Tổng hợp một số chuyên đề vận dụng cao hình học lớp 12

TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC
LỚP 12
(Tài liệu bao gồm: bài tập từng chuyên đề + Đề kiểm tra mỗi chuyên đề kèm
đáp án)

MỤC LỤC

CHUYÊN ĐỀ 1: QUAN HỆ VNG GĨC ................................................................................................................................. 2
CHUN ĐỀ 2: TỈ SỐ THỂ TÍCH/ THỂ TÍCH KHĨ ................................................................................................................. 3
CHUN ĐỀ 3: TỌA ĐỘ HĨA TRONG KHƠNG GIAN ........................................................................................................ 10
BÀI KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ 3: TOẠ ĐỘ HOÁ ..................................................................................................................... 14
CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC NÂNG CAO ................................................................................................................................... 15
BÀI KIỂM TRA SỐ PHỨC (NÂNG CAO)................................................................................................................................. 19
CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ..................................................................................................................... 24
CHUYÊN ĐỀ 6: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ KHÓ ........................................................................................................... 30
ĐỀ KIỂM TRA OXYZ NÂNG CAO LỚP 12 ............................................................................................................................. 35
CHUYÊN ĐỀ 8: KỸ THUẬT TRẢI PHẲNG HHKG ................................................................................................................ 36
CHUN ĐỀ 9: CÁC BÀI TỐN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Oxy .................................................................................... 38
ĐỀ KIỂM TRA VẬN DỤNG CAO HÌNH 12 ............................................................................................................................. 40
KIỂM TRA VẬN DỤNG CAO HÌNH 12 ................................................................................................................................... 43

1


CHUN ĐỀ 1: QUAN HỆ VNG GĨC
Câu 1: ( câu 46 đề online số 7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng
vng góc với đáy. Tính sin góc giữa MD và (SBC) với M là trung điểm BC
A.

√15
5

B.

√15
3

C.

√5
15

D.

√3
15

Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm
G của tam giác ABC. Cạnh bên hợp với đáy (ABC) góc 600. Sin góc giữa AB và (BCC’B’) là:
A.

3
√13

B. 2

3
√13

C.

1
√13

D.

2
√13

Câu 3: Cho tứ diện ABCD có (ACD) vng góc với (BCD), AC = AD = BC = BD = 1 và CD = 2x. Với giá trị nào của x thì
(ABC) và (ABD) vng góc?
A.

√3
3

B. 1

C. √3

1

D. 3

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a√2 .
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A trên SB và SD. Tính góc giữa (AMN) và SB:
A. 450

B. 900

C. 1200

D. 600

Câu 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và AB’ vng góc với BC’. Tính chiều cao của lăng trụ:
A. 3a√2

B.

𝑎
2

C.

𝑎√2
2

D. a√2

̂ = 1200. Cạnh bên SD=a√3 và SD
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = 2a, BC=a, 𝐴𝐵𝐶
vng góc với đáy. Tính sin của góc tạo bởi SB và (SAC)
A.

3
4

B.

√3
4

C.

1
4

D.

√3
7

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA là đường cao và SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng
(SBC) và (SDC) tạo với nhau một góc 600
A. a√3

B. a

C.

𝑎√3
2

𝑎

D. 2

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = 4a, SA là đường cao, SC tạo với đáy góc
600. Gọi M là trung điểm BC, N là điểm trên AD sao cho DN = a. Khoảng cách giữa MN và SB là:
A.

2𝑎√285
19

B.

𝑎√285
19

C.

2𝑎√95
19

D.

8𝑎
√19

Câu 9: Cho hình vng ABCD cạnh 4a, lấy H, K lần lượt trên AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng
̂ = 300. Gọi E là giao điểm của CH và BK. Tính cos góc giữa SE và BC
vng góc với (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho 𝑆𝐵𝐻
A. 5

28
√39

B. 5

18
√39

C. 5

36
√39

D. 5

9
√39

Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là tứ diện đều cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và BB’.
Tính tan góc giữa (ABC) và (CMN)
2


A.

√2
5

B.

3√2
4

C.

2√2
5

D.

4√2
13

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vng góc với (ABCD), AB = 3, BC = 4, SA = 1. Giá trị
sin của góc giữa đường thẳng SC và (SBD) là:
A.

11√26
328

B.

12√26
338

C.

13√26
338

D.

12
65

Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng √11 . Gọi I là trung điểm CD. Tính khoảng cách AC và BI
A. 2

B. 2√2

C. 3√2

D. √2

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, cạnh bên SA vng góc với đáy và SA = a√2
. Cho biết AB = 2AD = 2DC = 2a. Tính góc giữa (SBA) và (SBC)
1

A. arcos ( 4 )

B. 300

C. 450

D. 600

̂ = 600, AA’ = a√2 . M là trung điểm AA’. Tính
Câu 14: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, 𝐵𝐴𝐷
cos của góc giữa (B’MD) và (ABCD)
A.

√2
3

B.

√5

3

C.

√3
4

D.

√3
3

Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và B’C’. Khoảng cách giữa MN
và B’D’ bằng:
A. a√5

B.

𝑎
√5

C. 3a

𝑎

D. 3

CHUYÊN ĐỀ 2: TỈ SỐ THỂ TÍCH/ THỂ TÍCH KHĨ
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC, M và N là các điểm thuộc cạnh SA và SB sao cho: MA = 2SM, SN = 2NB. Gọi (P) là mặt
phẳng qua MN song song với SC. Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABC thành hai khối (H1) và (H2) với (H1) là khối đa diện

chứa điểm S, (H2) là khối đa diện chứa điểm A. Tính tỉ số VH1 / VH2
A. 4:5

B. 5:4

C. 3:4

D. 4:3

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD. Mặt
phẳng (P) chứa MN cắt SB, SC lần lượt là Q và P. Đặt

𝑆𝑄
𝑆𝐵

= x, V1 là thể tích của khối chóp S.MNPQ, V là thể tích của khối

chóp S.ABCD. Tìm x để 2V1 = V
A.

−1+√33
4

B. √2

C.

1
2

D.

−1+√41
2

Câu 18: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và vng góc với
A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V1 và V2 với V1 < V2. Tính tỉ số V1/V2
A. 1:47

B. 1:23

C. 1:11

D. 1:7

Câu 19: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng (P) chứa AM và song
song với BD chia khối chóp thành hai khối đa diện. Đặt V1 là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa
diện chứa đáy ABCD. Tính V2/V1
A. 3

B. 2

C. 1

D. 3:2
3


Câu 20: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm BB’, N là điểm trên cạnh CC’ sao cho CN = 3NC’. Mặt phẳng
(AMN) chia khối lăng trụ thành hai phần với V1 chứa đỉnh A’, V2 là phần cịn lại. Tính tỉ số V1/V2

A. 5:3

B. 3:2

C. 4:3

D. 7:5

Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và CA = a. Trên đường chéo CA’ lấy
hai điểm M, N. Trên đường chéo AB’ lấy hai điểm P, Q sao cho MNPQ là tứ diện đều. Tính thể tích ABC.A’B’C’
A.

𝑎3
6

B. a3

C.

𝑎3
2

D. 2a3

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = √6, AD = √3, tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Biết hai mặt phẳng (SAB), (SAC) tạo với nhau góc α với tanα = 0,75 và SC = 3. Thể tích khối
S.ABCD là:
A. 4/3

B. 8/3

C. 3√3

D.

5
√3

Câu 22: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
AB = 3AD. Gọi H là hình chiếu của B trên CD, M là trung điểm đoạn thẳng CH. Tính thể tích S.ABM biết SA = AM = a và
BM =

2𝑎
3

A.

