Các bất đẳng thức đối với tổng các biến ngẫu nhiên liên kết âm và ứng dụng

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1

Các bất đẳng thức đối với tổng các biến ngẫu
nhiên liên kết âm
4

1.1. Biến ngẫu nhiên và các tính chất liên quan . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Các biến ngẫu nhiên liên kết âm và kiến thức chuẩn bị . . . . . .

6

1.3. Các bất đẳng thức đối với tổng các biến ngẫu nhiên liên kết âm

8

2

.

Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm 13

2.1. Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng số của các biến ngẫu
nhiên liên kết âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên liên
kết âm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Kết luận
Tài liệu tham khảo

27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


2

LỜI NÓI ĐẦU

Trong lý thuyết xác suất và thống kê tốn học, tính độc lập của các biến
ngẫu nhiên là một tính chất rất mạnh. Đa số các hiện tượng ngẫu nhiên xảy
ra trong đời sống thực thường phụ thuộc với nhau theo một kiểu nào đó
như phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc
theo khối, phụ thuộc âm hoặc phụ thuộc dương. Trong luận văn này, chúng
tôi nghiên cứu một kiểu phụ thuộc của các biến ngẫu nhiên đó là liên kết
âm (negative association). Khái niệm liên kết âm được đưa ra bởi Alam và

Saxena [2] năm 1981. Năm 1983, Joag-Dev và Proschan [10] đã chỉ ra rằng
nhiều phân phối quan trọng trong thống kê có tính chất liên kết âm như phân
phối đa thức, phân phối nhiều chiều siêu hình học, phân phối Dirichlet, phân
phối chuẩn liên kết âm,... Joag-Dev và Proschan [10] cũng chứng minh rất
nhiều tính chất quan trọng của các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Từ đó đến
nay, khái niệm liên kết âm được sự quan tâm của rất nhiều nhà nghiên cứu
và có nhiều ứng dụng trong thống kê tốn học. Năm 2000, Shao [15] đã chứng
minh được rằng các bất đẳng thức quan trọng đối với các biến ngẫu nhiên
độc lập như bất đẳng thức Rosenthal, bất đẳng thức Kolmogorov,... vẫn còn
đúng với các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Có rất nhiều định lý giới hạn được
thiết lập cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Trong đó phải kể ra là định
lý hội tụ Kolmogorov-Khintchin, định lý hội tụ ba chuỗi (Matula (1992), luật
mạnh số lớn (Jing và Liang (2008), Ko, Han và Kim (2006), Kuczmaszewska
(2010)), định lý giới hạn trung tâm (Yuan, Su và Hu (2003), Wang, Zhang
và Dong (2009)), luật logarithm lặp (Shao và Su (1999), Huang (2004)), bất
đẳng thức Berry-Esseen (Wang và Zhang (2007)),...
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp tục hướng nghiên cứu này. Vì các bất
đẳng thức dạng bất đẳng thức cực đại Kolmogorov, bất đẳng thức Rosenthal
có vai trị rất quan trọng trong việc chứng minh các định lý giới hạn. Do đó,


3

chúng tơi trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của Shao [15]. Đây chính
là nội dung chính của Chương 1. Trong Chương 2, chúng tôi sử dụng các bất
đẳng thức đã trình bày ở Chương 1 để thiết lập một số định lý về sự hội tụ
hầu chắc chắn và sự hội tụ đầy đủ của tổng các biến ngẫu nhiên liên kết âm.
Các kết quả của Chương 2 là mới. Chương 2 gồm có hai mục. Trong Mục
2.1, chúng tôi mở rộng định lý hội tụ của Loève cho trường hợp các biến
ngẫu nhiên liên kết âm. Kết quả của Mục 2.1 mở rộng kết quả chính của

Matula (1992). Mục 2.2 thiết lập một định lý về sự hội tụ đầy đủ của tổng
có trọng số các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Kết quả của Mục 2.2 khi dãy
các trọng số đồng nhất bằng 1 chính là kết quả chính của Kuczmaszewska
(2010), tuy nhiên, để hạn chế tính tốn, chúng tơi chỉ xét trường hợp cùng
phân phối, thay vì xét tính bị chặn ngẫu nhiên theo trung bình như trong
Kuczmaszewska (2010).
Vinh, tháng 11 năm 2011
Tác giả


4

CHƯƠNG 1

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI TỔNG CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM

Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm về các biến ngẫu nhiên
liên kết âm và một số kiến thức liên quan. Nội dung chính của Chương 1 là
các bất đẳng thức đối với đối với tổng các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Kết
quả chính của chương này được trích dẫn từ bài báo của Shao [15].

1.1

Biến ngẫu nhiên và các tính chất liên quan

1.1.1 Biến ngẫu nhiên
Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) . ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến
ngẫu nhiên nếu X là ánh xạ đo được, tức là với mọi a ∈ R thì

{ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F.
1.1.2 Hàm phân phối xác suất
Cho biến ngẫu nhiên X , hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R được gọi là
hàm phân phối xác suất của X .
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có các tính chất sau:
1. Khơng giảm: nếu x1 ≤ x2 thì F (x1 ) ≤ F (x2 ).
2. Liên tục trái: với mọi x0 ∈ R, F (x0 ) = lim− F (x).
x→x0

3. lim F (x) = 0, lim F (x) = 1.
x→−∞

x→+∞

1.1.3 Tính độc lập
1. Hai biến ngẫu nhiên X1 và X2 được gọi là độc lập nếu với mọi a1 , a2 ∈ R
ta có

P ({X1 < a1 } ∩ {X2 < a2 }) = P ({X1 < a1 })P ({X2 < a2 }).


