i1 i1 i1
kxk k
00 0
NN MM QQ
dz dz dz
EF P EJ P GF P
(10-13)
== =
∂∂ ∂ ∂
θ= = + + η
∂∂ ∂ ∂
∑∑ ∑
∫∫ ∫
ii i

ll l
nn n
k
i1 i1 i1
kkxk k
00 0
UNN MM QQ
dz dz dz
M EFM EJ M GFM
(10-14)
⇒
Chú ý: định lý Castigliano chỉ xác định được độ võng và góc xoay ở
điểm có đặt lực tập trung và mômen tập trung
⇒
muốn xác định độ võng và
góc xoay tại một điểm bất kỳ không có lực tập trung và mômen tập trung thì
ta đặt vào đó lực tập trung giả tạo P
gt
=0 và mômen tập trung giả tạo M
gt
=0.
P
2
…
P
k
H×nh 10-2
Δ
2
Δ

k
Δ
1
P
1
P
n
Δ
n

4

Vớ d 10.2: xỏc nh vừng v gúc xoay ti u B ca dm chu lc
nh hỡnh 10.3. B qua nh hng ca lc ct.
Gii: vỡ khụng k n nh hng ca lc ct Q nờn:
vừng:

=


B
0
MM
dz
EJ P
l
.
Do M= -P.z =>
M
z

P

=


Thay vo biu thc trờn ta c
vừng:
=
3
B
P
3EJ
l

é tớnh gúc xoay ta thờm vo mụmen gi to M
gt
.
Ta cú: M = M
gt
- P.z ặ

=

gt
M
1
M


()

= = = =


2
Bgt
gt gt
00
UMM 1 P
dz M P.z .1.dz
M EJ M EJ EJ
ll
l
; vỡ M
gt
= 0.
Du (-) chng t gúc xoay ti B ngc chiu M
gt
.
Ghi chỳ:
nu k n nh hng ca lc ct Q thỡ:


= +


B
00
MM Q Q
dz dz

EJ P GF P
ll
.
Vi Q = P


Q
1
P

=




= +
3
B
PP
3EJ GF
ll

iii. tính chuyển vị theo nguyên lý cÔNG KHả Dĩ
3.1. Công khả dĩ của ngoại lực, nội lực, nguyên lý di chuyển khả dĩ
3.1.1 Chuyển vị khả dĩ

Chuyển vị khả dĩ
hoặc biến dạng khả dĩ
đợc hiểu l bất cứ một
dạng chuyển vị hay biến

dạng no đảm bảo đợc
các điều kiện liên kết
của hệ (các điều kiện
biên hình học của hệ).

Ví dụ với hệ hình 10.4, những chuyển vị theo đờng đn hồi
thoả mãn điều kiện l độ võng tại hai gối tựa bằng không l những
chuyển vị khả dĩ.
P
1
P
2
A
B
Hình 10-4

M

1

2
l
Hình 10.3
P
z
M
gt
EJ
GF
A

B

5
3.1.2 Công khả dĩ của ngoại lực
⇒
Công khả dĩ là công sinh ra bởi các lực trên các chuyển vị và biến dạng
khả dĩ do một nguyên nhân bất kỳ gây ra (có thể là tải trọng, nhiệt độ, …).
⇒
Xét một hệ đàn hồi tuyến tính ứng với hai trạng thái “k” chịu lực P
k
và
“m” chịu lực P
m
như hình 10.5.

