TỰ học TOÁN 8 PHẦN 7 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

Tự học tốn 8

Chương
4

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Bài 1
ĐỊNH LÍ TA LÉT

Tóm tắt lý thuyết

Chương III bắt đầu bằng việc nghiên cứu tỉ số của hai đoan thẳng, đó là tỉ số các độ dài của
chúng theo cùng một đơn vị đo.
Cho đoạn thẳng
cho

và một tỉ số

. Điểm

đoạn thẳng

thẳng

đoạn thẳng

gọi là điểm chia trong đoạn thẳng

theo tỉ số

Cho đoạn thẳng

, tồn tại duy nhất một điểm

nhưng nằm ngồi đoạn thẳng

Trên hình 1 , điểm

theo tỉ số

sao

(khi đó điểm

chia

.

và một tỉ số

theo tỉ số

thuộc đoạn thẳng

(khi đó điểm

, tồn tại duy nhất một điểm
sao cho

. Điểm

chia ngoài đoạn thẳng

chia trong đoạn thẳng

theo tỉ số

, điểm

thuộc đường

gọi là điểm chia ngoài

theo tỉ số
chia ngồi

.
theo tỉ

số

Nếu

thì ta có các căp đoan thẳng tỉ lệ: cặp đoạn thẳng

1
Nhóm word hóa tài liệu

và

tỉ lệ với cặp đoạn


Tự học tốn 8
thẳng
và
Dịnh lí Ta-lét cho ta các cặp đoan thẳng tỉ
lệ: Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì định ra
trên hai đường thẳng chứa hai cạnh kia các cặp đoạn thẳng tương
ứng tỉ lệ (do đó tạo với các đường thẳng chứa hai cạnh kia một
tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam
giác ban đầu).

Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình thoi nội tiếp tam giác thuộc thuộc thuộc
1 Tính cạnh hình thoi biết . Tổng quát với .
2. Chứng minh rằng với .
3. Tính độ dài , biết , cạnh hình thoi bằng .

Lời giải

1. Gọi cạnh hình thoi là
định lí Ta-lét vào

. Áp

dụng

với

, ta có:

Tổng quát,

.

2
Nhóm word hóa tài liệu


Tự học toán 8
2. Trên tia đối của tia

lấy điểm

dụng định lí Ta-lét vào

sao cho

với

. Ta có

cân, từ đó

. Áp

ta có:

(1)

Trong

, ta có:
(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

3. Áp dụng định lí Ta-lét vào

với

ta có:

.

Tương tự

.

Chú ý: Từ kết quả của câu b, ta có:

Do đó, nếu goi

là các dường phân giác của

và

thì

.

Ví dụ 2. Cho tam giác . Lấy các điểm tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh sao cho Gọi là giao điểm của các đường thẳ

Lời giải

3
Nhóm word hóa tài liệu


Tự học toán 8

Cách 1: Để làm xuất hiện một tỉ số bằng
vẽ qua đường thẳng
Ta-lét, ta có:

, ta

. Theo định lí

.
Trong hai tỉ số trên, ta chú ý đến tỉ số sau, vì độ dài

Ta thay

bằng

và tỉ số này bằng

được nêu trong giả thiết

.

(vì

Cách 2:
Vẽ

ta có:

.

Cách 3: Vẽ

. Ta có:

Nhận xét: Trong các bài tập vận dụng định lí Ta-lét, nhiều khi ta cần vẽ thêm một đường thẳng song
song với một đường thẳng cho trước.
Đây là một cách vẽ được phụ hay dùng, vì nhờ đó mà tạo thêm được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
.

Ví dụ 3. Cho hình thang có . Gọi là giao điểm của hai đường chéo, là giao điểm của và . Đường thẳng cắt theo thứ tự ở Chứn
a)
b)
c)

4
Nhóm word hóa tài liệu


Tự học tốn 8

Lời giải

1. Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác

với

, ta có:

(1)
2. Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác

với

, ta có:

(2)
3. Nhân từng vế (1) với (2) ta được:

tức là
Từ đó

.

Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta suy ra:
Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường
chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai cạnh
đáy.
Tính chất này có nhiều ứng dụng quan trọng, được gọi là bổ đề hình thang.
5

Nhóm word hóa tài liệu


Tự học toán 8

Bài tâp tự luyện

 Bài 1. Trong hình thang

có

đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt
rằng

Gọi

, vẽ một

Lời giải

theo thứ tự ở

và

. Tính độ dài

biết

.

là giao của

lí Ta-lét cho

và

. Áp dụng định

nên ta có:

Vì
Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác

ta có:

Vậy
 Bài 2. Gọi

là giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên

. Đường thẳng đi qua

và song song với

cắt các đường thẳng

. Chứng minh rằng
Lời giải

Vì

nên ta có

(1)
Áp dụng định lí Ta-lét cho tam
giác

ta có

6
Nhóm word hóa tài liệu

của hình thang
theo thứ tự ở


Tự học tốn 8

Từ

và

suy ra

 Bài 3. Cho hình thang

có các cạnh đáy

chéo, kẻ đường thẳng song song với

, cắt

. Qua giao điểm
và

theo thứ tự ở

và

của hai đường

. Chứng minh rằng

Lời giải

Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác

Vậy

, ta có

.

 Bài 4. Cho hình thang
cạnh bên

. Một đường thẳng

theo thứ tự ở

1. Chứng minh rằng

và cắt hai đường chéo

sao cho
Lời giải

Vì

nên áp dụng định lý Ta-lét ta có
7

Nhóm word hóa tài liệu

theo thứ tự ở

.

2. Hãy nêu cách dựng đường thẳng

1

song song với hai cạnh đáy cắt hai

.


Tự học toán 8

Suy ra

2

Gọi

là giao điểm của

và

Suy ra

.

Vậy ta dựng đường thẳng
và

. Kẻ đường thẳng

 Bài 5. Tam giác
và

trên
cắt

Gọi

. Khi đó

như sau: Lấy

đi qua

và song song với

có

. Gọi

là giao của

ta được đường thẳng cần tìm.

. Hình chiếu của

theo thứ tự là
ở

là trung điểm của

Lời giải

và

. Đường trung trực của

. Tính độ dài

là trung điểm của
. Khi đó,

nằm giữa

. Ta xét hai trường hợp sau
và

Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác
. Khi đó,

nằm giữa

và

nên

, suy ra

ta có
nên

, suy ra

.
Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác

ta có

8
Nhóm word hóa tài liệu

.

Tự học tốn 8
 Bài 6. Cho hình bình hành
trong cạnh

theo tỉ số

, điểm

chia trong cạnh

. Tính độ dài ba đoạn thẳng do

theo tỉ số

, điểm

định ra trên

chia

, biết rằng

Lời giải

Gọi

là giao điểm của

với

. Ta có

nên

Tương tự,

Vậy

Vẽ đường thẳng song song trong các bài tập sau để tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
 Bài 7. 1) Cho tam giác

có

2) Cho tam giác

với đường phân giác

Tính số đo góc

1. Kẻ

Từ đó

. Tính độ dài đường phân giác

.

Lời giải

đều. Đặt

. Vậy

. Ta có

.

9
Nhóm word hóa tài liệu

thỏa mãn

.


Tự học tốn 8

2. Kẻ

. Đặt

. Ta có

Theo đề bài

. Suy ra

 Bài 8. Cho tam giác
ở

Kẻ

ở

ở

, cắt cạnh

sao cho

Lời giải

khơng đổi.

Ta có

 Bài 9. Cho tam giác
theo tỉ số

.

. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt cạnh

và cắt tia đối của tia

thì tỉ số

đều,

. Gọi

.

, điểm

chia trong cạnh

là giao điểm của các đường thẳng

10
Nhóm word hóa tài liệu

theo tỉ số
và

, điểm

chia trong cạnh

. Tính tỉ số

.


Tự học tốn 8
Lời giải

Kẻ

Ta có

 Bài 10. Cho tam giác
theo tỉ số

. Gọi

, điểm

chia trong cạnh

là giao điểm của

và

theo tỉ số

. Tính tỉ số

, điểm

chia trong

.

Lời giải

Kẻ

. Ta có

.

 Bài 11. Cho tam giác
thẳng đi qua
cắt

, đường trung tuyến

và song song với
,

theo thứ tự ở

. Gọi

cắt
,

ở

, đường thẳng đi qua

. Chứng minh rằng
Lời giải

11
Nhóm word hóa tài liệu

là điểm bất kì trên cạnh

. Đường

và song song với


Tự học tốn 8

Kẻ

. Ta có

Suy ra

, mà

 Bài 12. Tứ giác

nên
có

,

.
theo thức tự là trung điểm của

và

. Chứng minh rằng

,

,

là giao điểm của

là hình bình hành.