5

2. n (n ≥ 2) biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ..., Xn được gọi là độc lập nếu với
mọi a1 , a2 , ..., an ∈ R ta có
n

n

P(

P ({Xk < ak }).

{Xk < ak }) =
k=1

k=1

3. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn .n ≥ 1} được gọi là độc lập đôi một nếu
2 biến ngẫu nhiên bất kì của dãy độc lập.
4. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn .n ≥ 1} được gọi là độc lập nếu mọi tập
con hữu hạn các biến ngẫu nhiên của dãy độc lập.
1.1.4 Kỳ vọng Ta không nhắc lại cách xây dựng tích phân Lebesgue cho
một hàm đo được khơng âm. Kí hiệu L1 là tập tất cả các đại lượng ngẫu
nhiên X : Ω → R khả tích Lebesgue, tức là

|X|dP < ∞.
Ω

Đặt X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0). Khi đó

X = X + − X −.
Nếu có ít nhất X + ∈ L1 , hoặc X − ∈ L1 , thì ta gọi số

X − dP

X + dP −

EX =
Ω

Ω

là kì vọng (hay giá trị trung bình) của X .
Các tính chất của kì vọng
1. Nếu C là hằng số thì EC = C
2. Nếu a, b ∈ R và X, Y ∈ L1 thì E(aX + bY ) = aEX + bEY .
3. Nếu X, Y ∈ L1 và X ≤ Y (h.c.c.) thì EX ≤ EY .
4. Nếu X ∈ L1 thì |EX| ≤ E|X|.
5. Nếu |X| ≤ Y (h.c.c.) và Y ∈ L1 thì X ∈ L1 .
6. Nếu {Xn ; n ≥ 1} ⊂ L1 và X ∈ L1 thỏa mãn 0 ≤ Xn ↑ X thì EXn ↑ EX .
7. Nếu X và X độc lập và X, Y ∈ L1 thì E(XY ) = EX.EY .
1.1.1 Mệnh đề. 1. Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối

F (x) thì
+∞

EX =

xdF (x).
−∞


6

Tổng quát hơn, nếu g : R → R là hàm Borel sao cho g(X) khả tích Lebesgue
thì

+∞

Eg(X) =

g(x)dF (x).
−∞

1.1.5 Covariance Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Khi đó, covariance
của X và Y , ký hiệu là Cov(X, Y ) được định nghĩa bởi

Cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ).
Rõ ràng là nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y ) = 0.

1.2

Các biến ngẫu nhiên liên kết âm và kiến thức
chuẩn bị

Tính độc lập là một tính chất rất mạnh của các biến ngẫu nhiên. Rất
nhiều khái niệm phụ thuộc khác nhau đã được các nhà khoa học đưa ra, để
phù hợp với các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế. Năm 1981, Alam và
Saxena [2] đã đưa ra khái niệm liên kết âm của các biến ngẫu nhiên như sau.
1.2.1 Định nghĩa. Dãy hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} được
gọi là liên kết âm nếu

cov{f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B)} ≤ 0

(1.2.1)

với mọi cặp các tập con rời nhau A, B của tập {1, . . . , n} và với mọi hàm
không giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R sao cho covariance ở
công thức (1.2.1) tồn tại.

Một dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi là liên kết âm
nếu với mọi n ≥ 1, dãy hữu hạn {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là liên kết âm.
Năm 1983, Joag-Dev và Proschan [10] đã chỉ ra rằng nhiều phân phối quan
trọng trong thống kê có tính chất liên kết âm như phân phối đa thức, phân
phối nhiều chiều siêu hình học, phân phối Dirichlet, phân phối chuẩn liên kết
âm,...
Dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm có một tính chất rất quan trọng sau
đây. Tính chất này được chứng minh bởi Joag-Dev và Proschan [10].


7

1.2.2 Bổ đề. (Joag-Dev và Proschan [10]). Giả sử {Xi , i ≥ 1} là dãy các
biến ngẫu nhiên liên kết âm, {Ai , i ≥ 1} là dãy các tập con đôi một rời nhau
của tập {1, 2, . . . }, fi : R|Ai | → R, i ≥ 1, là các hàm không giảm theo tọa độ.
Khi đó dãy {fi (Xj , j ∈ Ai ), i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm.
Để bước sang phần trình bày các kết quả chính của chương 1, chúng tơi
chứng minh bốn tính chất cơ bản trong giải tích cổ điển.
1.2.3 Bổ đề. Với mọi hàm lồi f , đạo hàm phải f+ luôn tồn tại và khơng
giảm. Hơn nữa, ta có
b

f (b) − f (a) =

f+ (t)dt
a

với mọi số thực a, b.
1.2.4 Bổ đề. Với mọi 1 < p ≤ 2 và với mọi số thực x ta có

|1 + x|p ≤ 1 + px + 22−p |x|p .
Chứng minh. Ta chỉ cần xét 1 < p < 2, vì trường hợp p = 2 là hiển nhiên.
Khi x > 0, ta dễ chứng minh được với 1 < p < 2 thì