𝑎 3 √3
9

B.

𝑎 3 √3
12

C.

𝑎3
9

𝑎3

D. 18

Câu 23: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho AM = 2MA’,
NB’ = 2NB, PC = PC’. Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của ABCMNP và A’B’C’MNP. Tính tỉ số V1/V2
A. 2

B. 0,5

C. 1

D. 2/3

Câu 24: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của ABD và ABC và E là điểm đối xứng với B qua
D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V
A.

9𝑎 3 √2
320

B.

3𝑎 3 √2
320

C.

𝑎 3 √2
96

D.

3𝑎 3 √2
80

Câu 25: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = √6, AD = √3, A’C = 3. Mặt phẳng
3

(ACC’A’) vng góc với đáy. Biết (AA’C’C) tạo với (AA’B’B) một góc α với tanα = 4 . Thể tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’
bằng:
A. 8

B. 12

C. 10

D. 6

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB tạo với
đáy góc 450. Một mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với SC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AB’C’D’ có
diện tích bằng
A.

𝑎 2 √3
4

B.

𝑎 2 √3

2

C.

𝑎 2 √3
6

D.

𝑎2
√3

Câu 27: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 2a, gọi M là trung điểm BB’ và P thuộc cạnh DD’ sao cho 4DP = DD’.
Mặt phẳng (AMP) cắt CC’ tại N. Thể tích AMNPBCD bằng:
A. 3a3

B.

9𝑎 3
4

C.

11𝑎3
3

D. 2a3

4

Câu 28: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. Mặt phẳng chứa AB và đi
qua G cắt cạnh SC, SD tại M, N. Biết mặt bên của hình chóp tạo với đáy góc 600. Thể tích S.ABMN bằng:
√3

A. a3 4

B.

𝑎 3 √3
8

C.

𝑎 3 √3
16

D.

3𝑎 3 √3
16

Câu 29: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và vng góc với
A’C chia lăng trụ thành 2 khối. Biết thể tích của hai khối là V1 và V2 với V1 < V2. Tính tỉ số V1/V2
A. 1:47

B. 1:23

C. 1:11

D. 1:7

Câu 30: Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC = CD = DB = BA = 2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích ABCD
bằng:
A.

16√3
9

B.

32√3
27

C.

16√3
27

D.

32√3
9

Câu 31: Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB = BC = CD = DA = 1 và AC, BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của ABCD bằng:
A.

2√3
27

B.

4√3
27

C.

2√3
9

D.

4√3
9

Câu 32: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng ln luông song song với đáy
và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M’, N’, P’, Q’ lần lượt là hình chiếu vng góc của M, N, P,
Q lên mặt phẳng (ABCD). Tính tỉ số SM/SA để thể tích khối MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giỏ tr ln nht
A. 2/3

B. ẵ

C. 1/3

D. ắ

Cõu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm SC. Một mặt phẳng qua
AP cắt SB, SD tại M, N. Gọi V1 là thể tích S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của V1/V
A. 1/3

B. 1/8

C. 2/3

D. 3/8

Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC, các mặt phẳng (SAB), (SAC), (SBC) cùng tọa
với đáy một góc bằng nhau. Biết AB = 25, BC = 17, CA = 26. SB tạo đáy góc 450. Tính thể tích S.ABC
A. 408

B. 680

C. 578

D. 600

ƠN TẬP KHỐI ĐA DIỆN
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh a, SA = a, SA vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N
là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN = 2ND. Tính thể tích ACMN
A.

𝑎3
12

B.

𝑎3
6

C.

𝑎3
8

𝑎3

D. 36

̂ = 600 và SA vng góc với đáy. Góc giữa (SBD) và
Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, 𝐵𝐴𝐷
(ABCD) bằng 450. Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm SC. (MND) chia chóp S.ABCD thành hai phần.
Gọi V1 là phần chứa đỉnh S, V2 là phần cịn lại. Tính
A.

12
7

5

B. 3

𝑉1
𝑉2
1

C. 5

7

D. 5

Câu 37: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, A’C’, BB’. Tính thể tích
CMNP
A.

5
𝑉
24

1

B. 4 𝑉

7

C. 24 𝑉

1

D. 3 𝑉
5


Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 11, BC = AD = 20, BD = AC = 21. Tính thể tích tứ diện
A. 360

B. 720

C. 770

D. 340

Câu 39: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AA’ và BB’. CE cắt C’A’ tại
E’, CF cắt C’B’ tại F’. Tính EFA’B’E’F’
A.

√3
6

B.

√3
2

C.

√3
3

D.

√3
12

Câu 40: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và vng góc với A’C chia
𝑉

lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích hai khối là V1 < V2. Tính 𝑉1
2

A.

1
47

B.

1
23

C.

1
11

D.

1
7

Câu 41: Cho tứ diện S.ABCD, M và N là các điểm thuộc cạnh SA, SB sao cho MA = 2SM, SN = 2NB. (P) là mặt phẳng qua
MN song song với SC. Gọi V1, V2 lần lượt là khối chia bởi (P) với tứ diện, chứa điểm S và điểm A. Tính
4

A. 5

5

B. 4

3

C. 4

𝑉1
𝑉2

4

D. 3

Câu 42: Xét tứ diện ABCD có AB = BC = CD = DA = 1, AC và BD thay đổi. Tính max thể tích của ABCD
A.

2√3
27

B.

4√3
27

C.

2√3
9

D.

4√3

9

Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, hình chiếu vng góc của S với đáy là trung điểm AB
và (SCD) tạo với đáy góc 600. (P) là mặt phẳng chứa AB và vng góc với (SCD), cắt SC và SD tại M, N. Tính thể tích
S.ABMN
A.

21𝑎3
4

B.

7√3𝑎3
2

C.

21√3𝑎3
4

D.

7√3𝑎3
4

Câu 44: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vng góc với đáy
và SA = 2a. Gọi O là giao của AC và BD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SC, OD. (MNP) chia chóp thành hai phần.
Tính thể tích khối đa diện chứa B
A.

17𝑎3
18

B.

19𝑎 3
54

C.

11𝑎3
27

D.

19𝑎 3
18

Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi E, F lần lượt là trung điểm BC, CD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.CEF
A.

𝑎√93
12

B.

𝑎√39
12

C.

𝑎√29
8

D.

5𝑎√3
12
1
2

Câu 46: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích là 144. Trên tia đối tia B’A’ lấy điểm M sao cho B’M = 𝐵′𝐴′. Gọi N, P lần
lượt là trung điểm A’C’ và BB’. (MNP) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Thể tích khối chứa A’ là:
A. 98

B. 49

C. 95

D. 72

Câu 47: Cho chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 3a, SA vng góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần
lượt trên cạnh BC và SD sao cho 3BM = BC và 3SN = 2SD. Tính R ngoại tiếp NADM
A.

√134
6

B.

√139
6

C.

√127
6

D.

√134
4

6


̂ = 900 , góc giữa (SAB) và (SAC) bằng
Câu 48: Cho chóp S.ABCD có ABC là tam giác vng cân tại A, AB = a, ̂
𝑆𝐵𝐴 = 𝑆𝐶𝐴
600. Tính thể tích khối chóp
A. a3

B.

𝑎3
3

C.

𝑎3
2

D.

𝑎3
6

Câu 49: Cho hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = √3, AD = √7. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) tạo
đáy góc 450, cạnh bên hộp bằng 1. Thể tích khối hộp là:
B. 3√3

A. √7

D. 7√7

C. 5

Câu 50: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của A qua D. Mặt phẳng qua CE và vuông góc với
(ABD) cắt AB tại F. Tính thể tích của AECF
A.

𝑎 3 √2
30

B.