Lời giải

Kẻ

cắt

, lấy

là trung điểm của

Ta tính được
Từ đó

;

(cùng bằng

. Suy ra
. Vậy

và

theo thứ tự ở

và

. Chứng minh rằng:
12

Nhóm word hóa tài liệu

.

là hình bình hành.

 Bài 13. Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối
thẳng

.

.

là hình bình hành nên

Ta lại có

. Đặt

,

của tứ giác

cắt các đường


Tự học toán 8
Lời giải

Gọi

là trung điểm của

 Bài 14. a) Qua điểm

hai cạnh kia, chúng cắt

,

. Vẽ

thuộc cạnh

,

phụ Thuộc vào vị trí của điểm

của tam giác

theo thứ tự ở
trên cạnh

b) Xét trường hợp tương tự khi điểm

thẳng

. Ta có

. Chứng minh rằng tổng

khơng

.
chạy trên đường thẳng

.

Lời giải

13
Nhóm word hóa tài liệu

, vẽ các đường thẳng song song với

nhưng không thuộc đoạn


Tự học tốn 8

a) Do

, theo định lí Ta-lét, ta có:

. Tương tự ta được

. Do đó

.
b) Nếu

thuộc tia đối của tia

- Tuơng tự nếu điểm

 Bài 15.

thì

thuộc tia đối của

Cho tam giác
cắt các cạnh

trí mà vẫn đi qua

thì

, đường trung tuyến
,

theo thứ tự ở

, vẽ đường thẳng

không đổi.

là một điểm cố định trên đoạn thẳng
Lời giải

14
Nhóm word hóa tài liệu

của

. Chứng minh rằng khi đường thẳng thay đổi vị

thì tổng

Tổng qt hóa bài tốn trên khi

. Qua điểm

.


Tự học tốn 8

Kẻ

Khi đó

(hai góc so le trong). Xét

và

có:

(đối đỉnh)
Suy ra

Do

(g.c.g)

.

, theo định lí Ta-lét có

. Tương tự, ta được

.

Suy ra

Chỉ cần

là một điểm cố định thuộc đoạn thẳng

Giá trị khơng đổi của tổng bằng

.

15
Nhóm word hóa tài liệu

, khơng địi hỏi

là trung điểm của

.


Tự học tốn 8
Có thể diễn đạt bài tốn này dưới dạng: Cho hình bình hành

. Qua

vẽ đường thẳng

, điểm

cắt các cạnh

nằm trên đường chéo

ở

. Chứng minh rằng

.
 Bài 16. Cho tam giác

vuông cân tại

sao cho

, đường trung tuyến

. Chứng minh rằng

vng góc với
Lời giải

Kẻ

Khi đó theo định lí Ta-lét ta có
Lại có:
Suy ra

.
. Xét

Suy ra

và

có:

(c.g.c)

16
Nhóm word hóa tài liệu

. Trên cạnh

.

lấy điểm


Tự học tốn 8
Mà

(hai góc đồng vị) Suy ra

Hay
Vậy

.
.

 Bài 17. Cho tam giác

vng tại

. Các điểm

. Biết

. Tính độ dài

thuộc cạnh

sao cho

.

Lời giải

Kẻ
Đặt

Do

. Do

, theo hệ quả định lý Ta-lét ta có

, theo định lý Ta-lét ta có

Tương tự ta được

Xét

vuông tại

Tương tự ta được

. Suy ra

.

, theo định lý Pitago ta có

.

17

Nhóm word hóa tài liệu

hay

.


Tự học toán 8

Cộng vế theo vế của

Mà

và

:

.

nên

Vậy

hay

.

.

 Bài 18. Cho tam giác vng tại A. Vẽ ra phía ngồi tam giác đó các tam giác
vng cân tại . Gọi
và BF. Chứng minh rằng

là giao điểm của

và

.
Lời giải

.Đặt

. Ta có

suy ra

,

suy ra

Tương tự, ta được
Do đó

và

.

.

18
Nhóm word hóa tài liệu

vng cân tại

là giao điểm của AC


Tự học tốn 8

Ta có

Do đó

.

suy ra

 Bài 19. Cho tứ giác

. Lại có
có

suy ra

là trung điểm của

,
cắt đường chéo

bình hành.