(1 + x)p ≤ xp + px + 1 ≤ 22−p xp + px + 1.
Do đó, bổ đề được chứng minh cho trường hợp x ≥ 0.
Khi x ≤ 0, đặt t = −x ≥ 0, ta cần phải chứng minh rằng

f (t) = 1 − pt + 22−p tp − |1 − t|p ≥ 0 với mọi t ≥ 0.
Tính đạo hàm f (t) (tách hai trường hợp t ≥ 1 và 0 ≤ t < 1), ta dễ thấy

f (t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0. Do đó, f (t) ≥ f (0) = 0 với mọi t ≥ 0. Bổ đề hoàn
toàn được chứng minh.
1.2.5 Bổ đề. Với mọi số thực x ≥ 0 ta có

x
x2
2
ln(1 + x) ≥
+
1
+
ln(1 + x) .
1 + x 2(1 + x)2
3
1.2.6 Bổ đề. (Bổ đề Kronecker). Giả sử {xn , n ≥ 1} là dãy các số thực và

{bn , n ≥ 1} là dãy các số dương tăng ngặt đến +∞: 0 < b1 < b2 < ... <
∞ x
1 n

n
bn → ∞. Khi đó, nếu
hội tụ thì
xk → 0 khi n → ∞.
bn k=1
n=1 bn


8

1.3

Các bất đẳng thức đối với tổng các biến ngẫu
nhiên liên kết âm

Trong mục này chúng tơi trình bày các kết quả chính của Chương 1. Định
lý sau đây thiết lập một bất đẳng thức so sánh về moment giữa các biến
ngẫu nhiên liên kết âm và các biến ngẫu nhiên độc lập. Bất đẳng thức so
sánh về moment này là một cơng cụ rất có ích trong việc thiết lập các định
lý giới hạn như luật mạnh số lớn, luật logarithm lặp và bất đẳng thức BerryEsseen. Trong phép chứng minh các kết quả của mục này, khi không nói gì
thêm, ta ln hiểu rằng các biến ngẫu nhiên với ký hiệu có dấu ∗ là các biến
ngẫu nhiên độc lập, và cùng phân phối với biến ngẫu nhiên ban đầu. Ví dụ,

X1∗ , X2∗ , . . . , Xn∗ là các biến ngẫu nhiên độc lập, Xi∗ có cùng phân phối với Xi
với mọi i.
1.3.1 Định lý. Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm, và {Xi∗ , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho với mỗi

1 ≤ i ≤ n, Xi∗ và Xi cùng phân phối. Khi đó
n

n

Xi∗

Xi ≤ Ef

Ef
i=1

(1.3.1)

i=1

với mọi hàm lồi f . Nếu f là hàm lồi khơng giảm, thì
k

Ef

Xi ≤ Ef

max

1≤k≤n

k

i=1

Xi∗ .

max

1≤k≤n

(1.3.2)

i=1

Chứng minh. Chúng ta chứng minh (1.3.1) bằng phương pháp quy nạp theo

n. Giả sử Y1 , Y2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập, (Y1 , Y2 ) độc lập và cùng phân
phối với (X1 , X2 ). Khi đó, theo Bổ đề 1.2.3, ta có
f (X1 + X2 ) + f (Y1 + Y2 ) − f (X1 + Y2 ) − f (Y1 + X2 )
Y2

(f+ (Y1 + t) − f+ (X1 + t))dt

=
X2
∞

=
−∞

(f+ (Y1 + t) − f+ (X1 + t))(I(Y2 > t) − I(X2 > t))dt.

Vì f+ (x + t) và I(x > t) là hàm không giảm theo x với mỗi t, nên f+ (X1 + t)

9

và I(X2 > t) là liên kết âm. Theo định lý Fubini, ta có

2(Ef (X1 + X2 ) − Ef (X1∗ + X2∗ ))
= E(f (X1 + X2 ) + f (Y1 + Y2 ) − f (X1 + Y2 ) − f (Y1 + X2 ))
∞

=
−∞

Cov(f+ (X1 + t), I(X2 > t))dt ≤ 0.

(1.3.3)

Điều này chứng minh (1.3.1) cho trường hợp n = 2.
Giả sử (1.3.1) đúng với n − 1 ≥ 2. Ta đặt
k

Xi , k ≥ 1,

Sk =
i=1

và

g(x) = Ef (x + Sn−1 ).
Theo giả thiết quy nạp, ta có
n−1

Xi∗ ).

g(x) ≤ Ef (x +

(1.3.4)

i=1

Theo Bổ đề 1.2.2, ta có Sn−1 và Xn là hai biến ngẫu nhiên liên kết âm. Do
đó, theo (1.3.4) ta suy ra
∗
Ef (Sn ) ≤ Ef (Xn∗ + Sn−1
)

= Eg(Xn∗ )
n−1

≤

Ef (Xn∗

Xi∗ ).

+
i=1

Điều này chứng tỏ (1.3.1) đúng với n.
Để chứng minh (1.3.2), ta ký hiệu
k

Xi∗ , Mk = max Si , Mk = max Si .

Sk =
i=1

1≤i≤k

1≤i≤k

Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi n và với mọi số thực a và b

Ef (max(a, b + max(0, Mn ))) ≤ Ef (max(a, b + max(0, Mn ))).