𝑎 3 √2
60

C.

𝑎 3 √2
40

D.

𝑎 3 √2
15

̂ = 𝐵𝐶𝐷
̂ = 𝐴𝐷𝐶
̂ = 900. Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng
Câu 51: Cho khối tứ diện ABCD có BC = 3, CD = 4, 𝐴𝐵𝐶
0
60 . Tính cos giữa (ABC) và (ACD)
A.

2√43
43

B.

√43
86

C.

4

D.

√43

1
√43

Câu 52: Cho hình chóp S.ABCD. Bên trong tam giác ABC lấy điểm O bất kì. Từ O ta dựng các đường thẳng lần lượt song
song với SA, SB, SC cắt (SBC), (SCA), (SAB) theo thứ tự tại A’, B’, C’. Tính
3

A. 3

B. 4

𝑂𝐴′
𝑆𝐴

+

𝑂𝐵′
𝑆𝐵

+

𝑂𝐶 ′
𝑆𝐶
1

C. 1

D. 3
𝑅

Câu 53: Cho tam diện vng O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r. Biết rằng tỉ số 𝑟 đặt giá trị
nhỏ nhất là

𝑎+√𝑏
.
2

Tính P = a + b

A. 6

B. 27

C. 30

D. 60

Câu 54: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên của hình chóp
bằng a. Tìm giá trị lớn nhất của thế tích S.ABCD
A.

2𝑎 3
3√3

2𝑎 3
√3

4𝑎 3
√3

B. 9

4𝑎 3
√3

C. 3

D. 9

Bài 55: Cho tứ diện ABCD. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AB và BC, N thuộc đoạn CD sao cho CN=2ND. Gọi P là giao
𝑃𝐴

của AD và (KLN). Tính tỉ số 𝑃𝐷
A. 1/2

B. 2/3

C. 3/2

D. 2

Bài 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, BC. G là trọng tâm
tam giác SAB. Biết rằng thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (GIJ) là một hình bình hành. Tính tỉ số AB/CD
A. 3/2

B. 4

C. 2

D. 3

Bài 57: Cho hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh AC lấy điểm M và trên cạnh
BF lấy điểm N sao cho
A. 1/3

𝐴𝑀
𝐴𝐶

𝐵𝑁

= 𝐵𝐹 = k. Tìm k để MN//DE
B. 3

C. ½

D. 2

7


Bài 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB và AB = 2CD. Gọi I, J, K lần lượt là ba điểm trên các cạnh
SA, AB, BC. Gọi giao của SD và (IJK) là F, SC và (IJK) là G. Tính k =
A. 5/3

B. 2

𝐹𝑆
𝐹𝐷

+

𝐺𝑆
𝐺𝐶

C. 3/2

D. 4/3

Bài 59: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, M là một điểm di động trên SC, (P) là mặt phẳng qua AM và
𝑆𝐵

𝑆𝐷

𝑆𝐶

song song với BD. Gọi giao của (P) với SB, SD lần lượt là H và K. Tính biểu thức K = 𝑆𝐻 + 𝑆𝐾 – 𝑆𝑀
A. 1/2

B. 1

C. 3/2

D. 2

Bài 60: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho
𝐶′𝑃

𝐶𝐶′

𝐴′𝑀
𝐴𝐴′

1

𝐵′𝑁

2

= 3 , 𝐵𝐵′ = 3 ,

1

= 2 . Biết DD’ giao với (MNP) tại Q. Tính D’Q/DD’.
A. 1/3

B. 1/5

C. 1/6

D. 2/3

Bài 61: Cho tứ diện SABC. Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh SB, (P) đi qua điểm M và song song với SA và BC. Để thiết diện
của tứ diện SABC cắt bởi (P) có diện tích lớn nhất thì tỉ số SM/SB bằng:
A. 1/2

B. 1/3

C. 5/6

D. 3/4

Bài 62: Cho tứ diện ABCD và M, N là các điểm trên cạnh AB, CD sao cho AM/MB = CN/ND = k > 0 và P là một điểm trên
cạnh AC. Tỉ số diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) bằng:
2

A. 𝑘+1

2𝑘

B. 𝑘+1

𝑘

1

C. 𝑘+1

D. 𝑘+1

Bài 63: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm thuộc đoạn SD
sao cho SN = 2ND. Gọi MN giao với (ABCD) tại điểm E, SC giao với (AMN) tại K. Giao của AK và SO là J. Tính giá trị tỉ số
𝐸𝑁
𝐸𝑀

𝐽𝐾

+ 𝐽𝐴

A. 16/15

B. 8/5

C. 6/5

D. 14/15

Bài 64: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi P là điểm trên cạnh SC sao cho SC = 5SP.
Một mặt phẳng (P) qua AP cắt SB, SD tại M và N. Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMPN. Tính GTNN của V1/V
A. 1/15

B. 1/25

C. 3/25

D. 2/15

Bài 65: Khối tứ diện ABCD có AB > 1 và tất cả các cạnh còn lại có độ dài khơng vượt q 1. Hỏi thể tích lớn nhất của khối tứ
diện đó là:
A. 3/8

B. 1/8

C. 1/24

D. 3

Bài 66: Khối tứ diện ABCD có AB = x > 1 và có tất cả các cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q 1. Tính x khi thể tích của

khối tứ diện đó lớn nhất
A.

2
√3

B.

√6
2

C.

3
√2

D.

2√6
3

Bài 67: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Một mặt phẳng không qua S cắt SA, SB, SC, SD lần
𝑆𝐵

𝑆𝐷

lượt tại M, N, P, Q thỏa mãn SA=2SM, SC = 3SP. Tính tỉ số SB/SN khi biểu thức: T = (𝑆𝑁 )2 + 4(𝑆𝑄 )2 đạt giá trị nhỏ nhất
A. 11/2

B. 5

C. 4

D. 9/2
8


Bài 68: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 1. Các điểm M, N lần lượt di động trên các tia AC, B’D’ sao cho tổng
AM + B’N = √2. Thể tích AMNB’ có giá trị lớn nhất là:
1

1

A. 12

B. 6

C.

√3
6

√2

D. 12

̂ = 600, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA
Bài 69: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng a√3, 𝐵𝐴𝐷
= 3a. Khoảng cách giữa SO và AD bằng:
A.

𝑎
√17

B.

3𝑎
√17

C.

𝑎
√5

D.

3𝑎
√5

Bài 70: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a và vng góc với mặt đáy (ABCD).
𝑆𝑀

𝑆𝑁

Trên cạnh SB, SD lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho 𝑆𝐵 = 𝑚 > 0, 𝑆𝐷 = 𝑛 > 0. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp S.AMN
biết rằng 2𝑚2 + 3𝑛2 = 1
A.

𝑎3
6

B.

𝑎 3 √6
72

𝑎3

C. 48

D.

𝑎 3 √3
72

Bài 71: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là
trung điểm SB. Biết độ dài các đoạn SA = a, AB = 𝑎√3, 𝐴𝐷 =
A. arcsin

√3
4√13

B. arcsin

√3
√13

3𝑎
.
2

Góc giữa IG và (SCD) bằng:
C. arcsin

√3
16

D. arcsin

3
16

Bài 72: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a và SA = 𝑎√2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
SD và BO. Gọi 𝛼 là góc giữa MN và (SCD). Tính giá trị 𝑠𝑖𝑛𝛼
A.

3√3
7

B.

2√3
7

C.

4√3
7

D.

√3
7

̂ = 600, SA = a. Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong
Bài 73: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, 𝐵𝐴𝐶
mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi 𝛽 là góc tạo bởi SB và (SCD). Tính 𝑠𝑖𝑛𝛽
A.