⇒
Ký hiệu
Δ
km
là chuyển vị khả dĩ tương ứng với lực P
k
(có vị trí và
phương tương ứng với lực P
k
) do
nguyên nhân ở trạng thái “m” gây
ra.
⇒
Ví dụ trên hình 10.6:
Δ

kk
là
chuyển vị theo phương của lực P
k

do lực P
k
gây ra chuyển vị này.
Δ
mm
là chuyển vị theo phương của
lực P
m
do lực P
m
gây ra chuyển vị
này.
⇒
Ký hiệu
ng
km
A
là công khả dĩ
của ngoại lực ở trạng thái “k” sinh
ra trên các chuyển vị tương ứng ở trạng thái “m”. Ta có:

ng
km k km
AP.=Δ
(10-16)

⇒
Trong trường hợp có nhiều lực tác dụng, công khả dĩ của ngoại lực có
dạng:

ng
km ik km
i
AP.=Δ
∑
(10-17)
3.1.3 Nguyên lý công khả dĩ
⇒
Nếu hệ biến dạng đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của các lực thì tổng
công khả dĩ
ng
km
A
của các ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ tương ứng
và công khả dĩ của các nội lực
n
km
A
trên những biến dạng đàn hồi khả dĩ
tương ứng phải bằng không, có nghĩa:

ng
km
A
+
n

km
A
= 0 hay
n
ik km km
i
P. A 0Δ +=
∑
(10-18)
P
k
“k”
H×nh 10-5
“m”
Δ
km
P
m
dz
dz
P
k
H×nh 10-6
Δ
kk
P
m
Δ
km
Δ

mm
§−êng ®μn håi do lùc P
k
t¸c dông
§−êng ®μn håi do lùc P
k
vμ P
m
t¸c dông

6
3.1.4 Công khả dĩ của nội lực
⇒
Tính công khả dĩ của nội lực trên toàn chiều dài của hệ: tách khỏi hê
một đoạn chiều dài dz và biểu diễn các thành phần nội lực như trên hình 10.7

⇒
Ở trạng thái “k”, trên phân tố có các lực dọc N
k
, mômen uốn M
k
, lực cắt
Q
k
(hình 10.7a). Đối với phân tố đang xét các thành phần này là ngoại lực.
⇒
Ở trạng thái “m” tại vị trí tương đương cũng tách ra phân tố có chiều
dài dz. Các thành phần nội lực ký hiệu là N
m
, M

m
, Q
m
chúng gây ra các biến
dạng khả dĩ (hình 10.7b,c,d).
⇒
Công khả dĩ phân tố của các lực ở trạng thái “k” trên các biến dạng khả
dĩ tương ứng ở trạng thái “m” là:
ng
km k m km
km k k k
N N dz M M dz Q Q dz
dA N dz M d Q ds
EF EJ GF
⎡ ⎤
=Δ+Δϕ+Δ= + +η
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(10-19)
⇒
Theo (10-18), ta có:

ng n
km km
dA dA=−
(10-20)
⇒
Do đó công khả dĩ phân tố của các n
ội
lực:

n
km k m km
km
N N dz M M dz Q Q dz
dA
EF EJ GF
⎡⎤
=− + +η
⎢⎥
⎣⎦
(10-21)
⇒
Trên toàn hệ, công khả dĩ của nội lực sẽ là:

n
km k m km
km
N N dz M M dz Q Q dz
A
EF EJ GF
⎡⎤
=− + + η
⎢⎥
⎣⎦
∑∑ ∑
∫∫ ∫
(10-22)
⇒
Từ (10-22), (10-20) và (10-17) ta có:

km k m km
ik km
i
N N dz M M dz Q Q dz
P.
EF EJ GF
Δ= + + η
∑∑ ∑ ∑
∫∫ ∫
(10-22)
⇒
Công thức trên biểu thị sự cân bằng giữa công khả dĩ của ngoại lực tác
dụng lên hệ ở trạng thái “k” trên những chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng
thái “m” với công khả dĩ của nội lực ở trạng thái “k” trên những biến dạng
khả dĩ tương ứng ở trạng thái “m”.
Δds
dz+Δdz
Q
k
Q
k

M
k

M
k

N

k

N
k

N
m

N
m
dz
Q
m
Q
m

dz
γ
tb
a)
b)
d)
dz
Δdϕ
M
m

M
m
c)

H×nh 10.7
“k” “m”