(1.3.5)


10

Thật vậy, giả sử (1.3.5) đúng. Khi đó, ta ký hiệu

g1 (x) = Ef max{x, x + max{0, max (Sk − X1 )}} .
2≤k≤n

Điều này kéo theo

g1 (x) ≤ Ef max{x, x + max{0, max (Sk − X1∗ )}} .
2≤k≤n

(1.3.6)

Bổ đề 1.2.2 kéo theo rằng X1 và max{0, max2≤k≤n (Sk − X1 )} là liên kết âm.
Do đó

Ef ( max Si ) = Ef X1 + max{0, max (Sk − X1 )}
1≤i≤n

2≤k≤n

≤ Ef X1∗ + (max{0, max (Sk − X1 )})∗ (theo (1.3.1))
2≤k≤n

= E E f (X1∗ + (max{0, max (Sk − X1 )})∗ )|X1∗
2≤k≤n

= E f (X1∗ + max{0, max (Sk − X1 )})
2≤k≤n

=

Eg1 (X1∗ )

≤ Ef max{X1∗ , X1∗ + max{0, max (Sk − X1∗ )}} (theo (1.3.5))
2≤k≤n

= Ef (Mi ).
Điều này có nghĩa là (1.3.2) đúng.
Bây giờ ta chứng minh (1.3.5) bằng phương pháp quy nạp theo n. Dễ thấy
rằng X1 và max(0, X2 ) là liên kết âm, M2 = X1 + max(0, X2 ), và

h(x) := f (max(a, b + max(0, x)))

= f (max(a, b, b + x))
= max(f (max(a, b)), f (b + x))
là hàm lồi. Theo (1.3.1) ta có

Ef (max(a, b + max(0, M1 ))) = Eh(X1 + max(0, X2 ))
≤ Eh(X1∗ + (max(0, X2 ))∗ )
= Eh(X1∗ + max(0, X2∗ ))
= Ef (max(a, b + max(0, M2 ))).


11

Điều này chứng minh (1.3.5) cho trường hợp n = 2.
Giả sử (1.3.5) đúng đối với n − 1 ≥ 2. Đặt

M1 (n − 1) = max (Si+1 − X1 ),
1≤i≤n−1

M1 (n − 1) = max (Si+1 − X1∗ ),
1≤i≤n−1

và

u(x) = Ef max a, b + max{0, x + max{0, M1 (n − 1)}}

.

Theo giả thiết quy nạp, ta có

u(x) ≤ Ef max a, b + max{0, x + max{0, M1 (n − 1)}}

.

Theo Bổ đề 1.2.2, ta suy ra X1 và M1 (n − 1) là liên kết âm. Do đó

Ef (max{a, b + max{0, Mn }})
= Ef max{a, b + max{0, X1 + max{0, M1 (n − 1)}}}
≤ Ef max{a, b + max{0, X1∗ + max{0, M1 (n − 1)∗ }}} (theo (1.3.1))
= Eu(X1∗ )
≤ Ef max{a, b + max{0, X1∗ + max{0, M1 (n − 1)}}}
= Ef max{a, b + max{0, Mn }} .
Điều này chứng tỏ (1.3.5) đúng với n. Định lý được hoàn toàn chứng minh.
Định lý 1.3.2 cho phép chúng ta chỉ ra rằng phần lớn các bất đẳng thức
quen thuộc đối với tổng các biến ngẫu nhiên độc lập như bất đẳng thức
Rosenthal, bất đẳng thức Kolmogorov vẫn còn đúng với tổng các biến ngẫu
nhiên liên kết âm.
1.3.2 Định lý. Giả sử p ≥ 1, {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên
liên kết âm thỏa mãn EXi = 0, E|Xi |p < ∞ với mọi i, và {Xi∗ , 1 ≤ i ≤ n}
là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho với mỗi 1 ≤ i ≤ n, Xi∗ và Xi
cùng phân phối. Khi đó
n

E

p

Xi
i=1

n

Xi∗

≤E
i=1

p

(1.3.7)


12
k

p

E max

1≤k≤n

Xi

1≤k≤n

p

Xi

Xi∗

≤ 2E max

1≤k≤n

i=1

k

E max

k

p

(1.3.8)

i=1

n
3−p

E|Xi |p với 1 ≤ p ≤ 2

≤2

i=1

(1.3.9)

i=1

và với p > 2
k

E max

1≤k≤n

p

Xi

n
p

EXi2

≤ 2(15p/ ln p)

i=1

i=1

n

p/2

E|Xi |p . (1.3.10)

+

i=1

1.3.3 Định lý. Giả sử p ≥ 1, {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên
liên kết âm thỏa mãn EXi = 0, EXi2 < ∞ với mọi i. Đặt Sk =
n
2
i=1 EXi .

Bn =

k
i=1 Xi

và

Khi đó với mọi x > 0, a > 0 và 0 < α < 1

P ( max Sk ≥ x) ≤ P ( max Xk > a)
1≤k≤n

+

1≤k≤n
2

xα
2
1
exp −
1 + ln(1 + ax/B − n)

1−α
2(ax + Bn )
3

(1.3.11)

và

P ( max |Sk | ≥ x) ≤ 2P ( max Xk > a)
1≤k≤n

1≤k≤n

2

+

2
xα
2
exp −
1 + ln(1 + ax/B − n)
1−α
2(ax + Bn )
3

.