√2
2

B.

√3
2

C.

√6
4

D.

√6
3

Bài 74: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. Gọi (P) là mặt phẳng di động qua B và song
song với A’C’. Gọi 𝛼 là góc giữa (P) với đường thẳng CD’. Tìm giá trị lớn nhất của 𝑠𝑖𝑛𝛼
A.

7√2
10

B. 1

C.

3√10
10

D.

3√5
7

Bài 75:

9


CHUN ĐỀ 3: TỌA ĐỘ HĨA TRONG KHƠNG GIAN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B, thỏa mãn: AB = BC = a, AD = 2a, SA vng góc với
đáy, SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Tính cos góc giữa MN và (SAC)
A.

3√5
10

B.

√55
10

C.

1
√10

1

D. 2

̂ = 1200, AA’ = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm B’C’ và
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = a, 𝐵𝐴𝐶
CC’. Tính góc giữa (AMN) và (ABC)
A. 64,30

B. 25,60

C. 31,80

D. 42,20

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vng cân tại B, BC = a, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA = a√3, M là
trung điểm AC, tính cotang của (SBM) và (SAB)
3

A. 2

B.

√3
2

C.

3
√2

D. 1

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm DD’. Khoảng cách giữa CK và A’D bằng:
𝑎

A. 2

𝑎

𝑎

B. 3

C. 4

D. a

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 450. Gọi
E là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa DE và SC
A.

𝑎√38
38

B.

𝑎√38
19

C.

𝑎
√38

D. đáp án khác

Bài 6: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi B’D và (B’D’C)
đạt giá trị lớn nhất
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3a, AD =4a, BAD = 1200. SA vng góc với đáy, SA = 2a√3.
Tính góc giữa (SBC) và (SCD)
A. 450

B. 600

C. 300

D. 42,30

Bài 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ = b, M là trung điểm CC’. Xác định tỉ số a/b để (A’BD)
và (MBD) vng góc với nhau
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm A’D’ và BB’
𝑎√6
2

1) Tính độ dài IJ:

A.

2) Góc giữa IJ và A’D:

A. 450

B.

𝑎
√2

B. 900

|
𝑎
2

C. a

D.

C. 600

D. 300

Bài 10: Lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng nửa cạnh đáy. Điểm M thay đổi trên cạnh AB. Tìm giá trị lớn
nhất của góc A’MC’
A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

10

Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a. Gọi I là trung điểm SC. Tính khoảng cách
từ S đến (AIB)
A.

√13
13

B.

2√13
13

1

C. 13

D. 13

Bài 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’ABC là tứ diện đều cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AA’ và BB’. Tính
tan của góc giữa (ABC) và (MNC)
A.

5
√33

B.

2√2
5

C.

√33
2

D.

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD = 600, SA = SB = SD =

2
√5

𝑎√3
2

. Tính sin của

góc hợp bởi SD và (SBC)
A. √5

2

B. 3

C.

√5
3

D.

3
√5

Bài 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và B’C’. Khoảng cách giữa MN
và B’D’ bằng bao nhiêu?
A. a

B. a/2

C. a/3

D. a/4

Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vng góc với đáy. Gọi G là trọng tâm của SAB và M, N lần lượt là trung điểm SC, SD. Tính cos của góc giữa (GMN) và
(ABCD)
A.

2√39
13

B.

√39
13

1

C. √3

D.

1
√39

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Biết
⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝑀𝐵′
Bài 16: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. M, N là hai điểm thỏa mãn: 𝑀𝐵
𝑁𝐵′ = 3𝑁𝐶′
rằng (MCA) vng góc với (NAB). Tính thể tích lăng trụ
A.

3√2
16

√2

B. 16

C.

9√2
16

D.

27√2

16

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và SA vng góc với đáy. Tính độ dài SA để góc tạo bởi
(SBC) và (SCD) bằng 600
A. a

B. 2a

C. 3a

D. 4a

Bài 18: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vng tại A, AB = 2a, AC = 2a√3. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Gọi M là điểm trên đoạn BC: 4BM = BC. Tính cos của góc tạo bởi (SAC) và (SAM)
A.

1
√13

B.

2
√13

C.

3
√13

D.

4
√13

Bài 19: Cho hình vng ABCD cạnh a. Trên hai tia Bx, Dy vng góc với (ABCD) và cùng chiều lần lượt lấy 2 điểm M, N
sao cho BM = a/4, DN = 2a. Tính góc hợp bởi (AMN) và (CMN)
A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, tam giác SAB và SCB lần lượt vuông tại A,
C. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng 2a. Tính cos của góc giữa (SAB) và (SCB)

11


1

A. 3

B.

1
√3

C.

√3
3

2

D. √3

Bài 21: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vng A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn
thẳng OI sao cho MO = 2MI. Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) là bao nhiêu?
A.

1
√85

B.

7√85
85

C.

6
√85

D.

3√85
85

Bài 22: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,
C’D’ và DD’. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ
A.

1
4

B.

1
12

C.

1
18

D.

1
24

Bài 23: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD’, điểm N thuộc đoạn BD sao cho
𝑎
AM = DN = x ( 0< x < 2 ). Tìm x để MN có độ dài ngắn nhất
√

A.

𝑎

√3

B.

𝑎√2
3

C.

𝑎√2
5

D.

𝑎
5

Bài 24: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D’ và tâm I của mặt bên BCC’B’.
Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng (BCC’B’) và (ABCD) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng
d. Giá trị bé nhất của độ dài MN là:
A.

√5
5

B.

2√5
5

C.

3√5
5

D.

4√5
5

Bài 25: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 2√3, AA’ = 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’,
A’C’, BC. Cosin của góc tạo bởi (AB’C’) và (MNP) bằng:
A.

6√13
65

B.

√13
65

C.

17√13
65

D.

18√13

65

Bài 26: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a, AA’ = b. Gọi M, N lần lượt
𝑏

là trung điểm của BB’ và AB. Tính tỉ số 𝑎 để 𝐵′ 𝐶 ⊥ 𝐴𝐶′
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 27: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm ở trong 2 mặt phẳng vng góc với nhau, AB = 2a, BC = BE = a. Trên
đường chéo AE lấy điểm M và trên đường chéo BD lấy điểm N sao cho

𝐴𝑀
𝐴𝐸

𝐵𝑁

= 𝐵𝐷 = 𝑘 với 𝑘 ∈ (0; 1). Tính k để MN là đoạn

vng góc chung của AE và BD
A.

3
7

4

B. 5

4

C. 9

3

D. 5

Bài 28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Trên các cạnh BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao
cho B’M = CN = D’P = x với 𝑥 ∈ (0; 𝑎). Xác định x để diện tích tam giác MNP có diện tích bé nhất
A.

𝑎
2

𝑎

B. 3

𝑎

C. 4

𝑎

D. 5

Bài 29: Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = 𝑎√2, 𝑆𝐶 ⊥ (𝐴𝐵𝐶), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm 𝑀 ∈ 𝑆𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵𝐶
sao cho AM = CN = t (0 < 𝑡 < 2𝑎). Tính t để độ dài MN ngắn nhất
A.

3𝑎
4

B.

2𝑎
3

C.

4𝑎
5

D.

3𝑎
5

12


Bài 30: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 𝑎√2, cạnh bên hợp với đáy góc 450. Gọi O là tâm của ABCD và
I, J, K lần lượt là trung điểm SO, SD, DA. Tính thể tích của khối tứ diện AIJK
A.

𝑎 3 √2
192

B.

𝑎 3 √2
97

C.

𝑎 3 √5
19

D.