,

.

là trung điểm của

. Biết rằng

thành ba đoạn bằng nhau. Chứng minh rằng

là hình

Lời giải

Gọi

là giao điểm của

,

với

; gọi

là giao điểm của của

Ta có

Mặt khác,

là đường trung bình tam giác

suy ra

Thay vào (2), ta được

Từ (1) và (3) suy ra

.

19
Nhóm word hóa tài liệu

, lại có

với

,

.


Tự học toán 8

Chứng minh tương tự, ta được

Từ

và

suy ra

Do đó

.

.

Do đó, ta có

, kết hợp với (4) suy ra
song song

 Bài 20. Trên cạnh
của tia

và do đó

. Chứng minh tương tự ta được

là hình bình hành.

của hình vng
lấy điểm

song song

cạnh 6 , lấy điểm

sao cho

. Gọi

sao cho

là giao điểm của

.

Lời giải

Gọi

là giao điểm của

và

,

là giao điểm của

và

. Ta có

suy ra

suy ra

Xét

và

, do đó

nên

, ta có

20
Nhóm word hóa tài liệu

.

. Trên tia đối
và

. Tính


Tự học tốn 8
;

Ta có

do đó

 Bài 21. Cho tam giác
đường thẳng

với

cắt

.

. Một đường thẳng cắt các cạnh
ở
ở

. Vẽ hình bình hành

theo thứ tự ở

. Đường thẳng đi qua

. Chứng minh rằng

.

Lời giải

Gọi

là giao điểm của

Ta có

suy ra

Ta có

suy ra

và

là giao điểm của

.

21
Nhóm word hóa tài liệu

và

.

và cắt
và song song


Tự học tốn 8

Ta có

suy ra

Từ

và

.

suy ra

nên

 Bài 22. Cho tam giác
đoạn thẳng
của

và

.

, đường phân giác
, kẻ

, đường trung tuyến

vuông góc với

. Chứng minh rằng

vng góc với
vng góc với

. Qua điểm
. Gọi

thuộc

là giao điểm

.

Lời giải

Qua

kẻ đường

, do

diểm

nên

Ta có I thuộc phân giác

Tam giác

Từ

Xét tam giác

,

,

suy ra

suy ra
và

. Kẻ

.

, nên

.
có

,

22
Nhóm word hóa tài liệu

nên

.

cân,

và

là trung diểm

, do

là trung


Tự học toán 8

(c- g-c)
cân tại

là đường trung tuyến nên

. Do đó

 Bài 23. Cho tam giác có ba góc nhọn, trực tâm
thứ tự ổ

sao cho

.

. Một đường thẳng đi qua

. Gọi

là trung điểm của

cắt

. Chứng minh rằng

vng góc với
Lời giải

Qua

kẻ đường thẳng song song với

Ta có

cắt

ở

, cắt

ở

.

suy ra

Do

nên

.

Ta có

suy ra

nên

là đường trung bình của

.

23
Nhóm word hóa tài liệu

. Mà

theo


Tự học tốn 8
Lại có

suy ra
suy ra

 Bài 24. Hình chử nhật

là trực tâm của

nên

. Lại có

.

có

theo thứ tự là trung điểm của

điểm bất kì thuộc tia đối của tia
là tia phân giác của góc

là giao diểm của

. Gọi

và

là một

. Chứng minh rằng

.
Lời giải

Gọi

là giao điểm của AC và MN, H là giao điểm KN và DC. Xét tứ giác NMCD có
,

Tứ giác MNCD là hình bình hành

. Xét

có

là trung điểm
Xét

có

(hệ quả của định lí Talét)

24
Nhóm word hóa tài liệu

là trung điểm


Tự học tốn 8

Chứng minh tương tự ta có

.

Từ (1) và (2) suy ra

là trung điểm

Xét

có NC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên

Ta có

là góc ngồi của

.

cân tại

.

.

Từ (3) và (4)

Ta lại có

, hai góc so le trong)

Từ (5) và

là tia phân giác của góc

 Bài 25. Cho hình bình hành
sao cho

, diểm

thuộc cạnh

. Các đường thẳng

cắt

rằng
Lời giải

Ta có
Xét tứ giác

.
có
25

Nhóm word hóa tài liệu

, điểm

thuộc tia đối của tia

theo thứ tự ở

. Chứng minh