(1.3.12)

13

CHƯƠNG 2

SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
LIÊN KẾT ÂM

Trong chương này chúng tơi trình bày một số áp dụng của các kết quả
của Chương 1. Chương 2 gồm có hai mục, tương ứng trình bày về sự hội tụ
hầu chắc chắn (h.c.c.) và sự hội tụ đầy đủ của tổng các biến ngẫu nhiên liên
kết âm. Các kết quả của Chương 2 là mới. Kết quả của Mục 2.1 mở rộng kết
quả chính của Matula [14]. Kết quả của Mục 2.1 quay về kết quả chính của
Kuczmaszewska [12] khi các trọng số đồng nhất bằng 1. Tuy nhiên, ở đây
chúng tôi chỉ xét trường hợp các biến ngẫu nhiên cùng phân phối nhằm mục
đích tính tốn khơng quá nhiều. Kuczmaszewska [12] xét trường hợp rộng
hơn đó là khi các biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên theo trung bình.
Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên. Khi đó, dễ chứng
minh được tập

C = {ω : Xn (ω) hội tụ }
là tập đo được.
Ta nói, dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắc chắn nếu

P (C) = P {ω : Xn (ω) hội tụ } = 1.
Đặt

X(ω) =

limn→∞ Xn (ω)

0

nếu ω ∈ C,
nếu ω ∈
/ C.

Khi đó X là một biến ngẫu nhiên và ta ký hiệu sự hội tụ hầu chắc chắn của
dãy {Xn , n ≥ 1} là

Xn

h. c. c
→ X, hoặc Xn → X h. c. c. , hoặc lim Xn = X h.c.c.
n→∞


14

Ta nói dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ đầy đủ đến 0 nếu
∞

P {|Xn | > ε} < ∞ với mọi ε > 0.
n=1

Khi đó ta ký hiệu
c
Xn → X.
c
Theo Bổ đề Borel-Cantelli (xem Nguyễn Văn Quảng [1]), nếu Xn → 0, thì
h.c.c.

h.c.c.
Xn → 0. Ngược lại, nếu dãy {Xn , n ≥ 1} độc lập và Xn → 0, thì
c
Xn → 0.

2.1

Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng số của
các biến ngẫu nhiên liên kết âm

Trong mục này ta thiết lập định lý hội tụ Loève (xem Chow và Teicher
[5], tr. 117) đối với các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Trong mục này, giả sử

X là biến ngẫu nhiên và c là hằng số dương, ta ký hiệu
X (c) = −cI(X < −c) + XI(|X| ≤ c) + cI(X > c).
Mệnh đề sau đây là định lý hội tụ ba chuỗi Kolmogorov đối với dãy các biến
ngẫu nhiên liên kết âm. Kết quả này thuộc về Matula [14].
2.1.1 Mệnh đề. Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên
liên kết âm. Nếu với c > 0 nào đó, ba chuỗi
∞
i=1 P (|Xi |

> c) hội tụ, thì chuỗi

∞
i=1 Xi

(c)
∞
i=1 EXi ,

∞
i=1 V

(c)

arXi ,

hội tụ h.c.c.

Từ Mệnh đề 2.1.1, ta thu được kết quả sau đây. Định lý 2.1.2 mở rộng Hệ
quả 2 trong Chow và Teicher [5, tr. 117] sang trường hợp liên kết âm.
2.1.2 Định lý. Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm có kỳ vọng bằng 0. Nếu
∞

E Xi2 I(|Xi | ≤ 1) + |Xi |I(|Xi | > 1) < ∞,
i=1

thì chuỗi

∞
i=1 Xi

hội tụ h.c.c.

(2.1.1)


15

Chứng minh. Theo bất đẳng thức Markov, ta suy ra
∞

∞

P (|Xi | > 1) =
i=1

P (|Xi |I(|Xi | > 1) > 1)
i=1
∞

≤

E(|Xi |I(|Xi | > 1))
i=1

< ∞.

(2.1.2)

Vì EXi = 0 với mọi i ≥ 1, nên
∞

∞
(1)
|EXi |

E (Xi + 1)I(Xi < −1) + (Xi − 1)I(Xi > 1)

=

i=1

i=1
∞

≤

E((|Xi | + 1)I(|Xi | > 1))
i=1
∞

≤2

E(|Xi |I(|Xi | > 1))
i=1

< ∞.

(2.1.3)

Theo (2.1.1) và (2.1.2) ta lại có
∞

∞
(1)
E(Xi )2

E I(Xi < −1) + I(Xi > 1) + Xi2 I(|Xi | ≤ 1)

=

i=1

i=1
∞

P (|Xi | > 1) + EXi2 I(|Xi | ≤ 1)

=
i=1

< ∞.

(2.1.4)

Từ (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) và Mệnh đề 2.1.1, ta suy ra kết luận của định
lý.
Kết quả chính của Mục 2.1 là Định lý 2.1.3. Kết quả này mở rộng Định
lý 1 của Matula [14].
2.1.3 Định lý. Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm có và với các hằng số 0 < αi ≤ 2 nào đó,
∞

E|Xi |αi < ∞.

(2.1.5)

i=1

Ngồi ra, ta giả sử EXi = 0 trong trường hợp 1 ≤ αi ≤ 2. Khi đó chuỗi
∞
i=1 Xi

hội tụ h.c.c.


16

Chứng minh. Trước hết, ta giả sử rằng 1 ≤ αi ≤ 2 với mọi i ≥ 1, khi đó

Xi2 I(|Xi | ≤ 1) + |Xi |I(|Xi | > 1) ≤ |Xi |αi .
Do đó, từ (2.1.5) ta suy ra (2.1.1) được thỏa mãn. Theo Định lý 2.1.2, ta suy
ra điều cần chứng minh.
Bây giờ ta giả sử 0 < αi < 1 với mọi i ≥ 1. Khi đó
∞

∞

E

(1)
(Xi )2

+

(1)
|Xi |

2E|Xi |αi < ∞.