𝑎 3 √13
39

Bài 31: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC.
2𝑎ℎ

Tính khoảng cách từ S tới (ABI) theo a và h (

√4ℎ 2 +9𝑎2

)

Bài 32: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Xét điểm M trên AD’ và điểm N trên DB sao cho AM = DN = k
(0 < 𝑘 < 𝑎√2). Gọi P là trung điểm B’C’.
1) Tính góc giữa hai đường thẳng AP và BC’ (450)

𝑎3

2) Tính thể tích khối tứ diện APBC’ ( 12 )
𝑎 √2
)
3

3) Tìm k để MN ngắn nhất (

Bài 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và SA vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa (SBC) với
đáy bằng 450. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SB. Tính khoảng cách giữa MD và CN
A.

3𝑎
4

B.

𝑎√21
3

C. 2a

D.

2𝑎√21
21

̂ = 600, BC = 2a. Gọi D là điểm thoả mãn hệ thức:
Bài 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, 𝐴𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑆𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ . Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4BH. Tính góc giữa hai đường
3𝑆𝐵
thẳng AD và SC biết SA tạo với đáy góc 600
A. 600

B. 450

C. 900

D. 300

Bài 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 5a, cạnh bên SA = 10a và vng góc với mặt phẳng đáy.
Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tính tan của góc tạo bởi (AMC) và (SBC)
A.

√3
2

B.

2√3
3

C.

√5
5

D.

2√5
5

Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD)
trùng với trung điểm I của AB. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của DC và SB, biết 𝑆𝐻 =

𝑎√7
.
2

Tính khoảng cách giữa HK và

SC
A.

√3
𝑎
8

B.

𝑎√15
2

C.

𝑎√15
8

D.

𝑎 √5
10

Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy, AB = a, AD = 2a, SA = 3a.
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD và P là giao điểm của SC với (AMN). Tính thể tích khối chóp S.AMPN
A.

1869𝑎3
140

B.

5589𝑎 3
1820

C.

181𝑎3
120

D.

1863𝑎3
1820

Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 2, SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = 2. Gọi
M, N lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB, AD sao cho (SMC) vng góc với (SNC). Thể tích khối chóp S.AMCN
đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A.

4√3+4
3

B.

8√3−8
3

C. 2√3 − 2

D.

4√3−4
3

13


Bài 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Tính cosin góc giữa MN và (SAC)
A.

2
√5

B.

√55

10

C.

3√5
10

D.

1
√5

Bài 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, AB = 1, BC = √3, SAC đều nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.
Tính giá trị cosin góc giữa (SAB) và (SBC)
A.

2
√65

B.

√65
20

C.

√65
10

D.

1
√65

BÀI KIỂM TRA CHUN ĐỀ 3: TOẠ ĐỘ HỐ
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Biết rằng góc giữa SC và
mặt phẳng đáy là 450. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD và G là trọng tâm tam giác SBA. Tính thể tích khối tứ diện
SMNG
A.

a3 √5
9

B.

a3 √ 5
18

C.

a3 √5
3

D.

a3 √5
2

Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, tam giác ABC cân ở B, AA’ = AC = a, góc tạo bởi BC’ và mặt đáy là 600. Gọi P, M
a

lần lượt là trung điểm BA’ và CC’. Gọi điểm N là điểm thuộc đoạn A’C’ sao cho NC ′ = 4. Tính thể tích của ABB’C’
A.

a3 √3
4

B.

a3 √ 3
24

C.

a3 √3
36

D.

a3 √3
6

Câu 3: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = 2√3, AA’ = 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, A’C’ và BC. Tính
góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (MNP)
A. 3,180

B. 86,80

C. 72,30

D. 17,70

Câu 4: Cho chóp S.ABC, ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của S lên (ABC) là điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB =
MA
.
2

Biết SC tạo với đáy một góc 600. Tính khoảng cách giữa SA và BC
A.

a√42
8

B.

a√42
4

C. a√42

D.

a√42
2

Câu 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, tam giác ABC vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Gọi M là trung điểm của
A’C’. Gọi I là giao điểm của AM và A’C. Tính khoảng cách từ A tới (IBC)
A. 2a√5

B. a√5

C.

2a

D.

√5

a
√5

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên cạnh BC’ lấy điểm M sao cho 3 vector D′M
DA′, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB′
đồng phẳng. Tính diện tích tam giác MAB’
A.

√19
4

B.

√19
2

C. √19

D.

√19
8

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = a√2 và SC vng góc với đáy (ABC). Tam giác ABC vuông tại A. Gọi M
và N là các điểm lần lượt thuộc SA và BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a). Tìm t để độ dài MN min
a

A. t = 3

a

B. t = 2

C. t =

3a
4

D. t =

2a
3

14


Câu 8: Cho S.ABCD có ABCD là hình thang cân, AD = 2AB = 2BC = 2CD = 2a. Mặt phẳng (SAD) vng góc với đáy và
SAD là tam giác đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và CD. Tính cos góc giữa đoạn thẳng MN và (SAC) biết rằng thể
tích thể tích S.ABCD bằng
A.

a3 √3
4

√310
20

B.

√519
27

C.

√203
17

D. Đáp án khác

CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC NÂNG CAO
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = m2 + 2m + 5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3+4i)z –2i
là đường trịn. Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường trịn đó
A. 5

B. 10

C. 15

D. 20

Bài 2: Cho số phức z thỏa |𝑧 − 8| + |𝑧 + 8| = 20. Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |𝑧|. Tính m + n
A. 12

B. 16

Bài 3: Cho z1, z2 là 2 số phức thỏa mãn {
A.

√3
2

Bài 4: Cho z và 𝑧. Biết

C. 20

|2𝑧 − 𝑖| = |2 + 𝑖𝑧|
. Tính giá trị P = |𝑧1 + 𝑧2 |
|𝑧1 − 𝑧2 | = 1

B. √2
𝑧
𝑧

2

D. 8

C.

√2

2

D. √3

là một số thực và |𝑧 − 𝑧| = 2√3. Tìm |𝑧|

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Bài 5: Cho số phức z, w thỏa |𝑧 + 2 − 2𝑖| = |𝑧 − 4𝑖|, w = iz + 1. Tìm min của |𝑤|
A. √2

B.

√2
2

C. 2

D. khơng có min

Bài 6: Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m ∈ S có đúng một số phức thỏa mãn |𝑧 − 𝑚|=6 và

𝑧
𝑧−4

là số thuần ảo.

Tính tổng các phần tử của tập S
A. 10

B. 0

Bài 7: Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 –z +

C. 16
2017
4

D. 8

= 0, với z2 có thành phần ảo dương. Cho số phức z thỏa mãn: |𝑧 − 𝑧1 |

= 1. Tính min của P = |𝑧 − 𝑧2 |
A. √2016 –1

B.

√2016 –1
2

C. √2017 –1

D.

√2017 –1
2

Bài 8: Cho số phức thỏa mãn: |𝑧 − 2𝑖| ≤ |𝑧 − 4𝑖| và |𝑧 − 3 − 3𝑖|=1. Tính max P = |𝑧 − 2|
A. √13 + 1

B. √10 + 1

C. √13

D. √10

Bài 9: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 = –1+i, z2 = 1 + 2i, z3 = 2 – i, z4 = –3i.
Tính diện tích ABCD
A.

17
2

B.

19
2

C.

23
2

D.

21
2

15


Bài 10: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn |𝑧| = |𝑧 + 𝑧| = 1
A. 0

B. 1

C. 4

D. 3

C. 2

D. 3

Bài 11: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z2 = |𝑧|2 + 𝑧
A. 1

B. 4

Bài 12: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn: |𝑧 − 3𝑖| = 5 và
A. 1

𝑧
𝑧−4

là số thuần ảo

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 13: Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn |𝑧1 + 1 − 𝑖| = 2 và z2 = iz1. Tìm max của |𝑧1 − 𝑧2 |
B. 1+ √2

A. 2√2 + 2

C. 2√2

D. 2

Bài 14: Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn |𝑧1 | = 12 và |𝑧2 − 3 − 4𝑖| = 5. Tìm min của |𝑧1 − 𝑧2 |
A. 0

B. 2

C. 7

D. 17

Bài 15: Cho số phức z thỏa mãn (z –2 + i)( 𝑧 –2 – i) = 25. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w = 2𝑧 –2 + 3i là đường
tròn tâm I(a; b) có bán kính c. Tính a + b + c
A. 17

B. 20

C. 10

D. 18

|𝑧1 − 3 − 2𝑖| ≤ 1
Bài 16: Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn : {
. Tìm min của P = |𝑧1 − 𝑧2 |
|𝑧2 + 1 + 2𝑖| ≤ |𝑧2 − 2 − 𝑖|
A.

3√2−2
2

B. 1+√2

Bài 17: Gọi M và m lần lượt là giá trị max và min của P = |
A. 5

C.
𝑧+𝑖
|
𝑍

5√2−2
2

D. 1

𝑀

, với z khác 0 thỏa mãn |𝑧| ≥ 2. Tính 𝑚

B. 3

C. 2

D. 4

Bài 18: Cho các số phức z1 = –2 + i, z2 = 2 + i và z thay đổi thỏa mãn: |𝑧 − 𝑧1 |2 + |𝑧 − 𝑧2 |2 = 16. Gọi M, m lần lượt là giá trị
max và min của |𝑧|. Tính M2 – m2
A. 15

B. 7

C. 11

D. 8

Bài 19: Cho hai điểm A, B là biểu diễn hình học số phức z0, z1 khác 0 và thỏa mãn z02 + z12 = z0z1. Hỏi ba điểm O, A, B tạo
thành tam giác gì?
A. Cân tại O

C. Đều

B. Vng cân tại O

D. Vuông tại O

𝑧+𝑤+𝑢 =0
2
2
2
Bài 20: Cho 3 số phức z, w, u thỏa mãn: {
2 2 . Tính P= |𝑧 + 𝑤| + |𝑤 + 𝑢| + |𝑢 + 𝑧|
|𝑧| = |𝑤| = |𝑢| = √
3

A.

2√2
3

B. 2√2

8

C. 3

D. 1

−2−3𝑖

Bài 21: Cho số phức | 3−2𝑖 𝑧 + 1| = 2. Giá trị lớn nhất của module số phức z là:
16


A. √3

B. 3

D. √2

C. 2

Bài 22: Cho số phức z = a + bi thỏa mãn |𝑧 + 1 + 𝑖|= |𝑧 + 2𝑖| và P = |𝑧 − 2 − 3𝑖| + |𝑧 − 1 + 2𝑖| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a +
2b
A. 1,5

B. 2,5

C. 3,5

D. 4,5

𝑧+3

Bài 23: Cho số phức z thỏa mãn |1−2𝑖 + 2| = 1 và w là số thuần ảo. Giá trị nhỏ nhất của |𝑧 − 𝑤|
A. 5 – √5

B. √5

C. 2√2

D. 1

1

Bài 24: Cho z thỏa mãn |𝑧| = 𝑚2 + 2m (m là số thực dương ). Biết rằng tập hợp của số phức w là một đường tròn có bán kính r

với w = (2i + 1)(i + 𝑧 ) –5 + 3i. Tìm min của r
A. 3√2

B. 2√3

C. 3√5

D. 5√3

Bài 25: Cho z thỏa mãn |𝑧| = 1. Tìm max của P = |𝑧 + 2| + 2|𝑧 − 2|
A. 5√2

B. 2√10

C. 3√5

D. 2√5

Bài 26: Cho z thỏa mãn |𝑧| = 1. Tìm max của P = |𝑧 + 1| + 3|1 − 𝑧|
A. 5√2

B. 2√10

C. 3√5

D. 2√5

Bài 27: Xét số phức z = a + bi (a, b là các số thực, b > 0) thỏa mãn |𝑧| = 1. Tính P = 2a + 4b2 khi biểu thức |𝑧 3 − 𝑧 + 2| đạt giá
trị nhỏ nhất
B. 2 – √2

A. 4

D. 2 + √2

C. 2

̂ = 300.
Bài 28: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |𝑧1 | = 2, |𝑧2 | = √3. Gọi M, N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2. Biết 𝑀𝑂𝑁
Tính S = |𝑧12 + 4𝑧22 |
A. 5√2

B. 3√3

D. √5

C. 4√7

Bài 29: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |𝑧1 | = |𝑧2 | = 1 và |𝑧1 − 2𝑧2 | = √6. Tính P = |2𝑧1 + 𝑧2 |
A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Bài 30: Cho các số phức z1 = –3i, z2 = 4+i và z thỏa mãn|𝑧 − 𝑖| = 2. Biểu thức P = |𝑧 − 𝑧1 | + 2|𝑧 − 𝑧2 | đạt giá trị nhỏ nhất khi
z = a+ bi, với a, b là số thực. Tính a – b
A.

3+6√13
17

B. –

3+6√13
17

C.

3 − 6√13
17

3−6√13
17

D. –

Bài 31: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn: |𝑧|2 = 2|𝑧 + 𝑧| + 4 và |𝑧 − 1 − 𝑖| = |𝑧 − 3 + 3𝑖|
A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Bài 32: Gọi S là tập hợp số phức thỏa mãn: |𝑧 − 1|=√34 và |𝑧 + 1 + 𝑚𝑖| = |𝑧 + 𝑚 + 2𝑖|, trong đó m là số thực. Gọi z1, z2 là
hai số phức thuộc S sao cho |𝑧1 − 𝑧2 | lớn nhất, khi đó giá trị của |𝑧1 + 𝑧2 | là:

A. 2

B. 10

C. 3

D. 4

Bài 33: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn |𝑧 − 2𝑖| = √2 và z2 là số thuần ảo?
17


A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 34: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn |𝑧 − 1|2 + |𝑧 − 𝑧|i + (z+ 𝑧)i2019 = 1
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 35: Giả sử z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn: (z –6)( 8+ 𝑧𝑖 ) là số thực. Biết rằng |𝑧1 − 𝑧2 | = 4, giá trị nhỏ nhất của

|𝑧1 + 3𝑧2 | là:
A. 5 – √21

B. 20 –4√21

C. 20 – 4√22

D. 5 – √22

|𝑧| = 𝑚
Bài 36: Có bao nhiêu số thực m để hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất: {
|𝑧 − 4𝑚 + 3𝑚𝑖| = 𝑚2
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 37: Cho số phức thỏa mãn |𝑧 + 𝑧| + |𝑧 − 𝑧| = |𝑧 2 |. Tính giá trị lớn nhất của P = |𝑧 − 5 − 2𝑖|
A. √2 + 5√3

B. √2 + 3√5

C. √5 +2√3

D. √5 + 3√2

Bài 38: Xét số phức z = a + bi (a, b là số thực) thỏa mãn |𝑧 − 4 − 3𝑖| = 5. Tính P = a + b khi

Q = |𝑧 + 2 − 2𝑖|2 + 2|𝑧 − 4 + 𝑖|2 + 3|𝑧 + 2𝑖|2 đạt giá trị lớn nhất
A. 11

B. 14

Bài 39: Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn hệ thức {
A. –10

B. 10

C. 13

D. 12

|𝑧 − 3 − 4𝑖| = 2
. Tìm min của |𝑧1 |2 – |𝑧2 |2
|𝑧1 − 𝑧2 | = 1
C. –5

D. 5

|𝑧 − 3 − 2𝑖| = 1
5
Bài 40: Cho số phức z và z’ thỏa mãn: { ′
. Tìm min P = |𝑧 − 2 − 𝑖| + |𝑧 − 𝑧′|
|𝑧 + 𝑖| = |𝑧 ′ − 1 − 𝑖|
A.