≤

i=1

(2.1.6)

i=1

Mặt khác, theo bất đẳng thức Markov ta lại có
∞

∞

E|Xi |αi < ∞.

P (|Xi | > 1) ≤
i=1

(2.1.7)

i=1

Từ (2.1.6), (2.1.7) và Mệnh đề 2.1.1, ta suy ra kết luận của định lý.
Cuối cùng, ta xét trường hợp tổng quát 0 < αi ≤ 2 với mọi i ≥ 1. Đặt

I = {i ≥ 1 : 1 ≤ αi ≤ 2},
và

J = {i ≥ 1 : 0 < αi < 1}.
Với i ≥ 1, ta đặt

Yi =

Xi
0

nếu i ∈ I,
nếu i ∈
/ I,

Zi =

Xi
0

nếu i ∈ J,
nếu i ∈
/ J.

βi =

αi
2

nếu i ∈ I,
nếu i ∈
/ I,

γi =

αi
1/2

nếu i ∈ J,
nếu i ∈
/ J.

và

Ngoài ra, ta đặt

và

Khi đó 1 ≤ βi ≤ 2, 0 < γi < 1, EYi = 0 với mọi i ≥ 1,
∞

E|Yi |βi < ∞,
i=1


17

và

∞

E|Zi |γi < ∞.

i=1

Theo phần chứng minh ban đầu, ta suy ra hai chuỗi
tụ h.c.c. Nhưng vì

∞

∞
i=1 Yi

và

∞
i=1 Zi

hội

∞

Xi =
i=1

(Yi + Zi ),
i=1

nên ta suy ra kết luận của định lý.
Hệ quả sau đây chính là luật mạnh số lớn Loève cho trường hợp liên kết âm.
Khi αi = 2 với mọi i ≥ 1, định lý này chính là luật mạnh số lớn Kolmogorov.
Kết quả này mở rộng Định lý 1 trong Chow và Teicher [5, tr.124] từ trường
hợp độc lập sang trường hợp liên kết âm.

2.1.4 Hệ quả. Giả sử {bn , n ≥ 1} là một dãy các hằng số dương sao cho

limn→∞ bn = ∞. Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm có và với các hằng số 0 < αi ≤ 2 nào đó,
∞

i=1

E|Xi |αi
< ∞.
bαi i

(2.1.8)

Ngoài ra, ta giả sử EXi = 0 trong trường hợp 1 ≤ αi ≤ 2. Khi đó ta thu được
luật mạnh số lớn
n

lim

n→∞

i=1

Xi
= 0 h.c.c.
bi

(2.1.9)

Chứng minh. Từ (2.1.8), áp dụng định lý 2.1.3, ta suy ra chuỗi
∞

i=1

Xi
bi

hội tụ hầu chắc chắn. Do đó, áp dụng bổ đề Kronecker, ta thu được (2.1.9).

2.2

Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số của các
biến ngẫu nhiên liên kết âm

Sự hội tụ đầy đủ của dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm được nghiên
cứu bởi một số tác giả. Năm 2010, Kuczmaszewska [12] đã chứng minh kết
quả sau đây.


18

2.2.1 Định lý. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm và X là một biến ngẫu nhiên thỏa mãn
n

1
n

P (|Xi | > x) = CP (|X| > x)

i=1

với mọi x > 0, với mọi n ≥ 1. (Ta sẽ gọi dãy {Xn , n ≥ 1} bị chặn ngẫu
nhiên trung bình bởi biến ngẫu nhiên X .) Giả sử αp > 1 và α > 1/2. Khi

p ≥ 1, ta giả sử thêm rằng EXn = 0 với mọi n. Khi đó các phát biểu sau là
tương đương.
(i) E|X|p < ∞.
(ii)
j

∞
αp−2

n

Xi | > εnα < ∞

max |

P

1≤j≤n

n=1

i=1

với mọi ε > 0.
Trong mục này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng

số các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Trước hết, ta cần bổ đề sau đây.
2.2.2 Bổ đề. Giả sử α > 0, p ≥ 1, {Xi , i ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu
nhiên cùng phân phối và E|X1 |p < ∞. Khi α ≤ 1, ta giả sử thêm EX1 = 0.
Nếu {ani , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1} là một mảng các hằng số thỏa mãn
n

|ani | = O(n),
i=1

thì

n
−α

|E(ani Xni )| = 0,

lim n

n→∞

i=1

trong đó

Xni = Xi I(|Xi | ≤ nα ) − nα I(|Xi | < −nα ) + nα I(|Xi | > nα ).

(2.2.1)


19

Chứng minh. Chú ý rằng với mọi n ≥ 1, ta có
n
−α

|E(ani Xi I(|Xi | ≤ nα ))|

n

i=1
n
−α

ani |EXi I(|Xi | ≤ nα )|

≤n

i=1
n

= n−α

ani E(X1 I(|X1 | ≤ nα ))

i=1
1−α

≤ Cn

E(X1 I(|X1 | ≤ nα )) .

(2.2.2)

Nếu α > 1, thì ta thấy kết luận của bổ đề được suy ra từ (2.2.2). Nếu

0 < α ≤ 1, thì
n1−α E(X1 I(|X1 | ≤ nα )) = n1−α E(X1 I(|X1 | > nα )) (vì EX1 = 0)
≤ n1−α E(|X1 |I(|X1 | > nα ))
≤ E(|X1 |1/α I(|X1 | > nα ))
≤ E(|X1 |p I(|X1 | > nα ))

1/(αp)

(vì αp ≥ 1).