9√5−√10
5

B.

9√5
5

C.

9√5+√10
5

9

D. 5

Bài 41: Cho số phức z = a + 2bi và đa thức f(x) = ax2 –bx + 1. Biết |𝑓(±1)| ≤ 1. Tính max |𝑧|
A. 2

B. √2

C. 2√2

D. 1

Bài 42: Cho hai số phức 𝑧1 , 𝑧2 thoả mãn: |𝑧1 | = 1, |𝑧2 | = 2, |𝑧1 − 𝑧2 | = √3. Tìm giá trị lớn nhất của |3𝑧1 + 𝑧2 − 5𝑖|
5 − √19

B. 5 + √19

C. −5 + 2√19

D. 5 + 2√19

18


BÀI KIỂM TRA SỐ PHỨC (NÂNG CAO)
Bài 1: Cho số phức z = a + bi thỏa mãn : z + 7 + i – |𝑧|(2 + i) = 0 và |𝑧| < 3. Tính P = a + b
A. 5

B. -0,5

Bài 2: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn: {
A. √313 + 16

C. 7

D. 2,5

|𝑖𝑧1 + 5𝑖 + 3| = 2
. Tìm giá trị lớn nhất của T = |2𝑖𝑧1 + 3𝑧2 |
|𝑖𝑧2 − 1 + 2𝑖| = 4

B. √313

C. √313 + 8

D. √313 + 2√5

Bài 3: Cho z1, z2 là hai số phức z1, z2 thỏa mãn điều kiện: 2|𝑧1 + 𝑖| = |𝑧1 − 𝑧1 − 2𝑖| và |𝑧2 − 𝑖 − 10| = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |𝑧1 − 𝑧2 |
A. √10 + 1

B. 3√5 – 1

C. √101 + 1

D. đáp án khác

Bài 4: Cho hai số phức z1, z2 cùng thỏa mãn: |𝑧1 | = |𝑧2 | = 1 và |𝑧1 − 𝑧2 | = 1. Tính P = |𝑧1 + 𝑧2 |
A.

√3
2

B. √2

Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn phương trình:

A. 3 + 2√2

C.

(|𝑧|−1)(1+𝑖𝑧)
1
𝑧−
𝑧

B. 4

√2
2

D. √3

= i. Tính a2 + b2

C. 3 – 2√2

D. 2 + 2√2

Bài 6: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 3|𝑧 + 𝑖| = |2𝑧 − 𝑧 + 3𝑖|. Quỹ tích M là:
A. Parabol

B. Đường trịn

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w =

C. Elip
𝑧
2+𝑧 2

D. Đường thẳng

là số thực. Tính giá trị lớn nhất của

P = |𝑧 + 1 − 𝑖|
A. 2√2

B. 2

C. 8

D. √2

Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn: |𝑧 − 2 − 4𝑖| = |𝑧 − 2𝑖|. Tìm min |𝑧|
A. 2√2

B. 2

C. 8

D. √2

Bài 9: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧 + 3𝑖| + |𝑧 − 3𝑖| = 10. Gọi M1, M2 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z
có module lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi M là trung điểm M1M2, có tọa độ M(a;b). Tính |𝑎| + |𝑏|
A. 3,5

B. 5

C. 4

D. 4,5

Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn: |𝑧 − 2 − 4𝑖| = √5. Tìm min |𝑧|
A. √5

B. 5

C. 3

D. √3
19


Bài 1: Cho số phức z = a + bi thỏa mãn : z + 7 + i – |𝑧|(2 + i) = 0 và |𝑧| < 3. Tính P = a + b
A. 5

B. -0,5

C. 7

D. 2,5

Giải
Từ phương trình trên ta có: {

𝑎 + 7 − 2√𝑎2 + 𝑏2 = 0
 a = 2b – 5 (1)
𝑏 + 1 − √𝑎2 + 𝑏2 = 0

Thế (1) vào pt đầu của hệ phương trình, ta có:
3

2b + 2 = 2√(2𝑏 − 5)2 + 𝑏2  b = hoặc b = 4
2

3

Thử điều kiện => b = và a = –2

2

Bài 2: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn: {
A. √313 + 16

|𝑖𝑧1 + 5𝑖 + 3| = 2
. Tìm giá trị lớn nhất của T = |2𝑖𝑧1 + 3𝑧2 |
|𝑖𝑧2 − 1 + 2𝑖| = 4

B. √313

C. √313 + 8

D. √313 + 2√5

Giải
|2(𝑖𝑧1 + 5𝑖 + 3)| = 2.2
|𝑖𝑧1 + 5𝑖 + 3| = 2
{
 { 3
−3
|𝑖𝑧2 − 1 + 2𝑖| = 4
|− (𝑖𝑧2 − 1 + 2𝑖)| = 4 | |
𝑖

𝑖

(Lý do nhân các số như trên là để xuất hiện các số phức 2iz1 và –3z2 để từ đó các số phức này biểu diễn cho
các điểm M, N thì biểu thức T cần tìm chính là độ dài đoạn MN)
(LƯU Ý: TRONG T PHẢI MANG DẤU TRỪ MỚI LÀ ĐỘ DÀI, NẾU LÀ DẤU CỘNG THÌ PHẢI VẼ

ĐỈNH THỨ 4 HÌNH BÌNH HÀNH)
{

|2𝑖𝑧1 + 10𝑖 + 6| = 4
𝑀 ∈ 𝐼1 (−6; −10), 𝑅1 = 4
 {
|−3𝑧2 − 6 − 3𝑖| = 12
𝑁 ∈ 𝐼2 (6; 3), 𝑅2 = 12

Nhận xét: (I1) và (I2) ngoài nhau (tự chứng minh) => MN max = I1I2 + R1 + R2 = √313 + 16

Bài 3: Cho z1, z2 là hai số phức z1, z2 thỏa mãn điều kiện: 2|𝑧1 + 𝑖| = |𝑧1 − 𝑧1 − 2𝑖| và |𝑧2 − 𝑖 − 10| = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |𝑧1 − 𝑧2 |
A. √10 + 1

B. 3√5 – 1

C. √101 + 1

D. đáp án khác

Giải
Quỹ tích z1:

2|𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑖| = |𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑖 − 2𝑖|



4(a2 + (b –1)2) = (2b + 2)2
20



4a2 + 4b2 –8b + 4 = 4b2 + 8b + 4



a2 = 4b

Quỹ tích z2: I (10;1), R = 1

Gọi M, N là các điểm biễu diễn cho z1, z2
Để MN min thì: {
Giả sử M(t;
-

𝑡2
4

𝑀𝑁 đ𝑖 𝑞𝑢𝑎 𝑡â𝑚 𝐼
𝑡𝑖ế𝑝 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑡ạ𝑖 𝑀 𝑝ℎả𝑖 𝑣𝑢ơ𝑛𝑔 𝑔ó𝑐 𝑣ớ𝑖 𝑀𝑁

)

Tiếp tuyến d tại M có phương trình: y = f’(t).(x –t) +

𝑡2
4

𝑡

 VTPT của d là: 𝑛⃗ ( ; –1)
2

𝑡

 VTCP của d là: 𝑢
⃗ ( 1; )
2

-

⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑀 = ( t – 10;

𝑡2
4

– 1)
2

⃗⃗⃗⃗⃗ = 0  1.(t –10) + 𝑡 ( 𝑡 –1) = 0
Để IM vng góc với tiếp tuyến thì 𝑢
⃗ .𝐼𝑀
2

4

 t = 4  M ( 4; 4)

 MN = MI –IN = 3√5 –1
Bài 4: Cho hai số phức z1, z2 cùng thỏa mãn: |𝑧| = 1 và |𝑧1 − 𝑧2 | = 1. Tính P = |𝑧1 + 𝑧2 |
21


A.

√3

B. √2

2

C.

√2
2

D. √3

Giải
M, N lần lượt là điểm biểu diễn z1, z2 => OMN là tam giác đều => P là độ dài 2 lần đường cao = √3
Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn phương trình:

A. 3 + 2√2

(|𝑧|−1)(1+𝑖𝑧)
1
𝑧−
𝑧

= i. Tính a2 + b2

C. 3 – 2√2

B. 4

D. 2 + 2√2

Giải
Từ đề bài 


(|𝑧|−1)(1+𝑖𝑧)𝑧
𝑧.𝑧−1

(|𝑧|−1)(1+𝑖𝑧)𝑧
(|𝑧|−1)(|𝑧|+1)

=i

Biến đổi tiếp ta có: {

=i 

(|𝑧|−1)(1+𝑖𝑧)𝑧
|𝑧|2 −1

=i

 (1 + iz)𝑧 = i( |𝑧| + 1)

𝑎=0
𝑎=0
{

𝑏 = 1 + √2
𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = √𝑎2 + 𝑏2 + 1
2

2

Bài 6: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 3|𝑧 + 𝑖| = |2𝑧 − 𝑧 + 3𝑖|. Quỹ tích M là:
A. Parabol

B. Đường tròn

C. Elip

D. Đường thẳng

Giải
Nhận xét:

2 vế lệch hệ số => loại B, C
2 vế lệch bậc => loại D

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w =

𝑧

2+𝑧 2

là số thực. Tính giá trị lớn nhất của

P = |𝑧 + 1 − 𝑖|
A. 2√2

B. 2

C. 8

D. √2

Giải

Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn: |𝑧 − 2 − 4𝑖| = |𝑧 − 2𝑖|. Tìm min |𝑧|
A. 2√2

B. 2

C. 8

D. √2

Giải
22


Quỹ tích: trung trực AB với A(2;4) và B(0;2) => x + y – 4 = 0 (d)
 Min |𝑧| = d(O;d) = 2√2

Bài 9: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧 + 3𝑖| + |𝑧 − 3𝑖| = 10. Gọi M1, M2 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z
có module lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi M là trung điểm M1M2, có tọa độ M(a;b). Tính |𝑎| + |𝑏|
A. 3,5

B. 5

C. 4

D. 4,5

Giải
Quỹ tích H là elip lấy F1(0; –3) và F2(0;3) làm tiêu cự ( Elip trải trên trục Oy)
 2c = 6 hay c = 3
Mà theo đề bài, HF1 + HF2 = 10 = 2a => a = 5
 b = √𝑎2 − 𝑐 2 = 4
M1, M2 sẽ là điểm cắt của elip với Ox, Oy, do câu hỏi chứa dấu GTTĐ + elip có tâm đối xứng là O thì ta
lấy M1, M2 đều có các chỉ số dương
 M1 (5;0) và M2 ( 0;4)
 M ( 2,5 ; 2)
 Tổng bằng 4,5

Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn: |𝑧 − 2 − 4𝑖| = √5. Tìm min |𝑧|
A. √5

B. 5

C. 3

D. √3

Giải
Quỹ tích M là đường trịn I(2;4) , R = √5
Do O nằm ngồi đường trịn => MImin = MO – OI = 2√5 – √5 = √5

23


CHUN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1: Cơng ty vừa đưa vào một dây chuyền sản xuất để chế tạo máy tính mới. Sau vài tuần, sản lượng đạt
được q(t) = 2000[ 1 –

10
(10−𝑡)2

] máy/tuần. Tìm số máy sản xuất được từ đầu tuần thứ ba đến hết tuần thứ tư

A. 147 máy

B. 1523 máy

C. 1470 máy

D. 3166 máy

Bài 2: Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là h1 = 300cm. Giả sử h(t)
là chiều cao tính bằng cm của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng chiều cao mực
nước tại giây thứ t là h’(t) =

1

500

3

√𝑡 + 3 và lúc đầu hồ bơi khơng có nước. Hỏi sau bao lâu thì nước bơm

3

được độ sâu của hồ bơi
4

A. 2h7p

B. 1h7p

C. 4h7p

D. 3h7p

Bài 3: Cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2. Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi (P) và đường thẳng AB đạt GTLN bằng:
A. 2/3

B. 3/4

C. 4/3

D. 3/2
𝜋

Bài 4: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua mạch dao động LC có phương trình i = I0sin(wt + ).
2

Ngồi ra i = q’(t) với q là điện tích tức thời trong tụ. Tính từ lúc t = 0, điện lượng chuyển qua tiết diện
𝜋
thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian
là:
2𝑤

A.

𝜋𝐼0

B. 0

𝑤 √2

C.

𝜋 √2𝐼0
𝑤

D.

𝐼0
𝑤

Bài 5: Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ
1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 2000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao
nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.

A. 183.000 đồng

B. 180.000 đồng

C. 185.000 đồng

D. 190.000 đồng

Bài 6: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liện tục được biểu thị
bằng đồ thị là đường cong parabol như sau. Biết rằng sau 10s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất là 50m/s và
bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?
A.
C.

1000
3
1400
3

1100

𝑚

B.

𝑚

D. 300m

3

𝑚

Bài 7: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa hình vng cạnh bằng 10cm bằng cách kht đi
bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5cm, OH = 4cm. Tính diện tích bề mặt
hoa văn đó: A. 160/3
B. 140/3
C. 14/3
D. 50
24


Bài 8: Cho parabol (P): y = x2 và một đường thẳng d thay đổi cắt (P) tại
Hai điểm A, B sao cho AB = 2018. Gọi (S) là diện tích giới hạn bởi (P) và
đường thẳng d. Tìm max của S
A.
C.

20183 +1
6
20183 −1
6

B.

20183
6

D. đáp án khác

Bài 9: Một vật chuyền động trong 4 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc vào t(h) có đồ thị là một phần của
đường parabol có đỉnh I(1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình dưới đây. Tính qng
đường s mà vật đi được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát
A. 6

B. 8

C. 40/3

D. 46/3

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình trịn
(C): x2 + y2 = 8 và (P): x2 = 2y chia hình trịn thành 2 phần.
Gọi S1 là diện tích phần nhỏ, S2 là diện tích phần lớn. Tính
tỉ số S1/S2
A.
C.

3𝜋+2
9𝜋−2
3𝜋+2
9𝜋+2

B.
D.

3𝜋−2
9𝜋+2
3𝜋+1
9𝜋−1

Bài 11: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng diện tích hình
phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) trên đoạn [–2;1] và [1;4] lần lượt bằng 9 và 12. Cho
f(1) = 3. Giá trị của biểu thức f(-2) + f(4) bằng:
A. 21

B. 9

C. 3

D. 2

Bài 12: Một cổng chào có dạng hình parabol có chiều cao bằng 18m, chiều rộng chân đế bằng 12m. Người
ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành
ba phần có diện tích bằng nhau. Tỉ số AB / CD bằng:
A.

1
√2
1

C. 3

√2

B. 0,8
D. 0,5

Bài 13: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = √𝑥, cung trịn có phương trình y = √6 − 𝑥 2 và trục

25