Bên cạnh đó, ta lại có
n
−α

ani nα P (|Xi | > nα )

n

i=1
n

ani E(I(|X1 | ≤ nα ))

=
i=1

≤ C E(nI(|X1 | ≤ nα ))
≤ E(|X1 |1/α I(|X1 | > nα ))
≤ E(|X1 |p I(|X1 | > nα ))

1/(αp)

(vì αp ≥ 1).

Vì E|X1 |p < ∞, nên ta có

lim E(|X1 |p I(|X1 | > nα )) = 0.

n→∞

Bổ đề được hoàn toàn chứng minh.
Định lý sau đây thiết lập sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến
ngẫu nhiên liên kết âm. Như đã phát biểu ở trên, khi ani ≡ 1, kết quả này


20

được chứng minh bởi Kuczmaszewska [12]. Tuy nhiên, trong Kuczmaszewska
[12], điều kiện cùng phân phối đã được mở rộng sang điều kiện bị chặn ngẫu
nhiên. Để giảm nhẹ tính tốn, ở đây chúng tôi chỉ xét trường hợp cùng phân
phối.
2.2.3 Định lý. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm, cùng phân phối. Giả sử α > 1/2, 1 ≤ p < 2, αp ≥ 1, và EX1 = 0 khi

α ≤ 1. Khi đó các phát biểu sau là tương đương.

(i) E|X1 |p < ∞.
(ii)
j

∞
αp−2

n

P

n=1

ani Xi | > εnα < ∞

max |

1≤j≤n

i=1

với mọi ε > 0 và với mọi mảng các hằng số {ani , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} thỏa
mãn
n

a2ni = O(n).

(2.2.3)

i=1

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh (i) kéo theo (ii). Ta ký hiệu

a+
ni = max{ani , 0}
và

a−
ni = max{−ani , 0}.
Khi đó,
−
ani = a+
ni − ani .

Do đó, ta chỉ cần chứng minh
j

∞

n

αp−2

P

n=1

và

1≤j≤n

i=1
j

∞

n
n=1

α
a+
<∞
ni Xi | > εn

max |

αp−2

P

α
a−
< ∞.
ni Xi | > εn

max |

1≤j≤n

i=1

Như vậy, khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử rằng ani ≥ 0 với mọi

n ≥ 1, i ≥ 1. Với mỗi n ≥ 1, ta ký hiệu
Xni = Xi I(|Xi | ≤ nα ) + nα I(Xi > nα ) − nα I(Xi < −nα ),


21

và
j

Yni = Xni − EXni , Snj =

ani Yni .
i=1

Khi đó, với mọi ε > 0, ta có
j

P

ani Xi | > εnα

max |

1≤j≤n

i=1
j

≤P
≤P

α

max |Xj | > n

+P

1≤j≤n

ani Xni | > εnα

max |

1≤j≤n

i=1

max |Xj | > nα

1≤j≤n

j

+P

α

max |Snj | > εn − max |

1≤j≤n

1≤j≤n

E(ani Xni )| .

(2.2.4)

i=1

Bây giờ ta sẽ lần lượt đánh giá từng số hạng ở (2.2.4).
∞

nαp−2 P
n=1
∞

max |Xj | > nα

1≤j≤n
n

αp−2

≤

P |Xj | > nα

n
n=1
∞

j=1

nαp−1 P (|X1 | > nα )

=
n=1
∞

=

∞

n
n=1
∞

αp−1

P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α )
i=n

i

nαp−1 P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α )

=

i=1 n=1
∞
αp

i P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α )

≤C

i=1

≤ CE|X1 |p < ∞.

(2.2.5)

Với mọi n ≥ 1, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
n

|ani |
i=1

2

n

a2ni .

≤n
i=1

22

Kết hợp điều này và (2.2.3), ta suy ra
n

|ani | = O(n).
i=1

Theo Bổ đề 2.2.2, ta có
j
−α

0 ≤ lim n
n→∞

max

1≤j≤n

E(ani Xni )
i=1
j

≤ lim n−α max
n→∞

1≤j≤n

E(ani Xni )

i=1

n

= lim n−α
n→∞

E(ani Xni ) = 0.

(2.2.6)

i=1

Từ (2.2.4)-(2.2.6), để thu được (ii), ta chỉ cần chứng minh rằng
∞

nαp−2 P
n=1

max |Snj | > nα ε/2 < ∞.

1≤j≤n

(2.2.7)

Theo cách đặt, ta có dãy {ani Xni , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên
kết âm. Kết luận (2.2.7) được suy ra từ đánh giá sau đây.
∞

nαp−2 P

n=1

4
≤ 2
ε

max |Snj | > nα ε/2

1≤j≤n

∞

nαp−2−2α E max |Snj|
1≤j≤n

n=1
∞

E ani Xni − E(ani Xni )

n
n=1
∞

i=1
n

nαp−2−2α

≤C

n=1
∞

E(ani Xni )2
i=1
n

nαp−2−2α

=C

(theo bất đẳng thức Chebyshev)

n
αp−2−2α

≤C

2

n=1

:= R1 + R2 ,

a2ni E(Xni )2
i=1

2

(theo Định lý (1.3.2))

23

trong đó
∞

n
αp−2−2α

R1 = C

a2ni E(X1 I(|X1 | ≤ nα ))2

n
n=1
∞

i=1

nαp−1−2α E(X1 I(|X1 | ≤ nα ))2

≤C
n=1
∞

n
αp−1−2α

=C

n=1
∞ ∞

i=1

nαp−1−2α E X12 I((i − 1)α < |X1 | ≤ iα )

=C
≤C

E X12 I((i − 1)α < |X1 | ≤ iα )

n

i=1 n=i
∞
αp−2α

i

E X12 I((i − 1)α < |X1 | ≤ iα )

i=1
∞

iαp P ((i − 1)α < |X1 | ≤ iα )

≤C
i=1

≤ CE|X1 |p < ∞,
và
∞

n
αp−2−2α

R2 = C
n=1
∞

i=1
n

nαp−2

=C
n=1
∞

a2ni P (|X1 | > nα )
i=1

nαp−1 P (|X1 | > nα )

≤C
=

a2ni n2α P (|Xi | > nα )

n

n=1
∞
∞
αp−1

n

n=1
∞

P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α )

i=n
i

nαp−1 P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α )

=

i=1 n=1
∞
αp

i P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α )

≤C

i=1

≤ CE|X1 |p < ∞.
Như vậy, (ii) hoàn toàn được chứng minh. Để chứng minh chiều (ii) kéo theo
(i), ta chỉ cần chọn ani ≡ 1, và ứng dụng kết quả của Kuczmaszewska [12].


24

2.2.4 Chú ý. (i) Nếu p ≥ 2, thì Định lý 2.2.2 vẫn còn đúng nếu (2.2.3) được
thay thế bởi
n

E(|Ani |q ) = O(n) với q > 2(αp − 1)/(2α − 1).
i=1

(ii) Phương pháp chứng minh trong Kuczmaszewska [12] yêu cầu αp > 1
ngay cả trong trường hợp 1 ≤ p < 2. Do đó chúng ta khơng thể xét một
trường hợp thú vị là α = 1/p, thể hiện ở hệ quả sau đây.
2.2.5 Hệ quả. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm, cùng phân phối. Giả sử 1 ≤ p < 2, và EX1 = 0, E|X1 |p < ∞. Khi đó
n
i=1 Xi
n1/p

lim

n→∞

= 0 h.c.c.

Chứng minh. Cho ani ≡ 1, α = 1/p, và

Tn =

n
i=1 Xi
.
n1/p

Theo Định lý 2.2.3 (phần (i) kéo theo (ii)), với mọi ε > 0, ta có
∞

n−1 P

∞>
n=1

max |Tj | > εn1/p

1≤j≤n

∞ 2i+1 −1

n−1 P

=
i=0 n=2i
∞

≥

1
2

P
i=1

max |Tj | > εn1/p

1≤j≤n

maxi |Tj | > ε2(i+1)/p .

1≤j≤2

Điều này có nghĩa là

max1≤j≤2i |Tj |
2(i+1)/p
hội tụ đầy đủ về 0. Do đó, theo Bổ đề Borel-Cantelli, ta suy ra
max1≤j≤2i |Tj |
= 0 h.c.c.
i→∞
2(i+1)/p
Với mỗi n ≥ 1, ta giả sử 2i−1 < n ≤ 2i . Khi đó
lim

|Tn |
2/p max1≤j≤2i |Tj |

≤
2
→ 0 h.c.c khi i → ∞.
n1/p
2(i+1)/p
Do đó, ta suy ra kết luận của hệ quả.
0≤


25

2.2.6 Chú ý. Trong trường hợp có trọng số, nói chung ta không thể nhận
được luật mạnh số lớn

lim

n

1

n→∞

ani Xi = 0 h.c.c.

n1/p

(2.2.8)

i=1

từ
j

∞
−1

n P

ani Xi > εn1/p < ∞

max

1≤j≤n

n=1

i=1

j
i=1 ani Xi

bởi vì dãy {max1≤j≤n

(2.2.9)

, n ≥ 1} khơng tăng. Chi tiết về điều này

được minh họa qua ví dụ sau đây.
2.2.7 Ví dụ. Giả sử 1 ≤ p < 2, α = 1/p, và xét dãy {Xn , n ≥ 1} các biến
ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0 sao cho với mọi n ≥ 1,

P (Xn = 0) = 1 − 1/n
và

P (Xn = −n1/2 ) = P (Xn = n1/2 ) = 1/(2n).
Khi đó supn≥1 E|Xn |2 = 1 < ∞. Theo Bổ đề 5.2.2 của Taylor [18], thì tồn
tại một biến ngẫu nhiên X với E|X|p < ∞ sao cho dãy {Xn , n ≥ 1} bị chặn
ngẫu nhiên bởi X . Giả sử {ani , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là một mảng các hằng số
thỏa mãn

ani = 0 với mọi 1 ≤ i < n
và

ann = n1/2 .
Khi đó với mọi n ≥ 1,

n

a2ni = n,
i=1

nghĩa là (2.2.3) đúng. Theo Định lý 2.2.3 (phần (i) kéo theo (ii)), thì (2.2.9)
đúng. Bây giờ, ta xét Yn = Xn /n1/2 , n ≥ 1. Khi đó {Yn , n ≥ 1} là một dãy
các biến ngẫu nhiên độc lập và
∞

∞

P {|Yn | ≥ 1} =
n=1

n=1

1
= ∞.
n